Matemática Nivel Medio Parte 3

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atemática atemática
 edio3º
 l Texto Matemática – Proyecto Nuevo xplor@ndo para 3er Año de ducación Media es una creación 
del Departamento de studios Pedagógicos de diciones SM – Chile.
 ste libro corresponde al Tercer Año de ducación Media y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente del Ministerio de ducación de Chile.
© 2012 – diciones SM Chile S.A.
Dirección editorial: Coyancura 2283, oficina 203 - Providencia, Santiago.
Printed in Chile / Impreso en Chile
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 ste libro se terminó de imprimir en los talleres de Imprenta Maval, ubicados en Rivas 530. San Joaquín, Chile.
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 irección e itorial
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Jefatura e itorial
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coor inación área MateMática
Pablo Saavedra Rosas
e ición
Pablo Saavedra Rosas
co-e ición
Marco Linares Rodríguez
ayu ante e e ición
Pedro Rupin Gutierrez
autoría
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Ilich Aguayo scobar
asesoría Pe agógica
Gastón Guerrero Arcos
Leonardo Medel Contreras
corrección e estilo
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 irección e arte
Carmen Gloria Robles Sepúlveda
 iseño e Porta a
Verónica Duarte Matamala
 iseño y iagraMación
María lena Nieto Flores
Jennifer Contreras Vilches
Rossana Allegro Valencia
fotografía
Archivos fotográficos SM
Pro ucción
Andrea Carrasco Zavala
 atemática
 l Texto Matemática 3° Medio del proyecto Nuevo 
 xplorando fue creado pensando en brindarte la 
posibilidad de emplear contenidos matemáticos en 
distintos contextos para que logres comprenderlos a 
cabalidad. n él se propone el desarrollo explícito de 
habilidades y del pensamiento lógico a través de la 
resolución de problemas.
 ste proyecto incluye, junto con el Texto, un libro 
de actividades para que potencies la ejercitación de 
los contenidos vistos en clases y te familiarices con 
el formato de preguntas de la Prueba de Selección 
Universitaria (PSU), examen de carácter nacional que 
deberás rendir cuando egreses de 4° Medio.
La unidad 1 del Texto considera rectas en el plano 
y sistemas de ecuaciones, previo al estudio de los 
números complejos y trigonometría, contenidos que 
se ven en las unidades 2 y 3, para los que se necesita 
dominar las representaciones en el plano cartesiano y 
la representación de vectores. Luego, en la unidad 4, 
se tratan las ecuaciones de segundo grado con una 
incógnita y la función cuadrática, cuyas soluciones 
son números complejos. Finalmente, la unidad 5 
de probabilidades engloba todos los conceptos 
relacionados con funciones de probabilidad, de 
distribución, probabilidad condicional, distribución 
binomial, entre otros. 
Con este proyecto innovador de diciones SM, 
sumado a tu dedicación y al permanente apoyo de 
tu profesor o profesora, estamos seguros de que tu 
esfuerzo se verá recompensado.
 arco curricular 
 arco curricular
 nidades Objetivos Fundamentales (OF) Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
1
 ectas en el plano 
1. Comprender la Geometría cartesiana 
como un modelo para el tratamiento 
algebraico de los elementos y 
relaciones entre figuras geométricas.
2. stablecer la relación entre la 
representación gráfica de rectas en 
el plano cartesiano y los sistemas de 
ecuaciones a que dan origen.
1. Deducción de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su 
aplicación al cálculo de magnitudes lineales en figuras planas.
2. Descripción de la homotecia de figuras planas mediante el producto de un 
vector y un escalar, uso de un procesador geométrico para visualizar las 
relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano.
 Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
 Deducción e interpretación de la pendiente y del intercepto de una recta 
con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas 
formas de la ecuación de la recta.
 Análisis gráfico de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales 
con dos incógnitas y su interpretación a partir de las posiciones relativas de 
rectas en el plano: condiciones analíticas del paralelismo, coincidencia y de 
la intersección entre rectas.
2
Números complejos 
y operatoria
1. Comprender que los números 
complejos constituyen un conjunto 
numérico en el que es posible 
resolver problemas que no tienen 
solución en los números reales, 
y reconocer su relación con los 
números naturales, números 
enteros, números racionales y 
números reales.
2. Aplicar procedimientos de cálculo 
de adiciones, sustracciones, 
multiplicaciones y divisiones de 
números complejos, formular 
conjeturas acerca de esos cálculos 
y demostrar algunas de sus 
propiedades.
1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los 
números reales a los números complejos, caracterización de éstos últimos y 
de los problemas que permiten resolver.
2. Identificación de la unidad imaginaria como solución de la ecuación x2 + 1 = 0 
y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos.
3. xtensión de las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y 
potencia de los números reales a los números complejos y de procedimientos 
de cálculo de estas operaciones.
 . Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los 
números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número 
complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación 
y división. 
3
Trigonometría y 
números complejos
1. Aplicar procedimientos de cálculo 
de adiciones, sustracciones, 
multiplicaciones y divisiones de 
números complejos, formular 
conjeturas acerca de esos cálculos 
y demostrar algunas de sus 
propiedades.
1. Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los 
números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número 
complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, 
división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos.
 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo 5
 uevo Explor@ndo Matemática
 atemática
 nidades Objetivos Fundamentales (OF) Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
4
Función cuadrática y 
ecuación 
de segundo 
grado
1. Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos 
resultantes sean funciones cuadráticas.
2. Comprender que toda ecuación de segundo grado 
con coeficientes reales tiene raíces en el conjunto 
de los números complejos.
1. Representación y análisis gráfico de la función 
f(x) = ax2 + bx + c, para distintos valores de a, b y c. Discusión 
de las condiciones que debe cumplir la función cuadrática para 
que su gráfica interseque el eje X (ceros de la función). Uso 
de software para el análisis de las variaciones de la gráfica 
de la función cuadrática a partir de la modificación de los 
parámetros.
2. Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita 
por completación de cuadrados, por factorización o por 
inspección, con raíces reales o complejas. Interpretación de las 
soluciones y determinación de su pertenencia al conjunto de 
los números reales o complejos.
3. Deducción de la fórmula de la ecuación general de segundo 
grado y discusión de sus raíces y su relación con la función 
cuadrática.
 . Resolución de problemas asociados a ecuaciones de segundo 
grado con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia 
de las soluciones de acuerdo al contexto en que se plantea el 
problema.
5. Modelamiento de situaciones o fenómenos asociados a 
funciones cuadráticas.
5
Probabilidades
1. Relacionar y aplicar los conceptosde variable 
aleatoria discreta, función de probabilidad y 
distribución de probabilidad, en diversas situaciones 
que involucran experimentos aleatorios.
2. Comparar el comportamiento de una variable 
aleatoria en forma teórica y experimental, 
considerando diversas situaciones o fenómenos.
3. Aplicar el concepto de modelo probabilístico para 
describir resultados de experimentos binomiales.
 . Comprender el concepto de probabilidad condicional 
y aplicarlo en diversas situaciones que involucren el 
cálculo de probabilidades.
5. Formular conjeturas, verificar para casos 
particulares, y demostrar proposiciones utilizando 
conceptos, propiedades o relaciones de los diversos 
temas trabajados en el nivel; y utilizar heurísticas 
para resolver problemas combinando, modificando 
o generalizando estrategias conocidas, fomentando 
la actitud reflexiva y crítica en la resolución de 
problemas.
1. Utilización de la función de probabilidad de una variable 
aleatoria discreta y establecimiento de la relación con la 
función de distribución.
2. xplorar la relación entre la distribución teórica de una 
variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias, 
en experimentos aleatorios discretos, haciendo uso de 
simulaciones digitales.
3. Aplicación e interpretación gráfica de los conceptos de valor 
esperado, varianza y desviación típica o estándar de una 
variable aleatoria discreta.
 . Determinación de la distribución de una variable aleatoria 
discreta en contextos diversos y de la media, varianza y 
desviación típica a partir de esas distribuciones.
5. Uso del modelo binomial para analizar situaciones o 
experimentos, cuyos resultados son dicotómicos: cara o sello, 
éxito o fracaso, o bien cero o uno.
6. Resolución de problemas, en diversos contextos, que implican 
el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.
ÍNdice 6
 uevo Explor@ndo NDICE
Rectas en el plano 
 nidad
 10 Inicio de unidad.
 12 Inicializando.
 14 Geometría cartesiana.
 16 Distancia entre dos puntos.
 18 Punto medio de un segmento.
 19 Magnitudes de figuras planas en el plano cartesiano.
 22 Vectores en el plano.
 23 Homotecia.
 26 Desplazamiento de figuras homotéticas.
 28 Analizando disco.
 30 Pendiente de una recta.
 33 cuación punto-punto de la recta.
 35 cuación punto-pendiente de la recta.
 36 cuación principal de la recta.
 37 cuación general de la recta.
 40 Analizando disco.
 42 Relaciones geométricas entre rectas.
 44 Sistemas de ecuaciones de primer grado 
con dos incógnitas.
 45 Clasificación de un sistema de ecuaciones.
 46 Interpretación de sistemas de ecuaciones.
 48 Planteo y resolución de problemas.
 50 Resolución de problemas.
 52 Historial.
 53 Cargando disco.
 54 Verificando disco.
 59 Cerrar sesión.
Números complejos 
y operatoria2
 nidad
 60 Inicio de unidad.
 62 Inicializando.
 64 Conjuntos numéricos y ecuaciones.
 66 Números complejos.
 68 Igualdad y orden.
 69 Representación de números complejos.
 71 Valor absoluto de un número complejo.
 74 Conjugado de un número complejo.
 76 Analizando disco.
 78 Ponderación de un número complejo.
 80 Adición y sustracción de números complejos.
 82 Multiplicación de números complejos.
 84 División de números complejos.
 86 Números complejos: operaciones y propiedades.
 88 Resolución de problemas.
 90 Historial.
 91 Cargando disco.
 92 Verificando disco.
 97 Cerrar sesión.
Trigonometría y 
números complejos3
 nidad
 98 Inicio de unidad.
 100 Inicializando.
 102 Razones trigonométricas.
 104 Números complejos de argumentos principales 30º, 45º 
o 60º.
 106 Relaciones trigonométricas.
 109 Ángulos mayores que 360º.
 110 Razones trigonométricas de adiciones y sustracciones 
de ángulos.
 112 Razones trigonométricas del doble de un ángulo.
 113 Razones trigonométricas de la mitad de un ángulo.
 114 Tangente de un ángulo.
 115 Arcotangente.
 116 Analizando disco.
 118 Forma trigonométrica de un número complejo.
 120 Potencias de números complejos.
 122 Raíces n-ésimas de un número complejo.
 126 Resolución de problemas.
 128 Historial.
 129 Cargando disco.
 130 Verificando disco.
 135 Cerrar sesión.
 136 Recopilando disco 1.
 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo 7
 uevo Explor@ndo Matemática
Función cuadrática y 
ecuación de segundo grado4
 nidad
 144 Inicio de unidad.
 146 Inicializando.
 148 cuación de segundo grado con una incógnita.
 150 Soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado.
 151 Resolución de ecuaciones de segundo grado 
mediante factorización.
 154 Resolución de ecuaciones de segundo grado por 
completación de cuadrados.
 155 Resolución mediante la fórmula general.
 156 Analizando disco.
 158 Discriminante de una ecuación de segundo grado.
 160 Propiedades de las raíces de una ecuación 
de segundo grado.
 162 Cambio de variable.
 164 Aplicación de ecuaciones de segundo grado.
 166 Analizando disco.
 168 Función cuadrática.
 170 Intersección con los ejes de coordenadas.
 172 Máximo o mínimo de una función cuadrática.
 174 Variación de parámetros.
 178 Modelamiento de situaciones relacionadas 
con funciones cuadráticas.
 180 Resolución de problemas.
 182 Historial.
 183 Cargando disco.
 184 Verificando disco.
 189 Cerrar sesión.
Probabilidades
 nidad
 190 Inicio de unidad.
 192 Inicializando.
 194 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
 196 Gráfico de una función de probabilidad.
 198 Función de distribución.
 200 Gráfico de una función de distribución.
 202 Analizando disco.
 204 Valor esperado de una variable aleatoria discreta.
 206 Varianza y desviación típica o estándar de una variable 
aleatoria discreta.
 210 Simulación de experimentos aleatorios.
 212 Analizando disco.
 214 Probabilidad condicional.
 216 ventos independientes.
 217 Probabilidad de la intersección.
 220 Distribución binomial.
 221 Función de probabilidad de una distribución binomial.
 224 Resolución de problemas.
 226 Historial.
 227 Cargando disco.
 228 Verificando disco.
 233 Cerrar sesión.
 234 Recopilando disco 2.
 
Para RABAR
Cápsula de síntesis y formalización 
de contenidos conceptuales y 
procedimentales.
Puedes revisar los avances obtenidos en el 
trabajo de la unidad a través de los indicadores 
de logro de tus aprendizajes en i estado.
Mi ESTADO
exploraNdo i texto 8
Actividad de mayor grado de dificultad 
o profundización del contenido o tarea.
 esafíate
Orientación específica en la 
resolución de alguna tarea.
Paso a paso
coNografÍaI
Explorando mi Texto
Menu de inicio
Para conocer los principales contenidos que vas a estudiar en la 
unidad, las metas de aprendizajes asociadas a ellos y las páginas 
donde se encuentran.
Inicializando 
( valuación inicial)
Para diagnosticar el dominio de conceptos previos, necesarios 
para instalar los contenidos de la unidad. Incluye una sección de 
autoevaluación denominada Mi stado.
Contenido
Para desarrollar los contenidos en profundidad. stos se complementan 
con las secciones: Para Grabar, Ayuda, Ampliando Memoria, Desafíate, 
Paso a Paso y Advertencia.
Resolución de problemas
Para desarrollar el trabajo de habilidades. n ellas se propone una 
estrategia de resolución de problemas, explicitando la habilidad 
considerada. Finalmente, se plantea una serie de problemas para que el 
estudiante practique.
 
 uevo Explor@ndo Matemática
Información cuyo objetivo es que 
el estudiante evite cometer errores 
frecuentes relacionados con un tipo de 
tarea o contenido.
AYUDA
Cápsula que aporta información para 
realizar una actividad determinada.
Ampliando
MEMORIA
Información adicional cuyo objetivo es 
complementar el contendo entregado.
Para que ingreses a esta página web, 
en la que encontrarás más recursos 
que reforzarán y ampliarán tus 
conocimientos.
nuevoexplorando.edicionessm.cl
9 ate ática 3 edio Nuevo explor@Ndo
Advertencia
Analizando disco y Verificando disco 
( valuación de proceso y final)
Para evaluar los contenidos y habilidades trabajados hasta ese 
momento en la unidad. Constande preguntas con alternativas y de 
desarrollo, y consideran la sección de autoevaluación Mi stado.
Historial
(Síntesis)
Para representar, en un 
organizador gráfico, los 
contenidos vistos en la unidad.
Cerrar sesión
Para conocer el nivel de logro alcanzado en la 
evaluación final y un modelo para autoevaluar el 
rendimiento logrado a lo largo de la unidad.
Cargando disco
(Síntesis)
Para mostrar cómo resolver 
preguntas de suficiencia de 
datos, justificando paso a paso 
cada opción.
Recopilando disco
( valuación semestral)
Para evaluar integradamente con preguntas de alternativas contenidos 
que se han visto hasta ese momento en el Texto.
 ectas 
en el plano
Unidad
 
 
 1
3 4 ENÚ e inicio
 Qué aprenderás? Para qué? Dónde? 
 álculo de distancia entre puntos del plano y 
magnitudes lineales.
Analizar algebraicamente elementos geométricos. Páginas 14 a 21.
Vectores y homotecia de figuras planas. Analizar relaciones entre figuras geométricas utilizando la geometría 
cartesiana.
Páginas 22 a 29.
Gráfico de rectas en el plano y análisis de 
sistemas de ecuaciones.
Establecer la relación entre la representación gráfica de rectas en el plano 
cartesiano y los sistemas de ecuaciones.
Páginas 30 a 39.
uNidad 1 rectas eN el plaNo 0
A
B
R
IR
 s
e
si
ó
n
 43 5
 uevoexplora do.edicio essm.cl
 huquicamata es la mina de cobre a rajo abierto 
más grande del mundo, y está ubicada en la Región 
de Antofagasta, 15 kilómetros al norte de alama. 
Aproximadamente, tiene 1.300 m de profundidad.
Para transportar el mineral se utilizan enormes 
camiones de más de 7 metros de altura, que permiten 
cargar hasta 22.000 kilogramos de cobre. Un camión 
de ese tamaño y con esa carga no puede recorrer 
calles con mucha pendiente, por lo que el tránsito se 
realiza por un camino que rodea la mina varias veces. 
Así, el trayecto se efectúa en vías con poca pendiente, 
evitando las subidas empinadas y suavizando el 
desplazamiento de los camiones, por lo que se tardan 
más tiempo en salir de la mina.
 onsiderando la información, responde:
1. Explica lo que entiendes por "calles con mucha 
pendiente".
2. ¿A qué crees que se refiere el texto al señalar 
que una menor pendiente permite suavizar el 
desplazamiento de los camiones?
3. ¿Qué relación existe entre la longitud y la 
pendiente de los caminos de la mina?
4. ¿Qué otras situaciones conoces que puedes 
asociar al concepto de pendiente? ¿Tienen el 
mismo significado que el dado en el texto?
 
 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo 
 icializa do 
Evaluació i icial
 ee atentamente y luego resuelve los ejercicios.
1. epresenta en el plano cartesiano. 
a. Cuadrilátero ABCD de vértices: 
A(–5, 4), B(–3, 3), C(–3, 1) y D(–5, 0).
b. Triángulo EFG de vértices: 
E(–5, –3), F(–4, 0) y G(–1, –1).
c. Hexágono HIJKLM de vértices: 
H(0, 4), I(1, 2), J(3, 1), K(5, 2), L(5, 3) y M(3, 4)
d. Pentágono NÑOPQ de vértices: 
N(1, –1), Ñ(0, –4), O(3, –3), P(4, –2) y Q(2, 0).
2. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a. Triángulo 
rectángulo ABC
b. Cuadrado ABCD c. Rectángulo ABCD d. Triángulo isósceles 
ABC, de base AB
C
A B
 cm 5 cm
D
A
C
B
8 cm
D
A
C
B
10 cm 6 cm
A
C
B
6 cm
4,5 cm
3. Identifica los vectores representados en el plano cartesiano. Luego, exprésalos como par ordenado y 
calcula su magnitud. Considera O el origen del plano. 
a. OA
 � 
: ; OA
 � 
 = = 
b. OB
 � 
: ; OB
 � 
 = = 
c. OC
 � 
: ; OC
 � 
 = = 
d. OD
 � 
: ; OD
 � 
 = = 
e. OE
 � 
: ; OE
 � 
 = = 
f. OF
 � 
: ; OF
 � 
 = = 
g. OG
 � 
: ; OG
 � 
 = = 
4. esuelve las siguientes ecuaciones:
a. x
2
+
3
4
= x –
1
2
b. x + 3
2
–1= 2 –
2 – 3x
4
c. x + 3 + 3 = x x +7 – 3x
2
 ) )
5. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones, si p = –2, q = 3 y r = –3:
a. 
p – 3q
r
– 4rp – 2r2 b. 
r – p q – r
r + p – q
+ 4pq
2 2 2
 ) )
c. 
q – r
p
+
q
p – r
2 3
–2
–3
–3
 )
 
1
2
3
4
5
X
Y
–4 2–5 1–3 3–2 4 5–1
–2
–4
–3
–5
–1
1–1
–1
–2
–3
–2–3 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
X
Y
B
D
C
E
A
G F
 
uNidad 1 rectas eN el plaNo 2
42 3 51
En estas actividades:
 ¿Qué te resultó más fácil? ¿Por 
qué?
 ¿Qué te resultó más difícil? 
¿Por qué?
 ¿Reconoces los contenidos 
trabajados?
 ¿ uál de esos contenidos 
crees que debes repasar antes 
de continuar?
Mi ESTADO
6. Analiza las siguientes figuras. Para construir la figura 1 se utilizó un pentágono 
regular y cinco triángulos isósceles congruentes, con los datos dados. Considera 
que el lado de cada cuadrado de la cuadrícula es de 1 cm de longitud.
Área: 0,66 cm2
Perímetro: 4 cm
Área: 1,72 cm2
Perímetro: 5 cm
Figura 1
Figura 2
a. Calcula el perímetro y el área de la figura 1.
b. Determina la razón de semejanza entre las figuras 1 y 2.
c. A partir de la razón de semejanza, calcula el perímetro y el área de la figura 2.
d. Traza las rectas que pasan por los vértices de la figura 1 y sus correspondientes de 
la figura 2. Extiéndelas lo que sea necesario y determina su punto de intersección.
e. Sea P el punto de intersección de las rectas anteriores, A un vértice cualquiera 
de la figura 1 y A' uno de la figura 2, tal que A y A' pertenezcan a la misma recta. 
Aproxima el valor de las razones PA : AA' y PA : PA'. ¿Qué puedes concluir?
 3 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Amplian o
MEMORIA
Antiguamente, el idioma en que se 
escribían los textos de ciencias era 
el latín, por lo que René Descartes 
era conocido como enatus 
Cartesius. Por esta razón se dice 
 artesiano y no des artesiano.
El lano cartesiano está determinado 
por dos rectas perpendiculares llamadas 
ejes de coordenadas, teniendo así cuatro 
cuadrantes, que se nombran en sentido 
antihorario, como se muestra en la figura.
 Uno de los ejes recibe el nombre de eje X 
o de las abscisas.
 El otro eje recibe el nombre de eje Y o eje 
de las ordenadas.
 El punto de intersección (O) de los ejes 
recibe el nombre de Origen y sus coor-
denadas son (0, 0). 
X
Y
 
1
2
3
4
–1
–1
4–2
–2
3–3
–3
2–4
–4
1
Cuarto 
cuadrante
Primer 
cuadrante
Tercer 
cuadrante
Segundo
cuadrante
P
Las coordenadas de cada punto se 
representan por el par ordenado (x, y), 
donde x (primera coordenada) corresponde 
a la abscisa, e y (segunda coordenada), 
a la ordenada. Así, en el dibujo está 
representado el punto P(4, –2).
Para GRABAR
 eometría cartesiana
René Descartes (1596-1650) fue un matemático, físico y filósofo francés. Revolucionó el 
estudio de la Geometría al introducir un sistema de coordenadas que se puede representar 
en el ya conocido plano cartesiano, en donde cada punto, según su posición, relaciona dos 
números. 
 . Identifica las coordenadas de los vértices de los polígonos dibujados y escríbelas en 
la tabla.
2
3
4
5
6
7
8
9
1 
X
Y
 1–1
–1
–2
–3
–4
–5
–2–3–4–5–6–7–8 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11
A
B C
D
E F
G
H
J
I
Ñ
O P
N
M
K
L
Q R
S
 unto (x, y) unto (x, y) unto (x, y) unto (x, y) unto (x, y)
A E I M P
B F J N Q
C G K Ñ R
D H L O S
uNidad 1 rectas eN el plaNo 4
42 3 51
2. Analiza las siguientes tablas. Luego, complétalas. Para ello, reemplaza en cada regla 
de formación el valor dado de x.
y = 2x + 2
x –2 –1 0 1
y
y = –x + 3
x –1 0 1 2
y
a. Representa en el plano cartesiano los puntos P(x, y), que se forman según 
los valores de cada tabla. Luego, une los puntos de cada tabla con una 
línea.
b. ¿Qué rectas se forman?
c. Las rectas mencionadas, ¿se intersecan? De ser así, ¿en qué punto?
3. Analiza el siguiente gráfico. Luego, completa la tabla y responde.
 unto A B C D E F G
(x, y)
a. ¿Qué relación existe entre las abscisas y las ordenadas de los puntos 
ubicados sobre la línea de color azul?
b. ¿Cuál es la ordenada de los puntos ubicados sobre la línea de color verde?
c. ¿Qué caracteriza a los puntos de la línea de color rojo?
4. Analiza si las siguientes proposiciones, con respecto al plano cartesiano, son 
verdaderas ofalsas. Luego, escribe V o F según corresponda.
a. Los puntos P(1, 0), Q(0, 1) y O(0, 0) corresponden a los vértices de un 
triángulo equilátero.
b. Si la ordenada de un punto P es mayor que cero y la abscisa es menor que 
cero, entonces P está en el tercer cuadrante.
c. El punto R(x, y) está sobre el eje Y, si y solo si, y = 0.
d. Si T(x, y) está en el primer cuadrante, entonces T'(x, –y) está en el tercer 
cuadrante.
e. Al unir todos los puntos del plano, cuyas abscisas sean iguales que sus 
ordenadas, se obtiene una línea recta que pasa por el origen.
f. Dos puntos son simétricos respecto del origen si sus abscisas y ordenadas 
son, respectivamente, inversos aditivos.
 
1 2 3 4 5 6
Y
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–2–3–4–5–6
1
2
3
4
5
6
X–1
 
1 2 3 4 5 6
Y
–1
–2
–3
D E F
G
A
B
C
–4
–5
–6
–2–3–4–5–6
1
2
3
4
5
6
X–1
 5 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Distancia entre dos puntos
Observa los puntos P(6, 5) y Q(1, 1) del plano cartesiano. Si se considera el triángulo rectán-
gulo PQR y el teorema de Pitágoras, es posible determinar la distancia entre P y Q, denota-
da como d(P, Q). Observa:
Y
X
4
5
1
1
–1
–1
–2
–2
2
2
3
4
5
6
3 4 5 6 7
d(P
, Q
)
RQ
P
 
 ) ) )
 ) )
d P, Q = d Q, R + d R, P
= 6 – 1 + 5 – 1
= 5 + 4
= 25 + 16
= 41
2 2 2
2 2
2 2
Luego, como la distancia debe ser 
mayor o igual a cero, se calcula la raíz 
cuadrada de 41, obteniendo:
 )d P, Q = 41 ≈ 6,4
Sean P(x
1
, y
1
) y Q(x
2
, y
2
) dos puntos del 
plano cartesiano. La distancia entre 
ellos, denotada por d(P, Q), se calcula 
considerando un triángulo rectángulo y 
aplicando el teorema de Pitágoras, como 
se muestra:
y
2
y
 
x
 
x
2
d(P,
 Q)
y
2 
– y
 
x
2 
– x
 
Q(x
2
, y
2
)
P(x
 
, y
 
)
X
Y
 ) ) )d P, Q = x – x + y – y2
2 2
1 2 1
Por ejemplo, para calcular la distancia en el 
plano cartesiano entre los puntos A(1, –6) y 
B(–5, 2), si x
1
 = 1, y
1
 = –6, x
2
 = –5 e y
2
 = 2, se 
tiene lo siguiente:
 ) ) ) )
 )
d A, B = –5 – 1 + 2 – – 6
= –6 + 8
= 36 + 64
= 100
= 10
2
2 2
Por lo tanto, d(A, B) = 10 unidades del plano 
cartesiano. Observa que (–10)2 = 100; sin 
embargo, la distancia se representa con 
valores mayores o iguales a cero. 
Para GRABAR
 . Calcula la distancia entre los siguientes puntos:
a. A(6, 3) y B(–1, 2)
b. E
3
2
, – 4
 



 y F(–2, –2)
c. I 9 ,16 y J 10, 400 ) )
d. C
1
2
,
5
2
y D 1, –
7
2
 



 



e. G (–1, 3) y H (1, –3)
f. ) )K 2 3, 5 y L 3 3, 5
Amplian o
MEMORIA
Teorema de Pitágoras
Para todo triángulo rectángulo ABC:
B
AC
a c
b
se cumple la siguiente igualdad:
a2 + b2 = c2
Amplian o
MEMORIA
La distancia siempre es mayor o 
igual a cero. Por lo tanto:
d(A, B) = d(B, A)
Además, como en la fórmula para 
calcular distancias las diferencias 
están al cuadrado, resultará lo 
mismo calcular (x
2
 – x
1
)2 que 
(x
1
 – x
2
)2.
Al momento de calcular distancias, 
debes tener cuidado en no 
considerar, por ejemplo, P(x
1
, y
2
) y 
Q(x
2
, y
1
) o P(x
2
, y
1
) y Q(x
1
, y
2
).
Advertencia
uNidad 1 rectas eN el plaNo 6
42 3 51
Amplian o
MEMORIA
El perímetro de un polígono 
corresponde a la longitud de 
su contorno. Se puede calcular 
sumando las longitudes de sus 
lados.
2. Calcula las distancias que se piden considerando los puntos dados.
Y
X1
1
 –1
–1
–2–3–6 –5 –4
–2
–3
–4
–5
–6
2
2
3
4
5
6
3 4 5 6
E
O
H
G
C
F
D
A
B
a. d(A, G) = 
b. d(B, C) = 
c. d(E, F) = 
d. d(O, D) = 
e. d(E, C) = 
f. d(H, C) = 
g. d(E, B) = 
3. esuelve los siguientes problemas:
a. ¿Cuál es el valor de x si d(B, A) = 10, con A(x, 5) y B(0, 5)?
b. ¿Cuál es el valor de x – y si d(P, Q) = 5, con Q(x, 2) y P(y, –1)?
c. ¿Cuál es el valor de x si d(P, Q) = 2 , con P(x, –10) y Q(x, 2x – 10)?
d. Comprueba que el triángulo de vértices A(3, 8), B(–11, 3) y C(–8, –2) es isósceles.
4. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos:
Y
X
–1
6
A
C
B
E
F
G
H L
I
D
5
2
1
 1–1–2–3–6–7 –5 –4 2 3 4 5 6 7J
K
 7 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Punto medio de un segmento
Observa los puntos P(x
1
, y
1
), Q(x
2
, y
2
) y R(x
2
, y
1
). Al 
unirlos, se forma un triángulo rectángulo de cate-
tos R y QR, paralelos a los ejes de coordenadas. 
Además, 
PQ
, 
PR
 y 
QR
 son puntos medios de los 
segmentos Q, R y QR, respectivamente.
Como los puntos P y tienen la misma ordenada (y
1
), 
la distancia entre ellos se puede calcular resolviendo 
la sustracción entre sus abscisas, es decir, PR = x
2
 – x
1
.
Luego:
 R = x – x
 R
2
=
x – x
2
2 1
2 1 
Al sumar este valor con el de la abscisa del punto P se obtiene la abscisa del punto medio 
del segmento PR ( 
PR
), es decir, +
 – 
2
=
 + 
2
1
2 1 1 2 .
De manera similar, es posible obtener que la ordenada del punto medio del segmento 
QR ( 
QR
), está dada por 
 + 
2
1 2 . De esta manera, es posible concluir que el punto medio 
del segmento PQ está dado por:
 
x + x
2
,
y + y
2PQ
1 2 1 2 



Sean P(x
1
, y
1
) y Q(x
2
, y
2
) dos puntos del 
plano cartesiano. Las coordenadas de 
PQ
, 
 unto medio del segmento PQ, se calculan 
como:
 
x + x
2
,
y + y
2PQ
1 2 1 2 



Por ejemplo, el punto medio del segmento 
AB, tal que A(–2, ) y B( , 4), se calcula como:
 
–2+ 3
2
,
3+ 4
2
= 
1
2
,
7
2
AB AB
 



 



Para GRABAR
 . Calcula las coordenadas del punto medio entre los siguientes puntos:
a. A(4, 4) y B(6, –6) 
M
AB = 
b. H(a, –b) y I(2a, 2b)
M
HI = 
2. esuelve los siguientes problemas:
a. ¿En qué punto se intersecan las diagonales de un rectángulo de vértices A(–3, 1), 
B(–3, –2), C(2, –2) y D(2, 1)?
b. Sean los puntos C(2, 3) y D(4, –3). Si D es el punto medio del segmento CE, ¿cuáles 
son las coordenadas del punto E?
c. M y N son los puntos medios de los segmentos AB y CD, respectivamente. Si A(1, 2), 
B(5, 8), C(–2 ,–1) y D(3, 4), calcula la distancia entre M y N.
Amplian o
MEMORIA
Ya que las líneas segmentadas son 
paralelas entre sí, es posible aplicar 
el teorema de Thales. Así, se verifica 
que, si 
PR
 y 
QR
 son puntos medios, 
 
PQ
 también lo es.
Para el punto medio del segmento 
QR , escribiremos 
QR
 o bien M
PR
. 
AYUDA
Y
X
y
2
Q(x
2
, y
2
)
R(x
2
, y
1
)P(x1, y1)
y
1
x
1
x
2
 
PQ
 
PR
 
QR
uNidad 1 rectas eN el plaNo 8
42 3 51
Magnitudes de figuras planas 
en el plano cartesiano
Observa el triángulo representado en el plano cartesiano. Sus vértices son D(3, 6), E(1, 2) 
y F(5, 2). Entonces, su perímetro P, en unidades del plano cartesiano, se puede calcular 
como:
Y
X
–1
7
6
5
4
3
2
1
 –1 1 2 3 4 5 6 7
E G
D
F
 = d(D, E) + d(E, F) + d(F,D)
= 20 + 4 + 20
= 2 20 + 4
 ≈12,94
Como puedes observar, el triángulo DEF 
es isósceles de base F. El punto G(3, 2) 
es el punto medio de la base, entonces la 
altura h del triángulo es:
h = d(D, G) = 4
Luego, el área A del triángulo DEF en 
unidades cuadradas del plano cartesiano 
se puede calcular como:
 =
EF h
2
=
4 4
2
=
16
2
= 8
Para calcular el perímetro P, el área A u otra magnitud de algún polígono, puedes 
representarlo en el plano cartesiano. Luego, según lo que se deba calcular, será necesario:
 Identificar las coordenadas de los vértices del polígono representado en el plano.
 Aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos.
 Determinar el punto medio de un segmento.
Por ejemplo, para calcular la longitud de la transversal de gravedad (t
C
) del triángulo de vértices 
A(–2, –2), B( , 1) y C(1, 5) se determina primero el punto medio entre A y B:
 2+
2
,
 2 +
2
1
2
,
1
2
M
3 1
=M 
AB AB
 



 



Luego:
) = 1–
1
2
+ 5 +
1
2
=
1
2
+
11
2
=
122
4
≈ 5,52
d(C, M
AB
2 2 2 2
 



 



 



 



Entonces, la longitud de t
C
 es, aproximadamente, 
5,52 unidades de longitud.
Y
X
6
5
4
3
–2
–2
–3
–3 1 2 43
A
B
C
t
C
Para GRABAR
Recuerda que la transversal de 
gravedadserá considerada como 
el segmento que une un vértice 
del triángulo con el punto medio 
del lado opuesto a dicho vértice. 
Por lo tanto, todo triángulo tiene 3 
transversales de gravedad. 
Además, las transversales de 
gravedad se intersecan en un punto 
llamado centro de gravedad.
AYUDA
 9 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
 . Analiza el siguiente enunciado y responde:
Dado un triángulo de vértices A(–4, 1), B(2, –2) y C(3, 1).
a. ¿Cuál es su área?
b. ¿Cuál es la altura respecto a su vértice A?
c. ¿Cuál es su perímetro?
d. Calcula la distancia entre el origen del plano cartesiano y cada uno de los vértices 
que representan al triángulo ABC.
2. Analiza el siguiente enunciado y responde:
Sea el cuadrilátero de vértices A(–5, 2), B(–3, –1), C(3, 3) y D(1, 6).
a. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?
b. Considerando la pregunta anterior, determina una fórmula para calcular el área de 
cualquier cuadrilátero, dadas las coordenadas de sus vértices.
 
uNidad 1 rectas eN el plaNo 20
42 3 51
3. Calcula la longitud de los lados de los siguientes pares de figuras. Luego, responde.
a. 
Y
X
6
5
4
–1
 1–5 –4 –3 –2 –1–6 2 43
C
B
A
F
E
D
ABC DEF
AB = DE =
BC = EF =
CA = FD =
¿Existe alguna relación entre los 
perímetros de los triángulos? 
Justifica.
b. 
Y
–3
–2
–1
 –5 –2 –1 5
C
D
A
F E
G
H
B
X
ABCD EFGH
AB = EF=
BC = FG =
CD = GH =
DA = HE =
¿Existe alguna relación entre los 
perímetros de los cuadriláteros? 
Justifica.
4. Analiza las siguientes figuras. Luego, completa la tabla. Para esto, dibuja una figura 
semejante a partir del punto dado, que corresponderá a uno de sus vértices, y la razón 
de semejanza dada en la tabla.
a. Y
X
5
4
3
2
1
–2
–1
 1–4 –3 –2 –1 2 4 5 63
B
B'
C
A
Razón de semejanza k = 2
 untos untos
A( , ) A'( , )
B( , ) B'( , )
C( , ) C'( , )
b. Y
X
3
2
1
–3
–4
–2
–1
 –5 –4 –3 –2 –1 5
A
E
D
B
A'
C
Razón de semejanza k = 0,5
 untos untos
A( , ) A'( , )
B( , ) B'( , )
C( , ) C'( , )
D( , ) D'( , )
E( , ) E'( , )
Dos figuras son semejantes 
si tienen la misma forma 
y las longitudes de sus 
lados correspondientes son 
proporcionales.
La razón de semejanza 
es el cociente entre las 
longitudes de un par de lados 
correspondientes.
AYUDA
2 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Vectores en el plano
En Física, los vectores son utilizados para representar magnitudes que para ser definidas 
requieren de un módulo, una dirección y un sentido; por ejemplo, la velocidad, la fuerza y 
la aceleración. Geométricamente, un vector es representado por una flecha cuyos extre-
mos pueden corresponder, entre otros, a los puntos de origen y final de desplazamiento 
de una partícula.
Por otra parte, en Matemática, el concepto de vector en el plano está asociado a un par 
ordenado de números reales, que geométricamente también es representado por una 
flecha, pero cuyo extremo inicial es el origen del plano cartesiano. 
Si observas los vectores en el siguiente plano cartesiano, puedes ver que todos ellos tienen 
la misma dirección, pero además, es posible establecer relaciones entre sus módulos.
Y
X1
1
 –1
–1
–2–3–6 –5 –4
–2
–3
–4
–5
–6
2
2
3
4
5
6
 
 
3 4 5 6
w
 �
u
 
s
 
t
 
 =
1
4
w
 � �
 
 = 2 w
 � �
 =
1
2
w
 � � 
 =
3
2
w
 � � 
Entre otras posibles relaciones.
Cuando ocurra lo anterior, es decir, cuando un vector tenga la misma dirección que otro, 
diremos que uno es la ponderación del otro. Por ejemplo, en los vectores representados 
anteriormente se tiene que , t, u y v
 
 son ponderaciones de w
 �
. Además, las relaciones de 
magnitudes dadas anteriormente serán denotadas por:
 = –
1
4
w t = –2w u=
1
2
w v =
3
2
w
 � � � � 
Al onderar un vector = (a, b)
 
 por un número real k, se obtiene • = w = (k • a, k • b)
 � 
, que 
es un vector cuya dirección es igual a la de 
 
, y su módulo está dado por • 
 
.
Para GRABAR
 . Calcula las siguientes ponderaciones de los vectores dados. Luego, responde.
a. • (2, 4) = 
b. 
2
3
 • (–6, 1) = 
c. –2 • (1, – ) = 
d. 1,5 • (– , 9) = 
e. 
4
 • (4, 2) = 
f. – • 
 
9
, –1
 



 = 
¿Cuáles ponderaciones aumentaron el módulo del vector?
Amplian o
MEMORIA
Un vector, dadas las coordenadas 
de sus puntos inicial y final, puede 
ser denotado por dos letras mayús-
culas bajo una flecha, por ejemplo, 
por B
 � 
, donde A y B son dichos 
puntos; sin embargo, al ser el punto 
inicial de cada vector el origen del 
plano cartesiano, un vector será 
denotado por solo una letra minús-
cula bajo una flecha. Por ejemplo:
Y
X
b
 a
 
 
 a, b)v
 
=
uNidad 1 rectas eN el plaNo 22
42 3 51
Homotecia
Observa el triángulo ABC. Se fija un origen O, y considerando los vértices de la figura como 
puntos finales, se dibujan los vectores OA
 � 
, OB
 � 
 y OC
 � 
:
B
A
C B
A
O
C
A continuación, se pondera cada vector por k = 2, generando A', B' y C', que determinan el 
triángulo A'B'C'.
B
A
O
C
C'
A'
B'
B
A
O
C
C'
A'
B'
De esta forma, se construyó un triángulo A'B'C' semejante al triángulo ABC de razón k = 2.
Se llama homotecia de centro en el punto O y razón k – {0} a la transformación que 
asocia a un punto P del plano un punto P' tal que 
 � � 
 P'= • P. La homotecia es denominada 
directa si k > 0; e inversa si k < 0. Además:
 El punto P' es el homotético de P según la homotecia dada.
 Los puntos P, P' y O son colineales (pertenecen a una misma recta).
Una figura M' es la homotética de una figura M si todo punto de M tiene un homotético en 
M' según la misma homotecia. Para ello, se puede aplicar la homotecia sobre los vértices de 
la figura M y luego unirlos.
Ejem lo 1: Dados los puntos O y A en el 
plano y k = : 
A
O A
 �
La homotecia de centro en O y k = asocia 
al punto A un punto A', tal que A' = • A
 � � 
:
A'
A
O A
 �
 A'
 � 
Así, el punto A' es el homotético del 
punto A según una homotecia de centro en 
O y razón .
Ejem lo 2: Las figuras M'' y M' son homotéticas 
de la figura M según la homotecia de centro 
en O y razón k = 2 y k = –1, respectivamente, 
ya que se construyeron a partir de los vértices 
homotéticos de M.
A''
C''B''
B'C'
A'
O
B
A
M''
M'
M
C
Es decir:
 OA'' = 2OA; OB'' = 2OB; OC'' = 2OC
 � � � � � � 
 OA' = –OA; OB' = –OB; OC' = –OC
 � � � � � � 
Para GRABAR
23 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
 . Calcula el punto homotético de cada punto dado, con centro en el origen y razón k. 
Luego, represéntalo en el mismo gráfico.
a. A(–2, 2), k = 2; A’( , )
b. G(–3, 1), k = 0,5; G’( , )
c. B(–2, –1), k = –0,5; B’( , )
d. E(1, –2), k = –2; E’( , )
e. D(2, 0), k = 1,5; D’( , )
f. F(2, 2), k = –1; F’( , )
g. H(0, 3), k = –0,5; H’( , )
h. C(1, 4), k = –1; C’( , )
2. Analiza las siguientes figuras. Luego, construye la figura homotética según el 
punto P y la razón dados.
a. Homotecia de razón k = 2. 
Y
X
5
4
3
2
1
–2
–3
–1
 1–3 –2 –1 2 4 53
A P
B
C
b. Homotecia de razón k = –0,5.
Y
X
4
3
2
1
–2
–1
 1–4–5–6–7 –3 –2 –1
P
D
A
B
C
–3
3. Analiza las homotecias, determina las coordenadas del centro y calcula la razón de 
homotecia. Para esto, puedes trazar rectas que contengan los vértices homotéticos.
a. 
Y
7
6
5
1
–1
X 1 2 3–3–4–5–6–7 –2 –1
C'
C
A
B
A'
B'
 
b. 
–3
Y
2
5
4
3
–3
–1
–2
X 41 2 3 5 6–4
A
D
B
C
A'
B' D'
C'
Y
X
4
3
2
1
–2
–3
–4
–1
 1–4 –3 –2 –1 2 43
H
F
D
E
B
G
A
C
uNidad 1 rectas eN el plaNo 24
42 3 51
4. Analiza la siguiente construcción. Luego, resuelve.
Primero, se tiene un triángulo ABC con su centro de gravedad. Luego se dibujó un 
triángulo A'B'C' homotético con el centro de gravedad como centro de homotecia.
B
C
E
A
D
F
G
E
B
C
A
D
F
G
B'
C'
A'
a. A partir de los siguientes triángulos, construye triángulos homotéticos para cada 
uno según una homotecia, con centro en su centro de gravedad, de razón 0,5.
B
C
DAG
E F H I
b. Considerando una homotecia de razón 1,5 y centro en los incentros, construye 
triángulos homotéticos para cada uno de los siguientes triángulos dados.
A G
F
B HDC IE
5. Calcula los perímetros de los siguientes cuadrados según los datos entregados, 
considerando que son figuras homotéticas de centro en O.
 OB = 4 cm.
 La razón de homotecia entre EFGH e IJKL es 1,8.
 FJ = 6 cm.
A
2 cm
O
E
I
F
J
B
D
H
L
G
K
C
25 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Desplazamiento de figuras homotéticas
Uno de los programas que permiten construir y analizar homotecias es GeoGebra. Este 
programa es de libre acceso, y lo puedes descargar e instalar con fines educativos en tu 
equipo o en tu colegio. A continuación se utilizará para construir una homotecia:
Paso 1: Para crear un polígono 
utilizamos la herramienta .
Para ello, haz clic sobre el área de 
trabajo, definiendo en orden los 
vértices del polígono que quieras 
construir. Para terminar, haz clic 
nuevamente sobre el primer vértice.
Paso 4: Se abrirá una ventana en la que 
debes ingresar la razón de homotecia.
Escribe el número correspondiente y 
haz clic en OK. 
Paso 2: La herramienta permite 
dibujar un punto, que utilizaremos 
como centro de homotecia.
Para esto, haz clic en la ubicación 
donde desees que esté el punto.
Paso 5: Haz clic en Vista y luego en 
Vista Algebrai a.
Se despliega una barra al lado 
izquierdo que te permite ver las 
coordenadas de los vértices de la 
figura inicial y de la figura homotética.
Paso 3: La herramienta te permite 
construir una homotecia a partir de un 
centro y una razón.
Para ello, haz clic sobre la figura a la 
que quieres aplicar la homotecia, y 
luego sobre el punto que se usará 
como centro de homotecia.
uNidad 1 rectas eN el plaNo 26
42 3 51
 . Determina, utilizando GeoGebra, las coordenadas de los vértices de la figura que 
resulta al aplicar la homotecia de razón k y centro P a cada figura.
a. k = 1,5, P(–5, 1). Triángulo de vértices A(–3, –3), B(–1, –2) y C(0, –4).
b. k = –0,5, P(1, 1). Rectángulo de vértices A(6, 6), B(3, 6), C(3, 2) y D(6, 2).
c. k = 2, P(4, 3). Pentágono regular en el que un par de vértices consecutivos son 
A(3, –2) y B(5, –2).
d. k = –1, P(2, 5). Polígono de vértices A(2, 7), B(1, 6), C(2, 3) y D(3, 6).
2. Analiza la siguiente construcción en GeoGebra. Luego, realiza las actividades.
a. Mueve el centro de homotecia F. Para esto, haz clic sobre el punto F y arrástralo. 
¿Qué ocurre con la forma y el tamaño del polígono A'B'C'D'E'?
b. Mueve el vértice A. ¿Qué ocurre con la figura homotética?
Para cambiar la razón de homotecia, haz clic en la figura homotética, de modo 
que quede seleccionada. Luego, con el botón derecho selecciona propiedades 
del objeto. Verás la siguiente ventana:
En el ejemplo, el valor –1,5 es la razón de homotecia. Si deseas cambiar el valor, 
escribe uno nuevo y repite el proceso para cada vértice.
c. Cambia la razón de homotecia anterior por 2; 1; 0,5; 1; –0,5 y –1. ¿Qué puedes 
observar?
27 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
 aliza do disco 
Evaluació de proceso
I. ee atentamente y marca la alternativa correcta.
Plano cartesiano
1. A partir del siguiente gráfico, se puede afirmar que:
–3 –2 1 2 3 
3
2
1
–1
–2
–3
–1
Y
X
D
CB
A
A. A y D tienen iguales abscisas.
B. La ordenada y la abscisa de A son iguales.
C. C y D tienen iguales ordenadas.
D. B y C tienen iguales ordenadas.
E. Al multiplicar por 2 las coordenadas de B, se 
obtienen las de D.
2. ¿Cuál de los siguientes puntos tiene ordenada mayor 
que cero y abscisa menor que cero?
A. P
B. Q
C. R
D. S
E. T
3. Si el punto P(a, b) se ubica en el tercer cuadrante, 
¿en qué cuadrante se ubica el punto Q(a, –b)?
A. En el primer cuadrante.
B. En el segundo cuadrante.
C. En el tercer cuadrante.
D. En el cuarto cuadrante.
E. No se puede determinar.
4. Sean A(x, y) y B(–x, –y) dos puntos del plano 
cartesiano. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones 
es (son) verdadera(s)?
I. A pertenece al primer cuadrante y B al tercero.
II. A y B están en cuadrantes distintos.
III. A y B son simétricos con respecto al origen.
A. Solo I
B. Solo I y II
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
 
Y
S
X
Q R
P
T
Distancia entre dos puntos, punto medio y magnitudes
5. ¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra más 
cerca del origen del plano cartesiano?
A. P(3, 3)
B. Q(–4, 2)
C. R(5, 1)
D. S(6, 0)
E. T(–2, 4)
6. especto de los puntos A(3, –3) y B(0, 3), ¿cuál(es) de 
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I. Están a la misma distancia de O(0, 0).
II. El punto medio de B es 
AB
(1,5; 0).
III. d(A, B) = 9 5
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. Solo I y II
E. Solo II y III
7. Si los puntos A y B equidistan del origen O del plano 
cartesiano, entonces siempre es verdadero que:
A. d(A, O) < d(A, B).
B. El punto medio de B es O.
C. d(A, O) + d(B, O) d(A, B).
D. El triángulo AOB es equilátero.
E. A y B están en cuadrantes distintos.
8. Si 
AB
(–2, 1) y A(2, 3), entonces las coordenadas del 
punto B son:
A. (0, 2)
B. (0, 4)
C. (4, 1)
D. (–2, 5)
E. (–6, –1)
9. ¿Cuál es la longitud, en unidades del plano 
cartesiano, de la transversal de gravedad D del 
triángulo ABC? 
A. 2,25
B. 3
C. 4
D. 21,25
E. 21,25
X
A
C
D B
Y
1 2 3 4 5 6 7
5
4
3
2
1
 
uNidad 1 rectas eN el plaNo 28
42 3 51
10. especto de los puntos A(1, 1) y B(5, 5), ¿cuál(es) de 
las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I. d(A, B) = 4 unidades del plano cartesiano.
II. El punto medio de B es 
AB
(3, 3).
III. d(O, B) – d(O, A) = 4 unidades del plano.
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y II
D. Solo I y III
E. I, II y III
11. El perímetro, en unidades del plano cartesiano, del 
triángulo ABC es: 
X
B
C
A
Y
1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
 
A. 10
B. 10
C. 14
D. 0 + 3 + 7
E. 40
Vectores y homotecia
12. De los siguientes vectores, 
¿cuál(es) tiene(n) el mismo 
módulo que 
 
 (2, –3)?
A. s
 
B. t
 
C. w
 �
D. t
 
 y 
 
E. s
 
, t
 
 y 
 
II. Resuelve los problemas.
13. ¿Cuál es el punto homotético al vértice Q(–3, 2) de 
una figura que se le aplicó una homotecia de centro 
P(–1, 1) y razón 2?
14. El punto P’(8, 2) es el homotético de P(–7, –3) con 
razón –1,5. ¿Cuál es el centro de la homotecia?
15. Marca cuál(es) de las siguientes transformaciones 
podría(n) representar una homotecia:
I. 
II. 
III. 
16. Marca el centro de la siguiente homotecia:
Y
X 
5
4
3
2
1
1–2 –1 2 43
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–3 –2 –1 1 2 3 4
Y
X
 
 
w
 
t
 
v
 
Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, 
según las categorías de desempeño dadas:
1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado.
 Identifiqué y ubiqué puntos en el plano cartesiano.
(Preguntas 1, 2, 3 y 4)
 alculé la distancia entre dos puntos para resolver proble-
mas que involucran punto medio de un segmento y cálculo 
de longitudes.
(Preguntas 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11)
 alculé el módulo de un vector.
(Pregunta 12)
 Apliqué homotecias e identifiqué el centro de una homotecia.
(Preguntas 13, 14, 15 y 16)
Mi ESTADO
29 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Pendiente de una recta
Una recta en el plano cartesiano es posible definirla como un conjunto infinito de puntos, 
tales que si se consideran dos cualesquiera de ellos, la razón entre la diferencia de sus or-
denadas y la diferencia de sus abscisas es constante. Este valor se conoce como pendiente 
de la recta. 
La endiente m de una recta corresponde a la razón 
entre el cambio de la ordenada y el cambio de la 
abscisa. La pendiente de una recta que contiene los 
puntos A(x
1
, y
1
) y B(x
2
, y
2
) se calcula como:
 =
y – y
x – x
; con x ≠ x
AB
2 1
2 1
2 1
 ��
Si x
2
 = x
1
, la recta se llama vertical y la pendiente no 
está definida. 
Y
X
B
A
y
2
y
1
x
1
x
2
y
2
 – y
1
Cambio 
ordenadas
Cambio 
abscisas
x
2
 – x
1
Para GRABAR
 . Analiza la información.Luego, responde.
m < 0 m no está definidam = 0m > 0
Recta oblicua
Y
X
Recta oblicua
Y
X
Recta vertical
Y
X
Recta horizontal
Y
X
Sean A(–1, 1), B(0, 3), C(1, 1), D(1, –1) y E(0, 0).
a. Determina si m = 0, m < 0, m > 0 o si m no está definida.
 
AB
 �� 
DA
 �� EB
 ��
 
AC
 �� 
BC
 �� 
AE
 ��
b. Dibuja en el plano cartesiano las rectas B
 ��
, C
 ��
, A
 ��
, C
 ��
, B
 ��
 y E
 ��
. Luego, clasifícalas 
en oblicuas, verticales u horizontales.
Y
X
1
–1 1–1–2–3–4–5–6–7
–2
–3
–4
–5
2
3
4
5
 2 3 4 5 6 7
Amplian o
MEMORIA
Una recta puede tener pendiente 
cero si la diferencia de sus 
ordenadas es cero y la de sus 
abscisas, distinta de cero. Es decir, 
cuando es una recta horizontal.
Por otra parte, para una recta vertical 
no está definida la pendiente.
Amplian o
MEMORIA
En la fórmula del cálculo de la 
pendiente de una recta que 
contiene a los puntos A(x
1
, y
1
) y 
B(x
2
, y
2
) también puede 
considerarse:
 =
y – y
x – xAB
1 2
1 2
 ��
uNidad 1 rectas eN el plaNo 30
42 3 51
2. Calcula la pendiente de la recta que contiene los pares de puntos dados.
a. A(2, –8) y B(–4, 11)
 
AB
 �� = 
b. C(–1, 6) y D(10, –11)
 
CD
 �� = 
 
 
c. E(–2, 8) y F(2, –10)
 
EF
 �� = 
d. G(4, –9) y H(8, –9)
 
GH
 �� = 
e. I(8, 11) y J(–11, –8)
m
IJ
� = 
f. K(6, 3) y L(10, 1)
m
KL
 �� = 
3. Calcula las pendientes de las rectas representadas en el siguiente plano cartesiano. 
Luego responde.
X
4
3
2
1
–1
–2
Y
 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
C
B
D
E
A
F
G
L
4
L
3 L2
L
 
L
6
L
5 m
AD
 ��� =
 
AB
 �� =
 
AC
 �� =
 
AE
 �� =
m
AF
 �� =
m
AG
 �� =
a. ¿Cuál es la relación entre las pendientes de las rectas L
1
, L
2
 y L
3
?
b. ¿Cuál es la recta de mayor pendiente?
c. ¿Cuáles de las rectas tienen pendiente menor que cero?
d. ¿Qué ángulo se forma al intersecarse L
6
 y L
3
? ¿Qué relación tienen sus pendientes?
4. Analiza si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F 
según corresponda.
a. La pendiente de la recta que contiene a los puntos R(0, 3) y S(9, 3) es cero.
b. Una recta que tiene pendiente m = 0 siempre contiene al origen O(0, 0).
c. La recta que contiene a los puntos P(0, 7) y Q(7, 0) tiene pendiente m = 7.
d. Si una recta contiene a los puntos C(a, b) y D(a + 1, b – 1), entonces tiene 
pendiente menor que cero.
e. Si una recta tiene pendiente m = 1, entonces puede contener a los puntos 
U(3, 2) y V(4, 1).
3 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
5. esuelve los siguientes problemas.
a. El tiempo t empleado por un avión en recorrer una distancia d, con rapidez 
constante v, se presenta en la siguiente tabla:
Tiempo (h) 1 2 4 5 6
Distancia (km) 650 1. 00 1.950 2.600 .250 .900
 Representa los datos en un gráfico, y determina la pendiente de la recta que contie-
ne a los puntos. ¿Cuál es la rapidez del avión? ¿Qué relación existe entre la pendien-
te y la rapidez?
b. Dibuja una recta que contenga al origen del plano cartesiano y que forme un 
ángulo de 45° con el eje X positivo. Determina gráficamente tres puntos que estén 
contenidos en ella. ¿Qué característica tienen dichos puntos? Haz lo mismo con una 
recta que forme un ángulo de 135°.
c. Determina la medida de los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son 
A(2, 4), B(4, 4) y C(4, 2). ¿A qué tipo de triángulo corresponde?
d. El siguiente gráfico muestra el precio de un producto en el tiempo. El eje Y 
representa el precio y el eje X los meses de venta:
Y
2. 
1. 
3. 
4. 
5. 
6. 
X1 2 3 4 5 6 7 8 
 ¿En qué período creció más rápidamente el precio?, ¿en qué período decreció con 
mayor rapidez? Justifica.
6. Calcula la pendiente de las rectas L
1
, L
2
 y L
3
 a partir de la siguiente homotecia.
Y
X
5
4
3
2
–1
–2
–3
–4
 –1 1–2–3–4–5–6–7 2 4 5 6 7
B'
C'
A'
O
L
 
L
2
L
3A
B
C
La rapidez v, se calcula según la 
distancia d y el tiempo t:
v =
d
t
AYUDA
uNidad 1 rectas eN el plaNo 32
42 3 51
Ecuación punto-punto de la recta
Observa el siguiente gráfico. En él ha sido representada una recta no vertical, de la que se 
conocen los puntos P
2
(x
2
, y
2
) y P
1
(x
1
, y
1
). Además, P(x, y) es un punto cualquiera de ella. Si se 
consideran los segmentos PP y PP1 1 2 sus respectivas pendientes son:
Y
y
1
y
y
2
Xx1 x x2
P
2
P
P
1
 
m =
y – y
x – x
y m =
y – y
x – xPP
1
1
PP
2 1
2 1
1 1 2
Además, como ambos segmentos pertenecen a la recta, sus 
pendientes son iguales. Luego:
y – y
x – x
=
y – y
x – x
1
1
2 1
2 1
De la igualdad, es posible determinar que:
y – y =
y – y
x – x
x – x1
2 1
2 1
1 )
Si en lugar de PP y PP1 1 2 se hubiera considerado P P y PP2 1 2 , se tendría:
y – y =
y – y
x – x
x – x2
2 1
2 1
2 )
Ambas fórmulas permiten determinar la ecuación de una recta, dados dos puntos de ella; 
conocida como ecuación punto-punto. 
Los puntos A, B y C son colineales, 
es decir, pertenecen a una misma 
recta, si:
m = m
AB BC
 �� ��
AYUDA
Amplian o
MEMORIA
La ecuación punto-punto no 
permite determinar la ecuación de 
rectas verticales.
Los puntos que pertenecen a 
una recta vertical tienen la misma 
abscisa. Por lo tanto, la ecuación de 
esta recta es L: x = c.
Si los puntos P
1
(x
1
, y
1
) y P
2
(x
2
, y
2
) pertenecen a la 
recta L, entonces la ecuación de dicha recta se 
expresa como:
L : y – y =
y – y
x – x
(x – x ); x ≠ x1
2 1
2 1
1 2 1
 



La que se conoce como ecuación unto- unto de 
la recta.
Ejem lo: Si A(2, –4) y B(1, 2) 
pertenecen a la recta L, entonces:
L : y – (– 4) =
2 – (– 4)
1– 2
(x – 2)
L : y + 4 = –6x + 12
L : y = –6x + 8
 



Para GRABAR
 . Determina la ecuación de la recta que contiene los puntos A y B dados.
a. A(1, 4) y B(–2, 3)
b. A(2, 0) y B(–2, –3)
c. A(–2, –5) y B(0, 3)
d. A(0, 4) y B(0, 3)
e. A(–1, 4) y B(–2, 3)
f. A(1, 8) y B(–2, 4)
 
33 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
2. Analiza el siguiente gráfico, determina las ecuaciones de las rectas representadas en 
él y responde.
 
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
L
 
L
2
L
6
L
5
L
4
L
3
X
Y
L
1
: 
L
2
: 
L
3
: 
L
4
: 
L
5
: 
L
6
: 
¿Qué relación observas entre las rectas L
1
 y L
2
? ¿Y entre las rectas L
5
 y L
6
? ¿Cuál es la 
relación entre sus pendientes?
3. esuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuál es la ecuación de la recta L, si el punto medio entre A(–4, 0) y B(0, 6), y el 
origen del plano cartesiano pertenecen a ella?
b. Sea L una recta, tal que A(5, 1) y B(–2, –3) son dos puntos de ella. ¿Cuál debe ser el 
valor de t para que el punto C(1 + t, 2t) también pertenezca a L?
c. Determina la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de 
A(–5, 2) y B(2, 1).
d. Determina la ecuación de la recta que corta al eje Y, en el punto P(0, –4) y al eje X 
en Q(2, 0).
 
uNidad 1 rectas eN el plaNo 34
42 3 51
Ecuación punto-pendiente de la recta
La pendiente m de la recta que contiene los puntos P
1
(x
1
, y
1
) y P
2
(x
2
, y
2
) es:
 =
y – y
x – x
2 1
2 1
Si la reemplazamos en la ecuación punto-punto de la recta obtenida en la página 33:
 – =m(x – x )1 1 ,
se determina la ecuación de una recta, dada su pendiente y un punto que pertenezca a ella.
Si P
1
(x
1
, y
1
) pertenece a la recta L, de pendiente m, 
entonces la ecuación de la recta, está dada por:
 : y – y =m(x – x )1 1
La que se conoce como ecuación unto- endiente 
de la recta.
Ejem lo: Si L es una recta con 
pendiente m = 2 y el punto A(2, 1) 
pertenece a ella, entonces:
L: y – 1 = 2(x – 2)
L: y = 2x – 
Para GRABAR
 . Determina en cada caso la ecuación de la recta, dada su pendiente m y un punto A.
a. m = 1 y A(2, 4)
b. m = –1 y A(2, 4)
c. m = 
 
3
 y A(1, 2)
d. m = 
 
2
 y A(1, 2)
e. m = 
1
2
 y A(4, 6)
f. m = 
1
3
 y A(2, 4)
g. m = 
3
5
 y A(–2, 1)
h. m = 0 y A(1, 2)
i. m = 0 y A(3, 0)
2. Analiza el siguiente gráfico. Luego, completa la tabla.
X
Y4
–1
–2
–3
–42
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4O
1
3
L
 
L
5
L
2
L
3
L
4
Recta
 ertenecen a la recta
 endiente m Ecuación de la recta
(x
1, 
y
1
) (x
2, 
y
2
)
L
1
L
2
L
 
L
4
L
5
Amplian o
MEMORIA
Un punto P(x
1
, y
1
) pertenece a una 
recta L si satisface la ecuación que 
la determina.
Por ejemplo, el punto P(2, 5) 
pertenece a la recta L : y = x – 1, 
ya que:
5 = . 2 – 1
 = 6 – 1
 = 5
35 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Ecuación principal de la recta
Si en la ecuación punto-pendiente de la recta L: y – y
1
 = m(x – x
1
) se despeja la variable y, 
se obtiene:
y = mx – mx
1
 + y
1
Considerando –mx
1
 + y
1
 = n, se tiene:
L: y = mx + n
Para GRABAR
La ecuación rinci al de una recta L es de la forma:
L: y = mx + n
con m, n , donde m es la pendiente de L y n es 
denominado coeficiente de osición de la recta.
Ejem lo: La ecuación principal 
de la recta L de pendiente que 
contiene al punto A(1, 2) es:
L: y = x – 1
Su coeficiente de posición es –1.
 . Calcula la pendiente m y el coeficiente de posición n de las siguientes rectas.
a. y + 3 = 2(x – 6)
m = , n = 
b. y – 2 = –3(x + 1)
m = , n = 
c. y + 0,2 = 0,3(x – 1)
m = , n = 
d. y –
1
2
=
3
2
x +
1
4
 



m = , n = 
e. y +
3
4
= –2 x –
3
5
 



m = , n = 
f. y – 3 = 3x
m = , n = 
2. Determina la ecuación de la recta con pendiente m y coeficiente de posición n.
a. m = 2 y n = 3
b. m = –3 y n = 0
c. m = 1 y n = 1
d. m = 0 y n = –2
e. m =
2
3
y n = –
4
3
f. m = 0 y n = 0
2. Analiza las rectas. Luego, escribe V o F según corresponda.
X
Y5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4O
L
 
L
5
L
2
L
6
L
3
L
4
a. Los coeficientes de posición de las 
rectas L
1
 y L
2
 son iguales.
b. La pendiente de la recta L
6
 es 
mayor que la de la recta L
1
.
c. El coeficiente de posición de la 
recta L
3
 es mayor que el de L
5
.
d. Las pendientes de las rectas L
1
 y L
2
 
son distintas.
e. La pendiente de la recta L
4
 es 
mayor que la de la recta L
3
.
f. La pendiente y el coeficiente de la 
recta L
5
 son iguales.
Amplian o
MEMORIA
Sea L la recta de ecuación:
L: y = mx + n
El coeficiente de posición n, es la 
ordenada del punto de intersección 
entre L y el eje Y. Por lo tanto, la recta 
corta al eje Y en el punto P(0, n).
Por ejemplo, la recta de ecuación 
y = –1,7x + 2 corta al eje Y en el 
punto (0, 2).
4
3
2
1
 
–1
–1 1 2 3–2
L
Y
X
uNidad 1 rectas eN el plaNo 36
42 3 51
Ecuación general de la recta
Considera la ecuación principal de una recta de pendiente m = –
2
3
 y coeficiente de 
posición n = 2. Luego, de ella es posible obtener una ecuación de primer grado con dos 
incógnitas, conocida como ecuación general de dicha recta:
y = –
2
3
x + 2 3y = –2x + 6
2x + 3y – 6 = 0
 
 
Para GRABAR
La ecuación de primer grado con dos incógnitas, de 
la forma:
Ax + By + C = 0
Con A, B y C , donde A y B no ambos nulos, 
representa una recta, y recibe el nombre de 
ecuación general de la recta. 
Ejem lo: Las siguientes 
expresiones representan una recta, 
y son equivalentes:
5x – 2y + 1= 0 y =
5
2
x +
1
2
⇔
 . Analiza los gráficos, que son ejemplos de cada tipo de recta. Luego, determina si las 
ecuaciones planteadas corresponden a rectas horizontales, verticales u oblicuas.
L
3
 es una recta 
oblicua. Su ecuación 
general es:
Ax + By + C = 0
Se tiene A ≠ 0 y B ≠ 0.
O
Y
X
L
3
–
C
A
–
C
B
L
2
 es una recta 
vertical. Su ecuación 
general es:
Ax + C = 0
Se tiene B = 0.
O
Y
X
L
2
–
C
A
L
1
 es una recta 
horizontal. Su 
ecuación general es:
By + C = 0
Se tiene A = 0.
Y
X
L
 
–
C
B
O
a. 3x + 2y – 9 = 0
b. 2x – 9 = 3y
c. 2y + 12 = 0
d. y – x = 1
e. 4x – 15 = 0
f. 2x + 3y = 0
 
Si y = mx + n es la ecuación 
principal de una recta, y 
Ax + By + C = 0 es su ecuación 
general, entonces:
m = –
A
B
n = –
C
B
∧
Amplian o
MEMORIA
37 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
2. Determina la ecuación principal y general de las rectas representadas, cuando sea 
posible.
 
Y
X
L
4
L
3
L
1
5
2
–1
–1–2–3 3–4 2 5–5 1 4
–3
4
1
–2
–4
–5
3
L
2
L
5
L
6
a. L
1
: ; L
1
: 
b. L
2
: ; L
2
: 
c. L
3
: ; L
3
: 
d. L
4
: ; L
4
: 
e. L
5
: ; L
5
: 
f. L
6
: ; L
6
: 
3. Analiza la información. Para ello considera la recta , que corta a los ejes de 
coordenadas en los puntos P(a, 0) y Q(0, b).
b
 a
L
Y
X
Utilizando la ecuación punto-punto, se tiene:
 – 0=
b – 0
0 – a
(x – a) = –
b
a
(x – a)
b
a
x + =b 
Dividiendo la última ecuación por b, se obtiene:
 
a
+
y
b
=1
Para GRABAR
La ecuación de una recta que corta a los ejes X e Y 
en los puntos P(a, 0) y Q(0, b) es:
 
 
a
+
y
b
=1 (a, b ≠ 0)
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación 
canónica de la recta.
Ejem lo: Sea la ecuación general 
de la recta L: 2x + y – 4 = 0, se tiene 
que:
2x + y = 4 / : 4
Entonces, la ecuación canónica es:
 :
x
2
+
y
4
=1
4. Analiza el gráfico y completa la tabla.
X
Y
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
 1–2–4 2–1–3 3 4
L
2
L
4
L
3
L
1 Recta Ecuación general Ecuación canónica
L
1
L
2
L
 
L
4
Amplian o
MEMORIA
Una recta, cuya ecuación general es 
de la forma:
L: Ax + By = 0
Es decir, con C = 0, corresponde a 
una recta que contiene al origen 
del plano cartesiano.
Un recta que pasa por el origen 
no tiene ecuación canónica, ya 
que en ese caso a = b = 0.
AYUDA
uNidad 1 rectas eN el plaNo 38
42 3 51
5. Analiza las ecuaciones. Luego, escríbelas en su forma canónica y represéntalas 
gráficamente en el plano dibujado.
a. L
1
: 2x + 4y = 8; L
1
: 
b. L
2
: 6x – 3y = 12; L
2
: 
c. L
3
: –x + y – 1 = 0; L
3
: 
d. L
4
: –8x – 4y = 4; L
4
: 
e. L
5
: 3x – 4y – 2 = 0; L
5
: 
f. L
6
: –4x + 5y = 8; L
6
: 
g. L
7
: 3x + y – 3 = 0; L
7
: 
Y
X
5
2
–1
–1–2–3 3–4 2 5–5 1 4
–3
4
1
–2
–4
–5
3
 
6. Analiza la siguiente tabla. Luego, completa a partir de los datos entregados.
Recta Ecuación principal Ecuación general Ecuación canónica
–5x + y = 1
4x + y = 2
 
4
3
x y = 4
– x + y = 
 
x
5
+
y
10
=
1
2
7. esuelve los problemas en tu cuaderno.
a. ¿Cuál es la ecuación general de la recta que corta al eje X en el punto P(4, 0) y tiene 
pendiente m = 1?
b. ¿Para qué valor de k la recta cuya ecuación está dada por L: 2x + 2y + k = 1 contiene 
al origen del plano cartesiano?
c. ¿Para qué valor de k la recta cuya ecuación está dada por L: (k + 1)x + 2y + 1 = 0 
tiene pendiente m = 3?
d. La recta cuya ecuación está dada por L: y + p = 2(x + 2), contiene al punto R(1, –1). 
¿Cuál es el valor de p que cumple esta condición?
e. La recta cuya ecuación es L: Ax + By + C = 0 corta a los ejes de coordenadas en 
los puntos S(–2, 0) y T(0, 4). ¿Cuáles son los valores de A, B y C que cumplen esta 
condición?
f. Si en la ecuación canónica de la recta L, se tiene que a = 2 y pasa por el punto 
S(–1, –3), ¿cuáles son su pendiente y su coeficiente de posición?
Si a ≠ 0, se cumple que:
 x =
x
1
 
AYUDA
39 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
 aliza do disco 
Evaluació de proceso
I. ee atentamente y marca la alternativa correcta.
Pendiente de una recta
1. Según el gráfico, ¿cuál es la pendiente de la recta 
 ��
 B?
2
1
2
3
X
YA
B
–2 
A. 2
B. 0,5
C. –0,5
D. –2
E. –1
2. m
1
, m
2
 y m
3
 son las pendientes de L
1
, L
2
 y L
3
, 
respectivamente.
5
4
3
2
1
L
2
L
3
L
1
–1
–1 1 2 3 4 X
Y
Se puede afirmar que:
A. m
1
 = m
3
B. m
2
 < m
3
C. m
1
 > m
2
 > m
3
D. m
3
 = –m
1
E. m
2
 < 0
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A. Toda recta con pendiente m = 0 contiene a (0, 0).
B. Una recta que contiene a los puntos P(0, 2) y Q(2, 0) 
tiene pendiente positiva.
C. Una recta con pendiente m = 0 es vertical.
D. Si una recta no corta al eje X, tiene pendiente 
m = 0.
E. Una recta que contiene al origen del plano 
cartesiano siempre es oblicua.
Ecuación de la recta
4. especto de la recta de ecuación y – 1 = –x – 1, es 
verdadero que:
I. tiene pendiente m = –1.
II. contieneal punto H(1, 1).
III. es una recta oblicua.
A. Solo I
B. Solo I y II
C. Solo I y III
D. Solo II y III
E. I, II y III
5. Según el gráfico, ¿cuál es la ecuación de la recta 
dibujada?
X
Y
 
1
2
3
4
–1–2–3
–1
1 2 3 4
L
A. – 3= –5(x + 2)
B. + 2= –
1
5
(x – 3)
C. – 3= –
1
5
(x + 2)
D. + 2= –5(x – 3)
E. + 3=
1
5
(x – 2)
6. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una 
recta con pendiente 2, y que contiene a P(–2, 2)?
A. y – 2 = 2(x – 2)
B. y + 2 = 2(x – 2)
C. y + 2 = 2x + 2
D. y – 2 = 2(x + 2)
E. y + 2 = 2x – 2
uNidad 1 rectas eN el plaNo 40
42 3 51
7. Si la ecuación de la recta L es y = kx + 6 y el punto 
P(–3, 3) pertenece a ella, ¿cuál es el valor de k?
A. –1
B. 9
C. 1
D. –9
E. –12
Formas de la ecuación de la recta
8. La recta L tiene pendiente m = 2 y coeficiente de 
posición n = 1. ¿Cuál es su ecuación principal?
A. y = 2x + 1
B. y = 2x – 1
C. y = x – 2
D. y = x + 2
E. 
x
2
+
1
2
 
9. ¿Cuál es la ecuación de la recta representada en el 
gráfico?
A. =
2
3
x – 2
B. =
2
3
x + 2
C. 
x
3
+
y
2
=1
D. y = 3x – 2
E. y = –2x + 3
10. ¿Cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es 
3x + 6y – 1 = 0?
A. 2
B. 
 
2
C. –1
D. –2
E. 
1
2
II. Resuelve los problemas.
11. Si los puntos T(2, 0) y U(0, –3) pertenecen a la recta L, 
¿cuál es su ecuación general?
12. Determina la pendiente de la recta del ejercicio 
anterior.
13. Determina las ecuaciones y las pendientes de las 
rectas dibujadas.
3
2
1
1 3 4
–1
–1–2 
–2
L
3
L
2
L
1
L
4
L
5
X
Y
14. Se tiene que y = 3x. Si la variable x aumenta al doble, 
¿qué ocurre con la variable y?
15. Determina, sin utilizar la fórmula de pendiente 
de una recta, cuál de las siguientes ecuaciones 
representa la recta que tiene mayor pendiente. 
Explica cómo lo hiciste.
A. y = 2x + 5
B. y = 2x – 5
C. 6x – y – 10 = 0
D. 6x + y + 10 = 0
E. y = 2x
–3
–2
–1
1 
1
2
–1–2 2 3 4 X
Y
Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora 
según las categorías de desempeño dadas:
1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado.
 alculé y comparé pendientes de rectas.
(Preguntas 1, 2, 10, 12 y 15)
 Identifiqué tipos de rectas según su pendiente.
(Preguntas 3 y 4)
 Relacioné gráficos con las ecuaciones de rectas.
(Preguntas 5 y 9)
 Determiné la ecuación de una recta dados dos de sus puntos.
(Preguntas 11, 13 y 14)
 Determiné la ecuación de una recta dado un punto y su pen-
diente.
(Preguntas 6, 7 y 8)
Mi ESTADO
4 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
En la clasificación realizada, las 
rectas verticales son excluídas, 
ya que se entenderá que no 
tienen pendiente y toda la 
clasificación está relacionada con 
las pendientes de las rectas. Sin 
embargo, todas las rectas verticales 
son paralelas entre sí y una recta 
vertical y una horizontal siempre 
son perpendiculares entre sí.
AYUDA
 . Analiza las rectas L
1
: 2x + 3y – 6 = 0, L
2
: =
3
2
x –1, L
3
: y = 1,5x y L
4
: = –
2
3
x + 2 . Luego, 
responde en tu cuaderno.
a. ¿Es cierto que las rectas L
1
 y L
2
 son perpendiculares? Justifica tu respuesta.
b. ¿Qué rectas son paralelas entre sí? Justifica tu respuesta.
c. ¿Es cierto que las rectas L
2
 y L
3
 son perpendiculares? Justifica tu respuesta.
d. ¿Cómo se relacionan las rectas L
1
 y L
4
?
Relaciones geométricas entre rectas
Observa las siguientes rectas:
¿Qué relaciones hay entre ellas? Para responder esta pregunta, considera que la pendiente 
de una recta describe su dirección.
Dos rectas no verticales en el plano cartesiano, L
1
 y L
2
, pueden ser:
Paralelas: Tienen igual pendiente y distinto 
coeficiente de posición. No se intersecan.
X
Y
y =
 m 2
x +
 n 2
y =
 m 1
x +
 n 1
L 1
L 2
L
1
 // L
2
 ⇔ m
1 
= m
2
Secantes: Sus pendientes son distintas. Se 
intersecan en un solo punto.
X
Y
L
2 L1
y = m 1
x + n 1
y = m
2 x + n
2
m
1 
≠ m
2
Coincidentes: Tienen igual pendiente e igual 
coeficiente de posición. Se intersecan en 
todos sus puntos.
X
Y
y =
 m 2
x +
 n 2
y =
 m 1
x +
 n 1
L
2
L
1
L
1
 = L
2
 ⇔ m
1 
= m
2
,
 
n
1
 = n
2
Per endiculares: Se intersecan en un solo 
punto, formando cuatro ángulos rectos.
X
Y
y = m
2 x + n
2
y =
 m 1
x +
 n 1L2
L
1
L
1
 ⊥ L
2
 ⇔ m
1 · m2 = –1
Para GRABAR
uNidad 1 rectas eN el plaNo 42
42 3 51
2. Analiza la figura. Luego, responde.
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 
A D
CB
X
Y
a. ¿Es cierto que las rectas D y BC
 �� ��
 son 
paralelas? Justifica.
b. ¿Es cierto que las rectas B yDC
 �� ��
 son 
rectas paralelas? Justifica.
3. esuelve los siguientes problemas.
a. Si las rectas L
1
: 4x + (2k – 3)y – 2 = 0 y L
2
: 2x + 3y – 6 = 0 son paralelas, ¿cuál es el 
valor de k?
b. ¿Cuál es la ecuación de la recta L
3
 que contiene al punto P(–3, 4) y es perpendicu-
lar a la recta L
4
: y = 3x + 9?
c. Los puntos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) y D(2, 3) representan los vértices de un cuadriláte-
ro en el plano cartesiano. ¿Qué tipo de cuadrilátero es?
d. Si las rectas L
5
: 3x – y + a = 0 y L
6
: (b – 5)x – y – 2 = 0 son coincidentes, ¿cuáles son 
los valores de a y de b?
e. Si los vértices de un triángulo ABC, rectángulo en A, son A(0, 0), B(1, 2) y C(2k + 6, 5), 
¿cuál es el valor de k?
4. Analiza la siguiente homotecia de centro O y razón –0,5. Luego, responde.
X
Y
6
7
5
4
3
2
1
–1
–1 1 2 3 4 5–2–3–4–5–6 
A E
D' C'
B'
A'E'
O
DC
B
a. ¿Son paralelas las rectas que contienen a los segmentos AE y A'E'?
b. ¿Son perpendiculares las rectas que contienen a los segmentos D'E' y A'E'?
c. Si E // CD
 �� ��
, ¿se cumple que 'E' // C'D'
 ��� ���
?
d. Considera los segmentos CC' y BB'. ¿Son secantes? En caso de serlo, ¿en qué punto 
se intersecan?
43 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Algebraicamente, un sistema de dos 
ecuaciones de rimer grado con dos 
incógnitas (x e y) se puede representar como:
 x +by = e
cx + dy = f
Con a, b, c, d , denominados coeficientes 
del sistema, y e, f , llamados términos 
inde endientes.
Ejem lo: En el sistema:
 x + 4y = –6
–3x – 5y =7
los coeficientes son 2, 4, – y –5, y los 
términos independientes son –6 y 7.
Para GRABAR
Sistemas de ecuaciones de primer grado 
con dos incógnitas
Cuando se tiene un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas, de modo que 
todas ellas deben ser resueltas simultáneamente, se dirá que conforman un sistema de 
ecuaciones. En este texto se estudiarán sistemas de dos ecuaciones de primer grado con 
dos incógnitas.
 . Analiza la siguiente resolución. Luego, determina si el punto dado en cada caso es 
solución del sistema de ecuaciones propuesto.
Resolver el sistema 
 x + 4y = –6
–3x – 5y =7
consiste en determinar un valor para x y uno para y 
que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. En este caso, si se considera x = 1 
e y = –2, en ambas ecuaciones se tiene que la igualdad se cumple:
 2x + 4y = 2 · 1 + 4 · (–2) = 2 – 8 = –6
 – x – 5x = – · 1 – 5 · (–2) = – + 10 = 7
Luego, x = 1 e y = –2 es la solución del sistema; la que puede ser escrita como el par 
ordenado (1, –2). Así, al representar gráficamente el sistema, el punto de intersección 
de ambas rectas, de coordenadas (1, –2), corresponde a la solución del sistema.
a. x – 3y =11
x – 2y = –1
b. x – 7y = – 49
5x – y = –14
c. + 6y = –19
– – 2y =7
 d. x + y = –4
x + y =7
 P(5, 3) P(0, 7) P(–7, –2) P(–5, 6)
2. Analiza las siguientes homotecias. Luego, comprueba que el centro de cada una es 
solución del sistema formado por las rectas AA' y BB'.
a. 
–4–5
–4
X
Y
F
D'
C'
B'
A' E'
L
2
D
C
2
 2 3 4 5 6 7
B
L
1
A
E
b. 
–1
Y
C'
B'
A'
L
2
3
4
2
1
5
B
A
C
O
L
1
–5 –4 –3–6 X–2 –1
 1 2 3
uNidad 1 rectas eN el plaNo 44
42 3 51
Clasificación de un sistema de ecuaciones
A partir de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que gráfica-
mente representan rectas, es posible escribir cada ecuación en su forma principal.
 
 
 
 x +by = e
cx + dy = f
y = –b
x +
e
b
m = –
 
b
, n =
e
b
y = –
c
d
x +
f
d
m = –
c
d
, n =
f
d
1 1
2 2
 





Así, es posible comparar sus pendientes y determinar si las rectas son paralelas, 
perpendiculares, secantes o coincidentes, es decir, si se intersecan o no y en cuántos 
puntos. Esto permite adelantar si el sistema de ecuaciones tiene una, infinitas o no tiene 
solución.
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas puede ser representado por 
dos rectas, y su solución corresponde a las coordenadas del punto de intersección de dichas 
rectas. 
Pendientes distintas
 ≠ –
a
b
≠ –
c
d
ad≠bc
1 2
 
Pendientes iguales
 = –
a
b
= –
c
d
ad=bc
1 2
 
Si las rectas no son paralelas, 
necesariamente se intersecan en 
un único punto.
P(x
1
, y
1
)
El sistema de ecuaciones tiene 
una única solución, y es llamado 
com atible determinado.
ad ≠ bc
Igual coeficiente de osición
Distinto coeficiente de 
 osición
 = 
e
b
=
f
d
ed=bf
1 2
 
Si las rectas son coinciden-
tes, tienen infinitos puntos 
en común.
Por lo tanto, el sistema tie-
ne infinitas soluciones, y es 
llamado com atible inde-
terminado.
 d= bc ed=bf∧
 ≠ 
e
b
≠
f
d
ed≠bf
1 2
 
Si las rectas son paralelas 
no se intersecan.
Por lo tanto, el sistema 
no tiene solución, y es 
llamado incom atible.
 d= bc ed≠bf∧
 . Analiza los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos entre "compatible deter-
minado", "compatible indeterminado" e "incompatible".
a. 
 x – 3y = 
x + 4y =7
b. 
 – 3y = –2
3 – 9y = 6
c. 
 – y = 0
2 – 2y =1
d. 
 x – 3y = –2
–3x – y = 0
e. 
 x – 3y = 2
–3x + y =7
f. 
 x – y = – 
6x – 3y = –6
Para GRABAR
Si ambas ecuaciones representan 
rectas verticales, entonces el 
sistema no tiene solución.
Si solo una de las ecuaciones 
representa una recta vertical, 
entonces el sistema tiene una única 
solución.
Si las ecuaciones representan rectas 
verticales coincidentes, entonces el 
sistema tiene infinitas soluciones.
Amplian o
MEMORIA
45 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
 . Aplica algún método de resolución para determinar de qué tipo es cada sistema de 
ecuaciones.
a. + 5y = 8
2 + 3y =10
b. x + 6y =1
6x + 9y = 5
c. 12x + 9y = 42
4x 3y = 14
d. x + 21y = 28
x + 3y = 4
e. x – 5y = 6
4x +10y = 5 
f. x +15y =12
5x + 25y = 20
Interpretación de sistemas de ecuaciones
Considera el sistema 
 x + 3y =18
12x + 9y = 5 
. Utilizando el método de redu ión, se tiene:
 x + 3y =18
12x + 9y = 5 
(–3) –12x – 9y = –5 
12x + 9y = 5 
0 = 0 
 



+
La igualdad obtenida no implica valores para las incógnitas del sistema de ecuaciones. 
Esto ocurre al resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado. Por lo tanto, 
el sistema tiene infinitas soluciones.
Considera ahora el sistema 
 x + 3y =18
8x + 6y = 0
. Utilizando el método de iguala ión, despejando en 
cada ecuación la variable y, se tiene:
 x + 3y =18
8x + 6y = 0
3y =18 – x
6y = 0 – 8x
y =
18 – x
3
y =
 0 – 8x
6
 0 – 8x
6
=
18 – x
3
3 0 – 8x = 6 18 – x 120 – 2 x =108 – 2 x 120 =108
 
 ) )
Claramente, se obtuvo una proposición falsa, ya que 120 ≠ 108. Cuando se parte de algo 
verdadero y se llega a algo falso, se trata de una contradicción. Esto ocurre al resolver un 
sistema de ecuaciones incompatible. Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
Para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, además de 
representarlo gráficamente, puedes utilizar otros métodos, entre ellos, el de reducción, de 
igualación, de sustitución o el de Cramer. 
Al resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con una incógnita, puedes determinar 
de qué tipo es, y con ello, analizar si tiene infinitas soluciones, solo una o no tiene solución:
 Cuando se obtenga una igualdad, el sistema de ecuaciones es com atible indeterminado. 
Por lo tanto, tendrá infinitas soluciones.
 Cuando se obtenga una contradicción, el sistema de ecuaciones es incom atible. Por lo 
tanto, no tendrá solución.
 Cuando se obtenga un valor único para cada incógnita, el sistema es com atible determi-
nado.
Para GRABAR
• El método de reducción 
consiste en operar una o ambas 
ecuaciones, de manera que los 
coeficientes de una incógnita 
sean inversos aditivos, para que 
al sumarlos se anulen y se pueda 
determinar el valor de la otra 
incógnita.
• El método de igualación 
consiste en despejar una de las 
incógnitas de ambas ecuaciones 
y luego, igualar las expresiones 
resultantes para determinar el 
valor de la otra incógnita.
• El método de sustitución 
consiste en despejar una de 
las incógnitas de una ecuación 
y reemplazarla en la otra, para 
determinar el valor de una de las 
incógnitas.
• El método de Cramer consiste en 
operar los coeficientes numéricos 
del sistema.
En todos los métodos, para 
determinar el valor de la segunda 
incógnita se puede reemplazar el 
valor de la variable encontrada, en 
una de las ecuaciones, y resolver la 
ecuación resultante.
AYUDA
Busca ejemplos resueltos de 
sistemas de ecuaciones, en los que 
se aplique cada método descrito. 
Luego, resuelve los sistemas pro-
puestos utilizando dos métodos.
Desafíate
uNidad 1 rectas eN el plaNo 46
42 3 51
2. esuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos según corresponda.
a. 2x + y = 1
3x 4y = 2
 
 
b. 2x + y = 1
4x 2y = 2
 
 
c. 2x y = 1
8x 4y = 2
 
 
d. x + y = –1
3x – 2y = –1
 
 
e. 0x + 2y = 8
5x + y = 4
 
 
f. x – 9y = 4
12x – 6y = –1
 
 
g. – 6y = 0
 – 5y = 0
 
 
h. – 3y =1
 – 3y = 0
 
 
i. x – 4y = –6
16x – y = –3
 
 
j. x – 2y = –6
x – 4y =12
 
 
k. x – 2y = –6
12x – 6y = –18
 
 
l. 2x – 4y = –8
27x – 9y = – 8
 
 
3. Analiza los siguientes sistemas. Luego, determina qué condiciones debe cumplir k 
para que tengan una única solución.
a. x + y = –1
x – y = 2
 
 
b. + 6y = –1
k – 4y = 2
 
 
c. x + y =1
x + y =1
 
 
d. x – y = 4
kx + y =k
 
 
4. Analiza los siguientes sistemas. Luego, determina qué condiciones debe cumplir k 
para que tengan infinitas soluciones.
a. x + y =1
x + y =1
 
 
b. x + 9y = –2
–8x +18y = 
 
 
c. x + 4y = 6
25x + y =15
 
 
d. x – y = 4
kx + y =k
 
 
47 ate ática 3° edio Nuevo explor@Ndo
Planteo y resolución de problemas
Muchas situaciones o problemas pueden ser modelados o resueltos mediante el planteo y 
resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Observa un 
ejemplo:
La suma de las edades de un padre y su hija es 37 y su diferencia es 29. ¿Cuál es la 
edad de cada uno?
Sea x: edad del padre e y: edad de la hija. Entonces, se tiene que:
• La suma de las edades es 37 y puede ser modelada por: x + y = 37.
• La diferencia de las edades es 29 y puede ser modelada por x – y = 29.
Luego, se tiene el sistema 
x + y = 37
x – y = 29
, que al ser resuelto, se obtiene como solución 
x = 33 e y = 4.
Finalmente, contextualizando estos valores a la situación, se tiene que el padre tiene 
33 años y la hija 4.
Para resolver un problema mediante 
el planteo y resolución de un sistema 
de dos ecuaciones con dos incógnitas 
considera lo siguiente:
 Comprender el enunciado.
 Identificar las incógnitas.
 Expresar en lenguaje algebraico.
 Plantear el sistema de ecuaciones.
 Resolver el sistema de ecuaciones.
 Analizar la pertinencia de la solución.
 Comprobar la solución.
 Responder la pregunta del problema.
Ejem lo: Un terreno de forma rectangular tiene un 
perímetro de 200 m. Si su largo es el triple de su 
ancho, ¿cuál es su largo y cuál su ancho?
Sea x: el largo e y: el ancho. Entonces, se tiene que:
 El perímetro del terreno es 200 m: 2x + 2y = 200.
 Su largo es el triple de su ancho: x = y.
Luego, se tiene el sistema 
2x + 2y = 200
x = y
, que al ser 
resuelto, se obtiene como solución x = 75 e y = 25.
Finalmente, contextualizando estos valores a la 
situación, se tiene que el largo del terreno de forma 
rectangular es 75 m; mientras que el ancho