Copia de Geometría 3 parte 2

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81« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 11
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Son dos triángulos que tienen sus ángulos de igual medida
y sus lados homólogos son respectivamente proporcionales.
 

A
B
C



M
N
L
c a
b
m
n
p
En el gráfico:  ABC  MNL
Se lee: El ABC es semejante al MNL
ENTONCES, OBSERVAMOS:
a) Las medidas de los ángulos son respectivamente de
igual medida (,  y ).
b) Sus lados homólogos son respectivamente
proporcionales.
a b c k
m n p
  
Donde: k: razón de semejanza.
NOTA: El homólogo del lado que mide a, es el
lado que mide m.
TEOREMA:
Una recta secante a un triángulo paralelo a uno de sus
lados, determina un triángulo parcial semejante al triángulo
dado.
A
B
C
P Q
En el gráfico: Si: PQ // AC
Entonces: PBQ ABC 
Se cumple: 
BQBP
B A BC

Además: 
BP B A
PQ AC

CASOS DE LOS TRIÁNGULOS
SEMEJANTES
1° CASO
Dos triángulos son semejantes, si tienen al menos dos
ángulos respectivamente de igual medida.
 
A
B
C

E
F
G

En el triángulo; si: m BAC m FEG  y
m ACB m EGF 
Entonces: Se cumple:
ABC EFG  B A FEAC EG

2° CASO
Dos triángulos son semejantes, si tienen un ángulo de igual
medida y los lados que determina a dichos ángulos
respectivamente proporcionales.

A
B
C

M
N
L
c
b n
m
En el gráfico: Si: m BAC m NML  y c b k
m n
 
Entonces: ABC MNL 
3° CASO
Dos triángulos son semejantes si sus lados son respectiva-
mente proporcionales.
A
B
C M
N
L
c a
b
m
n
p
En el gráfico: si 
a b c k
m n p
  
Entonces: ABC MNL 
82 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
Bloque I
1. En la figura, calcular el valor de x.
 
6 x
8n
14n
2. En el gráfico: MN // AC ; AC=10, MN=4, BC=12.
Calcular BN
A
B
C
M N
3. En el gráfico: AB = 8, CD = 18. Hallar BC.
A B
CD
4. En el gráfico. Calcular el perímetro del cuadrado
ABCD.
A
B
D
6
2n
3n
N
Q
 
5. En el gráfico. AB = 12, BP 2
PC 1
 . Calcular PQ.
A
B
C
45º
Q
P
6. En el gráfico. Calcular x.

A
B
C
x
Q
1
8

83« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
7. En el gráfico. Calcular x.
A
B
C
P
Q3
x
2
6
8. Calcule x, si MN//AC.
x
12
NM
B
A C
3a
a
9. Calcule x.
10
C
B
A E Dx
2a
5a
10. Calcule x.


B
x
A D C214
Bloque II
1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD de ma-
nera que: m ABC = m BDC, BC = 8, DC = 6.
Calcular AD.
2. En el gráfico: ABCD es un rectángulo, PA = 2,
QC=4,5 y PB = BQ. Calcular BQ.
A
B
C
P
Q
D
3. En el gráfico: Calcular la longitud del lado del cua-
drado, si: bh=4(b+h)
A
B
C
b
P Q
RS
h
84 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
4. En el gráfico: BE=2, AB=4(BD). Calcular R.
O: es centro
A
B
C
D
E
RO
5. En la figura MN // AC , AB = 6 m, AC = 14 m. Cal-
cular MN.


A
M N
B
C
6. En el gráfico ABCD es un romboide, BM=MC, OM=4.
Calcular AO
A
B C
D
M
O
7. AE = 6, BC = 12, AC = 18, CB //DE , BP = PE.
Hallar DE.
 
A
C B P
D E
8. Calcule x en la semicircunferencia.
9
16
x 12
85« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
9. Calcule x.
3
x
12
10. Calcule x.
1
2
x
x
1. Calcule x, si MN//AC .
NM
B
A C
2a
18
x
a
2. Calcule x en la semicircunferencia.
6 x
5
3
3. Calcule x.
6
x
3a

4a
4. Calcule x, en el romboide ABCD.
B
A
C
D
E
F
5a
3a x6
5. Calcule x.
n 2n
8
6
x
6. En la figura, hallar ML, si AB = c, MN = a, AC = b
A
B
C
N
L
M



86 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
7. En la figura: Calcular x
x
A
B
C
P
Q
3 8
24
8. En la figura ABCD es un paralelogramo. Si: AB = 9, AD
= 12 y PR = 6, hallar PQ.
 
A
R
B C
DQ
P
9. En el gráfico: CD=9(CE), AD=16. Calcular CB


A
BC
E
D
10. En el gráfico. Si: 2(AC)=5(CD), AB=15.
Calcular HD
A B
C
D
H
N
OT
A
1. En la figura AB = 3 y BD = 2 3 . Calcular BC


A
B
C
D
2. En el gráfico: Si:
AB=9, DB=4. Calcu-
lar BC


A
B
C
D
3. Calcule x.


4
x
6
6
87« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 12
RELACIONES MÉTRICAS
EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULOS
PROYECCIÓN ORTOGONAL
a) Proyección ortogonal de un punto:
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta,
es el pie de la perpendicular trazada por dicho punto
a la recta.
Proyectante
P
Q
Eje de
proyección
L
Pie de la perpendicular
En el gráfico: El punto Q es la proyección ortogonal
del punto P, sobre la recta L.
b) Proyección ortogonal de un segmento
La proyección ortogonal de un segmento sobre una
recta o eje de proyección es la parte del eje de
proyección comprendida entre las proyecciones de
los extremos de dicho segmento.
A
B
P
Q
A’ B’ Q’
En el gráfico:
A'B' : Proyección ortogonal de AB
PQ' : Proyección ortogonal de PQ
RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
1) Teorema de Pitágoras:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de sus catetos.
A
B
Cb
c a
Donde: AB y BC : catetos
AC : hipotenusa
Del gráfico: AB = c; BC = a y AC = b
Se cumple: 2 2 2b a c 
2) Teorema del Cateto
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de un cateto es igual al producto de las
longitues de la hipotenusa y la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa.
A
B
CH
b
c a
m n
Del gráfico: AH = m y HC = n
Se cumple: 2c m b  
2a n b 
3) Teorema de la altura
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
longitud de su altura relativa a la hipotenusa es igual
al producto de las longitudes de las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa.
A
B
CH
h
nm
Del gráfico: si, BH = h
Se cumple: 2h m n 
4) En todo triángulo rectángulo, el producto de las
longitudes de sus catetos es igual al producto de las
longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha
hipotenusa.
A
B
CH
h
b
c a
88 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
Del gráfico se cumple: a c b h  
5) En todo triángulo rectángulo la inversa del cuadrado
de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es
igual a la suma de las inversas de los cuadrados de
las longitudes de sus catetos.
A
B
CH
hc
a
Del gráfico se cumple: 2 2 2
1 1 1
h a c
 
Bloque I
1. En la figura, calcule a.
4 21
a
2. En la figura, calcule n.
3n n
8
3. En la figura, calcule b.
2
5 8
b

4. En la figura, calcule (a.b).
2 8
a b
5. En la figura, calcule x.
( 6)x– ( 6)x+
8
89« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
6. En la figura, calcule h.
h
5 2 5
7. Calcular el perímetro de una región rombal, si sus
diagonales tienen 12 y 16 respectivamente.
8. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se
encuentran en progresión aritmética cuya razón es 1.
Calcular la longitud del lado intermedio.
9. En el gráfico. Calcular x
A
B
CH
x
2
3
10. En la figura. Calcular x
A
B
CH
x
Q
169
Bloque II
1. En el gráfico. Calcular x
A
B
CQ
x
72
x
2. En la figura: Calcular x
A
B
CD
6
x
11
6 3
90 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
3. En la figura AH = a, HC = b y HE = x. Calcular x.
x
A E
B C
b
H
a
4. En la figura, AB = 10 y AH  HC = 36. Hallar BF..
A
B
C
H
F
5. En el gráfico: ABCD es un romboide, BD DC .
Calcular x.
A
B
6
xH D
9 C
6. En el gráfico. Calcular x, si O1 y O2 son centros.
4
O1
1 O2
xP
Q
7. En la figura, calcule x si O es centro.
O 6
a
a
x
8. En la figura, calcule x.
x3
2 4
91« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
9. En la figura, calcule x.
x
7
a
6
a
10. En la figura, calcule x.
x
821. En la figura, calcule a.
3 9
a
semicircunferencia
2. En la figura, calcule x.
8 x
15

2
3. En la figura, calcule x.
3 2
x
4. En la figura, calcule a.
4 14
a a
5. En la figura, calcule (a.b)
1 9
a b
6. En el gráfico rectángulo ABCD de la figura: AD = 20 y
BD = 25. Hallar RD.
 
A
B C
D
R
92 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
7. En la figura, T es punto de tangencia y B centro del
arco ETF, cuyo radio r se requiere hallar, sabiendo
que: AB = 20 y AC = 25
A E
T
C
F
B
8. En un triángulo ABC, recto en A; se traza la altura
AH si: AB=8, AC=3. Calcular CH
BH
9. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectán-
gulo son entre sí como 2 es a 3. ¿En qué relación
están las longitudes de sus proyecciones sobre la
hipotenusa?
10. En el gráfico, Calcular el radio, si AE=16, FB=25. Si
E y F son puntos de tangencia. O es centro
A B
E FO
N
OT
A
2. En el gráfico.
Calcular x
A
DB
x
C 3
4
x
1. En la figura, calcule h.
 
7 1 7 1
h
3. En el gráfico. Calcular AC
A
B
CHa a+1
42
93« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 13
RELACIONES MÉTRICAS
EN LA CIRCUNFERENCIA
EOREMA DE LAS CUERDAS
A
B
C
D
P
 AP PB CP PD  
TEOREMA DE LAS SECANTES
B
C
A D
P
PA PB PC PD  
TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
P
B
A
T
2PT PA PB 
RAYOS ISOGONALES
Son aquellos que, partiendo del mismo vértice de un
ángulo forman ángulos congruentes con los lados del
mismo.
Ejemplo:
OM

 y ON

 son rayos isogonales con respecto a los lados
OA

 y OB

 del AOB .

A
M
N
B
O 
TEOREMA DE LAS ISOGONALES
1er Caso:
En la figura si CM y CN son segmentos isogonales
con respecto a los lados CB

 y CA

 del BCA tales que:
M BA y N a la circunferencia circunscrita, entonces
se cumple que:
m n
a b
C
AB M
N
 
 a b m n  
Corolario 1:
Cuando en un  se traza una bisectriz interior.
a b
C
AB
M
N
 
    CM CNa b  
2do Caso:
En la figura si CM y CN son segmentos isogonales
con respecto a los lados CB

 y CA

 tales que:
M a la circunferencia circunscrita
Na la prolongación de BA , entonces se cumple que:
94 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
m
n
a b
C
AB
M
N
 
 a b m n  
Corolario 2:
Cuando en un  se traza una bisectriz exterior.
xa b
C
AB
M
N


y

 a b x y  
TEOREMA DEL PRODUCTO DE 2 LADOS
En todo , el producto de las longitudes de dos lados
es igual a la altura intermedia, por el diámetro de la
circunferencia circunscrita.
ha b
C
AB H
R
  2Ra b h  
TEOREMA DEL CUADRADO DE LA BISECTRIZ
INTERIOR
En todoABC, si CD es una bisectriz interior de
longitud “x” se cumple que:
a b
C
AB Dm n
 
 2x a b m n   
TEOREMA DEL CUADRADO DE LA BISECTRIZ
EXTERIOR
En todo ABC, si CD es una bisectriz exterior de
longitud “x” se cumple que:
a
b
AB D
m
n


C
x
 2x m n a b   
TEOREMA DE PTOLOMEO
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el producto
de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del
producto de las longitudes de los lados opuestos.
DA
B
C
a
b
c
d
 x y a c b d    
TEOREMA DE VIETTE
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el cociente
de las longitudes de las diagonales es igual al cociente de
la suma del producto de las longitudes de los lados que
concurren en los extremos de cada diagonal.
DA
B
C
a
b
c
d
 
x b c a d
y a b c d
  

  
TEOREMA DE CHADU
Si el triángulo ABC es equilatero y “P” es un punto
cualquiera del arco AB.
CA
P
B
 PC PA PB 
95« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
PROPIEDAD
1 Si el cuadrilátero ABCD es inscriptible, entonces:
DA
B
C
P
PB PC PA PD  
2
r
R
T
P
Q
x
Si: P, Q y T son puntos de tangencia 2 Rx r  
3
P
Q
M
N
Si: P y Q son puntos de tangencia
PQ MN 
Bloque I
1. En la figura, calcule x.
4
x+1
x–1
6 
2. En la figura, calcule x.
x
3x
10
 
3. En la figura, calcule x.
5
x
4
2x
4. En el gráfico: Calcular x. P es punto de tangencia
2x P
9
C
B
x
A
96 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
5. En el gráfico R es punto de tangencia. Calcular x.
R
Q
P
4
A a B C a D
x
5
6. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF=3 y
OF = 9. Hallar EF.
O C
D
A
E B
F
7. Del gráfico: Calcular DE. Si: AB=4, BC=2, CD=1
A
B C
D
E
8. En el gráfico: Calcular CT; si: AM=12, AC=13
A B
C
M
T
9. En el gráfico: Calcular PQ Si: PB=1, AP=9.
“O” es centro
A
BP
O
Q
10. Calcule x, si ABCD es un romboide.
D
B
4
x
5
E
C
A
97« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
Bloque II
1. En el gráfico: Calcular x.
A
B
C D
E
F
a
a
3
8
4
x
Q
P
2. En el gráfico: Calcular x
A
B C
D
E
6
3
2
x
3. En el gráfico: Calcular x.
A
D
B
C
E
x
4
4
M6
6
 
4. En la figura, calcule (a.b)
6
x
1
a
b
x
5. En la circunferencia, calcule x.
2
x
x

6. Calcule x si O es centro.
x 2x
3
O
7. Calcule x si O es centro.
O
x
2
3
98 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
8. En la figura, calcule x.
x
4 x
5
9. En la figura, S es punto de tangencia, BE=9 y EC=16.
Hallar AS.
 
B
E
CA
S
10. En el gráfico. Si O es centro, OM = 6, CD = 9. Calcular
DE.
D
M
O
E
A B
CD
 
1. En la figura. Calcular x.
A
D
B
C
P
x
4
2x
3x
2. En la figura, AB = 9, BC = 3 y T es punto de
tangencia. Hallar CD.
E
D
C
T A
B


3. En la figura, O es centro de la circunferencia, MTEP
es un rectángulo. ET=5, PC=8 y AB=BC. Hallar AC.
A
B
CPM
T E
O
4. Calcular CD; en el gráfico.
Si: CM AB BM 5  
A
B C
D
M
99« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
5. Del gráfico: BM es mediana AE=6, EB=4, CF=3.
Calcular BF.
A
B
C
E
M
F
6. En la figura, calcule x.
x–2
x+2
8
4
7. En la figura, calcule x.
4
x
6
8. En la figura, calcule x.
a
a
b
b
6x
9. En la figura, calcule BD si: AB=3
C
A
D
E
B
10. En la figura, calcule x.
x
4
3 a
a
a
N
OT
A
2. Calcule x, si O es
centro.
5
20
x
O
3. En la figura, calcule x.
5x
a
2a
x
9
1. En el gráfico: Calcular AQ si: BQ=3, CM=9, MB=2, PQ=MN
A
B
C
N
M
P
Q
100 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
TEMA 14
ÁREAS I
REGIÓN PLANA:
Es una porción del plano limitada por una línea cerra-
da, también llamada frontera de la región.
B
A
Q
A : Región triangular. B : Región cuadrangular.
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA (S)
Es la medida de una región plana, la cual resulta de
comparar dicha región con otra tomada como unidad. Las
unidades de medida como centímetro, metro, kilómetro,
decímetro, pie, etc; van elevadas al cuadrado.
B
A
C
D
En el gráfico: S ABCD = 15u2
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Es una región plana cuyo contorno es un triángulo.
Estudiaremos, ahora las principales fórmulas para el cál-
culo de áreas de las regiones triangulares.
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular es igual al semiproducto
de la longitud de la base y la altura.
CA
B
H
b
h
En el gráfico: BH : Altura relativa a AC
Se cumple: S ABC
2
b h

Donde: b : longitud de la base.
h : altura relativa a la base.
Si: BCA: Obtusángulo; BH es la altura relativa al lado
AC .
CA
B
h
H b
 S ABC
2
b h

Si: ABC: rectángulo; AB y AC son los catetos
b
c
CA
B
 S ABC
2
b c=
Si: ABC es equilátero::
B
A C
60°60°
30° 30°
h
L L
L
2 3
S
4
×= L
2 3
S
3
×= h
CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN
TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE
SUS LADOS.
(FÓRMULA DE HERÓN)
El área de una región triangular es igual a la raíz cua-
drada del producto del semiperímetro de la región trian-
gular yla diferencia de dicho semiperímetro con la longi-
tud de cada uno de los lados.
CA
B
b
c a
101« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
En el ABC:
2
a b cp  
p : semiperímetro de la región ABC.
Se cumple: S ABC ( )( )( – )p p a p b p c  
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE LAS REGIO-
NES TRIANGULARES
1) En toda región triangular una ceviana interior
determina dos regiones triangulares cuyas áreas son
proporcionales a las longitudes de los segmentos que
dicha ceviana determina en el lado al cual es relativa.
CA
B
nm
N
S1 S2
En el ABC: BN determina las regiones triangulares ABN
y NBC.
Se cumple: 
S ABN
S NBC
m
n


 o tambien: 1
2
S
S
m
n

2) En el ABC:
BM : Mediana relativa a AC
CA
B
m
M
m
S1 S2
Se cumple:
S ABM S MBC 
o tambien: S1 = S2
3) Si G es baricentro del ABC
CA
B
P
S
G
M N
S
S
S
S S
Se cumple:
S AMG=S MGB=S BGN=S NGC
=S GCP=S GAP
   
 
Bloque I
1. En la figura. Calcular el área de la región triangular ABC.
A
E D
C
B2m
2m
2m
2m
2m
2. En el gráfico: AM es mediana, S1 = 19, S2 = 11.
Calcular Sx
CA
B
N
S 1
S xS 2
M
102 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
3. En el gráfico: calcular el área de la región triángular
ABC.
CA
10
12
5 3
B
Q
RP
4. En el gráfico, calcular la relación entre las áreas de las
regiones sombreadas y no sombreadas.
CA
B
5k 4kQP3k
S1 S2 S3
5. En el gráfico, calcular el área de la región triangular
ABH.
CA
B
H
37º
5
5
6. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
Si ABCD es un rectángulo, AE = 4, BE = 6.
C
A
B
D
E
F
7. Calcule el área de la región sombreada.
13
5
8. Calcule el área de la región sombreada.
13
5
9. Calcule el área de una región triangular cuyos lados
miden 5, 6 y 7.
103« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
10. Calcule el área de la región sombreada. Si el ABC es
isósceles.
2
4
A C
B
Bloque II
1. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreada.
C
A B
2 3
60º
60º
1
2. En el gráfico: Calcular el área de la región sombreada,
si: AH=4, HC=12.
C
B
A H
45º
3. En la figura: calcular AC. Si el área de la región
triangular ABC es 12. Si: BH = 3(AC). Calcular AC.
CA
B
H
4. El área de la región triangular ABC es 4 3 . Calcular
su perímetro.
B
A C
60°
60° 60°
5. En el gráfico: si BC = 10, calcular el área de la región
triangular ABC.
CA
B
53°45°
6. En la figura, calcule “x”.
xm
2a 3a
26m2
104 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
7. Calcule el área de la región sombreada si el área de la
región triangular ABC es 24.
B
CA
8. Calcule el área de la región sombreada.
50
10
9. Calcule el área de la región sombreada.
3 12
9 
10. Del gráfico, calcule 1
2
S
S
 
 
 
 
.
S
S
2
1
a 2a
b
2b
1. Si el perímetro de un triángulo equilátero es
numéricamente igual al área de su región triangular,
calcular su lado.
2. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 7. Calcular su
área.
3. Calcular el área de la región sombreada.
13
5
4. Calcule el área de la región sombreada.
2 9
5. Calcule el área de la región sombreada.
2 8
105« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
6. En el semicírculo mostrado, calcule el área de la región
sombreada.
4
11
17
7. El área de la región triangular es 60u2. Calcular la
longitud del menor cateto.
CA
B
15x
8. Si el área de la región triangular ABC es 80. Calcular
el área de la región sombreada. Si: 1
2
S 3
S 2

CA
B
D
S1 S2
9. En el gráfico: ABC es un triángulo equilátero cuya
altura mide 3 . Calcular su área.
A
B
C
3
H
10. Si el área de la región triangular ABC es 48u2. Calcular
el área de la región sombreada.
 
A
B
C
x
x
y
y
N
OT
A
3. Calcule el área de la región sombreada
Si: AC = 9 y BE = 4.
2. Calcule el área
de la región triangular
ABC.
A
B
C
16º
5
20
B
D
E
CA
1. En el gráfico. Si: AB = CD = 4. Calcular el área de la región sombreada.
DA
B
C

30°
4
4
106 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
TEMA 15
ÁREAS II
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR
Es una región plana cuyo contorno es un cuadrilátero, esta
región, puede ser convexa y no convexa.
Ahora pasaremos a estudiar las fórmulas para el cálculo
de las principales regiones cuadrangulares.
1) ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al producto
de la semisuma de las longitudes de la bases con la
longitud de la altura de dicho trapecio.
b
A
B
D
C
h
a
En el gráfico: ABCD es un trapecio
BC y AD : bases.
h : longitud de la altura.
Se cumple: 
( + )
S ABCD=
2
a b
h
Además:
A
B
D
C
h
a
m
M N
MN : mediana
Se cumple: S ABCD =m h
2) EL ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBOIDAL
Área de una región romboidal es igual al producto de
las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho
lado.
h
DA
B C
Hb
En el gráfico: CH : altura (h) AD : base (b)
Entonces: S ABCD b h 
3) ÁREA DE UNA REGIÓN ROMBAL
El área de una región rombal es igual al semiproducto
de las longitudes de sus diagonales.
D
d
Q
P R
S
En el gráfico PQRS es un rombo.
PR : Diagonal Mayor (D)
QS : Diagonal Menor (d)
Se cumple: 
D d
S PQRS
2


4) ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRADA
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado
de la longitud de su lado.
DA
CB
d
l
l
En el gráfico:
AB; AD : lado del cuadrado (l)
Se cumple:
1. 2S ABCD l
2.
2
S ABCD
2
d

5) ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR
El área de una región rectangular es igual al producto
de la longitud de la base y de la altura.
En el gráfico ABCD es un rectángulo
107« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
DA
CB
h
b
AD : Base (b) CD : Altura (h)
Se cumple: ABCD .S b h
RELACIÓN DE LAS ÁREAS EN REGIONES
CUADRANGULARES
1) En un cuadrilátero convexo.
A)
DA
C
B N
LM
P
Se cumple: 
S ABCD
S MNLP
2
=
Ademas: MNLP es un paralelogramo..
B)
DA
C
B
P
S1
S4
S2
S3
Se cumple: 1 2 3 4S S S S  
2) En las regiones trapeciales
A)
DA
CB
O
S1
S2
Se cumple: 2 1 2S =S S
B)
DA
CB
M
En el gráfico:
M es punto medio de CD
Se cumple: 
S ABCD
S BMA
2
=
3) En una región romboidal
DA
B CP
Se cumple: 
S ABCD
S APD=
2

Bloque I
1. Calcular el área de una región rombal sabiendo que
la longitud de su lado es 13 y de su diagonal mayor
es 24.
2. Un rectángulo está inscrito en una circunferencia de
radio 5, si uno de los lados del rectángulo tiene como
longitud 8. Calcular el área de la región rectangular.
108 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
3. Calcular el área de la región limitada por un trapecio
isósceles cuyas bases miden 2 y 8 respectivamente,
los ángulos adyacentes a la base mayor miden 53°
cada uno.
4. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial.
A
B
D
C
6 6
6
3
5. Calcular el área de una región cuadrada, si las longitud
de sus diagonales 8 2 .
6. En el gráfico: ¿qué valor debe tomar x, para que el
área del triángulo ABE sea la mitad del área del
trapecio BCDE?
S
2S
A B C
DE
2
4
x
7. Calcular el área de la región cuadrada ABCD. Si AE
= 7,5 y E A D 37ºm  .
E
37º
B C
A D
 
8. Calcular el área de la región rectangular ABCD.
EB C
DA
8
9. Calcular el perímetro de una región cuadrada si es
equivalente a una región rectangular de lados 9 y 4.
10. Calcular el área de una región limitada por un trapecio
de bases 6 y 8 inscrito en un círculo de radio 5.
109« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
Bloque II
1. Calcular el área de la región cuadrada ABCD.
C
A DP R
37º
B
Q
37
2. Calcular el área de la región sombreada.
4
6
3. En el romboide ABCD, calcular el área de la región
sombreada.
DA
CB
2m
4m xm2
2 2E
F
4. En el romboide ABCD, calcule x.
B C
A D
xm
10m14m
3xm
2
22
2
5. Calcule el área del trapezoide ABCD.
5m
8m
2
2
B
C
A D
N
M
6. En el cuadrado ABCD, BP =1 y PD = 7. Calcule el
área limitada por el rombo APCQ.
P
B C
D
Q
A
110 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
7. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.
 C
Q
B
P A D R
30º
12
8. Calcule el área de la región sombreada si 10 es la
longitud del diámetro.
10
8
9. Calcule el área de la región sombreada.
53º
5
2
10. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos medios y
calcular el área de la región ABPD; de mayor
perímetro. (Sx)
Sx
2m2
A
B C
D
N
M
P
1. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.
E
C
D
B
A
2 3
30º
2. Calcule el área de la región ABCD.
9
6
CB
A
111« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
3. Calcule el área de la región limitada por el romboide
ABCD.
 
B C
D
4 2
45º
4. Calcule el área de la región limitada por el trapecio
ABCD.
4m
8m
2
2
B C
P D
5. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.
C
A DP R
37º
B
Q
123
6. En el grafico: calcular el área del cuadrado cuyo
apotema es 2 .
2
7. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial
ABCD.
16u2
25u2
A
B C
D
8. En el gráfico: calcular el área de la región romboidal
ABCD.
A D
B CH
60º
510
9. En el gráfico: ABCD es un trapecio la base mayor es
el doble de la menor. Encuentra la relación entre el
área del trapecio y el área sombreada.
a
2a
A
B C
D
10. En el gráfico: calcular el área de la región rectangular.
A 2a
B
D
C
10 a
112 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
N
OT
A
2. En el gráfico.
Calcular el área de la
región cuadrada ABCD;
si: CE=ED
DA
CB
E
5
3. Uno de los ángulos interiores de un rombo mide 150º,
el perímetro de su región es 24. Calcular el área de
dicha región rombal.
1. En el gráfico: calcular el área de una región romboidal ABCD.
 
A D
B C
60º
16
20
113« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 16
ÁREAS III
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
CÍRCULO:
Es una porción del plano cuyo contorno es una circun-
ferencia:
Ahora pasaremos a estudiar las fórmulas para el cálcu-
lo de las principales regiones circulares.
1) ÁREA DE UN CÍRCULO: O es centro.
R
O
Se cumple:
2  S R
Donde:
R : Radio del círculo.
2) ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
Es aquella región plana limitada por dos
circunferencias concéntricas.
O
A BT
a
R
r
En el gráfico:
O es centro de las circunferencias.
T : Punto de tangencia.
Se cumple:
1. 2 2coronaS = (R -r )
2.  
2
corona
AB
S
4
 

o tambien: Scorona = a
2
3) SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción del círculo limitada por un ángulo
central y su arco correspondiente.
R
O
A
B

R
En el gráfico:
R : Radio del sector circular AOB.
 : Medida del ángulo central.
Se cumple: 
2
360º


R
S AOB
Observación:
R
R
R RO
S
A
B
 
2RS
4

4) SEGMENTO CIRCULAR
Es aquella porción del círculo limitada por una cuerda
de dicho círculo y el arco que subtiende dicha cuerda.
 
O

RR
A B
P
En el gráfico:
 : Medida del ángulo central.
O: Centro del círculo.
AB : cuerda
APB: Segmento circular determinado por el segmento
AB .
114 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
Bloque I
1. En el gráfico O es centro: calcular el área del sector
circular.
36º
10
10
B
O
A
2. En el gráfico O es centro, A es punto de tangencia:
calcular el área de la corona circular. AB = 4.
R
O
r
B
4
A
3. En la figura, calcular el área del semicírculo.
8
4
4. En la figura, calcular el área del cuadrante.
2 8
5. En la figura, calcular el área de la corona circular.
6
 
6. En la figura: calcular el área de la región sombreada.
Si: AB = 6, BC = 8. Si O es centro.
M N
A C
B
O
7. En el gráfico: Calcular el área del círculo. Si: AB =
BC = 5 y AC = 6. M, N, P son puntos de tangencia,
si: O es centro.
O
N M
PA C
B


115« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
8. Del gráfico: calcular la razón entre el área del círculo
y el área de la región triangular ABC. Si: O es centro.
O
A C
B
9. En el gráfico: calcular el área de la corona circular. Si:
AB=4, OA=R, OP=r. Además: P es punto de
tangencia.
A
O
B
P
10. En el gráfico O es centro: calcular el área del sector
circular AOB. Si OA = 6.
60ºO
A
B
6
6
Bloque II
1. En el gráfico: ABCD es un cuadrado, AB = 2 2 .
Calcular el área de la región sombreada. Si: O1 y O2
son centros.
B C
A D
O1
O2
2. Calcular el área del círculo inscrito en el semicírculo.
6 12
3. En el semicírculo mostrado, AB=12; mCD 30  y
AB // CD . Calcular el área de la región sombreada.
BOPA
C D
116 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
4. En el cuadrante AOB, calcular 
1
2
S
S
 
 
 
A
O
S2
S1
B
5. En el gráfico: el área del círculo es 9  . Calcular el
área de la región cuadrada. R: Radio.
B C
A O
R
R
R R
2R
6. Calcule el área del semicírculo si ABCD es un
cuadrado de lado  2+ 2 .
A D
B C
F E
 
7. En el cuadrante AOB, calcular el área de la región
sombreada.
A
O
D
B
C
3
15
8. Calcular el área del círculo si AB es diámetro; AC=8;
CD=2 y B es punto de tangencia.
A B
D
C
9. En el cuadrante AOB, Calcular 
1
2
S
S
 
 
 
A
O
S2
S1
B
10. En la figura, calcular el área de uno de los círculos
congruentes.
35
37°
117« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
1. Calcular el área del círculo inscrito.
x+33
x+11 x+22
2. Calcular el área del sector circular CDE, si ABCD es
un cuadrado de lado 2 3 . A y D son centros de los
arcos BD y AC.
A D
B C
E
3. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreda.
Si: O es centro ( AD y BC son diámetros).
A DOB C
7
5
4. Calcular el área del segmento circular.
1 4
5. Calcular el área del círculo si: PA= 2 +2
45°
A
B
P
6. Calcular el área de la corona circular.
4
7. En el gráfico O es centro: calcular el área del sector
circular sombreado.
R
R
R
120º
A
B
C
O
8. En el gráfico: AB= BC = 8. Calcular el área de la
región sombreada. Si O y B son centros.
OB
A
C
118 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
9. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreada.
AB es diámetro..
A O B
45º
P
2 2
10. En el gráfico. Calcular el área del círculo inscrito en el
sector circular de 60º. P y O son centros.
30º
B
P
A
30º
15
15
O
r
r
N
OT
A
2. En la figura,
calcular el área del
semicírculo.
6
4
3. En el gráfico: calcular R; si O es centro y el área de la
región sombreada es 10  .
R
6
O
1. En el cuadrante AOB, calcular el área de la región sombreada.
2
4
A
CO B
D
119« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 17
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS I
PRISMA
Es aquel poliedro determinado por una superficie pris-
mática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a
todas las generatrices.
E
DF
CA
B
Base
Arista
lateral
Cara
lateral
Elementos:
1. Bases: Son las regiones poligonales congruentes y
paralelas ABC y DEF.
2. Caras laterales: Son regiones limitadas por
paralelogramos cuyo número es igual al número de
lados de la base y forman la superficie lateral del pris-
ma: ABEF, EBCD, CDFA.
3. Aristas laterales: Son las intersecciones de las caras
laterales AF, BE, CD
4. Altura: Es la distancia entre las bases.
En todo prisma:
• Toda arista contenida en alguna base del prisma se
denomina arista básica.
• Los prismas se nombran según el número de lados
que tiene la base, por ejemplo si tiene 5 lados, se le
denomina prisma pentagonal, si tiene 8 lados se le
llamará prisma octogonal.Clasificación de los Prismas
I. Por la inclinación de sus caras
1) Prisma Oblicuo: Es aquel prisma cuyas aristas
laterales no son perpendiculares a las bases.
B C
A D
F G
E H
En el gráfico se muestra un prisma cuadrangular oblicuo:
ABCD – EFGH.
2) Prisma Recto: Es aquel prisma cuyas aristas late-
rales son perpendiculares a las bases.
B C
R
SP
Q
D
A
En el gráfico se muestra el prisma cuadrangular ABCD
– PQRS.
Para hallar:
i) El área de la superficie lateral: (ASL)
(Base)SLA 2 p h
• El área de la superficie lateral del prisma recto, es igual
al perímetro de la base multiplicado por la altura de dicho
prisma.
ii) Volumen (V)
(base)V S  h
• El volumen del prisma recto es igual al área de la base
multiplicado por la altura de dicho prisma.
iii) Área de la superficie total (AST)
(base)ST SLA A 2S 
• El área de la superficie total del prisma es igual al
área de la superficie lateral más dos veces el área de
la base.
II. Según su regularidad
a) Prisma regular: Es aquel cuyas bases son
polígonos regulares.
b) Prisma irregular: Es aquel cuyas bases no son
polígonos regulares.
3) Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro:
Es un prisma cuyas caras son regiones rectangulares.
c
b
d
a
Tenemos: a, b y c: Dimensiones del paralelepípido rec-
tangular
120 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
i) Tiene cuatro diagonales, los cuales son concurren-
tes de igual longitud.
2 2 2 2d a b c  
ii) Área de la superficie total (AST)
STA 2( )ab bc ac  
iii) Volumen (V)
V a b c  
4) Hexaedro regular o cubo: Es aquel poliedro regular
limitado por seis regiones cuadradas. Tiene 4
diagonales, las cuales son de igual longitud y concu-
rren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.
a
B C
D
O
GF
A
E H
Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH
a) Diagonal del cubo
CE 3a
b) Área de la superficie (A)
2A 6a
El área de un cubo es seis veces el área de una de sus
caras.
c) Volumen (c)
3V a
El volumen del cubo es igual a la longitud de su arista
elevado al cubo.
Observación:
Si: OE=OC
Entonces: “O” es el centro del hexaedro regular.
Bloque I
1. En el rectoedro, calcular:
a) El área de la superficie lateral
b) El área de la superficie total
c) Volumen
B C
G
HE
A
F
D
12u
u
25u
2. En el gráfico calcular el volumen y el área de la
superficie lateral del prisma triangular
6u
4u
8u 10u
F
D
E
A B
C
3. La arista básica de un prisma cuadrangular regular
mide 12u y la altura mide igual al semiperímetro de
la base. Calcular el área lateral del prisma.
121« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
4. La diagonal de un hexaedro regular mide 6 3 u.
Calcular el área de la superficie total.
5. Calcular el volumen de un prisma recto si su altura
mide 10u y sus aristas básicas 6u, 8u, 10u.
6. La base de un prisma recto es un triángulo cuyos lados
miden 13, 14 y 15u. Si la altura del sólido mide 10u.
Calcular su volumen
7. Calcular el volumen de un prisma hexagonal regular de
altura 7 3 u, si el apotema de su base mide 3 u.
8. En el gráfico, calcular la longitud de la arista del
hexaedro regular. “O” es centro de la cara ABCD. Si:
OQ = 6 u .
Q R
C
DA
B
P S
O
9. En el gráfico el área de la superficie total de un
rectoedro es 478u2, la suma de sus dimensiones es
27u. Calcular su volumen.
9 - r
9+r
9u
10. Se tiene un prisma triangular regular recto, si la
diagonal de una de sus caras mide 4u y el ángulo que
ésta forma con la base mide 60°. Calcular su volumen.
122 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
Bloque II
1. En el gráfico calcular el volumen del cubo, sabiendo
que su diagonal mide 5u.
B C
G
HE
F
A D
37º
2. En el prisma triangular regular, la arista básica mide
6. Calcular la longitud de la altura, si el volumen del
sólido es 36 3 3u .
BA
P
R
Q
C
3. En el gráfico calcular el área de la superficie total del
cubo. Si: AE = 2 u3
A B 
C D 
E 
F G 
H 
4. Calcular el área de la superficie lateral de un prisma
recto, si su base es un triángulo equilátero cuyo lado
mide 2 y la altura del prisma mide 6u.
5. En un hexaedro regular, calcular la longitud de una
diagonal, el área de una cara es: 64
6. Las dimensiones de un rectoedro son 6u, 8u y 4u.
Calcular la longitud de su diagonal.
123« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
7. Calcular el volumen de un cubo si su arista mide 4u.
8. En el hexaedro regular: calcular su volumen
A B 
C D 
E 
F G 
H 
9. Calcular el volumen del prisma cuadrangular regular
de 192u2 de área de la superficie total y 5u de altura.
10. Calcular el volumen de un cubo si la longitud de su
diagonal es 6u.
1. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo
de catetos 5 y 12. Si la altura del prisma es 6, calcular
su volumen.
2. Calcular el volumen del cilindro circular recto de altura
5, si el perímetro de su base es 6
3. La base de un prisma recto es un cuadrado de
perímetro 8. Si su altura es igual a la diagonal de su
base, calcular su volumen.
4. Si la arista de un hexaedro regular mide 5u. Calcular
el área de su superficie.
5. Si las dimensiones de un rectoedro son 2u, 3u y 5u.
Calcular su volumen.
6. En la figura, calcular el volumen del prisma
cuadrangular regular. Si el perímetro de su base es
12u.
Q R
C
DA
B
P S 5u
7. Calcular el volumen de un prisma triangular si los lados
de la base miden 5, 8 y 5u además la altura mide
10u.
8. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de
las caras miden 34 u, 58 u y 74 u. Calcular su
volumen.
124 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
9. En el gráfico calcular el volumen del ortoedro.
4u
12u
6u
10. Calcular el volumen del prisma regular mostrado.
13
5
N
OT
A
3. En el gráfico las longitudes de los lados del ortoedro
están en la relación de 1, 2 y 3. Si su volumen es 48u3,
calcular el área de la superficie total
A 
B C 
D 
E F 
G H 
1. En el gráfico calcular el volumen del prisma recto triangular regular.
 
A
10u
P R4u
C
Q
B
2. Calcular el
volumen de un
hexaedro regular si la
suma de las longitudes de
todos sus aristas es 48u.
125« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
TEMA 18
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS II
PIRÁMIDE
Se llama pirámide al sólido determinado al intersectar
mediante un plano secante una superficie piramidal cerra-
da; la sección determinada se llama base de la pirámide.
La distancia del vértice o cúspide de la pirámide, a la
base se llama altura.
Pirámide regular: Es una pirámide que tiene por base
una región poligonal regular y el pie de su altura es el
centro de la base.
O
A a
B C
D
V
a
M
Elementos de la Pirámide :
1) Vértice: V
2) Arista básica: AD, AB, CD, BC
3) Altura: VO
4) Apotema: (Altura de una cara lateral) VM
5) Base: ABCD
6) Aristas laterales: VA, VB, VD, VC
Para hallar:
Área de la superficie lateral (ASL)
S L (Base)A P  ap
El área de la superficie lateral de una pirámide el igual al
semiperímetro de la base por el apotema.
Área de la superficie total (AST)
S T S T (Base)A A S 
El área de la superficie total de la pirámide es igual al área
de la superficie lateral más el área de la base.
Volumen (V)
(Base)SV
3


h
El volumen de la pirámide es 13 del área de la base por la
altura.
CILINDRO CIRCULAR RECTO
Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, tam-
bién denominado cilindro de revolución porque es gene-
rado por una región rectangular al girar una vuelta en tor-
no a uno de sus lados.
360°
r
Eje de
giro
r
r
O1
O2
h g h
En el gráfico se muestra un cilindro circular recto.
Donde:
h=g: generatríz, altura
r= radio de la base
Área de la superficie lateral (ASL)
S LA 2 rg
El área de la superficie lateral del cilindro es igual a la
longitud de la base por la generatriz.r: radio de la base
g: generatríz
Área de la superficie total (AST)
S TA 2 ( )  r g r
Volumen (V)
2V  r g
El volumen del cilindro es igual al área de la base por la
generatriz.
126 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
Bloque I
1. Calcular el volumen del cilindro recto, si el área de la
base es 16 2u AD = 4u.
r
r
O
O
A B
D C
 
2. En el gráfico: Calcular el volumen de la pirámide
regular
A
B C
D
V
6u
3. Calcular la medida de la arista básica de una pirámide
cuadrangular regular si su área de la superficie total
es 600 2u y su apotema mide 25u.
4. Calcular el volumen de una pirámide regular si su
apotema mide 15u y su base es un triángulo equilátero
de 18 3 u de lado..
5. Calcular el área de la superficie total del cilindro recto:
145u 9u
6. En un cilindro recto, el área de su base es 81  2u . Si
la generatríz es el doble del diámetro. Hallar el área
de la superficie lateral.
7. Calcular el área de la superficie total del cilindro recto.
Si AB=2u, “O” centro de la base.
A B
D C
2u
O
O
8. La altura de un cilindro recto mide 6u y el área de su
superficie lateral es 36 2u . Calcular su volumen.
127« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
9. Calcular la arista básica de una pirámide cuadrangular
regular cuya área de su superficie total es 156u2 y su
apotema mide 10u.
10. Calcular el área de la superficie total de la pirámide
cuadrángular regular, si: h=12u, CD= 10u.
A 
B C 
D 
h 
H O
Bloque II
1. La base de una pirámide regular es un cuadrado cuya
área es 25u2. Si el apotema de la pirámide es 12u.
Calcular el área de la superficie lateral.
2. La figura muestra un tarro de leche cuya altura es
12u y el radio de la base mide 4u. Hallar el área de la
etiqueta. (suponer que la etiqueta cubre todo el área
lateral)
r
A B
D C
3. Calcular el volumen del cilindro, si el diámetro de la
base mide 10.
r
3
O
 
4. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro
mostrado.
A B
D C
4
12
O
 
5. Calcular la arista básica de una pirámide cuadrangular
regular, si el área de su superficie total es 600 2u y su
apotema mide 25 2u .
6. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro
recto mostrado.
13u
B C
A
5u
7. Calcular el área de la superficie total de una pirámide
cuadrangular regular P–ABCD cuya arista de la base
mide 12u, sabiendo que el área de la región triangular
PAC es 48 3 u2.
128 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
8. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro de
revolución si: O es el centro de la base,AO = 5u.
O
A
B
37
°

9. Una pirámide triángular de volumen 27, es cortada
por un plano paralelo a su base, determinandose una
pirámide menor cuyo volumen se pide calcular,
sabiendo que la relación entre sus alturas es 2
5
.
10. Calcular el volumen de la pirámide regular mostrada
V–ABC.
4 2
1. En el gráfico: Si el diámetro de la base mide 18u.
Calcular el volumen del cilindro recto.
r
A
D
B
C
3u
2. En el gráfico: Calcular el volumen del cilindro recto.
Si: OA: 2 8u
O
A
B45°
3. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular
cuya arista básica mide 6 y su altura 8.
4. Calcular el volumen de la pirámide regular.
A
B C
D
V
4 2u
2 11u
M
5. Calcular el volumen de una pirámide triangular cuyas
aristas básicas miden 6u, 8u, 10u y su altura mide 9u.
6. Calcular la longitud de la arista básica de una pirámide
regular de base cuadrangular, cuya área de su superficie
total es 360u2 y su apotema mide 13u.
129« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
7. Si el diámetro de la base del cilindro recto mide 4u.
Calcular el área de la superficie total.
r
A B
D C
4u
8. El área de la superficie lateral de un cilindro es 6u2, su
volumen 3 3u . Calcular el área de su superficie total.
9. Calcular el volumen de un cilindro circular recto cuya
área de su superficie lateral es 100 y su altura es
igual al diámetro de su base.
10. Calcular el volumen de la pirámide regular mostrada.
N
OT
A 1. En la figura, calcular el volumen del cilindro circular recto.
3. Calcular el volumen de la pirámide regular mostrada.
2. Calcular el
volumen de un
cilindro recto, si la
generatríz mide el doble del
radio de su base, además el área
de su superficie lateral es 64 2u .
9
6
130 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
TEMA 19
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS III
CONO CIRCULAR RECTO O DE
REVOLUCIÓN
Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también
se denomina cono de revolución porque es generado por
una región triangular rectangular al girar una vuelta en
torno a un cateto.
r
g
O
hg
BA
V
360°
r
r
En el gráfico se muestra un cono recto.
h: altura del cono VO
g: generatríz del cono VA
Volumen (V)
2
V
3
 

r h
El volumen de un cono es 13 del área de la base por su
altura.
Área de la superficie lateral (ASL)
S LA    r g
El área de la superficie lateral del cono es, igual al
semiperímetro de la base por la generatriz.
Área de la superficie total (AST)
S TA ( )   r g r
El área de la superficie total del cono es igual al área de la
superficie lateral ( )rg más el área de la base 2( )r .
ESFERA
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar
360° en torno a su diámetro.
R O
RO
“O”: Centro de la
 esfera
360°
Volumen (V) 
34V R
3
 
Área de la superficie esférica (ASE) 
2
SEA 4 R 
Bloque I
1. Calcular el volumen del cono recto circular mostrado.
5
2. Calcular el área de la superficie lateral del cono circular
recto mostrado. O es centro.
131« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
3. Calcular el área de la superficie total del cono recto
circular mostrado.
 
4. Calcular el volumen de un cono equilátero de altura 6u.
5. El área de la superficie lateral de un cono de revolución
es igual a 65 2u y el área de su base es 25 2u .
Calcular el volumen del cono.
6. Calcular el radio de la esfera inscrita en un cubo, cuya
área de su superficie total es 24 2u .
7. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto.
Calcular la relación entre el volumen de la esfera y el
volumen del cilindro.
8. En el gráfico: Calcular la relación entre los volúmenes
de la semi-esfera y el cono. O y Q son centros.
O Q
V
M
45°
9. Una esfera cuyo radio mide 3u es equivalente a un
cono circular recto cuyo radio de la base mide 2u.
Calcular la medida de la altura del cono.
10. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un
cubo cuya área de la superficie total es 288 2u .
 
Bloque II
1. La generatríz de un cono mide 10u y el área de su
superficie lateral es 60  2u . Calcular el volumen del
cono.
132 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
2. Calcular el volumen del cono que se muestra en el
gráfico. “O” centro de la base.
O
BA
V
37°15u
r
3. En el gráfico: Calcular el volumen del cono. “O” centro
de la base.
O
BA
P
12 3
O
BA
P
12 3
O
BA
P
12 3u
4. Calcular el volumen de la esfera. Si: “O” centro de la
esfera, PQ = 6u.
Q
P
45°
O
 
5. En el gráfico, calcular el volumen de la esfera si la
longitud de la región sombreada es 2 2 u. “O””
centro de la esfera.
r
O
 
6. Calcular el área de la superficie lateral de un cono
recto, si su generatriz mide 6u y el diámetro de su
base 8u.
7. En el gráfico: Calcular el volumen del cono recto. “O”
centro de la base
O
BA
V
10u
8. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral
del cono recto. “O” centro de la base.
 
O
BA
P
15
2 61u
9. Calcular el volumen el tronco de cono circular recto
mostrado.
10. En la figura se muestra un cono circular recto y una
esfera inscrita en dicho cono. Calcular el área del círculo
tangente a las generatrices del cono mayor.
133« Marcando la Diferencia en Valores...Hoy y Siempre »
Tercer Año de Secundaria Geometría
1. Calcular el volumen del cono circular recto cuya
generatríz mide 4u y forma con el plano de la base
un ángulo de 30°.
2. Calcular el área de la superficie total de un cono de
revolución de 13u de generatríz y 12u de altura.
3. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un
cubo cuya área de su superficie total es 288 2u .
4. El diámetro de una esfera mide 12. Calcular el área
de la superficie esférica y su volumen.
5. En el gráfico: Calcular el área de la superficie lateral
del cono. “O” centro de la base.
O
CA
B
3r4
r
6. Calcular el volumen del cono circular recto mostrado,
si 0 es centro.
7. En el cono circular recto mostrado, calcular  , si el
área de su superficie lateral, es igual al doble del área
de su base.
8. Calcular la longitud del radio de la semi-esfera, si el
área de la superficie esférica es 48 2u . R=Radio..
R
O
BA
9. Calcular el volumen y el área de la superficie esférica.
Si el área de la región sombreada es 36 2u . “O” es
centro de la esfera.
rO
10. Calcular el volumen de una esfera cuya área de su
superficie esférica es 144  2u .
134 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Tercer Año de Secundaria
N
OT
A
2. En el gráfico:
Calcular el área de la
superficie esférica.
OB =Radio, CB = 4u
A B
C
45°
O
3. Calcular la razón entre el área de la superficie lateral del
cono y el área de su base. “O” centro de la base.
O
BA
V
30°
1. Calcular el área de la superficie total del cono circular recto, si el radio de su
base mide 4u, r: Radio.
 
rO BA
V