P_Sem 15_Ses 30_Metodos de Integración aplicados a la Integral Definida (Por Partes) ppt

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
APLICADOS A LA INTEGRAL 
DEFINIDA. (POR PARTES)
SEMANA 15
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante aplica la técnica de la
integración por partes en las integrales definidas.
PASOS A SEGUIR
1. Calcular la integral indefinida
2. Calcular los límites de integración
EJEMPLO DE APLICIÓN
1. Calcular: 
1
3
𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
Paso 1: Cálculo de la integral indefinida:
 𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
 𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
1
3
𝑥3 ln 𝑥 −
𝑥3
9
+ 𝐶 …… . (∝)
Paso 2: Cálculo de los límites:
 
1
3
𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 9ln 3 − 3 − −
1
9
= 9ln 3 − 3 +
1
9
= 9ln 3 − 3 −
26
9
()

 𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜:
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥
𝑑𝑣 = 2𝑥2𝑑𝑥
→
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
𝑣 =
𝑥3
3
Reemplazando en la fórmula de integración por partes:
 𝑥2𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥3
3
𝑙𝑛𝑥 − 
𝑥3
3
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑥3
3
𝑙𝑛𝑥 −
1
3
 𝑥2𝑑𝑥
=
𝑥3𝑙𝑛𝑥
3
−
𝑥3
9
+ 𝐶
EJEMPLO DE APLICACIÓN
2. Calcular:
 
0
3
ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥
Paso 1: Cálculo de la integral indefinida:
 ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥
 ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑥2 + 𝐶
Paso 2: Cálculo de los límites:
= 3𝑙𝑛 10 + 3 − 10 − −1
 
0
3
ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 3𝑙𝑛 10 + 3 − 10 − −1
= 3𝑙𝑛 10 + 3 − 10 +1
()
()

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝑥2
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
→ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑣 = 𝑥
Reemplazando en la fórmula de integración por partes:
 ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥
 ln 𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 
𝑥𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑥2 + 𝐶
EJEMPLO DE APLICACIÓN
3. Calcular:
Paso 1: Cálculo de la integral indefinida: 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
4
2𝑥 − 1 + 𝐶
Paso 2: Cálculo de los límites:
=
𝑒2 (7𝑒6 − 1)
4
 
1
4
𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
7𝑒8
4
−
𝑒2
4
 
1
4
𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
()

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
→ 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 =
𝑒2𝑥
2
Reemplazando en la fórmula de integración por partes:
 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑥𝑒2𝑥
2
− 
𝑒2𝑥𝑑𝑥
2
=
𝑥𝑒2𝑥
2
−
𝑒2𝑥
4
+ 𝐶
 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥
=
𝑒2𝑥
4
2𝑥 − 1 + 𝐶
EJEMPLO DE APLICACIÓN
4. Calcular:
Paso 1: Cálculo de la integral indefinida: 𝑥
2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥
 
0
2
𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥
 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 + 2𝑥 − 2
2
𝑒2𝑥 + 𝐶
Paso 2: Cálculo de los límites:
= 1 + 3𝑒4
 
0
2
𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 3𝑒4 − (−1)
()

 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑢 = 𝑥
2 + 3𝑥 − 1
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
→ 
𝑑𝑢 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑥
𝑣 =
𝑒2𝑥
2
Reemplazando en la fórmula de integración por partes:
 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 − 1
2
𝑒2𝑥 − 
2𝑥 + 3
2
𝑒2𝑥𝑑𝑥… . . (1)
Nuevamente a la 
integral:
 
2𝑥 + 3
2
𝑒2𝑥𝑑𝑥, lo integramos por partes:
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 
𝑢 = 2𝑥 + 3
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
→ 
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
𝑣 =
𝑒2𝑥
2
()
()

Reemplazando en la fórmula de integración por partes:
 2𝑥 + 3 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
2𝑥 + 3
2
𝑒2𝑥 − 
𝑒2𝑥
2
2𝑑𝑥
Ahora reemplazamos (2) en (1):
=
2𝑥 + 3
2
𝑒2𝑥 −
𝑒2𝑥
2
= 𝑥 + 1 𝑒2𝑥 ……(2)
 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2 + 3𝑥 − 1
2
𝑒2𝑥 −
𝑥 + 1
2
𝑒2𝑥 + 𝐶
En grupos de 4 alumnos resolver los 
ejercicios de la separata