P_Sem6_Ses11_Derivada Función Logaritmo_Función Exponencial PPT

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MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
SEMANA 6
Al finalizar la sesión de clase, los estudiantes
aplican correctamente el cálculo de la derivada de
funciones logarítmicas y exponenciales.
LOGRO DE LA SESIÓN
DERIVADA DE LA FUNCIÓN 
LOGARITMO
Sea 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥
Sea 𝑓 𝑥 = ln[𝑔 𝑥 ] ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥
. 𝑔′(𝑥)
LOGARITMO NATURAL o NEPERIANO (base “e”)
DERIVADA DE LA FUNCIÓN 
LOGARITMO
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥. ln 𝑎
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥 . ln 𝑎
. 𝑔′(𝑥)
LOGARITMO COMÚN (base diferente a “e”)
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Calcule la derivada para cada 
función:
1) 𝑓 𝑥 = 3 ln 𝑥
Sea 𝑓 𝑥 = ln[𝑔 𝑥 ] ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥
. 𝑔′(𝑥)
Sea 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥. ln 𝑎
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥 . ln 𝑎
. 𝑔′(𝑥)
1
2
3
4𝑓´ 𝑥 =
3
𝑥
2) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥2+5𝑥)
𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥2+5𝑥
. (𝑥2+5𝑥)´
𝑓´ 𝑥 =
2𝑥 + 5
𝑥2 + 5𝑥
3) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥2+𝑥 − 2)
𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥2+𝑥−2
. (𝑥2+𝑥 − 2)´
𝑓´ 𝑥 =
2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 2
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Calcule la derivada para cada 
función:
4) 𝑓 𝑥 = log 3𝑥
Sea 𝑓 𝑥 = ln[𝑔 𝑥 ] ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥
. 𝑔′(𝑥)
Sea 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥. ln 𝑎
Sea 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓´ 𝑥 =
1
𝑔 𝑥 . ln 𝑎
. 𝑔′(𝑥)
1
2
3
4𝑓´ 𝑥 =
1
3𝑥.ln 10
. 3𝑥 ´
5) 𝑓 𝑥 = log(𝑥2 + 3)
𝑓´ 𝑥 =
1
𝑥2+3 .ln 10
. (𝑥2+3)´
𝑓´ 𝑥 =
2𝑥
𝑥2 + 3 . ln 10
6) 𝑓 𝑥 = log2(7𝑥 − 3)
𝑓´ 𝑥 =
1
7𝑥 − 3 . ln2
. 7𝑥 − 3 ′
𝑓´ 𝑥 =
3
3𝑥. ln 10
=
1
𝑥. ln 10
𝑓´ 𝑥 =
7
7𝑥 − 3 . ln2
DERIVADA DE LA FUNCIÓN 
EXPONENCIAL
Si: 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥
𝐷 𝑒𝑥
𝑑𝑥
= ?
𝒆𝒙 = 𝒎
ln𝑒𝑥 = ln𝑚
xln 𝑒 = ln𝑚
Sabemos que ln e = 1
1= 𝑑𝑚
𝑚
𝑚 = 𝑑𝑚
Si:
D𝒎 = 𝒆𝒙
EJERCICIO EXPLICATIVO 
𝐹 𝑥 = 3𝑒−4𝑥Si:
m = 3𝑒−4𝑥
Aplicamos logaritmos:
ln 3𝑒−4𝑥 = ln𝑚
ln 3 + ln 𝑒−4𝑥 = ln𝑚
ln 3 − 4𝑥 ln 𝑒 = ln𝑚
Derivando:
−4 ln 𝑒 =
𝑑𝑚
𝑚
− 4 𝑙𝑛 𝑒 𝑚 = 𝑑𝑚
− 4 𝑙𝑛 𝑒 3 𝑒−4𝑥 = 𝑑𝑚
−𝟏𝟐 𝒆−𝟒𝒙 = 𝒅𝒎
¡A practicar!
EJERCICIO RETO
• Calcular la derivada de las siguientes funciones:
a)𝑓 𝑥 = 𝑥3 . log(3𝑥 − 2)
b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−𝑥 + 23𝑥−1 .