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MATEMÁTICAS PARA LOS NEGOCIOS 2 INTEGRAL DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS INTEGRAL DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SEMANA 14 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de la clase, el estudiante utiliza acertadamente las reglas y/o fórmulas de la integral de funciones exponenciales y logarítmicas en la solución de ejercicios con autonomía y seguridad. FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 𝐈. 𝐋𝐚𝐬 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚𝐭𝐚𝐬 𝑎) න 1 𝑥 ⅆ𝑥 = ln 𝑥 + 𝐾 𝑏) න𝑒𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐾 𝑐) න𝑎𝑥 ⅆ𝑥 = 1 ln 𝑎 𝑎𝑥 + 𝐾 ⅆ𝑜𝑛ⅆ𝑒: 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 OBSERVACIÓN A estas alturas debe ser capaz de reconocer una integral que puede resolverla de forma directa. Ser capaz de aplicar dos métodos (sustitución o por partes) cuando la integral no es directa. Uno de estos métodos “cuando la función es fraccionaria” tiende a pensar en sustitución pero; sea observador: Si el numerador es de grado mayor al denominador debe reducir la fracción dividiendo los polinomios. Solo si el denominador es de grado uno puede pensar que esta frente a una integración logaritmo. EJERCICIOS EXPLICATIVOS 𝟏) 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫: න 3𝑥2 + 2 𝑥 ⅆ𝑥 Puede pensar en sustitución pero; observe que el numerador es mayor que el denominador Se recomienda dividir o expresar la función en monomios separados න 3𝑥2 + 2 𝑥 ⅆ𝑥 = න 3𝑥 + 2 𝑥 ⅆ𝑥 Ahora puede expresar el ejercicio como dos integrales independientes න3𝑥 ⅆ𝑥 + න 2 𝑥 ⅆ𝑥 EJERCICIOS EXPLICATIVOS න3𝑥 ⅆ𝑥 + න 2 𝑥 ⅆ𝑥 INTEGRAL INMEDIATA INTEGRAL LOGARITMO 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪 EJERCICIOS EXPLICATIVOS න2𝑒𝑥 ⅆ𝑥 + න5𝑥 ⅆ𝑥 2) 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫: න 2𝑒𝑥 + 5𝑥 ⅆ𝑥 𝟐𝒆𝒙 + 𝟓𝒙 𝒍𝒏 𝟓 + 𝑪 INTEGRALES EXPONENCIALES EJERCICIOS EXPLICATIVOS Hallar: න −2𝑒3𝑥 + 5 𝑥 ⅆ𝑥 න−2𝑒3𝑥ⅆ𝑥 + න 5 𝑥 ⅆ𝑥 −𝟐 𝒆𝟑𝒙 𝟑 + 𝟓 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪 EJERCICIOS EXPLICATIVOS Solución. Halle න 3 5𝑡 − 12 ⅆ𝑡 Usando la regla del factor constante y la cuarta fórmula: න 3 5𝑡 − 12 ⅆ𝑡 = 3න 1 5𝑡 − 12 ⅆ𝑡 = 3 ⋅ 1 5 ⋅ ln 5𝑡 − 12 + 𝐶 = 𝟑 𝟓 ⋅ 𝒍𝒏 𝟓𝒕 − 𝟏𝟐 + 𝑪 EJERCICIOS EXPLICATIVOS La función de costo marginal de un fabricante es 𝐶′ 𝑞 = 150 0.1𝑞 + 2 Si 𝐶 está en dólares, ¿qué tanto más costaría incrementar la producción de 10 a 20 unidades? න𝐶′ 𝑞 ⅆ𝑞 = න 150 0.1𝑞 + 2 ⅆ𝑞 𝐶(𝑞) = 150 ⋅ 1 0.1 ⋅ ln 0.1𝑞 + 2 + 𝐾 𝐶(𝑞) = 1500 ⋅ ln 0.1𝑞 + 2 + 𝐾 Piden 𝐶 20 − 𝐶 10 = 1500 ln 4 − 1500 ln 3 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝐥𝐧 𝟒 𝟑 dólares EJERCICIOS RETO Halle න 1 3𝑢 + 1 + 𝑒−5𝑢 ⅆ𝑢 Respuesta: 𝟐 𝟑 𝟑𝒖 + 𝟏 − 𝒆−𝟓𝒖 𝟓 + 𝑪 ¡Ahora todos a practicar!
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