Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Lea materiales sin conexión, sin usar Internet. Además de muchas otras características!
Mecánica de solidos II
Luis Osmar
Compartir
Vista previa del material en texto
IRWIN
mt
MECÁNICA DE SÓLIDOS
CONCEPTOS Y APLICACIONES
William B. Bickford
ÍNDICE GENERAL
U.C.V - B /R ' ¡n?crA
•R* Y 1 ^ ¿ U F C L 4
Lista de símbolos
1 INTRODUCCIÓN 2
1.1 Aplicaciones de la mecánica de sólidos 3
1.2 Áreas de aplicación 5
1.2.1 Vehículos aeroespaciales 5
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis
de automóvil 6
1.2.3 Análisis estructural general 8
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de
sólidos 10
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de
sólidos 14
1.5 Conclusión 20
2 EQUILIBRIO Y ESFUERZO 22
2.1 Introducción 23
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 24
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 32
2.3.1 Definición formal y notación del
esfuerzo 32
2.3.2 Esfuerzos medios 38
2.4 Transformaciones de esfuerzos 51
2.5 Esfuerzos principales 59
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 68
2.7 Conclusión 76
86
3.4
3.5
M
3.7
3 DEFORMACION Y DEFORMACIÓN
UNITARIA 80
3.1 Introducción 81
3.2 Desplazamientos 81
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos
relativos 86
3.3.1 Deformación unitaria longitudinal
3.3.2 Deformación unitaria cortante 94
Relaciones generales entre deformaciones
unitarias y desplazamientos 100
Transformación de la deformación unitaria
105
Deformaciones unitarias principales 112
Círculo de Mohr para estados de deformación
unitaria bidimensionales 119
Medición de la deformación unitaria; galgas
extensiométricas 124
3.9 Conclusión 127
4 COMPORTAMIENTO Y PROPIEDADES DE
LOS MATERIALES 130
4.1 Introducción 131
4.2 Ensayo de tensión 136
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 139
4.3.1 Idealizaciones del comportamiento de
un material 145
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 151
xvi índice general
4.5
4.6
Efectos térmicos 159
Comportamiento elástico lineal; ley de
Hooke 163
Materiales compuestos
6.5.1
4.6.1 173
4.7
M
4.9
Comportamiento dependiente del tiempo 178
Fatiga 180
Teorías de falla; criterios de falla 183
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de
seguridad 198
4.11 Conclusión 204
5 DEFORMACIONES AXIALES 206
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Introducción 207
Equilibrio, deformación y comportamiento del
material 208
Soluciones clásicas 213
Problemas estáticamente indeterminados 230
5.4.1 Formulaciones de flexibilidad 232
5.4.2 Formulaciones de rigidez 240
Excepciones de la teoría 245
5.5.1 Concentraciones de esfuerzos 246
Carga 253
Comportamiento inelástico 255
Carga dinámica 263
Conclusión 267
5.5.2
5.5.3
6 DEFORMACIONES POR TORSION 274
6.1 Introducción 275
6.2 Equilibrio, deformación y comportamiento del
material 278
6.3 Soluciones clásicas 289
6.3.1 Transmisión de potencia mediante
árboles 307
6.4 Problemas estáticamente indeterminados 312
6.4.1 Formulaciones de flexibilidad 312
6.4.2 Formulaciones de rigidez 326
6.4.3 Visión global del problema de la
deformación por torsión 329
6.5 Excepciones de la teoría 330
6.5.2
Concentraciones de esfuerzos 331
Comportamiento inelástico 337
6.7
Torsión de secciones rectangulares y secciones
abiertas de pared delgada 347
Conclusión 356
7 DEFORMACIONES POR FLEXION:
CONSIDERACIONES DE RESISTENCIA
360
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Introducción 361
Cargas y ecuaciones de equilibrio 364
Diagramas de fuerza cortante y de momento
de flexión 370
7.3.1 Uso de secciones y diagramas de
cuerpo libre 371
7.3.2 Integración de las ecuaciones de
equilibrio 377
Deformación y relaciones entre deformaciones
unitarias y desplazamientos 392
Comportamiento del material: relaciones entre
esfuerzo y deformación unitaria 396
Combinación: ecuaciones que rigen en el
problema de la deformación por flexión 399
Esfuerzos de flexión en vigas 404
Esfuerzos cortantes transversales en vigas 425
7.8.1 Flujo de cortante en secciones
simétricas de pared delgada 436
Carga asimétrica y flexión de secciones
asimétricas 456
7.101 Centro de cortante 466
7.11 Excepciones de la teoría 473
7.11.1 Concentraciones de esfuerzos 473
7.1L2] Comportamiento no lineal e inelástico
de vigas 479
7.12 Conclusión 489
8 DEFORMACIONES POR FLEXION;
CONSIDERACIONES DE RIGIDEZ 496
8.1 Deflexiones transversales de vigas 497
8.1.1 Condiciones de frontera 498
7.9
índice general xvii
8 . 2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
[8Í9l
"sTo
Deflexiones usando la integración de
£ /v" = M 502
Deflexiones usando la integración de
El dAv/dxA = — V V ( . T ) 5 1 2 "
Desarrollo y uso de las funciones de
singularidad 515
Deflexiones usando superposición 527
Método de integración del área de momentos
para el cálculo de deflexiones 538
Problemas estáticamente indeterminados 548
8.7.1 Uso de la superposición 549
8.7.2 Integración de EIv" = M 559
Deformación por cortante en vigas 566
Carga dinámica 570
Conclusión y perspectiva de conjunto del
problema de la flexión 575
de desplazamiento; primer teorema de
Castigliano 677
10.4 Métodos de la energía complementaria y de la
flexibilidad 690
10.4.1 Energías complementarias para
elementos con cargas axial, de torsión
y de flexión 694
Análisis de estructuras usando
formulaciones basadas en la variable
de fuerza; primer teorema de Engesser
703
Métodos de la carga virtual 723
Estructuras estáticamente
indeterminadas; principio del trabajo
mínimo 732
10.5 Conclusión 744
10.4.2
10.4.3
10.4.4
9 CARGAS COMBINADAS 582
9.1 Introducción 583
9.2 Cargas axial y de flexión combinadas 585
9.3 Carga axial, de flexión y de torsión combinadas
613
9.4 Recipientes a presión de pared delgada 626
9.5 Límites en las aplicaciones de las cargas
combinadas 644
9.6 Conclusión 646
10 MÉTODOS ENERGÉTICOS 650
10.1 Introducción 651
10.2 Trabajo, energía y energía potencial
estacionaria 653
10.3 Métodos de la energía de deformación y de la
rigidez 666
10.3.1 Energías de deformación para
elementos con carga axial, de torsión y
de flexión 671
10.3.2 Análisis de estructuras usando
formulaciones basados en la variable
11 ESTABILIDAD 748
11.1 Introducción 749
11.2 Estabilidad de sistemas discretos 753
11.3 Columnas con extremos articulados; carga de
pandeo de Euler 763
11.4 Otras condiciones de apoyo y de frontera 773
11.5 Columnas imperfectas 785
11.6 Conclusión 794
APÉNDICES
A Propiedades de superficies planas 797
B Propiedades mecánicas de materiales de
ingeniería seleccionados 811
C Propiedades de perfiles estructurales de acero 813
D Fórmulas para el cálculo de deflexiones en
vigas 825
E Respuestas a problemas seleccionados 829
índice de materias 845
LISTA DE SÍMBOLOS
A área, punto
a, b, c dimensiones, distancias, constantes
C centroide, constante de integración, fuerza de compresión
c distancia del eje neutro a la superficie exterior de una viga
D desplazamiento (traslación o rotación), diámetro
d diámetro, dimensión, distancia
E módulo de elasticidad o módulo de Young
Es módulo de elasticidad secante
E, módulo de elasticidad tangente
e excentricidad, dimensión, distancia, cambio volumétrico
unitario (dilatación, deformación unitaria volumétrica)
F fuerza, flexibilidad
G módulo de elasticidad por cortante o módulo de corte
8 aceleración de la gravedad
H distancia, fuerza, reacción, caballos de potencia
h altura, dimensión
I momento de inercia (o segundo momento) de una superficie
plana
h, ly, h momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,yz
IXX producto de inercia con respecto a los ejes x y y
h momento polar de inercia
11,12 momentos principales de inercia
J constante de torsión
K factor de concentración de esfuerzos
k constante de resorte, rigidez
L longitud, distancia, longitud de un claro
Le longitud efectiva de una columna
In logaritmo natural
M momento de flexión, par, masa
Mp momento plástico en una viga
My momento de fluencia en una viga
m momento por unidad de longitud, masa por unidad de longitud
N fuerza axial
XX Lista de símbolos
n coeficiente de seguridad, número, relación,entero,
revoluciones por minuto (rpm;
O origen de coordenadas
P fuerza, carga concentrada, fuerza axial, potencia
fu]„, carga admisible (o carga de trabajo)
Per carga crítica de una columna
Pu carga última
Px carga de fluencia
p presión (fuerza por unidad de área)
Q fuerza, carga concentrada, momento estático (o momento de
primer orden) de una superficie plana
q valor de una carga distribuida (fuerza por unidad de longitud),
flujo de cortante
R reacción, radio, fuerza
r radio, distancia, radio de giro (r = \/l/~Á)
S módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro
de cortante, rigidez, fuerza
s distancia, longitud a lo largo de una curva
T par de torsión, temperatura, esfuerzo de tensión
T„ par de torsión último
Ty par de torsión de fluencia
r espesor, valor de un par de torsión distribuido (par de torsión
por unidad de longitud)
U energía de deformación
uq densidad de energía de deformación (energía de deformación
por unidad de volumen)
U* energía complementaria
u d e n s i d a d de energía complementaria (energía complementaria
por unidad de volumen)
V fuerza cortante, volumen
v deflexión de una viga, velocidad
v',v", etc. dv/dx, d2v/dx2, etc.
W peso, trabajo
w carga por unidad de longitud (fuerza por unidad de longitud)
X redundante estática
x, y, z coordenadas rectangulares, distancias
x,y,z coordenadas del centroide
a ángulo, coeficiente de dilatación térmica, relación
adimensional, constante de resorte, rigidez
/3 ángulo, relación adimensional, constante de resorte, rigidez
y deformación unitaria cortante, peso específico (peso por
unidad de volumen)
XX Lista de símbolos
7xv. Tve 7zx deformaciones unitarias cortantes en los planos xy, yz, y zx
•ye deformación unitaria cortante para ejes inclinados
yX[ Vl deformación unitaria cortante en el plano xj y\
8, A deflexión, desplazamiento, alargamiento
e deformación unitaria normal
£-v> £y,ez deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y, y z
se deformación unitaria normal para ejes inclinados
e „ , eyx deformaciones unitarias normales en las direcciones x\ y yi
e\ ,e2, deformaciones unitarias normales principales
sy deformación unitaria de fluencia
0 ángulo, ángulo de torsión por unidad de longitud, ángulo de
rotación del eje de una viga
Bp ángulo medido respecto a un plano principal o respecto a un
eje principal
K curvatura (A: = 1 / p)
p radio, radío de curvatura, distancia radial en coordenadas
polares, densidad (masa por unidad de volumen, masa
específica)
v coeficiente de Poisson
cr esfuerzo normal
ax, crv, cr. esfuerzos normales en planos perpendiculares a los ejes x, y,
yz
o-g esfuerzo normal en un plano inclinado
crX|, crV] esfuerzos normales en planos perpendiculares a los ejes girados
xiyi
<Ti, o-2, í73 esfuerzos principales
cradm esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo)
crcr esfuerzo crítico de una columna (<7cr = PCI/A)
cr¡p límite proporcional
a r esfuerzo residual
í7„ esfuerzo último
<Ty esfuerzo de fluencia
t esfuerzo cortante
T.xy, ryz, r- t esfuerzos cortantes en planos perpendiculares a los ejes x, y, y
z y paralelos a los ejes y, j, y x
rg esfuerzo cortante en un plano inclinado
r J ] Vl cortante en un plano perpendicular al eje rotado x\ y paralelo
al eje yi
r a d m esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo) cortante
r„ esfuerzo cortante último
Tv esfuerzo cortante de fluencia
<p ángulo, ángulo de torsión
t¡j relación adimensional
ü) velocidad angular, frecuencia angular (w = l i r f )
Lista de símbolos
Alfabeto Griego
A a Alfa N V Nu
B P Beta i Xi
r y G a m a O 0 Omicrón
A s Delta n 77 Pi
E e Epsilon P P Ro
Z i Zeta 2 a Sigma
H V Eta T T Tao
0 e Teta Y V Ypsilon
I L Iota $ <f> Fi
K K Kapa X X Chi
A A Lambda^P Psi
M P- Mu 0 OJ O m e g a
MECÁNICA DE SÓLIDOS
CONCEPTOS Y APLICACIONES
r
CAPÍTULO 1 Introducción
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
1.1 Aplicaciones de la mecánica de sólidos
1.2 Áreas de aplicación
1.2.1 Vehículos aeroespaciales
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis de un automóvil
1.2.3 Análisis estructural general
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos
1.5 Conclusión
^ 2
1.1 APLICACIONES DE LA MECÁNICA DE SÓLIDOS
Durante los últimos milenios se ha tenido un registro continuo de los logros
de la especie humana en la construcción de una gran variedad de estruc-
turas, máquinas, monumentos, etc., muchos de los cuales tuvieron gran
éxito no sólo en la época en que fueron construidos, sino que han pasado
la prueba del tiempo y existen en la actualidad. Las pirámides, los templos
griegos, el Coliseo romano, la gran cantidad de castillos en toda la faz del
planeta, han durado cientos y miles de años, algunos de ellos sirviendo a los
propósitos originales para los que fueron construidos. Durante esos mi-
lenios, la humanidad ha construido también otras estructuras, tales como
catapultas, barcos, puentes, que funcionaron con éxito durante un periodo
de tiempo más breve.
Antes de la mitad del siglo XVII, las estructuras se construyeron prin-
cipalmente con base en la experiencia. En cada generación, los "ingenie-
ros" tuvieron que pasar por largos aprendizajes de manos de técnicos con
más experiencia para dominar los gajes de su oficio, lo que implicaba, tal
vez, tantos fracasos como éxitos. No existe una clara evidencia de que
esos ingenieros de antaño hubieran desarrollado o tenido capacidad para
sustentar sus experimentos con cualquier tipo de "cálculos". Es un he-
cho interesante comprobar que los ingenieros del pasado lejano fueron
empleados principalmente para ayudar a sus jefes en sus guerras.
Algunos éxitos más recientes incluyen estructuras como la torre Eiffel
en París, la torre Sears en Chicago (el edificio más alto del mundo), el avión
comercial Boeing 747 y varios de los transbordadores espaciales. En una
escala menor, el automóvil, el taladro eléctrico, la bicicleta y muchos otros
artículos de uso diario son estructuras que realizan funciones de manera
rutinaria en el mundo real. Los relativamente pocos fracasos de estructuras
en el mundo moderno atestiguan el éxito de los ingenieros, cuyo trabajo
es una parte integral del diseño y construcción de máquinas y estructuras
de uso diario.
33
33 Capítulo 1 Introducción
Galileo Galilei (1564-1642)
Físico, astrónomo y matemático italiano;
efectuó experimentos para obtener la
resistencia de barras y vigas; fundó la
ciencia de la dinámica. (Fuente: Deutsches
Museum, Munich.)
Un acercamiento más o menos científico a la mecánica de sólidos o
resistencia de materiales, como se le llama a menudo, comenzó con Leo-
nardo da Vinci (1452-1519). Él fue el primero en aplicar los principios
de la estática para determinar las fuerzas internas en elementos estruc-
turales, y el primero en efectuar experimentos sobre la resistencia de los
materiales ingenieriles. El experimentó con alambres de hierro y con vi-
gas. Como resultado de sus ensayos en vigas concluyó que la resistencia de
una viga apoyada en ambos extremos varía inversamente con la longitud y
directamente con el ancho.
Si bien Galileo (1564-1642) es más conocido por la construcción, al-
rededor de 1609, de un telescopio y por sus posteriores contribuciones a
la astronomía, él también realizó los primeros intentos de aplicar lógica-
mente el análisis de esfuerzos. Sus resultados, publicados en Dos nuevas
ciencias en 1638, representan el principio de la ciencia de la resistencia
de materiales. Sus experimentos consistieron en simples ensayos de ten-
sión, de los que concluyó que la resistencia de una barra es proporcional
al área de su sección transversal e independiente de su longitud. También
efectuó experimentos sobre la flexión y concluyó, de manera incorrecta,
que los esfuerzos necesarios para contrarrestar la flexión se distribuyen de
modo uniforme sobre la sección transversal de la pieza. El famoso dibujo
asociadocon sus investigaciones sobre la flexión aparece en la cubierta de
Figura 1.1 Ilustración del ensayo de flexión de Galileo
1.2 Áreas de aplicación 28
este texto y también en la figura 1.1. En el caso de la viga en voladizo
observó que, para mantener una resistencia constante, las dimensiones de
la sección transversal deberían incrementarse en una proporción mayor
que la de su longitud.
Muchas otras personas, demasiadas para mencionarlas, contribuyeron
al desarrollo de la mecánica de sólidos o resistencia de materiales. Si
desea consultar relatos muy detallados e interesantes de la historia de la
resistencia de materiales, remítase a los libros A History ofElasticity and
Strength of Materials de I. Todhunter y K. Pearson, e History of Strength of
Materials de Stephen P Timoshenko.
1.2 ÁREAS DE APLICACIÓN
Las áreas de aplicación de la mecánica de sólidos son ilimitadas. Los au-
tomóviles, barcos, naves aéreas y espaciales, edificios y otras estructuras,
máquinas de todos los tamaños y formas, que efectúan una gran varie-
dad de funciones, requieren analizarse para ver si son "suficientemente
resistentes" y "suficientemente rígidos". Cualquier sistema mecánico que
debe funcionar en presencia de fuerzas, cambios de temperatura, etc., se
diseña en general para satisfacer requisitos de resistencia y flexibilidad de
acuerdo con los principios de la mecánica de sólidos. Usaremos el tér-
mino estructura para indicar cualquier sistema mecánico cuyo diseño esté
influido por la aplicación adecuada de los principios de la mecánica de
sólidos. A continuación se presentan diversas áreas de aplicación de la
mecánica de sólidos.
1.2.1 Vehículos aeroespaciales
Existen muchas aplicaciones de la mecánica de sólidos en el área de los
vehículos aeroespaciales. Entre éstos se encuentran los aeroplanos, los sa-
télites, los cohetes y los transbordadores. Los principales datos por consi-
derar para vehículos son:
1. Peso.
2. Fuerzas aerodinámicas (o sea, sustentación y arrastre).
3. Fuerzas de propulsión.
4. Fuerzas dinámicas o de aceleración debidas a maniobras.
5. Fuerzas de aterrizaje.
6. Cargas debidas a efectos aerodinámicos y al calentamiento solar.
Cualquier vehículo aeroespacial debe realizar sin interrupción su función
bajo la acción de cualquier combinación de estas acciones. A continuación
33
33 Capítulo 1 Introducción
se presentan dos ejemplos de las consideraciones típicas que se deben tener
en cuenta en los vehículos aeroespaciales.
Movimiento
Sustentación
Peso
Resultantes de
las fuerzas y
momentos
• internos
Arrastre
Figura 1.2 Ala típica de una aeronave
Ejemplo 1.1 Ala de una aeronave Las fuerzas que actúan sobre el ala de
cualquier aeronave son de naturaleza similar, ya sea que se trate del ala de una
pequeña avioneta comercial, de un avión comercial grande, de un caza supersónico
o de un transbordador espacial. Consideremos el ala de una aeronave típica como
la indicada en la figura 1.2.
Son de interés las fuerzas internas que deben estar presentes en una zona
característica a lo largo del ala para que ésta, o cualquiera de sus partes, se
encuentre en equilibrio. En esencia, lo que queremos determinar es si el ala
se comportará adecuadamente en las condiciones externas imperantes; o sea, ¿se
ha construido el ala con la resistencia y la rigidez suficientes?
Ejemplo 1.2 Avión caza aterrizando en un portaaviones Durante el aterrizaje
de un avión caza sobre la cubierta de un portaaviones, como se muestra en la
figura 1.3, aparecen fuerzas importantes. Pueden presentarse grandes fuerzas
verticales de desaceleración entre la cubierta y las ruedas del avión, además de
la fuerza horizontal en el cable que "agarra" al avión. El diseño estructural del
aparato debe ser tal que las fuerzas internas que éste es capaz de resistir, sean
suficientemente altas para que soporte muchos de estos aterrizajes.
Aceleraciones
Fuerzas 4 ^
de cubierta Fuerzas 4
de cubierta I
Fuerza
de "agarre"
Figura 1.3 Fuerzas debidas al aterrizaje de un
avión caza
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis de un
automóvil
Muchos componentes de un motor de combustión interna y de un chasis
están sometidos a elevados niveles de fuerza y a cambios de temperatura.
Los datos por considerar para componentes típicos son:
1.2 Áreas de aplicación 28
28
1. Posibles temperaturas altas y gradientes de temperatura.
2. Presiones en la cámara de combustión.
3. Grandes cargas por aceleraciones traslacionales y angulares.
4. Fuerzas importantes de contacto entre engranajes.
5. Cargas provenientes de caminos accidentados.
Con un mantenimiento adecuado, se puede esperar que un motor moderno
de combustión interna y su chasis operen a lo largo de varios miles de
kilómetros sin fallas de consideración.
Ejemplo 1.3 Biela En la figura 1.4 se mues t ra una biela de un motor de
combust ión interna. La biela debe ser capaz de transmitir fuerzas ent re el émbolo
y el cigüeñal mientras está somet ida a considerables aceleraciones y fuerzas de
contacto en las zonas en que se conecta a los citados elementos .
Extremo del émbolo
Fuerzas
de contacto
Aceleración
Extremo del cigüeñal
Figura 1.4 Biela de un motor
de combustión interna
Ejemplo 1.4 Engranajes de una transmisión Duran t e el func ionamien to de
un automóvil la potencia generada por el motor se t ransmite a las ruedas traseras
por med io del t ren impulsor. La transmisión, que es par te del tren impulsor,
func iona mediante un sistema de engranajes . E n la figura 1.5a se mues t ra un
con jun to típico de engranajes . El par de torsión transmit ido a través del t ren
impulsor da como resul tado fuerzas en t re los dientes de los engranajes , como se
indica en la figura 1.5b. Los dientes de los engranajes deben ser suficientemente
fuer tes para transmitir esas fuerzas.
(b) Fuerza entre los dientes
(a) Sistema de engranajes (Cortesía de Boston Gear.) de engranajes
Figura 1.5 Disposición típica de engranajes
33
33 Capítulo 1 Introducción
1.2.3 Análisis estructural general
Los principios de la mecánica de sólidos son fundamentales para un diseño
y construcción correctos de cualquier estructura. A continuación se pre-
senta una amplia gama de estructuras de diversos tamaños, con las fuerzas
que actúan sobre ellas.
Ejemplo 1.5 Edificio de múltiples niveles Entre las diversas cargas que se
deben considerar en el diseño estructural de edificios de múltiples niveles están
las siguientes:
1. Peso de la estructura y su contenido.
2. Cargas de viento.
3. Movimientos de] suelo debido a sismos.
4. Cargas estructurales producidas por calentamiento solar.
Para resistir estas cargas, un rascacielos se debe diseñar de modo que sea
suficientemente fuerte y rígido. En la figura 1.6a se muestra un esquema de un
rascacielos típico, como el World Trade Center de Chicago.
(a) (b) DCL
(Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.6 Rascacielos típico
En la figura se indican las cargas de viento y de peso propio. El edificio debe
ser suficientemente fuerte para resistir las fuerzas y los momentos internos en
cualquier nivel debido a las cargas de viento y peso propio que actúan por encima
de ese nivel, como se indica er. la figura 1.6b. El edificio debe tener también la
suficiente rigidez para que los ocupantes de los pisos superiores no experimenten
1.2 Áreas de aplicación 28 28
un movimiento excesivo causado por la acción del viento. Las cargas de origen
térmico que resul tan del ca len tamien to solar también p u e d e n ser importantes .
Ejemplo 1.6 Buque de contenedores en un mar agitado U n buque de con-
tenedores con un peso de varios cientos de miles de toneladas es o t ro e jemplo
de es t ructura . En la figura 1.7 se mues t ra un buque de con tenedores en un mar
agitado. Si bien la presión en el casco varía de mane ra un i fo rme con la p ro fun-
didad en un mar en calma, la distribución de presiones sobre el casco en un m a r
agi tado seríam u c h o m e n o s uni forme. Deb ido a la masa ex t remadamente g rande
del buque de con tenedores , se p resen tan t ambién considerables cargas de inercia
ocasionadas p o r los movimientos de cabeceo, balanceo y desl izamiento. El buque
de con tenedores debe ser suf ic ientemente fue r t e para resistir las presiones hidráu-
licas necesar ias pa ra equilibrar su peso, las fuerzas de inercia y las distr ibuciones
no un i fo rmes de pres ión asociadas con el ma r agitado. También pueden ser de
importancia las cargas térmicas que resultan de la exposición al calor solar.
Figura 1.7 Buque de contenedores en un
mar agitado
Ejemplo 1.7 Alambre conductor de un microprocesador Por lo que respecta
a los t amaños , en la figura 1.8 se mues t ra un a lambre conductor muy delgado
de o ro que f o r m a pa r t e de u n p e q u e ñ o dispositivo electrónico. El a lambre, tal
vez con d i áme t ro de unas cuantas diezmilésimas de pulgada, conecta un chip de
mic rocompu tador con su en torno . El a lambre podr ía fo rmar par te de un instru-
m e n t o m o n t a d o en un vehículo aeroespacial que suele exper imentar aceleracio-
nes muy grandes como resul tado de vibraciones. Por ello, el a lambre debe ser
suf ic ientemente fue r t e pa ra resistir las fuerzas provocadas por las grandes acele-
raciones. Además , las corr ientes que pasan por el a lambre duran te la operación
del i n s t rumen to p u e d e n ocasionar cargas térmicas cíclicas; éstas también deben
considerarse .
Figura 1.8 Alambre conductor delgado de
oro en un dispositivo electrónico.
La primera unidad central de procesamiento
de un solo chip de 32 bits en el mundo,
encapsulada sobre un sustrato disipador de
calor; alimenta el computador de escritorio
HP 9000. (Fotografía por cortesía de
Hewlett-Packard Company.)
Las frases "suficientemente fuerte" y "suficientemente rígido", usa-
das en los ejemplos anteriores, son términos cuyos significados precisos
se examinarán en muchas ocasiones a lo largo del texto. Es común pre-
guntar si la resistencia de una estructura o sistema es adecuada en vez de
preguntar si es "suficientemente fuerte", aunque ambas frases tienen el
mismo significado. "Flexibilidad" es un término usado a menudo en con-
traposición con la idea de rigidez. Si las deformaciones de una estructura
33 Capítulo 1 Introducción
son muy grandes, se dice que la estructura es muy flexible o, de manera
alternativa, que no es suficientemente rígida. "Flexibilidad" y "rigidez"
son términos recíprocos, esto es, cuanto más grande es la flexibilidad, me-
nor es la rigidez. Por lo general, los requisitos de resistencia, más que los
de flexibilidad, son quienes rigen el diseño de una estructura; si ésta es
suficientemente fuerte para resistir las cargas a las que está sometida, su
rigidez suele ser adecuada. El ingeniero que diseñe una estructura debe
garantizar que tanto la resistencia como la rigidez sean las adecuadas para
satisfacer todos los requisitos.
1.3 LOS DOS PROBLEMAS BÁSICOS DE LA
MECÁNICA DE SÓLIDOS
De una cuidadosa consideración de los ejemplos anteriores se concluye
que son dos los problemas básicos que se deben abordar para calcular si el
diseño de determinada estructura es el adecuado. Uno de los problemas es
determinar la resistencia de la estructura; el otro es determinar su rigidez.
El problema de la resistencia se puede plantear de manera aproxi-
mada como sigue: dadas las cargas externas, determine las reacciones y las
correspondientes fuerzas internas presentes en la estructura. Luego deter-
mine si la resistencia de la estructura es adecuada para soportar las fuerzas
internas que resultan de las cargas. (Ésta es la parte "suficientemente
fuerte" de un problema de mecánica de sólidos.)
El problema de la rigidez tiene que ver sobre todo con las deforma-
ciones de la estructura. En general, por rigidez se entiende la resistencia a
la deformación. Para evitar deformaciones excesivas, es decir, demasiada
flexibilidad de la estructura, debemos determinar las deformaciones resul-
tantes de las cargas externas. (Ésta es la parte "suficientemente rígida" del
problema.)
En algunos casos es posible resolver primero el problema de la re-
sistencia y luego, usando los resultados obtenidos, proceder con una eva-
luación por separado de la rigidez. Esta situación corresponde al caso
estáticamente determinado que suele analizarse en los cursos de estática.
En el caso estáticamente indeterminado, los problemas de resistencia y
rigidez se deben considerar a la vez para determinar si la estructura es
suficientemente fuerte y rígida.
En capítulos posteriores veremos que para resolver ambos problemas
debemos tener información acerca de las propiedades de los materiales
de que está hecha la estructura. Por lo general, las propiedades del
material caen en una de estas dos categorías: las propiedades asociadas con
características de resistencia y las asociadas con características de rigidez.
En el capítulo 4 analizaremos con detalle las propiedades de los materiales.
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos 11
Como ejemplo de una consideración de resistencia, una estructura
compuesta de acero puede ser adecuada para resistir todas las cargas a
que esté sometida, mientras que una estructura de exactamente el mismo
tamaño y forma compuesta de madera, caucho o concreto u hormigón
puede no tener una resistencia adecuada. Las propiedades de resistencia
del material antes mencionadas se usan para evaluar la resistencia de una
estructura.
En forma similar, la rigidez de estructuras del mismo tamaño y forma
es diferente cuando éstas se componen de diferentes materiales, como
acero, madera, hule o concreto u hormigón. Las propiedades de rigidez
antes mencionadas se usan para evaluar la rigidez de la estructura.
Es pues necesario conocer las propiedades del material para contestar
preguntas sobre resistencia o rigidez. En los siguientes dos ejemplos se
analizan aspectos de resistencia y rigidez en estructuras sencillas.
Ejemplo 1.8 Consideremos el problema de un peso W, que es una carga externa,
colgado de u n a bar ra a tensión de peso por un idad de longitud w, como se indica
en la figura 1.9a. U n d iagrama de cuerpo libre de la bar ra a tensión mos t r ado en la
figura 1.9b indica que, p o r equilibrio, la reacción en el apoyo es igual a W + wL, el
peso total . El d iagrama de cuerpo libre de la figura 1.9c indica que en una posición
in termedia la fuerza interna T(x) = W + wx es de nuevo igual al peso por deba jo
de la seccióft cons iderada . D e p e n d i e n d o del d iámet ro de la bar ra a tensión y de
la magni tud del peso W + wL, es posible que la bar ra se rompa; es decir, quizá no
sea suf ic ien temente fuer te . Específ icamente, si el peso es muy g rande y la bar ra
está hecha de u n mater ia l re la t ivamente débil, como el caucho, la falla ( ro tura)
es muy p robab le a menos que el á rea de caucho de la bar ra sea muy grande . Por
el contrar io, si la bar ra a tensión está hecha de a lambre de acero, un d iámet ro
W
(a)
T =W + wL
1
wL
I r w
(b) DCL
T{x) = W + wx
W
(c) DCL
(Diagrama de cuerpo libre) (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.9 Peso W colgando de una barra a
tensión
33
33 Capítulo 1 Introducción
pequeño podría ser suficiente para soportar un peso W razonablemente grande.
Las propiedades del material se examinarían para determinar si la fuerza interna
T = W + wx es o no excesiva. Está claro entonces que la resistencia de la estructura
depende del material usado. Una medida de la rigidez de esta estructura se podría
obtener calculando el alargamiento total de la barra bajo la acción de los pesos W y
wL. Esto implicaría conocer propiedades relacionadas con la rigidez del material
empleado.
(a)
Figura 1.10
a la base y al
C
(b) DCL
(Diagrama de cuerpo libre)
Peso W unido mediante barras
techo
Ejemplo 1.9 En el ejemplo 1.8, el problema de equilibrio se resolvió fácilmenteal encontrar las fuerzas internas de manera que la resistencia de la estructura
se pudiera tratar en forma directa. Compare este problema con el siguiente, de
naturaleza similar. Dos barras, supuestas rectas y de sección transversal circular
para simplificar, se usan para soportar un peso W (una carga externa) como se
indica en la figura 1.10a.
En la figura 1.10b se muestra un diagrama de cuerpo libre de una parte de
la estructura en la que se muestran las fuerzas internas en ambas barras. Está
claro que el peso W, que es una carga externa, debe ser soportado por la fuerza de
tensión T en la parte superior de la estructura y por la fuerza de compresión C en
la parte inferior. T y C son fuerzas internas. La ecuación de equilibrio relacionada
con el requisito de que la fuerza resultante en la dirección vertical debe ser nula
obliga a que W = T + C, esto es, una ecuación y dos incógnitas (C y T). Así, para
este problema las fuerzas internas no se pueden determinar únicamente utilizando
la estática: la estructura se encuentra estáticamente indeterminada. No es posible
evaluar la resistencia de la estructura si no se conocen las fuerzas internas T y C.
Se necesitan ecuaciones que incluyan las deformaciones y las propiedades
de rigidez de la estructura para formular una ecuación adicional que nos permita
determinar las dos incógnitas, T y C. En otras palabras, es necesario complementar
la ecuación de equilibrio W = T + C con una ecuación que resulte de considerar
las deformaciones y el comportamiento del material de la estructura. Después de
resolver las ecuaciones para la fuerza y el deplazamiento incógnitos, es posible
evaluar tanto la resistencia como la rigidez de la estructura.
Estos dos ejemplos son típicos del carácter de los problemas de me-
cánica de sólidos en general. A lo largo del texto se le harán algunas pre-
guntas sobre la resistencia de una estructura y sobre la rigidez. Observe
que para una estructura estáticamente determinada, es posible resolver el
problema de la resistencia sin considerar la rigidez; una vez que el pro-
blema de la resistencia se ha resuelto, el problema de la rigidez se puede
solucionar usando los resultados del problema de la resistencia. Sin em-
bargo, para una estructura estáticamente indeterminada, la formulación
del problema debe incluir tanto las fuerzas internas como las relaciones
fuerza-desplazamiento. Una vez determinadas las fuerzas internas y las
deformaciones, es posible evaluar tanto la resistencia como la rigidez de la
estructura. Estas ideas se muestran en el diagrama de flujo de la figura 1.11.
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos 36
Figura 1.11 Diagrama de flujo para la solución de problemas de estructuras
estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas
El procedimiento es como sigue: se escriben las ecuaciones de equi-
librio que relacionan las cargas externas con las reacciones y las fuerzas
internas. Si el número de fuerzas internas y reacciones es igual al número
de ecuaciones de equilibrio independientes, se dice que la estructura se
halla estáticamente determinada. En este caso se resuelven las ecuaciones
y se obtienen las reacciones y las fuerzas internas. Las fuerzas internas se
usan, junto con las propiedades de resistencia del material, para calcular la
resistencia de la estructura. La rigidez se puede entonces evaluar con base
en un análisis adicional independiente que tome en cuenta las propiedades
de rigidez del material.
En una estructura estáticamente indeterminada, el número de fuerzas
y reacciones excede al número de ecuaciones de equilibrio independien-
tes. Las ecuaciones adicionales deben suministrarse teniendo en cuenta
los desplazamientos y el comportamiento del material de la estructura.
Después de que las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones adicionales
de desplazamiento se han resuelto, es posible evaluar la resistencia y la
rigidez de la estructura. En cada caso, el resultado final es que se dis-
pone de información suficiente para responder preguntas relativas a los
dos problemas básicos.
33
33 Capítulo 1 Introducción
1.4 LAS TRES IDEAS BASICAS DE LA MECANICA DE SÓLIDOS
Sir Isaac Newton (1642-1727)
Matemático inglés que formuló las leyes de
la gravitación y del movimiento, así como los
fundamentos del cálculo diferencial. (Fuente:
Deutsches Museum, Munich.)
Recuerde de la mecánica básica, que hay en esencia dos componentes
para plantear y resolver un problema de estática o dinámica; éstos son
la cinética y la cinemática. Básicamente, la cinética tiene que ver con
la segunda ley de Newton, escrita usualmente como F = ma, o, en el
caso de un problema de estática, F = 0; es decir, no se tienen fuerzas
no equilibradas. La cinemática es la descripción de la geometría del
movimiento independientemente de sus causas o sus efectos. Recuerde
también que, en la mayor parte de la estática o de la dinámica, un cuerpo
se supone como partícula o como un cuerpo rígido.
La suposición de que un cuerpo es una partícula resulta una idealiza-
ción apropiada cuando el cuerpo se comporta como si fuese esencialmente
una masa puntual. El único movimiento que una partícula puede efectuar
es el de traslación; cualquier análisis de giro o deformación no tiene
sentido cuando se trata de una partícula. Para un problema de dinámica
de partículas, se construye un diagrama de cuerpo libre del cuerpo en
consideración y luego se usa para formular el lado F de la ecuación F = /na,
donde a es la aceleración del centro de masa. La ecuación F = ma se llama,
con frecuencia, ecuación de movimiento. En caso de que se conozca F,
se puede integrar a = F/m para determinar el movimiento del centro de
masa. Por otra parte, si se conoce a, entonces F se puede determinar con
facilidad. Para el caso especial e importante en que a es igual a cero, se
tendrá un problema de estática, con la ecuación F = 0 llamada entonces
ecuación de equilibrio.
La suposición de que un cuerpo de geometría finita es rígido cons-
tituye también una idealización caracterizada por el requisito de que dos
puntos cualesquiera en el cuerpo deben permanecer equidistantes inde-
pendientemente de cual sea el movimiento del cuerpo. Como se indica en
la figura 1.12, un cuerpo rígido se puede trasladar y hacer girar.
(a) Traslación (b) Giro
Figura 1.12 Movimientos de cuerpo rígido
(c) Traslación y giro
En un problema de dinámica de cuerpo rígido es necesario satisfacer
dos ecuaciones: F = ma, que describe el movimiento a del centro de masa
del cuerpo, y M = dH/dt, que describe el movimiento angular del cuerpo
respecto a su centro de masa. M es el momento de las fuerzas que actúan
sobre su cuerpo y H es su momento angular. Si a, la aceleración del centro
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 1 5
de masa, y todos los términos del movimiento angular que contribuyen a
dH/dt son nulos, se tendrá nuevamente un problema de estática con las
dos ecuaciones de equilibrio F = 0 y M = 0. (Observe que para formular
un problema de dinámica de un cuerpo, sólo necesitamos conocer su masa
y sus momentos de inercia másicos. Una vez hecha la suposición de que el
cuerpo es rígido, la naturaleza del material o materiales de que está hecho
el cuerpo es irrelevante.)
Ningún cuerpo es verdaderamente rígido. Cualquier cuerpo real se
deforma, esto es, cambia su tamaño, su forma o ambos cuando se somete
a acciones mecánicas o térmicas. En la figura 1.13 se muestran ejemplos
de cambios de tamaño y forma. En la figura 1.13a aparece un globo cuyo
tamaño crece al aumentar la presión interna. En la figura 1.13b se muestra
una viga que cambia de forma bajo la acción de una carga transversal.
Cuando resulta apropiado considerar un cuerpo como deformable,
resulta obvio que es necesario relajar la suposición de que el cuerpo es
rígido. La relajación de esta suposición tiene dos consecuencias impor-
tantes. Primero, la cinemática de cuerpo rígido, que consistesólo en la
descripción de traslaciones y rotaciones, debe ser reemplazada por una
cinemática que sea capaz de describir los cambios de tamaño y de forma
asociados con la deformación del cuerpo. Segundo, dados dos cuerpos del
mismo tamaño y forma iniciales, constituidos por materiales diferentes y
sometidos a exactamente el mismo conjunto de acciones mecánicas y tér-
micas, las características cualitativas y cuantitativas de la deformación de
los dos cuerpos dependerá de sus materiales constitutivos. La relajación
de la suposición de que los cuerpos son rígidos tiene como resultado una
bifurcación con dos puntos por considerar:
1. La necesidad de un tipo de cinemática que sea capaz de describir las F i9 u r a 1-1 3 Deformaciones que implican
deformaciones del cuerpo. c a m b i o s d e t a m a ñ o * d e f o r m a
2. La necesidad de tener información sobre el comportamiento del mate-
rial del cuerpo.
El estudio de la mecánica de los cuerpos deformables se puede considerar
como una extensión del estudio de la estática y de la dinámica en el
sentido de que se requiere que el cuerpo se comporte de acuerdo con las
leyes del movimiento de Newton. Sin embargo, es necesario generalizar
la cinemática e incluir el comportamiento del material para describir
en forma completa la respuesta de un cuerpo deformable ante acciones
mecánicas y térmicas.
Con estas consideraciones en mente, esbozamos de la siguiente ma-
nera las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos:
1. Equilibrio. En el análisis de cualquier problema físico hay uno o más
principios físicos que sabemos verdaderos. Para la estática de los cuerpos
deformables, este principio físico básico se deriva de la segunda ley de
33
33 Capítulo 1 Introducción
Figura 1.14 Deformación de un perchero
Newton y establece que deben satisfacerse las ecuaciones de equilibrio
= = Usaremos estas ecuaciones, que contienen fuerzas y
momentos, para analizar el equilibrio global de un cuerpo deformable, así
como la manera en que las fuerzas y momentos se transmiten al interior
del cuerpo. En ocasiones usaremos una ecuación de movimiento en vez
de una ecuación de equilibrio como el principio físico básico que debe
satisfacerse. En todo caso, la primera idea básica implica la satisfacción
de las leyes de Newton. Los diagramas de cuerpo libre son indispensables
al considerar el equilibrio.
2. Descripción de la deformación. En contraste con un cuerpo rígido,
un cuerpo deformable es capaz de responder a acciones externas, como
fuerzas, cambios de temperatura y aceleraciones, por medio de cambios de
tamaño y forma. Por ejemplo, una banda de caucho se deforma alargán-
dose bajo la acción de una fuerza de tensión,* o sea, cambia su longitud.
En forma similar, una goma de borrar se puede deformar o flexionar a
partir de su forma original, que es aproximadamente rectangular, a una
forma curva final. En la mecánica de sólidos, la cinemática es el estudio
de los cambios geométricos que resultan de la deformación del cuerpo,
independientemente de las causas que los produzcan.
3. Comportamiento del material. El objetivo del estudio del comporta-
miento de los materiales es describir, tanto cualitativa como cuantitativa-
mente, las relaciones entre las deformaciones de un sólido y las fuerzas,
los cambios de temperatura y las aceleraciones que las causan. Como se
estableció en la sección 1.3, abordaremos aquellos aspectos del compor-
tamiento del material que tienen que ver con la resistencia y la rigidez.
Es un hecho bien conocido que ambos aspectos del comportamiento del
material, el cualitativo y el cuantitativo, se deben determinar en forma
experimental.
Otra consideración surge al pasar de la mecánica de los cuerpos rígi-
dos a la mecánica de los cuerpos deformables, con respecto a la diferencia
entre la configuración inicial o no deformada y la final o deformada del
cuerpo. En un problema de estática, donde el cuerpo se supone rígido, no
hay cambios en su tamaño o forma debido a cargas; las configuraciones
inicial y deformada son las mismas. Esto no es así para un cuerpo defor-
mable. La configuración de equilibrio de un cuerpo será necesariamente
la configuración deformada que resulta después de que se han aplicado las
cargas. Si las deformaciones son suficientemente grandes para cambiar en
forma significativa la configuración inicial, las ecuaciones de equilibrio de-
berán tomar en cuenta las deformaciones, que son parte de las incógnitas
del problema. El análisis de cuerpos sometidos a grandes deformaciones
es muy complejo y en general no se verá en este texto. La mayor parte de
'También conocida como tracción. (N. del R, T.)
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 17
Como ilustración, tomemos un trozo de alambre de perchero; lo
colocamos en el borde de una mesa, como se indica en la figura 1.14a,
y le aplicamos una fuerza como se muestra en la figura 1.14b. Sabemos
que una fuerza relativamente pequeña puede producir una considerable
deflexión vertical en el alambre. Las configuraciones inicial y deformada
son sustancialmente diferentes. En particular, la posición de la carga ha
cambiado en forma apreciable, de manera que las ecuaciones de equilibrio
escritas para la configuración inicial no tendrán validez en la configuración
deformada.
Esbozaremos varios casos muy sencillos de cuerpos deformables e
indicaremos cómo se usan las tres ideas básicas para formular y obtener
las fuerzas internas y las deformaciones.
Ejemplo 1.10 Consideremos el problema de un resorte sometido a una fuerza
F como se muestra en la figura 1.15a.
F p ~ F
-vOfiD; ' —
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre) (c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.15 Resorte cargado
Equilibrio Se supone que la fuerza externa F se aplica gradualmente de manera
que el problema se pueda analizar como un problema de equilibrio. En la fi-
gura 1.15b se muestra un diagrama de cuerpo libre del resorte completo. Determi-
namos la fuerza de reacción R proporcionada por el apoyo escribiendo la ecuación
de equilibrio para el resorte completo; ésta es
y Fx = F-R = 0,
que indica que la fuerza de reacción R es igual en magnitud a la fuerza aplicada F.
(Observe que éste es un ejemplo de un sistema estáticamente determinado ya que
todas las reacciones se pueden determinar planteando y resolviendo ecuaciones
de equilibrio.) Para determinar la fuerza interna en alguna sección a lo largo del
resorte, es necesario dibujar un diagrama de cuerpo libre de una parte del resorte
donde quede liberada la fuerza interna buscada, como se indica en la figura 1.15c.
Llamando P a la fuerza interna desconocida y escribiendo la ecuación de equilibrio
para el diagrama de cuerpo libre de la figura 1.15c, se obtiene
Fx = F - P = 0,
de donde se concluye que la fuerza interna P es también igual en magnitud a la
carga externa F. Si todo lo que se busca son las fuerzas internas, el problema está
resuelto. Las deformaciones y el comportamiento del material no participan en el
problema.
33
33 Capítulo 1 Introducción
Figura 1.16 Relación entre fuerza y
deflexión de un resorte
Deformaciones y comportamiento del material Si deseamos determinar el alarga-
miento del resorte, necesitamos información adicional sobre el comportamiento
de éste. Para un resorte, la información sobre la deformación y el comportamiento
del material está contenida en la relación "fuerza-deflexión" del resorte. La
"fuerza" en esta relación es el valor constante de la fuerza interna transmitida por el
resorte, mientras que la "deflexión" se refiere al alargamiento de éste. La relación
fuerza-deflexión, la cual se determina en forma experimental, tiene la forma típica
mostrada en la figura 1.16, donde / es la fuerza interna y S es el alargamiento. Se
muestran diferentes posibilidades del comportamiento básico del resorte.
Como se ve en la figura, la curva que refleja el comportamiento tiene una
porción aproximadamente lineal cerca delorigen, donde / = 0 y S = 0. Por esto,
un resorte cuyo comportamiento se puede considerar lineal recibe el nombre de
resorte lineal, y entonces la correspondiente relación fuerza-deflexión se expresa
como
/ = kS, (1.1)
donde k se denomina constante del resorte y representa la pendiente de la porción
lineal de la curva, como se indica en la figura 1.16.
La ecuación (1.1) se puede usar para determinar el alargamiento S del resorte,
de acuerdo con
5 = f / k ,
completándose así el problema de determinar las fuerzas internas y las deformacio-
nes. Para este caso idealizado, sólo el alargamiento total del resorte se determina
a partir de la formulación; los desplazamientos en otras secciones a lo largo del
resorte no se determinan específicamente. En los capítulos 5 a 8 se presentan las
formulaciones requeridas para obtener información detallada de este tipo.
Ejemplo 1.11 Consideremos el problema de dos resortes lineales cargados como
se muestra en la figura 1.17.
U m h
k \ ki
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.17 Dos resortes en serie
Ecuaciones de equilibrio La carga F se aplica gradualmente. En la figura 1.17b
se muestra un diagrama de cuerpo libre en el cual se exponen las fuerzas internas
en los dos resortes. El equilibrio requiere que
Y^ F = - / ! + F - h = 0
o bien
f i + f i = F (a)
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 42
El problema se encuentra estáticamente indeterminado, ya que sólo se tiene una
ecuación para determinar las dos fuerzas internas, f\ y f2. El problema de
determinar las fuerzas internas en los resortes no se puede resolver sin información
adicional.
Deformación y comportamiento del material Las ecuaciones adicionales para de-
terminar /i y f2 son proporcionadas pOr los enunciados relativos al comporta-
miento fuerza-desplazamiento de los resortes. En primer lugar, el enunciado sobre
la deformación se infiere sencillamente de la observación de que el alargamiento
del resorte 1 debe ser igual al acortamiento del resorte 2. Llamemos 8 a este valor.
En segundo lugar, si se supone que ambos resortes son lineales con constantes
de resorte ki y k2 respectivamente, entonces las relaciones fuerza-desplazamiento
para los resortes son
/i = M y fz — k2S (b)
Sustituyendo estas dos relaciones en la ecuación (a) se obtiene
(/ti + k2)S = F
o bien
5 = F/(k, + k2).
Las dos fuerzas internas se determinan a partir de las ecuaciones (b):
h=hF/{h +k2)
o bien (c)
h = k2F/(ki + k2).
Observe que la fuerza F se reparte entre los dos resortes según
/ 1 / / 2 = k\/k2.
Este resultado demuestra una de las propiedades fundamentales de las estructuras
lineales: cuando dos estructuras lineales se combinan (como en la Fig. 1.17) para
resistir una carga, las estructuras suministran fuerzas cuyos valores relativos son
proporcionales a sus rigideces; o sea, la más rígida de las dos estructuras absorbe
una mayor porción de la fuerza.
Vemos entonces que para resolver este problema estáticamente indetermi-
nado deben plantearse ecuaciones simultáneas que contengan tanto las fuerzas
internas f\ y f2 como la deformación 8. Este requisito de considerar simultánea-
mente el equilibrio, la deformación y el comportamiento del material en la for-
mulación y solución de un problema estáticamente indeterminado se presentará
muchas veces a lo largo del texto.
33 Capítulo 1 Introducción
1.5 CONCLUSIÓN
Los propósitos de este capítulo introductorio han sido tres. El primero
fue presentar al estudiante los aspectos de conjunto de la mecánica de
sólidos, sus diversas aplicaciones y la idea de que en el proceso de diseñar
una estructura, un ingeniero responsable debe considerar los efectos de
muchos tipos de entornos a los que puede exponerse la estructura. Las
condiciones mecánicas y térmicas con frecuencia dan lugar a las cargas
primarias, pero otros entornos como el eléctrico, el magnético y el químico
también pueden ser importantes y no deben ignorarse.
El segundo propósito fue identificar las dos preguntas básicas de inte-
rés en el análisis y diseño de una estructura: ¿(a) es la estructura suficiente-
mente fuerte y (b) es la estructura suficientemente rígida? Por lo general,
estas preguntas se formulan dentro del contexto de los posibles modos de
falla (rotura): "suficientemente fuerte" puede significar que la estructura
es capaz de proporcionar las fuerzas internas necesarias sin fracturarse;
"suficientemente rígida" puede significar que las deformaciones no son
excesivas y que la estructura no se pandea.
El tercer propósito fue animar al estudiante a pensaren la formulación
de problemas de mecánica de sólidos en términos de las tres ideas básicas:
1. Ecuaciones de equilibrio o ecuaciones de movimiento.
2. Geometría de !a deformación.
3. Comportamiento y propiedades del material.
Para responder preguntas sobre resistencia y rigidez, la formulación de
cualquier problema de mecánica de cuerpos deformabies delse incluir, ya
sea en forma explícita o implícita, cada una de esas ideas básicas. Siempre
que sea apropiado y posible, se indicará en el texto la aplicación de las tres
ideas básicas para plantear y solucionar problemas. Además, siempre que
el estudiante esté planteando y resolviendo un problema, deberá tener en
mente estas tres ideas básicas y verificar que se hayan considerado.
En la figura 1 .18 se presenta un cuadro de relaciones entre las tres ideas
básicas, el cual puede ser de utilidad para lograr un mejor entendimiento
de ellas.
La figura indica con claridad que la idea básica del comportamiento
del material proporciona un puente entre las variables de fuerza determina-
das en el estudio del equilibrio y las variables de desplazamiento descritas
en el análisis de la deformación. Sin este puente, sería imposible deter-
minar los desplazamientos en términos de las cargas externas que suelen
considerarse como datos del sistema.
Finalmente, recordemos que por problema de mecánica de sólidos
queremos decir que, en general, se desea determinar tanto las fuerzas
internas como las deformaciones que resultan de cualquier condición de
1.5 Conclusión
Figura 1.18 Relación entre las ideas básicas de la mecánica de sólidos
carga. El planteamiento y la solución de un problema estáticamente in-
determinado implica la consideración simultánea de las fuerzas internas y
las deformaciones, mientras que para un problema estáticamente determi-
nado, las fuerzas internas se pueden determinar en forma independiente,
para luego hacer un análisis por separado a fin de determinar las deforma-
ciones.
La formulación de un problema en mecánica de sólidos conduce a
una ecuación o conjunto de ecuaciones que se resuelven para determinar
las variables de fuerza y desplazamiento. Como en cualquier área de
la física, las ecuaciones deben ser dimensionalmente homogéneas, es
decir, las dimensiones de cada término de una ecuación deben ser las
mismas. El estudiante debería verificar regularmente las dimensiones de
las ecuaciones, para no olvidar las dimensiones de las cantidades en las
ecuaciones y también para garantizar la homogeneidad dimensional. En
los ejemplos y problemas de este texto se usarán tanto el sistema SI de
unidades, en el que la masa se mide en kilogramos, la fuerza en newtons,
la longitud en metros y el t iempo en segundos, así como también e! sistema
de unidades común en Estados Unidos, en el que la masa se mide en slugs,
la fuerza en libras, la longitud en pies y el tiempo en segundos.
CAPÍTULO 2 Equilibrio y esfuerzo
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
2.1 Introducción
2.2 Resultantes de las fuerzas internas
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas
2.3.1 Definición formal y notación del esfuerzo
2.3.2 Esfuerzos medios
2.4 Transformaciones de esfuerzos
2.5 Esfuerzos principales
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano
2.7 Conclusión
2.1 INTRODUCCIÓN
El equilibrio es el concepto básico contenido en las leyes de Newton para
elestudio de la mecánica de cuerpos deformabies. La segunda ley, que
establece que ^ F = 0yX)M = 0 para un cuerpo en equilibrio, y la tercera
ley que establece que la acción es igual a la reacción, forman la base para
nuestro estudio de las fuerzas externas e internas. En un problema de
mecánica de sólidos, los datos sobre fuerzas se refieren principalmente a
fuerzas externas de dos tipos básicos: fuerzas de acción a distancia, como la
gravedad, que están distribuidas sobre todo el cuerpo; y fuerzas aplicadas
a la superficie del cuerpo por medio del contacto directo con otro cuerpo.
En la figura 2.1a se muestra como ejemplo un cuerpo en reposo sobre una
superficie horizontal. El correspondiente diagrama de cuerpo libre de la
figura 2.1b muestra las fuerzas de contacto y las gravitatorias distribuidas
(fiierzas de acción a distancia) que dan como resultado el peso del cuerpo.
Estas fuerzas externas suelen producir deformaciones en el cuerpo, las
cuales son resistidas por las fuerzas internas. La distribución y la intensidad
de las fuerzas internas dan origen al concepto de esfuerzo (tensión), una
cantidad que debemos comprender para responder a las preguntas sobre
la resistencia del cuerpo.
El propósito de este capítulo es relacionar las fuerzas externas con
las fuerzas internas y luego empezar a relacionar las fuerzas internas
con los esfuerzos que se definirán a continuación. El resultado final es
que los esfuerzos quedan relacionados con las fuerzas externas. En este
capítulo y a lo largo del texto, el estudiante debe recordar continuamente
que el equilibrio es el concepto subyacente en las relaciones entre las
resultantes de las fuerzas externas e internas y también entre las resultantes
de las fuerzas internas y los esfuerzos.
Al igual que en la estática, la herramienta básica para todos los
análisis y problemas de este capítulo es el diagrama de cuerpo libre (DCL).
El diagrama de cuerpo libre se usa para desarrollar las ecuaciones de
Fuerzas
gravitatorias
distribuidas
Fuerzas de
contacto
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.1 Fuerzas gravitatorias
distribuidas y de contacto
23
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
equilibrio, o de movimiento si procede, de un cuerpo finito y de cualquier
parte de él. El diagrama de cuerpo libre se usa en la definición del esfuerzo
y en el análisis de las propiedades de éste. El diagrama de cuerpo libre
es una herramienta indispensable para el estudio de todos los aspectos
relacionados con el equilibrio.
2.2 RESULTANTES DE LAS FUERZAS INTERNAS
(a)
F
M )f Vv(normal)
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.2 Fuerza y momento
internos resultantes para un
problema tridimensional
En cualquier situación en que un cuerpo real se utiliza como una estructura,
se transmitirán fuerzas a través del cuerpo de acuerdo con los principios
de la transmisión de fuerzas analizados en estática. En la mecánica de los
cuerpos deformables estamos interesados en la distribución de las fuerzas
internas asociada con la transmisión de una fuerza, con el fin de determinar
si la resistencia del cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones
de fuerza interna. Como ejemplo, sólo tenemos que tomar un trozo de
tiza y "doblarla" hasta que se quiebre para ver que la resistencia del trozo
de tiza es insuficiente para transmitir las fuerzas internas asociadas con
el momento aplicado. La determinación de la distribución de las fuerzas
internas en un cuerpo es un paso muy importante para la formulación y
solución de los problemas de la mecánica de sólidos.
Por definición, las fuerzas internas son fuerzas invisibles que actúan en
el interior del cuerpo. Estas fuerzas aparecen en conexión con la capacidad
del cuerpo para resistir cambios de tamaño o forma, y sólo pueden "verse"
haciendo pasar un plano o planos imaginarios a través del cuerpo en el
lugar en que actúan la fuerza y el momento internos resultantes, cuyos
valores se buscan. Este procedimiento recibe el nombre de seccionado.
Si el cuerpo entero se halla en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
externas, incluyendo las reacciones, cualquier parte del cuerpo obtenida
por seccionado del cuerpo debe estar también en equilibrio. Este requisito
de equilibrio para la parte considerada nos permite determinar la fuerza y
el momento resultantes que actúan sobre la superficie interna expuesta por
la sección. La fuerza y el momento así obtenidos se denominan resultantes
de las fuerzas internas. Observe que las resultantes de las fuerzas internas
se pueden determinar sólo dibujando un diagrama de cuerpo libre de la
parte considerada y exigiendo que se satisfaga el equilibrio. La distribución
precisa de las fuerzas asociadas con esas resultantes de las fuerzas internas
no se pueden conocer sin información adicional.
Para ilustrar específicamente el concepto, consideremos un cuerpo
sobre el que actúan fuerzas y momentos, como se muestra en la figura
2.2a.
Se supone que el cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de
las fuerzas externas F1 ; F 2 . . . , y las reacciones. Seccionamos el cuerpo
como se indica en la figura 2.2a y construimos un diagrama de cuerpo libre
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 25
de la parte del cuerpo que se encuentra a un lado de la sección, dibujando
las resultantes de las fuerzas internas F y M como se indica en la figura 2.2b.
Después de construir el diagrama de cuerpo libre, podemos escribir
las ecuaciones de equilibrio ^ F = 0 y ^ M = 0 para la parte seccionada
del cuerpo, a fin de determinar la fuerza y el momento interno F y M.
La importancia de dibujar correctamente el diagrama apropiado
de cuerpo libre debe resaltarse. Es el paso más importante en
la formulación y solución de un problema en la Mecánica de los
cuerpos deformabies.
Como ayuda en la ilustración de este paso, definimos un sistema
cartesiano de referencia local cuyo eje x es normal a la sección, como
se muestra en la figura 2.2b. Los ejes y y z están en el plano de la sección, y
junto con el eje x forman un sistema coordenado dextrógiro. En general, las
fuerzas internas transmitidas son estáticamente equivalentes a una fuerza
F y a un momento M que se determinan resolviendo las ecuaciones de
equilibrio, esto es: J2 F = 0 y Y, M = 0.
Observe que, de acuerdo con la tercera ley de Newton, si se hubiese
considerado la parte del cuerpo situada al otro lado de la sección en
la figura 2.2a, la fuerza y el momento internos habrían sido —F y —M
respectivamente. Observe también que si el origen del sistema coordenado
se hubiese situado en otro lugar de la cara expuesta, el momento resultante
M con respecto al nuevo origen habría sido en general diferente, mientras
que la fuerza resultante F habría permanecido idéntica.
Para una estructura que se supone bidimensional, como la mostrada
en la figura 2.3a, es suficiente dar por hecho que la fuerza interna consiste
en las dos componentes Fx y Fy en el plano, junto con un momento M
respecto al eje z.
Figura 2.3 Resultantes de las fuerzas internas para un problema bidimensional
Para el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 2.3b, las
ecuaciones de equilibrio necesarias son J2 Fx = 0, J2 Fy — 0 y ^ = 0,
que sirven para determinar la fuerza y el momento internos Fx, Fy y M
respectivamente.
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Para determinar las fuerzas internas desconocidas usando la técnica de
seccionado del cuerpo, es importante tener presente cuáles de las fuerzas
son exteriores y cuáles son internas. A continuación se presentan varios
ejemplos que ilustran esta idea.
Ejemplo 2.1 Consideremos el problema de una barra curva cargada con las
fuerzas externas colineales F, como se muestra en la figura 2.4a. En la figura 2.4b
se muestra un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la sección central
de la barra.
h
.L
t
(a)
Figura 2.4 Barra curva a tensión
(b) DCL (diagramade cuerpo libre)
El diagrama de cuerpo libre de la figura 2.4b muestra las tres posibles resul-
tantes de las fuerzas internas Fx, Fy y M y la fuerza externa F. Las ecuaciones de
equilibrio son
J2 Fx = -F + Fx = 0
YJFy = Fy = 0
M + hF = 0
de donde Fx = F, Fy = 0 y M — —Fh.
Ejemplo 2.2 Consideremos la barra uniforme con carga w0 uniformemente
distribuida y apoyada como se muestra en la figura 2.5a. En la figura 2.5b se
indica un diagrama de cuerpo libre de la barra.
Se deja al estudiante verificar, dibujando un diagrama de cuerpo libre de toda
la barra, que cada una de las reacciones es igual a w0L/2. Las ecuaciones de
equilibrio necesarias son
5 > = F, = O
=
~
w ° x + Fy = 0
y : M = M - + Oo*)^
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 27
de donde Fy = — wo(L/2 — x) y M = wgxfL — x)/2. Sobre el diagrama de cuerpo
libre de la figura 2.5b, la reacción w0L/2 y la carga distribuida total w0x son fuerzas
externas en tanto que Fx, Fy y M son fuerzas internas. Observe en la figura 2.5b
que la carga distribuida wo se puede reemplazar por su resultante wox, que actúa
en jc/2. Esto se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.6.
El estudiante debería verificar que de las tres ecuaciones de equilibrio se
obtiene de nuevo Fy — - wu(L/2 — x) y M = wox(L — x)/2. Observe con cuidado
que la sustitución de la carga distribuida por su resultante en el diagrama de cuerpo
libre de una sección de la barra es legítimo sólo después de haber escogido la sección
y de haber determinado la cantidad y posición de la carga implicada.
w0 w0
M
L H
2
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.5 Barra sometida a una carga distribuida
t
w0L
M
DCL (diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.6 Sustitución de
la carga distribuida por su
resultante
Ejemplo 2.3 Consideremos la barra uniforme con sección transversal A, densi-
dad p y longitud L, sobre la que actúa sólo su propio peso W = pAgL, como se
indica en la figura 2.7a.
w = pAg
i "
wL
wL
P(x)
( a ) (b) (c)
Figura 2.7 Barra colgada bajo la acción de su propio peso
A diferencia del ejemplo anterior, aquí la carga distribuida actúa en la
dirección del eje de la barra y no en la dirección perpendicular a su eje. La
intensidad de la carga distribuida se obtiene dividiendo el peso total W — wL =
pAgL entre la longitud L, lo que proporciona W/L = w = pAg, cuyas dimensiones
son F/L.
28 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Del diagrama de cuerpo libre de la barra entera, indicado en la figura 2.7b,
se ve que la única ecuación de equilibrio es
Fx = wL - R = 0
en donde R — wL = W, que es el peso de la barra. Para determinar la fuerza
interna P(x) en una posición x, medida desde la parte superior de la barra, se
dibuja un diagrama de cuerpo libre de la sección que queda arriba de x, como
se muestra en la figura 2.7c. La ecuación de equilibrio correspondiente es
^ F x = -wL + wx + P(x) = 0
que proporciona P(x) = w(L — x) para la fuerza interna transmitida. Observe que
cuando x = 0, P(0) = wL — R, igual que el valor obtenido antes, y que cuando
x = L, P(L) = 0, que significa que en la parte inferior de la barra no se transmite
ninguna fuerza. El estudiante deberá verificar este resultado considerando un
diagrama de cuerpo libre de la poición por debajo de la sección considerada.
PROBLEMAS
t
I
P. 2.1
2 P, 3 Pi P¡
P. 2.2
2.1-2.4 En cada uno de los siguientes problemas sea P(x) la fuerza axial interna
resultante, definida positiva cuando la barra está a tensión. Escoja la sección o
secciones y luego dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar
P(x) en cualquier posición a lo largo de la longitud de la barra; o sea, dibuje P(x')
como función de x. En los problemas 2.3 y 2.4, qa representa una carga uniforme
por unidad de longitud.
2.5 Una barra uniforme gira con velocidad angular constante co alrededor de
un eje que pasa por uno de sus extremos, como se indica en la figura. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre para la porción indicada y use la segunda ley de Newton
para determinar la fuerza interna P(x). Recuerde que la fuerza requerida para
mantener el movimiento circular de tal cuerpo está dada por F = mra)2, donde r
es la distancia del eje al centro de masa del cuerpo de masa m.
N
<70
•fadüti!. â 'Wftm!'!!., iinmm-» •-.I-
I
P. 2.3
9o
L
i
P. 2.4
DCL de
•I esta sección
Ps. 2.5 y 2.6
12.61 Repita el problema 2.5 usando el principio de d'Alembert para determinar la
carga q{x) equivalente y luego integre dP/dx + q = 0 para determinar P{x).
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 29
Ps. 2.7 y 2.8
2.7 Una barra de sección transversal variable cuelga bajo su propio peso como
se muestra en la figura. El área varía linealmente con la posición a lo largo de la
barra, como se indica. Determine P(x) considerando que y es el peso específico
del material.
2.8 Repita el problema 2.7 considerando que la barra tiene una forma cónica con
radio r0 en su parte superior y rg/4 en su parte inferior.
2.9 Una zapata de concreto u hormigón tiene la forma piramidal mostrada. Está
cargada con una fuerza P = 1000 kN además de la carga debida a su propio peso.
Determine P(x) si: yConcreto = 25.4 kN/mJ, 5 = 4 m, 6 = l m y / / = 3 m .
2.10 Repita el problema 2.9 con P = 300 klb, yconcreto = 150 lbf/pie3, B =
15 pies, b = 4 pies y H = 10 pies.
12.111 Un cohete de 9 m de largo y 5000 kg de masa se modela como una barra
uniforme, según se indica. Si el empuje (suponiendo que se aplica en uno de sus
extremos) proporcionado por los motores del cohete produce una aceleración de
cuerpo rígido de 15 g, determine P(x).
Ps. 2.9 y 2.10
Empuje •
Ps. 2.11 y 2.12
|2.121 Repita el problema 2.11 considerando que la masa del cohete es de
300 lbf s2/pie y que su longitud es de 30 pies.
2.13 Considere el problema de una barra de longitud L sometida, en una porción
de su longitud e, a una carga distribuida constante qo, como se muestra. Dibuje
la fuerza resultante axial interna como función de x para varios valores de e/L.
Permita que la distancia s se reduzca y al mismo tiempo que qo crezca en forma tal
que el producto qoeF, esto es, una fuerza con una valor fijo. Esto muestra cómo
una carga concentrada se puede considerar como un caso límite de una carga
distribuida. Observe que cuando e tiende a cero, la intensidad de la carga qo debe
tender a infinito.
2.14-2.16 En cada uno de los problemas siguientes escoja las secciones y dibuje
los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar P(x) en cualquier sección
a lo largo de la longitud de la barra; o sea, dibuje P(x) como función de x.
h — j
P. 2.13
Á
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
= - j )
P. 2.14
P. 2.17
i
6 fuerzas, cada una igual a p/6
^̂ ^̂ ^̂^ ^̂ ^̂ ^̂ ^
I
í W s ? o ( f )
6 @ |
P. 2.15 P. 2.16
2.17 Considere una barra de longitud L sometida, en una parte de su longitud,
por el par de torsión f0 distribuido uniformemente, como se muestra en la figura.
Dibuje el par de torsión interno resultante en función de je para varios valores
de e/L. Permita que la distancia e disminuya y que ío crezca al mismo tiempo de
manera que el producto toe — 7o, o sea, que resulte un par de torsión con un valor
fijo. Esto muestra cómo un "par de torsión concentrado" se puede considerar como
un caso límite de una carga de torsión (solicitación) uniformemente distribuida.
Observe que cuando s tiende a cero, la intensidad de la carga tn debe tender a
infinito.
2.18-2.20 En cada uno de los siguientes problemas sea T(x) el par de torsión
interno resultante, definido como positivo de acuerdo con la regla de la mano
derecha. Escoja las secciones y dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios
para determinar T(x) en cualquier sección a lo largo de la barra; luego dibuje T(x)
en función de x.
P. 2.18 P. 2.19 P. 2.20
2.21-2.25 En cada uno de los siguientes problemas, sean V(x) y M(x) la fuerza
interna y el momento interno respectivamente.Tome la dirección positiva de V y
M como se indica.
s
¡
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 54
Usando las figuras P. 2.21 a P. 2.25 escoja la sección o secciones y dibuje los
diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar V(x) y M(x) en cualquier
posición a lo largo de la btirra; por tanto, dibuje V(x) en función de x y también
M(x) en función de x.
w0
i i i u }
I B E B i i i S E X l S E ^
P. 2.21 P. 2.22
P. 2.23
W0L
M0 c¿
P. 2.24
I "o
t m i l i
P. 2.25
2.26-2.29 En cada uno de los siguientes problemas considere que la estructura
es bidimensional, es decir, que se encuentra en un plano. Tome las resultantes
de las fuerzas internas como una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento.
Dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar las resultantes de
las fuerzas internas en cada una de las secciones indicadas. La notación [w] = FjL
indica que w, el peso por unidad de longitud, es la carga. En los problemas
2.26 y 2.27, las secciones A A y BB se hallan justo a la izquierda y justo arriba,
respectivamente, de las posiciones de las cargas o a la mitad de las barras, o en ambas
posiciones: En los problemas 2.28 y 2.29, las secciones AA y BB se encuentran a la
mitad de los segmentos y justo a un lado de las juntas, respectivamente.
2.30-2.32 En cada uno de los siguientes problemas considere que la estructura es
tridimensional, con la posibilidad de que se presente una fuerza axial y dos fuerzas
cortantes en la sección analizada, así como la posibilidad de que existan las tres
componentes de momento. Dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para
determinar las resultantes de las fuerzas internas en cada una de las secciones
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
M = £
\
T
-JL\
-
P. 2.27
lA
m.
P. 2.28 P. 2.29
indicadas. La notación [w] = F/L indica que w, el peso por un idad de longitud,
es la carga.
P. 2.30 P. 2.31
2.3 ESFUERZO; DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS INTERNAS
El esfuerzo (tensión) es una cantidad que se define y que es indispensable
para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deforma-
bles. El estudiante ya está familiarizado con varias situaciones físicas que
implican el concepto de esfuerzo, pero el cual no ha sido denominado de
esta forma. La presión, en sus muchas formas, es un ejemplo de lo que se
definirá como esfuerzo normal, mientras que una distribución de fuerzas
tangenciales asociadas con la fricción tiene algunas de las características
de lo que se definirá como esfuerzo cortante.
2.3.1 Definición formal y notación del esfuerzo
Para evaluar adecuadamente la resistencia de una estructura, es necesario
considerar al esfuerzo de una manera más general que simplemente como
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 33
una presión normal. En esta sección comenzaremos a desarrollar las
propiedades del esfuerzo que se necesitan para una evaluación más amplia
de la resistencia.
El esfuerzo (tensión) se define en un punto sobre una superficie. El
punto puede estar localizado sobre la superficie exterior o frontera (con-
torno) de un cuerpo deformable, como se indica en la figura 2.8a, o sobre
una superficie interna imaginaria resultante del proceso de seccionado,
como se indica en la figura 2.8b.
En el primer caso la superficie es definida por la normal n al plano
tangente en P, mientras que en el segundo caso la dirección de la normal
n es perpendicular al plano de la sección. En ambos casos la normal sirve
para definir la orientación de la superficie en el punto considerado. A
continuación definiremos formalmente el esfuerzo e investigaremos varias
de sus características.
Consideremos un cuerpo sometido, de manera general, a la acción de
fuerzas de cuerpo B y a las fuerzas de contacto F¡, como se indica en la
figura 2.9a.
(a) (b)
Figura 2.9 Cuerpo bajo la acción de fuerzas de masa y de superficie
Seccionemos el cuerpo a través de un plano, como se indica en la
figura 2.9b, que ponga de manifiesto las distribuciones de las fuerzas
internas que son estáticamente equivalentes a la fuerza y el momento
resultantes F y M. Consideremos un punto P sobre la superficie y un
área infinitesimal A A, como se muestra en la figura 2.10.
Asociada con el área infinitesimal A A hay en general una fuerza A F„
normal al plano y una fuerza AF, paralela al plano. El esfuerzo normal en
P sobre el plano cuya normal es n se define mediante el límite
(a)
(b)
Figura 2.8 Superficies
para la definición del
esfuerzo
lím ~=an(P)
AA—>0 A A " v '
(2.1)
J
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Figura 2.11 Esfuerzos
representados como
flechas
Figura 2.12 Sistema de coordenadas
cartesiano rectangular dextrógiro
Figura 2.10 Punto y plano para la definición de
esfuerzo
y tiene por dimensiones F/L2. Observe que crn{P) puede ser tanto negativa
comp positiva. Una crn ( P ) negativa indica un esfuerzo de compresión y una
cr„(P) positiva indica un esfuerzo de tensión.
El esfuerzo cortante* en P sobre el plano cuya normal es n se define
por el límite
(2 -2 )
y tiene también las dimensiones F/L1. En general no hay restricción para
la dirección del cortante en el punto P considerado; así, en el punto P es
posible que la fuerza AF, y, en consecuencia, el esfuerzo cortante r„(P)
tengan cualquier dirección en el plano de la sección. Observe también
que para el plano asociado con una sección dada a través del cuerpo, el
esfuerzo normal y el esfuerzo cortante serán en general diferentes en cada
punto P del plano.
Es común representar los esfuerzos por medio de flechas sobre un
croquis, como se indica en la figura 2.11. Sin embargo, recuerde que
lo que se está representando es, en realidad, una fuerza A F asociada
con el esfuerzo que actúa sobre el área A A en consideración, y que las
componentes de esfuerzo se deben multiplicar por un área apropiada antes
de incluirse en las ecuaciones de equilibrio como fuerzas del diagrama de
cuerpo libre.
Uno de los primeros pasos al formular un problema de mecánica de
sólidos es definir un sistema de ejes coordenados para describir posiciones,
desplazamientos y fuerzas. Los esfuerzos también se deben referir a
un sistema de coordenadas, a menudo un sistema cartesiano rectangular
dextrógiro como el mostrado en la figura 2.12a.
La notación para los esfuerzos referidos a ese sistema de referencia se
define como sigue. Considere primero una sección a través de un cuerpo
que sea paralela al plano yz, indicado en la figura 2.12b. Para un elemento
diferencial AA en un punto P sobre el plano imaginario, hay una fuerza
*Suele denominarse también tensión tangencial, de cizalladura o de corte. (N. del R. T.)
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 35
elemental AF que representamos como
AF = iA FX + j AFy + kA FZ
como se indica en la figura 2.12b. Las componentes de esfuerzo positivas
sobre esta cara se definen de acuerdo con
A FX
dx = lím —— AA—O AA
(2.3a)
Txy = hm —f AA—o AA
(2.3b)
txz = hm —— 2 AA-*0 AA
(2.3c)
Observe con cuidado que cuando la normal tiene la dirección x posi- F i g u r a 2 1 3 C o m p o n e n t e s d e e s f u e r z 0
tiva, los esfuerzos cortantes positivos rxy y txz tienen las direcciones yyz positivas
positivas, respectivamente.
La tercera ley de Newton apticada a «fuentes se í a l i entonces que
' c u a n d o la fcdttraü a Va cara t íeae Ja dirección * negaíiva,rlos esfuerzos
'. ;CórtatÉtea positivos rxy y tieaeít las direcciones y y t negativas,
Este procedimiento se puede repetir para planos cuyas normales
tienen las direcciones y y z . Para un estado de esfuerzo referido a un
sistema coordenado xyz, las componentes de esfuerzo positivas se indican
en la figura 2.13.
Cada esfuerzo en el conjunto de esfuerzos
O-x Txy Txz
Tyx O-y Tyz /
Tzx Tzy &Z
suele llamarse componente de esfuerzo. El conjunto de nueve esfuerzos
se llama tensor esfuerzo. El llamado carácter tensorial del esfuerzo se
refleja
Continuar navegando
Materiales relacionados
176 pag.MIT - EYRM - RECOPILACIÓN - Inés Martínez Mendoza
Desafio PASSEI DIRETO
160 pag.
177 pag.MIT - EYRM - RECOPILACIÓN
Estudios Generales
Compartir