2018-1C Resuelto de problema de parcial

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Problema de parcial 20180514 
En un deposito hay una muy grande cantidad de botellas de un cierto
producto, el cual se compra a dos proveedores en proporciones iguales. La
cantidad de reactivo por botella debe ser 50grs, pero se sabe que el primer
proveedor entrega botellas con una cantidad de reactivo U [45;50 ] en grs.,
mientras que la cantidad de reactivo en las botellas del segundo proveedor es
U [40;60 ] en grs. .
La empresa sabe que con 48grs. de reactivo por botella el producto tiene
una calidad aceptable, de forma que las botellas con menos de 48grs de
reactivo son rellenadas con reactivo extra llevando el reactivo total a ese nivel
(las botellas con más de 48grs. de reactivo no se adicionan sin importar el
nivel de reactivo que tengan)
A) Calcule la esperanza del nivel de reactivo extra adicionado por botella.
B) Si se sabe que una cierta botella tiene más de 4grs. de reactivo
adicionado, calcule la probabilidad que dicha botella haya sido comprada al
segundo proveedor.
Resolución A)
Sean los eventos:
A={''La botella fue comprada al primer proveedor''} (1)
B={''La botella fue comprada al segundo proveedor'' } (2)
Dado que las proporciones de compras a cada proveedor son iguales.
P(A)=P(B)=0,5 (3)
Sea la V.A.:
X A : V.A. cantidad de reactivo en una botella comprada al primer proveedor [grs. ] (4)
X A∼U [45 ;50] (5)
f XA (x)={
1
50−45
;45≤x≤50
0 ;∀ otro x } (6)
f XA (x )={
1
5
;45≤x≤50
0 ;∀ otro x } (7)
Sea la V.A.:
XB : V.A. cantidad de reactivo en una botella comprada al segundo proveedor [grs. ] (8)
X B∼U [ 40;60 ] (9)
f XB( x)={
1
60−40
;40≤x≤60
0 ;∀ otro x } (10)
f XB(x)={
1
20
;40≤x≤60
0 ;∀ otro x } (11)
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Resolución A) encontrando la f.d.p. del reactivo extra
Sea la V.A.:
Y : V.A. cantidad de reactivo adicionado en una botella cualquiera [grs. ] (12)
Si se puede encontrar la f.d.p. f Y ( y) se puede calcular E[Y ] por definición.
Como Y cambiará si se sabe a que proveedor se ha comprado la botella, se
empieza encontrando las V.A.s condicionadas que describen la cantidad de
reactivo adicionado a una botella sabiendo el proveedor de la misma.
Sea la V.A.:
(Y A): V.A. cantidad de reactivo adicionado en una botella del primer proveedor [grs.] (13)
(Y /A ) eventualmente podría haber tenido una letra propia.
Existe un cambio de variable 1:1 X A→(Y / A) según la siguiente fórmula:
(Y A)={
48−X A ; x<48
0 ; x≥48} (14)
La V.A. (Y /A ) es una V.A. mixta con una parte continua y un punto pesado en
(Y /A )=0 .
El punto pesado de (Y /A ) se puede calcular como:
P(Y A=0)=P (X A≥48 )= ∫x=48
x=+∞
f X A(x)⋅dt= ∫
x=48
x=50
1
5
⋅dt=
1
5
⋅2=
2
5
(15)
Para plantear el cambio de variable 1:1 X A→(Y / A) en la región continua
X A∈(45 ; 48) la cual se corresponde al segmento (Y /A )∈(0 ;3) se plantea tener el
cambio de variable directo (14), la f.d.p. original (7), el cambio de variable
inverso (a encontrar), y el modulo de la derivada de la variable nueva respecto
de la variable original (a encontrar).
De (14) se ve que (dentro del entorno continuo de interés) el cambio de
variable inverso es:
φ
−1
( y )=x=48− y (16)
Y de (14) también se deduce el módulo de la derivada:
dY
dX A
=
d
dX A
⋅( 48−X A )=−1 (17)
| dYdX A|=1 (18)
De (7), (14), (16), y (18) se puede plantear el cambio de variable para el
segmento continuo.
f Y /A ( y )=⌊
f X A(x )
| dYdX A| ⌋φ−1( y)
=⌊
1
5
1 ⌋x=48− y=15 (19)
De modo que la descripción probabilística de (Y /A ) es con una f.d.p y con una
f.p. en forma conjunta.
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{
P(Y A=0)=
2
5
f Y /A( y)=
1
5
⋅1(0 ;3 )} (20)
Con exactamente los mismo procedimientos usados entre (13) y (20) se puede
encontrar la f.d.p. de la V.A. condicionada (Y /B) .
Sea la V.A.:
(Y B): V.A. cantidad de reactivo adicionado en una botella del segundo proveedor [grs. ] (21)
El cambio de variable 1:1 XB→(Y /B) es:
(Y B)={
48−X B ; x<48
0 ; x≥48} (22)
El punto pesado de (Y /B) se calcula:
P(Y B=0)=P ( XB≥48 )= ∫x=48
x=+∞
f X A(x )⋅dt= ∫
x=48
x=60
1
20
⋅dt=
1
20
⋅(60−48)=
12
20
=
3
5
(23)
Para plantear el cambio de variable 1:1 continuo XB→(Y /B) el cual va del
segmento XB∈(40;48) al segmento (Y /B)∈(0 ;8) se buscará el cambio de variable
inverso, y el modulo de la derivada.
De (22) se ve que el cambio de variable inverso es:
φ
−1
( y )=x=48− y (24)
Y de (22) también se deduce el módulo de la derivada:
dY
dX A
=
d
dX A
⋅( 48−X A )=−1 (25)
| dYdXB|=1 (26)
De (11), (22), (24), y (26) se puede plantear el cambio de variable.
f Y /A ( y )=⌊
f X A(x )
| dYdX A| ⌋φ−1( y)
=⌊
1
5
1 ⌋x=48− y=15 (27)
La descripción probabilística de (Y /B) también es con una f.d.p y con una f.p.
en forma conjunta.
{
P(Y B=0)=
3
5
f Y /B ( y)=
1
20
⋅1(0; 8)} (28)
Intuitivamente se ve que Y definida en (11) también será una V.A. mixta ya
que existe una probabilidad determinada que P(Y=0) y además hay una
densidad de probabilidad de los valores de Y >0 .
Como Y es una mezcla de V.A.s las cuales se describieron en (20) y (28) la
f.d.p. y f.p. de Y se pueden encontrar resolviendo esa mezcla. Aquí se verá la
conveniencia de definir las nuevas V.A.s como (Y /A ) en lugar de usar letras
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nuevas.
La f.p. de Y solamente tendrá probabilidad en P(Y=0) .
P(Y=0)=P(A)⋅P(Y=0 A)+P(B)⋅P(
Y=0
B)=
1
2
⋅
2
5
+
1
2
⋅
3
5
=
1
2
(29)
La f.d.p. de Y se calcula de forma similar.
f y ( y)=P(A )⋅f Y /A ( y )+P (B)⋅f Y /B( y)=
1
2
⋅( 15⋅1(0 ;3 ))+
1
2
⋅( 120⋅1(0 ;8 )) (30)
f y ( y)=
1
8
⋅1(0 ;3)+
1
40
⋅1(3 ;8 ) (31)
Y la descripción probabilística de la V.A. mixta Y es:
{
P(Y=0)=
1
2
f Y ( y )=
1
8
⋅1(0 ;3)+
1
40
⋅1(3; 8)} (32)
Ahora se puede calcular E[Y ] por definición
E[Y ]=∑
∀ y i
y i⋅P(Y= yi)+ ∫
y=−∞
y=+∞
y⋅f Y( y )⋅dy=0⋅
1
2
+ ∫
y=0
y=3
y⋅
1
8
⋅dy+ ∫
y=3
y=8
y⋅
1
40
⋅dy (33)
E[Y ]=
1
8 ⌊
y2
2 ⌋y=0
y=3
+
1
40
⋅⌊ y
2
2 ⌋y=3
y=8
=
1
8
⋅
32−02
2
+
1
40
⋅
82−32
2
=
9
16
+
55
80
=
100
80
(34)
E[Y ]=
5
4
=1,25 (35)
Resolución B)
La probabilidad pedida es:
P(BY >4 )=? (36)
Como B es una condición que en la experiencia ocurre antes que Y (primero
la botella se compra a un determinado proveedor y luego se le adiciona o no el
reactivo faltante), sería bueno plantear resolver (36) en función de la
probabilidad condicionada al revez (con Y condicionada por B ). Planteando la
fórmula de Bayes.
P(BY >4 )=
P (B)⋅P(Y >4 B)
P(Y >4)
(37)
(37) puede resolverse usando (3), (28), y (32). Sin embargo parece mas simple
plantear el teorema de la probabilidad total en el denominador de (37).
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P(BY >4 )=
P(B)⋅P(Y >4 B)
P (A )⋅P(Y >4 A)⏟
=0
+P(B)⋅P(Y >4 B)
(38)
En (38) el factor marcado es nulo ya que (Y / A)∈(0 ;3) , de modo que se
cancela todo el termino y la probabilidad buscada es la de un evento
determinísticamente cierto.
P(BY >4 )=1 (39)
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