2017-1C Resuelto de problema de parcial

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Problema de parcial 20170518 
Para el lanzamiento de jabalina los atletas primero toman carrera y luego
lanzan la misma al aire intentando alcanzar la distancia más larga.
En un determinado club deportivo los atletas toman cada uno una carrera
que es una V.A. X entre 2mts y 6mts (cada cual toma siempre la misma
carrera dependiendo de su técnica y capacidad). Esta carrera para un atleta
cualquiera viene descripta por la f.d.p. siguiente:
f X (x)={
x
16
;2≤x≤6
0 ;∀ otro x}
La distancia que la jabalina alcanza en un tiro cualquiera y para una carrera
dada es una variable Y aleatoria entre 8 X y 12 X según una f.d.p. que es
proporcional a Y . Es decir:
f Y /X (x ; y )= {α⋅y ;8 x≤ y≤12 x0 ;∀ otro y } para algún valor de α .
Un atleta se considera “de elite” si toma carrera mayor a 4mts, y un
lanzamiento se considera “largo” si alcanza por lo menos los 50mts
considerándose “corto” si no los alcanza.
A) Calcule la probabilidad de que un atleta cualquiera cometa un
lanzamiento corto.
B) Calcule la probabilidad de que un atleta de elite realice un lanzamiento
largo.
Este club a formado una comitiva para representarse en una competencia
internacional. Se pretendió enviar solamente solamente atletas de elite pero
se sabe que de alguna manera el 10% de los atletas de la comisión son de “no
elite”.
Si la energía en Joules que tiene la jabalina al ser lanzada depende de la
carrera que el atleta haya tomado y puede calcularse según la formula:
E=3,5⋅X2 en [Joules]
C) Calcule la media (esperanza) de la energía que tienen las jabalinas
lanzadas por los atletas de esta comitiva.
Resolución A): Calcule la probabilidad de que un atleta
cualquiera cometa un lanzamiento corto
Del enunciado se tiene definida la V.A.:
X :V.A. carrera que toma un atleta cualquiera para lanzar la jabalina (1)
Se sabe que dicha V.A. X está descripta por la f.d.p.:
f X (x)={
x
16
;2≤x≤6
0 ;∀ otro x} (2)
También está definida la V.A.:
Y : Distancia que la jabalina alcanza en un tiro cualquiera (3)
No se tiene la descripción probabilística de la V.A. Y , pero se define la V.A.
condicionada:
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(Y X ) :V.A. Distancia que alcanza la jabalina para una determinada carrera (4)
Se tiene la f.d.p. condicionada.
f Y /X (x ; y )= {α⋅y ;8 x≤ y≤12 x0 ;∀ otro y } (5)
Para encontrar la formula final de (5) habrá que encontrar el valor de α . Este
valor α podría depender de la V.A. X y debe ser tal que se cumpla el 2do
axioma de Kolmogorov.
1= ∫
y=−∞
y=+∞
f Y /X (x; y )⋅dy= ∫
y=8 x
y=12 x
α⋅y⋅dy=α⌊ y
2
2 ⌋y=8 x
y=12 x
=α⋅
(12 x)2−(8 x)2
2
=40⋅α⋅x2 (6)
De modo que el valor de α es:
α=
1
40⋅x2
(7)
Reemplazando (7) en (5).
f Y /X (x ; y )= {
y
40⋅x2
; 8x≤ y≤12 x
0 ; ∀ otro y } (8)
Con esto queda definido el dominio bivariante en el espacio (X ;Y ) el cual
tiene límites dador por (2) y (8).
(X ;Y )∈{ 2≤X≤68 X≤Y≤12 X } (9)
En el gráfico se ve el dominio bivariante, junto con las ecuaciones de las
curvas que delimitan dicho dominio.
Ademas, dentro de ese dominio puede encontrarse la f.d.p. conjunta.
f (X;Y )(x ; y)=f X (x)⋅f Y /X (x ; y )=( x16 )⋅(
y
40⋅x2 ) (10)
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f (X;Y )(x ; y)=
1
640
⋅
y
x
(11)
Esta f.d.p. conjunta deducida en (11) contiene toda la información
probabilística disponible en el plano (X ;Y ) . Con esto se puede emprender el
proceso de contestar cualquier pregunta relacionada con el problema.
En particular, si para este item se define el evento:
A={''Un atleta cualquiera comete un lanzamiento corto'' } (12)
Esta probabilidad puede expresarse en los términos de la V.A. Y .
P(A)=P(Y <50) (13)
Para resolver (13) podría marginarse para encontrar la f.d.p. f Y ( y ) . Sin
embargo parece más directo plantear que región del plano (X ;Y ) se cumple
dicho evento.
Note que el valor x=25/6 es el resultado de intersecar la curva y=50 con la
curva y=12 x .
En la figura puede verse la región que corresponde al evento A , con lo cual
la probabilidad pedida puede calcularse como:
P(A)=∬
A
f (X ;Y )(x ; y)⋅dy⋅dx (14)
La integral sobre la región A no puede resolverse en una sola expresión por
cuestiones de límites de integración. Si se escoge dy como la integral interior y
dx como la integral exterior, cuando X se mueve entre los límites 2≤x≤25 /6
la variable y lo hace entre las curvas 8 x≤ y≤12 x ; mientras que cuando X se
mueve entre los límites 25/6≤x≤6 la variable y lo hace entre las curvas
8 x≤ y≤50 .
P(A)= ∫
x=2
x=25 /6
∫
y=8 x
y=12 x
f (X ;Y )(x ; y)⋅dy⋅dx+ ∫
x=25/6
x=6
∫
y=8 x
y=50
f (X ;Y )(x ; y)⋅dy⋅dx (15)
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Por otro lado, si se escoge dx como la integral interior y dy como la integral
exterior, cuando y se mueve entre los límites 16≤ y≤24 la variable x lo hace
entre las curvas 2≤x≤ y /8 ; cuando y se mueve entre los límites 24≤ y≤48 la
variable x lo hace entre las curvas y /12≤x≤ y /8 ; y finalmente cuando y se
mueve entre los límites 48≤ y≤50 la variable x lo hace entre las curvas
y /12≤x≤6 .
P(A)= ∫
y=16
y=24
∫
x=2
x=y /8
f (X ;Y )( x; y )⋅dx⋅dy+ ∫
y=24
y=48
∫
x=y /12
x=y /8
f (X ;Y )( x; y)⋅dx⋅dy+ ∫
y=48
y=50
∫
x=y /12
x=6
f (X ;Y )(x ; y )⋅dx⋅dy (16)
Note la facilidad de definición de los límites de integración cuando las curvas
que delimitan el dominio se han descripto simultáneamente en la forma y=f (x)
y x=f ( y) .
También note la inconveniencia de calcular (15) o (16) por el hecho de deberse
desdoblar la integral. Sin embargo (14) aun puede calcularse en una formula
definida con una sola integral haciendo uso de las propiedades del complemento.
P(A)=1−∬
A
f ( X;Y )( x ; y )⋅dy⋅dx=1− ∫
x=25 /6
x=6
∫
y=50
y=12 x
f (X ;Y )(x; y )⋅dy⋅dx (17)
P(A)=1− ∫
x=25/6
x=6
∫
y=50
y=12 x
1
640
⋅
y
x
⋅dy⋅dx=1−
1
640
⋅ ∫
x=25/6
x=6
1
x
⋅⌊ y
2
2 ⌋ y=50
y=12 x
⋅dx (18)
P(A)=1−
1
640
⋅ ∫
x=25 /6
x=6
1
x
⋅(144⋅x
2
−2.500
2 )⋅dx=1−
1
640
⋅ ∫
x=25/6
x=6
(72⋅x−1.250x )⋅dx (19)
P(A)=1−
1
640
⋅⌊72⋅x
2
2
−1.250⋅ln|x|⌋
x=25/6
x=6
(20)
P(A)=1−
1
640
⋅[36⋅(62−(256 )
2
)−1.250⋅(ln|6|−ln|256 |)] (21)
P(A)=1−
1
640
⋅[671−1.250⋅( ln|6|−ln|25|+ ln|6|)] (22)
P(A)=1−
1
640
⋅[671−1.250⋅(2⋅ln|6|−ln|25|) ] (23)
P(A)≃1−
1
640
⋅[ 671−455,8039 ] (24)
P(A)≃0,6638 (25)
Resolución B) Calcule la probabilidad de que un atleta de elite
realice un lanzamiento largo
Se define el evento:
B={''Un atleta de elite realiza un lanzamiento largo''} (26)
En los términos de las V.A.s esta probabilidad se expresa como:
P(B)=P(Y >50 X>4) (27)
(27) puede resolverse por definición, o bien encontrar primero una f.d.p.
unidimensinal o bidimensional condicionada al evento X>4 y luego integrar esa
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función en el intervalo Y∈(50 ;+∞) . Se elige resolver por definición e integrando
la f.d.p. conjunta.
P(B)=
P (Y >50∩X>4 )
P(X>4)
(28)
P(B)=
∫
x=25/6
x=6
∫
y=50
y=12 x
f (X ;Y )(x ; y)⋅dy⋅dx
∫
x=4
x=6
∫
y=8 x
y=12 x
f ( X;Y )( x ; y )⋅dy⋅dx
(29)
El numerador de (29) se calculo entre (17) y (25).
P(B)=
671−1.250 (2⋅ln|6|−ln|25|)
640
∫
x=4
x=6
∫
y=8 x
y=12 x
1
640
⋅
y
x⋅dy⋅dx
(30)
P(B)=
671−1.250 (2⋅ln|6|−ln|25|)
640
1
640
⋅∫
x=4
x=6
1
x
⋅⌊ y
2
2 ⌋y=8x
y=12 x
⋅dx
(31)
P(B)=
671−1.250(2⋅ln|6|−ln|25|)
∫
x=4
x=6
144⋅x2−64⋅x2
2x
⋅dx
(32)
P(B)=
671−1.250(2⋅ln|6|−ln|25|)
∫
x=4
x=6
40⋅x⋅dx
(33)
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P(B)=
671−1.250(2⋅ln|6|−ln|25|)
⌊ 40⋅x
2
2 ⌋x=4
x=6
(34)
P(B)=
671−1.250(2⋅ln|6|−ln|25|)
20⋅(62−42)
(35)
P(B)=
671−1.250(2⋅ln|6|−ln|25|)
400
(36)
P(B)≃0,5380 (37)
Note que el complemento de la respuesta dada en A) dice que la probabilidad
de realizar un lanzamiento largo es P(A)≃0,3362 . En este punto se pregunta lo
mismo pero para un atleta de elite que probabilísticamente realizan lanzamiento
más largos que los atletas de no elite. Con lo cual es razonable que el número en
(37) sea mayor a P(A) .
Resolución C) Calcule la media (esperanza) de la energía que
tienen las jabalinas lanzadas por los atletas de esta comitiva
La ventaja de este ítem es que la energía de la jabalina depende unicamente
de la carrera que el atleta utiliza X . De esta forma que se puede trabajar
unicamente con la función unidimensional f X (x) para resolver este item.
Si se define la V.A.:
XC :V.A. carrera que toma un atleta perteneciente a la comisión (38)
la forma de encontrar la f.d.p. XC es truncar la f.d.p. original f
X
(x) en dos
f.d.p. una para los atletas de elite y otra para los atletas de no elite, para luego
realizar la mezcla en proporciones 90%-10% y obtener la f.d.p. buscada. Si se
define el evento:
E={''Un atleta de la comisión es de elite''} (39)
Y se sabe las respectivas probabilidades son:
P(E)=0,9 (40)
P(E)=0,1=P(NE) (41)
llamando P(NE) a la probabilidad de que un atleta de la comisión sea de no
elite. La f.d.p. de la nueva variable se obtiene por mezcla.
f X C(x )=P(E)⋅f X E(x )+P(NE)⋅f XNE (x) (42)
Donde se a llamado:
X E :V.A. carrera que toma un atleta de elite (43)
X NE :V.A. carrera que toma un atleta de no elite (44)
Las f.d.p. de (43) y (44) deben encontrarse por truncamiento de X .
Como en este problema no se pide encontrar la f.d.p. sino solamente encontrar
la esperanza de una función de X , y dado que la esperanza es una integral,
usando las propiedades de linealidad de la integral se llega a que esta esperanza
puede calcularse como:
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E[ g(X )]= ∫
x=−∞
x=+∞
x⋅f X (x)⋅dx=P(E)⋅ ∫
x=−∞
x=+∞
g( x)⋅f X E(x )⋅dx
⏟
E [g( X )E ]
+P(NE )⋅ ∫
x=−∞
x=+∞
g(x )⋅f XNE (x)⋅dx
⏟
E [g (X )NE]
(45)
Las integrales marcadas se llaman las esperanzas condicionadas. Sin embargo
sin perjuicio del nombre, la ecuación (45) se encontró utilizando propiedades de
linealidad de la integral.
Se procede a encontrar las f.d.p. condicionales por truncamiento. la f.d.p. de la
V.A. X E :
f X E(x )=f X /E(x)=
f X (x)∩{E}
P(E)
=
x
16
∩{X>4}
P (X>4)
(46)
El numerador de (46) es la f.d.p. original de X restringida en su dominio. el
denominador puede encontrarse por integración directa.
f X E(x )=
x
16
∫
x=4
x=6
f X( x)⋅dx
=
x
16
∫
x=4
x=6
x
16
⋅dx
=
x
16
1
16
⋅⌊ x
2
2 ⌋x=4
x=6
=
x
62−42
2
=
2⋅x
20 (47)
f X E(x )=
x
10
⋅1[4 ;6] (48)
Del mismo modo, la f.d.p. de la V.A. X NE se encuentra:
f X NE(x)=f X /NE (x )=
f X (x)∩{NE}
P(NE)
=
x
16
∩{X<4 }
P(X<4)
(49)
f XNE (x)=
x
16
∫
x=2
x=4
f X(x )⋅dx
=
x
16
∫
x=2
x=4
x
16
⋅dx
=
x
16
1
16
⋅⌊ x
2
2 ⌋x=2
x=4
=
x
42−22
2
=
2⋅x
12 (50)
f X NE(x)=
x
6
⋅1[2 ;4 ] (51)
Remplazando (48) y (51) en (45):
E[Energy (X )]=E [3,5⋅X2]=P (E)⋅∫
x=4
x=6
3,5⋅x2⋅
x
10
⋅dx+P(NE)⋅∫
x=2
x=4
3,5⋅x2⋅
x
6
⋅dx (52)
E[Energy (X )]=0,9⋅∫
x=4
x=6
7
20
⋅x3⋅dx+0,1⋅∫
x=2
x=4
35
60
⋅x3⋅dx=
0,9⋅7
20
⋅⌊ x
4
4 ⌋x=4
x=6
+
0,1⋅35
60
⋅⌊ x
4
4 ⌋x=2
x=4
(53)
E[Energy (X )]=
63
200
⋅( 6
4
−44
4 )+
35
600
⋅( 4
4
−24
4 )=
819
10
+
35
10
(54)
E[Energy ]=
854
10
=85,4 [Joule] (55)
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