319305261-Prueba-1-Mecanica-Racional

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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA 
INSTITUTO DE OBRAS CIVILES 
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL EN OBRAS CIVILES. 
 
 
Valdivia, 12 de septiembre de 2012. 
 
 
Prueba Nº1: Mecánica Racional I. (IOCC 053) 
 
 
1. Obtenga la fuerza y momento resultantes en “O”, así como la ecuación de la recta que 
comprende la línea de acción de la resultante con momento nulo. 
 
 
 (50%) 
 
2. Determine la fuerza y momento resultantes en torno a “A”. Obtenga también la 
componente de dicho momento sobre los ejes que pasan por el punto “A”, cuyas 
direcciones están dadas por los vectores unitarios 1 
3 4ˆ ˆˆ
5 5
n i j 
  
 y 2 
12 5 ˆˆˆ
13 13
n j k 
 
. 
 
 
 (50%) 
 
 
Desarrollo: 
 
 
1. Definiendo los vectores posición y de fuerza, en unidades de  KN y  m , se tiene 
 
    1 ˆ ˆ ˆ ˆ3.2cos 40 3.2sin 40 2.451 2.057r i j i j      
 
 1 
ˆ34F i 
 
 
        2 ˆ ˆ ˆ ˆ3.2cos 40 1.9cos 70 3.2sin 40 1.9sin 70 3.101 3.842r i j i j              
 
    2 ˆ ˆ ˆ ˆ23cos 35 23sin 35 18.84 13.192F i j i j      
 
2.0 
La fuerza y el momento resultantes están dados por 
 
     
2
 
1
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ34 18.84 13.192 15.16 13.192i
i
F F i i j i j

            
 
         
2
 
1
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2.451 2.057 34 3.101 3.842 18.84 13.192O i i
i
M r F i j i i j i j

                 
 
 ˆ ˆ ˆ69.938 113.292 43.354k k k   
  
 
3.0 
Reproduciendo aproximadamente ambos resultados en forma gráfica se tiene: 
 
 
1.0 
de tal forma que la pendiente de la recta buscada da como resultado 
 
  13.192tan 0.8702
15.16
m    

 
1.0 
 
La distancia a la línea de acción, así como el punto donde la recta buscada corta el eje 
de las ordenadas, están dados por 
 
   
 
2 2
 
43.354
2.1573
15.16 13.192
i
i
M
d
F
  
  


 
    1
2.1573
2.86
cos cos tan 0.8702
d
b
 
      
 2.0 
Finalmente la ecuación de la recta buscada, de la forma y mx b  , resulta ser 
 
0.87 2.86y x  
1.0 
 
2. Se definen los vectores posición y se identifican tanto los vectores fuerza como las 
contribuciones al cálculo del momento: 
 
 1 
ˆr a k
 
 1 ˆ2F P i 
 
 2 0r  
 2
3 ˆ
2
F P j 
 
 
 3 
ˆ ˆr a i a j 
  
 3
ˆF P k 
 
 
    4 ˆˆcos 25 sin 25r a i a k    4
ˆ
2
P
F j
 
 (par) 
2.0 
 
3 ˆˆ ˆ2
2
P
F P i j P k  
  
 
1.0 
 
            5 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 cos 25 sin 25
2 2A
Pa P
M k a k P i a i a j P k a i a k j                       
 
    5 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 cos 25 sin 25
2 2 2
Pa Pa Pa
k Pa j Pa j Pa i k i     
    
 
   
 
sin 25 cos 25 5 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 3 0.789 3 2.953
2 2
Pa i j k Pa i j k
                       

    
 
3.0 
 
Las componentes de dicho momento en torno a ambos ejes resultan ser 
 
    1
1 
sin 25 cos 25 5 3 4ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ 1 3
2 2 5 5A A
M M n Pa i j k i j
                                
 
    sin 253 41 3 0.473 2.4 1.927
5 2 5
Pa Pa Pa
  
          
 
2.0 
 
    2
2 
sin 25 cos 25 5 12 5ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 3
2 2 13 13A A
M M n Pa i j k j k
                                
 
   cos 25 512 53 2.769 1.136 1.633
13 13 2
Pa Pa Pa
  
        
 
2.0