Apuntes Primer parcial

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CLASES PARTICUARES 
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Matemática (51) y (61) 
Matemática II (Arquitetura; D.I) 
 
 
APUNTES PARA EL PRIMER PARCIAL 
Distancia 
 
2 2
2 1 2 1( ) ( )d x x y y    
Punto medio (puntos equidistantes) (
𝑥1+𝑥2
2
; 
𝑦1+𝑦2
2
) 
 
VECTORES 
 
2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
 Módulo, Magnitud o longitud
( , ); ( , )
( , ) Suma de vectores
 Producto escalar
V x y
V x y w x y
V w x x y y
V w x x y y
 
 
   
   
 
Función lineal 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Ecuación explícita 
 
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 Pendiente de la recta 
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Forma Polinómica 
 
Ceros o raíces =
2 4
2
b b ac
a
  
 
𝑥𝑣=
−𝑏
2𝑎
 𝑦𝑣 =𝑓(𝑥𝑣) Vértice. Eje de simetría 𝑥 = 𝑥𝑣 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 Forma Canónica 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) Forma Factorizada 
 
𝑥𝑣=
𝑥1+𝑥2
2
 ; 𝑦𝑣 =𝑓(𝑥𝑣) 
 
img 𝑓(𝑥) = (−∞, 𝑦𝑣⟧ 𝑠𝑖 𝑎 < 0 
 
Img 𝑓(𝑥) = ⟦𝑦𝑣,∞) si 𝑎 > 0 
 
C↑ (𝑥𝑣,∞) ; C↓ (−∞, 𝑥𝑣) si 𝑎 > 0 
 
C↑ (−∞, 𝑥𝑣) ; C↓ ( 𝑥𝑣 , ∞) si 𝑎 < 0 
 
 
 
 
 
Función polinómica 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) …Forma factorizada 
Ceros de una función polinómica 
 
Si la función esta factorizada en cualquier forma 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) 
Los ceros se hallan resolviendo 
𝑃(𝑥) = 0 𝑄(𝑥) = 0 
 
Si la función esta en forma Polinómica 
𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥
𝑛 + 𝑎2𝑥
𝑛−1 + ⋯ . +𝑎𝑛 
1. Se verifica que este ordenado el polinomio. 
2. Se extrae el factor común (si es posible) 
3. Si nos dan una raíz aplicamos el método de Ruffini 
4. Si nos aparece una cuadrática usamos resolvente 
(baskara) 
 
 
 
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 0C ;C ;C   
1. Igualamos a cero y despejamos “x”. 
2. Aplicamos Bolzano, Usando el conjunto de ceros y los elementos que se excluyen del dominio. 
Conjunto de positividad y Negatividad 𝐶+ y 𝐶− 
1. Se ubican los ceros (raíces) en la recta. 
2. Se escriben los intervalos de acuerdo a como quedo 
dividida la recta con los ceros. 
Se calcula f(x0) para un valor de x0 perteneciente a cada intervalo 
(Aplicación del teorema de Bolzano), si el resultado es positivo o 
negativo el intervalo pertenecerá a 𝐶+ y 𝐶− respectivamente. 
 
FUNCION RACIONAL 
 
( )
( ) ; donde el Dominio de f(x) se determina calculando ( ) 0
( )
p x
f x q x
q x
 
 
Asíntotas verticales: Se toman los “xi ” de la solución ( ) 0q x  y 
se calculan los límites laterales. 
X=xi, es una asíntota vertical sí y solo sí 
( )
lim
( )ix x
p x
q x
  . 
Sí 
( ) 0
lim
( ) 0ix x
p x
q x
 , entonces X= xi no es una A.V y hay que resolver 
la indeterminación por métodos algebraicos para demostrarlo, al 
resolver el limite obtendremos entonces 
( )
lim
( )ix x
p x
L
q x
 donde L 
es un número.