Velocidad Instantanea

Vista previa del material en texto

Kandinsky, En azul. Óleo sobre lienzo, 1925. 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. EL 
CASO DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
Ángel Enrique Romero Chacón Luz 
Dary Rodríguez 
 
 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. EL CASO DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
Se examina la forma tradicional de asumir la relación física-matemáticas en el contexto educativo y, tomando como fundamento los 
aportes de la historia y la epistemología de la física y del enfoque de modelización, se analiza en particular el concepto velocidad 
instantánea y suformalización. Con la intención de superar algunas dificultades identificadas en la manera usual de significar este 
concepto, se adelanta una interpretación del análisis del movimiento según la perspectiva, galileana: la velocidad instantánea como 
variable de estado. Desde esta perspectiva, se resalta el papel desempeñado por la representación cartesiana en la diferenciación de 
variables y sus relaciones como medio para la formalización y comprensión de este concepto. 
 
■ 
LA FORMALISATION DES CONCEPTS EN PHYSIQUE. LE CAS DE LA VITESSE INSTANTANÉE 
Nous examinons la maniere traditionnelle dont on assume la relation Physique-mathématiques dans le contexte éducatif et, bases 
sur les apports de íhistoire et de l'épistémologk de la physique et de l'approche de modélisation on analyse notamment, le concept 
de vitesse instantanée et sa formalisation. Nous tentons de surmonter quelques difficultés soulevées par la fagan courante de 
donner su sens á ce concept. On avance une interprétation sur l'analyse du mouvement d'aprés une optique galiléenne: la vitesse 
instantanée en tant que variable d'état. Dans cette perspective, on souligne le role joué par la representation cartésienne dans la 
différentiation des variables et leurs relations en tant que moyen de formalisation et compréhension du concept 
 
FORMALIZARON OF PHYSICAL CONCEPTS. THE CASE OF INSTANTANEOUS SPEED 
The traditional way ofassuming the Physics-Matlwmatics relationship in the educational context based on the contributions ofthe 
history and epistemology ofPhysics and modeling in Physics, plus the concept of instant speed and its formaiization, are analyzed 
in this paper. In an attempt to overeóme some difficulties identified in the usual manner ofmeaning this concept, an interprétation 
of movement analysis in accordance with Galilean perspective is proposed: instantaneous speed as a variable of state. From litis 
perspective, the role of the Cartesian representation in the différentiation of variables and its relationships as a means for the 
formaiization and understanding of this concept is also emplmsized. 
 
Enseñanza de la física, enseñanza de la matemática, velocidad instantánea 
Teaching of Physics, teaching of Mathematícs, instant speed (instantaneous velocity) 
 
 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. EL 
CASO DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA* 
Ángel Enrique Romero Chacón** Luz 
Dary Rodríguez*** 
INTRODUCCIÓN 
sualmente los procesos de matema-
tización y formalización son catalogados 
como uno de los aspectos que más 
dificultades causan a los estudiantes de 
física, tanto en el ámbito de la educación media 
como en el de pregrado. Son, además, señalados 
por los profesores de física como uno de los 
factores de mayor incidencia en el fracaso 
académico de sus estudiantes, al punto de llegar a 
proponer una "desmatematización" de la física, es 
decir, una enseñanza de los conceptos y teorías 
físicas que no involucre la cuantificación de las 
magnitudes físicas ni el uso de representaciones 
matemáticas. A lo anterior se suma el uso de las 
matemáticas que hace el profesor de física en las 
didácticas tradicionales: en ellas se confunde los 
procesos de matematización de los fenómenos 
físicos con la aplicación de fórmulas y 
algoritmos. 
Dado que esta situación puede estar siendo 
ocasionada por las concepciones que tienen los 
docentes de las relaciones que existen entre los 
procesos de matematización y la construcción de 
los conceptos físicos, concepciones que están 
basadas, a su vez, en deter- 
minadas formas de asumir el conocimiento 
matemático y el conocimiento científico, indagar 
por la forma en que se materializa tal relación en 
el ámbito educativo indudablemente contribuirá a 
resolver las problemáticas planteadas. 
LA RELACIÓN ENTRE LA FÍSICA Y 
LAS MATEMÁTICAS EN EL 
CONTEXTO EDUCATIVO 
La forma de plantear y abordar la relación entre 
la física y las matemáticas más difundida en el 
ámbito escolar es aquella por la cual se considera 
a las matemáticas como lenguaje de la física. 
Este enunciado, sin embargo, lejos de ser la 
estricta connotación que aparenta, está cargado 
de muchos presupuestos onto-lógicos y 
epistemológicos que es necesario explicitar. 
Esta concepción puede dividirse en dos enfoques, 
dependiendo de la forma como se asu- 
 
* 
»* 
Este artículo hace parte de los resultados de la investigación educativa "La matematización de los fenómenos 
físicos: el caso de los fenómenos mecánicos y térmicos. Análisis conceptuales y elementos para propuestas 
didácticas", Universidad de Antioquia-CODI, Escuela Normal Superior María Auxiliadora, 2001-2002. Profesor Facultad 
de Educación, Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: aeromero@ayura.udea.edu.co Profesora Facultad de 
Educación, Universidad de Antioquia. 
 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo.35 57 
U
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. 
me el lenguaje en su relación con el pensamiento. 
Uno, a través del cual las matemáticas son 
asumidas como un medio de expresión y de 
cálculo, que conduce a concretar la relación entre 
la física y las matemáticas a través de una 
relación de aplicación: las matemáticas 
intervienen en la física como un instrumento 
meramente técnico. Esta concepción es la que 
lleva a proponer como estrategia didáctica el 
adiestramiento en el uso de algoritmos 
matemáticos (Vondracek, 1999, 32; Linder y 
Hillhouse, 1996,332 y ss.). Y otro, en donde se 
considera que las matemáticas tienen con la física 
una relación de constitución: sin las matemáticas 
no sólo es imposible especificar y expresar los 
conceptos y procesos del pensamiento físico, sino 
incluso generarlos. Mientras que desde la primera 
perspectiva existe una situación de exterioridad 
respecto a los objetos de estudio y al sujeto 
cognoscente, desde la segunda, al examinar las 
teorías físicas, resulta difícil encontrar un 
concepto físico que no esté ligado a uno o varios 
conceptos matemáticos. 
Teniendo en cuenta esto, asumir las matemáticas 
como la herramienta de la física no permite 
comprender ni visualizar de qué forma se 
establece y explícita esta relación: por una parte, 
asumir las matemáticas como un método 
universal de representación de la física, que se 
apoya por su parte en un método experimental 
igualmente universal, es una posición demasiado 
vaga que explica de un modo excesivamente 
general tal adecuación de las matemáticas al 
conocimiento científico (Lévy-Leblond, 1988, 
77); de otra parte, desde este enfoque las 
estructuras lógico-matemáticas son dadas como 
algo acabado, donde toda idea de génesis y 
desarrollo es excluida, pues las estructuras 
formales son preformaciones y el sujeto es sede o 
teatro, pero no actor de ellas. 
En los últimos años han venido surgiendo 
propuestas de investigación en la enseñanza de la 
física que, enmarcadas en el segundo enfoque, 
abordan más explícitamente las po- 
sibles formas como se dan las relaciones entre la 
física y las matemáticas a través de estudios de 
caso: se trata de la indagación histórico- epis-
temológica de la física con fines pedagógicos y 
de la modelización en física. 
Por un lado, los análisis histórico-epistemo-
lógicos de la física han contribuido a superar la 
relación de confrontación entre los pares 
naturaleza-hombre, experiencia-teoría y concreto-
abstracto, característicos de formas tradicionales 
de asumir la relación entre la física y las 
matemáticas. Poruna parte, han mostrado que no 
existe una única manera de concebir la 
materialización de dicha relación, pues tal 
adecuación no es universal ni ahistórica: depende 
tanto de las estructuras de los sistemas 
matemáticos como de los conceptos y las 
magnitudes físicas en consideración (Paty, 1994, 
404). Por otra parte, contribuyen a la constitución 
de un marco conceptual apropiado: matematizar 
un fenómeno físico no consiste en sobreponer un 
aparato matemático al fenómeno; se requiere, 
ante todo, construir la posibilidad misma de 
matematizarlo, es decir, de construir las 
magnitudes, relaciones y procedimientos 
apropiados para representarlo y cuantificarlo 
(Malagón, 1988,114). 
Por otro lado, de acuerdo con el enfoque de 
modelización, los modelos constituyen el núcleo 
del conocimiento científico y la modelización es 
la actividad sistemática a partir de la cual se 
puede construir y emplear este conocimiento. 
Este enfoque está basado en ciertos presupuestos 
epistemológicos, siendo tal vez uno de los más 
relevantes aquel por el cual se afirma que nunca 
llegamos a conocer los objetos "en sí", sino a 
través de nuestras representaciones de ellos; en 
otras palabras, todo nuestro conocimiento de lo 
que llamamos "mundo exterior" depende de 
nuestra habilidad para construir modelos de él 
(Johnson-Laird, 1983; citado por Halloun, 1996, 
1.021). Esto implica que cualquier "integración" 
entre disciplinas diversas debe significar un modo 
de comparar y relacionar 
 
58 REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo. 35 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
entre sí modelos diversos y diversas estructuras 
de modelos (Arca, Guidoni y Mazoli, 1990, 139). 
Estas consideraciones tienen importantes 
implicaciones en los procesos de matema-
tización: 
• Hacer matemáticas implica más que la simple 
manipulación de símbolos matemáticos. 
Cuando se construyen o exploran sistemas 
matemáticos, lo que tiene interés son las 
propiedades estructurales de esos sistemas, no 
los elementos aislados dentro del sistema, ni 
las reglas aisladas que sirven para actuar sobre 
tales elementos (Castro Martínez y otros, 
1997, 362 y ss.). 
• Cuando se utilizan representaciones para 
matematizar situaciones problémicas, las 
representaciones matemáticas funcionan como 
simplificaciones de sistemas externos y, a la 
vez, como externalizaciones de sistemas 
internos (Lesh, 1997, 379). 
Tomando como base estos aportes, es claro que la 
forma como se puede avanzar en la 
caracterización de las relaciones entre la física y 
las matemáticas que posibilite plantear 
propuestas didácticas es a través de la realización 
de estudios de casos de cómo se constituyen y 
formalizan conceptos físicos particulares. Sólo 
así se podrá explicitar el uso de representaciones, 
el establecimiento de modelos y los grados de 
formalización involucrados en la identificación y 
cuantificación de las magnitudes relevantes para 
la constitución de un concepto particular. 
EL CONCEPTO VELOCIDAD 
INSTANTÁNEA Y SU 
FORMALIZACIÓN 
La velocidad instantánea es uno de los conceptos 
centrales en la descripción y análisis del 
movimiento de los cuerpos y sistemas. En la 
enseñanza, este concepto se aborda usual-mente 
desde una perspectiva espacio-tempo- 
ral, en el sentido de que para su definición y 
significación se toman como referentes los 
conceptos posición y desplazamiento, asumidos 
como funciones del tiempo. Es así como la 
velocidad instantánea v de una partícula en el 
momento í se define como el límite de su 
velocidad media durante un intervalo de tiempo 
que incluya a t, cuando el tamaño del intervalo 
tiende a cero. 
A pesar de la importancia que este concepto tiene 
en el estudio de la cinemática, en la mayoría de 
los textos y cursos introductorios de física no se 
dedica el tiempo suficiente para garantizar su 
comprensión por parte de los estudiantes, ni se 
diseñan y ponen en práctica las estrategias 
adecuadas para tal fin. La mayoría de las 
investigaciones que identifican las dificultades de 
los estudiantes en la comprensión de los 
conceptos básicos de cinemática resaltan el papel 
que juega la experiencia y proponen dar una base 
perceptual para la definición operatoria de límite, 
al considerar un movimiento no-uniforme como 
una sucesión de movimientos uniformes ocu-
rridos en intervalos de tiempo cortos (Trowbridge 
y McDermott, 1980,1.027; Rosen-quist y 
McDermott, 1987, 408 y ss.). 
No obstante, la alta frecuencia con la que este 
concepto es abordado en los cursos introductorios 
de física, haciendo uso de la perspectiva espacio-
temporal, contrasta con el bajo entendimiento que 
los estudiantes logran de él. Esta formalización 
del concepto velocidad está fundamentada en la 
consideración del movimiento como cambio de 
lugar (cambio de posición): un cuerpo se 
encuentra en movimiento si cambia de lugar en 
un cierto tiempo; desde esta perspectiva, el 
cambio de lugar y el correspondiente gasto de 
tiempo se convierten en los únicos referentes para 
evidenciar y analizar el movimiento de los cuer-
pos. 
A esta forma de significar el movimiento y de 
definir el concepto velocidad instantánea se le 
pueden realizar algunas objeciones: 
 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo. 35 59 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. 
• Si bien las funciones r = r(t) y v = v(t) se 
utilizan formalmente para describir satis-
factoriamente el movimiento de los cuerpos, 
la situación cambia radicalmente si se desea 
analizar movimientos para los cuales no se 
conocen a priori estas funciones (Ayala y 
otros, 2002,1). 
• La definición operatoria de velocidad ins-
tantánea trae consigo dificultades de ade-
cuación entre la noción instantaneidad tem-
poral y el significado de velocidad que 
subyace a dicha definición. Cuando se hace 
referencia al movimiento de un cuerpo se 
considera intuitivamente que en cada instante 
el cuerpo tiene un valor de velocidad 
determinado; no obstante, el uso de lapsos de 
tiempo finitos (aunque pequeños), presentes 
en el paso al límite de la definición, no se 
corresponden con esta noción de 
instantaneidad, dado que lo que se tiene son 
lapsos de tiempo -duraciones-, no instantes. 
• Esta definición sugiere que para medir la 
velocidad instantánea basta con cuantifi-car los 
cambios de posición y los correspondientes 
lapsos de tiempo y aplicar la relación 
propuesta; no obstante, este procedimiento no 
permite resolver satisfactoriamente las 
dificultades que se presentan cuando se desea 
medir la velocidad para un instante 
determinado, dado que sólo es posible dar 
cuenta de la velocidad media en un lapso de 
tiempo. Más aún, la forma de medir la 
velocidad implícita en esta definición no se 
corresponde con el proceso de medir: no se 
dispone de una unidad de velocidad que 
permita la construcción de una escala para 
asegurar cuándo un valor determinado de 
velocidad es la mitad, el doble, el triple, etc., 
de otro. 
Teniendo en cuenta estas objeciones, cabe pre-
guntarse si la única forma de comprender el 
concepto velocidad instantánea es a partir de una 
relación espacio temporal. 
EL MOVIMIENTO DESDE UNA 
PERSPECTIVA FENOMENOLÓGICA 
El movimiento puede pensarse y analizarse desde 
un modo de ver por sistemas y un modo de ver 
por variables. Desde esta perspectiva, el 
movimiento no es una propiedad que se le 
atribuye a un cuerpo, sino un estado de un 
sistema constituido por -al menos- dos cuerpos 
(Guidoni y Arca, 1987, 6 y ss.). De hecho, la 
estructura del lenguaje usado para referirnos al 
movimiento nos percata de esta posibilidad: 
cuando percibimos que no es adecuado decir «el 
cuerpo tiene movimiento», sino «el cuerpo está 
en movimiento», estamos considerando que el 
movimiento no es algo que pertenece al cuerpo, 
sino que es un modo de ser o estar de los 
cuerpos. 
Considerar el movimiento como un estado de un 
sistema de cuerpos implica que, paralelamente a 
la identificación del sistema en consideración, es 
necesario identificar una propiedad variable a 
travésde la cual se dé cuenta de los diferentes 
estados de movimiento que puede llegar a tener 
un cuerpo. Esta posibilidad, igualmente, ya está 
presente en el lenguaje a muy tempranas edades: 
cuando nos referimos al movimiento de un cuerpo 
hablamos de qué tan rápido o lento se mueve 
dicho cuerpo; esto pone en evidencia que para 
referirnos al movimiento identificamos una cierta 
cualidad susceptible de tener grados, que da 
cuenta del estado de movimiento de los cuerpos: 
el grado de velocidad. 
Las diferentes situaciones relativas al movimiento 
pueden ser interpretadas desde esta perspectiva: 
la caída de los cuerpos en las vecindades de la 
superficie terrestre puede ser descrita como el 
cambio continuo del estado de movimiento de un 
cuerpo, de manera que experimenta cambios de 
estado de movimiento iguales en tiempos iguales; 
el caso del movimiento rectilíneo uniforme puede 
interpretarse como la permanencia en el tiempo 
del mismo estado de movimiento; el caso del 
movimiento acelerado es la variación conti- 
 
60 REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL.XVNo.35 
nua en el tiempo del estado de movimiento (Ayala y 
otros, 2002,19). Podría afirmarse, incluso, que la ley 
de la inercia enuncia que un cuerpo por sí mismo no 
puede cambiar su estado de movimiento. 
Para avanzar con el estudio del movimiento desde el 
modo de ver por sistemas y el modo de ver por 
variables es necesario configurar fenómenos donde se 
posibilite la identificación del estado de movimiento 
como variable y el establecimiento de relaciones con 
otras variables que permitan su cuantificación. Para 
este fin se considera relevante realizar un análisis del 
fenómeno de la caída de los cuerpos, según la 
perspectiva galileana. 
PERSPECTIVA GALILEANA DEL 
MOVIMIENTO: LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
COMO VARIABLE DE ESTADO 
Galileo fue uno de los fundadores de una forma de 
análisis que a lo largo de la historia se ha erigido 
como paradigmática: la geometri-zación y, como 
consecuencia de ello, la cuantificación del 
movimiento. Se resaltan aquí algunos aspectos de la 
perspectiva galileana del movimiento que en muchos 
análisis históricos y textos de enseñanza resulta des-
apercibida: la identificación de la velocidad 
instantánea como variable continua que da cuenta del 
estado de movimiento de los cuerpos. En la "Jornada 
tercera" de su obra Consideraciones y demostraciones 
matemáticas sobre dos nuevas ciencias, Galileo 
aborda el análisis del movimiento. Respecto al 
movimiento naturalmente acelerado, afirma: 
Salviati. [...] Cuando observo, por tanto, una 
piedra que cae desde cierta altura, partiendo de 
una situación de reposo, que va adquiriendo poco 
a poco cada vez más velocidad, ¿por qué no he de 
creer que tales aumentos de velocidad no tengan 
lugar según la más simple y evidente propor-
ción ? Ahora bien, si observamos con cierta aten-
ción el problema, no encontraremos ningún 
aumento o adición más simple que aquel que va 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
aumentando siempre de la misma manera [...] 
de modo que si el móvil continuara en su movi-
miento según el grado de intensidad de veloci-
dad adquirido en la primera fracción de tiempo 
y prosiguiera uniformemente con tal grado, este 
movimiento sería dos veces más lento que el que 
obtendría con el grado de velocidad adquirido 
en dos fracciones de tiempo (Galileo, 276-277). 
Para Galileo, la propiedad relevante en el análisis del 
movimiento es la velocidad, o más concretamente el 
grado de velocidad, interpretada como el grado de 
rapidez o lentitud que puede adquirir un cuerpo. A 
través de esta idea, Galileo modifica el estatus 
ontológico del movimiento: de efecto producido por 
una causa -el ímpetu- y que existe y se mantiene sólo 
mientras dura la acción de la causa que lo produce, 
pasa a ser un ente relativamente independiente que se 
conserva por sí solo (Koyré, 1981, 91). 
Galileo es consciente de las dificultades conceptuales 
que implica esta concepción y por ello pone en boca 
de Sagredo y Simplicio algunas de las objeciones más 
importantes, a saber: ¿cómo concebir el paso continuo 
del reposo al movimiento? ¿Cómo pensar un mo-
vimiento que se realiza en un instante? Dada la 
importancia del análisis, es relevante citarlo en 
extenso: 
Sagredo. Cuando me imagino un grave que cae 
desde el reposo, o sea, de la privación de toda 
velocidad, y comienza a moverse acelerándose 
según la proporción en que aumenta el tiempo 
desde el primer instante de movimiento; [...] al 
ser el tiempo subdividible al infinito, [...] pode-
mos concluir, entonces, que en los instantes de 
tiempo que se acercan cada vez más a aquel pri-
mero por el cual pasa del reposo al movimiento, 
estaría en una situación de lentitud tal que no 
conseguiría atravesar (si continuase moviéndose 
con una lentitud tan acusada) una milla en una 
hora, ni en un día, ni en un año, ni en mil; más 
aún, no avanzaría ni siquiera un palmo por mu-
cho tiempo que dejemos discurrir. Parece que la 
imaginación se acomoda a este fenómeno con 
dificultad, mientras que los sentidos nos mues- 
 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo.35 61 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. 
tran que un grave, cuando cae, pasa inmediata-
mente a tener una velocidad notable. 
Salviati. Esta es una de las dificultades que, al 
principio, me dieron mucho que pensar, no obs-
tante, en poco tiempo conseguí deshacerme de 
ella. Fue, precisamente, la misma experiencia, 
que la que os suscita la dificultad, la que se en-
cargó de resolvérmela [...] Dado que la velocidad 
puede aumentar y disminuir sin límite, [...]no 
pienso que no estuvieseis dispuestos a conceder-
me que la adquisición de los grados de velocidad 
de la piedra que cae desde su estado de reposo 
pueda llevarse a cabo según el mismo orden que 
la disminución y pérdida de los mismos grados, 
si la piedra, impelida por alguna fuerza, fuese 
devuelta a la misma altura; si esto es posible, no 
veo por qué se pueda poner en duda que al dis-
minuir la velocidad de la piedra ascendente, al 
ir consumiendo su velocidad, haya de pasar por 
todos los grados de lentitud, antes de llegar al 
estado de reposo. 
Simplicio. Pero si los grados de lentitud cada 
vez mayores son infinitos, entonces jamás lle-
garán a consumirse todos. De ahí que el grado 
ascendente en cuestión no llegará jamás al repo-
so, sino que se moverá infinitamente cada vez 
más despacio, cosa que no parece suceder. 
Salviati. Ocurriría esto, señor Simplicio, si el 
móvil permaneciera durante cierto tiempo en 
cada grado de velocidad; lo que ocurre simple-
mente es que pasa sin emplear más de un ins-
tante. Y puesto que en cualquier intervalo de 
tiempo, por muy pequeño que sea, hay infinitos 
instantes, éstos serán siempre suficientes para 
corresponder a los infinitos grados con los que 
puede ir disminuyendo la velocidad (Galileo, 
1981, 281-282). 
Galileo configura su idea de velocidad instan-
tánea para dar respuesta a las objeciones plan-
teadas. Por una parte, refuerza la idea de que 
entre el reposo y el movimiento no hay diferencia 
de cualidad, sino de cantidad, al considerar al 
reposo como un estado más de movimiento: el 
estado de lentitud infinita; esto implica asumir el 
grado de velocidad como 
variable continua, en el sentido de que cuando un 
cuerpo pasa de dicho estado de reposo -asumido, 
como el estado de movimiento de grado cero- a 
otro estado de movimiento, o viceversa, tiene que 
pasar por todos los infinitos grados de 
movimiento intermedios. Por otra parte, hace 
aceptable la idea de que el móvil pasa por infinito 
número de grados de velocidad en un tiempo 
finito, al hacer una correspondencia uno a uno 
entre los grados de velocidad y los instantes de 
tiempo: considera que a cada instante del 
transcurso del movimiento le corresponde un 
único grado de velocidad (Malagón, 1988,110). 
Esta perspectiva de análisis del movimiento es 
precisamente la que se ha denominado es-trategia 
de análisis por estados y transformaciones(Guidoni y Arca, 1987, 6 y ss.). Desde esta forma 
de ver, la velocidad es considerada la variable 
que da cuenta del estado de movimiento de los 
cuerpos, de forma que estados de movimiento 
diferentes corresponden a grados de velocidad 
diferentes. El movimiento es, entonces, una 
transformación: una sucesión en el tiempo de 
estados de movimiento; ahora bien, como la idea 
de estado implica permanencia, el movimiento 
desde esta perspectiva es considerado como una 
sucesión de reposos instantáneos. 
Con la intención de demostrar las relaciones 
espacio-temporales experimentadas en la caída a 
partir del axioma propuesto (el grado de 
velocidad en la caída aumenta desde el reposo en 
forma proporcional al tiempo transcurrido), 
Galileo hace uso de una representación 
geométrica de las variables que intervienen, 
representación que vendría a constituirse como 
emblemática en cuanto a la matema-tización del 
movimiento se refiere (véase figura 1). Galileo 
representa el tiempo transcurrido en la caída por 
un segmento vertical AC y lo subdivide en partes 
iguales de manera que segmentos iguales 
corresponden a lapsos de tiempo iguales. Los 
grados de velocidad del cuerpo en cada instante 
son representados por segmentos horizontales: 
 
62 REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL.XVNo.35 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
 
Figura 1. 
Representación geométrica de los grados de 
velocidad instantáneos de un cuerpo en caída 
Fuente: GALILEl,Galileo (1981 [1638]). Consideraciones 
y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias. 
Traducido por J. Sabada. Introducción y notas por C. 
Solis. Madrid: Editora Nacional, p. 293. 
Ahora bien, afirma Galileo, como la acelera-
ción se produce de manera continua de un mo-
mento a otro, y no a saltos, de una parte del 
tiempo a otra, y puesto que el término A se con-
sidera como el momento mínimo de velocidad, 
es decir, como el estado de reposo y como el pri-
mer instante del tiempo subsecuente AD, está 
claro que antes de adquirir el grado de velocidad 
DH, lo que hace en el tiempo AD, el móvil habrá 
pasado por una infinidad de los grados de velo-
cidad que preceden al grado DH, hay que imagi-
nar una infinidad de líneas cada vez menores, 
trazadas desde los puntos infinitos de la línea 
AD, paralelamente a la línea DH, cuya infini-
dad de líneas representará finalmente la super-
ficie del triángulo ADH (Galilei, 1981,293). 
Este fragmento muestra cómo Galileo, asu-
miendo como axioma la relación de propor-
cionalidad entre el aumento del grado de ve-
locidad y el lapso de tiempo transcurrido (Av 
oc At) y haciendo uso de una representación 
geométrica para su concepto velocidad instan-
tánea, deduce las relaciones experimentadas en la 
caída: que la distancia recorrida desde el punto de 
partida es directamente proporcional al cuadrado 
del tiempo (x <x At2) y que los desplazamientos 
en tiempos iguales siguen la sucesión de los 
números impares 1, 3, 5, 7, 9, 11,... 
Resulta importante resaltar aquí la pertinencia de 
la representación geométrica en los procesos de 
construcción conceptual del fenómeno del 
movimiento y, consecuentemente, en los procesos 
para su matematización: a través de esta 
representación, magnitudes no geométricas como 
la velocidad y el tiempo son representadas como 
segmentos, hecho que posibilita poder operar 
sobre ellas de la misma forma como se opera con 
segmentos, es decir, a través de proporciones y 
composición de proporciones. 
En particular, esta representación hace evidente 
que, en la perspectiva galileana, la velocidad 
instantánea no es un concepto definido a partir de 
una relación espacio-temporal, como usualmente 
se presenta en los libros de texto y los cursos 
introductorios de física: acudir a referentes 
espacio temporales para el estudio de la velocidad 
como magnitud no es equivalente a una 
definición operativa de la velocidad en términos 
de los conceptos de espacio y tiempo, como 
usualmente es presentada. Representar la veloci-
dad instantánea por segmentos y pensar en ella 
como una magnitud más, le permite a Galileo 
establecer una estructura -conjunto de axiomas, 
proposiciones y teoremas- sobre el movimiento 
que le posibilita hacer comparaciones entre 
grados de velocidad a través de las 
comparaciones espacio-temporales. En este 
sentido, desde la perspectiva galileana, el 
concepto velocidad instantánea tiene la misma 
categoría que el espacio y el tiempo, y esto es 
precisamente una consecuencia del razonamiento 
geométrico utilizado por Galileo para abordar el 
problema del movimiento (Malagón, 1988, 97; 
Gandt, 1988, 45 y ss). 
 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo. 35 63 
LA FORMAL1ZACIÓN DE LOS CONCEPTOS FÍSICOS. 
LA REPRESENTACIÓN CARTESIANA Y 
LA FORMALIZACIÓN DEL 
CONCEPTO VELOCIDAD 
Como lo fundamentan muchas investigaciones, 
las representaciones internas se reflejan de algún 
modo en sus representaciones externas: la forma 
en que las personas piensan se refleja en el uso 
del lenguaje, por lo que se considera que lo que 
los estudiantes escriban, dibujen y digan dará 
indicios de la manera en que razonan (Greca y 
Moreira, 1998, 292). La representación cartesiana 
se considera particularmente importante para 
desarrollar en los estudiantes los procesos de 
matematización de los fenómenos físicos, por 
cuanto: 1) Permite la diferenciación y 
visualización de las variables reconocidas en una 
interpretación física, por medio de su 
representación a través de líneas sobre un plano; 
2) Facilita la identificación de las relaciones de 
orden, características de las magnitudes físicas, 
por medio de la comparación entre los segmentos 
que 
representan los diversos valores que puede tomar 
una variable; 3) Favorece el establecimiento de 
relaciones entre las diferentes variables 
representadas vía el análisis, a partir de la 
representación misma, de cómo cambia una 
variable respecto a otra, y 4) Posibilita la 
comprensión del fenómeno físico a través de su 
formalización. 
No obstante, dado que los espacios de repre-
sentación tienen significado sólo en corres-
pondencia con las variables y relaciones que ellos 
representan, es importante advertir que las 
principales dificultades al representar variables y 
relaciones entre ellas no son de tipo técnico-
formal, sino, ante todo, semántico. 
Para ilustrar estas dificultades se expone a 
continuación un análisis de algunas represen-
taciones planteadas por estudiantes a propósito de 
una situación problémica (véase figura 2) 
propuesta en el marco de una investigación 
educativa relativa a la matematización de los 
fenómenos físicos (Romero y otros 2002). 
 
Considere las dos situaciones siguientes: 
A. Un cuerpo se deja caer desde la parte superior A de un 
plano inclinado de altura H, hasta que alcanza una su 
perficie horizontal muy lisa. 
B. Desde un punto A ubicado a una altura H del piso se 
deja caer un cuerpo. 
1. Ordene, de menor a mayor, los valores del grado de rapidez que el cuerpo 
tiene en los puntos A, B, C y D indicados para cada una de las situaciones. 
Represente mediante segmentos cada uno de los valores de los grados de 
rapidez en correspondencia con la ordenación hecha. 
2. ¿Considera usted que en cada momento desde que se suelta el cuerpo, éste 
tiene algún valor de grado de rapidez? ¿Podrá el cuerpo tener valores dife-
rentes de grado de rapidez en un mismo momento? Explique. 
3. Si se representa el tiempo transcurrido para cada uno de estos movimientos 
por un segmento horizontal, identifique en cada segmento los momentos 
correspondientes a la posición A, B, C y D para cada situación. Ubique en 
cada uno de ellos los segmentos con los que representó los valores de los 
grados de rapidez para cada caso. 
Figura 2. Situación problemática 
64 REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL.XVNo.35 
 
 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
Los estudiantes aceptan que, en cada momento 
del movimiento, el cuerpo tiene un único valor 
de grado de rapidez. A la pregunta: ¿podrá el 
cuerpo tener valoresdiferentes de grado de 
rapidez en un mismo momento?, los estudiantes 
responden: «Desde que se suelta hasta que pare, 
[el cuerpo] tendrá diferentes valores de rapidez, 
pero no podrá tener en el mismo momento 
varios». «A medida que el cuerpo cae, su rapidez 
aumenta progresivamente. [Pero] no es posible 
que un cuerpo en un mismo momento tenga 
variabilidad en su rapidez». «El tiempo es 
variable y no puede haber rapidez diferente en un 
mismo tiempo». 
La representación realizada para el numeral 3 se 
transcribe en la figura 3. A partir de esta 
representación se puede afirmar que los estu-
diantes identifican el grado de rapidez como una 
variable cuyos valores particulares se asocian a 
cada instante de tiempo, es decir, que tienen ya la 
noción de velocidad instantánea; no obstante, no 
existe una adecuación entre esta interpretación 
física y la representación: a pesar de que los 
estudiantes asumen que el reposo corresponde a 
la velocidad de grado cero, no consideran obvio 
representar tal grado cero a través de un punto, 
como usual-mente se les exige para la 
construcción y análisis adecuado de las gráficas 
v-t en cinemática. 
 
Figura 3. Representación del orden de los grados de velocidad según su 
cambio en el tiempo 
Lo cierto es que esta consideración, lejos de ser 
obvia, está estrechamente relacionada con el 
hecho, intuitiva y formalmente válido, de que 
sólo es posible comparar magnitudes ho-
mogéneas: si se elige la longitud para representar 
la velocidad, se asume que las diferentes 
cantidades de longitud corresponden a los 
diferentes grados de velocidad; pero mientras el 
grado cero de velocidad tiene como referente el 
reposo, su correspondiente para la longitud no es 
un valor más, sino la ausencia de tal propiedad. 
En otros términos, un punto no es un elemento de 
la misma clase que una línea: por sucesivas 
divisiones de un segmento no se obtiene un 
punto, de la mis- 
ma forma que por la reunión de puntos no se 
genera un segmento. Esta dificultad no es ex-
clusiva de la geometría; también se presenta en la 
interpretación física, cuando se está obligado a 
asumir al reposo como un grado más de 
movimiento: "el grado de lentitud infinita", en 
términos de Galileo. 
Es importante advertir las posibles faltas de 
correspondencia entre una explicación física que 
involucra una variable y su representación 
gráfica, por cuanto ello ilustra las dificultades de 
tipo semántico en el uso de una representación 
espacial, como es la longitud de un segmento, 
para representar una variable no espacial, como 
es la velocidad. 
 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL. XVNo. 35 65 
 
LA FORMALIZACIÓN DE LOS CONCEPTOS F ÍS IC OS. 
A MODO DE CONCLUSIÓN 
Formalizar una magnitud física, vía su cuanti-
ficación, no es un problema teórico relacionado 
con la asignación arbitraria de cifras a las 
propiedades y su posterior manipulación a través 
de algoritmos; tampoco es un problema 
meramente empírico relacionado con el uso de 
instrumentos para la obtención de datos: se trata, 
ante todo, de un problema de adecuación entre las 
formas de razonamiento -el pensamiento 
numérico o el geométrico-y las fenomenologías 
identificadas. Usualmen-te la velocidad 
instantánea es considerada como una variable 
dependiente de la posición y el tiempo; su 
formalización y cuantificación se hace a través 
del paso al límite de la relación entre estas 
variables. No obstante, esta forma de significarla 
trae consigo contradicciones con la noción 
instantaneidad temporal y con el significado de 
medición. 
Alternativamente, la velocidad instantánea puede 
ser vista como una variable de estado y, por tanto, 
considerarse como independiente del espacio y 
del tiempo. Desde esta perspectiva, su 
cuantificación se hace mediante la identificación 
de un fenómeno prototipo -la caída de los 
cuerpos, por ejemplo- y el uso adecuado de 
representaciones para dar cuenta de las variables 
y relaciones entre variables identificadas en dicho 
fenómeno. En particular, la representación 
cartesiana es un caso paradigmático de la 
construcción de espacios abstractos para 
representar variables y relaciones entre variables: 
a través de ella es posible representar todos los 
valores de una variable continua cualquiera y las 
posibles relaciones entre sus valores, mediante los 
puntos sobre una línea y sus relaciones 
geométricas y numéricas; de la misma forma, es 
posible representar relaciones entre parejas de 
variables mediante curvas en el plano. No obstan-
te, dado que toda representación implica una 
adecuación entre el espacio de representación y 
el objeto representado -que es una representación 
más-, es necesario aprender a leer la se- 
mántica propia de estos dos contextos, pues, de lo 
contrario, es posible que se termine operando en 
dichos espacios de una forma puramente 
memorística y, por tanto, cognoscitivamente poco 
significativa. 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
AYALA, M. M. y otros. (2002). Cuadernos de 
mecánica No. 1. Bogotá, D. C: Universidad 
Pedagógica Nacional, Departamento de Física. 
Pre impreso. 
ARCA, M.; GUIDONI, P y MAZOLI, P (1990). 
Enseñar ciencia. Cómo empezar: reflexiones para 
una educación científica de base. Barcelona: 
Paidós Educador. 
CASTRO MARTÍNEZ, E. y otros. "Sistemas de 
representación y aprendizaje de estructuras 
numéricas". En: Enseñanza de las ciencias. Vol. 
15, No. 3. pp. 361-371. 
GALILEI, GaÜleo (1981 [1638]). Consideracio-
nes y demostraciones matemáticas sobre dos nue-
vas ciencias. Traducido por J. Sabada. Intro-
ducción y notas por C. Solis. Madrid: Editora 
Nacional. 
GANDT, F. de. (1988). "Matemáticas y realidad 
física en el siglo XVII (de la velocidad de Galileo 
a las fluxiones de Newton)". En: APERY, R. y 
otros. Pensar la matemática. Barcelona: 
Tusquets. pp. 43-73. 
GRECA, I. y MOREIRA, M. A. (1998). "Mode-
los mentales y aprendizaje de la física en elec-
tricidad y magnetismo". En: Enseñanza de las 
ciencias. Vol. 16, No. 2. pp. 289-303. 
GUIDONI, E y ARCA, M. (1987). Guardare per 
sistemi, guardare per variabili. Torino: Emme 
Edizioni. 
HALLOUN, I. (1996). "Schematic Modelling for 
Meaningful Larning of Physics". In: Journal 
 
66 REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL.XVNo.35 
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 
of Research in Science Teaching. Vol. 33, No. 9.. 
pp. 1.019-1..041. 
KOYRÉ, A. (1981). Estudios galileanos. Madrid: 
Siglo XXI. 
LESH, R. (1997). "Matematízación: la necesidad 
"real" de la fluidez en las representaciones". En: 
Enseñanza de las ciencias. Vol. 15, No. 3. pp. 
377-391. 
LEVY-LEBLOND, J-M. (1988). "Física y mate-
máticas". En: APERY, R y otros. Pensar la ma-
temática. Barcelona: Tusquets pp. 75-109. 
LINDER, C. J. y HILLHOUSE, G.(1996). 
'Teaching by Conceptual Exploration". In: The 
Physics Teacher. Vol. 34, (sept). pp. 332-338. 
MALAGÓN, J. F. (1988). La relación física y 
matemáticas en Galileo. Tesis de Maestría en 
Docencia de la Física. Bogotá: Universidad 
Pedagógica Nacional. 
PATY, M. (1994). "Le caractére historique de 
l'adéquation des mathématiques á la physi-que". 
En: FLAMENT, D. y Navarro, V. (eds.). 
Rencontre a Madrid de chercheurs hispano-
frangais sur l'histoire et la philosophie de la 
mathématiaue. Madrid: Comunidad de Madrid/ 
C.S.I.C. pp. 401-428. 
ROSENQUIST, M. y McDERMOTT, L. (1987). 
"A conceptual approach to teaching kine-matics". 
In: Am. ]. Phys. Vol. 55, No. 5, (may). pp. 407-
415. 
ROMERO, A. y otros (2002). La matematización 
de los fenómenos físicos: el caso de los fenómenos 
mecánicos y térmicos. Análisis conceptuales y ele-
mentos para propuestas didácticas. Informe de 
investigación. Medellín: Universidad de An-
tioquia, Facultad de Educación -CIEE Escuela 
Normal Superior María Auxiliadora. 
TROWBRIDGE, D. y McDERMOTT, L. (1980). 
"Investigation of student understanding of the 
concept of velocity in one dimensión". In: Am. ]. 
Phys. Vol. 48, No. 12, (dec). pp. 1.020-1.028. 
VONDRACEK, M. (1999). "Teaching Physics 
with Math to Weak Math Students". In: ThePhysics Teacher. Vol. 37, (jan..), pp. 32-33. 
 
REFERENCIA 
ROMERO CHACÓN, Ángel Enrique y RODRÍGUEZ, Luz Dary. "La 
formalización de los conceptos físicos. El caso de la velocidad instantánea". En: 
Revista Educación y Pedagogía. Medellín: Universidad de Antioquia, Facultad de 
Educación. Vol. XV, No. 35, (enero-abril), 2003. pp. 57 - 67. 
Original recibido: septiembre 2002 
Aceptado: octubre 2002 
Se autoriza la reproducción del artículo citando la fuente y los créditos de los autores. 
REVISTA EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA VOL.XVNo.35 67