ejercicio vectores

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Fisica I 
 
 
Elaborado por: José Luis Peraza y Sinay Rojas 
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ID
A
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 I
 
“La Universidad Técnica del Estado Venezolano” 
EJERCICIOS 
Problema 1: Un avión que parte desde el aeropuerto A vuela 300 Km al este, después 350 Km 
30° al oeste del norte, luego 150 Km al norte para finalmente llegar al aeropuerto B. no hay viento 
ese día. Al día siguiente otro avión vuela directamente desde A hasta B en línea recta. ¿Qué 
distancia recorre el piloto en este vuelo directo? 
 Solución 
 Sean los vectores: �⃗⃗� = 300 Km, al Este 
 𝐹 = 350 Km, al Oeste del Norte 
 𝐺 = 150 Km, al Norte 
 R = ? 
 
 En la figura 1 vemos los 3 desplazamientos 
 realizados por el avión para moverse del 
 aeropuerto A y llegar al aeropuerto B, es decir, 
 �⃗⃗� , 𝐹 𝑦 𝐺 . Como se quiere determinar la distancia 
 Fig. 1 de un vuelo realizado directamente desde A a B, 
 se puede observar que tenemos un vector 
resultante �⃗� , que de acuerdo a la figura seria 
�⃗⃗� + 𝐹 + 𝐺 = �⃗� 
 
Para determinar el vector resultante �⃗� , se puede aplicar 
el método gráfico, para lo cual resolvemos por conveniencia 
 y recordar que la suma es distributiva 
 �⃗� = (�⃗⃗� + 𝐹 ) + 𝐺 
donde �⃗� = �⃗⃗� + 𝐹 , por lo tanto el vector resultante será 
 �⃗� = �⃗� + 𝐺 
Hallemos primero la magnitud de P, aplicando 
la ecuación (3) de suma de vectores 
 P= 𝐷 + 𝐹 = √D2 + F2 + 2. D. F. cosθ 
S 
N 
B 
E O 
A �⃗⃗� 
𝐹 
𝐺 
�⃗� 
�⃗⃗� 
𝛃 
∅ 
𝛂 
30° 
𝛂 
𝛉 
S 
N 
B 
E O 
A 
�⃗⃗� 
𝐹 
𝐺 
�⃗� 
Fisica I 
 
 
Elaborado por: José Luis Peraza y Sinay Rojas 
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“La Universidad Técnica del Estado Venezolano” 
Donde D = 300 Km, F = 350 Km y  = (90°+30°) = 120° 
𝑃 = √3002 + 3502 + 2(300)(350)𝑐𝑜𝑠120° 
 P = 327,87 Km 
La dirección del vector �⃗� = �⃗⃗� + 𝐹 será aplicando la ley del seno 
senθ
P
= 
senα
F
 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝐹. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑃
=
350𝑠𝑒𝑛60°
327,87
= 0,924 
𝛼 = 67,59° 
Ahora hallemos el vector resultante R⃗⃗ = �⃗� + 𝐺 (su magnitud) aplicando la ecuación (3) de 
suma de vectores, dada por: 
𝑅 = √𝑃2 + 𝐺2 + 2. 𝑃. 𝐺. 𝑐𝑜𝑠 
En este caso P = 327,87 Km, G = 150 Km y se tiene que encontrar  (ángulo entre �⃗� y 𝐺 ), 
el cual sería según la gráfica podemos observar que 90° =  + α 
𝜃 = 90° − 67,59° = 22,41° 
𝑅 = √327,872 + 1502 + 2(327,87)(150)𝑐𝑜𝑠22,41° 
 
 𝑅 = 470 𝐾𝑚 (distancia del aeropuerto A al B) 
Si quiere determinar la dirección del vector resultante, se aplica la ley del seno 
 
 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝐺
=
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑅
 siendo  = 180°- 22,41°= 157,59° 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝐺 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑅
=
150𝑠𝑒𝑛157,59°
470
= 0,121 
 
𝜑 = 6,98° 
Finalmente la dirección del vector resultante es: 
 𝜹 = 𝜶 + 𝝋 = 𝟔𝟕, 𝟓𝟗° + 𝟔, 𝟗𝟖° = 𝟕𝟒, 𝟓𝟕° al Norte del Este 
 
 
 
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“La Universidad Técnica del Estado Venezolano” 
Problema 2: Dado los vectores �⃗⃗� = 𝟐�̂� + 𝟐𝒋̂ + �̂� y �⃗⃗� = 𝟑�̂� + 𝒋̂ − 𝟐�̂� 
Calcular: 
a) Producto escalar 
b) Producto vectorial 
c) Angulo mínimo entre los dos vectores 
d) La proyección del vector A⃗⃗ sobre el vector B⃗⃗ 
e) Un vector unitario en la dirección del producto vectorial de los dos vectores 
Solución 
a) Producto escalar resolver haciendo el producto de los dos vectores por sus componentes, es 
decir aplicando la ecuación (20) 
 𝐴 . �⃗� = ( 𝟐�̂� + 𝟐𝒋̂ + �̂�) . ( 𝟑�̂� + 𝒋̂ − 𝟐�̂�) 
𝐴 . �⃗� = (𝟐)(𝟑) + (𝟐)(𝟏) + (𝟏)(−𝟐) = 𝟔 + 𝟐 − 𝟐 
𝐴 . �⃗� = 𝟔 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
b) El producto vectorial, también se resuelve por el producto de los vectores por sus 
componentes 
𝐴 𝑋�⃗� = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
2 2 1 
3 1 −2 
𝑖̂ 𝑗̆
2 2
3 1
| 
𝐴 𝑋�⃗� = 𝑖̂(2)(−2) + 𝑗̂(1)(3) + �̂�(2)(1) − (�̂�(3)(2) + 𝑖̂(1)(1) + 𝑗̂(−2)(2)) 
𝐴 𝑋�⃗� = 𝑖̂(−4 − 1) + 𝑗̂(3 + 4) + �̂�(2 − 6) 
�⃗⃗� 𝑿�⃗⃗� = −𝟓�̂� + 𝟕𝒋̂ − 𝟒�̂� 
c) Como es el menor ángulo entre los dos vectores, aplicamos la ecuación (21), donde se 
determina la magnitud del vector resultante del producto de dos vectores. 
 |𝑨⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝑩|⃗⃗⃗⃗ = 𝐴. 𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐶 
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
|�⃗⃗� 𝑿�⃗⃗� |
A. B
 
𝜃 = sin−1
|�⃗⃗� 𝑿�⃗⃗� |
𝐴 𝐵
 
Donde 
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 |𝐴 | = √(2)2 + (2)2 + (1)2 = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 y 𝐵 = √(3)2 + (1)2 + (−2)2 = 3,742 unidades 
Introduciendo los valores en la ecuación anterior 
𝜃 = sin−1
√(−5)2 + 72 + (−4)2
(3)(3,742)
 
𝜽 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏
𝟗, 𝟒𝟖𝟔
𝟏𝟏, 𝟐𝟐
= 𝟓𝟕, 𝟕𝟐° 
d) Determinamos 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑦/�⃗� , usando la ecuación (19) 
 𝐴 . �⃗� = 𝐵. 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑦/�⃗� 
Despejamos, nos queda 
 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑦/�⃗� =
𝐴 .�⃗� 
�⃗� 
 
 Introduciendo valores, tenemos que 
 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑦/�⃗� =
6
3,742
= 1,60 
e) Como es un vector unitario en la dirección del producto vectorial de los vectores, pues se 
aplica la ecuación del vector unitario al vector resultante, es decir 
�̂� = 
�⃗⃗� 𝑿�⃗⃗� 
|�⃗⃗� 𝑿�⃗⃗� |
= 
 −𝟓�̂� + 𝟕𝒋̂ − 𝟒�̂�
𝟗, 𝟒𝟖𝟔
 
�̂� = −𝟎, 𝟓𝟐𝟕�̂� + 𝟎, 𝟕𝟑𝟕𝒋̂ − 𝟎, 𝟒𝟐𝟐�̂�