TEORIA 3 - RANGO-MATRIZ INVERSA

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ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 42 
 
 
 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
 FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
 
 
 
RANGO E INVERSA 
 
 
 
NOTAS TEÓRICAS 
EJERCICIOS Y APLICACIONES 
 
 
 
MG ANALIA MENA 
 
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 43 
 
RANGO e INVERSA DE UNA MATRIZ 
El concepto de matriz inversa conjuntamente con el de rango, tiene numerosas aplicaciones y 
su conocimiento es fundamental. Un ejemplo de ello es el estudio de una gran cantidad de 
problemas de economía como, por ejemplo, el modelo insumo – producto de Leontief que 
desemboca en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para lo cual son necesarios 
estos conceptos. 
Para comenzar estudiaremos algunas operaciones simples con las filas de una matriz que no 
sólo resultarán muy útiles al momento de calcular su rango, sino que además nos guiarán a 
resultados teóricos muy importantes: Ellas se denominan operaciones elementales sobre las 
filas de una matriz. 
 
3.1.- Operaciones elementales sobre las filas de una matriz 
Definición: Dada una matriz A  M
mxn
, se definen las siguientes operaciones elementales 
sobre sus filas: 
a) Permutación de dos filas cualesquiera de A entre sí. 
b) Multiplicación de una fila de A por un escalar k, no nulo. 
c) Suma de una fila a otra multiplicada por un escalar. 
Ejemplos: 
i) Sea la matriz A = 









172
53
2
1
. 
La operación de multiplicar la segunda fila por (-5) nos lleva a la siguiente matriz: 
 










53510
53
2
1
 
ii) Permutar las dos filas de A = 









172
53
2
1
 
A = 









172
53
2
1
 F1  F2 y se obtiene 








 53
2
1
172
 
En general, la notación Fi  Fj representa el intercambio de la fila i y la fila j. 
iii) Si en la matriz A, a la fila 1 le sumamos la fila 2 multiplicada por (-5), es decir: F1 + F2(-5) 
obtenemos la matriz 









172
038
2
19
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 44 
Observación 1: Al aplicar operaciones elementales en las filas de una matriz, la transforman 
en otra matriz del mismo orden. 
 
Nos ocuparemos aquí de analizar la relación que liga a la nueva matriz con la anterior 
 
3.2.- Matrices equivalentes 
Definición: Dadas dos matrices A y B de orden mxn, diremos que B es equivalente por filas 
a la matriz A sí y sólo sí B puede obtenerse a partir de A mediante un número finito de 
operaciones elementales sobre sus filas. 
Lo denotamos por B  A y se lee: “B es equivalente por filas a la matriz A”. 
 
Ejemplo: Sea A = 




 
140
321
; si multiplicamos la fila 1 por 2 (F1(2)), se obtiene la matriz 
B = 




 
140
642
. 
Si ahora a la fila 1 le sumamos la fila 2 multiplicada por 3 (F1+F2(3)) se obtiene la matriz C, 
dada por: C = 




 
140
3162
 
Entonces la matriz A es equivalente a la matriz B y B es equivalente a la matriz C. 
Es decir: A  B  C 
 
Este hecho nos lleva a enunciar la siguiente propiedad: 
 
3.2.1- Propiedad 
La equivalencia de matrices goza de las siguientes propiedades: 
i) Propiedad Reflexiva: A  A (Toda matriz es equivalente a sí misma) 
ii) Propiedad simétrica: A  B  B  A. (Si una matriz es equivalente a otra, ésta es 
equivalente a la primera) 
iii) Propiedad transitiva: A  B y B  C  A  C. (Si una matriz es equivalente a otra y 
ésta es equivalente a una tercera, la primera es equivalente a la tercera) 
 
Ejemplos: 
i) Dadas las matrices A = 










 11
21
30
 y B = 










00
30
21
. ¿Es B equivalente a A? 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 45 
A = 










 11
21
30
 F1  F2  










 11
30
21
  










30
30
21
  










00
30
21
= B 
Por lo tanto B  A o A  B 
 
ii) Dada la matriz A = 










120
112
111
, demuestre que A  I 
A = 










120
112
111
 F2 + F1(-2)  











120
110
111
 F2(-1)  










120
110
111
  
 
  










100
110
001
  










100
110
001
 F2 + F3 (-1)  










100
010
001
 = I 
 
Por lo tanto A  I 
 
Para definir rango de una matriz, debemos definir previamente vectores canónicos. 
 
3.3.- Vectores Canónicos o Versores 
Definición 1: Los vectores filas que tienen un único elemento igual a 1 (uno) y los restantes 
elementos iguales a cero, reciben el nombre de vectores canónicos o versores filas. 
Por ejemplo: los vectores e1 =  001 , e2 =  010 y e3 =  100 son vectores 
canónicos o versores de orden 1x3. 
 
Es decir, si en general consideramos el conjunto de las matrices filas de orden 1xn 
con la característica anterior, tenemos: 
e1 =  00...01 , e2 =  00...10 ,……, en =  10...00 
Cabe aclarar que los n - vectores anteriores son distintos. 
 
Definición 2: Los vectores columnas, que tienen un único elemento igual a 1 (uno) y los 
restantes elementos iguales a cero, reciben el nombre de vectores canónicos o versores 
columnas. 
Por ejemplo si consideramos el conjunto de vectores de orden 3x1: 
F3 + F1 F3 + F2(-1) 
F1+F2(-1) 
 
 
F3+F2(-2) 
F3(-1) 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 46 
e1 = 










0
0
1
, e2 = 










0
1
0
 y e3 = 










1
0
0
 , éstos se denominan vectores canónicos columnas 
Es decir, si en general consideramos el conjunto de matrices columnas distintas de 
orden mx1 con la característica anterior, tenemos: 
e1= 
















0
0
0
1
, e2= 
















0
0
1
0
, e3 = 
















0
1
0
0
, ………….,.em = 
















1
0
0
0
 
Cabe aclarar que los m vectores anteriores son distintos. 
 
3.4.- RANGO DE UNA MATRIZ 
 
Definición: Sea A M 
mxn 
, llamamos rango de una matriz A, al máximo número de vectores 
canónicos columnas distintos, que puedan obtenerse mediante la aplicación de un número 
finito de operaciones elementales sobre sus filas; denotamos el rango de A por: r (A). 
 
Ejemplos: Calcule el rango de las siguientes matrices: 
A4x4 = 














0000
2100
1010
0001
, B3x4 = 










0100
1010
0001
, C2x2 = 





10
01
, D3x3 = 










000
000
000
 
E2x1 = 





0
1
 , F1x4 =  0010 , G2x3 = 





100
011
 y H4x2 = 














00
00
10
01
 
Respuesta: r(A) = 3, ya que a pesar de que la matriz tiene 4 filas y 4 columnas, no puede 
obtenerse otro vector columna canónico distinto. 
Los otros rangos son: r(B) = 3, r(C) = 2, r(D) = 0, r(E) = 1, r(F) = 1, r(G) = 2, r(H) = 2 
 
Observación 2: Se observa en los ejemplos anteriores que si el número de filas es menor que 
el número de columnas (matriz G2x3), el rango no puede ser mayor al número de filas. 
Y si el número de filas es mayor al número de columnas (matriz H4x2), el rango no puede ser 
mayor que el número de columnas. 
En conclusión: Dada una matriz Am x n , r(A)  menor m , n  
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 47 
Ejemplos: 
i) A  M
5x2
  r(A)  2 
ii) A  M4x3
  r(A)  3 
 
Observación 3: El rango de In es igual a “n”. 
 
Ejemplo: I3 = 










100
010
001
  r(I3) = 3 
Vamos a enunciar ahora una propiedad muy importante, que aceptaremos sin 
demostración. 
 
3.4.1.- Propiedad: 
Sean A  M 
mxn 
 y B  M 
mxn
 . Las matrices A y B son equivalentes  r (A) = r (B) 
 
3.4.2.- Método de Gauss – Jordan para la determinación del rango de una matriz 
 
El método que se expondrá a continuación nos permitirá determinar el rango de una 
matriz mediante la aplicación de un número finito de operaciones elementales sobre sus filas. 
Es decir que se opera exclusivamente sobre las filas de la matriz. Como veremos mas 
adelante, este método se hace extensivo a la determinación de la inversa de una matriz no 
singular y a la resolución de sistemas lineales. 
Dada A  M 
mxn
 matriz no nula, se utilizan las operaciones elementales sobre las 
filas de la matriz para obtener el máximo número de vectores canónicos columnas distintos. 
Tal número es, precisamente, el rango de la matriz. 
A continuación resumimos la mecánica del procedimiento: 
a) Se elige cualquier elemento distinto de cero, al que llamamos pivote. Se multiplica por el 
recíproco del pivote la fila a la que pertenece y se obtiene el número 1. 
b) Los restantes elementos de la columna del pivote se trasforman en ceros mediante 
operaciones elementales (siempre tomando como referencia la fila del pivote), formando 
así un vector canónico columna. 
c) Repetimos el procedimiento, eligiendo otro pivote que no se encuentre en la fila ni en la 
columna del anterior. De este modo las operaciones elementales indicadas preservan los 
vectores canónicos. 
d) El procedimiento se termina cuando ya no es posible obtener ningún pivote distinto de 
cero. 
e) El número de vectores canónicos columnas distintos es el rango de la matriz. 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 48 
Ejemplos: 
a) Calcular el rango de la matriz A = 














52684
23242
4010
14222
 
A = 














52684
23242
4010
1422)2(
  














52684
23242
4010
711)1(
  














24240
9020
40)1(0
7111
  
 
  














8200
)1(000
4010
3101
  














0)2(00
1000
0010
0101
  














0)1(00
1000
0010
0101
 
Al momento de elegir el pivote conviene elegir, en el caso en que sea posible, un elemento 
igual a uno, caso contrario se puede realizar una operación elemental para conseguirlo. 
  














0100
1000
0010
0001
= B. Esta matriz tiene cuatro vectores canónicos columnas distintos, 
entonces r(B) = 4. Como B  A, ambas tienen igual rango, por lo tanto r(A) = 4 
Se observa además, que si permutamos la tercera y cuarta fila de A obtenemos la matriz 
identidad. Es decir: 
A  














1000
0100
0010
0001
= I4. Por lo tanto la matriz A es equivalente por filas a la matriz identidad. 
 
b) Determinar el rango de la matriz A = 












131
402
311
 
 
A = 












131
402
31)1(
  













440
2)2(0
311
 F2(1/2)  













440
1)1(0
311
 
 
F1(1/2) 
F3 +F1(-2) 
 
F4+F1(-4) 
F1+F2(-1) 
 
 
F3+F2(-2) 
 
F4+F2(-4) 
F1+F3(-3) 
 
F2+F3(-4) 
 
 
F4+F3(-8) F4(1/2) 
F1+F4(-1) 
F2+F1(-2) 
 
F3+F1 
F1+F2 
 
 
F3+F1(4) 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 49 
  











000
110
201
= B. Esta matriz tiene dos vectores canónicos columnas distintos, entonces 
r(B) = 2. Como B  A, ambas tienen igual rango, por lo tanto r(A) = 2 
 
Nos vamos a ocupar ahora de una cuestión de gran utilidad. Se trata del estudio de 
aquellas matrices que, siendo cuadradas, tienen inversa, así como de sus propiedades y las de 
sus inversas. Para introducir este concepto usaremos los conocimientos adquiridos acerca de 
la teoría de matrices y determinantes. 
 
3.5.- MATRIZ INVERSA 
 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden “n”; si existe otra matriz B cuadrada y de 
igual orden que A tal que AB = BA = I, entonces B es la inversa de A y se denota por B = A
-1
 
 
Si una matriz A tiene inversa, diremos que la matriz A es inversible. De la simetría 
de la definición surge que si B es la inversa de A, entonces A es la inversa de B. 
 
Observación 4: Debe quedar claro que, si bien para números reales podemos escribir 
a
-1
 = 1/a, la expresión 1/A no tiene ningún significado; puesto que no está definida la 
división de matrices. 
 
Ejemplo: Dada la matriz A = 







13
14
 compruebe que B = 







43
11
 es su inversa. 
Para ello, realizamos los productos: 
A B = 







13
14








43
11
 = 







4333
4434
 = 





10
01
= I (1) 
B A = 





2 1 -
5 - 3 
. 





31
52
 = 





10
01
 = I (2) 
De (1) y (2) podemos concluir que B = A
-1 
 
Observación 5: Puede comprobarse (la demostración no está a nivel de este curso) que si 
cualquiera de las dos condiciones A B = I o B A = I se cumple, la otra se satisface también. 
 
Una matriz ¿tendrá más de una inversa? La respuesta la brinda el siguiente teorema: 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 50 
3.5.1.-Teorema de la Unicidad de la Inversa 
 
Si A es una matriz inversible, entonces A
-1
 es única. 
 
Demostración: 
Si A una matriz inversible, entonces existe A
-1
 tal que: A A
-1
 = A
-1
 A = I (1) 
Supongamos por el contrario que existe otra matriz B tal que: A B = B A = I (2) 
La matriz B, puede ser escrita como: 
 B = B I = B ( A A
-1
) por (1). Asociando y usando la igualdad (2) se puede escribir: 
 B = (B A) A
-1
 = I A
-1
 = A
-1
  B = A
-1 
Esta última igualdad demuestra que si se supone la existencia de otra matriz inversa para A, 
esta coincide con A
-1
;
 
por lo tanto, si A es una matriz inversible, su inversa es única. 
 
Las matrices inversibles gozan de las siguientes propiedades: 
 
3.5.2.-Propiedades 
Sean A y B dos matrices inversibles de orden “n” y k , entonces: 
i) (A
-1 
)
-1
 = A 
ii) (A B)
 -1
 = B
-1 
 A
-1 
iii) (A
t 
)
-1
 = (A
-1 
)
t
 
 
iv) (k A)
-1
 = (1/k)A
-1
 = k
-1
 A
-1
, k  0 
Demostración: 
i) Esta afirmación es evidente a partir de la definición, ya que si A A
-1
 = I y A
-1
 A = I, la 
matriz A
-1
 es inversible y por lo tanto (A
-1 
)
-1
 = A. 
ii) Para probar que: (A B)
-1
 = B
-1
 A
-1
, basta con probar que: (A B) (B
-1
 A
-1
) = I 
Consideremos entonces el producto: (A B).(B
-1 
A
-1
). Asociando los factores de manera 
conveniente resulta: 
(A B) (B
-1
 A
-1
) = A (B B
-1
) A
-1
 = A I A
-1
 = (A I ) A
-1
 = A A
-1
 = I 
  (A B)-1 = B-1 A-1 
Las restantes propiedades se demuestran en forma análoga 
 
El resultado de la propiedad ii) se puede generalizar para “n” matrices inversibles. 
Enunciamos el siguiente corolario: 
 
Corolario: Sean A1, A2, …, An  M
nxn
 , matrices inversibles, entonces el producto 
(A1 A2 … An) es inversible y se verifica que: (A1 A2 … An)
-1
 = An
-1 
An-1
-1
…A2
-1
 A1
-1
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 51 
Este resultado sepuede demostrar por el método de inducción completa. Lo aceptamos sin 
demostración. 
 
Se nos plantea ahora el siguiente problema ¿todas las matrices cuadradas son 
inversibles? 
Es decir dada una matriz A cuadrada, ¿existirá siempre A
-1
 tal que: A A
-1
 = A
-1
A = I? 
Analicemos el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo: 
Sea C = 





10
20
; determine si existe C
-1
, tal que: C C
-1
 = C
-1
 C = I 
Lo que queremos es encontrar una matriz B = 





dc
ba
 tal que C B = B C = I 
Es decir, debemos determinar si existen “a”, “b”, “c”, y “d” tales que: 
 





10
20
 





d c
ba 
 = 





1 0
0 1
 
Efectuando el producto indicado, obtenemos: 
 





dc
d2c2
 = 





1 0
01 
  











1d
0c
0d 0d2
2/1c 1c2
 
Encontramos dos valores para “c” y dos valores para “d”, evidentemente el sistema planteado 
no tiene solución única y por lo tanto no existe C
-1
. 
Este ejemplo nos muestra que no toda matriz cuadrada tiene inversa y, por lo tanto, 
debemos buscar condiciones para la existencia de la inversa de una matriz. 
 
Notemos que si calculamos el determinante asociado a la matriz C no inversible del 
ejemplo anterior esto es: 
C= 
10
20
 = 0 
Si consideramos el determinante asociado a la matriz inversible A = 







13
14
, del 
primer ejemplo, A= 34 = 1  0. 
Esto no es casual sino una consecuencia de un teorema que establece que: “si A es 
una matriz cuadrada de orden “n” entonces A es inversible sí y sólo sí A  0”. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 52 
Para probar este importante teorema, necesitamos definir previamente algunos 
conceptos. 
 
3.5.3.- Matriz de los Cofactores 
Definición: Sea A una matriz cuadrada de orden “n”, se llama matriz de los cofactores a la 
matriz que se obtiene a partir de la dada reemplazando cada elemento aij por su 
correspondiente cofactor Cij. 
 
La representamos como Ac . De modo que: 
Ac = 














nn3n2n1n
n2232221
n11312 11
C.........C C C
: : : : 
C.........C C C
C..........C CC
 
 
3.5.4.- Matriz Adjunta 
Definición: Sea A  M 
nxn
 ; se llama matriz adjunta de A y se la representa como A* a la 
transpuesta de la matriz de los cofactores. 
 
Si Ci j es el cofactor correspondiente al elemento ai j, entonces: 
A* = ( Cij)
t
 = ( Cji) ; i = 1, 2, . . . , n ; j = 1, 2, . . . , n 
 A* = ( Cij )
t
 = 














nnn2n1
2n2212
1n21 11
C. .......... C C
 : : : 
C .......... C C
C........... CC
 
Ejemplo: 
Si A = 












101
113
021
 , calcule A*. 
Debemos buscar primero la matriz de los cofactores Ac. Para ello calculamos los cofactores Cij 
de cada elemento de A. 
 C11 = (-1)
2 
10
11
 

 =1 ; C12 = (-1)
1+2
 
 
11
13
 

 
= -4 , C13 = (-1)
1+3
 
 
01
13
 
= -1 
En forma análoga, se calculan los restantes cofactores. 
Luego, la matriz de los cofactores es Ac = 










333231
232221
131211
CCC
CCC
CCC
 













712
212
141
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 53 
Por lo tanto la matriz buscada es: A* = ( Cij ) 
t
 = 













721
114
221
 
La siguiente propiedad expresa una importante relación que cumplen las matrices A y A* 
 
3.5.5.- Propiedad 
Si A  M
nxn
, entonces se verifica que: A A* = A
*
 A = det (A) I 
Demostración: Probaremos que A A* = det (A) I 
 A A* = 














nn2n1n
n22221
n112 11
a ...... a a
: : : 
a ....... a a
a ...... aa














nnn2n1
2n2212
1n21 11
C........... C C
 : : : 
C.......... C C
C........... CC
 
 A A* = 


























nj
n
1=j
njj2
n
1=j
njj1
n
1=j
nj
nj
n
1=j
j22j
n
1=j
j2j1
n
1=j
j2
nj
n
1=j
njj2
n
1=j
j1 j1j1
n
1j
Ca........... Ca Ca
: : : 
Ca .......... Ca Ca
Ca ...........CaCa
 
Todos los elementos situados en la diagonal principal son el desarrollo de A por los 
cofactores de los elementos de la primera fila, de la segunda fila, . . . , de la n-ésima fila. 
Todos los otros elementos son nulos porque son sumas de productos de elementos de una fila 
por los cofactores de los elementos de una paralela a ella, por lo tanto: 
 A A* = 














det(A) ...... 0 0 0 
: : : : 
0 ...... 0 det(A) 0 
0 ...... 0 0det(A) 
 = det (A) 














1 ...... 0 0 0
: : : : 
0 ....... 0 1 0
0 ....... 0 01 
 = det (A) In 
Es decir, A.A* = det (A) In. De forma análoga se prueba que A* A = det (A) I 
 
Ejercicio: Compruebe para las matrices A y A* del ejemplo anterior, verifican esta relación, 
calculando previamente el det (A). 
Se deja la resolución de este ejercicio para los alumnos. 
Estamos en condiciones de probar un teorema muy importante, mencionado 
anteriormente, que no sólo nos proporciona una condición necesaria y suficiente para la 
existencia de la inversa de una matriz cuadrada, sino también una manera de calcularla. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 54 
3.5.6.-Teorema 
Si A es una matriz cuadrada de orden “n”, entonces A es inversible  A 0 
Demostración: 
i) Se debe probar que: si A inversible  A   0 
Si A es inversible   B única / A B = B A = I 
Consideramos A B = I; por propiedad de los determinantes podemos escribir: 
 A B  =  I    A   B  = I  
Como  I  = 1  A   B  = 1   A   0 
 
ii) Se debe probar que: A   0  A es inversible 
Sabemos que A A* = A* A =  A  I 
Si dividimos todos los miembros de esta igualdad por  A   0 (por hipótesis), obtenemos: 
A
AA
A
AA **
 = I, igualdad que podemos escribir de la siguiente manera: 
A
A
*A
A
*A
A  = I (1) 
Si llamamos B = *A
A
1
 a la igualdad (1) podemos escribirla como: A B = B A = I 
Luego, por definición, A es inversible y su inversa es B = A
-1
 = *A
A
1
 
De i) y ii) concluimos que: A es inversible   A   0 
 
La igualdad (1) no sólo prueba que A es inversible, sino también nos proporciona un 
método para calcular A
-1
, ya que de acuerdo a la última igualdad: 
 B = A
-1
 = *A
A
1
 
 
3.5.7.- Definiciones 
a) Matriz No Singular: Sea A  M
nxn
. Si el A  0 entonces A es una matriz no singular. 
 
b) Matriz Singular: Sea A  M
nxn
. Si el A = 0 entonces A es una matriz singular 
Teniendo en cuenta las definiciones anteriores y el teorema antes mencionado, 
podemos decir que: “una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si es no singular”. 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 55 
Ejemplo: Calcule la inversa de la matriz A = 












101
113
021
 
Vimos que A* = 













721
114
221
, además A   

 
101
113
021
 -9 
Entonces A
-1
 = 





 *A
9
1
 (-
9
1
) 













721
114
221
 











979291
919194
929291
///
///
///
 
 
3.5.8.- Caso Particular: Calcular la inversa de una matriz no singular de orden dos. 
 
Sea A = 





d c
b a
 tal que: det (A) = a.d –b.c  0 
Calculemos la matriz Adjunta de A: 
Ac = 





a b-
c- d
  A* = 





a c-
b- d
 . Por lo tanto: 
A
-1 
 = 
bcad
1

 





a c-
b- d
 = 
)Adet(
1
 





a c-
b- d
 = 














A
a
 
A
c
-
A
b
- 
A
d
 
 
Observación 6: A
-1
 se obtiene a partir de A, intercambiando los elementos de la diagonal 
principal, cambiando el signo a los elementos de la diagonal no principal y multiplicando la 
matriz así obtenida por 
 A 
1
. 
 
Ejemplo: Calcule A
-1
, si A = 







43
22
 
Calculamos  A = 
43
22
 


 = 8 - 6 = 2  0   A-1 
Por lo tanto A
-1 
 = 











12/3
12
23
24
2
1
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 56 
3.5.9.- Determinación de la Inversa de una Matriz aplicando el Método de Gauss-Jordan 
 
Es evidente que calcular la inversa de una matriz haciendo uso de la igualdad 
A
-1
 = *A 
)Adet(
1
 puede ser largo y tedioso si las matrices son de orden mayor que dos. 
El Método de Gauss-Jordan, que lo usamos para calcular el rango de una matriz, 
también nos permite encontrar la inversa de una matriz cuadrada de manera más sencilla. 
Supongamos que tenemos una matriz cuadrada de orden “n” y queremos calcular, 
si existe, A
-1-
. Procedemos de la siguiente manera: 
1.- Escribimos A y, a su derecha, la matriz identidad de igual orden. Obtenemos de esta 
manera una matriz de orden “n x 2n”. 
2.- Aplicamos a esta matriz el método de Gauss-Jordan efectuando sucesivas operaciones 
elementales sobre sus filas de forma tal de transformar a A en la en la matriz identidad y 
la matriz identidad en otra matriz B. Si esto es posible, B = A
-1
 
Esquemáticamente: 
 A I 
 I B 
 
Este método podemos aplicarlo, aún sin tener la certeza de que A sea inversible, ya 
que si A no es inversible, no es posible transformar la matriz A en la identidad. 
 
Ejemplos: Calcule, si existe, la inversa de las siguientes matrices: 
 a) A = 










1 - 0 1-
1- 1 0
1 1-1 
 b) B = 













110
011
101
 
a) Escribimos la matriz A y a su derecha la matriz identidad, de igual orden que la matriz 
dada, de acuerdo al siguiente esquema: 
 
 (1) -1 1 1 0 0 
 A 0 1 -1 0 1 0 I 
 -1 0 1 0 0 1 F3 + F1 
 1 -1 1 1 0 0 
 0 (1) -1 0 1 0 F1 + F2 
 0 -1 2 1 0 1 F3 + F2 
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como la matriz de la izquierda es la matriz identidad, entonces, la matriz de la derecha es la 
inversa buscada, por lo tanto: 
 
  A-1 = 










1 1 1
0 2 1
0 1 1 
 
 
b) Para calcular, si existe, la inversa de la matriz B, proc99edemos en forma análoga a la 
anterior. 
 
(1) 0 -1 1 0 0 
1 -1 0 0 1 0 F2 + F1 (-1) 
0 1 -1 0 0 1 
1 0 -1 1 0 0 
0 -1 1 -1 1 0 F2 + F3 
0 (1) -1 0 0 1 
(1) 0 -1 1 0 0 
0 0 0 -1 1 1 
0 1 -1 0 0 0 
 
La matriz de la izquierda tiene toda una fila nula, por lo tanto no podemos obtener otro vector 
canónico, es decir, no podemos transformar A en la matriz identidad. 
 B = 













110
011
101
 no es inversible. 
 
1 0 0 
0 1 -1 
0 0 (1) 
1 1 0 
0 1 0 
1 1 1 
 
 
F2 + F3 
 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
1 1 0 
1 2 0 
1 1 1 
 
I 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 58 
3.5.10.- Aplicaciones 
 
1.- Calcule el rango de las siguientes matrices, dependiendo de los parámetros a y b. 
i) A = 





32
a1
 ii) B = 





 b42
a2a1
 iii) C = 









 
1a0
a1a
101
 
Resolución: 
i) A = 





32
a1
  





 3a20
a1
 
Como A2x2  r(A)  2 
r(A) = 1 si -2 a + 3 = 0  a = 
2
3
 
r(A) = 2 si -2 a + 3  0  a  
2
3
 
 
ii) B = 





 b42
a2a1
  





 ba44a20
a2a1
 
Como B2x3  r(B)  2 
 r (B) = 1 si 





-8b 4ab 0ba4
-2a 04a2
 
 r (B) = 2 si a - 2 o b  -8 
 
iii) C = 









 
1a0
a1a
101
  









 
1a0
a210
101
  












1a200
a210
101
2
 
Como C3x3  r(C)  3 
El r(C)  1 puesto que la matriz no podrá tener un solo vector canónico columna. 
r(C) = 2 si -2 a
2
 + 1 = 0  a = 
2
2
  a = - 
2
2
 ó a = 
2
2
 
r(C) = 3 si -2 a
2
 + 1  0  a  - 
2
2
 y a  
2
2
 
 
2.- Determinar, si existe, la matriz que verifique la ecuación matricial A X B = C, siendo: 
A = 





 21
21
, B = 










100
030
202
 y C = 





 2156
14310
 
F2+F1(-2) 
F2+F1(-2) 
F2+F1(-a) 
F3+F2(-a) 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 59 
Resolución: 
Como A = 4  0 existe A
-1
, por lo tanto es posible premultiplicar por esta matriz ambos 
miembros de la ecuación matricial: 
 
A
-1
(A X B ) = A
-1
C  (A
-1
 A) X B = A
-1
C  I X B = A
-1
C  X B = A
-1
C 
Como B = 
100
030
202
 = 2. 3. 1 = 6  0 existe B
-1
, por lo tanto es posible postmultiplicar 
por esta matriz ambos miembros de la ecuación matricial: 
 
(X B) B
-1
 = A
-1
C B
-1
  X ( B B
-1 
) = A
-1
C B
-1
  X I = A
-1
C B
-1
  X = A
-1
C B
-1
 
Se calculan a continuación las matrices A
-1
 y B
-1
 
Como A
-1 
 = 














A
a
 
A
c
-
A
b
- 
A
d
  A
-1
 = 
4
1
 




 
11
22
  A
-1
 = 













4
1
4
1
2
1
2
1
 
Calculamos B
-1 
2 0 2 
0 3 0 
0 0 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
1 0 1 
0 1 0 
0 0 1 
1/2 0 0 
0 1/3 0 
0 0 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
1/2 0 -1 
0 1/3 0 
0 0 1 
 
 
Reemplazando en X = A
-1
C B
-1
 
X = 













4
1
4
1
2
1
2
1






 2156
14310

















100
0
3
1
0
10
2
1
 = 





012
431
  X = 





012
431
 
Resta verificar que la matriz X obtenida satisface la ecuación matricial. 
  B
-1
 = 

















100
0
3
1
0
10
2
1
 
 
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
 60 
3.- Demuestre que la matriz T es no singular y encuentre la inversa de T 
 T= 






 

cos
cos
sen
sen
 
 Resolución: 
 





 








cos
cos
0,1
cos
1
1
22
sen
sen
T
TTcomoT
senT
 
4.- Califique con verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones, justificando en 
cada caso su elección: 
 
a) Si la inversade una matriz existe, ésta es única. 
b) Toda matriz singular tiene inversa. 
c) El rango de una matriz inversible de orden “n” es igual a “n”. 
d) Si A, B  M nxn con | A | ≠ 0 entonces, las ecuaciones: 
 A X = B y X A = B tienen la misma solución. 
e) Si A es una matriz no singular, entonces se cumple que: A2 = I  A = A-1 
f) La inversa de la matriz identidad es la matriz identidad 
g) Toda matriz cuadrada tiene inversa 
h) Si A es la inversa de B, entonces B es la inversa de A 
i) Si A es una matriz escalar con aii = k, entonces A
-1
 es una matriz escalar con aii = 1/k 
 
La respuesta a este ejemplo queda a cargo de los alumnos.