TEORIA 4 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Vista previa del material en texto

63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Notas Teóricas 
Ejercicios y Aplicaciones 
 
 
 
 MG ANALIA MENA
 ESP. GRACIELA ABRAHAM
ESP. MABEL RODRIGUEZ ANIDO
64 
 
Muchas situaciones en economía, ingeniería, física, matemáticas y otras ciencias, se reducen 
al problema de resolver un sistema lineal. El interés en la solución de estos sistemas es muy 
antiguo como lo demuestra el siguiente problema, donde interviene un sistema lineal del que 
se ocuparon los matemáticos de hace ochocientos años. 
Nuestra historia es acerca de Leonardo Pisano, matemático italiano (1175 – 1250 AC) mejor 
conocido como Fibonacci. Durante sus viajes, aprendió la “nueva aritmética” árabe que 
después presentó al Occidente en su famoso libro Lider abaci. Dice la leyenda que el 
emperador Federico II de Sicilia invitó a Fibonacci y a otros sabios a participar en una 
especie de torneo de matemáticas, en el que se plantearon varios problemas. Uno de ellos era 
el siguiente: 
“Tres hombres poseen una sola pila de monedas de la cual a cada uno le 
corresponde 
2
1
, 
3
1
 y 
6
1
 del total respectivamente. Cada uno toma algo de dinero de 
la pila hasta que no queda nada. El primero regresa 
2
1
de lo que tomo, el segundo 
3
1
 y el tercero 
6
1
. Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se 
descubre que cada uno posee lo que le corresponde. ¿Cuánto dinero había en la 
pila original, y cuánto tomó cada uno de esa pila?” 
 
Fibonacci llega a la siguiente solución: la cantidad total era 47, y las cantidades que tomaron 
los hombres de la pila fueron 33, 13 y 1. ¿Es correcto? 
Para responder esta pregunta necesitamos aprender a resolver sistemas de ecuaciones 
lineales. 
 
1.1.- Ecuación Algebraica Lineal con n incógnitas 
Definición: Llamamos ecuación algebraica lineal con n variables a una expresión del tipo: 
a1 x1 + a2 x2 +….+ an xn = b, donde ai   , i = 1, 2, .., n son constantes arbitrarias no 
simultáneamente nulas llamadas coeficientes de la ecuación. 
Las xi   , i = 1, 2,…, n se llaman variables o incógnitas de la ecuación. Y la 
constante b   término independiente de la ecuación. 
Las variables, los coeficientes y el término independiente de la ecuación, pertenecen en 
general a un cuerpo K, en particular vamos a trabajar con K = , pero todos los resultados 
valen sobre cualquier cuerpo K. 
La palabra lineal significa que el primer miembro es de primer grado en el conjunto de las 
variables x1, x2, …, xn . 
65 
 
Si b  0 la ecuación algebraica lineal se denomina no homogénea. 
Si b = 0 la ecuación algebraica lineal se denomina homogénea. 
1.2.- Solución de una ecuación lineal 
Definición: 
Una solución de esta ecuación lineal es una n- upla ordenada X0 = (k1, k2,.. , kn) que verifica 
la ecuación. Luego, resolver una ecuación significa encontrar el vector o los vectores n 
dimensionales que la verifiquen. El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto 
solución de la ecuación. 
Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) 2x = 3 Esta ecuación tiene como única solución a 3/2, porque este es el único valor 
que la verifica. 
b) x + 2y = 4 Una solución es x = 2 , y = 1. Pero otra solución es x = 4, y = 0. 
Estos son ejemplos de algunos de los infinitos pares de números reales que satisfacen la 
ecuación. 
2.- Sistemas de “m” Ecuaciones Lineales con “n” Incógnitas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.-Definición: Se llama así a un conjunto de “m” ecuaciones lineales y “n” 
incógnitas consideradas simultáneamente. Sea S un sistema lineal de m ecuaciones 
y n incógnitas, la forma algebraica del mismo es: 
 S 
Donde: 
 aij :Son números reales, llamados coeficientes del sistema , con i = 1,2,3,…m y 
j = 1,2,3,…n. 
 b i : Son números reales, llamados términos independientes del sistema , con i = 
1,2,3…m . 
 x j : son las incógnitas, son las variables del sistema (con j = 1,2,3,…n). 
Los coeficientes están provistos de dos subíndices: el primero nos indica la 
ecuación a la cual pertenecen y el segundo, la incógnita. Así: ai j es el coeficiente 
de xj en la i-ésima ecuación. En cambio, los términos independientes tienen un 
solo subíndice el cual indica la ecuación a la cual pertenecen. 
66 
 
2.2.- Notación Matricial de un Sistema de Ecuaciones 
Al sistema S se lo puede representar mediante una ecuación matricial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones 
 Si B = N, es decir  i bi = 0 el sistema se llama Homogéneo. 
 Si B  N, es decir  i / bi  0 el sistema se llama No Homogéneo. 
 Si m = n, es decir el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, se 
dice cuadrado. 
Sean las matrices: 
A = 














mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa




, A  Mmxn : matriz de los coeficientes del sistema y 
A’ = 














mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa




, A’  Mmx(n+1): matriz ampliada del sistema, 
el vector columna X = 














n
2
1
x
x
x

 , X  Mnx1: matriz de las incógnitas y 
el vector columna B =














m
2
1
b
b
b

 , B  Mmx1: matriz de los términos independientes. 
De manera abreviada, el sistema S se expresará mediante la ecuación: AX = B, (1) 
donde: A M m x n; X  M n x 1 y B  M m x 1 
 
O bien 


















.
......
..............
.........
...
....
...
....
......
21
21
222221
111211
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
. 





































m
i
n
j
b
b
b
b
x
x
x
x
....
...
...
...
2
1
2
1
 (2) 
Las igualdades (1) y (2) reciben el nombre de Notación Matricial del Sistema. 
Se puede comprobar, aplicando los conceptos de producto e igualdad de matrices, que 
dado el sistema A X = B obtenemos el sistema S y recíprocamente dado S es 
posible escribir A X = B 
 
67 
 
Ejemplos: 
a) Escriba los siguientes sistemas usando notación matricial: 
i) 











102x52x6x8x4
46x23x2x4x2
8x4x
28x14x2x2x2
4321
4321
42
4321
 
Este es un sistema no homogéneo donde A = 














52684
23242
4010
14222
 es la matriz de los 
coeficientes del sistema, X = 














4
3
2
1
x
x
x
x
 es la matriz de las incógnitas y B = 














102
46
8
28
 la matriz de 
los términos independientes. 
Entonces A X = B o bien 














52684
23242
4010
14222














4
3
2
1
x
x
x
x
 = 














102
46
8
28
 es la notación matricial del 
sistema. 
ii) 








0z3y2x
0u3z2yx
0u4z3y2x
 
Este sistema es homogéneo donde A = 











0321
3211
4321
 es la matriz de los coeficientes, 
X = 














u
z
y
x
 es la matriz de las incógnitas y B = 










0
0
0
 es la matriz de los términos 
independientes. 
Por lo tanto la notación matricial es: A X = N, es decir 











0321
3211
4321














u
z
y
x
= 










0
0
0
 
 
68 
 
b) Dadas las matrices ampliadas siguientes, escriba en cada caso los sistemas S. 
i) 










1111
6565
4321
 ii) 










021
011
021
 
i) Se observa que si A’ = 










1111
6565
4321
, entonces A = 










111
565
321
es la matriz de los 
coeficientes del sistema, B = 










1
6
4
es la matriz de los términos independientes y se puede 
considerar a X = 










z
y
x
como la matriz de las incógnitas. 
Aplicando los conceptos de producto e igualdad de matrices, obtenemos: 
 
A X = B  










111
565
321










z
y
x
= 










1
6
4
  













zyx
z5y6x5
z3y2x
 = 










1
6
4
  








1zyx
6z5y6x5
4z3y2x
 
 
Por lo tanto el sistema S para este caso es: 








1zyx
6z5y6x5
4z3y2x
 
ii) Si A’ = 











021
011
021
 es la matriz ampliada del sistema, entonces A = 











21
11
21
 es la matriz 
de los coeficientes, B = 










0
0
0
 = N (matriz nula) es la matriz de los términos independientes y 
podemos considerar a X = 





2
1
x
x
 la matriz de las incógnitas. 
 
Por lo tanto A X = N  











21
11
21
 





2
1
x
x
 = 










0
0
0
  













21
21
21
x2x
xx
x2x
 = 










0
0
0
 
 
69 
 
Por lo tanto el sistema S correspondiente es: 








0x2x
0xx
0x2x
21
21
21
 
2.3.- Conjunto Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales 
Resolver un sistema de ecuaciones lineales A X = B (A  Mmxn, X  Mnx1, B  Mmx1) 
significa encontrar los vectores X0 que verifiquen simultáneamente las m ecuaciones del 
sistema. 
En símbolos: CS =  X0  M
nx1 / A X0 = B , donde cada X0 se llamará solución del 
sistema. 
Puede ocurrir que CS =  o bien CS   
 
Ejemplo: 
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 i) 





3yx
1yx
 ii) 





4y2x2
2yx
 iii)





3yx
1yx
 
Resolución 
i) Si sumamos ambas ecuaciones, obtenemos: 2x = 4, de manera que x = 2. De lo que se 
desprende que y = 1. Una rápida verificación (A X0 = B), confirma que X0 = 





1
2
 es en 
realidad una solución de ambas ecuaciones. Y esta será la única solución, es decir: 
Cs =    1 , 2 
ii) Se observa en este sistema que la segunda ecuación es exactamente dos veces la primera, 
de modo que las soluciones son las mismas para ambas ecuaciones. Es decir, que si 
dividimos por dos los miembros de la segunda ecuación, obtenemos: 
 
 





2yx4y2x2
2yx
 . Algunas de las soluciones serán: 





2
4
, 





3
5
, 





4
6
, 





5
7
Pero estos son ejemplos de las infinitos pares de números que satisfacen el sistema. 
Estas soluciones obtenidas suelen denominarse soluciones particulares y la solución general 
puede expresarse: Cs =    y / y , 2y 
iii) Dos números x e y no pueden tener simultáneamente una diferencia de 1 y 3. Por 
consiguiente, este sistema no tiene solución. Es decir: Cs =  
 
 
 
70 
 
2.4.- Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales según su conjunto solución 
Sea Cs =  X0  M
nx1 / A X0 = B , conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales 
A X = B. 
Clasificamos los sistemas según su conjunto solución en: 
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales 
 
 
Observación importante: Sea A X = N (1) un sistema de ecuaciones lineales homogéneo; 
podemos afirmar que estos sistemas son siempre compatibles puesto que siempre el vector 
nulo, N, satisface (1). Es decir A N = N. El vector nulo N  Mnx1 se llama solución trivial 
del sistema de ecuaciones lineales homogéneo. 
Una solución X  N se conoce como solución no trivial 
 
Consideremos ahora el problema de resolver sistemas cuadrados, es decir sistemas de n 
ecuaciones y n incógnitas. 
 
3.- Sistemas Cramerianos 
3.1.- Definición: Un sistema de ecuaciones lineales A X = B se llama Sistema Crameriano, si 
y sólo si la matriz de los coeficientes del sistema es cuadrada y tal que A  0. 
En símbolos: A X = B es crameriano  A Mnxn y A  0 
 
3.2- Teorema de Leibniz - Cramer. 
Sea el sistema crameriano A X = B con A  Mnxn; X  Mnx1; B  Mnx1 
entonces: 
a) El sistema lineal A X = B admite solución única. 
b) El valor de la i-ésima componente del vector solución X, se obtiene como el cociente de 
dos números xi = 
A 
A i , i = 1, 2, ..., n donde Ai  M
nxn es la matriz que se obtiene al 
reemplazar en la matriz de los coeficientes la columna i-ésima por la columna de los 
términos independientes. 
Demostración 
a) Sea A X = B, como el sistema es crameriano, A  0   A-1 y es única. 
Premultiplicando ambos miembros por la inversa de A: 










Cs si lesIncompatib
)soluciones (infinitas adosIndetermin
única)(solución osDeterminad
 Cs si sCompatible
71 
 
A-1 (A X) = A-1 B  (A-1 A) X = A-1 B  I X = A-1 B  X = A-1 B 
X = A-1 B es la única solución del sistema por ser A-1 única. 
Luego, queda demostrado lo que se quería probar 
 
Observación Esta última igualdad nos brinda, además, un método para resolver sistemas 
cuadrados utilizando matriz inversa. 
b) Para encontrar x1, x2, . . ., xn , recordemos que A
-1 = *A 
 A 
1
 y 
A* = (Ac)
t = 




















nnn2n1
nii2i1
2n2212
1n2111
CCC
CCC
CCC
CCC






 , es decir A* = (Cji) con Cji cofactor correspondiente 
al elemento aji y B = (bj) j = 1, 2, …, n 
Reemplazando en X = A-1 B, obtenemos: 
X = ( *A 
 A 
1
) B  X =
 A 
1
 (A* B)  X = 
 A 
1




















nnn2n1
nii2i1
2n2212
1n2111
CCC
CCC
CCC
CCC




























n
j
2
1
b
...
b
...
b
b
 
Efectuando el producto de matrices indicado obtenemos: 
 




















n
i
2
1
x
...
x
...
x
x
 = 
A
1
 
























nnn2n21n1
nni2i21i1
22n222212
11n221111
bC...bCbC
.......................................
bC...bCbC
..........................................
bC...bCbC
bC...bCb.C
 
Se observa que el valor de la i –ésima componente del vector X es: 
xi = 
 A 
1
( nni2i21i1 bC..bCbC  ) = j
n
1j
jibC

 , i = 1, 2, …, n 
xi = 
 A 
1
 ji
n
1j
jCb

 , i = 1, 2, …, n (I) 
72 
 
Recordando que ji
n
1j
jiCaA 

 es el desarrollo del determinante por los cofactores de la i-
ésima columna y comparando con (I) vemos que (I) es el desarrollo del determinante que 
se obtiene al reemplazar en A la i-ésima columna por la columna de los términos 
independientes. Es decir xi = iA A 
1
 . De aquí, se deduce que: 
x1 =
nn2nn
n2222
n1121
aab
aab
aab
A
1




,x2= 
nnn1n
n2221
n1111
aba
aba
aba
A
1




,…, xn = 
n2n1n
22221
11211
baa
baa
baa
A
1




 
Con lo que queda probado el teorema. 
 
Observación: Este Teorema no sólo nos asegura que todo sistema crameriano tiene solución 
única, sino también nos proporciona un método que denominamos Regla de Cramer 
(apartado b) del teorema) para hallar dicha solución. 
Ejemplos: 
a) Dijimos que la igualdad X = A-1 B nos brinda un método para resolver sistemas 
cuadrados utilizando matriz inversa. Veremos un ejemplo referido a esta cuestión. 
Resuelva el siguiente sistema lineal utilizando matriz inversa: 





1y3x
2y4x
 
Resolución: 
Como la forma matricial del sistema es A X = B  







31
41






y
x
= 





1
2
 y además A =1  
0 podemos afirmar que  A-1 / A-1(A X) = A-1B  (A-1A) X = A-1B  I X = B  X = A-
1B, 
donde A-1 = 







11
43
; por consiguiente X = 







11
43






1
2
 = 







1
2
 
Luego Cs = ( -2 , -1) 
b) Resuelva el siguiente sistema lineal aplicando, si es posible, el teorema de Leibnitz 
Cramer 
 








4zyx
3zyx
2zyx
 
73 
 
Resolución: 
El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas o sea es cuadrado; para averiguar si es 
crameriano nos faltaría averiguar si  A  0 
 A = 
111
111
111



 = - 4  0: entonces el sistema es crameriano y por lo tanto: 
x = 
4
114
113
112



= 
4
10


= 
2
5
 , y = 
4
141
131
121



=
4
12


=3 , z= 
4
411
311
211



= 
4
14


= 
2
7
 
Luego, el sistema es compatible determinado y el conjunto solución es Cs =(
2
5
, 3 , 
2
7
) 
c) Dado el sistema 








bkzy8x7
0z6y5x4
0z3y2x
 , calcular los valores de los parámetros “k” y “b” para 
los cuales el sistema es crameriano. 
 
Resolución: 
Sea A = 










k87
654
321
la matriz de los coeficientes del sistema cuadrado; para que el sistema 
sea crameriano el A  0 
 A = 
k87
654
321
 = 27 – 3 k  0  k  9 y como no depende de b  El sistema es 
crameriano  k  9 y  b   
 
Observación: Desde luego el teorema de Leibniz - Cramer es de uso aconsejado para 
sistemas de ecuaciones no homogéneos. Puesto que si el sistema es homogéneo, el sistema 
tendría la solución trivial como única solución como se observa a continuación. 
 
4.- Sistemas Homogéneos 
Sea el sistema lineal A X = N (1) donde A  Mnxn, X  Mnx1, N  Mnx1 
Es evidente que este sistema es siempre compatible, ya que admitirá siempre la solución 
trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0. 
74 
 
Pero si ocurre además que 0 A  , entones existe A-1 / A-1(A X) = A-1N  (A-1A) X = N 
 I X = N  X = N solución única. 
 
Ejemplo: Resuelva el sistema 








0z2yx3
0z6y5x4
0z6y4x2
 
El sistema es cuadrado, nos faltaría entonces calcular el determinante asociado a la matriz de 
los coeficientes del sistema 
Sea A = 










 213
654
642
  
213
654
642
 A 

 = 6  A  0  el sistema es crameriano 
y su única solución es la trivial: x = 0, y = 0, z = 0, o lo que es lo mismo Cs=(0 , 0 , 0 
 
A continuación enunciamos un teorema que nos permite clasificar un sistema cuadrado: 
 
5.1.- Teorema 1 
Condición necesaria y suficiente para que un sistema de n ecuaciones lineales con n 
incógnitas admita solución única, es que el determinante de la matriz del sistema sea 
diferente de cero. 
 
Es decir: Todo sistema A X = B de n ecuaciones con n incógnitas tiene solución única  
0 A  
Ya se demostró que la condición 0 A  era suficiente para que un sistema cuadrado tenga 
solución única. Aceptaremos sin demostración que dicha condición es también necesaria. 
El teorema contrarrecíproco nos permite afirmar que: 
5.2.- Teorema 2 
El sistema lineal A X = N, AMnxn N  Mnx1 es compatible indeterminado  A = 0 
Ejemplo: Estudie la existencia de soluciones para los distintos valores del parámetro “a” en 
el siguiente sistema: 








0x12xx
0x7xx
0x4axx2
321
321
321
 
75 
 
Sea A = 












1211
711
4a2
 la matriz de los coeficientes del sistema. Como el sistema es 
homogéneo, es siempre compatible. 
Sea A = 
1211
711
4a2


 = 
520
711
10a20


 = 1 (-1)2+1 
52
10a2


 
= - (-10-5a-20)  A = 30 + 5a 
i) Si A = 30 + 5a  0  a  -6, el sistema es compatible determinado y la única solución 
es la trivial. Es decir Cs = (0 , 0 , 0) 
 
ii) Si A = 30 + 5a = 0  a = -6, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas 
soluciones además de la trivial 
 
Veremos a continuación, un teorema integrador que relaciona los conceptos de matriz 
inversa, matrices equivalentes y sistemas cramerianos. Estos enunciados son equivalentes, es 
decir, cada enunciado implica los demás. 
 
5.3.- Teorema 3 Sea A  Mnxn . Entonces: 
A es inversible  0 A   A  In por filas  r (A) = n  A X = B es compatible 
determinado  la única solución del sistema homogéneo asociado A X = N es la trivial 
(X = N) 
Observación: La regla de Cramer es aplicable sólo para sistemas cramerianos. Además 
cuando el número de ecuaciones es mayor que dos se requiere el cálculo de muchos 
determinantes, lo cual resulta muy laborioso. Surge entonces la necesidad de generalizar la 
resolución a sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Para ello vamos a definir los 
siguientes conceptos. 
6.1.- Sistemas Equivalentes 
Definición: Dos sistemas S y S’ de m ecuaciones lineales y n incógnitas se dicen equivalentes 
si toda solución de S es solución de S’ y recíprocamente. 
En símbolos S  S’ 
Dado un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es posible transformarlo en 
otro equivalente al dado mediante las siguientes operaciones: 
F1+F2(-2) 
 
 
F3+F2(-1) 
76 
 
6.2.- Operaciones Elementales sobre las ecuaciones de un sistema 
1) Intercambio de dos ecuaciones. 
2) Multiplicación de una ecuación por un escalar 0 . 
3) Suma a una ecuación de otra multiplicada por un escalar  arbitrario. 
Aceptaremos, sin demostración, el siguiente teorema que afirma que estas operaciones 
elementales dejan invariable al conjunto solución de un sistema lineal. 
6.3.- Teorema 4 
Los sistemas S y S’ de m ecuaciones lineales y n incógnitas son equivalentes si uno se 
obtiene a partir del otro mediante la aplicación de un número finito de operaciones 
elementales sobre sus ecuaciones. 
Observación: Para resolver sistemas de ecuaciones se tratará de realizar operaciones 
elementales en las ecuaciones, creando así sistemas equivalentes que conduzcan a una 
simplificación de las mismas intentando siempre eliminar incógnitas. 
Veremos ahora cómo funcionan estas ideas en un ejemplo. 
 
Ejemplo: 
Dado el sistema de ecuaciones: 





3yx
0y4x2
 , A’ = 

 
11
42
 


3
0
es la matriz ampliada. 
(La línea vertical en esta matriz es “imaginaria” y normalmente no se incluye). 
Es evidente que toda la información del sistema está contenida en los coeficientes de las 
ecuaciones. Por ello, trabajamos con la matriz ampliada y le aplicamos operaciones 
elementales sobre las filas de la misma, siguiendo los pasos que indica el Método de Gauss - 
Jordan, tratando de formar el mayor número de vectores canónicos columnas distintos y de 
este modo arribar a otro sistema equivalente más sencillo con el mismo conjunto solución. 
 F1 + F2(-2) 
 
 F1(- 1/6) 
 
 
 F2 + F1(-1) 
 
 
 
 
 
11
42 
 
3
0
 
11
60 
 
3
6
 
1 1
1 0
 
3
1
 
0 1
1 0
 
2
1
 
77 
 
En general, resumiendo el Método: 
1º) Se divide la primera ecuación en el coeficiente de x1 (a11) para hacer dicho coeficiente 
igual a 1. 
2º) Se hacen cero los coeficientes de x1 en las restantes ecuaciones, utilizando operaciones 
elementales entre las filas. 
3º) Se divide la segunda ecuación en el coeficiente de x2 para que dicho coeficiente sea 1. 
Luego de hacen ceros los coeficientes de x2 de las otras ecuaciones. 
 
Se resalta el hecho que en cada paso se obtienen sistemas que son equivalentes. Es decir, 
cada sistema tiene el mismo conjunto de soluciones que el precedente. 
El sistema equivalente obtenido es: 





2y0x
1yx0
  





2x
1y
  Cs = (2 , 1) 
Recordando el concepto de rango de una matriz podemos observar que: r(A) = 2 y r(A’) = 
2; esto no es casualidad, sino consecuencia del siguiente teorema que enunciaremos sindemostrar y que nos permitirá investigar los criterios a usar para determinar si las soluciones 
existen o no. 
7.1.- Teorema de Rouché – Frobenius 
Sea el sistema lineal A X = B, A  Mmxn , X  Mnx1 y B  Mmx1 y sea A’  Mmx(n+1) la 
matriz ampliada. 
 El sistema A X = B es compatible  r (A) = r (A’ ) 
En consecuencia el sistema A X = B es incompatible  r (A)  r (A’) 
Consecuencias: Sea A X = B un sistema lineal compatible, es decir, tal que r (A) = r (A’), 
donde A  Mmxn , X  Mnx1 y B  Mmx1. Se presentan las siguientes situaciones: 
a) r (A) = r (A’) = n (número de incógnitas)  el sistema es Compatible Determinado 
(Solución Única) 
b) r (A) = r (A`) = r < n (número de incógnitas)  el sistema es Compatible Indeterminado 
(Infinitas Soluciones). 
En este caso se tienen r incógnitas principales, cuyos valores dependen de los infinitos 
valores que les asignemos a las “n – r” restantes llamadas variables libres. 
 
 
 
 
 
78 
 
Observación: 
En el caso de los sistemas homogéneos A X = N, con A  M mxn , X  Mnx1 como la 
matriz ampliada A’ tiene siempre una columna de ceros, entonces r(A) = r(A’ ). Por lo tanto 
los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Entonces: 
Si r(A) = r(A’) = r  





























I. C. trivialla de además 
soluciones infinitas admite homogéneo sistema El :nr
C.D. 
0
0
0
 X : trivialla essolución única la :nr

 
 
8.1.- Resolución de Sistemas de ecuaciones Lineales 
El Método de Gauss - Jordan nos permite decidir si un sistema es compatible o no como así 
también determinar el conjunto solución en caso de compatibilidad con la ayuda del teorema 
de Rouché - Frobenius. Se basa esencialmente en la determinación de los rangos de A y A’ 
formando el máximo número de vectores canónicos columnas distintos mediante la 
aplicación de operaciones elementales de filas. 
Ejemplos: 
Analice y resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss – 
Jordan 
a) 








5z2yx
5zy3x2
3zyx
 b) 








-3 zyx
3w3zy2x2
1w2zyx
 c) 











1y x
-4 yx4
2zyx2
5z2y
 
Resolución: 
a) 








5z2yx
5zy3x2
3zyx
 con A’ = 





 211
132
111
 





 5
5
3
 matriz ampliada del sistema 
 
Para calcular los rangos de A y A’ usaremos el método de Gauss - Jordan y clasificaremos el 
sistema usando el teorema de Rouché - Frobenius. 
Para ello aplicaremos operaciones elementales sobre las filas de A’ hasta obtener el máximo 
número de vectores canónicos columnas distintos. 
 
79 
 
 
F2 + F1(-2) 
F3 + F1(-1) 
F1 + F2(-1) 
 
F3 + F2(2) 
 
 
F3(-1/5) 
 
F1 + F3(-2) 
F2 + F3 
 
 
 
 
Como r (A) = r (A’) = 3  Sistema Compatible. Como además r = n (nº de incógnitas  
Sistema Compatible Determinado  tiene solución única 
 
El sistema equivalente es: 








2zy0x0
1z0yx0
0z0y0x
  








2z
1y
0x
  Cs = (0 , 1 , 2) 
 
b) 








-3 zyx
3w3zy2x2
1w2zyx
 con A’ = 








0111
3122
2111





 3
3
1
 matriz ampliada del sistema 
 
211
132
111

 
5
5
3

 
320
110
111

 
8
1
3

 
5 0 0
1 1 0
2 0 1

 
10
1
4

 
1 0 0
1 1 0
2 0 1
 
2
1
4
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
2
1
0
 
0111
3122
2111



 
3
3
1

 
2200
1100
2111



 
2
1
1

 
F2 + F1(-2) 
F3 + F1 
 
F1 + F2 
 
F3 + F2(2) 
 
80 
 
 
 
 
 
 
 
Como r (A) = r (A’) = 2 < n = 4 (número de incógnitas)  El sistema es compatible 
indeterminado  tiene infinitas soluciones 
El sistema equivalente es: 





1wzy0x0
0z0yx
  





1wz
0yx
 
En este caso se tienen r = 2 incógnitas principales, las cuales dependen de los infinitos 
valores que les asignemos a las n - r = 4 – 2 = 2 variables libres. 
Las variables principales son las correspondientes a los pivotes, es decir: “x” y “z”, mientras 
que las libres son “y” y “w”. 
El conjunto solución se obtiene resolviendo el sistema equivalente para las variables 
principales en términos de las libres. En este caso resolvemos para “x” y para “z” en 
términos de “y” y “w”, incógnitas libres ya que pueden tomar cualquier valor real. 





1wz
0yx
 





w1z
yx
  Cs =    w ,y / w ,w1 ,y ,y Solución general 
 Las infinitas cuaternas que son solución del sistema se obtienen reemplazando en la solución 
general las variables libres “y” y “w” por cualquier valor real; éstas se denominan soluciones 
particulares. 
Por ejemplo: Si y = 0 , w = 0 , la cuaterna solución es ( 0, 0, 1, 0) 
 Si y = 0 , w = 1 , la cuaterna solución es ( 0, 0, 2, 1) 
 Si y = -1 , w = -1 , la cuaterna solución es ( -1, -1, 0, -1) 
 Si y = -2 , w = 0 , la cuaterna solución es ( -2, -2, 1, 0) 
 
 
c) 











1y x
-4 yx4
2zyx2
5z2y
 con A’ = 










011
014
112
210
 










1
4
2
5
 matriz ampliada del sistema 
0 0 00
11 00
1 0 11


 
0
1
0
 
11 00
1 0 11


 
1
0
 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
011
014
112
210



 
1
4
2
5



 
011
050
130
210



 
1
8
4
5



 
0 11
0 50
1 30
0 50



 
1
8
4
13



 
0 11
0 00
1 30
0 50


 
1
5
4
13


 
0 11
0 00
1 30
0 10

 
1
5
4
5/13

 
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
 
5/8
5
5/19
5/13

 
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
 
5/8
1
5/19
5/13

 
0 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
 
0
1
0
0
 
Como r (A) = 3  r (A’) = 4 
El sistema es incompatible. No tiene 
Solución. 
F2 + F4(-2) 
F3 + F4(-4) 
 
 
F1 + F2(2) 
 
 
 
F1(-1/5) 
 
F3 + F1(-1) 
 
 
F2 + F1(3) 
 
 
F4 + F1(-1) 
 
 
F3 (1/5) 
 
F1 + F3 (-13/5) 
F2 + F3 (-19/5) 
 
F4 + F3 (8/5) 
 
82 
 
Ejemplos: 
Analice y resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos aplicando el método de 
Gauss – Jordan: 
a) 








0xx2 x
0x xx
0x x2 x 
432
421
431
 b) 








0z 
0y x2
0 yx
 
Resolución: a) La matriz ampliada es A’ = 








1210
1011
1201
 





0
0
0
 
 
 
 F2 + F1 
 
 
F3 + F2(-1) 
 
 
F3(-1) 
 
F1 + F3 
 
 Como r(A) = r(A’) = 3 < 4 = n (número de incógnitas)  el 
sistema es compatible indeterminado  tiene infinitas 
soluciones 
 
El sistema equivalente es: 








0xx0x0x0
0x0x2xx0
0x0x2x0x
4321
4321
4321
  








0x
0x2x
0x2x
4
32
31
  








0x
x2x
x2x
4
32
31
 
Cs =    x / 0 ,x ,x2 ,x2 3333  Solución general 
Soluciones particulares: Si x3 = 0 , la cuaterna solución es ( 0, 0, 0, 0) Solución trivial 
 Si x3 = 1 , la cuaterna solución es ( -2, -2, 1, 0) 
 Si x3 = -1 , la cuaterna solución es ( 2, 2, -1, 0) 
 Si x3 = -2 , la cuaterna solución es ( 4, 4, -2, 0) 
 
1210
1011
1201



 
0
0
0
 
1 210
0 210
1 201


 
0
0
0
 
1000
0 210
1201


 
0
0
0
 
1 000
0 210
1201 
 
0
0
0
 
1 000
0 210
0 201
 
0
0
0
 
83 
 
b) 








0z 
0y 2x
0yx
 La matriz ampliada del sistema es: A’ = 




 
100
012
011
 





0
0
0
 
 
 
F2+F1(-2) 
 
 
F2(1/3) 
 
F1+F2 
 
 
 
Como r(A) = r(A’) = 3 = n (número de incógnitas)  el sistema es 
compatible determinado  tiene solución única 
 
El sistema equivalente es: 








0zy0x0
0z0yx0
0z0y0x
  








0z
0y
0x
  Cs = ( 0 , 0 , 0 ) 
 
Aplicaciones 
1) Un Ingeniero supervisa la producción de tres tipos de automóviles. Se requieren tres clases 
de materiales: metal, caucho y plástico para la producción. La cantidad necesaria para producir 
cada automóvil es: 
 Metal (Kg./auto) Plástico(Kg./auto) Caucho (Kg./auto) 
1 1.500 25 100 
2 1.700 33 120 
3 1.900 42 160 
 
Si se dispone de un total de 106 Tn. de metal; 2,17 Tn. de plástico y 8,2 Tn. de caucho 
diariamente. Escriba el sistema correspondiente al problema planteado 
 
2) Problema de la pila de monedas de Fibonacci 
Regresamos ahora a ese famoso problema de la pila de monedas, que resolvió Fibonacci hace 
algunos siglos. 
100
012
011 
 
0
0
0
 
100
030
011 
 
0
0
0
 
100
010
011 
 
0
0
0
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
0
0
0
 
84 
 
“Tres hombres poseen una sola pila de monedas de las cuales a cada uno le 
corresponde 
2
1
, 
3
1
 y 
6
1
 del total respectivamente. Cada uno toma algo de dinero de la 
pila hasta que no queda nada. El primero regresa 
2
1
de lo que tomo, el segundo 
3
1
 y el 
tercero 
6
1
. Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre 
que cada uno posee lo que le corresponde. ¿Cuánto dinero había en la pila original, y 
cuánto tomó cada uno de esa pila?” 
 
Resolución: 
Llamemos x : la cantidad de monedas que tomó el 1º hombre de la pila de monedas 
 y: la cantidad de monedas que tomó el 2º hombre de la pila de monedas 
 z: la cantidad de monedas que tomó el 3º hombre de la pila de monedas 
 w: la cantidad de dinero original. 
Como no quedan monedas después que los tres hombres retiran, entonces: x + y + z = w 
 
Los tres hombres reintegran un total de x/2 + y/3 + z/6 , porque devolvieron respectivamente 
2
1
, 
3
1
 y 
6
1
 de lo que tomaron al principio. Esta cantidad se divide por igual y así cada uno 
recibe 






6
z
3
y
2
x
3
1
 
Así entonces el primer hombre tiene: x - 
2
x
 = 
2
x
, que quedaron después de haber regresado, 
además de 






6
z
3
y
2
x
3
1
. El total debería ser lo que le corresponde, o sea 
2
w
. Así 
 
2
x
 + 






6
z
3
y
2
x
3
1
 = 
2
w
 (1) 
De igual manera, el segundo hombre tiene y - y
3
1
= y
3
2
, después de haber hecho el 
reintegro, mas lo que le regresaron ( 






6
z
3
y
2
x
3
1
). El total debe se igual a lo que le 
corresponde, es decir 
3
w
. Así: 
 y
3
2
 + 






6
z
3
y
2
x
3
1
 = 
3
w
 (2) 
85 
 
Por último, el tercer hombre tiene z - 
6
z
 = z
6
5
, después de haber hecho el reintegro, más lo 
que le regresaron ( 






6
z
3
y
2
x
3
1
). El total debe ser lo que le corresponde, es decir 
6
w
. Así: 
 z
6
5
 + 






6
z
3
y
2
x
3
1
 = 
6
w
 (3) 
 
Por lo tanto se tiene el siguiente sistema: 
 















0w
6
1
z
18
16
y
9
7
x
6
1
0w
3
1
z
18
1
y
9
7
x
6
1
0w
2
1
z
18
1
y
9
1
x
3
2
0wzyx
 
Aplicando el método de Gauss - Jordan, obtenemos: 
 
 
 
 
 r(A) = r(A`) = 3 < n = 4  S. C. I. 
  












0w
47
1
z
0w
47
13
y
0w
47
33
x
  












w
47
1
z
w
47
13
y
w
47
33
x
  w  
 
Es decir que se tienen infinitas soluciones que se pueden expresar de la forma: 
Cs = 












w / w, w
47
1
 , w
47
13
 , w
47
33
 
 
No se sabe si Fibonacci determinó el conjunto solución completo. Pero si calculó la solución 
particular al igualar w = 47, para la que se obtiene x = 33, y = 13 , z = 1, 
 
 
6
1
18
9
7
6
1
3
1
16
9
7
6
1
2
1
18
1
9
1
3
2
1111




 
0
0
0
0
 
0 0 00
47
1
 1 00
47
13
 0 10
47
33
 0 01



 
0
0
0
0
 
86 
 
3) Manufactura 
R.S.C.L.S. y Asociados fabrica tres tipos de computadoras personales: Ciclón, Cíclope y 
Cicloide. Para armar un Ciclón se necesitan 10 horas, 2 para probar sus componentes y 2 
horas para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas de 
armado, 2,5 horas para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la 
línea, necesita 6 horas de armado, 1,5 horas de prueba y 1,5 horas de instalación. 
Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas 
para probar y 320 horas para instalar, ¿cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? 
 
Resolución: 
Sean x , y , z las cantidades de Ciclones, Cíclopes y Cicloides producidas cada mes. Entonces 
se necesitan 10 x + 12 y + 6 z horas para armar las computadoras. Por consiguiente: 
10 x + 12 y + 6 z = 1560. De esta misma forma se obtienen ecuaciones para la prueba y la 
instalación. 
El sistema que resulta es: 








320z5,1y2x2
340z5,1y5,2x2
1560z6y12x10
 cuya solución es x = 60, y = 40 , z = 80 
 Cs = (60 , 40 , 80) 
 
Respuesta: Cada mes se pueden fabricar 60 Ciclones, 40 Cíclopes y 80 Cicloides. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
4) EJERCICIO INTEGRADOR 
¿Cuáles de estos sistemas se pueden resolver por todos los métodos estudiados, sin efectuar 
cálculos? 
SISTEMA 1 nm  
 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
 
SISTEMA 4 
 





223
1
zyx
wzyx
 
SISTEMA 7 











13
03
232
1
zyx
zy
zyx
zyx
 
SISTEMA 2 
 








545
723
2
zyx
zyx
zyx
 
0 
SISTEMA 5 nn 
 










nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
 
SISTEMA 8 
 








535
23
12
431
432
421
xxx
xxx
xxx
 
SISTEMA 3 











0532
02
043
02
twv
wvu
twvu
twvu
 
0 
SISTEMA 6 








087
0223
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
0 
SISTEMA 9 








0
51
0
32
zx
yx
 
 
 Para responder a la pregunta deben recordar todos los métodos de resolución que se vieron, 
como así también las condiciones para poder aplicar cada método. 
Encuentran que, los métodos de resolución estudiados, son: 
# Regla de Cramer Sistemas n x n 
# Mediante inversión de matrices condición 0 
 Sistemas m x n 
# Método de Gauss – Jordan y análisis de rangos. 
 
Deben determinar el orden de los sistemas y deducir que los sistemas de distinto número de 
ecuaciones que de incógnitas no pueden resolverse por todos los métodos; no pueden aplicar 
Cramer, ni matriz inversa. Es decir que se descartan los sistemas 1, 4 y 7. 
Además, en la tarjeta 8 el sistema tiene 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Por lo tanto, descartan 
el sistema 8. 
88 
 
Con el sistema 9, tienen que ordenar el sistema: 




05
032
xz
xy
 que tiene 2 ecuaciones y 3 
incógnitas. Se descarta la tarjeta 9. 
El sistema 3 es homogéneo y el determinante es cero, por lo que tiene infinitas soluciones. 
También se descarta el sistema 3. 
El sistema5 requiere de cálculos y analizar el determinante. Se descarta el sistema 5. 
El sistema 6, al ser homogéneo y el determinante distinto de cero, tiene solución trivial y por 
lo tanto no necesita resolverse por ningún método; pero el hecho de tener determinante 
distinto de cero implica que puede resolverse por Cramer, Matriz inversa y por Gauss - 
Jordan. 
El sistema 2 también se puede resolver por todos los métodos. Al ser 0 se puede 
aplicar Cramer y Matriz inversa, y no hay restricciones Gauss - Jordan. Por lo tanto la 
respuesta es: 
 
 
 
 Ejercicios Propuestos 
1.- Clasifique y resuelva el siguiente sistema mediante el método de Gauss-Jordan. Si es 
compatible indeterminado dé la solución general. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.- Determine para que valores de “m” el siguiente sistema admite infinitas soluciones: 
a) 








6 m zm 9y 
z 9 5y 2x 
 3 2z-y x 
2
 
 
 
 
a) 








0 5z 4y -x 
0 z2y 3x 
 0 3z y -x 2
 b) 








1- z -y 2x -
1 z2y -3x 
 1- 2z x 
 
c) 








2 2w z y -3x 
6 2w z -y x 
2 - w z y -x 
 d) 








0 z x 
0 zy x 
 0 3z y -x 
 
Los sistemas 2 y 6 se pueden resolver por todos los métodos sin efectuar cálculos. 
 
89 
 
3.- Resuelva el sistema de ecuaciones A . X = B, sabiendo que: A = 





 4 2 - 0 
 3 2 1 
 y 
B = 





 3 -
 4 
 
4.- Dado el sistema 








0 x 10 z m 6y 
5x - 5 - 8z 3y
1 z y 2x 
, analice, usando el teorema de Rouché-Frobenius, 
para que valores de “m” no tiene solución. 
5.- Dadas las matrices A =










 010
20 0 
 2 31 
 y B =   201 - : 
i) Calcule A-1. 
ii) Usando la inversa calculada en el apartado anterior resuelva el sistema A . X = B t. 
 
6.- Calcule los valores de “m” para los cuales el sistema 








0 x x x) 1 m ( 
0 x) 1 m ( x x
 0 x x) 1 m ( x
321
321
321
, admite 
soluciones no triviales. 
 
7.- Usando el método de Gauss-Jordan, determine para qué valores reales de “m” y “p” el 
siguiente sistema admite solución única 








1- pz y 2x 
1 z2y x 
 m z 4y 3x 
 
8.- Dado el sistema 








0 z y x -
0 zy 2 x 
 0 y x k 3
 determine el o los valores de “k” de manera tal que el 
sistema sea compatible determinado. 
9.- Dado el sistema 








0 y 2x 
0 z x 
 0 z -y x 
 , averigüe, usando notación matricial, si la terna 
 (-a , 2a , a) con a   es solución del mismo. 
 
90 
 
10.- Dado el sistema 





222
111
c y b x a 
c y b x a 
si “A” es la matriz de los coeficientes y “C” la matriz 
de los términos independientes, escriba el sistema de ecuaciones correspondiente a: 
(I – A) X = C. 
11.- Averigüe si el sistema 








0 z y 2 
0 y m 3 x m -
 m y 3 - x ) 2 - m (
es crameriano  m  . Explique. 
12.- Dado el sistema de ecuaciones 








 5 zn -y n k x 
2 - z m y k -n x 
1 - zk y n x m 
, calcule los valores de m, n y k, 
sabiendo que la terna ( 1 , 0 , - 1 ) es una solución del mismo y escriba el sistema resultante. 
 
13.- Determine para qué valores de “a” y “b” el siguiente sistema de ecuaciones es 
homogéneo y compatible indeterminado: 








2b z 2 y a x 
0 z y 
 0 z x a 
 
14.- Si en un sistema de ecuaciones el valor de una de sus incógnitas se obtiene a partir de la 
siguiente igualdad: 
x = 
130 
 1 -21 
 2 11 
1 35 
 1 -22 - 
 2 10 
, 
i) 
ii) 
iii) i) reconstruya el sistema correspondiente. 
iv) ii) clasifique el mismo según su solución. 
v) iii) calcule solo el valor de “x”. 
 
15.- En cada uno de los siguientes apartados marque con una cruz la única respuesta 
correcta: 
a) Dado el sistema: 








0 z 2y x -
z 5 - y -2x 
 0 4z y -x 
, podemos asegurar que: 
 Es compatible determinado Es incompatible Es no homogéneo 
 
 Es compatible indeterminado No se puede clasificar 
91 
 
b) El sistema 








 3 2z y - x 
 1 m 2 - z 2 y - 
m z 2 -y 2
es incompatible para: 
 m  - 1 m = 1 m  1 m = - 1 Ninguno de los anteriores. 
 
c) Si X0 es una solución del sistema A .X = B, con A  M
m x n y m < n, según el teorema de 
Rouché- Frobenius se verifica que: 
 r (A)  r ( A´ ) r (A) = r ( A´ ) > n r (A) = r ( A´ ) = n 
 r (A) = r ( A´ ) < n Ninguno de los anteriores 
d) El conjunto solución del sistema 








0 x3 x
0 x x x
 0 x2 x
31
321
31
 está dado por: 
    / x x, x3 - , x2 - 3333    / x x, x2 - , x3 - 3333 
 












 / x
2
x
 , x, x3 - 2
2
22    x / x x, x2 - , x3 - 32323 
e) El sistema de ecuaciones 





0 y k x )k 2 - 3 ( 
0 y k x 
 es compatible indeterminado, para: 
 k  - 3 y k  1 k  3 y k  - 1 k = - 3 ó k = 1 
 k = 3 ó k = - 1 Ninguno de los anteriores 
 
f) El sistema de ecuaciones 








k x3 x) 2 - a ( 
0 x3a xa - 
0 x x2 
21
21
32
es homogéneo y compatible 
indeterminado, para: 
 a   y k = 0 a = 3 ó a = 0 y k = 0 a = 0 ó a = 1 y k = 0 
 a   y k   Ningún valor real de a , k 
g) La matriz 










 4 1 - 2 0 
2 1 - 0 0 
 3 1 - 0 1 
es equivalente a la matriz ampliada de un sistema de 
ecuaciones. Entonces la solución de dicho sistema es: 
 (1, 2, - 1) (-1, 1, - 1) (1, -1 , - 2 ) 
 (1, -2, - 1) Otro; indique… 
 
 
POR ÚLTIMO EL MAPA CONCEPTUAL SIGUIENTE REFLEJA TODA LA TEORÍA ESTUDIADA: 
 
 
Sistemas De Ecuaciones Lineales m x n 
A m x n . X n x 1 = B m x 1 
T. R. F. 
Compatible Incompatible 
Determinado Indeterminado 
Cramer Inversa Eliminación 
de Gauss 
Gauss Jordan 
Interpretación 
Geométrica 
R2: Rectas R3: Planos 
Rectas que 
se cortan en 
un punto. 
Rectas 
coincidentes 
Rectas 
paralelas 
Planos que se 
intersectan en 
un punto. 
Los planos se 
intersectan en 
una recta 
Planos 
paralelos 
 Análisis de 
la 
 Solución 
r (A) = r (A ) 
Infinitas 
Soluciones 
Solución 
Única 
m = n =2 
Solución 
 Única 
Inf. 
Soluciones 
No tiene 
Solución 
 r (A)  r(A) 
m = n = 3 
Solución 
Única 
Inf. 
Soluciones 
No tiene 
Solución 
 
 
B0 
Sist. Homogéneo 
B=0 
m = 2 
n = 3 
R3: Rectas 
Infinitas Soluciones 
Planos Paralelos 
No tiene solución