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UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS Tutor: Autora: Msc. José Tesorero Licda. Rina Flores Bárbula, noviembre de 2015 ii UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS Autora: Licda. Rina Flores Tutor: Msc. José Tesorero Trabajo de Grado presentado ante la dirección de estudios de postgrado de la Universidad de Carabobo para optar al Título de Magíster en Educación Matemática. Bárbula, noviembre de 2015 iii UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA AVAL DEL TUTOR Dando Cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303 en mi carácter de Tutor del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del jurado examinador que se le designe. En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince. ___________ Firma C.I: iv UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA AUTORIZACIÓN DEL TUTOR Dando cumplimiento a lo establecido en el Reglamento de Estudios de Postgrado de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, quien suscribe PROF. JOSÉ TESORERO titular de la cédula de identidad Nº 3.307.303, en mi carácter de tutor del Trabajo de Maestría titulado: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” presentado por la ciudadana RINA FLORES titular de la cédula de identidad Nº 16.245.120, para optar al título de Magister en Educación Matemática, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y meritos suficientes para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del jurado examinador que se le designe. En Bárbula a los trece días del mes de mayo del año dos mil quince. ___________ Firma C.I: v UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA INFORME DE ACTIVIDADES Participante: Rina Flores Cédula de Identidad: 16.245.120 Tutor: Prof. José Tesorero Cédula de Identidad: 3.307.303 Correo electrónico del participante: rinafloressantiago@hotmail.com Titulo del Trabajo: “DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS” Línea de Investigación: Enseñanza, aprendizaje y evaluación de la educación matemática. Sesión Fecha Hora Asunto Tratado Observación 1 14/01/15 8am Titulo y Planteamiento ----------------- 2 28/01/15 8am Objetivos y Justificación ----------------- 3 04/02/15 8am Antecedentes y Bases Teóricas ----------------- 4 18/02/15 8am Metodología e Instrumento ----------------- 5 11/03/15 8am Instrumento y Confiabilidad ----------------- 7 18/03/15 8am Análisis de Resultados ----------------- 8 01/04/15 8am Propuesta ----------------- 9 15/04/15 8am Conclusiones/Recomendaciones ----------------- Declaramos que las especificaciones anteriores representan el proceso de dirección del Trabajo de Grado. Tutor Participante C.I: 3.307.303 C.I:16245120 vi Agradecimientos A Dios Todopoderoso, por bendecir cada mañana y enseñarme que no existen fracasos solo aprendizajes. Por hacerme entender que no estaba sola y que cada día es un nuevo comienzo para hacer las cosas distintas. A La Virgen Milagrosa, por alimentar mi espíritu en cada momento y cuidar de mis seres queridos. A Mis Padres, por darme la vida y sembrar en mí los valores de respeto, trabajo, dedicación y perseverancia. A la Magna Universidad de Carabobo, por ser cobija de mis aprendizajes y el guía de cada meta. A mi Profesor José tesorero, este logro no fue posible sin su ayuda y su calidad humana me permitió aprender que cada persona tiene diferentes ritmos de vida, espero que se sienta orgulloso y decirle que no lo voy a defraudar, seguiré aplicando todo lo que me enseño. A mis Hermanos, Rolando y Ronald que día a día están a mi lado ayudándome en cada meta que abordo y han secado cada lagrima desprendida. A mis Sobrinos, Michel, Edison, Ronaldo y Rosmelis por llenar nuestra casa de alegría y por encontrar en tía el ejemplo que deben superar. A mis Estudiantes, Antoni, María, Carlos, Yadira, Rossana, Ruthbeli, Luis y Eliezer por su colaboración y entusiasmo en cada clase la cual me compromete en mi labor. A mi Hermosa Hija, por confiar en mamá y entender a tu temprana edad que mami está esforzándose para darte un futuro como el que te mereces. Te amo inmensamente y cada lucha en mi vida lleva tu nombre escrito Valeria Isabel. A todos gracias de corazón… vii Dedicatoria Por derramar sus bendiciones sobre mi y llenarme de su fuerza para vencer todos los obstáculos. A Dios. A mis profesores que en este andar por la vida, influyeron con sus lecciones y experiencias en formarme como una persona de bien y preparada para los retos que pone la vida, a todos y cada uno de ellos les dedico cada una de estas páginas de mi Trabajo de Grado. Mis Profesores. Con todo mi cariño y mi amor a mi familia que hicieron todo en la vida para que yo pudiera lograr mis sueños, por motivarme y darme la mano cuando sentía que el camino se terminaba, a ustedes por siempre mi corazón y mi agradecimiento. Mi Padre, Madre, Hermanos y Sobrinos. Posiblemente en este momento no entiendas mis palabras, pero para cuando seas más grande, quiero que te des cuenta de lo que significas para mí. Eres la razón por la cual me levanto cada momento para esforzarme por el presente y el mañana, eres mi principal motivación, por eso y mil razones más te dedico este logro que es tuyo también. Te amo infinitamente. Mi Valeria Isabel. viii UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA DISEÑO INSTRUCCIONAL PARA EL APRENDIZAJE DE SECCIONES CÓNICAS Autora: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero. Año: 2015 RESUMEN El propósito fundamental de esta investigación consistió en realizar un diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones cónicas de los estudiantes del sexto semestre de Geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, utilizando los cambios de registros algebraicos a geométricos y viceversa. El estudio se fundamenta en la Teoría de Raymond Duval (1988). La metodología, se enmarcó en la modalidad de proyecto factible, con diseño descriptivo y de campo. Se realizó dicha investigación con una muestra de 13 estudiantes los cuales representan un 72% del total de los estudiantes de la asignatura, ya que el resto de los estudiantesque pertenecen a la población se utilizó para realizar el estudio de confiabilidad del instrumento aplicado logrando un coeficiente de 0,92. El instrumento de recolección de datos se encuentra organizado de forma cerrada y por selección de 4 opciones de respuesta de las cuales se reduce a una correcta y tres incorrecta en cada ítem. Luego se resumieron los resultados en cuadros y gráficos estadísticos en los que se observó una discrepancia en cuanto al reconocimiento entre registros algebraicos y geométricos y viceversa. Todo lo antes expuesto evidenció la problemática y las razones para la construcción del diseño instruccional la cual está constituido por sesiones de contenido y cada sesión contempla los indicadores necesarios para lograr el avance paulatino en la comprensión de cada cónica. Línea de Investigación: Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación de la Educación Matemática. Palabras Clave: Diseño Instruccional, Secciones Cónicas, Registros Algebraicos y Registros Geométricos. Temática: Proceso de enseñanza y aprendizaje en los diferentes niveles y modalidades de la Educación Matemática. ix UNIVERSITY CARABOBO FACULTY OF EDUCATION SCHOOL OF EDUCATION GRADUATE ADDRESS MASTERS DEGREE IN MATH EDUCATION INSTRUCTIONAL DESIGN FOR LEARNING CONIC SECTIONS Author: Licda. Rina Flores. Tutor: Msc. José Tesorero. Year: 2015 ABSTRACT The fundamental purpose of this research consisted of making a instructional design for learning of conic sections of students the sixth semester of Geometry II of the Faculty of Sciences of the Education of the University of Carabobo, using the changes of algebraic records to geometric and vice versa. The study is based in the Theory of Raymond Duval ( 1988). The methodology , was framed in the modality of feasible project , with descriptive and field design . This research was conducted with a sample of 13 students who represent 72 % of all students of the subject , since the rest of the students who belong to the population used for the study of reliability of the instrument applied achieving 0.92 coefficient . The instrument of data collection is organized in a closed and choice of 4 possible answers of which is reduced to a correct and three incorrect on each item. Then the results were summarized in statistical tables and graphs showing a discrepancy in the recognition between algebraic and geometric observed records and vice versa . All the above showed the problems and the reasons for the construction of instructional design which consists of content sessions and each session includes the indicators needed to achieve gradual progress in understanding each cone. Research Line : Teaching, Learning and Assessment of Mathematics Education. Key Words: Instructional Design, Conic Sections, algebraic records and geometric records. Topic: teaching and learning process in the various levels and modalities of Mathematics Education. x INDICE GENERAL Pág. PRELIMINARES…………………………………………………………. iii AGRADECIMIENTOS…………………………………………………… vii DEDICATORIA…………………………………………………………… viii RESUMEN……………………………………………………………….… x ABSTRACT……………………………………………………………….. xi INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 15 1. EL PROBLEMA.……..………………………………………………... 18 1.1. Planteamiento y Formulación del Problema……………………….. 18 1.2. Objetivo General…………………………………………………… 24 1.3. Objetivos Específicos………………………………………………. 24 1.4. Justificación de la Investigación…………………………………… 25 2. MARCO TEÓRICO…………………………………………………… 28 2.1. Antecedentes de la Investigación...………………………………… 28 2.2. Fundamentos Teóricos……………………………………………... 31 2.2.1. Registros de representación, comprensión y aprendizaje…… 31 2.2.2. Diseño Instruccional………………………………………… 33 2.3. Definición de Términos Básicos…………………………………… 35 3. MARCO METODOLÓGICO………………………………………… 37 3.1. Tipo y Diseño de Investigación……………………………………. 37 3.2. Población y Muestra de Estudio…………………………………… 38 xi 3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos………………....... 38 3.4. Validación y Confiabilidad del Instrumento……………………….. 39 4. RESULTADOS 41 4.1 Análisis e Interpretación de los Resultados………………………… 41 4.2. Conclusiones del Diagnóstico……………………………………… 56 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 57 5.1. Conclusiones……………………………………………………….. 57 5.2. Recomendaciones………………………………………………….. 59 6. LA PROPUESTA………………………………………………………. 61 6.1. Presentación y Justificación de la Propuesta………………………. 61 6.2. Objetivo General de la Propuesta………………………………….. 62 6.3. Objetivos Específicos de la Propuesta……………………………... 62 6.4. Descripción de la Propuesta………………………….…………….. 63 6.5. La Propuesta………………………………………………………... 65 APÉNDICES…………………………………............................................. 138 Anexo A………………………………………………………………... 140 Anexo B………………………………………………………………... 145 Anexo C………………………………………………………………... 148 Anexo D………………………………………………………………... 151 Anexo E………………………………………………………………... 154 Anexo D………………………………………………………………... 155 REFERENCIAS………………………………………………………........ 156 xii INDICE DE TABLAS DE DISTIBUCIÓN Tabla de Distribución 1.1…………………………………………………. 42 Tabla de Distribución 1.2…………………………………………………. 42 Tabla de Distribución 2.1…………………………………………………. 43 Tabla de Distribución 2.2…………………………………………………. 43 Tabla de Distribución 3.1…………………………………………………. 44 Tabla de Distribución 3.2…………………………………………………. 44 Tabla de Distribución 4.1…………………………………………………. 45 Tabla de Distribución 4.2…………………………………………………. 45 Tabla de Distribución 5.1…………………………………………………. 46 Tabla de Distribución 5.2…………………………………………………. 46 Tabla de Distribución 6.1…………………………………………………. 47 Tabla de Distribución 6.2…………………………………………………. 47 Tabla de Distribución 7.1…………………………………………………. 48 Tabla de Distribución 7.2…………………………………………………. 48 Tabla de Distribución 8.1…………………………………………………. 49 Tabla de Distribución 8.2…………………………………………………. 49 Tabla de Distribución 9.1…………………………………………………. 50 Tabla de Distribución 9.2…………………………………………………. 51 Tabla de Distribución 10.1………………………………………………... 52 Tabla de Distribución 10.2………………………………………………... 52 Tabla de Distribución 11.1………………………………………………... 53 Tabla de Distribución 11.2………………………………………………… 53 Tabla de Distribución 12.1………………………………………………... 54 Tabla de Distribución 12.2………………………………………………... 54 Tabla de Distribución 13………………………………………………….. 55 xiii INDICE DE GRÁFICOS Gráfico 1…………………………………………………………………… 42 Gráfico 2…………………………………………………………………… 43 Gráfico 3…………………………………………………………………… 44 Gráfico 4…………………………………………………………………… 45 Gráfico 5…………………………………………………………………… 46 Gráfico 6…………………………………………………………………… 47 Gráfico 7…………………………………………………………………… 48 Gráfico 8…………………………………………………………………… 49 Gráfico 9…………………………………………………………………… 50 Gráfico 10………………………………………………………………….. 51 Gráfico 11………………………………………………………………….. 52 Gráfico 12………………………………………………………………….. 53 Gráfico 13………………………………………………………………….. 54 INTRODUCCIÓN Ser educador implica no solo dominar un contenido específico e impartir una clase magistral. El educador en la actualidad cumple con roles de investigador, facilitador, administrador, evaluador y planificador de las actividades a desarrollar con los educandos durante el proceso de enseñanza y aprendizaje. La actividad involucra al educador en el desarrollo de los individuos que están a su cargo, y de una manera integral, se debe ser participes de la formación intelectual y académica de ellos y además buscar que dicho estudiante obtenga una continuación en su proceso educativo. Por otra parte las Facultades donde se imparte la Educación Matemática de las Universidades Venezolanas, son las instituciones, que tienen la responsabilidad de formar a los formadores del mañana, y son dichas instituciones las que deben ser seno de discusiones para mejorar el rendimiento académico en las asignaturas propias aldesarrollo del pensamiento. Bajo este marco de ideas se evidencian las razones por la cual se realizá el estudio, describiéndose de la siguiente manera: En el Planteamiento del Problema, se relata las razones por la cual se evidencia la problemática desde hace años y además el eje focal que presentan las secciones cónicas dentro de la geometría II. Los egresados de educación matemática deben ser los pioneros en el uso de cambios de registros pues solo así se consolida el aprendizaje en los estudiantes y por ende los futuros formadores. En cuanto a las asignaturas de la matemática deben poseer la capacidad de relacionar contenidos que imparten con resolución de problemas en la cotidianidad. En el Marco Teórico, se evidencia las diversas investigaciones fundamentadas en la teoría de Duval sobre los cambios de registros para la aprehensión del conocimiento y la verificación de dichos tratamientos sobre ecuaciones y lugares geométricos. Duval hace énfasis entre el objeto matemático y sus posibles representaciones, es decir, un objeto matemático obtiene diversas manifestaciones de representación, y a su vez cada representación asume un conjunto de criterios propios de su escritura. En otras palabras cada cambio de registro o representación genera una pluralidad de resolución de ejercicios y además trae consigo explotar en el individuo su potencialidad en la construcción de alternativas de solución. De esta manera es que se conciben las actividades cognitivas inherentes a la Semiosis y a la capacidad de expresar una representación mental y hacerla real, a su vez producir representaciones distintas a la inicial de forma espontanea. En el Marco Metodológico, se enmarca en la modalidad de proyecto factible bajo un apoyo descriptivo y de campo, donde se analizó el conocimiento de los estudiante referente a las secciones cónicas y como relacionan las vertientes de registros. Además se señala la estructura del instrumento de selección entre cuatro opciones de respuesta. La muestra es representada por 13 estudiantes entre el turno diurno y nocturno, es decir, un 72% de muestra representativa; ya que dentro de la población se seleccionaron 5 estudiantes los cuales se les aplicó la prueba piloto para determinar la confiabilidad del instrumento, la cual alcanzó un rango de 0,92, ubicándose en un nivel muy alto de satisfacción estadísticamente. En el Análisis e Interpretación de los Resultados, se aplicó procedimientos estadísticos para presentar los datos en forma de cuadros y gráficos, para lograr un análisis cuantificable de cada dimensión de la variable de aprendizaje. Evidenciándose en cada ítems de la prueba que existe un alto porcentaje de dificultad para encontrar el lugar geométrico dada la gráfica pero más alto es el índice cuando 19 se parte de la gráfica alcanzando hasta un 77% en desaciertos en cuanto a las respuestas presentadas en el muestreo por cada dimensión. Debido a estos resultados se evidenció la necesidad de elaborar la propuesta de un material instruccional sobre secciones cónicas para los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. La Propuesta, se encuentra organizada por 5 sesiones que intentan facilitar e incentivar el potencial de cada curva cónica; resaltando todas las vertientes que la definen, elementos algebraicos, elementos geométricos, incorporación de conocimientos previos para obtener nuestras estructuras algebraicas y geométricas y además una incorporación a la cotidianidad donde se enfatiza la relación inseparable y complementaria de los registros algebraicos y geométricos. Por otra parte se muestra como apéndices los pre-requisitos, definiciones y soluciones a todo lo presentado en cada sesión de aprendizaje, y posteriormente se presenta una autoevaluación con la finalidad de verificar el aprendizaje consolidado. Todo lo antes expuesto señala la factibilidad de dicho módulo de aprendizaje y la necesidad de incorporarlo al sistema educativo como una posibilidad de concebirlo como guía de estudio y avance a las clases de geometría II; para encontrar una aprehensión de las definiciones de cada sección cónica de acuerdo con la exigencia oficial que se requiere en estudiantes universitarios. 20 1. EL PROBLEMA 1.1 Planteamiento y Formulación del Problema La educación constituye la base fundamental del desarrollo holístico de una nación y tiene por objetivo esencial proporcionar a todo individuo los conocimientos y competencias necesarias para que pueda integrarse a la sociedad y participar en ella de manera eficiente y productiva, tanto para su propio beneficio como para que pueda contribuir al desarrollo y progreso de la sociedad misma. Así la proyección universal de la educación, tanto científica y tecnológica como humanista, es de preparar a los individuos para la vida en los aspectos fundamentales que requiere su colectividad. En otro orden de ideas, la sociedad actual está marcada por la tecnología, la información y el conocimiento, situación donde se antepone la matemática como elemento clave en el sistema educativo, por considerarla ciencia fundamental de todo saber científico y tecnológico en la que se reconoce su importancia como la única asignatura capaz de desarrollar el pensamiento de los estudiantes de una forma constructiva y crítica. Asimismo, se considera que las competencias matemáticas son pilares básicos de la educación sistemática en todo el mundo. Aun cuando, a nivel global los esfuerzos pedagógicos por masificar el potencial matemático de los estudiantes han sido reportados frecuentemente ineficientes, con excepción de algunos países como Japón, China, Taiwán, Corea y Singapur, y de algunos pocos países europeos como Hungría y Alemania, hay preocupación por los resultados de la educación matemática escolar. Esto se observa en Program for International Student Assessment (Pisa, 2009), donde se estableció la media ponderada de (500 puntos) como el promedio 21 evaluado; por encima de dicho promedio se situaron 20 países y el resto por debajo, con un total de cincuenta y siete (57) países participantes y entre ellos se ubicaron países latinoamericanos, los cuales solo presentaron un promedio de 394 puntos ubicándose por debajo del promedio general de la evaluación, mostrando así las debilidades en la educación matemática lo que obstaculiza el desarrollo científico de un país. Al mismo tiempo, la situación en Latinoamérica es aún más grave, en el informe de Programa de Promoción de la Reforma Educativa en América Latina (PREAL, 2009), donde se presenta tal situación como un estado de cantidad y no de calidad, en dicho informe se estudian situaciones políticas, económicas, sociales y académicas; expresando la situación alarmante de los conocimientos matemáticos básicos para el desenvolvimiento de un ciudadano eficaz. En este orden de ideas, es necesario atender la necesidad prioritaria en cuanto a lo educativo aunque cada país presente diferencias y situaciones problemáticas de diversas índoles. De la misma manera, Venezuela no se escapa a esta realidad, donde la situación de cambios educativos en la última década ha proporcionado una revisión interna permanente del sistema educativo y no se conocen cifras referenciales de comparación con otros países. Sin embargo, es importante destacar que en todos los ensayos de reformas educativas la matemática constituye una de las bases pedagógicas primordiales y necesarias a fin de potenciar la ciencia y la tecnología nacional para reducir a mediano plazo la dependencia de los polos de desarrollo. A pesar de los esfuerzos, los registros de evaluación del desempeño matemático de los estudiantes presentan indicadores negativos en bajo rendimiento, repitencia y disminución de la matrícula en estudiosde matemáticas o carreras afines. Según Vidales (2009), “la matemática dentro del sistema educativo se ha convertido en un factor de deserción escolar y de exclusión en todos los niveles, 22 iniciando desde la básica y generando una debilidad “in crescendo” a medida que escala de nivel escolar” (p. 177), es decir, que el individuo que ingresa a un estudio universitario afín con la asignatura de matemática, paradójicamente no posee un conocimiento bien sólido y maduro, lo que impide la capacidad de abstraer con facilidad lugares geométricos. De la misma manera, hace referencia Grande (2013), donde manifiesta que muchos docentes de educación superior necesitan realizar bloques de contenidos de repaso pues las deficiencias geométricas, aritméticas y hasta para análisis son elevadas y hasta poco significativas para iniciar el contenido programático de la asignatura que se desea impartir. Todo lo antes expuesto ha llevado a una movilización de la educación matemática desde los primeros años de inicial hasta las universitarias, a través de talleres que se articulan en mesas de trabajo donde muestran un recordatorio de estrategias y métodos de enseñanza y aprendizaje así como mecanismo de evaluación; ya que el docente actualmente se ha focalizado en su mayoría en una sola estrategia, método y hasta minimiza la evaluación a un conjunto único, expresado por Mora, (2003). Según Duval (1998), considera que la problemática de la educación matemática se encuentra en la particularidad del aprendizaje que hace estas actividades requieran de la utilización de sistemas de expresión y de representación distintos a los del lenguaje natural o de las imágenes por ejemplo: planos cartesiano, diagramas, ecuaciones, polinomios proposicionales, entre otros que son considerados paralelos al lenguaje natural de comunicación, y que si no se comprueba una relación estrecha entre dichos lenguajes comunicativos entonces se hace evidente los vacios de conceptualización de las definiciones matemáticas. 23 Intrínsecamente al estudio de la matemática, se encuentra la geometría como eje integrador del entorno del ser humano y las definiciones matemáticas, dicho estudio origina la posibilidad de interactuar con el espacio y la comprensión del mismo. Es por esta razón, que la geometría recauda importancia al ojo de muchos observadores, lo cual evidencia un alto índice de aplazados sobre todo en el contenido de secciones cónicas en reiteradas universidades (Padrón, 2006). Es decir, los estudiantes evidencian déficit en la comprensión de sus contenidos sobre todo en el contenido de secciones cónicas, la cual se considera centro de la geometría pues estas maravillas de curvas han sido catapulta del desarrollo de muchas construcciones y hasta demostraciones de movimientos planetarios, y sin embargo se evidencia cruelmente en los estudiantes debilidades en cuanto a los elementos de la sección cónica, característica, ecuaciones y además inhabilidad para ajustar cierto contenido a la resolución de problemas (Grande, 2013). Dentro de las secciones cónicas, existen dos problemas fundamentales el algebraico y el geométrico (Lehmann, 1980), es decir, se hacen planteamientos de ejercicios desde un registro algebraico para hallar el geométrico y viceversa; pero en su mayoría los estudiantes tienden a no darles importancia al gráfico pues consideran que es innecesario y por esta razón lo trazan con cierta negligencia sin considerar que esa representación gráfica le proporciona alternativas de solución y hasta en ocasiones evidencia complementos necesarios para la decisión de una solución; o por otro lado el gráfico no es de carácter preciso y no son suficientes para hallar la formalidad de una comprobación lógica y mucho menos para considerarlo una resolución incluso hasta en representaciones donde sean evidente sus soluciones, (Bravo, Martínez y Valdes, 2005). De lo antes expuesto, Gascón (1998), señala lo siguiente: 24 Esta disparidad existente entre un registro algebraico y un registro geométrico, son los que inician un vacio dentro de la comprensión de las secciones cónicas de una forma significativa, dejando al estudiante sin motivación a la comprensión de dicha estructura y además mutilando así la posibilidad de que el estudiante resuelva problemas de su cotidianidad que se fundamentan en la construcción o representación de una sección cónica, por ejemplo, no reconocería la importancia de la parábola dentro de la construcción de un puente o no reconoce la importancia de una circunferencia en la tapa de un acueducto hidroeléctrico en medio de una carretera… (p. 32). Como puede entenderse, las representaciones gráficas de una sección cónica alcanzan un 64% de aciertos, y además el estudiante se siente en comodidad para establecer alternativas de solución; mientras que hallar la ecuación dado el lugar geométrico, inicia una limitación dentro del proceso de alternativas de resolución, además de un bajo incide de aciertos (Gascón, 1998). Esta situación acarrea un sin fin de vacios en la consolidación de las definiciones sobre secciones cónicas como por ejemplo no reconocería una parábola en un puente, los elipses en domos, hipérbolas en las ondas de radiofrecuencias, es decir el estudiante no reconocería con exactitud la presencia de dichas secciones cónicas en fenómenos naturales y sobre todo en los arquitectónicos las cuales merecen una exactitud hasta del decimal posicional para lograr la belleza y limpieza en una construcción. Sin ir muy lejos de la realidad existente, una de las grandes debilidades de no explorar la temática de secciones cónicas a través de cambios de registro algebraicos y geométricos es que el profesorado que se desarrolla presenta dificultad para desarrollar planteamientos y ejercicios en torno a un proyecto de aprendizaje de aula apegado a los principios educativos que hoy en día se exigen dentro del sistema educativo Venezolano, MPPE (2009). 25 Es decir, el actual y futuro profesional de la educación matemática debe responder a las necesidades escolares, desde su trinchera reconocer secciones cónicas en su entorno para reescribirlas en un lenguaje matemático, para reestructurarla o modificarla o simplemente crear un proyecto en papel que solucione una situación real, es decir plantear en papel una sección cónica con características solidas para hacerlo realidad. Ambas situaciones ameritan un mismo contenido y sin embargo los algoritmos de solución están libres para que cada estudiante suministre su alternativa de solución y para que cada profesional de la docencia los incorpore de acuerdo a su nivel escolar que este laborando. En otras palabras, los conceptos matemáticos son abstractos, por lo que es necesaria una representación con símbolos para existir con un conjunto de reglas para que sea entendido por un universo de personas. Pero es necesario una conversión entre una representación a otras para una finalidad didáctica dentro del aula de clase (Dorofeiev, 1973). En otras palabras, es necesario que el docente de matemática extraiga de su entorno una sección cónica y la plantee de manera tan sencilla que el resto de las asignaturas también se incorporen de forma natural llegar al fin último que se requiere que es llevar a cabo el proyecto de aula. En decir, los estudiantes no aprenden la vinculación en cuanto a la ecuación y gráfica de las secciones cónicas porque no abordan ejercicios desde el punto de vista vinculativo de registros, como bien se diría resolver ejercicios donde se de la ecuación y se desea obtener la representación gráfica, y luego realizar ejercicios donde se muestre la representación gráfica para hallar la ecuación. Esta situación desprende el desconocimiento de un sin fin de propiedades que obedecen a las propias construccionesde la definición de dicha sección cónica y además la ausencia de dichos cambios de planteamiento de los ejercicios crea alternativas de solución rutinarias, aparte de que el estudiante se encierra y no interactúa con los compañeros 26 para generar alternativas de solución novedosos y capaces de comprobar sus soluciones. Todo lo antes expuesto se hace evidente en los estudiantes del sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, los cuales indican desaciertos en construcciones algebraicas a partir de lugares geométricos, así como un alto grado de incomodidad por este tipo de ítems presentados en las evaluaciones, e indicando una posible disparidad entre los registros algebraicos y geométricos en torno a la misma sección cónica, mutilando la posibilidad de ejercitar la perspicacia innata de los estudiantes de dicho semestre así como alejarse del riesgo de estimular el pensamiento abstracto para una mejor retención en la posterior geometría analítica. De hecho se muestra la dificultad de que el estudiante muestre una fluidez acertada en su labor profesional en cuanto a la construcción de proyectos de aula, (CEMAFI). En consecuencia estos planteamientos dan pie a la reflexión sobre la oportuna utilización de los cambios de registros dentro de la asignatura geometría surgiendo la interrogante, ¿proponer estrategias de aprendizaje en la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación, mejoraría el aprendizaje de los estudiantes del sexto semestre de la Universidad de Carabobo sobre las secciones cónicas?. 1.2. Objetivo General Proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para los estudiantes del sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo. 27 1.3 Objetivos Específicos 1. Diagnosticar el conocimiento que poseen los estudiantes en el contenido secciones cónicas en el sexto semestre de la asignatura de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo. 2. Estudiar la factibilidad de un diseño instruccional para el aprendizaje de secciones cónicas para los estudiantes del sexto semestre de geometría II de la Facultad de Ciencias de la Educación en la Universidad de Carabobo. 3. Diseñar instrucciones para el aprendizaje de secciones cónicas para los estudiantes del sexto semestre de la asignatura geometría II de la Facultad de Ciencias de la educación en la Universidad de Carabobo. 1.3. Justificación de la Investigación Una de las dificultades del aprendizaje de la matemática son los docentes que presentan los contenidos aislados de su desarrollo histórico y social, es decir descontextualizados de la realidad y no se utilizan recursos que permitan un acercamiento a los conceptos mediante la interacción de los diferentes procesos que desarrollan la competencia matemática en los estudiantes. Es decir, los docentes de dicha asignatura no evidencian con facilidad el contenido de sección cónica dentro del desarrollo de un proyecto de aprendizaje de aula, siendo la geometría una de las asignaturas de mayor interacción con el entorno espacial y el sujeto. (Gutiérrez, 2000). De lo antes expuesto, se hace incuestionable la importancia de realizar la investigación a nivel de formadores de la educación matemática para romper la utopía 28 que se ha observado desde la realización de proyecto de aulas la última década. MPPE, (2000). Desde hace dos décadas la teoría de la Semiosis ha cobrado protagonismo pues se ha enfatizado en el estudio de cambios de registro y muy especialmente en la asignatura de geometría, donde su naturaleza siempre presenta dos vertientes de las resoluciones de ejercicios los cuales vienen fundamentados en un registro algebraico y otro geométrico. Muchos de los egresados presentan dichas vertientes como registros de representaciones distintas y poco relacionadas, sin embargo Duval las relaciona desde cualquier punto de vista y desde cualquier característica dejando muy en claro que ambos registros se encuentras estrechamente vinculados pero con conjuntos de signos y criterios de representación distintos, y que respetando cada conjunto de representaciones se obtiene un objeto matemático real expresado en diversos lenguajes comunicativos. Es decir, la representación en un sistema hace “visible” unas características del objeto en estudio y no otras; así que, entre más sistemas de representación “coordinados” tenga un objeto, su conocimiento matemático será más potente y más complejo. (Rojas, 2013). En el mismo sentido de prioridad se muestra las secciones cónicas, pues son contenidos de carácter atractivo para las ciencias que desarrollan a un país y una nación de forma científica y humanista. El estudio de curvas y ambos tratamientos son las que aportan información suficiente sobre estados financieros dentro de una empresa, construcciones, movimientos de piezas dentro de un circuito mecánico y hasta posibles respuestas en cuanto al entendimiento del inesperado universo y sus movimientos planetarios. 29 Por ende, se hace necesario que los docentes de matemática deben tener una actitud reflexiva y crítica sobre sus prácticas que incluyan contextos en que se da la “realidad” matematizable para aproximar a los estudiantes a los conceptos matemáticos, pues las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos. (Gutiérrez, 2000). Otra razón fundamental para la realización de esta investigación es que el cambio de registros algebraicos y geométricos se presentará como opción para colocar tanto al profesor como al estudiante en una situación de mutuo aprendizaje y de construcción de pensamiento matemático generando en el primero competencias pedagógicas y disciplinares y en el otro, una visión diferente del uso de la matemática dadas las necesidades actuales de esta sociedad, surge entonces como resultado de la reflexión y exploración en este ámbito una unidad didáctica que plantea tres situaciones problema diseñadas desde los principios de la educación matemática realista. (Mejías, 1998). En conclusión, dicha pesquisa persigue proponer una mayor productividad e importancia en cuanto a los cambios de registros lo cual da pie para otras investigaciones en diversas áreas del conocimiento y en todos los niveles educativos pero más aun en niveles superiores en todas las carreras, pues solo desde la destreza y dominio de los cambios de registro se puede lograr la masificación de las definiciones que el docente desea enseñar en sus respectivas aulas, así como la explotación del desempeño del estudiante mediante el estimulo para la búsqueda de alternativas de solución. 30 2. MARCO TEÓRICO Dentro del marco teórico se muestran las bases de las diversas teorías y conceptos relativos a la didáctica de la geometría, que orienten el sentido del presente estudio. Teniendo en cuenta estas consideraciones y el esencial carácter teórico práctico del proceso de conocimientos, el cometido que cumplirá el marco teórico en esta investigación, es situar al problema objeto de estudio dentro de un conjunto de conocimientos, lo más sólido posible, a fin de orientar la búsqueda y ofrecer una conceptualización adecuada de los términos utilizados, pudiendo ser manejado y convertidos en acciones concretas. A tal fin, será necesario delimitar los parámetros conceptuales que sustentarán y complementarán el estudio; implicando esto, la inclusión de todos los elementos teóricos ya conocidos y valorados, comolos nuevos y confiables, que servirán de apoyo a elementos implicados en la búsqueda investigativa. En este escenario, se pretende exponer la relevancia de algunos estudios realizados; considerados como antecedentes y puntos de referencia para la presente investigación. Asimismo se presentará las bases teóricas a partir de la postura Modelo de Duval para la didáctica de la Geometría. 2.1. Antecedentes de la Investigación Según Arias (2006), los antecedentes de una investigación “se refieren a los estudios previos relacionados con el problema planteado, es decir, investigaciones anteriores que guardan alguna vinculación con nuestro método de estudio” (p.56). 31 Después de una revisión bibliográfica por parte de la investigadora, se pudo constatar que el tema de estudio ha sido de interés desde hace más de dos décadas, pero a pesar de ellos el número de investigaciones publicadas no es significativo. A continuación se describen algunas investigaciones que le dan soporte y sirven de referencia a la siguiente investigación: Pachano y Terán, (2008), en su investigación titulada “Estrategias para la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la educación básica: Una experiencia constructivista”, el enfoque metodológico que orientó la investigación se corresponde con la perspectiva de la “investigación-acción”, de carácter descriptivo. Las técnicas que se emplearon para recabar la información durante este estudio, es observación participante, notas de campo, análisis de documentos, entrevistas, prácticas evaluadas, fotografías y grabaciones en cinta magnetofónica y en video. Por su parte Cuevas, (2010); realizó una investigación titulada “Objetos de aprendizaje para la enseñanza de lugares geométricos en el plano: recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola”, llevada a cabo durante el II semestre lectivo de (2008), tuvo como objetivo principal diseñar y desarrollar un Material Educativo Computarizado (MEC), que pueda ser utilizado para complementar las clases presénciales de la asignatura de Geometría Analítica que se dicta en el I semestre en la carrera de Ingeniería en la Universidad de Carabobo. La metodología empleada está enmarcada en la modalidad de proyecto factible. El estudio se fundamenta en una investigación documental y de campo. La población objeto de estudio estuvo constituida por docentes y estudiantes de la asignatura. La investigación diagnóstica evidenció la necesidad de mejorar la práctica pedagógica que tradicionalmente se ha empleado, mediante el uso de herramientas computacionales e interactivas donde se pueda observar gráficamente los lugares geométricos y su disposición en el plano. 32 Pérez y Ruiz, (2010) En su investigación desarrollaron “Estrategias Lúdicas Aplicando El Modelo DeVan Hiele como una alternativa para la enseñanza de la Geometría”. Diseñaron actividades lúdicas utilizando el modelo de Van Hiele, dirigidas a estudiantes del séptimo grado de educación básica en la Unidad educativa “Eloy Paredes”,ubicada en el Municipio Libertador del estado Mérida; durante el año escolar 2008-2009, a un grupo de diecisiete estudiantes. La investigación está orientada en una metodología de enfoque cualitativo bajo la modalidad de investigación-acción. Una vez aplicada las estrategias lúdicas se evaluó el alcance de las mismas, a través de las actividades utilizando los niveles de pensamiento y razonamiento de Van Hiele, las cuales evidenciaron un nivel de razonamiento geométrico más elevado en los alumnos. Moreno y García (2012); realizaron una investigación que se enmarcó dentro de un estudio de campo de tipo descriptivo titulado “Diseño de un material educativo computarizado como apoyo didáctico en la interpretación y resolución de problemas de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico y analítico”. El objetivo del presente trabajo consiste en presentar una propuesta de diseño para el desarrollo de un material educativo computarizado como apoyo didáctico en la resolución de problemas de recta tangente. A través del análisis y la interpretación de los resultados obtenidos se concluye que existen deficiencias en el uso de estrategias de enseñanza y aprendizaje apoyadas en materiales didácticos alternativos y actuales en las asignaturas Análisis Matemático I y Geometría Analítica, específicamente en lo que respecta a la interpretación y resolución de problemas de recta tangente en secciones cónicas desde un punto de vista geométrico y analítico. Los trabajos descritos anteriormente tienen relación con la presente investigación, pues plantean; que para enseñar contenidos geométricos hace falta algo más que un simple concepto. Donde la motivación y la posibilidad de manipular 33 objetos son dos opciones necesarias para cumplir esta tarea. Para atender estas intenciones, el docente debe mantener actividades innovadoras permanentes para captar la motivación, atención, manipulación de objetos y aprendizaje, con la utilización de alguna estrategia didáctica. Los cuales lleven al estudiante a la comprensión de las figuras y de los cuerpos geométricos. En los programas de Matemática del país, según Rivero (1997), la Geometría ha sido desplazada a un segundo plano, por lo cual es común que un alto porcentaje de profesores considere los contenidos de Geometría menos importantes que el resto de los contenidos de la asignatura Matemática, otro porcentaje plantea que debido a lo extenso de los programas, no cubren en su totalidad las unidades correspondientes a Geometría. Lo anterior justifica el alerta de Rodríguez (1995), cuando plantea que la Enseñanza de la Matemática en el país se ha convertido en una actividad vacía, en la cual no se toma en cuenta que la Geometría ayuda al individuo a entender, describir e interactuar con el espacio que lo rodea. 2.2. Fundamentos Teóricos 2.2.1. Registros de Representación, Comprensión y Aprendizaje de Duval. Una característica importante de la actividad matemática es el uso de diversos sistemas de expresión y representación, además del lenguaje natural, variados sistemas de escritura para los números, escrituras algebraicas para expresar relaciones y operaciones, figuras geométricas, gráficos cartesianos, redes, diagramas, esquemas,. Un autor que se ha interesado particularmente por este uso variado de los sistemas de representación semiótica es Duval (1995), quién se pregunta: "¿Es esencial esta utilización de varios sistemas semióticos de representación y expresión, o al contrario no es más que un medio cómodo pero secundario para el ejercicio y para el desarrollo de las actividades cognitivas fundamentales?" (p. 3) Considera que esta pregunta 34 sobrepasa el dominio de las matemáticas y de su aprendizaje y apunta hacia la naturaleza misma del funcionamiento cognitivo del pensamiento humano. Duval da una respuesta afirmativa a esta cuestión aportando los siguientes argumentos: 1) No puede haber comprensión en matemática si no se distingue un objeto de su representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números, funciones, rectas, entre otros.) con sus representaciones (escrituras decimales o fraccionarias, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras), pues un mismo objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes. 2) Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre aquello que les está asociado. "Permiten una mirada del objeto en ausencia total de significante perceptible". (p. 20). Las representaciones mentales están ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las imágenes mentales lo están a una interiorizaciónde los preceptos. 3) Las representaciones semióticas son un medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para hacerlas visibles o accesibles a los demás. Además de sus funciones de comunicación, las representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la propia actividad matemática. La posibilidad de efectuar tratamientos (operaciones, cálculos) sobre los objetos matemáticos depende directamente del sistema de representación semiótico utilizado. El progreso de los conocimientos matemáticos se acompaña siempre de la creación y del desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos que más o menos coexisten con el de la lengua natural. 35 4) Diferentes representaciones no pueden oponerse como dominios totalmente diferentes e independientes. La pluralidad de sistemas fundamentos y antecedentes Semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto de sus representaciones mentales. Esta interdependencia entre las representaciones internas y externas la expresa Duval afirmando que "no hay noesis sin semiosis; es la semiosis la que determina las condiciones de posibilidad y de ejercicio de la noesis" (p. 5). La aprehensión conceptual no es posible sin el recurso a una pluralidad al menos potencial de sistemas semióticos, y por tanto su coordinación por parte del sujeto. 5) La coordinación entre las representaciones que provienen de sistemas semióticos diferentes no es espontánea; la conversión de unos sistemas a otros requiere un aprendizaje específico. El problema esencial de la semiosis es el de la diversidad de sistemas de representación y los fenómenos de no-congruencia que resultan por la conversión de las representaciones. La coordinación entre registros no es una consecuencia de la aprehensión conceptual (noesis) sino que, al contrario, el logro de dicha coordinación es una condición esencial de la noesis. 6) Las actividades cognitivas inherentes a la semiosis son tres: formación de representaciones en un registro semiótico particular, para "expresar" una representación mental, o para "evocar" un objeto real; el tratamiento o transformación de una representación dentro del mismo registro; conversión, cuando la transformación de la representación de un objeto, de una situación o de una información produce una representación en un registro distinto al de la representación inicial. 2.2.2. Diseño Instruccional por Dick y Carey En un sentido no restrictivo, el diseño instruccional se puede considerar una disciplina científica de la psicología educativa que investiga los componentes del 36 proceso de enseñanza y aprendizaje. Los conocimientos que genera sirven para establecer las acciones instruccionales específicas más adecuadas para conseguir los resultados de aprendizaje deseados. (Barbera & Badia, 2001) El enfoque planificador tradicional se basa en el modelo denominado ISD - Instructional System Design - utilizado como referencia para organizar la formación en muchas organizaciones. Este modelo está determinado por las aportaciones teóricas efectuadas por Dick y Carey y publicadas en el libro The Systematic Design of Instruction, considerado actualmente como un modelo clásico. (Camps, 2005) En general, el modelo concibe el diseño formativo como un proceso interactivo estructurado en distintas fases: 1. Identificar las metas formativas: En esta fase se determina aquello que las personas deben saber hacer al finalizar el proceso formativo. Para ello se realiza un análisis de necesidades, a partir del cual se establecen las diferencias entre el estado actual y aquello que se pretende conseguir. 2. Analizar las metas formativas: El paso siguiente es establecer qué deben hacer las personas para lograr las metas señaladas y cuáles son los comportamientos necesarios para alcanzarlas. Durante esta fase se determinan cuáles son las tareas o procedimientos que deben realizar las personas para conseguir las metas. 3. Analizar los aprendices y sus contextos: En esta fase se identifican las características de los aprendices, los posibles contextos de prestación de la formación y cómo pueden usarse los conocimientos aprendidos. 4. Escribir los objetivos formativos: Esta fase consiste en escribir los objetivos formativos de manera clara, concisa y de forma que puedan cuantificarse y medirse. 37 5. Desarrollar instrumentos evaluativos: En esta fase se desarrollan los instrumentos que permiten saber si los aprendices han aprendido y han modificado sus comportamientos. 6. Desarrollar la estrategia formativa: La actividad siguiente consiste en determinar los modos y las maneras de realizar las actividades formativas. 7. Desarrollar y seleccionar los materiales formativos: En esta fase se seleccionan aquellos materiales o recursos a usar a lo largo del proceso formativo. 8. Desarrollar y realizar la evaluación formativa del proceso de aprendizaje: En esta fase se recogen datos para valorar el proceso formativo y los aprendizajes a fin de mejorar el diseño de la actividad formativa. 9. Revisar toda la formación: Se valora todo el proceso formativo con el objetivo de analizar cómo puede mejorarse la eficiencia de cualquiera de sus fases. 10. Diseñar y realizar la evaluación sumativa del proceso formativo: En esta última fase se evalúa la efectividad de la formación y de todo el sistema formativo. 2.3. Definición de Términos Básicos Actividad Matemática: es un proceso que requiere que el individuo emplee diversos sistemas de representación semiótica, donde solo elijan una según el propósito de la actividad. En otras palabras la actividad matemática requiere una coordinación interna, que ha de ser construida, entre los diversos sistemas de representación que pueden ser elegidos y usados; sin esta coordinación dos representaciones diferentes 38 significaran dos objetos diferentes, sin ninguna relación entre ambos. Duval, R. (1998). Diseño Instruccional: es una disciplina interesada en prescribir métodos óptimos de instrucción, al crear cambios deseados en los conocimientos y habilidades del estudiante. Reigeluth (1983). Registro Algebraico: es el conjunto de signos, números y variable; las cuales tienen la característica de solucionar ecuaciones para responder un problema planteado y donde las fuentes de su significado tienen un acercamiento semiótico; considerándose un lenguaje de carácter instrumental. Duval, R. (1998). Registro Geométrico: es el conjunto de figuras o curvas que se representan en un plano cartesiano, las cuales tienen la característica de bidimensionar el planteamiento de un problema además poseen un comportamiento semiótico. Duval, R. (1998). Representaciones Semióticas: es un sistema de signos que permite llevar a cabo las funciones de comunicación, tratamiento y objetivación, en cambio no se hace referencia a notaciones convencionales que no forman un sistema. Duval, R. (1998). Sección Cónica: algebraicamente es una ecuación de dos variables de segundo grado, las cuales generan un lugar geométrico diferencial de acuerdo a los coeficientes de cada término involucrado en la ecuación. Lehmann, C. (1980). Semiótica: estudio de los signos en determinados campos del conocimiento. Es decir, una ciencia orientada a estudiar cómo funciona el pensamiento para explicar las maneras de interpretación del entorno y de creación y difusión de conocimiento que tienen las personas. Duval, R. (1998). 39 3. MARCO METODOLÓGICO Este capítulo contempla el contexto operativo de la investigación en los que establece la forma y manera para obtener la información más relevante en cuanto a la problemática planteada así comolos procedimientos estadísticos para analizar sus resultados y recabar la información más asertiva para elaboración de un diseño instruccional de aprendizaje planteada. 3.1. Tipo y Diseño de la Investigación El propósito de esta investigación es proponer un diseño instruccional para el aprendizaje de las secciones cónicas para estudiantes del sexto semestre de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, la cual se enmarca en la modalidad de proyecto factible; donde su finalidad es construir una alternativa de solución delineada por la investigadora (Labrador, Orozco y Palencia, 2002, p. 22). De igual manera, se hace apoyo de la investigación descriptiva para recolectar datos de carácter concéntricos en cuanto a la problemática del aprendizaje de las secciones cónicas y determinarlas para la construcción del módulo; tal como lo establece (Labrador, Orozco y Palencia, 2002), describir un fenómeno recurrente dentro de una población mayoritaria, para luego describir las necesidades más demandantes y así implantarlas dentro de la alternativa que se presenta para solucionar la problemática. Y por último, la propuesta está fundamentada además por el diseño de investigación de campo, la cual se implementa para buscar dentro de una población 40 datos recurrentes en cuanto a los cambios de registros algebraicos y geométricos, los cuales enfilaron la investigación a una propuesta que abordará las necesidades de la población estudiantil de la Facultad de Ciencias de la Educación de la mención de Matemática, Manual de Trabajos de Grado de Especialización, Maestrías y Tesis Doctorales de la UPEL (2006). 3.2. Población y Muestra del Estudio La población es definida como el conjunto de personas de los cuales poseen una característica común, en la que se desea estudiar, Balestrini (2008). En este caso de investigación la población está constituida por dieciocho (18) estudiantes; los cuales cursan la asignatura de Geometría II adscrita al departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias de la Educación, lo cual se representa el total de estudiantes inscritos en la nomina del departamento de control de estudio. Mientras que la muestra se define como una parte de la población a la que se desea estudiar Bernal (2002). La selección de los encuestados sé realizó al azar simple sin remplazo, pero tomando en cuenta el tamaño de la población, la muestra consideró el tamaño para 13 estudiantes con la finalidad de establecer mayor eficacia y representación de los datos recabados, y además por considerarse un tamaño muestral pequeño y homogéneo, y el resto de los estudiantes se utilizó para realizar la confiabilidad del instrumento, Wigodski (2011). 3.3. Técnica e Instrumento de Recolección de Datos Según Blanco (2000), establece “un instrumento es un formato de apoyo de preguntas (estructuradas o no), que ha sido producto de una variable organizada y sustentada teóricamente” (p. 11). De acuerdo a esto, la investigadora apoyo dicho estudio sobre un cuestionario de respuestas cerradas, con la finalidad de recabar 41 información de forma sistemática sobre el conocimiento y manejo de los cambios de registros en secciones cónicas para estudiantes que posteriormente serán los formadores en el área de matemática en las aulas de las escuelas del mañana. La técnica de recolección fue la entrevista, es decir, la investigadora aplicó de forma individualizada y directa a la población estudiantil el instrumento, con las características planteadas en el planteamiento del problema, los cuales seleccionaron cuidadosamente una respuesta correcta de otras 3 opciones incorrecta; y luego mediante análisis estadísticos se realizaron las conclusiones y recomendaciones a la construcción de la propuesta. 3.3 Validez y Confiabilidad La validez y confiabilidad de un instrumento constituye el requisito indispensable para brindarle rigurosidad científica a la investigación, además de la pertinencia en cuanto a la veracidad de los datos recolectados con dicho instrumento, Finol y Camacho (2006). La Validez estuvo determinada por la selección de tres profesionales de la Docente en el área de Matemática, a quienes se les solicito la revisión del cuestionario conjuntamente con la matriz de operacionalización, el cual contenía el objetivo general, específicos, variable, dimensiones y los indicadores; para lograr eficacia del instrumento se anexo una tabla para evaluar redacción, coherencia y relevancia con los objetivos de la Propuesta. Los expertos consultados coincidieron en su opinión sobre el instrumento, fundamentando que el cuestionario es apropiado para los efectos de la investigación ya que cubre todos los aspectos y además cumple con el número de ítems adecuado. En cuanto a la confiabilidad para el instrumento de recopilación de datos fue calculado con la Kuder-Richardson ya que el cuestionario consta de una opción correcta de tres opciones incorrectas, Ruiz (2006). Se seleccionó 5 estudiantes que 42 pertenecen a la población pero no son parte de la muestra en una sola aplicación, y luego se recurrió al cálculo del coeficiente de confiabilidad con el método de Kuder- Richardson. (P. 64). La fórmula para determinar el Kuder-Richardson es: 1 ∗ ∑ ∗ Donde: r tt = es el coeficiente de confiabilidad k = es el número de ítems Vt = es la varianza de la prueba. p = son las probabilidades de éxito q = son las probabilidades de fracaso El valor del coeficiente de correlación obtenido cuando se sustituyeron los datos en la formula fue de 0.92, lo cual demuestra que es elevada su confiabilidad, según el cuadro de distribución de intervalos de confiabilidad; donde específica la oscilación entre 0 y 1 y su magnitud. Rango Magnitud 0,81- 1,00 Muy Alta 0,61 – 0,80 Alta 0,41 – 0,60 Moderada 0,21 – 0,40 Baja 0,01 – 0,20 Muy Baja Fuente: Hernández, R (1998) y Ruiz, C (1998). Por lo tanto, se confirma que de ser aplicado los instrumentos a otros grupos los resultados serían similares porque la confiabilidad sobrepasa el 90% en todos los casos. 43 4. RESULTADOS 4.1. Análisis e Interpretación de los Resultados Luego de la aplicación de los instrumentos fueron analizados los resultados con la finalidad de dar respuesta a las interrogantes planteadas y cumplimiento con los objetivos de la investigación, permitiendo de esta manera establecer conclusiones que reflejen la realidad de la situación actual, las cuales se derivan de la realización del trabajo en estudio cuya orientación principal fue la Propuesta de un Diseño Instruccional para la Enseñanza de las Secciones Cónicas en los Estudiantes del Sexto Semestre de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo. Dentro de esta perspectiva, para realizar el análisis de los datos se tomo en cuenta los ítems presentados en el instrumento aplicado. Se utilizó el procedimiento de estadística descriptiva, para tal efecto, los resultados serán presentados y organizados en cuadros y gráficos de distribución por frecuencia absolutas luego el porcentaje de respuestas correctas, incorrectas y no respondió, así como también las frecuencias y porcentajes de cada opción de respuesta con la finalidad de obtener información sobre el reconocimiento y conversión de registros algebraicos y geométricos. De esta misma forma, el proceso de análisis de los resultados se realizó atendiendo a la estructura del cuestionario diseñado, es decir, por ítems y luego para concluir el estudio se construye un análisis general de la variable aprendizaje para observar cada sección cónica desde cada vertiente del registro y describir directamente el comportamiento de las respuestas correctas e incorrectas de acuerdo a la curva seleccionada. De esta manerase presentan sus resultados a continuación: 44 Ítem: 1. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico 1) La siguiente ecuación x2-4y2+2x+16y-11 0, representa una sección cónica que tiene como centro: Opción Frecuencia Porcentaje a) (0,0) 0 0 b) (-1,2) 2 15 c) (1,2) 4 31 d) Ninguna de las anteriores 6 46 e) No respondió 1 8 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 2 15 Incorrecta 10 77 No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015). Análisis En el tabla de distribución 1.1 se observar un 0% en la opción “a”, 15% en la opción “b”, un 31% en la opción “c” y un 46% en la opción “d”; para un total de 15% de respuestas correctas, 77% de respuestas incorrectas y 8% no marcó ninguna opción de respuesta. Los datos expresados en los cuadros y gráfico indican, un bajo índice de reconocimiento en la ecuación general de la hipérbola, la cual genera deficiencias en reconocer sus elementos a partir de la ecuación. 15 77 8 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 1 45 Ítem: 2. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico. 2) Dada la gráfica, la ecuación general que genera dicha curva es: Opción Frecuencia Porcentaje a) x2+y2+4x-6y=0 2 15 b) x2+y2-4x-6y=0 2 15 c) x2+y2-4x+6y =0 8 62 d) x2+y2+4x+6y =0 0 0 e) No respondió 1 8 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 2 15 Incorrecta 10 77 No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 2.1. se observa un 15% en la opción “a”, un 15% en la opción “b”, un 62% en la opción “c” y un 0% en la opción “d”; para un total de 15% de respuestas correctas y un 77% incorrectas mientras que un 8% no respondió ninguna opción. 15 77 8 Correcta Incorrecta No respondió 46 Ítem: 3. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Algebraico. 3) La ecuación 9x2+8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano una: Opción Frecuencia Porcentaje a) Circunferencia 4 31 b) Elipse 5 38 c) Parábola 0 0 d) Hipérbola 4 31 e) No respondió 0 0 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 5 38 Incorrecta 8 62 No respondió 0 0 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 3.1 se observa un 31% seleccionaron la opción “a”, un 38% la opción “b”, 0% la opción “c” y 31% de estudiantes de la opción “d”; donde se observa un total de 38% de estudiantes con la alternativa de respuesta correcta y el resto con respuesta incorrecta que fue de 62%. Lo anterior indica, que el 38% reconoce la ecuación general de una elipse y los elementos que se desprenden de su registro algebraico. 38 62 0 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 3 47 Ítem: 4. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Algebraico. 4) La gráfica de la siguiente ecuación x2-y+6 0, corresponde en el plano cartesiano a una: Opción Frecuencia Porcentaje a) Circunferencia 0 0 b) Hipérbola 4 31 c) Parábola 6 46 d) Elipse 3 23 e) No respondió 0 0 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 6 46 Incorrecta 7 54 No respondió 0 0 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 4.1 se evidencia un 0% de estudiantes por la opción “a”, 31% por la opción “b”, 46% por la opción “c” y un 23% por la opción “d”; pero es en el gráfico 4.2 donde se muestra un 46% de respuestas correctas y un 54% de incorrectas. Lo cual indica, que existe una posible dificultad para construir la curva de una parábola a partir de la ecuación. 46 54 0 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 4 48 Ítem: 5. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Geométrico. 5) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es: Opción Frecuencia Porcentaje a) 4 31 b) 0 0 c) 4 31 d) Ninguna de las anteriores 3 23 e) No respondió 2 15 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 4 31 Incorrecta 7 54 No respondió 2 15 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 5.1 se observa un 31% de estudiantes que consideraron la opción “a”, 0% la opción “b”, 31% la opción “c”, mientras que un 23% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 5 se observa un 31% de estudiantes que respondieron acertadamente, un 54% incorrectamente y el resto se mantuvo sin responder ninguna opción de respuesta en dicho ítem. 31 54 15 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 5 49 Ítem: 6. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Algebraico. 6) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia? (M, N y C son constante mayores que 0 y M N). Opción Frecuencia Porcentaje a) Mx2+Ny2 = C 7 54 b) Mx2+My2 = C 6 46 c) x2-Ny2 = C 0 0 d) (Mx+N)(Mx-N) = 0 0 0 e) No respondió 0 0 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 6 46 Incorrecta 7 54 No respondió 0 0 Fuente: Flores (2015) Análisis En el gráfico 6.1 se aprecia un 54% de estudiantes que respondieron la opción “a”, 46% la opción “b”, mientras que las opciones “c” y “d” no alcanzaron ningún porcentaje. Mientras que en el gráfico 6 se observa claramente que las opciones “a” y “b” tienen un acercamiento entre sus porcentaje, y aunque todos los estudiantes respondieron el ítem solo el 46% logro acertar con la respuesta correcta y el resto de la muestra obtuvo la respuesta incorrecta. 46 54 0 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 6.2 50 Ítem: 7. Dimensión: Elipse. Indicador: Registro Geométrico. 7) Dada la gráfica, la ecuación ordinaria es: Opción Frecuencia Porcentaje a) 3 23 b) 1 8 c) 5 38 d) Ninguna de las anteriores 3 23 e) No respondió 1 8 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 3 23 Incorrecta 9 69 No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 7.1 se evidencia un 23% de estudiantes con la opción “a”, 8% opción “b”, 38% opción la opción “c” y un 23% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 7 se muestra un 23% con la respuesta correcta, 69% distribuido entre respuestas incorrectas y un 8% que no respondió el ítem. 23 69 8 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 7 51 Ítem: 8. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico. 8) La gráfica de la ecuación 9x2-8y2-54x-16y+17 0, genera en el plano cartesiano: Opción Frecuencia Porcentaje a) Una curva cerrada y equidistante a un punto. 7 54 b) Una curva que consta de dos ramas y dos asíntotas 4 31 c) Una curva que consta de dos ramas finitas y una directriz 0 0 d) Ninguna de las anteriores. 0 0 e) No respondió 2 15 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 4 31 Incorrecta 7 54 No respondió 2 15 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 8.1 se observa un 54% de estudiantes con la opción “a”, 31% con la opción “b”, y 0% en las opciones “c” y “d”. Mientras que en el gráfico 8 se distribuye en 31% respuesta correcta, 54% en opciones incorrectas y un 15% que no respondió ninguna opción. Lo cual indica, que solo un 31% reconoce la definición de hipérbola desde la ecuación general. 31 54 15 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 8 52 Ítem: 9. Dimensión: Circunferencia. Indicador: Registro Geométrico. 9) Dada la gráfica, la ecuación general es: Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 9.1 se aprecia un 23% de estudiantes que consideraron la opción “a”, 46% la opción “b”, 8% opción “c” y un 8% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 9 se observa que solo un 8% responde de forma correcta el ítem mientras que un 77% incorrectamente y un 15% no responden. Opción Frecuencia Porcentaje a) 3 23 b) 6 46 c) 1 8 d) 1 8 e) No respondió 2 15 Respuesta Frecuencia PorcentajeCorrecta 1 8 Incorrecta 10 77 No respondió 2 15 8 77 15 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 9 Ítem: 10. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico. 10) Dada la gráfica, la ecuación general es: Opción Frecuencia Porcentaje a) 0 0 b) 0 0 c) 7 54 d) Ninguna de las anteriores 5 38 e) No respondió 1 8 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 0 0 Incorrecta 12 92 No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 10.1 se evidencia que 0% de los estudiantes consideraron la opción “a”, 0% opción “b”, 54% opción “c” y 38% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 10 se observa que 0% respondió de forma correcta el ítem, 92% responde de forma incorrecta y un 8% no respondió el ítem, lo cual se considera que existe un alto incide de estudiantes que no reconocen la construcción de la ecuación de una parábola dada su gráfica. 0 92 8 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 10 54 Ítem: 11. Dimensión: Hipérbola. Indicador: Registro Algebraico. 11) La ecuación 4 4 3 , genera en el plano cartesiano una: Opción Frecuencia Porcentaje a) Parábola 2 15 b) Elipse 4 31 c) Hipérbola 4 31 d) Circunferencia 2 15 e) No respondió 1 8 Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 4 31 Incorrecta 8 61 No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 11.1 se evidencia que un 15% de estudiantes tomaron la opción “a”, 31% la opción “b”, 31 la opción “c” y un 15% la opción “d”. Pero en el grafico 11se evidencia que solo el 31% respondió acertadamente mientras que el 61% considero opciones incorrectas y un 8% decidió no responder el ítem. Gráfico 11 31 61 8 Correcta Incorrecta No respondió 55 Ítem: 12. Dimensión: Parábola. Indicador: Registro Geométrico. 12) Dada la gráfica, identifica la variable cuadrática: Opción Frecuencia Porcentaje a) x 4 31 b) y 6 46 c) Todas la anteriores 2 15 d) Ninguna de las anteriores 0 0 E) No respondió 1 8 Fuente: Flores (2015) Análisis En la tabla de distribución 12.1 se puede apreciar que un 31% de estudiantes consideró la opción “a”, 46% la opción “b”, 15% la opción “c” y 0% la opción “d”. Mientras que en el gráfico 12 se puede observar que solo el 31% consideró la opción correcta, el 61% las opciones incorrectas y un 8% prefirió no considerar ninguna opción de respuesta. Respuesta Frecuencia Porcentaje Correcta 4 31 Incorrecta 8 61 No respondió 1 8 31 61 8 Correcta Incorrecta No respondió Gráfico 12 56 Variable: Aprendizaje. Gráfico 13 Fuente: Flores (2015) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 R eg is tr o A lg eb ra ic o R eg is tr o g eo m et ri co R eg is tr o A lg eb ra ic o R eg is tr o g eo m et ri co R eg is tr o A lg eb ra ic o R eg is tr o g eo m et ri co R eg is tr o A lg eb ra ic o R eg is tr o g eo m et ri co Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola 46 12 38 23 46 15 26 31 54 73 62 69 54 77 64 54 0 15 0 8 0 8 10 15 Dimensiones Indicadores Frecuencia de Correcta % Frecuencia de Incorrecta % No Respondió % Circunferencia Registro Algebraico 6 46 7 54 0 0 Registro Geométrico 3 12 19 73 4 15 Elipse Registro Algebraico 5 38 8 62 0 0 Registro Geométrico 3 23 9 69 1 8 Parábola Registro Algebraico 6 46 7 54 0 0 Registro Geométrico 4 15 20 77 2 8 Hipérbola Registro Algebraico 10 26 25 64 4 10 Registro Geométrico 4 31 7 54 2 15 57 Análisis En el gráfico 13 se aprecia claramente el comportamiento de indicador respecto a la dimensión. El 46% reconoce la circunferencia dada su ecuación mientras que el 12% conoce la forma de la ecuación dada la gráfica, y además este indicador posee un 15% de estudiantes que decidieron no responder los ítems relacionados al registro geométrico de la circunferencia. La sección cónica elipse genera un 38% de reconocimiento por parte de los estudiantes sobre la construcción del lugar geométrico mientras que un 23% reconoce la ecuación dado el lugar geométrico, y una vez más se evidencia que este ultimo indicador genera un 8% de respuestas en blanco. La parábola posee 46% de estudiantes con conocimientos para reconocer el lugar geométrico dada su ecuación mientras que el 15% construye la ecuación dado su lugar geométrico siendo uno de los indicadores con mayor porcentaje de respuestas incorrectas siendo de 77% de estudiantes. Y por último la hipérbola con 26% de respuestas correctas por parte del estudiantado sin embargo tiene un 31% que reconoce la ecuación de la hipérbola dada su gráfica, sin embargo posee al igual que la dimensión de la circunferencia un alto porcentaje de estudiantes que dejo en blanco los ítems relacionados al reconocimiento de la ecuación dadas las gráficas. De todo lo antes observado, se observa alto índice de porcentajes de respuestas incorrectas de los registros geométricos solo la dimensión de la Hipérbola ubica el registro algebraico con mayor índice de incorrectas. 58 4.2. Conclusiones del Diagnóstico Los resultados de los registro algebraicos a geométricos resultan un poco altos en cuanto a las respuestas incorrectas, sin embargo del registro geométrico al algebraico representa un alarmante índice de respuestas incorrectas en la mayoría de las secciones cónicas diagnosticadas y además una cantidad elevada de respuestas sin ninguna opción. Es decir, las unidades significantes de los lugares geométricos presentados no constituyen un significado analítico para el estudiante y mucho menos un significado dentro del mismo registro geométrico, esto quiere decir que el estudiante tiene pocas posibilidades de hacer una lectura correcta de un grafico, Duval (1988). Por tal razón, surgen las actividades de orden geométrico al algebraico como prioritarios, aun cuando esto no soluciona la problemática presentada sino por el contrario darle significado y cada significante y lograr correspondencia entre registros dentro de su rol heurístico e intuitivo. De manera general para los registros bidimensionales, y en particular para aquellos en los cuales las unidades significantes no están semióticamente separadas, se puede afirmar, de una parte, que es necesario un aprendizaje de los tratamientos que les son propios y, de otra, que el criterio de semántica sea más difícil de verificar para la actividad cognitiva de conversión. Según Duval (1998), las razones por las cuales el estudiante no construye la congruencia entre registro son múltiples. Uno de estos factores pueden ser los registros que funcionan como puentes dentro del cambio de registro como por ejemplo el uso de tabla de valores para construir el lugar geométrico; situación que no surge del registro geométrico al algebraico. Pero el propósito de la investigación es establecer su existencia y la efectividad de otros mecanismos de actividades, que orientan al aprendiz a la congruencia entre registros. 59 4.3. Factibilidad Luego de realizado el diagnostico se procedió al estudio de factibilidad la cual constó de tres fases: operativa, técnica y económica; con el fin de fundamentar la implementación de la propuesta y analizar su costo, así como los beneficios que se pueden adquirir. 4.3.1. Factibilidad Operativa Esta etapa se hace factible por la existencia del departamento de publicaciones, ya que por medio de ellos se puede reproducir el material con la finalidad que cada estudiante lo obtenga de forma inmediata y segura. Se hace aun más factible por los beneficios que pueden encontrarse tras la oportunidad que se le presenta al estudiante de mantenerse al día con la asignatura,
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