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UNIDAD 03 GUÍA DE RESOLUCIÓN 1.-Se tiene que elegir una clave de 4 dígitos para operar en el cajero automático de un banco y se quiere que la clave esté formada por dígitos distintos y que ninguno de ellos sea cero. ¿Entre cuántas opciones se puede elegir la clave?. Tener en cuenta lo siguiente: El conjunto A está formado por los 9 dígitos distintos de cero, de modo que n=9. Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. Son variaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los dígitos, varía la clave. Además, no intervienen todos los elementos en cada arreglo (sólo 4). Cada conjunto ordenado está formado por 4 dígitos distintos del conjunto A. De modo que r=4 y n=9. Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑉 , = 9.8.7.6 → 𝑉 , = 3024 Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de posibilidades en cada ubicación: 9 8 7 6 Posibilidad 1 Posibilidad 2 Posibilidad 3 Posibilidad 4 El producto de las cuatro posibilidades es: 3024 2.-Un bibliotecario debe ubicar en fila, en uno de los estantes , 11 libros diferentes sobre un mismo tema .¿De cuántas formas diferentes puede ubicar todos esos libros?. Tener en cuenta lo siguiente: El conjunto A está formado por los 11 libros distintos, de modo que n=11. Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. Son permutaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los elementos, varía la disposición. Además, intervienen todos los elementos en cada arreglo. Cada conjunto ordenado está formado por los 11 libros distintos del conjunto A. Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑃 = 11! → 𝑃 = 39.916.100 Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de posibilidades en cada ubicación: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 El producto de las once posibilidades es: 39.916.100 3.-Los miembros de una Organización se comunican a través de mensajes secretos utilizando los siguientes símbolos: ∞, β , ©, ×, ö, ↊, #. a)¿Qué cantidad de mensajes de 5 símbolos diferentes hay?. 𝑽𝟕,𝟓 = 𝟐𝟓𝟐𝟎 b)¿A cuántos mensajes de 6 símbolos tienen acceso sus miembros, si en los mismos, pueden usarse los símbolos más de una vez?. Tener en cuenta lo siguiente: El conjunto A está formado por 7 símbolos distintos, de modo que n=7. Son arreglos con repetición porque pueden usarse los símbolos más de una vez. Son variaciones porque interesa el orden, ya que cambiando el orden de los símbolos, varía el mensaje. Además, no intervienen todos los elementos en cada arreglo (sólo 6). Cada conjunto ordenado está formado por 6 símbolos, del conjunto A, que pueden repetirse. De modo que r=6 y n=7. Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝑉 , = 7 → 𝑉 , = 117.649 Como también podemos apreciar en el siguiente esquema el número de posibilidades en cada ubicación: 7 7 7 7 7 7 El producto de las seis posibilidades es: 117.649 5.-Por un aviso en el diario, en el que se solicitaban promotores, se presentaron 200 jóvenes que cumplían con los requisitos pedidos. ¿Cuántas selecciones diferentes se pueden hacer si se necesitan 5 promotores?. Tener en cuenta lo siguiente: El conjunto A está formado por los 200 jóvenes, de modo que n=200. Son arreglos simples porque tienen que ser todos los elementos distintos. Son combinaciones porque no interesa el orden, ya que cambiando el orden de los jóvenes, no varía el grupo. Cada conjunto está formado por 5 jóvenes del conjunto A. De modo que p=5 y n=200. Entonces la cantidad total de arreglos es: 𝐶 6.-En nuestro país, las patentes de los automotores constan de 3 letras seguidas de 3 números. ¿Cuántos automotores es posible patentar? (Considere que de las 27 letras del abecedario español no se utiliza la ñ). 263. 10 3= 17.576.000 7.-Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen: ¿Cuántas maneras de escoger tiene? 45 ¿Cuántas maneras , si las 3 primeras preguntas son obligatorias?. Puedo elegir 5 de las 7 últimas preguntas, entonces: = = 21 ¿Cuántas , si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?. 1°.- Si contesta todas las cinco primeras preguntas, puede escoger tres de las restantes, para completar las ocho. Entonces son: = 10. 2°.-Si contesta cuatro de las cinco primeras preguntas, puede escoger cuatro de las últimas cinco, para completar las ocho. Entonces son: = 5. En total son 10 +5.5 = 35 maneras diferentes. 8.-Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene 5 pisos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona?. 60 5.4.3=60(variaciones simples) 10.-Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos :L1,L2,L3,L4 y L5 .Se pretende analizar las distintas mezclas posibles que se pueden obtener vertiendo en distinto orden los 5 líquidos. a)¿Cuántas pruebas diferentes pueden hacerse?. 120 Perm. Simples: 5! b)¿Cuántas pruebas diferentes pueden hacerse si el líquido L5 se echa siempre en 3° término?. 24 Perm.Simples: 4! 13.-En un local comercial hay 6 modelos distintos de notebooks. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir 4 notebooks, que pueden ser eventualmente del mismo modelo?. 126 (combinaciones con repetición) 14.- ¿Cuántos números de 5 dígitos pueden formarse con los números: 3, y 7 , si el 3 se repite dos veces y el 7 tres?. 10 Perm.con rep. 15.- ¿Cuántos grupos, de cuatro elementos, se pueden formar con las letras C y S si importa el orden y se admite que cada una de ellas puede figurar hasta 4 veces?. 16 Var.con rep.. 18.-Analice cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y por qué: Dados dos eventos A y B ,la probabilidad de que ocurra A o B ,es siempre la suma : P(A)+P(B). F: P(A U B) = P(A) +P(B) –P(A∩ B) Si P(A ∩B)=0, entonces Ay B son mutuamente excluyentes. V pues A∩ B=∅ Dados dos eventos A y B , complementarios entre sí, entonces P(A)=1-P(B) V : A U B= Ω y A∩ B=∅ Dos eventos A y B cumplen siempre que :P(Ay B)=P(A).P(B). F: sólo si son independientes. La probabilidad de un evento aleatorio es un número mayor que cero y menor o igual a 1. F: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 Que dos eventos A y B sean dependientes significa que la posibilidad que ocurra A, por ejemplo, imposibilita o anula la posibilidad que ocurra B. F: lo afecta pero no imposibilita. 20.-En una cátedra se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos parciales. Con ese criterio se aprobó el 70%, sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el segundo el 40%.¿Cuál hubiera sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales?. Sean los eventos : A: aprobación del primer parcial, B: aprobación del segundoparcial, A U B : aprobación de al menos uno de los dos parciales ( que pueden ser eventualmente los dos), A∩ B : aprobación de ambos parciales. F V V F F F Entonces, los datos son P(A)=0,60 P(B)=0,40 y P(A U B) =0,70 y lo que se quiere averiguar es P(A∩ B) . Por la Regla de la Adición: P(A U B) = P(A) +P(B) –P(A∩ B) . Reemplazando resulta: 0,70 = 0,60 +0,40 –P(A∩ B) , de donde P(A∩ B) = 0,30 21.-En un estudio para examinar la relación entre el nivel de riesgo de ser afectada una zona por los incendios y el uso más frecuente de controles preventivos en la zona , se entrevistaron 1500 personas del lugar y se obtuvo la información que aparece en la tabla : Nivel de riesgo Número de controles preventivos por: Total Capacitación recibida (A) Experiencia o saberes previos (B) Muy elevado(C) 41 184 295 Elevado (D) 110 190 300 Medio (E) 174 432 606 Medio-bajo (F) 67 228 295 Bajo (G) 36 38 74 Total 428 1072 1500 Si A,B,C,D,E,F y G se consideran eventos ,calcule: a)P(B)= 𝟏𝟎𝟕𝟐 𝟏𝟓𝟎𝟎 b)P(E)= 𝟔𝟎𝟔 𝟏𝟓𝟎𝟎 c)P(A∩ 𝐹) = 𝟔𝟕 𝟏𝟓𝟎𝟎 d)P(B∪ 𝐸) = 𝟏𝟐𝟒𝟔 𝟏𝟓𝟎𝟎 e)P(A/G)= 𝟑𝟔 𝟕𝟒 f)P(G/A)= 𝟑𝟔 𝟒𝟐𝟖 22.-En un bolillero hay 200 bolillas rojas y 100 bolillas negras. Si se extraen bolillas una tras otra sin reposición, hallar la probabilidad que: a)La primera bolilla que se extrae sea negra y la segunda roja. Sean N1: sacar negra en la primera extracción y R2 : sacar roja en la segunda extracción . Planteamos : P(N1).P( R2 / N1 )=100/300 . 200/299 = 0,223 aproximadamente b) La primera bolilla que se extrae sea negra ,seguida por una roja y luego una negra. 0,074 aproximadamente 23.-Un aparato tiene dos componentes A y B. Los fallos en el aparato vienen motivados por fallos en alguna de las componentes. Al cabo de 5 años, la componente A ha fallado en el 6% de los aparatos, y la componente B en el 8%.En el 4% de los aparatos han fallado las dos componentes. a)Los fallos de A y B, ¿son independientes?. No, pues se verifica que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) b)Si B ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que A haya fallado?. 1/2 24.-En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C.El 30% de la población lee A , el 20% lee B ,el 22% C, el 12% lee A y B ,el 9% A y C ,y el 6% B y C, finalmente, el 3% lee A,B y C. Se pide: a)Porcentaje de personas que leen al menos uno de los tres periódicos. 48% b)Porcentaje que sólo lee A. 12% c)Porcentaje que leen B o C , pero no A. 18% 25.-Si A y B son sucesos independientes con P(A)= y P(B)= entonces : A)P(A∪ B)= B) P(A∪ B)= C) P(A∩ B)=0 D) P(A∩ B)= Opción B) 26.-Un lote de 8 aparatos contiene tres defectuosos. Un inspector prueba uno de ellos; si es defectuoso lo retira y si no lo es lo devuelve al lote. Un segundo inspector elige un aparato al azar y lo prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?. 0,34 aproximadamente 28.-Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 200 piezas al día con un 4% de defectuosas, la máquina B produce 300 con un 5% de defectuosas, y la C fabrica 400 con un 2% de defectuosas. Al final del día ,una pieza es tomada al azar, la probabilidad de que proceda de la máquina A, sabiendo que es defectuosa, es aproximadamente: a)0,652 b)0,046 c) 0,348 d)ninguna de las anteriores Opción d) 29.-Atendiendo al nivel de contaminación, una ciudad está dividida en tres zonas A, B y C. El 45% de la población vive en la zona A , el 30% en B y el resto en C. El nivel de contaminación influye en la incidencia de una determinada enfermedad pulmonar; dicha enfermedad afecta a 3 de cada 100 personas que viven en A, mientras que sólo afecta a 4 de cada 100 de las que viven en B y a 5 de cada 100 en C. Sean los sucesos A: persona que vive en la zona A, B: persona que vive en la zona B, C: persona que vive en la zona C , D: la persona sufre la enfermedad y N: la persona no es afectada por la enfermedad . Entonces un diagrama sería: a)Hallar la probabilidad de que una persona elegida al azar en esta población sufra enfermedad y viva en la zona A. Aquí , que una persona elegida al azar en esta población sufra enfermedad y viva en la zona A, corresponde al suceso : 𝐷 ∩ 𝐴. Por lo tanto, calculamos: 𝑃(𝐷 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐷) = 45/ 100 . 3/ 100 =0,0135 b) Hallar la probabilidad de que una persona elegida al azar viva en la zona B sabiendo que está afectada por dicha enfermedad. Que una persona elegida al azar viva en la zona B sabiendo que está afectada por dicha enfermedad, corresponde al suceso: B / D. Por lo tanto, calculamos la probabilidad condicional: 𝑃(𝐵 /D)= ( ∩ ) ( ) ≅ 0,3157 30.-El 30% de los vuelos que llegan a un aeropuerto son vuelos nacionales regulares, el 45% vuelos internacionales regulares y el 25% restante vuelos charter. La proporción de personas que viajan por razones de trabajo en cada tipo de vuelo son: En vuelos nacionales regulares, el 90%. En vuelos internacionales regulares, el 50%. En vuelos charter, el 10%. Las restantes viajan por diferentes motivos personales. Elegimos un avión al azar y preguntamos a 1 persona(al azar también) de las que acaban de bajar de ese avión, resultando que viaja por motivos personales .¿Cuál es la probabilidad de que el vuelo por motivos personales fuera por charter?. . 𝑷(𝑪𝑯 /N)≅ 0,46875 31.-Una organización mensualmente, estudia dos grupos de industrias y las clasifica como de elevado riesgo o de poco riesgo .En un informe reciente publicó sus investigaciones sobre 13 compañías de la industria metalúrgica y 27 de construcción, con los resultados resumidos en el siguiente cuadro: Riesgo Industria Poco Riesgo (Pr) Elevado Riesgo(Er) Total Metalúrgica (M) 4 9 13 Construcción (C ) 16 11 27 Total 20 20 40 Si una persona elige aleatoriamente una de esas industrias para invertir en sus acciones, calcule : a)P(Pr/M) = 𝟒 𝟏𝟑 b) P(Er/C) = 𝟏𝟏 𝟐𝟕 c)P(M y Er) = 𝟗 𝟒𝟎 d)P(M o Pr) = 𝟐𝟗 𝟒𝟎 e)P(C/Pr) = 𝟎, 𝟖1 32.-Si A y B son sucesos que verifican : P(A)=0,32 ; P(B)=0,85 ; P(B/Ac)=0,8 ,entonces P(Ac/B) es igual a : a)0,8 b)0,544 c)0,2 d)0,64 Opción D)
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