CUADERNO DE TRABAJO MATEMATICAS FINANCIERAS LOPEZ LARREA

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Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo 
 
 
 
Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuaderno de trabajo de la materia de 
 
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
 
 
 
 
 
 
M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA 
FEBRERO 2009 
 
 
INDICE 
 
 
I. Interés Simple 
 1.1 Concepto 
 1.2 Monto, Capital, Tasa de interés y tiempo 
 1.3 Tipos de interés 
 1.4 Descuento bancario 
 1.5 Ecuaciones de valor equivalentes 
 
II. Interés Compuesto 
2.1 Concepto 
2.2 Monto 
2.3 Tasa nominal y tasa efectiva 
2.4 Ecuaciones de valor equivalente 
 
III. Anualidades 
 3.1 Concepto 
 3.2 Anualidades vencidas 
 3.3 Anualidades anticipadas 
 3.4 Anualidades diferidas 
 
IV. Amortización 
 4.1 Amortización de una deuda 
 4.2 Tablas de amortización 
 4.3 Fondos de amortización 
 4.4 Tablas de fondos de amortización 
 
V. Depreciación 
 5.1 Concepto 
 5.2 Método de línea recta 
 5.3 Método de unidades de producción o de servicio 
 5.4 Método de suma de dígitos 
 
 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN 
 
 
 
Los presentes apuntes son el resultado de un esfuerzo que pretende integralmente apuntalar los 
objetivos de aprendizaje de la materia logrando este fin con el apoyo de la bibliografía oficial 
contemplada en el programa de esta materia por lo que se espera sea una herramienta útil para el 
alumno para poder resolver cualquier problema de carácter técnico que la materia presente. 
 
 
Se logra presentar la solución de problemas de esta materia con un enfoque contable administrativo del 
cual frecuentemente adolecen los textos que abordan estos temas con ello se facilita la comprensión de 
cada uno de los temas que están integrados en el programa oficial de la materia, esperamos la 
colaboración tanto de alumnos como profesores para enriquecer este texto y se asume la posibilidad de 
cualquier equivocación que pudiera aparecer en el mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO I. 
 
 INTERÉS SIMPLE 
 
1.1 Introducción 
El interés tiene una importancia fundamental en la administración de los recursos financieros de una 
empresa y de la sociedad. Toda la vasta maquinaria financiera y crediticia descansa sobre este concepto 
básico de pagar por el dinero tomado en préstamo, lo cual nos lleva al concepto central de las 
finanzas de que el capital aumenta su valor en el tiempo, producto del interés que tiene derecho a 
percibir: 
 
1.2 Interés 
 
 
 
 
 
 
Capital 
Interés 
Tiempo 
Interés: El dinero, como cualquier bien, tiene un precio, que es el interés y éste es el 
pago por el uso del dinero ajeno o el rendimiento que obtiene un capital y se 
expresa con “I”. 
 
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1.3 Interés simple 
 
 
 
 
 
 
 
Se solicita un préstamo por $10,000 que se acuerda en pagar en tres meses, y al término del 
período se entregan. $ 10,900. Así los $900 son la ganancia para quien prestó el dinero, o el costo para 
quien recibió el préstamo. 
 
 $ 10,000 Capital C 
 
 3 meses tiempo n 
 
 $ 900 interés I 
 
 $ 10,900 monto M = capital + interés 
 
 0.09 tasa de int. i 
 
 Trimestral 
 
 900 = 0.09 tasa trimestral 
 10,000 
 
 0.09 X 4= 0.36 tasa anual 
 
 0.36 / 12 = 0.03 tasa mensual 
 
La tasa de interés refleja la relación que existe entre el interés y el capital. La tasa y el tipo de 
interés son dos expresiones distintas del mismo concepto. 
Interés simple: es aquel que se calcula siempre sobre el capital original, es decir, 
siempre sobre el mismo capital. 
 
Ejemplo de comprensión inicial: 
 
 
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3 
 
 Tasa 0.36; tipo 36% 
 
 
 
 Así tenemos que los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdo 
con el ejemplo anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Diferencia entre interés simple y compuesto. 
 
En algunos casos, el interés no sólo se paga sobre el capital, sino sobre el capital más los 
intereses vencidos no pagados o sea el monto. A este procedimiento se le llama interés compuesto. 
 
 
El interés simple se calcula sobre el capital primitivo que permanece invariable, en 
consecuencia, el interés de cada período de tiempo simple es el mismo. 
 
Capital: es la suma prestada o invertida, también se le denomina principal y en otros 
contextos conocido como valor presente o valor actual 
 
Tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y que se mide de la 
fecha inicial de recepción del préstamo ( o inversión), y hasta la fecha de pago final y 
puede estar expresada en días o distintas unidades de tiempo 
 
Tasa: sea el número de unidades pagadas, por cada 100 unidades de la suma prestada, 
en la unidad de tiempo, cuando se expresa en decimales se le denomina tasa y cuando 
se expresa en porcentaje se le llama tipo. 
 
Monto: es la suma del capital más los intereses, también se le denomina valor futuro o 
valor acumulado. 
 
 
Relación tiempo- tasa: es aquella vinculación de correspondencia que existe entre la 
unidad de tiempo utilizada años, meses, días, etc., y la tasa expresada precisamente en 
la unidad de tiempo utilizada en el problema matemático, es decir, para una plazo en 
años, corresponde tasa en años, para plazo en meses corresponde tasa en meses y así 
sucesivamente. 
 
 
 
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Es común expresar la tasa de interés en períodos que no son anuales. Cuando se trata de interés simple, 
sencillamente divida éste entre el número de períodos por año. 
 
Por Ejemplo: 
Para obtener la tasa de interés mensual, sólo divida entre 12. Se puede encontrar la tasa, quincenal, 
diaria, semanal, etc. 
 
 
1.3.1. Fórmula para calcular el interés simple 
 
 I= Cni 
 
Donde: 
I= interés 
C= capital 
N= tiempo 
i= tasa de interés 
 
de la fórmula del interés se extraen las que ayudan a encontrar el capital (C), el tiempo (n) y la tasa de 
interés (i). 
 
 C = I n = I i = I 
 ni Ci Cn 
 
 
1.3.1.1. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo anual 
 
Ejemplo 1.3.1.1 
 
El señor López deposita en un banco que paga el 13% de interés simple anual sobre los depósitos a 
plazo. ¿Cuál es el pago anual por interés sobre un depósito de $ 350,000? 
 
Datos: Formula: I = Cni 
 
C = 350,000 
n = 1 I =(350,000)(1)(0.13) 
i = 0.13 
 I = ? I = $ 45,500 
 
Diferencia entre elInterés compuesto el interés simple: el interés en el interés 
compuesto se calcula sobre el monto y en el interés simple se calcula sobre el capital 
original 
 
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1.3.1.2. Aplicación fórmula de interés simple para determinar interés en base a tiempo mensual 
 
Ejemplo 1.3.1.1 
 
 Caso a) Se adquiere un lote con valor de $ 23,500 que acuerda liquidar realizando un pago de 
inmediato por $ 3,500 y un pago final 7 meses después. Acepta pagar el 36% de interés simple anual. 
¿A cuánto ascenderá la cantidad a pagar por concepto de interés, resuélvalo expresando la relación tasa 
y tiempo en forma anual? 
 
Datos: Fórmula: I = Cni 
 
 
C= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7/12) (0.36) 
n= 7/12 I = $ 4, 199.99 
i = 0.36 
I = incógnita 
 
 
 
Caso b) Para resolverlo en relación tasa y tiempo en forma mensual 
 
 
C= 23,500 – 3,500= 20,000 I = 20,000 (7) (0.36/12) 
n= 7 I = $ 4, 199.99 
i = 0.36/12 
I = incógnita 
 
 
 
 
 
1.3.1.3. Aplicación fórmula de interés simple para determinar capital 
 
 
3.-Un banquero toma dinero prestado al 5% de interés simple anual y lo presta a unos panaderos al 
10%. Si su utilidad anual neta ascendió a $ 3,600 ¿cuánto dinero prestó? 
 
Datos: Fórmula: C = I 
n = 1 ni 
i = 0.10 – 0.05 = 0.05 C= 3,600 
I = 3,600 (1) (0.05) 
 
 C = $72,000 
 
 
 
 
 
 
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1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tiempo 
 
 
4.-Una Asociación Civil, invirtió $ 80,000 al 7 1/2% en un depósito a plazos y obtuvo por intereses 
$3,000 ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido el dinero? 
 
 
Datos: Fórmula: I = Cni 
 
 
C= 80,000 n= I 
n= incógnita C i 
i = 0.075 
I = 3000 n= 3000 
 (80,000) (0.075) 
 
 n= 0.50 
 
 
1.3.1.4. Aplicación fórmula de interés simple para determinar tasa de interés 
 
 
5.- El gobierno municipal tiene invertidos $ 200,000 durante 3 1/2 años a interés simple y obtiene en 
total $ 25,000 de intereses, ¿cuál es el tipo y tasa de de interés ? 
 
Datos: Fórmula: I = Cni 
n = 3.5 
i = Incógnita i = I 
C= 200,000 Cn 
 I= 25,000 
 i = 25,000 
 (200,000) (3.5) 
 
 i = 0.0357 
 
 
Ejercicios de reforzamiento 
 
 
6.- Una persona deposita $ 15,000 en un banco y lo retira 8 meses después, recibiendo $6,000 de 
interés. ¿Cuál es la tasa de rendimiento que le dieron? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
7.- Por un crédito de $ 50,000 pactado al 15 % de interés simple anual y a plazo de 10 meses 
¿Cuál será la cantidad a pagar por concepto de interés? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.- Por un depósito a plazo por $ 36,000 pagan $ 750 de interés mensual. ¿Cuál será la tasa de interés 
simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.- Al comprar en una tienda de departamentos varios artículos, se pagaron $ 1,125 por concepto de 
interés por un mes, que corresponden al 1.5 % de interés mensual.¿ A cuánto asciende la deuda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.- Se obtiene un crédito por $ 60,000 y se pagaron $ 7,200 de interés. Si la hipotecaria cobra el 24% 
de int. Simple anual.¿ dicha cantidad a cuántos meses corresponden? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.2 Fórmula para calcular el monto a interés simple 
 
Monto: El monto es la suma obtenida de interés más capital. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capital 
Capital 
Interés 
Con tiempo 
y tasa se 
convierte 
en: 
e 
 + 
 
MONTO 
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9 
 M = C (1+ ni) Fórmula del monto a Interés simple 
 
 
 
 
 
 
1.3.2.1 El contador Pérez deposita en un banco a plazos $10,000 y recibe 1 año después un total de 
$15,000 (incluyendo capital más interés), encuentre monto, capital, intereses y tipo de interés: 
 
 
a) Intereses si: M = C+ I entonces: 15,000 = 10,000 + I ; 15,000 - 10,000 = I , por lo tanto es 
5000 = I 
 
b) Capital ya que la inversión inicial es de $10,000 por lo tanto este es el importe del capital 
 
c) Monto ya que es igual a la suma del capital más los intereses su importe es $15,000 
 
d) Tipo de interés 
M = 15,000 M = C (1+ ni) sustituyendo: 
C = 10,000 M = (1+ ni) i = (15,000/10,000) - 1 
n = 1 C 
 1 
 M - 1 = ni i = .5 es decir 50 % 
 C 
 
 
 M - 1 = i 
 C 
 
 n 
 
 
 
 
11.- Una persona toma prestados $ 500 a interés simple, durante 3 años, al 10% ( se conviene en pagar 
el interés cada año) ¿ Cuánto recibirá en total el acreedor? 
 
Datos: 
 
C = 400 M = C(1+ ni) 
n = 2 M = (500) [ 1+(3) (0.10) ] 
i = 0.05 
M = ? M = $ 650 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo de comprensión inicial: 
 
 
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10 
12.- Se obtiene un crédito por $ 18,000 a 6 años con el 24% de int. Simple anual. ¿Qué cantidad debe 
pagar al vencerse su deuda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.- Si se desea adquirir un inmueble dentro de 2 años, y suponemos que el enganche que habrá que 
pagar en esa fecha será de $ 35,000 ¿Qué cantidad debe invertir ahora en su depósito que rinde 2.9% 
de interés simple mensual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 - a.- ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 0.34 anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.-¿Cuánto tiempo tardarán $ 5,000 en convertirse en $ 8,750 al 25% de interés simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15.-Se depositan en una cuenta de inversión $ 17,000 al cobro en 1 1/2 años nos entregan $21,590 al 
realizar el retiro.¿Cuál fue el tipo de interés que otorgó el Banco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.- Un comerciante adquiere un lote de mcía. Con valor de $ 3,500 que acuerda en liquidar, haciendo 
un pago inmediato por $ 1,500 y un pago final 4 meses después, Acepta pagar 5% de interés simple 
mensual sobre su saldo ¿Cuánto deberá pagar ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.- ¿Cuál es el tipo de interés mensual equivalente a una tasa del 0.165 semestral? 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.- Una persona deposita $ 15,000 en un fondo de inversiones bursátiles, que garantiza un rendimiento 
del 2.8% de int. Simple mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después. ¿Cuánto recibe? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Un banquero desea saber el capital cuyo monto ascenderá a $ 84,000 en 4 años, al 5% de int. 
simple anual. 
 
 
 
 
 
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12 
20.-¿ Cuánto tiempo tardarán $ 8,048 en convertirse en $ 10,462.40 al 5% de int. simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.- Un señor pasa 2 años en Europa, y deja en bonos $ 96,000. A su vuelta vende los bonos y recibe 
por ellos $ 104,160. Si la diferencia representa el valor de los cupones acumulados 
¿Cuál fue el tipo de interés? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Interés simple por menos de un año: En la práctica, casi todos los problemas de interés, implican 
alguna fracción de año. 
 
El interés es un pago que se hace por el uso de dinero tomado en préstamo; para que el deudor 
pueda usar el préstamo, es preciso que trascurra tiempo. 
Para determinar la duración del período de un préstamo, excluye el primer día y se incluye el 
último 
Así para un préstamo hecho el 6 de enero y que vence el 29 del mismo mes, se cargaría interés 
por 23 días. 
 
Fijación de la fecha del vencimiento 
 
La fecha en que vence un préstamo se fija basándose en la forma en que esté redactada la 
obligación 
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Por ejemplo; si en una transacción de fecha 5 de septiembre, un deudor se compromete a 
devolver el préstamo a los 4 meses, había que entregar el dinero el 5 de enero. 
Por otro lado, si otro préstamo contratado el 5 de septiembre ha de durar por acuerdo mutuo 120 
días, la devolución habla de hacerse el 3 de enero. En este segundo ejemplo se cuenta el número exacto 
de días, porque el tiempo se ha expresado en días. 
 
Tiempo real y tiempo aproximado 
Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de 
mencionar un número de días, meses o años. El tiempo se puede calcular de dos maneras: 
 
Tiempo real: contando los días transcurridos (días naturales) 365 o 366 días si es bisiesto, es también 
llamado exacto. 
 
Días inicial y terminal: para llevar las cuentas de los días se recomienda excluir el primer día e incluir 
el último. Así para un préstamo contraído el 10 de enero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo 
comercial transcurrido es de 15 días. 
Ejemplo: 
Calcule los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de enero del siguiente año. 
 
30 – 3 = 27 días de septiembre 
 + 31 “ “ octubre 
 30 “ “ noviembre 
 31 “ “ diciembre 
 15 “ “ enero 
Total: 134 días 
 
Tiempo aproximado: Se considera un año teórico de 360 días, con 12 meses de 30 días cada uno. Este 
tiempo es el utilizado generalmente por los bancos (año comercial). 
 
Ejemplo: 
 
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14 
Calcule los días transcurridos entre el 20 de junio y el 24 de agosto del 2006. 
 
24 de agosto de 2006 24 08 2006 
20 de junio de 2006 20 06 2006 
 4 2 0 
 días meses años 
 
Así el tiempo transcurrido aproximado es de 2 meses 4 días, es decir 64 días ya que hemos supuesto 
cada mes de 30 días. 
 
Ejercicios de reforzamiento: 
Hallar el número real y aproximado de días: 
 Real Aproximado 
1.- el 4 de enero al 4 de septiembre ........................ 
2.- el 9 de marzo al 19 de agosto ............................ 
3.- el 17 de febrero al 13 de mayo ........................... 
4.- el 11 de noviembre al 13 de marzo .................... 
5 .- el 5 de octubre al 29 de diciembre .................... 
 
* 
13 de marzo 13 15 2006 
 11 de noviembre 11 11 2005 
 2 4 
 días meses Años 
* Esta es la solución del ejercicio No. 4 son 4 meses X 30 días = 120 + 2 días = 122 días 
 En meses, al mes de marzo se le considera como 15 porque el mes de diciembre es el mes 12 más 3 porque el mes de 
marzo es el tercero del año, y es del año siguiente. 
 
 
22. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días, con 30% de interés anual. ¿Qué cantidad debe pagar 
al vencerse su deuda? 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $ 4 000 al 33% anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 
24. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $220 000 si suponemos que el 
vehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual. ¿Cuál será su valor después 
de 2 meses? 
 
 
 
 
 
 
25. A una persona que es despedida por problemas financieros de la empresa, se le entrega una 
indemnización que incluye 3 meses de sueldo, días de antigüedad y descuentos por impuestos, arroja 
un saldo neto de $45 000 ¿Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado depositar su 
liquidación en una inversión que paga el 18% de interés simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. Una joven tiene 2 deudas: 
 1. le debe $80 000 a un banco que cobra 3.5% mensual 
 2. compró a crédito un auto en $125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses; 
 mientras tanto debe pagar 24% anual durante ese lapso. 
 ¿Cuánto pagará en los próximos 6 meses por concepto de intereses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Una compañía de seguros compra $1’000 000 de obligaciones de teléfonos el día 15 de junio y las 
vende el 3 de agosto del mismo año. Si cobra un interés simple del 6% anual. ¿Qué cantidad recibirá 
por concepto de interés al momento de la venta? (tiempo real). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16 
28. El día 12 de septiembre se toman prestados $715 al 6% de interés anual y vencen el 12 de enero 
del siguiente año. ¿Cuánto pagará al vencimiento? (tiempo aproximado). 
 
 
 
 
 
 
 
29.- Una sociedad compró el 17 de junio $1,000 en bonos con interés del 4 1/4 % y los vendió el 26 de 
Septiembre del mismo año. ¿Qué interés obtuvo? (tiempo real) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. ¿Cuál será el monto al 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del 
mismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 19% anual? (calcular el monto con el tiempo real y el 
tiempo aproximado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. Una Cía. de maderas tiene en su poder, el pagaré de un cliente por $ 3,470 a 90 días. Si el pago 
hecho al vencimiento del mismo para su liquidación asciende a $ 3,522.05 ¿Cuál es la tasa del interés? 
(año comercial o aproximado) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
32.- Un señor entrega al Bco. el día27 de junio un cheque por $ 14,158.28 para liquidar un préstamo de 
$ 14,000.00 que obtuvo el 14 de mayo. ¿Cuál fue el tipo de interés anual? (tiempo real ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33.- Una empresa tiene un pagaré de fecha 21 de agosto, que vence el 12 de marzo. Si el interés, 
calculado a razón del 6% de int. simple anual, asciende a $ 2,182.80 ¿ Cuál es el valor nominal del 
pagaré? (tiempo real). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34.- Una Sociedad pagó $ 2,500.20 al liquidar totalmente su pagaré a la vista por $ 2,400 al 4 1/2% 
¿Cuánto tiempo habrá estado en circulación el pagaré? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.- El Bco. prestó $1,400 al 5% de interés simple anual, el día 14 de mayo. Si no se quiere pagar más 
de $ 50 de intereses ¿ Cuándo tendrá que liquidar el préstamo? ( tiempo real ). 
 
 
 
 
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18 
Valor actual o valor presente. 
 
El capital y el valor actual, representa lo mismo, sólo que en contextos diferentes; el capital es una 
cantidad que se invierte ahora, para obtener después un monto superior, y el valor actual es, 
precisamente el que tiene en este momento, una cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha 
futura. Se puede usar indistintamente “C” o “A” para designar un valor presente o valor actual. 
 
 C = M Fórmula para el valor 
 1 + ni actual a interés simple 
 
Ejemplo: 
 
Se desea adquirir un auto dentro de 8 meses. El enganche que se supone debe entregar es de $ 7,000 
qué cantidad se debe invertir ahora en un depósito de renta fija que rinde el 3.1 % de interés mensual? 
 
DATOS: 
 
i = 0.031 
M =7,000 
C = ? C = ? ___________________________ M = $ 7,000 
n =8 8 Meses 
i =0.031 
 C = M__ 
 1 + ni 
 
 C = 7,000___ 
 1 + (8)(.031) 
 
 C = $ 5,608.97 
 
 
36.- Encontrar el valor actual de $12 000 a pagar dentro de un año, si la tasa es del 14% de interés 
simple anual. 
 
 
 
 
 
 
 
37.- Una persona participa en una "tanda" y le toca el décimo octavo mes para cobrar. Si dentro de 18 
meses recibirá $ 3,000. ¿Cual es el valor actual de la tanda, con un interés simple del 19 % anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
38.- ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene más a los intereses de un empleado? 
a) Recibir ahora $3 850 
b) Recibir $2 000 ahora y otros $2 000 en 2 meses 
c) Recibir 3 pagos de $1 400 cada uno a 30, 60 y 90 días. 
Suponga que al invertir el dinero se gana un interés simple del 31.4% anual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. Una persona compró un automóvil el 1 de enero del 2004 en $90 000 Lo vende el 1 de junio del 
mismo año, por la cantidad de $96 500. 
Considerando exclusivamente los valores de compra y venta, y si la tasa de inflación promedio durante 
el año pasado fue de 24.5% determine si fue conveniente para esta persona comprar o vender dicho 
automóvil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
40. El señor Díaz planea llevar a cabo la fiesta de XV años de su hija. Para lo cual requiere la cantidad 
de $150 000 dentro de 18 meses. ¿Cuánto deberá depositar en una cuenta de valores que rinde el 18% 
de interés para garantizar los gastos de la fiesta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
Valor actual de una deuda que devenga interés 
 
Si lo que se busca es el valor actual de una deuda que devenga interés, en ese caso, el monto 
total a pagar, es igual al valor nominal de la deuda más el interés acumulado. 
 
Ejemplo: 
 Una Cía. Tiene un pagaré de $ 600 que vence a los 3 meses, que devenga un interés del 1% mensual. 
Hállese su valor actual a la tasa del 8.5 de int. Simple anual. 
 
DATOS: 
 
C =600 M = C ( 1 + ni ) 
n =3 
i =0.01 M= 600 ( 1+3(.01)) 
M =? M = $ 618.00 
 
DATOS: 
 
M =618 C = 618____ 
n =3/12 (1+(3/12)(.085) 
i =0.085 
C =? C = $ 605.14 
 
 
 
 
41.-¿ Cuál será el valor el valor actual de $ 29,000 a pagar dentro de 6 meses, si devenga un interés del 
1% mensual, y el banco cobra el 18% de int. simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42.- Una empresa tiene la suma de $ 10,000 en cupones de obligaciones que vencen dentro de 39 días. 
Ganan un interés del 13% anual simple. ¿Cuál es su valor actual al 14 1/2%? (tiempo real) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
1.4 Descuento bancario 
 
El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias 
y consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés de cuyo valor nominal descuentan una 
suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha 
del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento. 
 
Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: 
a) el descuento comercial y 
b) el descuento real o justo 
para estas operaciones, se usan ciertas expresiones que es necesario conocer: 
 
Valor nominal de un pagaré: es el que está inscrito en el documento, para el comercio, se trata del 
capital. Si el pagaré no gana intereses, el valor nominal indica la cantidad que debe pagarse en la fecha 
de vencimiento especificada. 
 
Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar un dinero, a cambio de una suma mayor 
comprometida para la fecha a futuro, bajo las condiciones convenidas en el pagaré. Al referirse a la 
operación, el término descontar lo usan tanto el prestatario como el prestamista. 
 
Descuento: es la diferencia establecida entre el valor nominal y el valor que se recibe, al momento de 
descontar el pagaré. 
 
Valor efectivo o líquido de un pagaré: es el valor nominal menos el descuento. Es el valor en dinero 
que se recibe en el momento de descontar la obligación o, en otras palabras, el valor actual o presente 
con descuento bancario. 
 
Tipo o tasa de descuento: es el tanto por ciento de descuento, o sea, un porcentaje del valor nominal 
que deduce el prestamista, al descontar el pagaré. 
 
Plazo: es el término que se utiliza para expresar el período de duración del préstamo. Los pagarés son 
obligaciones a corto plazo y el descuento bancario simple nunca se efectúa para períodos mayores a un 
año. 
 
 Fórmula para el descuento comercial D = Mnd 
 
 Fórmula para calcular el valor líquido 
 de un pagaré con descuento comercial C = M(1-nd) 
 
 Fórmula para calcular la tasa de d = 1 - C/M 
 descuento n 
 
 Fórmula para calcular el tiempo o n = 1 – C/M 
 plazode descuento d 
 
 
 
 
 
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22 
Ejemplo: 
 
Encontrar el descuento comercial de un documento con valor nominal de $6 500 tres meses antes de su 
vencimiento, con un tipo de descuento del 22.4% anual. 
Datos: 
C = ? 
M = 6 500 D = Mnd D = (6 500)(.25)(0.224) = $ 364.00 
n = 3/12 
 i = 0.224 
 
 
43. ¿Cuál es el valor comercial de un pagaré con valor nominal de $7 500 si se descuenta con el 33.5% 
anual, 3 meses antes del vencimiento? (encontrar el descuento comercial ). 
 
 
 
 
 
 
44. Una persona tiene a su favor un documento suscrito el 1 de enero de este año con un valor nominal 
de $185 000 con fecha de vencimiento a 10 meses después. Esta persona quiere descontar el 
documento en una institución bancaria que aplica una tasa de descuento del 23% de interés el cual 
quiere descontar 4 meses antes de su vencimiento. ¿Cuánto recibiría esta persona si se le aplica el 
descuento bancario? 
 
 
 
 
 
 
 
45.- Una empresa descontó en una institución bancaria un pagaré con un valor nominal de $50 000 
aplicándole una tasa de descuento comercial 3 meses antes de su vencimiento, recibiendo la cantidad de 
$46 935 Determine el importe del descuento comercial. 
 
 
 
 
 
 
46.- En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $30 000 si su fecha de vencimiento 
era el día 29 de noviembre de este año, el tipo de descuento fue del 41% y el descuento comercial fue 
de $ 2 125 
 
 
 
 
 
 
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23 
47.- Una empresa descontó en un banco un documento por el cual recibió $167 000 Si el tipo de 
descuento comercial fue del 30% anual y el vencimiento de este era 4 meses después de su descuento. 
¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
48.- ¿En cuánto se negocia el 15 de marzo un documento con valor nominal de $350 000 vencimiento 
al 15 de agosto y descuento del 37% anual? 
 
 
 
 
 
 
 
49- ¿Cuántos días antes de su vencimiento se comercializa un pagaré en $4 750 si su valor nominal es 
de $ 5 200 y el descuento es del 26.4% simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
50.- Obtenga la tasa de descuento simple anual de un documento cuyo valor nominal es de $2 240 tres 
meses antes de vencer. 
 
 
 
 
 
 
51.- A qué tasa de descuento se aplicó un documento con valor nominal de $60,000, si se descontó 
faltando 5 meses para su vencimiento, y por el cual se obtuvo un valor descontado de $53,500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
Descuento de una deuda que devenga interés 
 
Cuando hay que descontar un pagaré que devenga interés, es preciso hallar primero el monto total a 
pagar y aplicar después el descuento. 
 
Ejemplo: 
 
 El banco descontó el 3 abril, un pagaré de $ 6,300 que tenía esta misma fecha, devengaba el 5% de 
interés y vencía el día 3 de mayo: puesto que el tipo del descuento es del 15% anual. ¿Cuál fue el 
descuento retenido por el Bco.? (año comercial) 
 
DATOS: 
 
C = 6,300 M = C ( 1 + ni ) 
n = 30/360 
i = 0.05 M = 6,300 ( 1+(30/360) (.05)) 
M =? 
 M = $6 326.25 
 
S = 6,326.25 D = S n d 
n = 30/360 
d = 0.15 D = ( 6,300 )(30/360)(0.015) 
D = ¿ 
 D = $79.07 
 
 
51.- ¿Cuál es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un préstamo de $6 500 
recibido el 25 de enero pasado con intereses del 2% mensual y cuyo vencimiento es el 30 de julio? 
Suponga que la tasa de descuento anual es del 25% (utilizar descuento comercial y tiempo aproximado) 
 
 
 
 
 
 
52.- Una compañía tiene un pagaré de $6 000 que vence a los 4 meses, que devenga un interés del 2.1% 
mensual. Hallar su valor líquido si se descuenta en el banco 3 meses antes de su vencimiento y el banco 
cobra el 25% de descuento anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
Descuento por pronto pago 
 
El descuento por pronto pago es una rebaja concedida sobre el precio de una mercancía como un 
incentivo para pagarla inmediatamente, o dentro de un plazo especificado. Entre los más frecuentes se 
expresan en la forma de los siguientes ejem: al contado: 5%; neto 60 días, 3/10 significa 3% en 10 días. 
 
Ejemplo: 
 Una Cía. Compra el 18 de mayo enseres de oficina por valor de $ 28,000 y la factura lleva el siguiente 
encabezado: Condiciones de pagar 3 meses neto, 2/60, 3/30, 4/10, 5 al contado. Si la Cía. Paga el 18 de 
junio,¿ Cuál será la cantidad pagada? ( 360 ) 
 
 28,000 X 0.03 = 840 
 28,000 – 840 = $ 27,160.00 
 
53.- Se compran mercancías por $17 900 el día 1º de Julio, con las siguientes condiciones de pago: 
15% al contado, 12/15, 10/30 5/60 y neto en 90 días. Si la factura se liquida el día 8 de agosto, 
¿cuál será la cantidad a pagar? 
 
 
 
53(A).- Al comprar mercancías el día 2 de febrero, por $9 750 nos ofrecen las siguientes condiciones 
de pago: neto, 60 días, 5/30 8/10 10% al contado. Si se liquida la factura el día 25 de febrero, ¿qué 
cantidad se pagará? 
 
 
 
 
 
 
Descuentos en serie o en cadena 
 
A veces se dan varios descuentos sobre un mismo precio. En cada caso se realiza un descuento después 
de haber deducido el descuento anterior. El orden en que se deduzcan los descuentos no afecta el 
resultado. Así un precio de venta anunciado como precio de lista " menos el 10%, 20% y 5% es 
idéntico al precio presentado como precio de lista menos: 5%, 10% y 20%. 
Ejemplo: 
 
 
10,000 x 0.10 = 1, 000 10,000 x 0.05 = 500 
10, 000 – 1, 000 = 9, 000 10,000 – 500 = 9,500 
 9,000 x 0.20 = 1,800 9,500 x 0.10 = 950 
 9,000 – 1,800 = 7,200 9,500 – 950 = 8,550 
 7,200 x 0.05 = 360 8,550 x 0.20 = 1,710 
 7,200 – 360 = $ 6,840 8,550 – 1,710 = $ 6,840 
 
 
 
 
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26 
Descuento único equivalente a una serie de descuentos 
 
¿Cuál es el descuento único equivalente a la serie 5%, 10% y 20% 
 
1.00 1.00 1.00 0.95 X 0.90 X 0.80= 0.684 
-0.05 -0.10 -0.20 
0.95 0.90 0.80 1.00 - 0.684= 0.316 
 
10,000 X 0.684= $ 6,840 Precio neto 
10,000 X 0.316= $ 3,160 Descuento único 
 
 
Porcentaje neto a pagar 0.684 X 100 = 68.4% 
Porcentaje único equivalente a los tres descuentos: 0.316 X 100 = 31.6% 
 
 
 
 
 
 
54.- ¿Cuál será el precio neto de una máquina cuyo precio de lista es $ 35,000 si se ofrecen los 
descuentos comerciales 20%, 12 1/2, 5% y 2%? ¿ y cuál será el tipo de descuento único? 
 
 
 
 
 
 
55.- Encontrar el precio neto de una mercancía si su precio de lista es de $ 51,000, y se ofrecen los 
descuentos del 8%, 3% ¿Cuál es el porcentaje de descuento que corresponde a los dos descuentos? 
 
 
 
 
 
 
 
56.- Encontrar el descuento que se obtendrá por una mercancía cuyo precio de lista el de $34,500 si se 
ofrecen los descuentos del 20%, 10% y 5% y qué porcentaje neto de descuento corresponde? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
Unos almacenes compran el 2 de enero mercancías por valor de $ 10,000 en las siguientes condiciones: 
3 meses neto, 3/60,5/30,8/10,10 al contado. Hállese cuál de las a ofertas de descuento pago es la más 
ventajosa para el comprador. 
 
Fecha Precio Razón del periodo Tipo de int. 
de pago pagado Desc. descuento de Desc simp.anual equiv. 
 
2 de abril 10,000 ---- ---- ---- ---- ---- 
 
2 de marzo 9,700 300 300/9700=.030927 30 días (.03092)(360/30)= 0.371124=37.11% 
 
2 de febrero 9,500 500 500/9500=.052631 60 días (0.052631)(360/60)= 0.315786=31.57% 
 
12 de enero 9,200 800 800/9200=.086956 80 días (0.086956)(360/80)= 0.391302=39.13% 
 
2 de enero 9,000 1,000 1,000/9000=.111111 90 días (0.111111)(360/90)= 0.4444=44.44% 
 
 
Conviene pagar al contado, porque corresponde al tipo de interés anual más alto 
 
 
57 .- Una empresa compro el 1° de septiembre una máquina con valor de $ 70,000 y le ofrecen los 
siguientes descuentos: 2 meses neto, 5/45, 6/30, 7/15, si la empresa paga el 17 de septiembre ¿ Qué 
cantidad paga la empresa y en cuál fecha le hubiera convenido pagar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
1.5 Ecuaciones de valor equivalentes 
 
Un problema básico y muy frecuente en las operaciones financieras es que existan operaciones 
diferentes que deban replantearse para expresarlas en una operación única. 
Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero, un valor distinto. 
No se debe olvidar que sólo se pueden sumar, restar o igualar dineros ubicados en una misma fecha. 
La fecha que se escoge para la equivalencia se denomina fecha focal. La fijación de la fecha focal debe 
corresponder a lo pactado en los pagarés. Los cambios de fecha focal producen variaciones en la 
determinación de las cantidades. 
 
Ejemplo: 
 
Se firma un pagaré por $10 000 a 90 días al 6% anual; 30 días después se firma otro pagaré por $25 
000 a 60 días sin interés. Dos meses después de la primera fecha, acordó con el acreedor pagar $20 
000 en ese momento y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 3 meses, con 
un rendimiento del 8% anual. Determinar el pago único convenido. 
 
Para plantear la ecuación, se dibuja primero el diagrama de tiempo - valor. 
 
A $10 000 X 
 
 
 0 30 60 90 120 150 180 
 B $25 000 I $20 000 
 
 
Se escoge como fecha focal a 150 días. Y se calculan los distintos valores y se plantea la ecuación de 
valores equivalentes entre los nuevos valores y los antiguos. 
Solución: 
Son 4 las operaciones implicadas: 2 de contratación de deuda y 2 de pago 
 
Contratación de deuda: 
 
Primero encontramos el monto de este capital de $10 000 con el interés pactado de la deuda 
 A. Datos: 
C= 10 000 M = C(1+ni) 
n = 90/360 = 3/12 
 i = 0.06 M = 10 000(1+ (0.25)(0.06) 
M = ? M = $10 150 Valor al vencimiento 
 
 Para este valor encontrado se calcula el monto al final del nuevo plazo considerando el nuevo interés 
pactado 
A. Datos: 
C = 10 150 
 n = 60/360 = 2/12 M = 10 150 (1+ (0.1666) (0.08) ) 
 i = 0.08 M = $10 285.33 Valor al final del nuevo plazo 
 
 
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29 
 Ahora, se calcula el monto para el segundo adeudo, de la fecha de vencimiento al final del nuevo plazo 
pactado. 
 B. Datos: 
 C = 25 000 
 n = 60/360 = 2/12 M = 25 000 ( 1 + (0.1666)(0.08) ) 
 i = 0.08 M = $25 333.33 Valor al final del nuevo plazo 
 
Pago: 
 
Enseguida se toma el valor del pago de $20 000 que se realizará a cuenta, a los dos meses de pactada la 
primera deuda y se encuentra su monto al final del nuevo plazo pactado. 
 
 Datos: 
 I. C = 20 000 M = 20 000 ( 1 + (3) (0.08/12) ) 
 n = 3 
 i = 0.08/12 M = $20 400 
 
 
Ecuaciones equivalentes: 
 
 A + B = I + X 
 10 285.33 + 25 333.33 = 20 400 + X 
 35 618.66 = 20 400 + X 
 35 618 .66 - 20 400 = X 
 15 218.66 = X 
 
Por lo tanto el valor del pago al final del nuevo plazo será de $ 15 218.66 
 
 
58. Una persona contrajo una deuda hace 5 meses por $25 000 con 1% mensual de interés y que vence 
en 5 meses. Además, debe pagar otra deuda de $100 000 contraída hace 2 meses con un interés del 
18% anual y que vence dentro de 3 meses. Considerando un interés del 20% anual, ¿qué pago deberá 
hacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 8 meses? 
 
 
 
 
 
 
 A I I I IB I I I I I I I I I I 
 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 X I 
 $100 000 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
59. Se tiene una deuda contratada hace 4 meses, con vencimiento dentro de 8 meses, por un valor de 
$50 000 que devenga un interés del 1% mensual. Además se firma el día de hoy otro documento con 
vencimiento a 10 meses, por un valor de $25 000 
Si dentro de 2 meses se pueden pagar $10 000 y se decide firmar un único documento que sustituya los 
2 anteriores, con vencimiento a 1 año a partir de hoy y que incluya un interés del 2% mensual. ¿Cuál 
será el valor de dicho documento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de reforzamiento: 
 
60.- Un niño de 5 años recibirá $120,000 al cumplir 21 años. ¿Cuál es el valor actual de este fondo, si 
el precio del dinero es del 5%? anual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61.- Una persona debía recibir el 15 de Dic. $ 100,000. Necesitando fondos 10 meses antes de dicha 
fecha, tomó prestado una suma de dinero tal, que la cantidad que recibiría el 15 de diciembre bastaría 
para pagar la deuda; con el interés del 5% ¿Cuánto dinero tomó prestado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
62.- Se obtiene un crédito por $ 1,800 a 160 días con 50% de int. Simple.¿Qué cantidad debe pagar al 
vencerse su deuda? (360)63.- Que cantidad por concepto de interés mensual produce un capital de $ 4,000 al 33% anual simple? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64.- El día que una compañía se declaró en quiebra, tenía una hipoteca que vencía poco después. El 
monto total, a pagar al vencimiento, ascendía a $ 15,450. Si el precio del dinero es el 6 % y el valor de 
la hipoteca en el momento de la quiebra es $ 15,380.79 ¿Cuántos días han transcurrido desde la quiebra 
hasta el vencimiento de la quiebra? ( considerar año de 360 días) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65.- Se tiene un pagaré de $ 24,000, sin interés, que vence el 19 de junio. El 14 de abril vende dicho 
pagaré y recibe a cambio $ 23,760.42 ¿ A qué tasa de interés se calculó este valor actual?( 360 ) 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
66.- ¿Cuál es el valor actual al 4% de un pagaré de $ 321 que vence dentro de seis meses con interés 
simple del 6% anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67.- Dos meses antes de su vencimiento, se pagó $ 10,115.70 por un pagaré a 120 días, de $ 10,000 
valor nominal, que devengaba el 6% de interés.¿Cuál fue la tasa de descuento usada para llegar a este 
valor actual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68.- Hállese el descuento al 5% del un pagaré que no devenga interés, de $ 1,725, pagadero a los 4 
meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69.- Qué cantidad se debe invertir hoy al 2.8% de int. Simple mensual para tener $ 2,000 dentro de dos 
meses? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
70.- Si la tasa de descuento es el 0.05 y $ 432.00 es el importe del descuento sobre una deuda de 
$35,000. ¿Cuál es el número de días hasta el vencimiento de la deuda? (Considerar año comercial.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71.- ¿Qué cantidad de dinero colocado en una inversión de renta fija que paga 40% de interés simple 
anual produce interés mensual por $ 450? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72.- Un señor recibió dos ofertas de $ 8,000 por una propiedad. El primero le ofrece $ 3,000 al contado 
y $ 5,000 a los seis meses, y el segundo le ofrece $ 5,000 al contado y $ 3,000 al cabo de un año.¿Cuál 
de las dos ofertas es mas ventajosa desde el punto de vista del valor actual? Considere un interés del 
8% anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73.-¿ Qué cantidad se recibió por un documento con valor de $ 1,150, que no devengaba interés, vencía 
a los 30 días, si el tipo de descuento era del 5% simple anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
74.- Una persona desea descontar en el Bco. un pagaré a 4 meses. El tipo de descuento del Bco. es el 
6%. ¿Por qué importe deberá extender el pagaré si desea recibir $ 5,000 como valor líquido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
75.- ¿Cuál es la fecha más temprana en que se puede descontar un pagaré de $ 450, que vence el 1° de 
junio, si desea recibir $ 441 como valor líquido? El tipo de Desc. Es el 6 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76.- A qué tasa de interés simple anual, $ 2,500 acumulan intereses por $ 500 en seis meses? 
 
 
 
 
 
 
 
77.- Se tiene un pagaré de $ 320 pagadero a los 6 meses, y con un interés del 1.5% mensuales, líquido, 
si el tipo de descuento fue del 6% anual simple? 
 
 
 
 
 
 
 
 
78.-Un señor recibió $ 1,235.42 como valor liquido de un pagaré a 60 días que descontó en el Bco. El 
valor nominal de dicha pagaré ascendía a $ 1,250.¿Cuál fue el tipo de descuento del Bco.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
79.- Cierta compañía vende mercancías por valor de $ 5,882.40 siendo los condiciones de pago 3/10 
n/60. Hállese el descuento si la factura es pagada dentro del período de descuento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
80.- Una mueblería envía mercancía por valor de $ 6,270. Las condiciones de pago indicadas en la 
factura son: contado 15%, 10/30, 5/60, n/90 ¿Cuáles son los tipos de interés anual equivalentes a esos 
descuentos? ¿Qué es lo que más le conviene hacer al comprador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81.- Para cambiar piso a un almacén, se ofrece un piso en un precio de catálogo de $ 985, con los 
descuentos en cadena de 10%, 8% y 15%. Si se aprovechan todos estos descuentos, ¿Cuál es el precio 
pagado y cuál es el descuento único equivalente? 
 
 
 
 
 
 
 
82.- ¿Cuánto debe por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $ 1,200 si la liquida 
6 meses después y le cobran interés a razón del 60% anual simple? 
 
 
 
 
 
 
 
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36 
83.- Una persona compro un radio que cuesta $ 1,500. Pago un enganche de $ 800 acuerda en pagar 
otros $ 800 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simple pagó? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84. Una persona contrajo una deuda el día de hoy por $20 000 para pagarse dentro de 10 meses, con la 
tasa de interés del 9.5% anual. Esta persona acuerda con su acreedor pagar 4 meses antes de la fecha de 
vencimiento para lo cual estipulan una nueva tasa de interés del 6.5% anual. 
Determine el pago equivalente a la deuda originalmente pactada a 10 meses que deberá cubrir 4 meses 
antes del vencimiento. 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
CAPÍTULO II 
 
INTERÉS COMPUESTO 
 
2.1 Concepto En el interés simple, el capital original sobre el cual se calculan los intereses permanece 
sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio, 
los intereses que se van generando, se van incrementando al capital original en períodos establecidos, y 
a su vez, van a generar un nuevo interés adicional. 
 
En el ámbito de los deudores de la banca esto se ha calificado como: “anatocismo”, que se caracteriza 
por el cobro de intereses sobre intereses, de manera que los abonos que se hacen a la deuda, en algunos 
casos, son insuficientes para cubrir dichos intereses y parte del capital que se debe, lo que da como 
resultado que la deuda se incremente en lugar de disminuir a lo largo del tiempo. 
 
2.2 Monto Se llama monto de un capital a interés compuesto, a la suma del capital inicial más sus 
intereses. 
Ejemplo: 
Encontrar el monto de un capital de $350 colocado a interés compuesto del 4% al cabo de 3 años. 
Capital inicial 350 
Tasa de interés X 0.04 14 + 350.00 = 364.00 
 
Capital al inicio 2º año 364 
Tasa de interés X 0.04 14.56 + 364.00 = 378.56 
 
Capital al inicio 3er año 378.56 
Tasa de interés X 0.04 15.14 + 378.56 = $ 393.70 
 
Utilizando la fórmula del monto donde: 
C = 350 
 i = 0.04 
 n = 3 
M = C ( 1 + i ) 
n
 
M = 350 ( 1.04 ) 
3 
M = $393.70 
 
 
Para el interés compuesto utilizaremos las siguientes fórmulas: 
 
 Fórmula para calcular el 
 Interés compuesto I = C (1 + i)
n
 -1 I = C (1 + j/m)
mn
 -1 
 
 
 
 Fórmula para calcular el 
 Monto a Interés compuesto M = C ( 1 + i ) 
n 
ó 
 
M = C ( 1 + j/m )
m n 
 
 
 
 
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38 
 
Fórmula para el valor 
 Valor actual ó capital C = M ó C = M( 1 + i )
- n
 
 ( 1 + i ) 
n 
 
 
 C = M ó C = M( 1 + j/m )
-m n
 
 ( 1 + j/m) 
mn
 
 
 
 Fórmula para encontrar 
 la tasa de interés i = 
n 
M - 1 
 C 
 
 Fórmula para encontrar 
el tiempo n = log M/C ó n = Log M – Log C 
 log 1 + i Log (1 + j/m)
m 
 
 
85.- Un señor deposita $25 000 a interés compuesto del 14% anual, al cabo de 6 años lo retira y quiere 
comprar un terreno que le cuesta $80 000 ¿Cuánto le falta para completar dicha cantidad? 
 
 
 
 
 
 
86.- Si se depositan $1 200 en un banco que paga el 4% anual, ¿Cuántos años deben transcurrir para 
poder obtener un monto de $1 459.98? 
 
 
 
 
 
 
87.- ¿Qué capital se debe invertir ahora, para obtener $5 000 dentro de 3 años, invertidos a interés 
compuesto del 6% anual? 
 
 
 
 
 
 
88.- ¿A qué tipo de interés debo invertir $300 para que al final del 5º año me entreguen $1,113.88? 
 
 
 
 
 
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39 
2.3 Tasa nominal, tasa efectiva Cuando el interés se capitaliza más de una vez por año, el tipo de 
interés anual declarado recibe el nombre de tasa o tipo nominal. Por ejemplo, si el banco dice que paga 
el 4% sobre los depósitos, capitalizable trimestralmente, en realidad, recibe un poco más del 4% ya que 
cada tres meses, el capital aumenta con los intereses. 
 
Tasa efectiva: se puede definir como aquella que efectivamente se recibe y es mayor a la tasa nominal. 
 
Símbolos: i = tasa efectiva 
 j = tasa nominal 
 m = número de capitalizaciones al año 
 
 
Fórmula para calcular 
 la tasa efectiva de i = ( 1 + i ) 
n 
– 1 
 interés 
 
 
 i = ( 1 + j/m ) 
mn 
– 1 
 
 
Fórmula para encontrar 
la tasa nominal jm = m (1 + i)
1/m 
– 1 
 
 
 jm = 
mn 
M/C 
 
- 1 m 
 
 El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama 
“período de capitalización” y el número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, se 
llama: frecuencia de conversión y se denota con m. 
 
 
 Si el período de capitalización es mensual entonces las siguientes expresiones son equivalentes: 
“el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente” o “interés 
nominal mensual”. 
Los valores más usuales de m son: 
 m = 2 para períodos semestrales 
 m = 3 para períodos cuatrimestrales 
 m = 4 para períodos trimestrales 
 m = 6 para períodos bimestrales 
 m = 12 para períodos mensuales 
 m = 13 para períodos de 28 días 
 m = 24 para períodos quincenales 
 m = 52 para períodos semanales 
 m = 360 ó 365 para períodos diarios 
 
 
 
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40 
89.- El banco paga a sus depositantes, interés a la tasa del 4 ½ % con capitalización semestral. Si se 
deja en depósito por un año $500 ¿Qué cantidad se le deberá al depositante al final del plazo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
90.- Una empresa obtiene un préstamo de habilitación por $150 000, el cual documenta con un pagaré 
con vencimiento a 3 años y que estipula intereses trimestrales del 6% liquidables al momento de la 
firma del documento ¿cuál será la cantidad líquida que reciba la empresa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
91.- ¿Qué capital total se habrá reunido después de tres y medio años, si se depositan $1,000 a interés 
compuesto del 16% convertible trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
92.- Una persona depositó $6 000 en un banco que paga a sus depositantes el 3% anual, capitalizable 
mensualmente. ¿Cuántos años tardará dicho depósito en llegar a $7 500? 
 
 
 
 
 
 
 
93.- ¿Cuál será el interés compuesto de $3 000 al 7% de interés anual durante 6 años; y cuál el de $3 
000 también al 7% en 6 años, pero con capitalización quincenal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41 
94.- Se desea formar un fondo de $25 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositarse hoy si el 
banco paga un interés del 11% capitalizable bimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
95.- ¿Qué tasa de interés nominal capitalizable trimestralmente, tendría que recibirse para que un 
depósito inicial de $1 650 llegue a la suma de $2 340 al final del 10º año? 
 
 
 
 
 
 
 
 
96.- ¿Cuánto tiempo tardarán $12 000 en llegar a $15 220 si se depositan en una cuenta que rinde el 
13% anual con capitalización bimestral? 
 
 
 
 
 
 
 
 
97.- Un banco paga a sus depositantes el 15% capitalizable cada 28 días, en tanto que otro banco paga 
el mismo interés pero capitalizable por semestres. Hallar el tipo anual efectivo en cada caso. 
 
 
 
 
 
 
98.- Si la inflación mensual promedio durante 6 meses ha sido del 1.2% ¿De cuánto será la acumulada 
en el semestre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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42 
99.- ¿Cuál será el porcentaje de la inflación en el primer cuatrimestre del año, si en los meses de enero, 
febrero, marzo y abril fue del 1.2, 0.9, 1.3 y 1.5% respectivamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100.- ¿Cuál será la tasa nominal anual con capitalización mensual a la que se capitalizaron $50 000 
durante tres meses para que nos entregaran $50 753.75 al final del plazo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101.- ¿Cuántos puntos porcentuales varió el Indice de Precios y Cotizaciones (IPC) de la Bolsa 
Mexicana de Valores, en 5 días de la semana, si el lunes aumentó 2.17%, el martes cerró a la baja en 
1.92%, el miércoles creció 1.78 puntos, el jueves creció 1.51 y el viernes bajó 0.23%? 
 
 
 
 
 
 
2.4 Ecuaciones de valor equivalente 
 
Para plantear y resolver problemas financieros, ya estudiamos apoyándonos con diagramas de tiempo, 
que nos facilitan para ubicar los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos 
desplazamientos nos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema, 
hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia; teniendo todas las 
cantidades en esa fecha, separamos los que correspondan a las deudas y los que correspondan a los 
pagos. 
 
Así agrupamos por una parte las deudas en el “debe” y por otro lado los pagos en el “haber”, 
estableciendo una igualdad que conocemos como ecuaciones de valor equivalente o simplemente 
ecuaciones de valor. 
 
Después esta ecuación se resuelve despejando la incógnita que en ella aparezca para lograr la solución 
del problema. 
 
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43 
Esta solución varía un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratándose de interéssimple, pero cuando el interés es compuesto, la solución es la misma para cualquier ubicación de la 
fecha focal. 
 
Ejemplo: 
Se deben $10 000 a un plazo de dos años y otros $20 000 a cinco años. Con el acreedor se acuerda en 
efectuar un pago único al final del plazo, conviniendo en un interés del 8% anual capitalizable 
semestralmente. Calcular el pago único. 
 
Elaboramos el diagrama de tiempo: 
 
 
 $10 000 $20 000 
 I I I I I I 
 0 1 2 3 4 5 
 Pago X 
 
La deuda de $10 000 se llevaría a un valor futuro al 5º año, por lo tanto encontraremos el monto. Los 
$20 000 únicamente se suman puesto que en esa fecha sería el pago. 
 
Datos: 
C = 10 000 
 n = 3 x 2 = 6 semestres 
 i = 0.08/ 2 = 0.04 
M = ¿ 
 Deudas Pago 
10,000(1.04)
 6
+ 20 000 = X 
 12 653.19 + 20 000 = X 
 32 653.19 = X 
 
Por lo tanto el pago único sería de $32 653.19 
 
 
Como mencionamos que puede tomarse cualquier otra fecha focal y que el resultado sería el mismo, 
tomemos ahora como fecha focal el 0 es decir la fecha de contratación de la deuda: 
 
 
 $10 000 $20 000 
 I I I I I I 
 0 1 2 3 4 5 
 Pago X 
 
Ahora llevaremos a un valor actual las cantidades, es decir le restaremos los intereses y las igualaremos 
al pago a realizar: 
 
Datos: 
M = 10 000 
 i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral) 
 n = 2 x 2 = 4 semestres 
C = ? 
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44 
 
M = 20 000 
 i = 0.08/2 = 0.04 (capitalización semestral) 
 n = 5 x 2 = 10 semestres 
C = ¿ 
 
10 000(1.04)
-4 
+ 20 000 (1.04)
-10 
= X ( 1.04)
-10
 
 
 
8 548.04 + 13 511.28 = X (0.675564) 
 
 22 059.32 = X 
 0.675564 
 
 $32 653.18 = X 
 
Encontramos que es la misma cantidad, $32 653.18 
 
102.- Se tiene una deuda contratada de $500 000 pagadera en dos abonos de $250 000 cada uno, a 3 y 
6 meses. Si se desea liquidar en 3 pagos bimestrales; si el primero es de $100 000 el segundo de $200 
000 ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa del 36% anual convertible mensualmente? 
b) Y suponiendo que el pago se realice en el mes 0 ? 
 
 $250 000 $250 000 
 I I I I I I I 
 0 1 2 3 4 5 6 
 $100 000 $200 000 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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45 
103.- Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $30 000 a 6 meses y otro 
de $50 000 en un año y medio. ¿Qué cantidad debería pagar para liquidar la deuda en un solo pago? 
a) en este momento 
b) en un año 
La tasa de interés es de 20% convertible mensualmente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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46 
104.- Una persona debe $25 000 a pagar en un año. Abona $5 000 a los a los 4 meses y $7,000 a los 6 
meses. ¿qué cantidad debe entregar a los 10 meses para liquidar la deuda si se considera un interés del 
18% anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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47 
Ejercicios de reforzamiento: 
105.- ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300,000 si se reembolsa al año 
capital e interés a una tasa aplicada de 0.24 anual convertible trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
 
106.- ¿Qué cantidad debería liquidarse en el préstamo del problema anterior, si se pagara al cabo de 10 
meses? 
 
 
 
 
 
 
 
107.- Se adquirió un sitio de construcción para una nueva gasolinera hace 10 años en $50,000. El sitio 
fue vendido hace poco en $120,000. Haciendo a un lado cualquier impuesto, determine la lasa de 
interés obtenida sobre la inversión, con capitalización mensual. 
 
 
 
 
 
 
 
108.- Una persona deposita su dinero en el banco a un plazo de 2 años y a un interés del 0.15 
convertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15 meses. 
¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si se depositó $12,000? 
 
 
 
 
 
 
 
109.- ¿Por qué cantidad es un pago a los 5 meses de la compra de un televisor, si se dio un enganche de 
de $5,800 que corresponden al 40% del precio y se tienen cargos del 24% anual capitalizable 
mensualmente? 
 
 
 
 
 
 
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48 
110.- El 6 de enero, cierta compañía compra materiales para la construcción de un edificio de 
departamentos, suscribiendo dos documentos con valor nominal de $135,000 y $82,000 y cuyo 
vencimiento respectivamente es el 19 de marzo y el 12 de mayo siguientes, cuyos intereses son del 
23% anual capitalizable mensualmente. Determine: 
a) el precio de contado de los materiales 
b) el cargo por concepto de intereses 
c) el valor líquido de los dos documentos el 15 de febrero con un descuento del 24% simple anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
111.- Para disponer de $7,250 el 2 de ju1io, el 15 de enero anterior cuánto debe invertirse al 25% de 
interés efectivo. (Considerar año comercial). 
 
 
 
 
 
 
 
 
112.- El 10 de agosto se consigue un crédito suscribiendo dos pagarés uno de $7,200 y otro de $6,500 
que vencen el 25 de septiembre y el 15 de octubre respectivamente. Poco antes de hacer el primer 
abono se conviene en reemplazarlos por dos iguales al 1º de octubre y al 10 de noviembre. 
a) ¿por cuánto fue el crédito? 
b) ¿por qué cantidad es cada uno de los nuevos pagos? 
Suponga intereses del 27.72% compuesto por días. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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49 
114.- ¿Cuánto tiempo tardarán $18,000 en ascender a $22,000 con una tasa nominal del 8% 
capitalizable trimestralmente? 
 
 
 
 
 
 
115.- Una persona tiene 4 adeudos de $7,000 $15,000 $12,000 y $13,500 que vencen respectivamente 
el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre; todos devengan intereses del 34.20%, 
capitalizable por días. En una reunión acuerda con sus acreedores hacerles 3 pagos iguales el 
quinceavo día de los meses de abril, junio y agosto en sustitución de los primeros. ¿De cuánto es cada 
uno?M.E. MARÍA LÓPEZ LARREA APUNTES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
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CAPITULO III 
 
ANUALIDADES 
 
3.1 Concepto Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos fijos de tiempo, 
aún para períodos inferiores a un año. Son ejemplo de anualidades: 
 Los pagos mensuales por renta 
 El cobro quincenal o semanal de sueldos o salarios 
 Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. 
 Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc. 
 
Se conoce como intervalo o período de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se 
denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer período de pago y el 
final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. También hay ocasiones en 
las que se habla de anualidades que, o no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos en 
intervalos iguales. 
 
Tipos de anualidades 
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de 
ellas. La clasificación que se hace corresponde a los siguientes criterios: 
 
 Criterio Tipos de anualidades 
 
a) Tiempo Ciertas (sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejem. 
 Las letras de pago de la compra de un auto.) 
 
 Contingentes (la fecha del primer pago o del último no se fijan de 
 antemano. Porque dependen de un hecho que no se sabe 
 cuándo ocurrirá. Ejem. Renta vitalicia a un cónyuge al 
 morir el otro) 
 
b) Intereses Simples (cuando el período de pago coincide con el de capitalización 
 de intereses.Ejem. pago de renta mensual y capitalización 
 mensual de intereses. 
 
 Generales (el período de pago no coincide con el período de capitalizac. 
 Ejem. Pago de renta semestral y capitalización mensual.) 
 
c) Pagos Vencidos (se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su 
 vencimiento. Ejem. Pago de Luz, tel, sueldos.) 
 
 Anticipados (los pagos se realizan al principio de cada período. 
 Ejem. El pago de la renta.) 
 
 
d) Iniciación Inmediatos (la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el 
 período que sigue inmediatamente a la formalización 
 del trato. ) 
 Diferidos (se acuerda que al adquirir algún artículo a crédito, la 
 primera de las mensualidades se hará por ejemplo, 
 3 meses después.) 
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De acuerdo con la anterior clasificación se puede distinguir diversos tipos de anualidades: 
 
 
 inmediatas 
 vencidas diferidas 
 ciertas 
 anticipadas inmediatas 
 diferidas 
 
 simples inmediatas 
 vencidas diferidas 
 
 contingentes inmediatas 
 anticipadas diferidas 
 
Anualidades inmediatas 
 vencidas diferidas 
 ciertas 
 anticipadas inmediatas 
 generales diferidas 
 
 inmediatas 
 vencidas diferidas 
 contingentes 
 anticipadas inmediatas 
 diferidas 
 
 
 
 
2.2 Anualidades vencidas De estos 16 tipos de anualidades, analizaremos algunas de ellas, de las más 
comunes, y comenzaremos con las simples, ciertas, vencidas e inmediatas. 
 
Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son: 
 
R la renta o pago por período 
A el valor actual o capital de una anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento 
 presente 
M el valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al 
 final de la operación 
n tiempo 
 i tasa de interés 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
 
Se tiene derecho a percibir $500 mensuales durante 5 meses, en anualidad vencida. Determinar qué 
cantidad se acumularía en una cuenta de inversiones que rinde el 24% anual convertible mensualmente. 
 
 
 
 
 I 
 0 1 2 3 4 5 
 $500 $500 $500 $500 $500 
 
Datos: 
R = 500 
 n = 5 
 i = 0.24/12= 0.02 
 
Puesto que consideramos interés compuesto, utilizamos la fórmula: M = C ( 1 + i ) 
n 
para cada uno 
de los depósitos, que gana interés por el tiempo que dura la anualidad. 
 
Primer mes 500(1.02)
4 
= 541.21 está depositado durante 4 meses 
segundo mes 500(1.02)
3 
 = 530.60 está depositado durante 3 meses 
tercer mes 500(1.02)
2 
= 520.20 está depositado durante 2 meses 
cuarto mes 500(1.02)
1 
= 510.00 está depositado durante 1 mes 
quinto mes 500 = 500.00 únicamente se suma, en ese momento se deposita 
 
 total = $2 602.01 
 
 
Fórmula para obtener el monto 
de una anualidad simple, cierta M = R (1 + i) 
n 
– 1 
vencida e inmediata