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Funciones 
Muchas situaciones en la vida real se describen mediante el 
concepto de funciones. 
Por ejemplo, un fabricante desea conocer la relación entre las 
ganancias de su compañía y su nivel de producción. ¿Cómo 
depende una cantidad de otra? 
Esta dependencia entre dos cantidades se describe 
convencionalmente en matemáticas mediante una función. 
Para comprender el concepto de función, suponga que usted vende 
jugos de naranja a $12 cada uno. Entonces, si vende un jugo de naranja 
su ingreso es de $12; si vende 2 jugos, su ingreso es de $24. 
Suponga que empleamos la notación I (1) para denotar el ingreso por 
vender un jugo, I (2) el ingreso por vender dos jugos. 
Entonces, I (1) = 12, I (2) = 24. De la misma forma, podemos definir 
I (3), I (4), y en general definimos 
I (x) el ingreso por vender x número de jugos. 
Podemos analizar esta información en la siguiente tabla: 
Jugos vendidos Cálculo del ingreso Ingreso Notación matemática 
1 (12)(1)=12 $12 I (1) = 12 
2 (12)(2)=24 $24 I (2) = 24 
3 (12)(3)=36 $36 I (3) = 36 
4 (12)(4)=48 $48 I (4) = 48 
x (12)( x)=12 x $12x I (x) = 12x 
 
De esta forma podemos definir una fórmula o regla para 
calcular el ingreso cuando se vende cualquier número 
de jugos. Por ejemplo, I (25) = 300 indica que el ingreso 
por vender 25 jugos es de $300. Diremos que la 
expresión que I (x) = 12x es la función que calcula el 
ingreso para cualquier número de jugos vendidos. La 
expresión I (x) se lee “I de x”. 
Ejemplo 
 
 Suponga que usted ha aceptado un puesto como vendedor de libros. El gerente le ha dicho que su sueldo 
dependerá del número de unidades que venda a la semana. 
Usted acuerda recibir $30 por cada libro que venda más un sueldo fijo de $250 a la semana. 
Para determinar la función de su sueldo semanal, se considera: 
 
S = sueldo semanal en pesos 
x = número de libros vendidos a la semana 
 
De esta manera, su sueldo semanal queda establecido por la función: 
 
S (x) = 30x + 250 
Dado cualquier valor para x, la sustitución de ese valor en S producirá el valor correspondiente de S. Por ejemplo, 
si se quiere calcular el sueldo semanal después de vender 100 libros, la sustitución de x = 100 en la ecuación 
resulta 
S (100) = 30(100) + 250 = 3250. 
Esto significa que si usted vende 100 libros semanales, su sueldo sería de $3250 a la semana 
En el siguiente cuadro se muestra un diagrama de la función sueldo del 
ejemplo anterior en la forma entrada-salida: 
Ejemplo 
 
El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de un carro de 
patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro es de 18,000 dólares. 
Han estimado también un costo promedio de operaciones de 0.40 dólares por milla. 
Determínese la función matemática que represente el costo total C de la obtención y 
operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra. 
¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 millas en su vida útil? 
Calcule y explique qué representa C(100 000). 
Solución. 
La función de costo está dada por 
C(x) = 0.40x + 18000 
Si el carro recorre 50000 millas, se estima que los costos totales son 
 
C(50000) = 0.40(50000) + 18000 = 38000. 
 
Por lo tanto, si el carro recorre 50000 millas, el costo total esperado es de $38000. 
 
C(100000) = 40(100000) + 18000 = 58000 representa el costo total si el auto recorre 100000 millas. 
Ejemplo 
 
Suponga que un profesor determina el siguiente criterio para motivar a sus estudiantes a 
obtener puntos extras de su examen diagnóstico: si obtiene menos de 30 puntos (con 
base a 100) no se le otorgan puntos extras; si obtiene de 30 a 50 puntos se le otorgará el 
3% de su diagnóstico; si obtiene más de 50 y menos de 70 se le otorga el 5%. Y si obtiene 
70 o más se le otorga el 10%. Exprese los puntos extras obtenidos por los estudiantes en 
función de su calificación en el examen diagnóstico. 
Solución 
Sea x la calificación obtenida en el examen y E los puntos extras obtenidos. 
Debemos expresar E en función de x. Note que el criterio definido para los puntos 
extras está dado por varias condiciones por lo que debemos definir la función en 
“partes”, una para cada condición. La función queda de la forma: 
Se deja como ejercicio al lector, calcular e interpretar E (25), E (30), E (60) y E 
(80). 
Ejercicios 
1. Suponga que x es el número de unidades de cierto artículo que pueden venderse cada mes en el mercado. Los 
ingresos en pesos están dados por Ia función I(x) = 600x – 5x2. Los costos están dados por la función C(x) = 100x + 
400. 
a. Calcule e interprete C(100) 
b. Calcule e interprete I (100) 
c. Calcule la ganancia por producir y vender 100 unidades 
d. Calcule la función de ganancias U que representa la ganancia ( o pérdida) por producir y vencer x unidades. 
e. Calcule e interprete U (0). 
 
2. Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura en pies después de t segundos está descrita por la función 
ℎ 𝑡 = 128𝑡 − 16𝑡2 + 4 
Calcule e interprete 
a. h(0) 
b. h(2) 
3. Es de considerable importancia conocer la distancia más corta d (en pies) en la cual 
un carro se puede detener, incluyendo el tiempo de reacción del conductor, a cierta 
velocidad v (en millas por hora). La investigación de seguridad ha encontrado la 
función que relaciona la velocidad del auto con la distancia más corta en que el auto 
determinado se puede detener 
𝑑(𝑣) = 0.044𝑣2 + 1.1𝑣 
 Calcule e interprete d(10), d(50), d(75). 
4. Cuando se introduce un software al mercado por primera vez se tiene gran éxito, 
las ventas semanales por lo general aumentan rápidamente durante un periodo y 
después empiezan a disminuir. Suponga que las ventas semanales V (en miles de 
unidades), t semanas después de que se introdujo el software están dadas por 
𝑉(𝑡) =
200𝑡
𝑡2 + 100
 
 Calcule e interprete V(1), V(2), V(8), V(10) y V(20).