5) Polinomios 3 - Multiplicación

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Multiplicación de Polinomios. 
Profesora Magaly Egea Ruiz 
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Multiplicación de Polinomios. 
Para multiplicar Polinomios lo más importante es recordar cómo se multiplican Potencias de Igual 
Base (recordemos que cuando no hay nada en el exponente es porque el exponente es 1). 
Veamos un ejemplo: 𝑥3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥2 = 𝑥3+1+2 = 𝑥6 
Esa es la propiedad fundamental que vamos a usar todo el tiempo. Luego debemos siempre hacer 
todo siguiendo un orden, en general el orden más simple y sencillo de seguir es multiplicar: 
1ro) Los signos 
2do) Números 
3ro) Letras en orden alfabético (siguiendo la propiedad de la multiplicación de potencias de igual 
base) 
Por ejemplo: 
3𝑥2𝑦3 ∙ 𝑥3𝑦 ∙ (−5𝑥𝑦6) ∙ 2𝑦 
1ro) Signos: + ∙ + ∙ − ∙ += − 
2do) números: 3 ∙ 1 ∙ 5 ∙ 2 = 30 
3ro) letras una a una por orden alfabético: 
 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑥1 = 𝑥2+3+1 = 𝑥6 
 𝑦3 ∙ 𝑦1 ∙ 𝑦6 ∙ 𝑦1 = 𝑦3+1+6+1 = 𝑦11 
Esto no es necesario hacerlo así, yo lo desglosé 
parte por parte para explicarlo, pero se hace 
directo. Quedaría como resultado: 
3𝑥2𝑦3 ∙ 𝑥3𝑦 ∙ (−5𝑥𝑦6) ∙ 2𝑦 = −30𝑥6𝑦11 
 
Recordemos que si no hay nada delante de la 
letra es porque hay un 1 invisible, si no hay nada 
de exponente también es un 1, por eso en 𝑥3𝑦 
realmente es 𝟏𝑥3𝑦𝟏 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
No olvidar que la regla de los signos de la suma y 
resta es diferente a la de la multiplicación y división: 
Suma y Resta: 
Signos Iguales→ 𝑆𝑈𝑀𝐴 (en el resultado se deja el 
mismo signo, por ejemplo: −2 − 3 = −5) 
Signos Diferentes→ 𝑅𝐸𝑆𝑇𝐴 (en el resultado se deja 
el signo el mayor en valor absoluto−2 + 3 = +1) 
Multiplicación y División 
+ ∙ + + − ∙ − 
+ ∙ − - − ∙ + 
Por ejemplo: 
• (−2) ∙ (−3) = +6 
• (−2) ∙ (+3) = −6 
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Bien. Ahora sí, vamos a ver como se multiplican los polinomios. 
Hay dos maneras de hacerlo. 
1) Usar la propiedad Distributiva 
2) Ordenarlos y completarlo. 
 
Vamos a ver la explicación paso a paso lentamente, ustedes pueden hacerlo más 
directo. 
 
1) Usar propiedad distributiva: 
Esta forma es la más útil cuando son polinomios pequeños, por ejemplo: 
𝐴(𝑥) = 2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1 
𝐵(𝑥) = −5𝑥
3 + 𝑥 
 
𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = (2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1) ∙ (−5𝑥3 + 𝑥) 
2𝑥2 ∙ (−5𝑥3) + 2𝑥2 ∙ 𝑥 
−10𝑥2+3 + 2𝑥2+1 
−10𝑥5 + 2𝑥3 
(ahora seguimos con −3𝑥4 en el siguiente paso) 
 
= (2𝑥2 − 3𝑥4 + 1) ∙ (−5𝑥3 + 𝑥) 
−10𝑥5 + 2𝑥3 − 3𝑥4 ∙ (−5𝑥3) − 3𝑥4 ∙ 𝑥 
−10𝑥5 + 2𝑥3 + 15𝑥4+3 − 3𝑥4+1 
−10𝑥5 + 2𝑥3 + 15𝑥7 − 3𝑥5 
(ahora seguimos con +1 en el siguiente paso) 
 
= (2𝑥2 − 3𝑥4 + 1) ∙ (−5𝑥3 + 𝑥) 
−10𝑥5 + 2𝑥3 + 15𝑥7 − 3𝑥5 + 1 ∙ (−5𝑥3) + +1 ∙ 𝑥 
−10𝑥5 + 2𝑥3 + 15𝑥7 − 3𝑥5 − 5𝑥3 + 1𝑥 
 
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Ahora sumamos los que sean iguales: 
−10𝑥5 + 2𝑥3 + 15𝑥7 − 3𝑥5 − 5𝑥3 + 1𝑥 
Vemos los exponentes. El mayor es 𝑥7así que empezamos por ahí, es el único que hay así que lo 
dejamos como está: 
+𝟏𝟓𝒙𝟕 − 10𝑥5 + 2𝑥3 − 3𝑥5 − 5𝑥3 + 1𝑥 
Luego, no hay 𝑥6 así que seguimos directamente con 𝑥5 
+15𝑥7 − 𝟏𝟎𝒙𝟓 + 2𝑥3 − 𝟑𝒙𝟓 − 5𝑥3 + 1𝑥 
+15𝑥7 − 𝟏𝟑𝒙𝟓 + 2𝑥3 − 5𝑥3 + 1𝑥 
Luego, no hay 𝑥4 así que seguimos directamente con 𝑥3 
+15𝑥7 − 13𝑥5 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟑 + 1𝑥 
+15𝑥7 − 13𝑥5 − 𝟑𝒙𝟑 + 1𝑥 
Acá terminamos porque no hay 𝑥2, 𝑥 hay una sola por lo que ya está lista y no hay término 
independiente (número sin x) 
Por lo tanto 
𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = (2𝑥
2 − 3𝑥4 + 1) ∙ (−5𝑥3 + 𝑥) = 𝟏𝟓𝒙𝟕 − 𝟏𝟑𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝒙 
 
2) Ordenarlo y completarlo: 
 
Esta forma se usa normalmente cuando los Polinomios son muy largos, pero ustedes usarán 
siempre el método que más les guste: 
Por ejemplo: 
𝐶(𝑥) = −𝑥
2 + 5𝑥3 + 2 
𝐷(𝑥) = −𝑥
5 + 𝑥 − 3𝑥3 + 5𝑥4 − 7 
 
Lo primero es ordenar y completar cada uno (además escribiré los 1 que faltan): 
𝐶(𝑥) = +5𝑥
3 − 1𝑥2 + 0𝑥1 + 2 
𝐷(𝑥) = −1𝑥
5 + 5𝑥4 − 3𝑥3 + 0𝑥2 + 1𝑥1 − 7 
 
Ahora vamos a multiplicar 𝐶(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) y para eso colocamos arriba el más largo (esto es sólo por 
comodidad, para que sea más fácil) 
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Voy a explicarlo en un espacio cuadriculado porque es muy importante el orden y la prolijidad 
cundo trabajamos con Polinomios, ya que hay muchos números, letras y exponentes es fácil 
perdernos y tener errores de atención. 
 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 
 
Ahora vamos a empezar a multiplicar uno por uno como lo hacemos con números normales, sólo 
que ahora hay signos, letras y exponentes 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 −2𝑥5 +10𝑥4 −6𝑥3 +0𝑥2 +2𝑥1 −14 
 
Vemos como siempre va a quedar en orden, es decir, siempre el término independiente debajo 
del término independiente, la 𝑥1 debajo de 𝑥1, la 𝑥2 debajo de 𝑥2 , y así cada uno de ellos, si no 
queda así es porque algo hicimos mal. 
Vamos ahora con el siguiente, dejaremos el primer espacio en blanco porque se empieza a 
multiplicar debajo del que hace la cuenta. En este caso, como el número es cero, simplemente 
dejamos su espacio vacío y seguimos con el siguiente. 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 −2𝑥5 +10𝑥4 −6𝑥3 +0𝑥2 +2𝑥1 −14 
 ---------- 
 
Vamos con el siguiente: 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 −2𝑥5 +10𝑥4 −6𝑥3 +0𝑥2 +2𝑥1 −14 
 +1𝑥7 −5𝑥6 +3𝑥5 +0𝑥4 −1𝑥3 +7𝑥2 ---------- 
 
 El cero no tiene signo, así que no importa que signo le pongan 
 
 
Ahora vamos con el siguiente 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
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 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 −2𝑥5 +10𝑥4 −6𝑥3 +0𝑥2 +2𝑥1 −14 
 +1𝑥7 −5𝑥6 +3𝑥5 +0𝑥4 −1𝑥3 +7𝑥2 ---------- 
 −5𝑥8 +25𝑥7 −15𝑥6 +0𝑥5 +5𝑥4 −35𝑥3 
 
Finalmente sumamos lo que queda, como ya está ordenado es muy fácil: 
 −1𝑥5 +5𝑥4 −3𝑥3 +0𝑥2 +1𝑥1 −7 
 +5𝑥3 −1𝑥2 +0𝑥1 +2 
 −2𝑥5 +10𝑥4 −6𝑥3 +0𝑥2 +2𝑥1 −14 
 +1𝑥7 −5𝑥6 +3𝑥5 +0𝑥4 −1𝑥3 +7𝑥2 ---------- 
 −5𝑥8 +25𝑥7 −15𝑥6 +0𝑥5 +5𝑥4 −35𝑥3 
 −5𝑥8 +26𝑥7 −20𝑥6 +1𝑥5 +15𝑥4 −42𝑥3 +7𝑥2 +2𝑥1 −14 
 
Terminamos, el resultado es 
𝐶(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) = −5𝑥
8 + 26𝑥7 − 20𝑥6 + 𝑥5 + 15𝑥4 − 42𝑥3 + 7𝑥2 + 2𝑥 − 14 
 
 
Esto es todo, les dejo la siguiente lista de reproducción con videos que explican todo lo que 
acabamos de ver: 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEFxJelhtAW18BCcJ_7p3OJ 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE 
Recordar que en la suma y resta de Polinomios no cambia nunca la x, ya que sólo 
se pueden sumar y restar letras iguales en todo, por eso los números sin x se suman y 
restan con números sin x, los que tienen 𝑥1 con 𝑥1, los que tienen 𝑥2 con 𝑥2 y los 
exponentes no cambian porque sólo estamos agrupando iguales. 
En cambio, en la multiplicación de Polinomios sí podemos unir diferentes, 
aplicamos la propiedad de Potencias de Igual Base 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLeySRPnY35dEFxJelhtAW18BCcJ_7p3OJ
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Trabajo Práctico 
Tomando en cuentas los siguientes polinomios: 
𝐴(𝑥) = 2𝑥
3 − 𝑥2 + 3 − 4𝑥 
𝐵(𝑥) = 3𝑥
4 + 𝑥5 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 
𝐶(𝑥) = 𝑥
5 + 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 
𝐷(𝑥) = 2𝑥
2 + 𝑥 − 2 
𝐸(𝑥) = 𝑥
3 − 2𝑥 + 1 
 
Resuelve las siguientes operaciones: 
1) 𝐷(𝑥) ∙ 𝐸(𝑥) 
2) 𝐴(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) 
3) 𝐵(𝑥) ∙ 𝐸(𝑥) 
4) 𝐶(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) 
5) 𝐶(𝑥) ∙ 𝐸(𝑥)