Guía n6 Matemática IV Medio

Vista previa del material en texto

 
 
 
Recordemos el concepto de función: 
 
Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f(x) de un 
conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom(f)) de la función y B es el conjunto de llegada o codominio, 
además el conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec(f)). 
 
Funciones 
 
Recordaremos como determinar el recorrido de una función … 
 
𝟏
𝒙𝟐+𝟏
 dejaremos 𝒇ሺ𝒙ሻ = 𝒚 
 𝒚 =
𝟏
𝒙𝟐+𝟏
 comenzamos a despejar 
 ሺ𝒙𝟐 + 𝟏ሻ ∙ 𝒚 = 𝟏 multiplicamos por el binomio que está en el 
 denominador 
 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚 = 𝟏 resolvemos el producto 
 𝒙𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝒚 
 𝒙𝟐 =
𝟏−𝒚
𝒚
 
 𝒙 = ට
𝟏−𝒚
𝒚
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Practicando lo aprendido 
 
1. Dados los siguientes gráficos indique si es o no es una función en el intervalo [𝑎, 𝑏], justifique su respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine cual o cuales de los siguientes diagramas sagitales corresponde a una función, justifica tu 
respuesta. 
 Para determinar el recorrido debemos despejar la variable “x” y desde ahí analizar. 
 𝒇ሺ𝒙ሻ =
 
 
 
 
3. Completa cada una tabla de 5 valores, como muestra el ejemplo, para las siguientes funciones. Recuerda 
respetar el dominio de cada una de ellas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Si f(x) es la función representada en el gráfico de la figura adjunta, determinar 
 
 
a. La imagen de 3 
 
b. La pre-imagen de 4 
 
c. 𝑓ሺ1ሻ = 
 
d. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 
 
e. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 
 
 
 
5. Determina Dominio y recorrido de cada una de las siguientes funciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 𝒇ሺ𝒙ሻ = 𝒙 + 𝟏 𝒚 = 𝒇ሺ𝒙ሻ 
x = -10 𝑓ሺ−10ሻ = -10 +1 
 = -9 
y = -9 
-8 
-5 
0 
2 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Practicando lo aprendido 
 
 
 
 
 
Estudiante, para profundizar pueden utilizar los siguientes recursos: 
Resolvamos y nos evaluamos 
 
Desafío PSU 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=bnzhk-
c42C4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=14&t=0s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=GicNW6V9CeU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5Mm
zUVrX&index=15&t=0s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ooZRj7_lPrQ&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzU
VrX&index=12&t=0s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=PS4xnU3f0kU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5Mmz
UVrX&index=3&t=0s 
 
 
https://drive.google.com/drive/folders/1POJnB7EgU-LTd0kdvXDQwLc4ZARNLKA6
https://www.youtube.com/watch?v=hkLnRAgdQ-0&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX
https://www.youtube.com/watch?v=hkLnRAgdQ-0&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX
https://www.youtube.com/watch?v=bnzhk-c42C4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=14&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=bnzhk-c42C4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=14&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=GicNW6V9CeU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=15&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=GicNW6V9CeU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=15&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=ooZRj7_lPrQ&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=12&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=ooZRj7_lPrQ&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=12&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=PS4xnU3f0kU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=3&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=PS4xnU3f0kU&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=3&t=0s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Practicando lo aprendido 
2 – 13𝑥 – 10 
 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. (𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒂 = 𝟑 > 𝟎). 
 
𝑏. 𝑉 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 – 10 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −10). (𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑪 = −𝟏𝟎) 
 
𝑐. 𝐹 𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥2 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. (𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒂 = −𝟏 < 𝟎) 
 
𝑑. 𝐹 𝐿𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = −𝑥2 – 4𝑥 – 1 
 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, 1). (𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑪 = −𝟏, 
 𝑷𝑶𝑹 𝑻𝑨𝑵𝑻𝑶 𝑬𝑳 𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑺𝑬𝑪𝑻𝑨 𝑨𝑳 𝑬𝑱𝑬 𝑫𝑬 𝑳𝑨𝑺 𝑶𝑹𝑫𝑬𝑵𝑨𝑫𝑨𝑺 𝑬𝑺 (𝟎. −𝟏) 
 
𝑒. 𝐹 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 4𝑥 + 4, 𝑓(2) > 𝑓(0), 𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒇(𝟐) = 𝟎 𝒚 𝒇(𝟎) = 𝟒 
 
𝑓. 𝑉 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = −𝑥2 – 4𝑥 + 4, 𝑓(2) < 0. 𝑃𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒇(𝟐) = −𝟖 𝒚 − 𝟖 < 𝟎 
 
𝑔. 𝑉 𝑆𝑖 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 1, 𝑦 ℎ(𝑥) = 2𝑥 – 1 – 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔(1) = ℎ(1). 
 𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒈(𝟏) = 𝟎 𝒚 𝒉(𝟏) = 𝟎 
 
Dada la función cuadrática f(x) = 𝑥2 + 2x – a 
 
ℎ. 𝑉 𝑆𝑖 𝑎 = 0, 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, 0). 𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑶 𝑸𝑼𝑬 𝒄 = −𝒂 
 
𝑖. 𝐹 𝑆𝑖 𝑎 > −1, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
 𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = −𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 
 ∆= 𝑏2 − 4ac 
 = 22 − 4 ∙ 1 ∙ −𝑎 
= 4 + 4𝑎 
 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 4 + 4𝑎 < 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 4 + 4𝑎 < 0 
 4𝑎 < −4 
 𝑎 < −
4
4
 
 𝒂 < −𝟏 
 
𝑗. 𝑉 𝑆𝑖 𝑎 = −1, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
 𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 4 + 4𝑎 = 0 
 4𝑎 = −4 
 𝑎 = −
4
4
 
 𝒂 = −𝟏 
 
𝑘. 𝐹 𝑆𝑖 𝑎 < −1, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
 𝑃𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑟 ∆> 0 
 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 4 + 4𝑎 > 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 
 4 + 4𝑎 > 0 
 4𝑎 > −4 
 𝑎 > −
4
4
 
 𝒂 > −𝟏 
 
1. Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones. 
𝑎. 𝑉 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 3𝑥
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
Solucionario Guia 5
 
2. Considerando los puntos estudiados de la función cuadrática, grafica las siguientes: 
 
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟕 
 𝒂 > 𝟎, 𝒂 = 𝟏 
 EJE DE SIMETRÍA 
𝒙 = −
𝟖
𝟐 ∙ 𝟏
 
 𝒙 = −𝟒 
 VÉRTICE 
𝑽 = (−𝟒, 𝒇(−𝟒)) → 𝒇(−𝟒) = (−𝟒)𝟐 + 𝟖(−𝟒) + 𝟕 
 = 𝟏𝟔 − 𝟑𝟐 + 𝟕 
 = −𝟗 
∴ 𝑽(−𝟒, −𝟗) 
 CEROS DE LA FUNCIÓN 
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟕 = 𝟎 
(𝒙 + 𝟕)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 
𝒙𝟏 = −𝟕 y 𝒙𝟐 = −𝟏 
 INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ORDENADAS 
𝒄 = 𝟕 
∴ (𝟎, 𝟕) 
 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ 𝒚 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = [−𝟗, +∞[ 
 
 
 
b) 𝒉(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔 
 
 𝒂 < 𝟎, 𝒂 = −𝟏 
 EJE DE SIMETRÍA 
𝒙 =
−𝟏𝟎
𝟐 ∙ −𝟏
 
𝒙 = 𝟓 
 VÉRTICE 
𝑽 = (𝟓, 𝒇(𝟓)) → 𝒇(𝟓) = −(𝟓)𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ (𝟓) − 𝟏𝟔 
= −𝟐𝟓 + 𝟓𝟎 − 𝟏𝟔 
= 𝟗 
∴ 𝑽(𝟓, 𝟗) 
 CEROS DE LA FUNCIÓN 
−𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
(𝒙 − 𝟖)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 
𝒙𝟏 = 𝟖 y 𝒙𝟐 = 𝟐 
 INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ORDENADAS 
𝒄 = −𝟏𝟔 
∴ (𝟎, −𝟏𝟔) 
 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ 𝒚 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = ]−∞, 𝟗] 
 
 
 
 
c) 𝒑(𝒙) = (𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟏𝟎 
𝒑(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏 
 𝒂 > 𝟎, 𝒂 = 𝟏 
 EJE DE SIMETRÍA 
𝒙 =
−𝟔
𝟐 ∙ 𝟏
 
𝒙 = −𝟑 
 VÉRTICE 
𝑽 = (−𝟑, 𝒇(−𝟑)) → 𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 +𝟔 ∙ (−𝟑) − 𝟏 
 = 𝟗 − 𝟏𝟖 − 𝟏 
 = −𝟏𝟎 
∴ 𝑽(−𝟑, −𝟏𝟎) 
 CEROS DE LA FUNCIÓN 
(𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟎 
 (𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟎 
 (𝒙 + 𝟑) = ±√𝟏𝟎 
 𝒙 = −𝟑 ± √𝟏𝟎 
𝒙𝟏 = −𝟑 + √𝟏𝟎 y 𝒙𝟐 = −𝟑 − √𝟏𝟎 
 INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ORDENADAS 
𝒄 = −𝟏 
 ∴ (𝟎, −𝟏) 
 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ 𝒚 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = [−𝟏𝟎, +∞[ 
 
d) 𝒒(𝒙) = −(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟓 
𝒒(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒 
 
 𝒂 < 𝟎, 𝒂 = −𝟏 
 EJE DE SIMETRÍA 
𝒙 =
−𝟐
𝟐 ∙ −𝟏
 
𝒙 = 𝟏 
 VÉRTICE 
𝑽 = (𝟏, 𝒇(𝟏)) → 𝒇(𝟏) = −(𝟏)𝟐 + 𝟐 ∙ (𝟏) + 𝟒 
 = − 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 
 = 𝟓 
∴ 𝑽(𝟏, 𝟓) 
 CEROS DE LA FUNCIÓN 
−(𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟓 = 𝟎 
 (𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟓 = 𝟎 
 (𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝟓 
 (𝒙 − 𝟏) = ±√𝟓 
 𝒙 = 𝟏 ± √𝟓 
𝒙𝟏 = 𝟏 + √𝟓 y 𝒙𝟐 = 𝟏 − √𝟓 
 INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS ORDENADAS 
𝒄 = 𝟒 
 ∴ (𝟎, 𝟒) 
 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ 𝒚 𝑹𝒆𝒄 𝒇 = ]−∞, 𝟓] 
 
 
 
PREPARACIÓN PSU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencia 
 
Los siguientes gráficos muestran funciones potencia y la tabla adjunta las funciones que generan dichas 
gráficas. Ubique el número de la función correspondiente de la tabla en la línea punteada de cada gráfica. 
 
 
Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UN POCO DE ANALISIS 
 
https://www.youtube.com/watch?v=EVTfYEUOHP4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&inde
x=5&t=0s 
 
https://www.youtube.com/watch?v=zmL12JP8_pM&list=PLOa7j0qx0jgOG2klJFrw4zu9VtDeSC88g&index=2
&t=0s 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=EVTfYEUOHP4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=5&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=EVTfYEUOHP4&list=PLOa7j0qx0jgN7IJEtLJ1EJpXa5MmzUVrX&index=5&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=zmL12JP8_pM&list=PLOa7j0qx0jgOG2klJFrw4zu9VtDeSC88g&index=2&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=zmL12JP8_pM&list=PLOa7j0qx0jgOG2klJFrw4zu9VtDeSC88g&index=2&t=0s