Modulo ingenierias y tecnologia CEAA Asesorias 2020

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Asesorías rumbo a la UANL 
MÓDULO 
“INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍA” 
(Matemáticas, Física, Lenguaje escrito e Inglés) 
2020 
 
APLICA PARA TODAS LAS CARRERAS DE LAS 
SIGUIENTES FACULTADES: 
- CIENCIAS QUÍMICAS 
- FIME 
- CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS 
- INGENIERÍA CIVIL 
 
TAMBIÉN APLICA PARA LAS SIGUIENTES CARRERAS DE 
LA FACULTAD DE AGRONOMÍA: 
- Ingeniero en Industrias Alimentarias 
 
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Ingenierías y tecnología
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MATEMÁTICAS
1. Funciones 
Una función es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos 
conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto se asigna un único 
elemento del segundo conjunto. 
Ejemplo: 12)( += xxf 
Se lee “f de x es igual a dos x más uno” 
1.1 Evaluación de funciones 
Para evaluar una función, sustituimos el valor de la variable independiente. 
Ejemplo 
Evalúa la siguiente función en el valor dado: 
1. 53)( −= xxf en 5−=x 
 5)5(3)5( −−=−f 
 515)5( −−=−f 
 20)5( −=−f 
 
2. 52)( += xxg en bax 2+= 
 5)2(3)2( −+=+ babaf 
 563)2( −+=+ babaf 
 
Ejercicio 1.1 
Evalúa las siguientes funciones en los valores dados. 
1. 1)( += xxf 
 
a) x=2 
 
b) x=3 
 
c) x=0 
 
d) x=a+b 
 
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2. 132)( 2 +−= xxxg 
a) x=-2 
 
 
b) x=1 
 
 
c) x=0 
 
 
d) x=2a+3b 
 
3. 
12
3
)(
2
+
−
=
t
t
ts 
a) t=-1 
 
 
b) t=2 
 
 
c) t=0 
 
 
d) t=x-y 
 
1.2 Operaciones con funciones 
1.2.1 Suma de funciones 
La suma, denotada por f + g, es la función definida por 
)()())(( xgxfxgf +=+ 
Ejemplo: 
Dadas las funciones 12)( += xxf y 23)( −= xxg encuentra: 
)()())(( xgxfxgf +=+ 
 )23()12( −++= xx 
 2312 −++= xx 
 15 −= x 
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1.2.2 Diferencia de funciones 
La diferencia, denotada por f – g, es la función definida por 
)()())(( xgxfxgf −=− 
Ejemplo 
Dadas las funciones 12)( += xxf y 23)( −= xxg encuentra: 
)()())(( xgxfxgf −=− 
 )23()12( −−+= xx 
 2312 +−+= xx 
 3+−= x 
 
 
1.2.3 Producto de funciones 
El producto, denotado por gf  , es la función definida por 
)()())(( xgxfxgf = 
Ejemplo 
Dadas las funciones 12)( += xxf y 23)( −= xxg encuentra: 
)()())(( xgxfxgf = 
 )23)(12( −+= xx 
 2346 2 −+−= xxx 
 26 2 −−= xx 
 
 
1.2.4 Cociente de funciones 
El cociente, denotado por 
g
f
, es la función definida por 
0)(
)(
)(
)( =





xg
xg
xf
x
g
f
 
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Ejemplo 
Dadas las funciones 12)( += xxf y 23)( −= xxg encuentra: 
0)(
)(
)(
)( =





xg
xg
xf
x
g
f
 
 
23
12
−
+
=
x
x
, 023 −x 
 
23
12
−
+
=
x
x
, 
3
2
x 
 
 
1.2.5 Composición de funciones 
f compuesta con g, denotada por gf  , es la función definida por 
))(())(( xgfxgf = 
Una composición de funciones es una función dentro de otra función. 
Ejemplo 
Dadas las funciones 12)( += xxf y 23)( −= xxg encuentra: 
))(())(( xgfxgf = 
 )23( −= xf 
 1)23(2 +−= x 
 146 +−= x 
 36 −= x 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 
Dadas las funciones 23)( xxf = y 15)( += xxg 
a) =+ ))(( xgf 
 
 
b) =− ))(( xgf 
 
 
 
c) = ))(( xgf 
 
 
d) =





)(x
g
f
 
 
 
 
e) =))(( xgf  
 
 
Ejercicio 1.2 
1. Dadas las funciones xxf 2)( = y 4)( −= xxg 
a) =+ ))(( xgf 
 
 
b) =− ))(( xgf 
 
 
c) = ))(( xgf 
 
 
d) =





)(x
g
f
 
 
 
e) =))(( xgf  
 
 
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2. Dadas las funciones 5)( 2 −= xxf y xxg 4)( −= 
a) =+ ))(( xgf 
 
 
b) =− ))(( xgf 
 
 
c) = ))(( xgf 
 
 
d) =





)(x
g
f
 
 
 
e) =))(( xgf  
 
 
2. Límite de funciones 
2.1 Límite de una función polinomial 
Para encontrar el límite de funciones polinomiales aplicaremos el método de la 
sustitución. 
)()(lim afxf
ax
=
→
 
 
Ejemplo 
Encuentra los siguientes límites: 
( ) 42)2(2lim
2
=+=+
→
x
x
 
 
 
( )=+−
−→
12lim 2
3
xx
x
 
 
 
( ) =
→
x
x
7lim
2
1
 
 
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Ejercicio 2.1 
Encuentra los siguientes límites: 
 
a) ( ) =−
→
14lim
1
x
x
 
 
b) ( )=++
−→
23lim 2
2
xx
x
 
 
c) ( ) =
→
x
x
5lim
2
3
 
2.2 Límite de una función racional 
Para encontrar el límite de funciones racionales aplicaremos el método de la 
sustitución, en el dado caso que al evaluar te quede 0/0, simplificaremos la función 
racional y volveremos a sustituir. 
Ejemplo 
Encuentra los siguientes límites: 
2
7
35
25
3)5(
2)5(
3
2
lim
5
=





−
+
=





−
+
=





−
+
→ x
x
x
 
 
=





+
−
−→ 3
9
lim
2
3 x
x
x
 
Ejercicio 2.2 
Encuentra los siguientes límites: 
 
a) =





+
−
→ 1
5
lim
2 x
x
x
 
 
b) =





+
++
−→ 2
65
lim
2
2 x
xx
x
 
 
c) =





−
+−
→ 5
56
lim
2
5 x
xx
x
 
 
d) =





+−→ 14
3
lim
1 xx
 
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3. Derivada de funciones algebraicas 
3.1 La derivada de una constante 
Si c es una constante y f(x)=c; entonces f´(x)=0 
Ejemplo 
Deriva la siguiente función: 
1. 0)´(1)( == xfxf 
Ejercicio 3.1 
Deriva las siguientes funciones: 
a) 7)( =xf 
 
b) 2)( −=xg 
 
c) 
3
1
)( =xh 
 
d) =)(ts 
 
3.2 Regla de la potencia 
Si n es un número racional y nxxf =)( entonces 1)´( −= nxnxf 
Ejemplo: 
Deriva las siguientes funciones: 
1. 7)( xxf = 
 
177)´( −= xxf 
 
67)´( xxf = 
 
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Ejercicio 3.2 
Deriva las siguientes funciones: 
 
a) 5)( xxf = 
 
b) 3
4
)( xxg = 
 
 
c) xxh =)( 
 
 
d) 
8
1
)(
t
ts = 
 
 
3.3 Regla del factor constante 
La derivada de una constante por una función es igual a la constante multiplicada 
por la derivada de la función. Es decir, si c es una constante y f´(x) existe 
entonces: 
  )´()( xcfxcf
dx
d
= 
 
Ejemplo: 
Deriva las siguientes funciones: 
 
1. 144 )4(3)´(3)( −−=−= xxfxxf 312)´( xxf −=Este archivo fue descargado de https://filadd.com
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Ejercicio 3.3 
Deriva las siguientes funciones: 
a) 53)( xxf = 
 
b) 3
4
2)( xxg −= 
 
 
c) xxh 4)( = 
 
 
d) 
5
3
)(
t
ts = 
 
3.4 Regla de la suma 
Si h(x) = f(x) + g(x) y las derivadas de f(x) y g(x) existen, entonces h´(x) existe y 
h´(x) = f´(x) + g´(x) 
 
Ejemplo: 
Deriva las siguientes funciones: 
1. 171474 )7(5)4()´(5)( −− +−=+−= xxxfxxxf 63 354)´( xxxf +−= 
Ejercicio 3.4 
Deriva las siguientes funciones: 
a) 43)( 25 −+= xxxf 
 
b) xxxg 32)( 3 −= 
 
c) 
t
tt
ts
2
46
)(
25 −
= 
 
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3.5 Regla del producto 
Si h(x) = f(x) g(x) y las derivadas de f(x) y g(x) existen, entonces h´(x) existe y está 
dada por 
h´(x) = f(x) g´(x) + g(x) f´(x) 
“La derivada de un producto de funciones es igual al primero por la derivada del 
segundo más el segundo por la derivada del primero” 
 
Ejemplo 
Deriva las siguientes funciones: 
1. )13)(62()( 2 +−= xxxf 
 )2)(13()6)(62()´( 2 ++−= xxxxf 
 263612)´( 22 ++−= xxxxf 
 23618)´(
2 +−= xxxf 
 
 
 
Ejercicio 3.5 
Deriva las siguientes funciones: 
a) )25)(74()( 2 +−= xxxf 
 
 
 
 
 
b) )13)(13()( 2 −++= xxxxg 
 
 
 
 
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3.6 Regla del cociente 
Si h(x) = f(x) / g(x) y las derivadas de f(x) y g(x) existen y g(x) ≠ 0 entonces h´(x) 
existe y está dada por: 
 2)(
)´()()´()(
)´(
xg
xgxfxfxg
xh
−
= 
“La derivada de un cociente de funciones es igual el de abajo por la derivada del 
de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al 
cuadrado” 
 
Ejemplo 
Deriva las siguientes funciones: 
1. 
35
2
)(
+
=
x
x
xf 
 
2)35(
)5)(2()2)(35(
)´(
+
−+
=
x
xx
xf 
 
2)35(
10610
)´(
+
−+
=
x
xx
xf 
 
2)35(
6
)´(
+
=
x
xf 
 
Ejercicio 3.6 
Deriva las siguientes funciones: 
a) 
23
54
)(
2 −+
−
=
xx
x
xf 
 
 
 
 
b) 
5
65
)(
2 −
−
=
x
x
xg 
 
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3.7 Regla de la cadena 
Sea  nxuxf )()( = entonces    )(́)()(́ 1 xuxunxf n−= 
Ejemplo 
Deriva las siguientes funciones: 
1. ( )852)( += xxf 
( ) )2(528)(́ 18−+= xxf 
( )75216)(́ += xxf 
 
Ejercicio 3.7 
Deriva las siguientes funciones: 
a) ( )247)( −= xxf 
 
 
 
b) ( )313)( += xxg 
 
 
 
c) xxh 3)( = 
 
4. La integral 
La integración es la operación inversa de la derivación. 
Reglas de integración 
Sea k una constante 
 
1. cxkdxk += 
 
 
 
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Ejemplo: 
 += cxdx 4545 
 
 
2. dxxfkdxxfk  = )()( 
Ejemplo: 
 = dxxdxx 33 
 
 
3.    = dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
Ejemplo: 
  +=+ dxxdxxdxxx 43)43( 22 
 dxxdxx  += 43 2 
 
 
4. Si n es un número racional, entonces: 
1
1
1
−+
+
=
+
nc
n
x
dxx
n
n 
 
Ejemplo: 
 = dxxdxx 55 33 
 c
x
+





+
=
+
15
3
15
 
 c
x
+





=
6
3
6
 
 c
x
+=
2
6
 
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Ejercicio 4 
Resuelve las siguientes integrales. 
a) = dx5 
 
 
 
b) =+ dxx )32( 
 
 
 
c) =+−+− dxxxxx )72985( 234 
 
 
 
d) = dxx 
 
 
 
e) =




 +
 dtt
tt 35 75
 
 
 
 
f) = dxx43 
 
 
 
g) =− duuu )23( 35 
 
 
 
h) =− dyyy )32( 23 
 
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5. La integral definida 
La integral definida está dada por: 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−= 
Ejemplo 
Resuelve las siguientes integrales. 
 
2
1
12
2
1
2
12



+
=
+

x
dxx 
 
2
1
3
3



=
x
 
 
3
)1(
3
)2( 32
−= 
 
3
1
3
8
−= 
 
3
7
= 
Ejercicio 5 
Resuelve las siguientes integrales. 
 a) =
2
1
2 dxx 
 
 
b) =−
3
1
)1( dxx 
 
 
 
c) =−
4
1
dxx 
 
 
d) =+
3
0
)12( dxx 
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6. Material Extra 
1. De acuerdo con la figura, ¿Cuántos centímetros mide el radio de la figura? 
 
 
a) 2.44 b) 2.54 c)2.61 
d) 2.71 
 
2. ¿Cuál es el valor de x en la figura? 
 
 
a) 3.45 b) 10.35 c)12.07 
d)19.45 
 
3. Se tiene una pecera cilíndrica de 20 cm de radio y su altura es 2 veces su 
perímetro. ¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, que se necesita 
para llenarla en su totalidad? 
a) 15,791 b) 31,582 c) 157,914 
d) 315, 827 
Considere: 
Sen 45°= 0.707 
Cos 45° = 0.707 
Sen 67.5° = 0.924 
Cos 67.5 = 0.383 
 
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4. Si los lados de la figura y el diámetro de los semicírculos miden lo mismo. 
¿Cuál el perímetro total de la figura sombreada? 
 
a) 24.28 b)27.42 c)36.84 
d)46.27 
5. ¿Cuánto suman las áreas de todas las caras de la figura? 
 
a) 31 b) 52 c)72 
d) 300 
 
6. ¿Cuál es la pendiente de la ecuación lineal? 
 016412 =−− yx 
a) -3 b)-1/3 c)1/3 
d) 3 
 
7. ¿Cuál es el máximo común divisor de 300 y 750? 
 
a) 10 b) 50 c)150 
d)300 
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8. Las exportaciones de uvas de mesa en Perú en el 2006 alcanzaron 
$360,000,000. 6 años más tarde se incrementó en un factor de 9.1. ¿Cuánto 
dinero se obtuvo ese año? 
 
a) 1.96 x 109 b)3.28 x 109 c)19.06 x 109 
d) 32.8 x 109 
 
9. ¿Cuál es el resultado de la división del polinomio? 
xy
yxyxyx
2
48182234 −+
 
 
a) )249( 2 yxxx −+ a) )249( 23 yxxx −+ 
a) )249( 22 yxxyx −+ a) )249( 233 yxxyx −+ 
10. ¿Cuál es el resultado de simplificar la expresión utilizando productos 
notables? 
107
63
2
2
+−
−
xx
xx
 
 
a) 
2
3
−x
x
 b) 
5
3
−x
x
 c) 
)23)(5(
)2(3
−+
−
xx
xx
 d) 
10)7(
)2(3
+−
−
xx
xx
 
 
 
11. Luis lanza una cuerda hacia una ventana que está a 2.3 m de distancia y a 
4.2 m de altura. Si la cuerda queda recta, ¿cuántos metros mide? 
 
 
a) 4.79 b) 6.50 c) 12.35 
d) 22.93 
 
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12. ¿Cuál es el resultado de la operación? 
2
32
103
1091027
x
xx +−
 
 
a) 30.00009 b) 30.00081 c)30.0009 
d) 30.0081 
 
 
13. ¿Cuál es la gráfica de la expresión 4)2()2( 22 =++− yx ? 
 
 
 
 
 
 
 
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14. Si la distancia entre el punta A y el B es de 10 m, ¿Cuál es la distancia de 
B al árbol? 
 
a) 


91
55
10
sen
sen
 a) 


34
55
10
sen
sen
 a) 


91
34
10
sen
sen
 
a) 


55
34
10
sen
sen
 
 
 
15. De acuerdo con los datos del triángulo y usando las leyes de los senos, 
¿Cuál es el valor a? 
 
 
Considere: 
Sen 35°= 0.5 
Sen 64° = 0.8 
a) 26.25 b) 33.60 c)42.00 
d)52.00 
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16. Realice la siguiente operación y señale el resultado 
4
5
3
2
2
3











− 
 
 
a) 
5
4
 b) 
4
5
 c) 
5
4
− 
d) 
4
5
− 
 
17. De acuerdo con los datos de la imagen, ¿Cuál es la ecuación de la recta 
que pasa por el camino más corto entre Rocío y Gustavo? 
 
 
 
 
a) 13x + 2y + 62 = b) 2x +13y-62 = 0 
c) 2x – 13y – 62 = 0 d) 13x+ 2y – 62 = 0 
 
 
18. La ecuación 3x – 4y + 8 = 0 representa a una recta con: 
 
a) 2,
4
3
== bm b) 2,
4
3
−=−= bm c) 
4
3
,2 =−= bm d)
4
3
,2 −== bm 
 
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19. ¿Cuál es el valor de a usando el teorema de Pitágoras? 
 
a) 5 b)7 c)10 d) 14 
 
20. ¿Cuál es el resultado del producto notable? 
)3)(5( +− yy 
 
a) 1582 +− yy b) 1522 −− yy c) 1582 −+ yy d) 1582 −− yy 
Respuestas de los ejercicios 
Evaluación de una función 
Ejercicio 1.1 
1. 
a) 3 
b) 4 
c) 1 
d) 1++ba 
 
2. 
a) 15 
b) 0 
c) 1 
d) 19618248 22 +−−++ bababa 
3. 
a) 2 
b) 1/5 
c) – 3 
d) 
122
32 22
+−
−+−
yx
yxyx
 
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Operación con funciones 
Ejercicio 1.2 
 
1. 
a) 43 −x 
b) 4+x 
c) xx 82 2 − 
d) 4
4
2

−
x
x
x
 
e) 82 −x 
2. 
a) 542 −− xx 
b) 542 −+ xx 
c) xx 204 3 +− 
d) 0
4
52

−
−
x
x
x
 
e) 516 2 −x 
 
Límite de una función polinomial 
Ejercicio 2.1 
a) 3 
b) 12 
c) 15/2 
Límite de una función racional 
Ejercicio 2.2 
a) –1 
b) 1 
c) 4 
d) –1 
La derivada de una constante 
Ejercicio 3.1 
a) 0 
b) 0 
c) 0 
d) 0 
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Regla de la potencia 
Ejercicio 3.2 
a) 45x 
b) 3
3
4
x 
c) 1 
d) 
9
8
t
−
 
Regla del factor constante 
Ejercicio 3.3 
a) 415x 
b) 3
3
8
x− 
c) 
x
x
x
22
= 
d) 
6
15
t
−
 
Regla de la suma 
Ejercicio 3.4 
a) xx 65 4 + 
b) 36 2 −x 
c) 212 3 −t 
 
Regla del producto 
Ejercicio 3.5 
a) 87060 2 +− xx 
b) xx 209 2 + 
Regla del cociente 
Ejercicio 3.6 
a) 
22
2
)23(
7104
−+
++−
xx
xx
 
b) 
22
2
)5(
30106
−
+−
x
xx
 
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Regla de la cadena 
Ejercicio 3.7 
a) )47(14 −x 
b) 2)13(9 +x 
c) 
x
x
x 2
3
32
3
= 
La integral 
Ejercicio 4 
a) cx +5 
b) cxx ++ 32 
c) cxxxxx ++−+− 732 2345 
d) cxcx +=+ 32
3
3
2
3
2
 
e) ctt ++ 35
3
7
 
f) cx +5
5
3
 
g) c
uu
+−
22
46
 
h) cyy +− 46
4
3
3
1
 
La integral definida 
Ejercicio 5 
a) 3 
b) 2 
c) 15/2 
 Material Extra 
11 c) 
12 a) 
13 d) 
14 c) 
15 c) 
16 d) 
17 c) 
18 b) 
19 a) 
20 b) 
 
1 a) 
2 c) 
3 c) 
4 a) 
5 b) 
6 c) 
7 b) 
8 a) 
9 a) 
10 b) 
 
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