GUIA 31 FUNCIÓN COMPUESTA

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 31: COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
 
Supongamos que f y g son dos funciones y que x es un número del dominio 
de g. Al evaluar g en x, obtenemos g(x). Si g(x) está en el dominio de f, 
entonces podemos evaluar f en g(x) y obtener así la expresión f [g(x)]. Si 
hacemos esto para toda x tal que x esté en el dominio de g y g(x) esté en el 
dominio de f, la correspondencia resultante entre x y f[g(x)] será una función 
compuesta. 
 
 
 
Definición de función compuesta 
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta, denotada por fog (que 
se lee “f compuesta con g”) se define como 
(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇[𝒈(𝒙)] 
donde el dominio de fog es el conjunto de números x en el dominio de g 
tales que g(x) está en el dominio de f. 
 
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EJEMPLO 1. Evaluación de una función compuesta. 
Sean f(x) = 2x2 – 3 y g(x) = 4x. Determinar: 
(a) (fog)(1) (b) (gof)(1) (c) (fof)(-2) (d) (gog)(-1) 
Solución. 
(𝒂) (𝒇𝒐𝒈)(𝟏) = 𝒇[𝒈(𝟏)] = 𝒇(𝟒) = 𝟐 ∗ 𝟏𝟔 − 𝟑 = 𝟐𝟗. 
(𝒃) (𝒈𝒐𝒇)(𝟏) = 𝒈[𝒇(𝟏)] = 𝒈(−𝟏) = 𝟒 ∗ (−𝟏) = −𝟒. 
(𝒄) (𝒇𝒐𝒇)(−𝟐) = 𝒇[𝒇(−𝟐)] = 𝒇(𝟓) = 𝟐 ∗ 𝟐𝟓 − 𝟑 = 𝟒𝟕. 
(𝒅) (𝒈𝒐𝒈)(−𝟏) = 𝒈[𝒈(−𝟏)] = 𝒈(−𝟒) = 𝟒 ∗ (−𝟒) = −𝟏𝟔 
 
EJEMPLO 2. Determinación de una función compuesta. 
Suponga que 𝒇(𝒙) = √𝒙 y que 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟑. Determine (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) y (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) 
y halle el dominio de cada función compuesta. 
Solución. 
(𝒂) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇[𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝒙 + 𝟑) = √𝒙 + 𝟑. 
El dominio de fog, son todos los números reales tales que x ≥ 0: [0, +∞). 
(𝒃) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) = 𝒈[𝒇(𝒙)] = 𝒈(√𝒙) = √𝒙 + 𝟑. 
El dominio de gof, son todos los números reales tales que x ≥ 0: [0, +∞). 
 
EJEMPLO 3. Determinación de una función compuesta. 
Suponga que 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 y que 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏. Determine (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) 
y (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) y halle el dominio de cada función compuesta. 
 
Solución. 
 
(𝒂) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇[𝒈(𝒙)] = 𝒇(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) = [𝟐𝒙𝟐 + 𝟏]𝟐 + 𝟑(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) 
 = 𝟒𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑 
 = 𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟒 
 
(𝒃) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙) = 𝒈[𝒇(𝒙)] = 𝒈(𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) = 𝟐[𝒙𝟐 + 𝟑𝒙]𝟐 + 𝟏 
 = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟏 
 
El dominio de (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) y (𝑔𝑜𝑓)(𝑥), son todos los números reales. 
 
 
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EJEMPLO 4. Composición de f con f 
Si 𝒇 (𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟏, la composición (𝑓𝑜𝑓)(𝑥) es 
 
(𝒇𝒐𝒇)(𝒙) = 𝒇[𝒇(𝒙)] = 𝒇(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟓(𝟓𝒙 + 𝟏) + 𝟏 = 𝟐𝟓𝒙 + 𝟔 
 
EJEMPLO 5. Expresar una función como composición de otras 
dos 
Exprese 𝐹(𝑥) = √6𝑥3 + 5 como la composición de otras dos funciones f y g. 
 
Solución 
Definamos las funciones 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 6𝑥3 + 5. 
Tenemos entonces: 
𝐹(𝑥) = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(6𝑥3 + 5) = √6𝑥3 + 5. 
 
Es importante notar lo siguiente: este ejemplo tiene otras soluciones. Por ejemplo, 
podríamos definir las funciones 𝑓(𝑥) = √6𝑥 + 5 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥3: 
𝐹(𝑥) = (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥3) = √6𝑥3 + 5. 
 
 
EJERCICIOS 
 
1. Complete la siguiente tabla. 
 
𝒙 0 1 2 3 4 
𝒇 (𝒙) ─1 2 10 8 0 
𝒈 (𝒙) 2 3 0 1 4 
(𝒇𝒐𝒈)(𝒙) 
 
2. Complete la siguiente tabla, donde g es una función impar. 
 
𝒙 0 1 2 3 4 
𝒇 (𝒙) ─2 ─3 0 ─1 ─4 
𝒈 (𝒙) 9 7 ─6 ─5 13 
(𝒈𝒐𝒇)(𝒙) 
 
 
En los problemas 3 a 6, halle las funciones 𝑓𝑜𝑔 y 𝑔𝑜𝑓 y describa sus dominios. 
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1 
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 5, 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 4 
5. 𝑓(𝑥) = 1 (2𝑥 − 1)⁄ , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 
6. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) 𝑥⁄ , 𝑔(𝑥) = 1 𝑥⁄ 
 
 
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En los problemas 7 a 10, determine las funciones f y g tales que 𝑭 (𝒙) = 𝒇𝒐𝒈. 
7. 𝐹(𝑥) = (𝑥2 − 4𝑥)5 
8. 𝐹(𝑥) = √9𝑥2 + 16 
9. 𝐹(𝑥) = (𝑥 − 2)2 + 4√𝑥 − 2 
10. 𝐹(𝑥) = (𝑥2 − 8)4