DOBBERTIN SANCHEZ, Segundo Enrique

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Universidad Nacional De Trujillo 
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 
Escuela Académico Profesional de Física 
 
 
 
Efecto del Contenido de Cobalto en la Absorbancia Óptica, 
Fotoluminiscencia y Estructura Cristalina del ZnO 
Nanoestructurado. 
 
INFORME FINAL DE PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL 
Para obtener el título profesional de 
LICENCIADO EN FÍSICA 
 
Autor 
Br. SEGUNDO ENRIQUE DOBBERTIN SANCHEZ 
 
Asesor 
Dr. SEGUNDO R. JÁUREGUI ROSAS 
Universidad Nacional de Trujillo. Trujillo - Perú 
 
 
Trujillo – Perú 
Mayo 2015 
Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT
Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. 
Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/
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Efecto del Contenido de Cobalto en la Absorbancia 
Óptica, Fotoluminiscencia y Estructura Cristalina del 
ZnO Nanoestructurado. 
 
Por 
Br. SEGUNDO ENRIQUE DOBBERTIN SANCHEZ 
 
Informe final de práctica Pre-profesional presentada en cumplimiento de los 
requerimientos para obtener el título profesional de 
 
LICENCIADO EN FÍSICA 
Universidad Nacional de Trujillo 
2015 
Aprobado por: 
 
 
__________________________________ 
Dr. Luis M. Angelats Silva 
Presidente 
 
 
 
 
__________________________________ 
Mg. Oswaldo Sánchez Rosales 
Secretario 
 
 
 
__________________________________ 
Dr. Segundo R. Jáuregui Rosas 
Vocal 
 
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PRESENTACIÓN 
 
 
 
Señores Miembros del Jurado: 
 
 En cumplimiento a lo dispuesto por el Reglamento de Grados y Títulos de la 
Universidad Nacional de Trujillo, para obtener el Título Profesional de Licenciado en 
Física, me es honroso someter a vuestra consideración el presente Informe de Práctica 
Pre Profesional titulado: “Efecto del Contenido de Cobalto en la Absorbancia Óptica, 
Fotoluminiscencia y Estructura Cristalina del ZnO Nanoestructurado”. 
 
El presente trabajo está a vuestra consideración y acertado criterio, para su 
evaluación, sustentación y registro final en las instancias pertinentes. Asimismo, apelo a 
su comprensión por cualquier error involuntario que se hubiese podido cometer. 
 
 
Trujillo, Mayo del 2015 
 
 
 
 
 
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DEDICATORIA 
 
 
 
A Dios que me ha dado la vida y fortaleza para terminar este proyecto 
de investigación. 
 
A mi Abuelito Segundo Sánchez Aguirre, que siempre vive en mí, quien 
fue una persona genial, de gran corazón, moral inquebrantable, un 
hombre incansable, gran padre, gran amigo y de muchas virtudes que 
me hicieron ver en él un ejemplo a seguir. 
 
A mis Padres por estar ahí cuando más los necesité; en especial a mi 
madre por su ayuda y constante cooperación, la mujer que más admiro 
en este mundo. 
 
A mis hermanos, que siempre están conmigo apoyándome. 
A mi familia con su incondicional apoyo, el cual siempre me brindaron. 
 
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AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
El presente trabajo de investigación constituye el resultado de la desinteresada 
colaboración de muchas personas e instituciones a quienes expreso mi más sincero 
agradecimiento. 
 
 A la Familia que tengo: a mis abuelitos Segundo y Lastenia quienes estuvieron 
siempre orientándome por el camino de la moral, los valores y la virtud humana, 
a mis padres Gilberto y Alicia que con su apoyo y su consejo acertado me guiaron 
por el camino correcto especialmente a mi madre por su coraje y esfuerzo, de 
siempre sacarnos adelante sin desfallecer jamás, demostrándome una fortaleza 
que siempre voy admirar, a mis hermanos, a mis tíos, a mis tías, a mis primos y 
en especial a Carlos Delgado y Luis Heredia que son como mis hermanos, mis 
mejores amigos quienes siempre nos apoyamos y estamos el uno para el otro, a 
todos ellos gracias por saberme comprender y apoyarme durante todo este tiempo 
de estudiante hasta concluir la carrera que tanto me apasiona. 
 
 A un excelente Profesional, gran persona y gran amigo quien es mi asesor el Dr. 
Segundo R. Jáuregui Rosas, por su orientación científica, por su comprensión y 
su acertada opinión tanto en lo profesional como en lo personal quien me supo 
guiar en todo el proceso de realización de este trabajo y con quien espero contar 
siempre para poder seguir contribuyendo en las próximas investigaciones. 
 
 
 
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 Al Profesor Mg. Oswaldo Sánchez Rosales una excelente persona y gran amigo, 
del Laboratorio de física de Materiales de la Universidad Nacional de Trujillo, por 
su invaluable apoyo en todo el proceso de realización de este trabajo y con quien 
también espero contar siempre para poder seguir contribuyendo en las 
investigaciones. 
 
 A una gran persona, gran profesional y amigo quien es el Dr. William Trujillo de 
la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, por su invalorable apoyo y 
facilidades brindadas en las mediciones de Difracción de Rayos X, del mismo 
modo al Equipo del Laboratorio de Difracción de Rayos X de la Universidad 
Nacional Mayor de San Marcos. 
 
 Finalmente, pero igualmente muy importante el agradecimiento a la Universidad 
Nacional de Trujillo por el financiamiento al proyecto PIC 08 – I , con recursos 
del canon (R.R. 222-2012/UNT), como parte del cual se ha realizado el presente 
trabajo, utilizando los reactivos, materiales y equipos adquiridos con dicho 
financiamiento. 
 
 A todos los integrantes del equipo de investigación encargados del Proyecto PIC 
08 – I, con cuyo esfuerzo y dedicación se viene desarrollando este importante 
proyecto. 
 
 A los profesores de la sección de Nanociencia y Nanotecnología del Laboratorio 
de Física de Materiales, del Departamento de Física de la Universidad Nacional 
de Trujillo. 
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ÍNDICE DE CONTENIDOS 
 
Dedicatoria y Agradecimientos iii 
Índice de Contenidos vi 
Índice de Tablas viii 
Índice de Figuras ix 
Resumen xiiAbstract xiii 
 
I. Introducción 1 
 
II. Problemas y Objetivos 4 
 
III. Generalidades y Antecedentes 5 
 
3.1 Aspectos Generales de la Física de Semiconductores 5 
3.1.1 Generalidades de los Semiconductores 5 
3.1.2 Generalidades de la Teoría de las Bandas de Semiconductores 11 
3.1.3 Propiedades Ópticas de los Semiconductores 32 
 
3.2 Aspectos Generales de Materiales Nanoestructurados 46 
3.2.1 Nanoestructuras 46 
3.2.2 Efectos de la Cuantización de Semiconductores Nanoestructurados 49 
3.2.3 Confinamiento Cuántico de Electrones en la Nanoescala 51 
3.2.4 Regímenes de Confinamiento Cuántico 54 
3.2.5 Modelos Teóricos de Puntos Cuánticos 55 
3.2.6 Excitón y Radio de Excitón de Bohr 58 
 
3.3 Aspectos Generales del ZnO 59 
3.3.1 Estructura Cristalina del ZnO 59 
3.3.2 Estructura Electrónica de las Bandas de ZnO 61 
3.3.3 Propiedades Ópticas del ZnO 64 
3.3.4 Defectos Intrínsecos del ZnO 66 
 
3.4 Dopaje del ZnO 67 
3.4.1 Efecto de Co en las Propiedades Estructurales del ZnO 68 
3.4.2 Efecto de Co en las Propiedades Ópticas del ZnO 70 
 
3.5 Aplicaciones del ZnO puro y Dopado 73 
 
3.6 Método Sol-Gel Modificado a partir de soluciones etanolicas 74 
 
IV. Material y Métodos 76 
 
4.1 Material 76 
4.2 Equipos 77 
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4.3 Métodos y Técnicas 78 
4.3.1 Método Sol-Gel modificado a partir de soluciones etanolicas 78 
4.3.2 Síntesis de las nanopartículas Zn1-xCoxO 80 
4.3.3 Caracterización de las nanopartículas de ZnO puro y Zn1-xCoxO 83 
a. Espectrofotometría Ultravioleta-Visible (UV-vis) 84 
b. Espectrofluorómetria 84 
c. Difracción de Rayos X (DRX) 85 
 
V. Resultados y Discusión 86 
 
5.1 Propiedades de las nanopartículas Zn1-xCoxO 86 
5.1.1 Absorbancia Óptica 86 
5.1.2 Difracción de Rayos X 93 
5.1.3 Fotoluminiscencia 99 
 
VI. Conclusiones 103 
VII. Recomendaciones y Sugerencias 104 
 
VIII. Bibliografía 105 
 
IX. Anexos 109 
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ÍNDICE DE TABLAS Y FIGURAS 
 
Índice de Tablas Pág. 
 
Tabla N 4.1 masas en gramos del polvillo obtenido para cada muestra. 83 
Tabla N 5.1 Valores del ancho de banda prohibida para las diferentes 
concentraciones de Co en el ZnO. 90 
Tabla N 5.2 Ancho de la banda prohibida y diámetro promedio 
de cristalito de las nanopartículas de ZnO puro y dopado con cobalto. 92 
Tabla N 5.3 valores de los parámetros de red “a” y “c”, volumen de 
la celda unitaria (v) y Distorsión (R). 94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice de Figuras Pág. 
 
Figura 3.1. Diagrama energético de los semiconductores por exceso (tipo n). 9 
Figura 3.2. Diagrama energético de los semiconductores por defecto (tipo p). 10 
Figura 3.3 Posiciones de los átomos, en equilibrio y no equilibrio. 16 
Figura 3.4. (a) Energía potencial debida a la interacción coulombiana de un 
electrón con un ion positivo. (b) Potencial periódico de un electrón en una red 
monodimensional de iones positivos. 22 
Figura 3.5. (a) Relación de dispersión E ↔ k para un electrón que se mueve en 
una red periódica monodimensional de periodo a. (b) Diagrama simplificado 
de bandas de energías permitidas y prohibidas. 24 
Figura 3.6. Función de onda asociada con (a) estado fundamental y 
(b) primer estado excitado de una partícula en un pozo de potencial finito 25 
Figura 3.7. (a) Pozo doble finito monodimensional. (b) Función de onda 
asociada de un electrón que está en el pozo 1 en el estado fundamental. 26 
Figura 3.8. Forma de las funciones de onda simétrica y antisimétrica 
cuando los pozos de potencial finito se aproximan. 28 
Figura 3.9. Modificación de los niveles energéticos asociados a los 
electrones externos de un sistema de 2 átomos. 29 
Figura 3.10. Modificación de los niveles energéticos asociados a los 
electrones externos de un sistema monodimensional de N átomos. 30 
Figura 3.11. Aparición de bandas de energía fruto de la perdida de 
degeneración de los niveles energéticos asociados a los electrones de un sólido. 31 
Figura 3.12. Absorción de la luz por un semiconductor. 32 
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Figura 3.13. Absorción intrínseca para transiciones entre bandas directas. 36 
Figura 3.14. Absorción intrínseca para transiciones entre bandas indirectas. 38 
Figura 3.15. Diagramas energéticos de recombinación de radiación directa 
(a) y recombinación con radiación por centros locales de captura (b, c, d). 44 
Figura 3.16. Bulk (3D), Estructuras cuánticas: Pozo cuántico (2D), 
Hilo cuántico (1D), Punto Cuántico (0D). 50 
Figura 3.17.Típica geometría de un punto cuántico. 52 
Figura 3.18. Estructuras cristalinas del ZnO: (a) Sal de roca, (b) Wurtzita, 
(c) Zinc blenda. 60 
Figura 3.19. Estructura de las bandas del ZnO cerca del punto Γ de la zona 
de Brillouin calculada mediante el uso de un Pseudopotencial estándar (PP) 
(panel izquierdo) y mediante el uso de SIC-PP (panel derecho) [7]. 63 
Figura 3.20. Diagrama de la Ubicación de los defectos intrínsecos del ZnO, 
transiciones radiativas (flechas rojas y verdes) y no radiativas (flechas negras). 67 
Figura 4.1. Proceso de síntesis de Zn1-xCoxO por el método de Sol-Gel 
modificado a partir de soluciones etanólicas. 79 
Figura 4.2. (a) sistema de reflujo y Plancha con agitador magnético CIMAREC, 
(b) Solución homogénea de las sales precursoras (Ac(Zn) + Ac(CO)) (c) Precursores 
y reductor mezclados homogéneamente (Ac(Zn) + Ac(CO)+NaOH). 81 
Figura 5.1 Espectros de absorción de las nanopartículas de Zn1-XCoXO con 
diferentes contenidos de cobalto, obtenidas por el método Sol-Gel modificado 
a partir de soluciones etanólicas. 87 
Figura 5.2 Variación de la posición del pico de excitón (λexc) de las 
nanopartículas de ZnO con el contenido de cobalto. 88 
Figura 5.3. Bandas de absorción características del cobalto en las nanopartículas 
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de Zn1-XCoXO, ampliación de la Figura 5.1 en el rango de 450 nm a 750 nm. 88 
Figura 5.4 Anchos de banda de las nanopartículas de Zn1-XCoXO con 
diferentes contenidos de cobalto, obtenidas por el método Sol-Gel 
modificado a partir de soluciones etanólicas. 90 
Figura 5.5 Variación del ancho de banda prohibida (Eg) de las nanopartículas 
de ZnO con el contenido de cobalto. 91 
Figura 5.6 Tamaño promedio de cristal de las nanoestructuras de Zn1-xCoxO, 
Obtenidos a partir de los espectros de absorbancia usando el ancho de la banda 
prohibida. 93 
Figura 5.7 Patrones de difracción de rayos X de nanopartículas de ZnO, 
con diferentes contenidos de cobalto (Zn1-xCoxO). 95 
Figura 5.8 Tamaño promedio de cristal de las nanoestructuras de Zn1-xCoxO, 
obtenidos por la fórmula de Scherrer. 99 
Figura 5.9 Espectros de emisión de las nanopartículas de ZnO con 
Diferentes contenidos de cobalto (Zn1-xCoxO) obtenidas por 
el método Sol-Gel modificado a partir de soluciones etanolicas con 
una longitud de onda de excitación de 330nm. 102 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMEN 
 
 
 
A través del método de sol-gel modificado se ha logrado sintetizar nanopartículas de 
Zn1-xCoxO (0≤ x ≤0.1), a partir de soluciones etanólicas. Se ha observado el efecto del 
contenido de cobalto en la estructura cristalina, ancho de banda prohibida y 
fotoluminiscencia de nanopartículas de ZnO. El efecto cualitativo inmediato fue la 
tonalidad verdosa del producto final obtenido, la cual se hacía más intensa según a 
mayores porcentajes de cobalto. El análisis en la absorbancia óptica mediante 
espectroscopia UV-vis evidenció las tres bandas características del cobalto lo que 
significa la incorporación de este en la estructura del óxido de Zinc como dopante. Se 
constato la naturaleza excitónica de las nanopartículas obtenidas cuya intensidad 
disminuye a medida que aumenta el contenido de cobalto. Mediante espectroscopia de 
fotoluminiscencia se evidenció que las nanopartículas de ZnO puro presentan emisión 
visible, la cual es bloqueada para las que han sido dopadas con cobalto. Los 
difractogramas de rayos X mostraron la formación de los picos que corresponden a la 
estructura hexagonal del ZnO. 
 
 
 
 
 
 
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ABSTRACT 
 
 
 
By a modified sol-gel method, from ethanolic solutions, Zn1-xCoxO nanoparticles have 
been synthesized. The effect of cobalt content in the crystal structure, wide band gap, 
and luminescence of ZnO nanoparticles have been observed. The immediate qualitative 
effect was the greenish hue of the final product obtained, which was more intense as 
cobalt percentage increased. The optical absorbance analysis by UV-vis spectroscopy 
showed three characteristic bands assigned to cobalt ion, which indicates the effective 
incorporation of ion dopants in the crystal structure of the ZnO host. The excitonic 
nature of the nanoparticles was clearly detected. However, in general, a redshift of the 
energy band gap as the cobalt content increasing was observed. By Photoluminescence 
spectroscopy, at room temperature, two emission bands were evidenced for the pure 
ZnO nanoparticles. The first one was observed at UV range, and the other is a broad 
band around to 533nm related to defects, which is quenched in the Co-doped ZnO 
nanoparticles. The X-ray diffractograms showed the formation of the peaks 
corresponding to the hexagonal structure of ZnO. 
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I. INTRODUCCION 
 
 
La tecnología es parte fundamental de la sociedad mundial, y más ahora cuando la 
eficiencia tiene que ver también con la calidad y el tamaño. En la actualidad es altamente 
conocido y estudiado el campo de los materiales nanoestructurados y dispositivos basados 
en éstos. Dichos materiales logran tal interés en la ciencia debido a los fenómenos únicos 
que ocurren en el rango de la nanoescala. 
 
La Nanociencia y Nanotecnología han interesado a toda la comunidad científica por su 
variedad de aplicaciones dentro de las distintas áreas de investigación; incluyendo la 
ciencia de materiales interdisciplinarios, medicina, energía, espintrónica, cuidado 
personal, entre otros [1], estas aplicaciones abarcan desde médicas hasta sensores, celdas 
solares, semiconductores, etc. [2, 3, 4]. 
 
Estas nuevas estructuras con dimensiones que se encuentran entre 1 y 100 nm 
(1nm=10-9m) [5], a capturado el interés global debido no solo a sus niveles de 
miniaturización, sino también por la gran cantidad de comportamientos físicos, químicos, 
biológicos marcadamente diferentes a las del mismo material en condiciones masivas, 
que no solo resultan ser nuevos y únicos, sino que también pueden ser modificados según 
las condiciones en las que se encuentren; convirtiendo esta nueva área de investigación 
en atractiva e importante. Estos comportamientos han sido atribuidos a dos factores 
principales como son el confinamiento cuántico y los efectos de superficie [4], los cuales 
influyen en la reactividad química del material, y sus propiedades mecánicas, ópticas, 
eléctricas y magnéticas. 
 
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En esta nueva era de investigación se han producido nanoestructuras basadas en metales, 
óxidos, polímeros, etc.[5] Ya que la composición química de un material nos brinda las 
propiedades que éste presenta; debido a esto uno de los materiales que ha sido estudiado 
altamente a lo largo del tiempo por sus diversas propiedades y sus interesantes 
fenómenos, es el óxido de zinc (ZnO) el cual ha presentado potenciales aplicaciones 
nanotecnológicas, causando años de interés teórico y experimental, este semiconductor 
multifuncional del grupo II-VI, considerado biocompatible, biodegradable y no tóxico, 
es altamente investigado que en una simple búsqueda web proporciona nada menos que 
cerca de 12,300,000 resultados en 0.22 segundos y aumentando, lo cual nos hace percibir 
la mucha atención que se le da actualmente. 
 
Una gran cantidad de trabajos de investigación publicados, tienen al ZnO como objeto de 
estudio, lo que refleja su importancia como un material versátil y multifuncional, con un 
ancho de banda prohibida de 3,37 eV, una energía de enlace de excitón de 60 meV a 
temperatura ambiente [6, 7], y siendo un compuesto binario que cristaliza en una blenda 
de Zinc cúbica o wurtzita hexagonal [7]. 
 
La producción de nanoestructuras de ZnO tanto puro como dopado, seviene realizando 
por una alta variedad de métodos de obtención de estas estructuras como, sol-gel [5, 8], 
hidrotermal [5, 9], rociado pirolítico [5, 10] etc., obteniéndose nanoestructuras de diversa 
morfología como nanopartículas[4, 11], nanobarras [4, 8], nanoalambres [4, 12], películas 
delgadas [4,13], etc., todo lo cual conlleva a una modificación en sus propiedades, físicas, 
ópticas, etc. [4]. 
 
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Dentro de la variedad de métodos, el Sol Gel es el que resulta ser ventajoso debido a su 
bajo costo y control adecuado de la composición química, aunque se ha reportado que las 
propiedades estructurales, físicas y químicas de las nanoestructuras y películas delgadas 
de ZnO obtenidas por este método se ven influenciadas por factores como el solvente 
utilizado [14], tipos de sales precursoras [15], tratamiento térmico post síntesis [16], 
concentración de reactantes [17], etc. A fin de obtener las propiedades adecuadas para las 
diferentes aplicaciones deseadas se debe tener un control óptimo de tales parámetros. 
 
Como las propiedades de los materiales son dependientes de su composición química, y 
con el objetivo de obtener materiales nuevos para diversas aplicaciones dirigidas a 
semiconductores magnéticos diluidos (DMS), transistores transparentes de capa fina, 
fotodetectores, optoelectrónica, etc. [18], se realizó una iniciativa sobre el dopaje del ZnO 
con metales de transición tales como Fe, Co , Mn , Ni, Cr o V [5, 19, 20], dando lugar a 
materiales con un comportamiento completamente diferente hacia propiedades ópticas, 
magnéticas, etc. Resultó conveniente centrarse en el ZnO dopado con Co debido a que 
distintos trabajos de investigación muestran resultados más prometedores en las 
propiedades estructurales, magnéticas, eléctricas, y ópticas, obtenidas con Co de lo que 
otros tipos de dopante muestran tal es el caso como el Mn, etc.[19, 20, 21], generando 
así un profundo interés en este sistema. 
 
Ante este panorama, este trabajo estuvo dedicado a la evaluación del efecto que tiene el 
contenido de cobalto en la absorción óptica, fotoluminiscencia y estructura cristalina en 
nanoestructuras de ZnO:Co obtenidas usando el método sol gel modificado (a partir de 
soluciones etanólicas). 
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II. PROBLEMA Y OBJETIVOS 
 
 
2.1 Problema 
¿Cómo influye el contenido de cobalto en la absorbancia óptica, 
fotoluminiscencia y estructura cristalina del ZnO nanoestructurado? 
 
2.2 Objetivos 
2.2.1 Objetivo General: 
Evaluar el efecto del contenido de cobalto en las propiedades estructurales, 
absorbancia óptica y fotoluminiscencia de nanoestructuras de ZnO obtenidas 
a través del método de Sol-Gel modificado a partir de soluciones etanólicas. 
 
2.2.2 Objetivos Específicos: 
a. Optimizar las condiciones de síntesis de nanoestructuras de ZnO dopadas 
con Co, usando el método de sol-gel modificado. 
 
b. Evaluar las propiedades estructurales de las nanoestructuras de ZnO:Co, 
identificando las fases presentes y determinando el parámetro de red y 
tamaño promedio de cristal. 
 
c. Analizar las propiedades ópticas (absorbancia óptica, fotoluminiscencia) 
del ZnO dopado con cobalto mediante espectroscopia UV-vis y 
Fotoluminiscencia, estimando su ancho de banda prohibida. 
 
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III. GENERALIDADES Y ANTECEDENTES 
3.1 Aspectos Generales de la Física de Semiconductores 
3.1.1 Generalidades de los Semiconductores 
Orbitando alrededor del núcleo del átomo se encuentran los electrones, que 
pueden ser de dos tipos, electrones ligados al núcleo los cuales orbitan en 
capas interiores del átomo, que difícilmente pueden escapar del mismo y 
electrones de valencia los cuales orbitan en capas exteriores del átomo, en 
niveles superiores de energía y pueden escapar en determinadas condiciones 
del átomo. 
 
Los metales son buenos conductores, poseen una estructura cristalina en 
donde los átomos están perfectamente ordenados y los electrones de valencia 
de los mismos están tan débilmente atados a sus respectivos átomos, cada uno 
de ellos es compartido por todos los átomos de la estructura, por ello ninguno 
está atado particularmente a algún átomo. En un material aislante los 
electrones de valencia están ligados fuertemente a sus respectivos núcleos 
atómicos, es decir los electrones de uno de sus átomos no son compartidos con 
otros átomos. Los materiales con propiedades intermedias son los materiales 
semiconductores, estos materiales se comportan como aislantes cuando son 
sometidos a ciertas interacciones externas como bajas temperaturas pero a 
otras interacciones como temperaturas más altas se comportan como 
conductores, la razón de esto es que los electrones de valencia están 
ligeramente ligados a sus respectivos núcleos atómicos, pero no lo suficiente, 
pues al añadir energía elevando la temperatura son capaces de abandonar el 
átomo para circular por la red atómica del material y en cuanto un electrón 
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abandona un átomo, en su lugar deja un hueco que puede ser ocupado por otro 
electrón que estaba circulando por la red, además, su conductividad eléctrica 
puede ser aumentada mediante la adición de pequeñas cantidades de ciertas 
impurezas (dopantes), o por iluminación con luz de longitudes de onda 
especifica. 
 
En física del estado sólido, la teoría de bandas explica el comportamiento de 
los materiales al paso de corriente, definiendo dos bandas, la “Banda de 
Valencia (BV)” la cual es el conjunto de energía que poseen los electrones de 
valencia, es decir aquellos electrones que se encuentran en la última capa o 
nivel energético de los átomos, y la “Banda de Conducción (BC)” la cual es 
el conjunto de energía que poseen los electrones para desligarse de sus átomos, 
es decir los electrones que están en esta banda pueden circular por el material 
si existe un potencial. 
 
El material conductor presenta el caso en que la Energía de la banda de 
valencia es mayor que la de los electrones de la banda de conducción, así pues, 
las bandas se superponen y muchos electrones de valencia se sitúan sobre la 
de conducción con suma facilidad y por lo tanto con opción de circular por el 
medio. En el material aislante presenta el caso en el que la energía de la banda 
de conducción es mucho mayor que la energía de la banda de valencia, en este 
caso, existe una brecha entre la banda de valencia y la de conducción de modo 
que, los electrones de valenciano pueden acceder a la banda de conducción 
que estará vacía. En el material Semiconductor presenta el caso en el que la 
banda de conducción sigue siendo mayor que la banda de valencia, pero la 
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brecha entre ambas es mucho más pequeña, de modo que, con un incremento 
pequeño de energía, los electrones de valencia saltan a la banda de conducción 
y puede circular por el medio; Cuando un electrón salta desde la banda de 
valencia a la de conducción deja un hueco en la banda de valencia que también 
se considera portador de corriente eléctrica, definiendo así dos tipos de 
portadores de corriente eléctrica: Los electrones con carga negativa y los 
huecos con carga positiva [22, 23, 24]. 
 
3.1.1.1 Semiconductor Intrínseco 
En el Semiconductor, en el que a causa de la ruptura de los enlaces de 
valencia se forma una cantidad igual de electrones libres y de enlaces 
incompletos, o sea, huecos, se le llama intrínseco. 
Por ejemplo, cuando el cristal semiconductor se encuentra a temperatura 
ambiente algunos electrones pueden absorber la energía necesaria para 
saltar a la banda de conducción dejando el correspondiente hueco en la 
banda de valencia, obviamente el proceso inverso también se produce, de 
modo que los electrones pueden caer, desde el estado energético 
correspondiente a la banda de conducción, a un hueco en la banda de 
valencia liberando energía. A este fenómeno se le denomina 
recombinación. Sucede que, a una determinada temperatura, las 
velocidades de creación de pares e-h, y de recombinación se igualan, de 
modo que la concentración global de electrones y huecos permanece 
constante. Siendo "n" la concentración de electrones (cargas negativas) y 
"p" la concentración de huecos (cargas positivas), se cumple que: 
𝑛𝑖 = 𝑛 = 𝑝 (3.1) 
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Siendo 𝑛𝑖 la concentración intrínseca del semiconductor o concentración 
propia. 
Los electrones y los huecos reciben el nombre de portadores. La 
conducción eléctrica a través de un semiconductor es el resultado del 
movimiento de electrones de carga negativa y de los huecos cargas 
positivas en direcciones opuestas al conectarse a un generador. Si se 
somete el cristal a una diferencia de potencial se producen dos corrientes 
eléctricas: una debida al movimiento de los electrones libres de la 
estructura cristalina, y otra debida al desplazamiento de los electrones en 
la banda de valencia, que tenderán a saltar a los huecos próximos, 
originando una corriente de huecos. Los electrones libres se dirigen hacia 
el polo positivo de la pila (cátodo), mientras que los huecos pueden 
considerarse como portadores de carga positiva y se dirigen hacia el polo 
negativo de la pila, llamado ánodo (hay que considerar que por el 
conductor exterior sólo circulan los electrones que dan lugar a la corriente 
eléctrica; los huecos sólo existen en el seno del cristal semiconductor [3, 
22, 24]. 
 
3.1.1.2 Semiconductor Extrínseco 
Para mejorar las propiedades de los semiconductores, se les somete a un 
proceso de impurificación, llamado dopaje, consistente en introducir 
átomos de otros elementos, es decir, elementos trivalentes o pentavalentes 
con el fin de cambiar su conductividad. El semiconductor con impurezas 
obtenido se denominará semiconductor extrínseco y la conductancia 
originada por la impureza introducida, lleva el nombre de conductibilidad 
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por impurezas o extrínseca, evidentemente, las impurezas deberán formar 
parte de la estructura cristalina sustituyendo a un correspondiente átomo. 
Según la impureza llamada dopante distinguimos: 
 
Semiconductor Tipo n, se obtiene llevando a cabo un proceso de dopado 
añadiendo un cierto tipo de átomos al semiconductor para poder aumentar 
el número de portadores de carga libres en este caso negativos o 
electrones, es decir la cantidad de electrones desprendidos de la impureza 
será bastante mayor que la cantidad de electrones y huecos formados por 
la ruptura de los enlaces de valencia, debido a esto los electrones tendrán 
un papel dominante en la conductancia del cristal, y, por eso se llaman 
portadores de cargas mayoritarios, en tanto que los huecos, portadores de 
cargas minoritarios, tal semiconductor se llama por exceso o de tipo “n”, 
y la impureza que entrega electrones lleva el nombre de donadora. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1. Diagrama energético de los semiconductores por 
exceso (tipo n). 
 
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Semiconductor Tipo p, se obtiene llevando a cabo un proceso de dopado, 
añadiendo un cierto tipo de átomos al semiconductor para poder aumentar 
el número de portadores de carga libres en este caso positivos o huecos, la 
impureza que se apodera de los electrones se llama aceptadora, para la 
formación del hueco libre gracias al salto del átomo de sustancia básica al 
átomo de impureza se requiere bastante menor energía que para la ruptura 
de los enlaces de valencia, debido a esto, la cantidad de huecos puede ser 
bastante mayor que el número de electrones libres, y la conducción de tal 
cristal será por huecos, en este semiconductor los portadores de cargas 
mayoritarios serán los huecos, y los electrones, los portadores de carga 
minoritarios, este semiconductor con impurezas aceptadoras se llama por 
defecto o tipo “p” [3, 22, 24]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2. Diagrama energético de los semiconductores por 
defecto (tipo p). 
 
 
 
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3.1.2 Generalidades de la Teoría de las Bandas de Semiconductores 
3.1.2.1 Concepto de Masa Efectiva 
Las partículas con energía potencial son considerablemente más difíciles 
de describir matemáticamente que las partículas libres, pero en un sólido 
este problema puede ser simplificado utilizando el concepto de masa 
efectiva, en un semiconductor los portadores de carga (electrones y 
huecos) no son partículas libres; poseen, además de energía cinética, 
energía potencial debido a su interacción electrostática con los iones y 
electrones cargados. En este modelo los portadores de carga son tratados 
como partículas libres asignándolesuna masa modificada, la masa efectiva 
(m*), la cual combina sus energías potencial y cinética en una sola como 
energía cinética. La masa efectiva debe ser utilizada en todas las 
ecuaciones describiendo las propiedades dinámicas de portadores en un 
sólido. Las masas efectivas son expresadas como un múltiplo de la masa 
del electrón libre, los huecos y electrones típicamente tienen diferentes 
masas efectivas, y se determinan por la estructura de bandas (BV y BC) 
además también varían según el tipo de material. Por ejemplo, el ZnO tiene 
un electrón de masa efectiva me
*=0.24me y un hueco de masa efectiva 
mh
*=0.45me, donde me es la masa del electrón libre [22, 23, 24]. 
 
3.1.2.2 Masa Efectiva de los Portadores de Carga 
Una de las consecuencias más importantes de la existencia de bandas en 
los sólidos se manifiesta en la respuesta que presentan los electrones 
ligados a un campo eléctrico externo. La distinta respuesta de los 
electrones en función de su situaciones en las bandas de energía será 
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recogida por la magnitud masa efectiva, m*. En concreto, esta magnitud 
nos relacionaría directamente la aceleración, a, del electrón con la fuerza 
externa aplicada, esto es, 
𝑎 =
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑚∗
 (3.2) 
Es importante notar lo que la ley de Newton nos dice que la suma vectorial 
de todas las fuerzas que actúan sobre el electrón (externas más internas) 
es igual a su masa real (me) por su vector aceleración, 
∑(𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠) = 𝐹𝑖𝑛𝑡 + 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑒𝑎 (3.3) 
Esta expresión nos permite deducir que en aquellos casos en los que actúen 
fuerzas internas no existirá una relación lineal trivial entre la aceleración 
y las fuerzas externas dado que será precisamente la masa efectiva (m*) la 
que “recogerá” el efecto global de las fuerzas internas. 
 
De acuerdo a la segunda ley de Newton, se tiene, si sobre un electrón libre 
de masa m actúa una fuerza exterior F, bajo su acción el electrón adquiere 
una aceleración, 
𝑎 =
1
𝑚
𝐹 (3.4) 
En dirección a la acción de la fuerza exterior. 
Para un electrón en un cristal, teniendo en cuenta estas igualdades 
𝜐 =
1
ℏ
𝜕𝐸
𝜕𝑘
=
𝜕𝐸
𝜕𝑝
 (3.5) 
�̇� =
𝜕𝑝
𝜕𝑡
= 𝐹 (3.6) 
Las reemplazamos en la siguiente ecuación: 
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𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝜕𝑣
𝜕𝑝
.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑝
(𝑣).
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑝
(
𝜕𝐸
𝜕𝑝
) .
𝜕𝑝
𝜕𝑡
 (3.7) 
Y finalmente se puede escribir: 
𝑎 =
𝜕2𝐸
𝜕𝑝2
.
𝜕𝑝
𝜕𝑡
=
𝜕2𝐸
𝜕𝑝2
. 𝐹 (3.8) 
 
El conjunto de magnitudes 
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑖𝑝𝑗
=
1
𝑚𝑖𝑗
 , que relaciona los vectores a y F, 
es un tensor de segundo orden y por analogía con la expresión (3.2) para 
un electrón libre se llama tensor de la masa efectiva inversa 
 
‖
1
𝑚𝑖𝑗
∗ ‖ =
|
|
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑥2
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑥𝜕𝑝𝑦
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑥𝜕𝑝𝑧
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑥𝜕𝑝𝑦
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑦2
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑦𝜕𝑝𝑧
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑧𝜕𝑝𝑥
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑧𝜕𝑝𝑦
𝜕2𝐸
𝜕𝑝𝑧2
|
|
 (3.9) 
 
Esta expresión examinada para la energía de un electrón es un pequeño 
contorno k0 y desarrollando E(k) en la serie de Taylor, y para la región 
próxima al punto k0 se limita a los términos de la serie en donde i, j 
independientemente adquieren los valores x, y, z y si por k0 se ha elegido 
el punto extremo de la energía, el segundo término del desarrollo sería 
igual a cero, entonces la expresión para la masa efectiva de los portadores 
de carga en el caso del cristal tiene la forma: 
1
𝑚∗
=
𝜕2𝐸
𝜕𝑝2
=
1
ℏ2
𝜕2𝐸
𝜕𝑘2
 (3.10) 
 
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Es decir, la masa efectiva de los portadores de carga es inversamente 
proporcional a la curvatura de las superficies isoenergéticas en el espacio 
k [22, 23]. 
 
 
3.1.2.3 Ecuación de Schrödinger para el Cristal 
Todo Cuerpo solido es un conjunto de un gran número de núcleos 
atómicos y electrones; para determinar los estados estacionarios y el 
espectro energético de tal sistema de partículas hay que resolver la 
ecuación de Schrödinger para el cristal. 
 
El Hamiltoniano del cristal �̂�cristal incluye las energías de interacción de 
coulomb entre electrones e iones (núcleos atómicos), entre pares de iones 
y entre pares de electrones y es la suma de las energías cinéticas de los 
electrones �̂�e y de iones �̂�ion y la energía potencial de interacción (que 
incluye la suma de las energías de interacción entre los electrones (Ue-e), 
entre electrones e iones (Ue-ion) y entre iones (Uion-ion). Otros tipos de 
energía como la interacción espín orbita, campos externos, correcciones 
relativistas, etc no se tienen en cuenta en primera instancia. 
�̂�𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙 = �̂�𝑒 + �̂�𝑖𝑜𝑛 + �̂�𝑒−𝑖𝑜𝑛 + �̂�𝑖𝑜𝑛−𝑖𝑜𝑛 + �̂�𝑒−𝑒 (3.11) 
 
La posición del electrón i de masa m y carga –e se denota como ri y del 
ion α de masa M y carga Zαe se escribe como Rα se miden con respecto a 
un punto fijo en un sistema de referencia inercial, tal que las coordenadas 
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de las posiciones de los electrones e iones se representa como el conjunto 
de coordenadas de posición como: 
(𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑗, … , 𝑅1, 𝑅2, … , 𝑅𝑗 , … ) = ({𝑟𝑖}, {𝑅𝛼}) 
Las energías cinéticas de los electrones �̂�e y de iones �̂�ion son: 
�̂�𝑒 = −
ℏ2
2𝑚
∑ ∇𝑟𝑖
2
𝑖
 (3.12) 
�̂�𝑖𝑜𝑛 = −
ℏ2
2𝑀
∑ ∇𝑅𝛼
2
𝛼
 (3.13) 
La energía de interacción entre electrones y iones Ue-ion es: 
𝑈𝑒−𝑖𝑜𝑛 = −
1
4𝜋𝜀0
∑ ∑
𝑍𝛼𝑒
2
|𝑟𝑖 − 𝑅𝛼|
𝛼𝑖
= ∑ ∑ 𝑈𝑖𝛼
𝛼𝑖
(𝑟𝑖 − 𝑅𝛼) (3.14) 
 
La energía de interacción entre los iones Uion-ion es: 
𝑈𝑖𝑜𝑛−𝑖𝑜𝑛 = −
1
4𝜋𝜀0
∑ ∑
𝑍𝛼𝑍𝛽𝑒
2
|𝑅𝛼 − 𝑅𝛽|𝛽≠𝛼𝛼
=
1
2
∑ ′𝑈𝛼𝛽
𝛼,𝛽
(𝑅𝛼 − 𝑅𝛽) (3.15) 
 
La energía de interacción entre los electrones Ue-e es: 
𝑈𝑒−𝑒 = −
1
4𝜋𝜀0
∑ ∑
𝑒2
|𝑟𝑖 − 𝑟𝑗|𝑗≠𝑖𝑖
=
1
2
∑ ′𝑈𝑖𝑗
𝑖,𝑗
(𝑟𝑖 − 𝑟𝑗) (3.16) 
 
En la figura 3.3 se representa un cristal en las situaciones de equilibrio y 
de no equilibrio y se muestran las posiciones de los iones en el cristal. En 
equilibrio, todos los iones están fijosubicados en los puntos de la red 
cristalina R y en el caso de no equilibrio, los puntos negros representan la 
red cristalina y los iones en la celdilla R están desplazados u(R) desde el 
punto de red que es la posición del ion en el equilibrio. 
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Figura 3.3 Posiciones de los átomos, en equilibrio y no equilibrio. 
 
El estado de equilibrio esta dado para aquella geometría en que se cumple 
que las fuerzas que actúan sobre cada ion es cero, para el ion i se expresa 
como: 
𝐹𝛼 = −
𝜕𝐸(𝑅)
𝜕𝑅𝛼
= 0 (3.17) 
 
Las coordenadas de las posiciones de los iones y los electrones del cristal 
se representan colectivamente como: 
({𝑟𝑖}, {𝑅𝛼}) = (𝑟, 𝑟(𝑅)) → { 𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑟(𝑅) = 𝑅 + 𝑢(𝑅)
 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑟 → (𝑟1,𝑟2,… ) (3.18) 
 
Que corresponde a alguna distribución espacial de iones y electrones, u(R) 
también representa las coordenadas colectivas de los iones, en el equilibrio 
u(R)=0. 
 
Las ecuaciones de autovalores del Hamiltoniano del cristal en (3.11) en 
términos de las coordenadas colectivas de iones y electrones (r,r(R)) se 
puede escribir como: 
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�̂�𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙(𝑟, 𝑟(𝑅))Ψ(𝑟, 𝑟(𝑅)) = 𝐸Ψ(𝑟, 𝑟(𝑅)) (3.19) 
Donde Ψ es la función de onda propia de operador �̂�, dependiente de las 
coordenadas de todos los electrones ri e iones Rα. 
 
En términos del desplazamiento de los iones con respecto al punto de 
equilibrio o (r,u(R)) es: 
�̂�𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙(𝑟, 𝑢(𝑅))Ψ(𝑟, 𝑢(𝑅)) = 𝐸Ψ(𝑟, 𝑢(𝑅)) (3.20) 
 
El número de variables independientes de esta ecuación se determina por 
el número total de partículas del cristal (del orden de 1023 cm-3). Por eso, 
la resolución directa de la ecuación (3.18); (3.19) presenta dificultades 
matemáticas, lo que hace posible una solución aproximada del problema 
[3, 22, 23, 24]. 
 
3.1.2.4 Métodos de Aproximaciones a la solución de la ecuación de 
Schrödinger para el Cristal 
3.1.2.4.1 Aproximación Adiabática o de Born y Oppenheimer 
Para esta aproximación partimos dividiendo el sistema de partículas en 
livianas (electrones) y pesadas (núcleos atómicos), puesto que la masa del 
núcleo es mucho mayor que la masa del electrón, (M >> m), las 
velocidades de movimiento de los electrones superan en mucho a las 
velocidades de los núcleos, entonces para cada modificación de la posición 
de los núcleos atómicos prácticamente se establece instantáneamente la 
distribución espacial de los electrones en un campo de potencial 
(irrotacional) de núcleos fijos, resumiendo, al ser la masa del núcleo 
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mucho mayor que la de los electrones, su velocidad es 
correspondientemente pequeña. De esta forma, el núcleo experimenta a 
los electrones como si estos fueran una nube de carga, mientras que los 
electrones sienten a los núcleos como si estos estuvieran estáticos. De esta 
forma, los electrones se adaptan “instantáneamente” a cualquier posición 
de los núcleos [22, 23]. 
 
Debido al rápido movimiento de los electrones con respecto al de los 
núcleos atómicos (iones), las funciones de onda de aquellos no varían con 
respecto a las coordenadas de los núcleos atómicos (iones), por lo tanto 
son nulas, a estas consideraciones la ecuación (3.19) es lo que se le conoce 
como Aproximación de Born – Oppenheimer y se obtiene la ecuación de 
autovalores de la energía para los iones: 
(𝐸𝑞(𝑅) −
ℏ2
2𝑀
∑ ∇𝑅
2
𝑅
) 𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) = 𝐸𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) (3.21) 
Para el caso de los núcleos en reposo, la energía cinética de los núcleos se 
hace cero, y la energía de su interacción toma un valor constante, tomando 
el origen de lectura la energía se puede convertir en cero, considerando 
esto la ecuación (3.21) se simplifica y ya entonces se describe el 
movimiento de los electrones en el campo de sus núcleos atómicos (iones) 
en reposo, para este caso, la energía de los electrones y su función de onda 
dependen de modo paramétrico de la posición de los núcleos, en 
consecuencia la ecuación de Schrödinger para los electrones se describe 
en la forma: 
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(−
ℏ2
2𝑚
∑ ∇𝑟𝑖
2
𝑖
+ �̂�𝑒−𝑖𝑜𝑛 + �̂�𝑒−𝑒) 𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) = 𝐸𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) (3.22) 
 
3.1.2.4.2 Aproximación Monoelectrónica o de Hartree-Fock 
Uno de los métodos más utilizados para resolver el problema de muchos 
electrones, como es el caso de los estados electrónicos de un cristal es la 
aproximación de Hartree-Fock, que permite reducir el problema 
polielectrónico a uno monoelectrónico. Su concepto se reduce a que la 
energía de interacción de electrones de dos en dos se sustituye por la 
interacción de cada electrón con el campo promediado de todos los demás 
electrones. 
 
Supongamos que la energía potencial del i-ésimo electrón en este campo 
sea Ωi, ella depende no solo del movimiento de todos los restantes 
electrones, sino también del movimiento de los otros electrones, puesto 
que el campo Ωi no solo determina el movimiento del electrón prefijado, 
sino también depende de su movimiento, este campo se ha denominado 
autocongruente o autocoherente. [22] 
 
La introducción del campo congruente permite sustituir la doble sumatoria 
de (3.16) por la sumatoria: 
𝑈𝑒−𝑒 = −
1
4𝜋𝜀0
∑ ∑
𝑒2
|𝑟𝑖 − 𝑟𝑗|𝑗≠𝑖𝑖
= ∑ Ωi(𝑟𝑖)
𝑖
 (3.23) 
 
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Cada término de la cual depende de las coordenadas de un electrón, en este 
caso Ωi(ri) es la energía potencial de i-ésimo electrón en el campo de todos 
los demás electrones. 
 
Análogamente la energía potencial de interacción de los electrones con los 
núcleos de (3.14) también se puede representar en forma de suma: 
𝑈𝑒−𝑖𝑜𝑛 = −
1
4𝜋𝜀0
∑ ∑
𝑍𝛼𝑒
2
|𝑟𝑖 − 𝑅𝛼|
𝛼𝑖
= ∑ Ui(𝑟𝑖)
𝑖
 (3.24) 
 
Donde Ui(𝑟𝑖) es la energía potencial del i-ésimo electrón en el campo de 
todos los núcleos. 
Teniendo en cuenta la ecuación (3.23) y (3.24) la ecuación (3.22) se 
convierte en la forma: 
(∑ [−
ℏ2
2𝑚
∇𝑟𝑖
2 + Ωi(𝑟𝑖) + Ui(𝑟𝑖)]
𝑖
) 𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) =𝐸𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) (3.25) 
 
El Hamiltoniano para el i-ésimo electrón, es igual a: 
�̂�𝑖 = −
ℏ2
2𝑚
∇𝑟𝑖
2 + Ωi(𝑟𝑖) + Ui(𝑟𝑖) 
 
Entonces la ecuación (3.32) se puede escribir como 
(∑ �̂�𝑖
𝑖
) 𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) = 𝐸𝜑𝑞(𝑢(𝑅)) (3.26) 
 
De esta igualdad se deduce que los electrones se mueven 
independientemente entre sí en un cierto campo potencial autocongruente. 
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Por consiguiente, la introducción del campo autocongruente permite 
considerar a los electrones del cristal como un sistema de partículas no 
interactuantes. 
 
Puesto que el Hamiltoniano no contiene energía de interacción de 
electrones, la función de onda del sistema de electrones puede 
representarse en forma de producto de funciones de onda de electrones 
individuales: 
𝜑𝑞(𝑟1, 𝑟2, … ) = 𝜑𝑞(𝑟1)𝜑𝑞(𝑟2) … = ∏ 𝜑𝑖 (3.27) 
 
Y la energía individual del sistema es igual a la suma de las energías de 
los electrones individuales: 
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ = ∑ 𝐸𝑖
𝑖
 (3.28) 
 
Y teniendo en cuenta que el operador �̂�𝑖 influye solo en la función de onda 
𝜑𝑖, la introducción del campo autocongruente permite reducir el problema 
de muchas partículas a uno de un solo electrón: 
�̂�𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟) (3.29) 
 
Donde 𝜑(𝑟) y E son respectivamente la función de onda y la energía del 
electrón en el cristal. 
Si introducimos la designación para la energía potencial del electrón en el 
cristal por la función V(r), igual a 
U(r) + Ω(r) = 𝑉(𝑟) (3.30) 
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Entonces, la ecuación de Schrödinger para el electrón del cristal se escribe 
en la forma 
{−
ℏ2
2𝑚
∇𝑟𝑖
2 + 𝑉(𝑟)} 𝜑(𝑟) = 𝐸𝜑(𝑟) (3.31) 
 
Para la resolución del problema de un electrón consideramos la interacción 
electrostática de los electrones con la estructura cristalina del sólido, visto 
de otra manera los estados del electrón, que se encuentran en el campo de 
potencial de todos los iones de la red, cuyas cargas están compensadas en 
término medio por la carga de los electrones de valencia, es decir, en un 
potencial periódico, admitiendo que este potencial periódico proviene del 
efecto conjunto de todos los iones positivos de la red, que están regular o 
periódicamente distribuidos, entonces V(r) es una cierta función que posee 
una red cristalina periódica tridimensional. 
 
Para una red finita monodimensional de periodo a, la figura 3.4 muestra el 
aspecto de este potencial. 
 
Figura 3.4. (a) Energía potencial debida a la interacción coulombiana de 
un electrón con un ion positivo. (b) Potencial periódico de un electrón en 
una red monodimensional de iones positivos. 
U(r) 
Ua 
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La forma rigurosa de abordar el problema anterior requiere la resolución 
de la ecuación de Schrödinger teniendo en cuenta el hecho de que el 
potencial es periódico, esta tarea fue llevada a cabo por Bloch, quien 
demostró que para el caso de un campo de potencial periódico la solución 
de la ecuación de Schrödinger tiene la forma: 
 
Ψ𝑘(𝑟) = 𝑈𝑘(𝑟)𝑒
𝑖𝑘𝑟 (3.32) 
 
En la figura 3.4 (a) Ua representa el potencial de un átomo aislado, 𝑈𝑘(𝑟) 
tiene una red cristalina periódica tridimensional; k es un vector de onda 
del electrón en el cristal, su dimensión es inversa a la longitud. El término 
𝑈𝑘(𝑟) se determina por una forma concreta de la función V(r). 
 
Ahora 𝑈𝑘(𝑟) = 𝑈𝑘(𝑟 + 𝑎), 
 
Que puede verse como la función de onda del electrón libre 𝑒𝑖𝑘𝑟 modulada 
por una función 𝑈𝑘(𝑟) que presenta la misma periodicidad que la red, 
operando con este tipo de funciones de onda encontraríamos que los 
niveles de energía del solido se agrupan en bandas de energía, según nos 
muestra la relación E ↔ k en la Figura 3.5. 
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Figura 3.5. (a) Relación de dispersión E ↔ k para un electrón que se 
mueve en una red periódica monodimensional de periodo a. (b) 
Diagrama simplificado de bandas de energías permitidas y prohibidas. 
 
En la figura 3.5 (a) La energía E=E(k) es una función continua en ciertos 
intervalos de k que experimenta “saltos” para determinados valores del 
número de ondas (K=nπ/a). En la figura 3.5 (b) las bandas permitidas 
nos indican aquellos valores de energía que puede tener el electrón 
mientras que las bandas prohibidas señalan los valores de energía que no 
pueden ser tomados por el electrón [3, 22, 23, 24]. 
 
3.1.2.4.3 Aproximación Semiempírica de Fuerte Enlace 
Entre los modelos semiempíricos para resolver la ecuación de Schrödinger 
de un semiconductor, el método de fuerte enlace (Tight Binding), es una 
teoría muy útil, capaz de reproducir las bandas tanto de valencia como de 
conducción de una gran variedad de elementos y compuestos, donde, las 
funciones de onda del sólido se traslapan, básicamente consiste en suponer 
que las funciones de onda de los electrones en los átomos que forman el 
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sólido apenas se extiende más allá de los límites de cada uno de estos 
átomos. 
 
En el marco de esta aproximación, una manera sencilla de visualizar el 
efecto del potencial periódico en la formación de las bandas de energía 
consiste en determinar los niveles energéticos de los electrones en un 
sólido partiendo de los niveles energéticos de los átomos individuales y 
observando como varían estos niveles cuando los átomos se aproximan lo 
suficiente como para formar un sólido. Debido a lo complejo del potencial 
que siente un electrón en el átomo, este estudio es complicado, por lo que 
partiendo de una situación más simple que modela lo básico de la situación 
anterior y que consiste en el estudio de la variación de los niveles de 
energía desde un pozo de potencial monodimensional simple finito hasta 
el caso del pozo doble finito cuando disminuye la distancia entre los pozos. 
 
 En el caso de un único pozo de potencial finito, los dos primeros niveles 
de energía, E1 y E2, están relacionados conlas funciones de onda como se 
muestran: 
 
Figura 3.6. Función de onda asociada con (a) estado fundamental y (b) 
primer estado excitado de una partícula en un pozo de potencial finito. 
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Figura 3.7. (a) Pozo doble finito monodimensional. (b) Función de onda 
asociada de un electrón que está en el pozo 1 en el estado fundamental. 
(c) Función de onda asociada de un electrón que está en el pozo 2 en el 
estado fundamental. (d) Función de onda simétrica que representa a un 
electrón que puede estar con igual probabilidad en ambos pozos. (e) 
Densidad de probabilidad asociada con el caso anterior. (f) Función de 
onda antisimétrica que representa a un electrón que puede estar con igual 
probabilidad en ambos pozos. (g) Densidad de probabilidad asociada con 
el caso anterior. 
 
Para el caso del pozo doble de potencial finito Figura 3.7 (a), un electrón 
en el estado fundamental que este en el pozo 1 tendrá una función de onda, 
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𝜓1(𝑥), que solo será distinta de cero en las proximidades de dicho pozo 
figura 3.7 (b). Análogamente ocurrirá para un electrón en el estado 
fundamental que estuviese en el pozo 2 al que le correspondería una 
función de onda 𝜓2(𝑥) Figura 3.7 (c). 
 
Si ahora se considera el caso de un electrón que pudiese estar con igual 
probabilidad en cualquiera de los 2 pozos, la función de onda , 𝜓(𝑥), que 
represente este sistema debe tener las siguientes propiedades, teniendo en 
cuenta que si 𝜓(𝑥) es una función de onda correspondiente a un nivel de 
energía E cuya densidad de probabilidad asociada es |𝜓(𝑥)|2, −𝜓(𝑥) 
también será solución de la ecuación de Schrödinger y tendrá asociados 
los mismos valores de energía y densidad de probabilidad que la función 
𝜓(𝑥): 
1. 𝜓(𝑥) debe reflejar el hecho de que la partícula se encuentre con 
igual probabilidad en ambos pozos, por lo que la densidad de 
probabilidad,|𝜓(𝑥)|2 , debe ser simétrica con respecto al punto 
medio de los dos pozos. 
2. 𝜓(𝑥) debe presentar un aspecto similar en aquellas regiones 
correspondientes al caso de un electrón localizado en un único 
pozo. 
 
Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones encontramos que solo 
existen dos posibilidades compatibles, dando así lugar a la función de onda 
simétrica, 𝜓𝑆 Figura 3.7 (d), y antisimétrica, 𝜓𝐴 Figura 3.7 (f): 
 
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𝜓𝑆 = 𝐶(𝜓1 + 𝜓2) 
𝜓𝐴 = 𝐶(𝜓1 + 𝜓2) 
Si la distancia entre los pozos es considerable, la forma de |𝜓𝑆(𝑥)|
2 Figura 
3.7 (e) y de |𝜓𝐴(𝑥)|
2 Figura 3.7 (g) es muy parecida por lo que la energía 
de los estados que representan tendrán muy aproximadamente el mismo 
valor, ES=EA, y diremos que existe degeneración. 
 
 
Figura 3.8. Forma de las funciones de onda simétrica y antisimétrica 
cuando los pozos de potencial finito se aproximan. 
 
Cuando la distancia entre los pozos disminuye, siguiendo los mismos 
criterios anteriores, la forma de las funciones de onda simetría y 
antisimétrica se modificara tal como muestra la Figura 3.8 puede verse que 
la función de onda Simétrica, 𝜓𝑆 presenta para este caso una forma similar 
a la función de onda correspondiente al estado fundamental del pozo 
simple finito de anchura doble Figura 3.6 (a) y, análogamente, la función 
de onda antisimétrica, 𝜓𝐴, es similar a la función de onda del primer estado 
excitado del pozo simple finito de anchura doble Figura 3.6 (b). Dado que 
las funciones del pozo simple corresponden a diferentes niveles de 
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energía, puede concluirse que, “Al acercar dos sistemas independientes 
idénticos, con la misma energía, se rompe la degeneración de los dos 
estados correspondientes a estos sistemas y aparecen dos niveles de 
energía diferente.” [3, 22, 24]. 
 
3.1.2.5 Estructura de Bandas de Energía 
A partir del principio básico enunciado anteriormente podemos ahora 
analizar los cambios en los niveles de energía del electrón en un sistema 
con dos átomos. Tal como muestra la Figura 3.9, en este caso: 
 
Figura 3.9. Modificación de los niveles energéticos asociados a los 
electrones externos de un sistema de 2 átomos. 
 
Se observaría que los niveles de energía de los electrones más internos 
(nivel E1) apenas sufrirían cambios mientras que los niveles de energía de 
los electrones de las capas más externas (nivel E2) sí que sufrirían un 
desdoblamiento. Este hecho se debe a que los electrones más internos 
apenas serían afectados por la presencia del otro átomo dado que su 
“entorno de potencial” apenas varía con respecto a la situación en la que 
se encontraban en cada átomo individual. Por el contrario, el “entorno de 
potencial” de los electrones externos en el sistema de dos átomos es 
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sustancialmente distinto al que había en un único átomo. El mayor cambio 
en los niveles energéticos de los electrones más externos puede también 
interpretarse a partir del efecto túnel. Debido al efecto túnel esperamos que 
los electrones de las capas más externas dejen de estar localizados 
estrictamente en el entorno de cada átomo individual y pasen a formar 
parte del sistema en su conjunto, mientras que es muy poco probable que 
los electrones de las capas más internas atraviesen las barreras de potencial 
que los rodean. 
 
El fenómeno de desdoblamiento observado para dos átomos puede 
claramente extenderse a un sistema de más átomos (por ejemplo 5, tal 
como muestra la Figura 3.10). En este caso encontraremos que por cada 
nivel original de las capas del átomo individual aparecerán ahora tantos 
niveles como átomos haya en el sistema multiatómico. Igualmente 
observamos cómo los niveles de las capas más externas (nivel E2) sufren 
un desdoblamiento más amplio que el correspondiente a las capas más 
internas (nivel E1) 
 
Figura 3.10. Modificación de los niveles energéticos asociados a los 
electrones externos de un sistema monodimensional de N átomos. 
 
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Si este modelo se sigue extendiendo hasta completar el número total de 
átomos del sólido (n ~ 1028m-3), los niveles discretos de energías 
(correspondientes al “despliegue” de los niveles originales de los átomos 
individuales) aparecerían ahora tan cerca que darían lugar a una 
configuración cuasicontinua de niveles energéticos. Debido a esta 
naturaleza cuasicontinua de la energía, se dice que la configuración 
energética del sólido muestra bandas de energía (ver Figura 3.11). 
 
Figura 3.11. Aparición de bandas de energía fruto de la perdida de 
degeneración de los niveles energéticos asociados a los electrones de un sólido. 
 
Debido a que las propiedades físicas de los sólidos dependen básicamente 
de la configuración de las últimas bandas de energía, estas serán las de 
mayor interés para la conductividad eléctrica. La denominación usual para 
estas últimas bandas es la siguiente: 
 Banda de Valencia (BV): es la banda de energía más alta 
conteniendo electrones. 
 Bandas Prohibidas (BP): corresponden a aquellos valores de 
energía en los cuales no hay niveles permitidos. 
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 Banda de conducción (BC): Si la BV está parcialmente llena, esta 
banda se denomina banda de conducción y si la BV está totalmente 
llena (a T=0K) entonces la BC será aquella banda inocupada 
inmediatamente superior a la BV. 
 
Debe notarse que la anterior discusión sobre la formación de bandas se 
basa en un modelo simplificado monodimensional que no ha tenido en 
cuenta las características tridimensionales del cristal. Cuando éstas se 
tienen en cuenta, la formación de bandas de energía puede presentar 
algunas variaciones importantes respecto al modelo simple presentado 
anteriormente. En concreto cabe destacar el fenómeno de hibridación de 
bandas, que consiste en la existencia de bandas de energía formadas 
combinando niveles de energía procedentes de diferentes niveles 
originales [3, 22, 24, 25]. 
 
 
3.1.3 Propiedades Ópticas de los Semiconductores 
3.1.3.1 Absorción de la Luz 
En un medio, cuando un haz de radiación monocromática u homogénea lo 
traspasa, debido a la reflexión y absorción su intensidad disminuye. 
 
Figura 3.12. Absorción de la luz por un semiconductor. 
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En la Figura 3.12, la intensidad de la luz, I, que incide en la capa dx, debido 
a la absorción de la luz en esta capa la intensidad de radiación se reduce 
en la magnitud dI. La cantidad de energía absorbida dI es proporcional a 
la cantidad de energía incidente en la capa y al espesor de la capa 
absorbente: 
−𝑑𝐼 = 𝛼𝐼𝑑𝑥 (3.33) 
El coeficiente de proporcionalidad 𝛼, que expresa la cantidad de energía 
absorbida del haz de intensidad unidad por la capa de espesor unidad, se 
llama factor de absorción. Si integramos la ecuación (3.33) sin tener en 
cuenta la reflexión, 
∫
𝑑𝐼
𝐼
𝐼
𝐼0
= ∫ 𝛼𝑑𝑥
𝑑
0
 (3.34) 
Obtenemos la expresión 
𝐼 = 𝐼0𝑒
−𝛼𝑑𝑥 (3.35) 
Conocida con el nombre de ley de Beer-Lambert o ley de Beer-Lambert-
Bouguer, la magnitud 𝛼 es una característica del medio absorbente y 
depende de la longitud de onda de la radiación. 
 
La dependencia del factor de absorción respecto de la frecuencia 𝛼(𝜔) o 
de la longitud de onda 𝛼(𝜆) se llama espectro de absorción de la sustancia. 
Al interactuar los electrones del semiconductor con la radiación 
electromagnética deben cumplirse dos leyes: la ley de conservación de la 
energía y la ley de conservación del casi impulso, si el electrón hasta 
interactuar con un cuanto de luz (fotón), de energía ћω e impulso ћῆ, tenía 
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la energía E y el casi impulso p. y después de interactuar tiene E’ y p’, estas 
leyes se escriben en la forma 
𝐸′ = 𝐸 + ℏ𝜔 (3.36) 
𝑝′ = 𝑝 + ℏῆ (3.37) 
La absorción de la radiación en los semiconductores puede estar vinculada 
con la variación del estado energético de los electrones libres o enlazados 
con los átomos, así como con la variación de la energía vibratoria 
(oscilante) de los átomos de la red, debido a esto, en los semiconductores 
se distinguen tipos de absorción óptica, como, intrínseca, excitónica, por 
portadores de carga libre, extrínseca y absorción de la luz por la red 
cristalina [22, 23]. 
 
 
3.1.3.2 Absorción intrínseca de la Luz 
Se llama absorción intrínseca o fundamental en un semiconductor a 
aquella que provoca la transición de los electrones del borde superior de 
la banda de valencia a los estados vacíos del borde inferior de la banda de 
conducción, es decir cuando el semiconductor absorbe una energía 
suplementaria, que supera o es igual a la anchura de la banda prohibida 
(podría ser un fotón de energía superior al valor de la banda prohibirá o 
ligeramente inferior, si interviene un fonón). 
 
La dependencia espectral del coeficiente de absorción para valores de la 
energía del fotón próximos al valor de la banda prohibida, depende 
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únicamente de la estructura de bandas del material en torno al máximo de 
la banda de valencia y al mínimo de la banda de conducción [22, 23]. 
 
3.1.3.2.1 Transiciones Directas: 
La energía mínima de la banda de conducción, caracterizada por el vector 
de onda kmin, y la energía máxima de la banda de valencia, determinada 
por el vector de onda Kmax, están dispuestas en un mismo punto de la zona 
de Brillouin (generalmente en el punto k=0), en términos más simples, en 
estos semiconductores kmin= Kmax (mismo valor del cuasi impulso k). 
 
Las transiciones de los electrones por la banda prohibida ocurrirán entre 
estados energéticos, correspondientes al máximo de la banda de valencia 
y al mínimo de la banda de conducción, es decir para valores de los casi 
impulsos (𝑝 = ℏ𝑘) o del vector de onda k próximos a cero. 
 
El vector de onda de un fotón 𝜂 = 2𝜋/𝜆, es muy pequeño en comparación 
con el número de onda de un electrón, puesto que la longitud de onda del 
electrón en el cristal cuando la energía del electrón, correspondiente a 
300oK, es aproximadamente de 5.10-7 cm, al tiempo que λf es del orden de