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denrits Texto tecleado u-libros.com http://u-libros.com Álgebra Álgebra Michael Sullivan Chicago State University ISBN: 968-880-964-0 Agradecimiento especial por su colaboración en la adaptación de esta obra a: Karim Martínez Cerrato Coordinadora del Departamento Físico-Matemático Universidad Tecnológica Centroamericana Authorized adaptation from the English language edition, entitled Precalculus, 4th. edition by Michael Sullivan, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 1996. ISBN: 0-13-228594-0. All rights reserved. Adaptación Autorizada de la obra titulada Precálculo, 4a. edición, por Michael Sullivan, publicada por Pearson Education, Inc., pu- blicada como Prentice Hall, Copyright © 1996. ISBN: 0-13-228594-0. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Editora: María Elena Zahar Arellano e-mail: maria.zahar@pearson.com Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. @ 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° Piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Custom Publishing es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1526-7 ISBN 13: 978-970-26-1526-2 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 Datos de catalogación bibliográfica SULLIVAN, MICHAEL Álgebra PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1526-2 Área: Matemáticas Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 536 Estimados estudiantes y docentes de UNITEC: Me da mucho gusto saludarles y poner en sus manos este libro de texto que es parte de un innovador proyecto dirigido a Ustedes. La Universidad Tecnológica Centroamericana está comprometida desde 1987, año de su fundación, con la calidad y la excelencia académica al punto de ser un estilo de vi- da en permanente mejora, que les involucra a Ustedes y también a los recursos y metodologías de enseñanza y aprendizaje propios de las diversas carreras profe- sionales que ofrecemos. A inicios de los 90’s UNITEC incorporó el modelo educativo centrado en el estudian- te y apoyado en tecnologías de vanguardia para dar respuesta a los retos que el mundo global plantea, a tal punto que actualmente esta Universidad forma profesio- nales y ciudadanos en Honduras que sean capaces de desenvolverse competitiva y exitosamente en los escenarios del mundo globalizado. La alianza estratégica que hemos emprendido con el Grupo Editorial Pearson es garante de la calidad que encontrarán, no sólo en los contenidos temáticos de los libros de texto con estándares internacionales, sino también en su diseño didáctic o y a la incorporación de los recursos que permitirán el trabajo autónomo y perso- nalizado vía web, tan característico del estilo de aprendizaje en la sociedad del si- glo XXI. Este esfuerzo complementa la sistemática profesionalización de los docentes mediante el Sistema de Excelencia en la Enseñanza, conocido como Programa SENECA, que les posibilita el perfeccionamiento de su práctica, convirtiéndose en el sello de la docencia en UNITEC. Auguro condiciones muy favorables donde el aprendizaje será inevitable, no solo durante sus años de formación profesional sino durante toda su existencia: Que les persiga el deseo por avanzar, por descubrir nuevas cosas, por ampliar el conocimiento acerca de lo que somos y a dónde vamos, pero sobre todo ayudando a construir el camino que elegimos ¡Que cosechen muchos éxitos y satisfacciones! Fraternalmente Román Valladares Rector de UNITEC TEMA 1 C A P Í T U L O 2 Funciones y sus gráficas 1 2.1 Funciones 2 2.2 Más acerca de funciones 17 2.3 Técnicas de graficación 34 2.4 Operaciones con funciones; composición de funciones 46 2.5 Funciones uno a uno; funciones inversas 54 2.6 Modelos matemáticos: construcción de funciones 65 Repaso del capítulo 76 TEMA 2 C A P Í T U L O 3 Funciones racionales y polinomiales 81 3.1 Funciones cuadráticas 82 3.2 Funciones polinomiales 99 3.3 Funciones racionales 113 3.4 Teoremas del residuo y del factor; división sintética 132 3.5 Los ceros de una función polinomial 141 3.6 Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 151 3.7 Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 155 Repaso del capítulo 160 3.8 Funciones con radicales 166 3.9 Funciones seccionadas 176 Autoevaluación del capítulo 3 190 TEMA 3 C A P Í T U L O 4 Funciones exponenciales y logarítmicas 191 4.1 Funciones exponenciales 192 4.2 Funciones logarítmicas 204 4.3 Propiedades de los logaritmos 214 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 222 4.5 Interés compuesto 227 4.6 Crecimiento y decaimiento 236 4.7 Escalas logarítmicas 241 Repaso del capítulo 245 C O N T E N I D O vii TEMA 4 C A P Í T U L O 9 Geometría analítica 291 9.1 Preliminares 252 1.6 Coordenadas rectangulares y gráficas 253 9.2 La parábola 271 9.3 La elipse 282 9.4 La hipérbola 295 9.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica 310 9.6 Ecuaciones polares de las cónicas 318 9.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 323 Repaso del capítulo 331 TEMA 5 C A P Í T U L O 1 0 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 337 10.1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 338 10.2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 351 10.3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 367 10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales 378 10.5 Sistemas de desigualdades 389 10.6 Programación lineal 398 Repaso del capítulo 405 TEMA 6 C A P Í T U L O 1 1 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad 411 11.1 Sucesiones 412 11.2 Sucesiones aritméticas 421 11.3 Sucesiones geométricas; series geométricas 426 11.4 Inducción matemática 434 11.5 Teorema del binomio 438 11.6 Conjuntos y métodos de conteo 447 11.7 Permutaciones y combinaciones 452 11.8 Probabilidad 462 Repaso del capítulo 472 Respuestas 479 viii Contenido 1 CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 2.1 Funciones 2.2 Más acerca de funciones 2.3 Técnicas de graficación 2.4 Operaciones con funciones; composición de funciones 2.5 Funciones uno a uno; funciones inversas 2.6 Modelos matemáticos: construcción de funciones Repaso del capítuloPanorama Para ir de una isla a un poblado Una isla se encuentra a 2 millas del punto más cercano P de una costa recta. Un poblado está a 12 millas de dicha costa desde el punto P. (a) Si una persona puede remar en un bote a una velocidad promedio de 5 millas por hora, y luego caminar a 2 millas por hora, exprese el tiempo T que tarda en ir de la isla al poblado como una función de la distancia x de P hasta donde la persona deja anclado el bote. (b) ¿Cuánto tiempo tardará dicha persona en ir de la isla al poblado si deja anclado el bote a 4 millas de P? (c) ¿Y si deja anclado el bote a 8 millas de P? [Ejemplo 9 de la sección 2.1.] (d) ¿Existe un lugar para dejar el bote de modo que el tiempo de recorrido sea mínimo? ¿Piensa usted que este lugar es más cercano al poblado o a P? Analice las posibilidades y justifique su respuesta. [Problemas 63 y 64 en el ejercicio 2.1.] T E M A 1 2 Funciones y sus gráficas Funciones 3 4 Funciones y sus gráficas Funciones 5 6 Funciones y sus gráficas Funciones 7 8 Funciones y sus gráficas Funciones 9 10 Funciones y sus gráficas Funciones 11 12 Funciones y sus gráficas Funciones 13 14 Funciones y sus gráficas Funciones 15 16 Funciones y sus gráficasMás acerca de funciones 17 18 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 19 20 Funciones y sus gráficas Los siguientes resultados se hacen entonces evidentes: Más acerca de funciones 21 22 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 23 24 Funciones y sus gráficas Para un análisis de la ecuación y � 1/x. Véase la figura 16. Más acerca de funciones 25 26 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 27 28 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 29 30 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 31 32 Funciones y sus gráficas Más acerca de funciones 33 34 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 35 36 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 37 38 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 39 40 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 41 42 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 43 44 Funciones y sus gráficas Técnicas de graficación 45 46 Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones; composición de funciones 47 48 Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones; composición de funciones 49 50 Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones; composición de funciones 51 52 Funciones y sus gráficas Operaciones con funciones; composición de funciones 53 54 Funciones y sus gráficas Funciones uno a uno; funciones inversas 55 56 Funciones y sus gráficas Funciones uno a uno; funciones inversas 57 58 Funciones y sus gráficas Funciones uno a uno; funciones inversas 59 60 Funciones y sus gráficas Funciones uno a uno; funciones inversas 61 62 Funciones y sus gráficas Funciones uno a uno; funciones inversas 63 64 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 65 66 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 67 68 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 69 70 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 71 72 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 73 74 Funciones y sus gráficas Modelos matemáticos: construcción de funciones 75 76 Funciones y sus gráficas Repaso del capítulo 77 60). 78 Funciones y sus gráficas Repaso del capítulo 79 80 Funciones y sus gráficas 81 CAPÍTULO 3 FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES 3.1 Funciones cuadráticas 3.2 Funciones polinomiales 3.3 Funciones racionales 3.4 Teoremas del residuo y del factor; división sintética 3.5 Los ceros de una función polinomial 3.6 Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 3.7 Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra Repaso del capítulo 3.8 Funciones con radicales 3.9 Funciones seccionadas Panorama El puente Golden Gate El puente Golden Gate, un puente colgante, enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables de 3 pies de diámetro; el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra a 220 pies aproximadamente sobre el nivel del agua. Los cables tienen forma parabólica y tocan a la calzada en el centro del puente. Encuentre la altura del cable a una distancia de 1000 pies desde el centro del puente. [Ejemplo 9 en la sección 3.1] T E M A 2 Agradecemos al profesor Carlos Alberto Mejía Colindres por la elaboración de las secciones Funciones con radicales y Funciones seccionadas. 82 Funciones racionales y polinomiales el capítulon el capítulo 2 hicimos las gráficas de funciones lineales f(x) = ax + b, a ≠ 0; la fun- ción cuadrática f(x) = x2; y la función cúbi- ca f(x) = x3. Cada una de estas funciones pertenece a la clase de las funciones polinomiales, las que es- tudiaremos un poco más en este capítulo. También estudiaremos las funciones racionales, que son co- cientes de funciones polinomiales. En este capítulo ponemos especial énfasis e n las gráficas de fun- ciones polinomiales y racionales. Dicho énfasis demostrará la importancia de la evaluación de poli- nomios (sección 3.5 y 3.6). La sección 3.7 trata acerca de los polinomios que tienen coeficientes que son números complejos. E Funciones cuadráticas 83 84 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 85 86 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 87 88 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 89 90, 90 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 91 92 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 93 94 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 95 96 Funciones racionales y polinomiales Funciones cuadráticas 97 98 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 99 Así, una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable. 100 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 101 102 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 103 104 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 105 y construimos la figura 24(a). Por tanto, la gráfica de f está por arriba del eje x para 2 � x � � y por debajo del eje x para � � � x � 0 y 0 � x � 2. 106 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 107 108 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 109 110 Funciones racionales y polinomiales Funciones polinomiales 111 112 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 113 114 Funciones racionales y polinomiales Ya hemos estudiado las características de la función racional f (x) � 1/x. La siguiente función racional que nos ocupa es H(x) � 1/x2. Funciones racionales 115 116 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 117 118 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 119 120 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 121 122 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 123 124 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 125 126 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 127 128 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 129 121 130 Funciones racionales y polinomiales Funciones racionales 131 132 Funciones racionales y polinomiales Teoremas del residuo y del factor; división sintética 133 134 Funciones racionales y polinomiales Teoremas del residuo y del factor; división sintética 135 136 Funciones racionales y polinomiales Teoremas del residuo y del factor; división sintética 137 138 Funciones racionales y polinomiales Teoremas del residuo y del factor; división sintética 139 140 Funciones racionales y polinomiales Los ceros de una función polinomial 141 142 Funciones racionales y polinomiales Los ceros de una función polinomial 143 144 Funciones racionales y polinomiales Los ceros de una función polinomial 145 146 Funciones racionales y polinomiales Los ceros de una función polinomial 147 148 Funciones racionales y polinomiales Los ceros de una función polinomial 149 150 Funciones racionales y polinomiales Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 151 152 Funciones racionales y polinomiales Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 153 154 Funciones racionales y polinomiales Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 155 156 Funciones racionales y polinomiales Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 157 158 Funciones racionales y polinomiales Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 159 160 Funciones racionales y polinomiales Repaso del capítulo 161 121 121). 162 Funciones racionales y polinomiales Repaso del capítulo 163 164 Funciones racionalesy polinomiales Repaso del capítulo 165 166 Funciones racionales y polinomiales Funciones con Radicales 3.8 Se considerarán ahora funciones de la forma Donde n es un entero positivo y g(x) es una función polinómica no constante. Sabemos que una raíz de índice impar n siempre está definida en R, independien- temente del valor del radicando; si el índice n es impar, entonces la raíz estará definida en R únicamente si el radicando es positivo o cero. Estos conceptos se extienden también a las funciones con radicales, permitiendo la definición de su do- minio. La función tiene como dominio: i) A todos los números reales, si n es impar ii) A todas las x tales que g(x) > 0, si n es par. Para familiarizarnos con las gráficas de las funciones con radicales, comenzaremos por considerar las funciones De lo expuesto anteriormente, se deduce que Dom f = [0, + [y que Dom h = R. A continuación se dan las gráficas de f y h, junto con sus respectivas tablas de valores f x xyh x x( ) ( ) .= = 3 f x g xn( ( )= f x g xn( ( )= Y X 3 2 1 1 4 9 f(x) = √x h(x) = √x –8 –1 Y X 1 8 3 FIGURA 45 (a) FIGURA 45 (b) x 0 1 4 9 f (x) 0 1 2 3 TABLA DE LA FIGURA 45 (a) x –8 –1 0 1 8 f (x) –2 –1 0 1 2 TABLA DE LA FIGURA 45 (b) a) b) Funciones con radicales 167 Observando las gráficas, puede determinarse que Rg f = [0, + ]y que Rg H = R; además, ambas curvas son crecientes en todo su dominio. Note también que h es impar, ya que Las funciones son las reflexiones de f y h, respec- tivamente; el rango F es [– , 0], mientras que el rango de H es siempre R (vea las figuras 46 (a) y (b). f x x H x x( ) y ( ) 3= = h x x x h x( ) ( )= =3 3 Y X F(x) = – √x FIGURAS 46 (a) y (b) Y X h(x) = –√h 3 Otras funciones de la forma tendrán una gráfica similar a la de f o a la de g dependiendo de si el índice del radical es par o impar, respectivamente. Las traslaciones de las curvas f y h deben efectuarse tomando como punto de referencia el inicio de la gráfica en el caso de f, y el punto de inflexión en el caso de h. Dichas traslaciones se dan por medio de las ecuaciones: donde a estrecha o expande las curvas, y también puede causar reflexiones, depen- diendo de su valor; el punto (h, k) es el inicio de la gráfica de f, y el nuevo punto de inflexión en el caso de h. E J E M P L O 1 Grafique las funciones; a) b) h x x( ) = + 1 2 2 13 f x x( ) = 2 1 3 f x a x h k( ) = +3 f x a x h k( ) = + g x xn( ) = a) b) 168 Funciones racionales y polinomiales Solución: a) El punto de inicio de f es (1, 3). Como a = 2, no hay reflexión en la curva, por lo que es creciente. No existe intercepto en y (¿por qué?), pero si hacemos y = 0, se tiene que: El intercepto en x es entonces ( , 0). La figura 47 (a) muestra la función de h, donde puede observarse que Dom f = [1, + ] y Rg f = [–3, + ]. El dominio pudo determinarse al notar que f sólo está definida si x – 1 1. b) El punto de inflexión de h es (–2,–1). Como a = – , h sufre una inflexión con respecto a la curva básica , por lo que siempre es decreciente. Si x = 0, entonces Luego ly:(0, –16). Si y = 0, entonces De lo anterior se tiene que lx(0, –10). El dominio y el rango de h son todos los números reales, tal y como se aprecia en la figura 47 (b). =10 x = +8 2x = +2 23 x 0 1 2 2 13= +x y = 1 2 2 1 1 63 . . y x= 3 1 2 13 4 13 4 = x 9 4 1= x 3 2 1= x 0 2 1 3= x (2, 1) f(x) = 2√x – 1 –3 (1, –3) Y X –1 –3 FIGURAS 47 (a) y (b) –10 –2 Y X –1 –2 a) b) Funciones con radicales 169 Consideremos ahora la función . f está definida siempre que –x 0, o sea si x 0; el dominio de f es [– , 0]. El efecto del cociente –1 de la x bajo el radical es el de cambiar el dominio de la función, de forma que el punto que antes era el inicio de la gráfica se convierte ahora en su punto terminal (vea la figura 48). f x x( ) = f(x) = √–x Y X FIGURA 48 E J E M P L O 2 : Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) b) Solución: a) Cuando el cociente de la x es negativo, es necesario encontrar primero el domi- nio de la función. g está definida en R siempre que 4 – x 0, o sea si x 4; lue- go, Dom g = [– , 4]. El punto terminal de la gráfica tiene coordenadas (4, –12). Si x = 0, enton- ces y = –6, por lo que ly: (0, –6). Si y = 0, se tiene que Por lo que lx: (–12, 0). El rango de g es [–12, + ]; además, g es decreciente (veáse la figura 49 (a). b) j está definida en R siempre que 9 –3 0, lo que implica que x 3; de esto se deduce que Dom j = [– , 3]. El punto Terminal de la gráfica es (3, 2); además, como a = – , j es una reflexión. Esto queda claro al trazar la curva con la ayu- da de los interceptores (0, 1) y (–9, 0), como se ve en la figura 49 (b). j es cre- ciente con Rg j = [– , 2]. 1 3 =12 x 16 4= x 4 4= x 0 3 4 12= x j x x( ) = +1 3 9 3 2 g x x( ) = 3 4 12 170 Funciones racionales y polinomiales Hasta el momento sólo se han considerado funciones con radicandos lineales; si la raíz es par, estas funciones tienen como gráfica una de las cuatro curvas que se ven en la figura 50, según sea el valor de a y el signo de la x dentro del radical. g(x) = 3√4 – x –12 –12 –6 –12 4 FIGURAS 49 (a) y (b) j(x) = – √9 – 3x + 2 Y X –9 2 1 3 1–3 FIGURA 50 Si el radicando es cuadrático y la raíz es de índice par, debe factorizarse el radi- cando y luego, por medio de una tabla de variación de signo, establecer para qué valores de la variable la raíz está definida en R. Encontrando después los inter- ceptos y algunos puntos adicionales, es posible trazar una gráfica muy aproxima- da de la función. a) b) c) d) a) b) Funciones con radicales 171 E J E M P L O 3 : Trace la gráfica de las funciones: a) b) c) Solución: a) Si se factoriza el radicando, f se puede escribir como: f está definida en R siempre que Para resolver esta desigualdad, se elabora la siguiente tabla de variación de signo: ( )( )3 3 0+ x x f x x x( ) ( )( )= +3 3 j x x x( ) = + +2 2 2 g x x x( ) = + +2 4 3 f x x( ) = 9 2 – –3 3 + 3 + x – + + 3 – x + + – Producto – + – – –3 –1 + x + 3 – + + x + 1 – – + Producto + – + El producto (3 + x)(3 – x) es positivo o cero si x [–3,3], por lo que Dom f = [–3, 3]. Se puede comprobar fácilmente que los interceptos de f son (–3, 0), (3, 0) y (0, 3). La gráfica de la función es una semicircunferencia, con rango [0, 3] y que crece en [–3, 0] y decrece en [0, 3]. Vea la figura 51 (a). b) Reescribiendo a g, se tiene que Para establecer el dominio de g, se elabora la siguiente tabla de variación de signo: g x x x( ) ( )( )= + +3 1 Se tiene que Dom g = [– , –3] U [–1,+ ]. Además, los interceptos de g son (3, 0), (–1, 0) y (0, ). La gráfica de la función está formada por dos curvas; g decre- ce en [– , –3] y crece en [–1, + ]. Su rango es [0, + ]. Vea la figura 51 (b). c) No es posible factorizar el radicando x2 + 2x + 2, ya que su discriminante es ne- gativo. Esta parábola es siempre positiva, por lo que Dom h = R. 3 172 Funciones racionales y polinomiales La función no tiene interceptos en x, por la misma razón ya expuesta; para poder trazar su gráfica, es necesario entonces conocer si j es mínimo. Los valores que toma j dependen de los valores que toma el radican- do x2 + 2x + 2, que es una parábola que se abre hacia arriba; ésta curva toma su valor mínimo en la abscisa del vértice, o sea en h = = –1. Lo anterior quiere decir que j también toma su valor mínimo en x = h = –1. Evaluando, se tiene que (–1, 1) es el punto mínimo de j. Considerando este hecho, junto a que ly:(0, ), y tomando además algunos puntos adicionales, se obtiene la gráfica de la figu- ra 51 (c). El rango de j es [1, + ]; la función decrece en [– , –1] y crece en [–1, + ]. 2 j( ) ( ) ( )= + + =1 1 2 1 2 12 2 2 j x x x( ) = + +2 2 2 Y X –3 3 3 f(x) = √9 – x2 FIGURAS 51 (a), (b) y (c) Y X g(x) = √x2 + 4x + 3 (– 4, √3 ) √3 –4 –3 –2 –1 2 1 j(x) = √x + 2x + 22 (–2, √2 ) √2 –2 –1 2 1 Y X a) b) c) Funciones con radicales 173 Cualquier función con un radicando cuadrático y de índicepar tendrá una grá- fica parecida a una de las tres vistas en el ejemplo anterior, por lo que es conve- niente tener presente su forma. Considérese ahora la función Su dominio es el intervalo [0, + ], puesto que el cero es ahora un valor prohibido. Tal y como ocurre con todas las funciones racionales, el valor prohi- bido de f determina una asíntota vertical; la curva se acercará a dicha asíntota en dirección a + en y puesto que f no puede tomar valores negativos. A medida que x tiende a + , el cociente tenderá a cero, por lo que la recta y = 0 (que coincide con el eje x) es la asíntota horizontal de f. En la figura 52 se ve la grá- fica de la función, junto con algunos puntos tomados como referencia. 1 x f x x ( ) = 1 (1/4, 2) (1, 1) f(x) = √X 1 (4, 1/2) 1 2 3 4 Y X 2 1 FIGURA 52 f es decreciente en todo su dominio, y su rango es [0,+ ]. E J E M P L O 4 : trace la gráfica de la función Solución: h es una traslación y reflexión de . Note que la nueva asíntota vertical es x = 2, y la asíntota horizontal es y = 1. No existe intercepto en y (¿por qué?). Si ha- cemos y = 0, se tiene que x = 3 x =2 1 x =2 1 1 1 2 = x 0 1 2 1= + x f x x ( ) . = 1 h x x ( ) = +1 2 1 174 Funciones racionales y polinomiales El intercepto en x es (3, 0). La figura 53 ilustra la gráfica de h, pudiendo observar- se que Dom h = [2, + ] y que Rg h = [ – , 1]; además, h es creciente en todo su dominio. Y X 2 1 –1 1 2 3 4 5 6 FIGURA 53 Las siguientes curvas son translaciones y/o reflexiones de . Determine sus ecuaciones.f x x( ) = Ejercicio 3.8 3.8 –3 –2 Y X –5 Y X Y X 2 1. 2. 3. Funciones con radicales 175 Trace la gráfica de las siguientes funciones, indicando: el dominio, rango, interceptos, intervalos de crecimien- to y de decrecimiento. Y X10 –7 5 Y X Y X –16 Y X –11 Y X 12 –8 Y X 6 Y X 16 Y X –3 2 Y X 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 16. j x x( ) = +1 2 83 f x x( ) = 4 14. 17. k x x( ) = 3 g x x( ) = 5 15. 18. f x x( ) 1 32 3 + h x x( ) = +1 23 176 Funciones racionales y polinomiales 19. 22. 25. 28. 31. 34. 37. 40. 43. 46. 49. j x x( ) = 1 3 f x x ( ) = 3 6 1 4 m x x ( ) = + 1 4 h x x ( ) = 1 y x x= +2 8 2 12 h x x( ) = 4 4 2 k x x x( ) = 2 8 h x x( ) = 4 2 n x x( ) = 4 8 1 4 y x= +2 3 3 g x x ( ) = 2 2 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38. 41. 44. 47. 50. k x x( ) = 2 3 g x x ( ) = 1 1 2 n x x ( ) = 1 9 j x x ( ) = 1 f x x x( ) = +2 4 5 j x x x( ) = +2 9 14 f x x x( ) = + +2 12 11 j x x( ) = 2 4 f x x( ) = 2 1 j x x( ) = +1 2 h x x( ) = +3 4 6 21. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 42. 45. 48. h x x ( ) = 1 12 y x = +2 3 2 1 k x x ( ) = 1 g x x x( ) = + +4 24 382 k x x x( ) = + +12 8 4 12 g x x x( ) = +2 8 7 y x= +4 9 12 g x x( ) = 1 2 k x x( ) = 3 4 m x x( ) = +8 4 9 51. Determine el dominio e interceptos de la función f x x x x x( ) = + +2 5 23 38 244 3 2 Funciones Seccionadas Las funciones seccionadas tienen la particularidad de definirse por intervalos; es- to quiere decir que su dominio se considera como la unión de intervalos separados, y en cada uno la función tomará una forma específica. Considérese como primer ejemplo la función mayor entero, denotada por f (x) = [x] Esta función asigna sus imágenes de la siguiente forma: Si x es un entero, enton- ces [x] = x; si x está entre dos enteros consecutivos n y n + 1, entonces [x] = n. A continuación se dan algunos ejemplos: =3 25 6 6.[ ] =3 4 3.[ ] = 2 1=32 1=100 100[ ] = [ ] =200 1 201.12 0=[ ] =2 2 3.9 Funciones seccionadas 177 Se ha podido observar que es posible encontrar el mayor entero de cualquier núme- ro real, por lo que el dominio de f es R. Esta función recibe el nombre de mayor en- tero ya que asigna a todo número x el entero más grande que es menor o igual a x; de esta forma, para 4.2, se escoge a 4 como su mayor entero, y no a 3 ni a 2, etcé- tera. Para trazar una parte de la gráfica de f(x) = [x], es necesario observar que si, por ejemplo, –4 x < –3, entonces [x] = –4; esto significa que el intervalo [–4, –3] tiene como imagen a –4. De igual forma, La gráfica de f (x) = [x] consiste de infinitos escalones ascendentes, que en realidad son pequeñas funciones constantes, definidas por intervalos. 3 4 3< [ ] =x x 2 3 2< [ ] =x x 1 2 1< [ ] =x x 0 1 0< [ ] =x x < [ ] =1 0 1x x < [ ] =2 1 2x x < [ ] =3 2 3x x Y X –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 54 = + = 178 Funciones racionales y polinomiales El rango de f es Z; f es constante en los intervalos [n, n + 1], donde n Z. Las traslaciones de la función mayor entero están dadas por: . E J E M P L O 1 : Trace la gráfica de en el intervalo [–3, 3]. Solución: La gráfica de f es una traslación horizontal (de una unidad hacia la derecha) y ver- tical (de una unidad hacia arriba) de la gráfica base y = [x]; además, f es una refle- xión de dicha gráfica. Para trazar la gráfica de f, se subdivide el intervalo [–3, 3] en intervalos con extremos enteros consecutivos; luego, se sustituye un número cualquiera de cada subintervalo (de preferencia el extremo izquierdo) en la función f para determinar la imagen de todo el subintervalo. A continuación se detalla el proceso. La gráfica se ve en la figura 55. 2 3 1 1 1 1 0< [ ]+ = [ ]+ =x x 1 2 1 1 0 1 1< [ ]+ = [ ]+ =x x 0 1 1 1 1 1 2< [ ]+ = [ ]+ =x x < [ ]+ = [ ]+ =1 0 1 1 2 1 3x x < [ ]+ = [ ]+ =2 1 1 1 3 1 4x x < [ ]+ = [ ]+ =3 2 1 1 4 1 5x x f x a x( ) [ ]= +1 1 f x a x h k( ) [ ]= + Y X 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 FIGURA 55 Funciones seccionadas 179 E J E M P L O 2 : Trace la gráfica de la función f (x) = [2x] en [–2, 2]. Solución: El coeficiente 2 de la variable x afecta la forma en que se toman los subintervalos de [–2, 2]; en esta ocasión, la función asignará un nuevo entero cada media uni- dad de x. Note, por ejemplo, que f (–2) = [2(–2)] = –4 y f(–1) = [2(–1)] = –2, por lo que la imagen –3 debe pertenecer a x = –3/2. La partición adecuada de [–2, 2], así como la asignación de las imágenes por subintervalos, se da a continuación. La gráfica de f puede verse en la figura 56, donde se aprecia que el dominio y ran- go de f no cambian con respecto a los de la gráfica base y = [x]; sin embargo, pue- den darse casos donde estos conjuntos varían, e incluso la forma típica escalonada de las funciones cambia. 3 2 2 2 2 3 2 3< [ ] = ( ) =x x 1 32 2 2 1 2< [ ] = ( ) =x x 1 2 1 2 2 1 2 1< [ ] = ( ) =x x 0 12 2 2 0 0< [ ] = ( ) =x x < [ ] = ( ) =12 0 2 2 12 1x x < [ ] = ( ) =1 12 2 2 1 2x x < [ ] = ( ) =32 1 2 2 32 3x x < [ ] = ( ) =2 32 2 2 2 4x x Y X –4 –3 –2 –1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 56 180 Funciones racionales y polinomiales E J E M P L O 3 : Trace la gráfica de f (x) = [x] + x es el intervalo[–3,2]. Solución: Ya que la función mayor entero es constante por intevalos, f se compone de seg- mentos de recta de la forma y = n + x para cada intervalo [n, n + 1]. Dividiendo el intervalo [–3, 2] en forma apropiada, tenemos que: Cada segmento de recta se traza tomando como referencia los extremos del interva- lo correspondiente, cuidando de dejar abierto siempre el punto del extremo derecho (vea la figura 57). El dominio de f es Z, mientras que su rango consta de todos los intervalos de la forma [2n, 2n + 1], donde n es un entero cualquiera. x f= = + =2 2 2 2 4( ) 1 2 1< = +x f x x( ) 0 1< =x f x x( ) < = +1 0 1x f x x( ) < = +2 1 2x f x x( ) < = +3 2 3x f x x( ) Y X –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 –1–2–3 1 2 FIGURA 57 Funciones seccionadas 181 La función escalón, denotada por U(x), y la función signo, denotada por sgn(x) son otros dos ejemplos de funciones seccionadas muy útiles, definidas como sigue: U(x) = {0, si x < 01, si x 0 sgn(x) = { –1, si x < 00, si x = 01, si x > 0 Estas funciones asignan sus imágenes por categorías. U(x) tiene dos categorías para los valores de x y sng(x) tiene tres. Si x = 0, entonces U(0) = 1, ya que 0 0; en cambio, por definición, sng(0) = 0. También: U(3) = 1, yaque 3 0 sgn(3) = 1, ya que 3 > 0 U( ) = 0, ya que – < 0 sgn( ) = –1, ya que – < 0 Las gráficas de U(x) se ven a continuación. 22 22 Y X –1 1 Y X FIGURAS 58 (a) y (b) a) b) El dominio de ambas funciones es R; el rango de sgn(x) es {– 1,0,1}, y el de U(x) es {0, 1}. Note además que sgn(x) es impar. E J E M P L O 4 : Tace la gráfica de las siguientes funciones: a) U(x/2) b) sgn(x) – 3 Solución: a) Siguiendo la definición de la función escalón, se tiene que: U(x – 2) = {0, si x – 2 < 0 = {0, si x < 21, si x – 2 0 1, si x 2 La gráfica de U(x – 2) se ve en la figura 59 (a); esta función es una traslación horizontal de U(x). 182 Funciones racionales y polinomiales b) La función sgn(x) – 3 es una traslación vertical de sgn(x), puesto que se ob- tiene al mover 3 unidades hacia abajo la gráfica ya conocida. La definición de sgn(x) – 3 es la siguiente: sgn(x) – 3 = {–1 –3, si x ‹ 0 –4, si x < 00 – 3, si x = 0 = {–3, si x = 0 1 – 3, si x > 0 –2, si x > 0 Puede apreciarse en la figura 59 (b) que el rango de sgn(x) – 3 es {– 4, – 3, – 2}. Y X 1 1 2 Y X –1 –2 –3 –4 FIGURAS 59 (a) y (b) a) b) Se considerará ahora la función valor absoluto, definida por f (x) = |x| Sabemos que, por definición, |x| = {– x, si x < 0x, si x 0 Podemos entonces considerar a la función valor absoluto como una función seccionada en dos categorías. Si x <0, entonces las imágenes se dan en la recta y = – x; si x 0, entonces la recta y = x (perpendicular a la anterior) dará las imá- genes. la unión de ambas rectas forma una gráfica en forma de V (véase la figu- ra 60) que es típica de las funciones con valor absoluto de argumento lineal. Y X y = –x (–1, 1) 2 1 (1, 1) y = x f(x)=/x/ 21–2 –1 FIGURA 60 Funciones seccionadas 183 El dominio de la función f (x) = |x| es R y su rango es [0, + ]; además, f es par. Las traslaciones de la función valor absoluto están dadas por: f(x) = a|x – h| + k donde el punto (h, k) corresponde al vértice de la gráfica, y a determina la aper- tura de la V, así como dirección hacia dónde ésta se abre. E J E M P L O 5 : Trace la gráfica de f (x) = – 1/2|x + 2| + 1 Solución: El vértice de f se encuentra en el punto (– 2, 1); además, la gráfica de f se abre hacia abajo, por lo que ésta corta el eje x en dos puntos, que serán los interceptos en x. Si x = 0 entonces y = – 1/2|2| + 1 = 0, por lo que ly:(0, 0); este punto es tam- bién uno de los interceptos en x que ya se anticiparon. Si y = 0, se tiene que: 0 = – 1/2|x + 2| + 1 2 = |x + 2| Esta ecuación plantea dos posibilidades: o bien x + 2 = 2 o x + 2 = – 2, de lo que resultan las soluciones x = 0 y x = – 4. Se forman entonces los interceptos en x de coordenadas (0,09), que ya fue determinado, y(– 4, 0). Al ver la figura 61, se determina que el rango de f es [– , – 2] y decrece en [– 2 + [– Y X f(x) = – 1/2 x + 2 + 1 –4 –3 –2 –1 1 2 Y X y = f(x) FIGURA 61 FIGURA 62 Puede comprobarse que las dos rectas que componen la gráfica de f tienen ecuacio- nes y = x/2 y y = x/2 + 2. Considérese la siguiente gráfica de una función f. 184 Funciones racionales y polinomiales Suponga que se define la función h como h(x) = |f(x)| h convierte en positivas todas las ordenadas negativas de f; esto significa que h refleja la parte negativa de f sobre el eje de x. La gráfica de h puede verse a continuación. Y X h(x) = f(x) FIGURA 63 E J E M P L O 5 : Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) f (x) = |x2 – 4| b) f (x) = |x3| c) f x = Solución: a) La curva y = x2 – 4 es una parábola de vértice en el punto (0, –4) y de inter- ceptos en x de coordenadas (– 2, 0), (2, 0); la figura 64 (a) muestra esta curva, mientras que en la 64 (b) se ve la gráfica de f (x) = |x2 – 4|, en donde la parte de la parábola que originalmente se encontraba bajo el eje x se ha doblado ha- cia arriba. x Y X –2 2 4 –4 Y X 4 –4 –2 2 FIGURAS 64 (a) y (b) a) b) Funciones seccionadas 185 b) La figura 65 muestra la gráfica de f (x) = |x3|; la parte punteada donde se encon- traba originalmente la curva y = x3 Y X FIGURA 65 c) La función f(x) = está definida siempre y cuando |x| 0, como esto es cier- to para cualquier valor de x, concluimos que Dom f = R. Sabemos que x = {– x, si x < 0x, si x 0 por lo que podemos escribir a f como f (x) = { , si x < 0 , si x 0 Las curvas que conforman a f ya fueron vistas en la sección 3.8 (véanse las fi- guras 45 (a) y 48. La reunión de ambas en un mismo plano es la gráfica de f (vea la figura 66). x x x Y X 1 2 3 4–1–2–3–4 1 2 FIGURA 66 Es necesario resaltar la diferencia en resolución del inciso c) con respecto a los incisos a) y b); en estos últimos se tomaba el valor absoluto de una función, mientras que en el inciso c) se toma el valor absoluto del argumento de una fun- ción. Mientras que a) y b) pudieron resolverse directamente en forma de gráfi- ca, la función del inciso c) necesitó ser redefinida para luego graficarse. Ahora se considerarán funciones que se conforman de diferentes partes de funciones conocidas. 186 Funciones racionales y polinomiales E J E M P L O 6 : Trace la gráfica de f(x) = {x + 3, si x < – 13, si x = – 13 – x, si – 1 < x < 1 4x – x2, si x 1 SOLUCIÓN: f se compone de dos secciones de recta, una sección de parábola y del punto (–1, 3). La primera recta, y = x + 3, se define para las x < – 1; el punto (– 1, 2) perte- nece a la recta pero no así a la sección que se tomará de ella; se dejará abierto este pun- to en la gráfica para que sirva únicamente como referencia. El intercepto (– 3, 0), cuya abscisa se encuentra en [– , – 1], ayuda a trazar la primera parte de la gráfi- ca de f. Y X –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 67 (a) El punto (– 1, 3) también se dibujo en esta fase. La recta y = 3 – x se define en el intervalo [– 1,1]; en este caso, deben tomarse los valores extremos del intervalo que, aunque abiertos, servirán como referencia. Es así como los puntos (– 1, 4) y (1, 2) son los extremos (abiertos) del segmento de recta que se traza a continuación. Y X 4 3 2 1 –3 –2 –1 1 FIGURA 67 (b) La parábola y = 4x – x2 se define en el intervalo [1, + ]. El punto (1, 3), el vértice (2, 4) y el intercepto (4, 0) ayudan a trazar esta última parte de f. Funciones seccionadas 187 El dominio de f es [ , – 1]U{– 1}U]– 1,1[U]1, + [= R El rango de f es [– , 4]. E J E M P L O 7 : Trace la gráfica de: g(x) = { si |x| 3 si |x| 5 S O L U C I Ó N : Usando las propiedades del valor absoluto |x | a, si y sólo si – a x a |x | a, si y sólo si x a ó x – a podemos deducir que g toma la forma de la curva y = siempre que – 3 x 3; para x 5 o x –5, g asumirá la forma de las curvas descritas por la ecua- ción y = . La gráfica de g se ve en la figura 3.3.15, donde además se puede comprobar que Dom f = [– , – 5]U[– 3, 3]U[5, + ], y que Rg g = [0, + ]. x2 25 9 2x , x2 25, 9 2x , Y X 4 3 2 1 –3 –2 –1 1 32 4 FIGURA 67 (c) Y X –3 3 3 FIGURA 68 188 Funciones racionales y polinomiales Trace la gráfica de las siguientes funciones y establezca su dominio, rango e intervalos de crecimiento y decre- cimiento. Ejercicio 3.9 3.9 1. f(x) = [x]– 2, en [– 3,2] 3. h(x) = – 2[– 2,2] 5. f(x) = 3 – [– 2,3] 7. h(x) = [x + ]en[– , ] 9. f(x) = [x/2], en [– 4,4] 11. g(x) = [x/3], en [– 5,4] 13. k(x) = [x2], en [0,3] 15. g(x) = x – [x], en [– 2,3] 17. j(x) = [x]/x, en [– 2,2] – {0} 19. –sgn(x) 21. sgn(– x) 23. U(x + 3) 25. U(x + 1) – 2 27. 2sgn(x – 1) –1 29. f(x) – |x| 31. h(x) = |3x + 1| 33. k(x) = 3|x| 35. g(x) = |x – 3| – 2 37. j(x) = – 1 – |x – 5| 39. f(x) = 3 – 2|x – 2| 41. h(x) = |x2 – 16x + 60| 43. k(x) = |– 1 + 1/(x + 1)| 45. y = |x3 – 1| 47. f(x) = ||6–2|1 – x|| 49. h(x) = – 51. k(x) = 1 – 1 53. f(x) = {x + 2, si x < – 1 3 – x, si x – 1 | |x 4 | |3 x 5 3 7 3 1 2 2. g(x) = [x– 2] en [– 3, 2] 4. k(x) = 2[x + 1]–1, en [– 3, 3] 6. g(x) = [x + ], en [– 2, ] 8. k(x) = [3x], en [– 1, 1] 10. h(x) = [4x], en [– 1, 1] 12. j(x) = [–x], en [– 3, 3] 14. f(x) = [x] – x, en [– 3, 2]16. h(x) = x/[x], en [– 3, 0] U [1, 3] 18. k(x) = |[x]|, en [– 3,3] 20. –U(x) 22. U(– x) 24. sgn(2 – x) 26. sng(2x + 1) + 4 28. 1/2U(3 – x) + 2 30. g(x) = |– x| 32. j(x) = |x| – 4 34. f(x) = 1/2 |x| 36. h(x) = 2|4 – x| + 3 38. k(x) = 2 – 1/4 |x + 8| 40. g(x) = |9 – x2| 42. y = |1/x| 44. f(x) = |2 – | 46. f(x) = |U(x)| 48. g(x) = 50. j(x) = 1/|x| 52. y = [– 3,3] 54. f(x) = {– x 2 – 4, si x < 0 x2 – 4x, si x 0 | |x 1 4 x 1 2 5 2 Funciones seccionadas 189 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. f x x x x ( ) , = <3 2 si 1– , si –2 < < –1 2, si –1 xx x x x 3 5 – , si 3 <4 1, si 4 f x x x x x x ( ) ( ) , = + + <1 8 3 8 13 , <1 – 4 3 + 3 + 4 – 3 2 55 3 , >1x h x x x x x ( ) , , = <0 0 1 si , si 0 <1 2 1–3(1 – ) si 2 2 22 1 1 <x x1, si k x x x si x x x x x ( ) , = <2 6 8 1 – –2 , si –2 < 0 –2 2 2 xx x x x x , si 0 < 2 –6 + 8, si 2 2 h x x x x x x ( ) ,= + + 2 2 8 4 4 si –2, si = 4 g x x x x x x ( ) , = 4 22 si –2 – , si < –2 – 2, si xx > 2 f x x si x y x x x ( ) , = + 3 1 3 2, si =1 0, si =3 56. 58. 60. 62. 64. 66. f x x x x x x x ( ) ,= + <2 4 0 2 –2 –2 – -4 – , 0 < 22 f x x x x x x( ) , , ,= < < < 0 0 1 4 0 1 1 2 1 4 1 2 si si si 11 3 3 <1 4 + 3 2 – 5 4 , si 2 1, si 2x x x x f x x x x( ) , ,= < < 0 1 2 3 si 1 5, si 1 < 2 2 5 si 4 5, si 3 < 5 1, si > 5 x x j x x x x x x ( ) ,= 1 1 si 8 – 7 – , si > 12 f x x x x ( ) ,= 1 2 2 si 1, si = 2 f x x x x x x x ( ) , = < [ ] si , si –2 < 2 -1, si 2 2 190 Funciones racionales y polinomiales Autoevaluación del capítulo 3 Trace la gráfica de las siguientes funciones y determine su dominio, rango e intervalos de crecimiento y de decre- ciento. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. f x x x x x x x ( ) , ( ) , , = < + < +[ ] 2 2 8 12 3 3 2 3 1 4 1 xx x x < + 2 7 2, h x x( ) = 3 1 f x x( ) = 5 2 7 j x x( ) sgn( )= 2 3 g x x( ) = – 2 + 1, en –3, 2[ ] [ ] k x x( ) /= 1 1 2 h x x( ) = +2 1 f x x( ) /= 1 9 2 j x x( ) = +1 1 2 273 g x x x x ( ) = + 2 6 j x x x x x ( ) = +4 3 10 5 4 2 2 h x x x x x ( ) = + + 12 12 7 4 4 1 2 2 g x x x ( ) = + + 4 1 6 92 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. f x x x x x x ( ) , , , = = = < < 2 2 1 3 4 0 3 4 o j x x( ) = +1 1 g x x( ) = +2 3 9 6 k x U x( ) = +( )3 4 1 h x x x( ) – , – ,= [ ] [ ] en 3 3 f x x( ) – , – ,= [ ] [ ]4 1 en 1 j x x x( ) = +2 8 7 g x x x( ) = +8 2 32 k x x( ) = +2 5 h x x x ( ) = + 3 2 2 f x x x x ( ) = 1 22 k x x x x x ( ) = + + 3 24 6 3 f x x x ( ) = + 2 3 1 191 CAPÍTULO 4 FUNCIONES EXPONEN- CIALES Y LOGARÍTMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 Funciones logarítmicas 4.3 Propiedades de los logaritmos 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 4.5 Interés compuesto 4.6 Crecimiento y decaimiento 4.7 Escalas logarítmicas Repaso del capítulo Panorama Alcohol y manejo Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investi- gaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación R = 6ekx Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. (a) Suponga que una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente. Determine la constante k de la ecuación. (b) Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo si la concentración asciende a 0.17. (c) Con el mismo valor de k indique la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%. (d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben manejar, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado? [Véase el ejemplo 9 en la sección 4.2] T E M A 3 192 Funciones exponenciales y logarítmicas Si a es un número real y n un entero positivo, entonces el símbolo an representa el producto de n factores de a. Con base en este análisis, damos significado a expre- siones de la forma Funciones exponenciales 193 194 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 195 196 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 197 198 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 199 200 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 201 202 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales 203 204 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones logarítmicas 205 206 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones logarítmicas 207 208 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones logarítmicas 209 210 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones logarítmicas 211 212 Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones logarítmicas 213 194. 214 Funciones exponenciales y logarítmicas Propiedades de los logarítmos 215 y 216 Funciones exponenciales y logarítmicas Propiedades de los logarítmos 217 218 Funciones exponenciales y logarítmicas Propiedades de los logarítmos 219 220 Funciones exponenciales y logarítmicas Propiedades de los logarítmos 221 222 Funciones exponenciales y logarítmicas Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 223 224 Funciones exponenciales y logarítmicas Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 225 153) 226 Funciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto 227 228 Funciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto 229 230 Funciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto 231 232 Funciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto 233 234 Funciones exponenciales y logarítmicas Interés compuesto 235 236 Funciones exponenciales y logarítmicas Crecimiento y decaimiento 237 238 Funciones exponenciales y logarítmicas Crecimiento y decaimiento 239 240 Funciones exponenciales y logarítmicas Escalas logarítmicas 241 242 Funciones exponenciales y logarítmicas Escalas logarítmicas 243 244 Funciones exponenciales y logarítmicas Repaso del capítulo 245 246 Funciones exponenciales y logarítmicas Repaso del capítulo 247 248 Funciones exponenciales y logarítmicas Coordenadas rectangulares y gráficas 249 251 CAPÍTULO 9 GEOMETRÍA ANALÍTICA 9.1 Preliminares 1.6 Coordenadas rectangulares y gráficas 9.2 La parábola 9.3 La elipse 9.4 La hipérbola 9.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica 9.6 Ecuaciones polares de las cónicas 9.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas Repaso del capítulo Panorama Antenas parabólicas Una antena parabólica tiene la figura de un paraboloide de revolución; una superficie que se forma al hacer girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Las señales que provienen de un satélite chocan en la superficie de una antena parabólica y son reflejadas hacia un solo punto, donde está colocado el receptor. Si la antena mide 8 pies de diámetro en su abertura y tiene 3 pies de profundidad en su centro, ¿en qué posición debe ser colocado el receptor? [ejemplo 8 en la sección 9.2]. T E M A 4 252 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 253 254 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 255 256 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 257 258 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 259 260 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 261 262 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 263 264 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 265 266 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 267 268 Geometría analítica Coordenadas rectangulares y gráficas 269 270 Geometría analítica La parábola 271 272 Geometría analítica La parábola 273 274 Geometría analítica Laparábola 275 276 Geometría analítica La parábola 277 278 Geometría analítica La parábola 279 280 Geometría analítica La parábola 281 282 Geometría analítica La elipse 283 284 Geometría analítica La elipse 285 286 Geometría analítica La elipse 287 288 Geometría analítica La elipse 289 Análisis de la ecuación de una elipse 290 Geometría analítica La elipse 291 292 Geometría analítica La elipse 293 294 Geometría analítica La hipérbola 295 296 Geometría analítica La hipérbola 297 298 Geometría analítica La hipérbola 299 300 Geometría analítica La hipérbola 301 302 Geometría analítica La hipérbola 303 304 Geometría analítica La hipérbola 305 306 Geometría analítica La hipérbola 307 308 Geometría analítica La hipérbola 309 310 Geometría analítica Rotación de ejes; forma general de una cónica 311 312 Geometría analítica Rotación de ejes; forma general de una cónica 313 314 Geometría analítica Rotación de ejes; forma general de una cónica 315 316 Geometría analítica Rotación de ejes; forma general de una cónica 317 318 Geometría analítica Ecuaciones polares de las cónicas 319 La ecuación dada no está completamente en la forma de la ecuación (4), ya que el primer término en el denominador es 2 en lugar de 1. Así, dividimos el numerador y el denominador entre 2 para obtener 320 Geometría analítica Ecuaciones polares de las cónicas 321 322 Geometría analítica Curvas planas y ecuaciones paramétricas 323 324 Geometría analítica Curvas planas y ecuaciones paramétricas 325 326 Geometría analítica Curvas planas y ecuaciones paramétricas 327 328 Geometría analítica Curvas planas y ecuaciones paramétricas 329 330 Geometría analítica Repaso del capítulo 331 332 Geometría analítica Repaso del capítulo 333 334 Geometría analítica Repaso del capítulo 335 337 CAPÍTULO 10 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 10.1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 10.2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 10.3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales 10.5 Sistemas de desigualdades 10.6 Programación lineal Repaso del capítulo Panorama Carreras En una carrera de una milla, el ganador cruzó la meta 10 pies antes del corredor de segundo lugar y 20 pies antes que el tercero. Si cada corredor mantiene una velocidad constante en toda la carrera, ¿por cuántos pies gana el corredor de segundo lugar al de tercero? [problema 80 en el ejercicio 10.4] T E M A 5 338 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 339 340 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 341 342 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 343 344 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 345 346 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 347 348 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 349 350 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 351 352 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 353 354 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 355 356 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 357 358 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 359 360 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 361 362 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 363 364 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 365 366 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 367 368 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 369 370 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 371 372 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 373 374 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 375 376 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 377 378 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones no lineales 379 380 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones no lineales 381 382 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones no lineales 383 384 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones no lineales 385 386 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de ecuaciones no lineales 387 388 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de desigualdades 389 390 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de desigualdades 391 392 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de desigualdades 393 394 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de desigualdades 395 396 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Sistemas de desigualdades 397 398 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Programación lineal 399 400 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Programación lineal 401 402 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Programación lineal 403 404 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Repaso del capítulo 405 406 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Repaso del capítulo 407 408 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Repaso del capítulo 409 411 CAPÍTULO 11 SUCESIONES; INDUCCIÓN; MÉTODOS DE CONTEO; PROBABILIDAD 11.1 Sucesiones 11.2 Sucesiones aritméticas 11.3 Sucesiones Geométricas; series geométricas 11.4 Inducción matemática 11.5 Teorema del binomio 11.6 Conjuntos y métodos de conteo 11.7 Permutaciones y combinaciones 11.8 Probabilidad Repaso del capítulo Panorama Creación de un diseño para el piso Un piso de mosaico de cerámica está diseñado en forma de trapecio con 20 pies de ancho en la base y 10 pies de ancho en la base superior. Los mosaicos, de 12 por 12 pulgadas, serán colocados de modo que cada fila sucesiva tenga un mosaico menos que la anterior. ¿Cuántos mosaicos se necesitarán? [ejemplo 7 de la sección 11.2.] T E M A 6 412 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones 413 414 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones 415 416 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones 417 418 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones 419 420 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones aritméticas 421 422 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones aritméticas 423 424 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones aritméticas 425 426 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones geométricas; series geométricas 427 428 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones geométricas; series geométricas 429 430 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones geométricas; series geométricas 431 432 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Sucesiones geométricas; series geométricas 433 434 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Inducción matemática 435 436 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Inducción matemática 437 438 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Teorema del binomio 439 440 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Teorema del binomio 441442 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Teorema del binomio 443 444 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Teorema del binomio 445 446 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Conjuntos y métodos de conteo 447 448 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Conjuntos y métodos de conteo 449 450 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Conjuntos y métodos de conteo 451 452 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Permutaciones y combinaciones 453 454 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Permutaciones y combinaciones 455 456 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Permutaciones y combinaciones 457 458 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Permutaciones y combinaciones 459 460 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Permutaciones y combinaciones 461 462 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Probabilidad 463 464 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Probabilidad 465 466 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Probabilidad 467 468 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Probabilidad 469 470 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Probabilidad 471 472 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Repaso del capítulo 473 474 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Repaso del capítulo 475 476 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad Repaso del capítulo 477 478 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad 479 480 Respuestas Respuestas 481 482 Respuestas Respuestas 483 484 Respuestas Respuestas 485 486 Respuestas Respuestas 487 488 Respuestas Respuestas 489 490 Respuestas Respuestas 491 492 Respuestas Respuestas 493 494 Respuestas Respuestas 495 496 Respuestas Respuestas 497 498 Respuestas Respuestas 499 500 Respuestas Respuestas 501 502 Respuestas Respuestas 503 504 Respuestas Respuestas 505 506 Respuestas Respuestas 507 508 Respuestas Respuestas 509 510 Respuestas Respuestas 511 512 Respuestas Respuestas 513 514 Respuestas Respuestas 515 516 Respuestas Respuestas 517 518 Respuestas Respuestas 519 520 Respuestas Respuestas 521 522 Respuestas Respuestas 523 524 Respuestas Respuestas 525 526 Respuestas Respuestas 527 528 Respuestas Álgebra Contenido Capítulo 2. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Capítulo 3. FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES Capítulo 4. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Capítulo 9. CAPÍTULO 9 GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 10. SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES Capítulo 11. SUCESIONES; INDUCCIÓN; MÉTODOS DE CONTEO; PROBABILIDAD << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Off /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize false /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true 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