INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Se clasificarán en: 
1. Potencias de integrales de senos y cosenos, es decir 
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏 𝒙 𝒅𝒙, ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐧 𝒙 𝒅𝒙 
para resolver este tipo de integrales, se considerarán dos casos: 
1. si n es impar, es decir 𝑛 = 2𝑘 + 1, se factoriza el integrando, es 
decir: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑘+1 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑘(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 
utilizando la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2 𝑥 = 1, y realizando el 
cambio de variable 𝑢 = cos 𝑥. 
El caso similar para las potencias del coseno, realizando el cambio de 
variable 𝑢 = sen 𝑥. 
Ejemplos: 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑑𝑥 
∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 
− ∫(1 − cos2 𝑥)2(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝑢 = cos 𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
− ∫(1 − 𝑢2)2𝑑𝑢 
− ∫(1 − 2𝑢2 + 𝑢4)𝑑𝑢 = − (𝑢 − 2
𝑢3
3
+
𝑢5
5
) + 𝐶
= −𝑢 + 2
𝑢3
3
−
𝑢5
5
+ 𝐶 
 
Devolvemos el cambio 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 2
𝑐𝑜𝑠3𝑥
3
−
𝑐𝑜𝑠5𝑥
5
+ 𝐶 
 
∫ cos7 𝑥 𝑑𝑥 
∫(𝑐𝑜𝑠2 𝑥)3(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(1 − sen2 𝑥)3(𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝑢 = sen 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
∫(1 − 𝑢2)3𝑑𝑢
= ∫(1 − 3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6)𝑑𝑢 = (𝑢 − 3
𝑢3
3
+ 3
𝑢5
5
−
𝑢7
7
)
+ 𝐶 = 𝑢 − 𝑢3 +
3
5
𝑢5 −
1
7
𝑢7 + 𝐶 
 
Devolvemos el 
cambio ∫ cos
7 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 +
3
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥 −
1
7
𝑠𝑒𝑛7𝑥 + 𝐶 
 
2. Si n es par, es decir 𝑛 = 2𝑘, se factoriza el integrando, es 
decir: ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑘 𝑑𝑥 para el coseno 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos2 𝑥 )𝑘 𝑑𝑥 
Y se utilizan las identidades trigonométricas: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1 − cos 2𝑥
2
 𝑜 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 + cos 2𝑥
2
 
Ejemplo: 
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 
∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 𝑑𝑥 
∫ (
1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
)
2
 𝑑𝑥 =
1
4
∫ 1 − 2 cos 2𝑥 + cos2 2𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ cos2 2𝑥 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 2𝑥 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
𝑎 = 2𝑢 
𝑑𝑎 = 2 𝑑𝑢 
 
1
4
∫ 𝑑𝑥 =
1
4
𝑥 
−
1
4
∫ cos 2𝑥 2𝑑𝑥 = −
1
4
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
4
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
1
8
∫ cos2 2𝑥 2𝑑𝑥 =
1
8
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢 =
1
8
∫
1 + cos 2𝑢
2
𝑑𝑢
=
1
16
∫ 𝑑𝑢 +
1
16
∫ cos 2𝑢 𝑑𝑢 = 
 
1
32
∫ cos 2𝑢 2𝑑𝑢 =
1
32
∫ cos 𝑎 𝑑𝑎 =
1
32
𝑠𝑒𝑛 𝑎 + 𝐶 
Devolvemos el 
cambio ∫ 𝑠𝑒𝑛
4 𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
8
𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 2(2𝑥) + 𝐶
=
3
8
𝑥 −
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +
1
32
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 𝐶 
 
 
2. Productos de potencias de senos y cosenos ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
Si m y n son pares, se utilizarán las identidades 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1 − cos 2𝑥
2
 𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 + cos 2𝑥
2
 
Si m o n es impar, se utilizará la identidad 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2 𝑥 = 1 
Ejemplos: 
∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 
∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ (
1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
)
2
(
1 + cos 2𝑥
2
) 𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 − 2 cos 2𝑥 + cos2 2𝑥)(1 + cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = 
1
8
∫(1 − 2 cos 2𝑥 + cos2 2𝑥 + cos 2𝑥 − 2 cos2 2𝑥 + cos3 2𝑥)𝑑𝑥
=
1
8
∫(1 − cos 2𝑥 − cos2 2𝑥 + cos3 2𝑥) 𝑑𝑥 
=
1
8
[∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos2 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos3 2𝑥 𝑑𝑥] 
=
1
8
[∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫
1 + cos 4𝑥
2
𝑑𝑥 + ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛22𝑥) cos 2𝑥 𝑑𝑥] 
=
1
8
[∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
2
∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛22𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥] 
=
1
8
[
1
2
∫ 𝑑𝑥 −
1
8
∫ cos 4𝑥 4 𝑑𝑥 +
1
6
∫ 3𝑠𝑒𝑛22𝑥 cos 2𝑥(2) 𝑑𝑥] =
1
16
𝑥 −
1
64
𝑠𝑒𝑛 4𝑥 +
1
48
𝑠𝑒𝑛32𝑥 + 𝐶 
 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
∫(1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
 
𝑢 = cos 𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
− ∫ cos2 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥) = − ∫ 𝑢2𝑑𝑢 = −
𝑢3
3
+ 𝑐 
− ∫ cos4 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥) = − ∫ 𝑢4𝑑𝑢 = −
𝑢5
5
+ 𝑐 
Devolvemos el cambio 
∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
3
cos3 𝑥 +
1
5
cos5 𝑥 + 𝐶 
 
3. Integrales del tipo 
∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒏𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒎𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙 
Este tipo de integrales se utilizan en problemas de aplicación en Física 
e Ingeniería. Para resolver integrales de este tipo se utilizan las 
siguientes identidades trigonométricas. 
𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑚 − 𝑛)𝑥] 
𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑥 sen 𝑛𝑥 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥] 
𝑐𝑜𝑠 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =
1
2
[𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥] 
Ejemplo: 
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
 
=
1
2
∫[𝑠𝑒𝑛(5𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 
 
𝑢 = 5𝑥 
𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 
 
 
1
10
∫ 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑑𝑥 = −
1
10
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
10
cos 𝑢 + 𝑐 
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
cos 𝑥 + 𝑐 
Devolvemos el cambio 
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
10
cos 5𝑥 −
1
2
cos 𝑥 + 𝐶 
4. Producto de potencias de tangentes y secantes ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒎𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
Si n es par, se utilizara la identidad 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + tan2 𝑥 
Si m es impar, se utilizará la identidad: 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 = tan2 𝑥 
Si n es impar y m par se usarán integración por partes. 
Ejemplos: 
∫ tan
3
2 𝑥 sec4 𝑥 𝑑𝑥 
∫ tan
3
2 𝑥 (1 + tan2 𝑥) sec2 𝑥 𝑑𝑥 
= ∫ [tan
3
2 𝑥 + tan
7
2 𝑥] sec2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan
3
2 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ tan
7
2 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 
 
𝑢 = tan 𝑥 
𝑑𝑢 = sec2 𝑥𝑑𝑥 
 
 
∫ tan
3
2 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3/2 𝑑𝑢 =
𝑢
5
2
5
2
+ 𝑐 =
2
5
𝑢
5
2 + 𝑐 
∫ tan
7
2 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢7/2 𝑑𝑢 =
𝑢
9
2
9
2
+ 𝑐 =
2
9
𝑢
9
2 + 𝑐 
Devolvemos el cambio 
∫ tan
3
2 𝑥 sec4 𝑥 𝑑𝑥 =
2
5
𝑡𝑎𝑛
5
2 𝑥 +
2
9
𝑡𝑎𝑛
9
2 𝑥 + 𝐶 
 
∫ tan3 𝑥 sec
3
2 𝑥 𝑑𝑥 
∫ tan3 𝑥 sec
3
2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tan2 𝑥 tan 𝑥 sec
3
2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (sec2 𝑥 − 1) sec
1
2 𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥
= ∫ (sec
5
2 𝑥 − sec
1
2 𝑥) (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥 
= ∫ (sec
5
2 𝑥) (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ (sec
1
2 𝑥) (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 
𝑑𝑢 = tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
∫ (sec
5
2 𝑥) (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢
5
2𝑑𝑢 =
𝑢
7
2
7
2
+ 𝑐 =
2
7
𝑢
7
2 + 𝑐 
− ∫ (sec
1
2 𝑥) (𝑡𝑎𝑛𝑥 sec 𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 = −
𝑢
3
2
3
2
+ 𝑐 = −
2
3
𝑢
3
2 + 𝑐 
Devolvemos el cambio 
∫ tan3 𝑥 sec
3
2 𝑥 𝑑𝑥 =
2
7
𝑠𝑒𝑐
7
2 𝑥 −
2
3
𝑠𝑒𝑐
3
2 𝑥 + 𝐶 
 
∫ tan2 𝑥 sec3 𝑥 𝑑𝑥 
= ∫ (sec2 𝑥 − 1) sec3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (sec5 𝑥 − sec3 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ sec3𝑥𝑑𝑥 
 
∫ sec3𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 𝑓´(𝑥) = sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 
𝑔´(𝑥) = sec2 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) = tan 𝑥 
 
∫ sec3𝑑𝑥 = tan 𝑥 sec 𝑥 − ∫ sec 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 
= tan 𝑥 sec 𝑥 − ∫ sec 𝑥(sec2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 
= tan 𝑥 sec 𝑥 − ∫( sec3 𝑥 − sec 𝑥) 𝑑𝑥 
∫ sec3𝑑𝑥 = tan 𝑥 sec 𝑥 − ∫ sec3 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
∫ sec3𝑑𝑥 + ∫ sec3𝑑𝑥 = tan 𝑥 sec 𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
2 ∫ sec3𝑑𝑥 = tan 𝑥 sec 𝑥 + ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 
∫ sec3𝑑𝑥 =
tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|
2
+ 𝐶 
∫ sec3𝑑𝑥 =
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|] + 𝐶 
 
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 𝑥 (
sec 𝑥 + tan 𝑥
sec 𝑥 + tan 𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫
sec2 𝑥 + sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥 
𝑢 = sec 𝑥 + tan 𝑥 
𝑑𝑢 = tan 𝑥 sec 𝑥 + sec2 𝑥 𝑑𝑥 
 
∫
sec2 𝑥 + sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝑐 
Devolvemos el cambio 
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sec2 𝑥 + sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = sec3 𝑥 𝑓´(𝑥) = 3 sec2 𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 = 3 sec3 𝑥 tan 𝑥 
𝑔´(𝑥) = sec2 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) = tan 𝑥 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 − 3 ∫ sec3 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 − 3 ∫ sec3 𝑥(sec2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 − 3 ∫ (sec5 𝑥 −sec3 𝑥) 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 − 3 ∫ sec5 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ sec3 𝑥 𝑑𝑥 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ sec5 𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 + 3 ∫ sec3 𝑥 𝑑𝑥 
4 ∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 + 3 ∫ sec3 𝑥 𝑑𝑥 
4 ∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 = sec3 𝑥 tan 𝑥 + 3 (
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|]) + 𝐶 
 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
[sec3 𝑥 tan 𝑥 + 3 (
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|])] + 𝐶 
 
∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 =
14
sec3 𝑥 tan 𝑥 +
3
4
(
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|]) + 𝐶 
∫ tan2 𝑥 sec3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ sec3𝑥𝑑𝑥 
=
1
4
sec3 𝑥 tan 𝑥 +
3
4
(
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|]) 
−
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|] + 𝐶 
=
1
4
sec3 𝑥 tan 𝑥 −
1
4
(
1
2
[tan 𝑥 sec 𝑥 + 𝑙𝑛|sec 𝑥 + tan 𝑥|]) + 𝐶 
 
Ejercicios 
∫ cos3 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen6 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan3 𝑥 sec4 𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan6 𝑥 𝑑𝑥 
∫ tan3 𝑥 sec3 𝑥 𝑑𝑥 ∫ √𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥 ∫ csc3 𝑥 𝑑𝑥 
∫(tan 𝑥 + cot 𝑥)2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥 
∫ sec3𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen3 𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen3 𝑥 𝑑𝑥