14 Introducción al cálculo vectorial (Presentación) Autor Universidad Politécnica de Madrid

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GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA
GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA 
GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL 
Introducción al cálculo vectorial
Magnitudes escalares y vectoriales
Tipos de vectores
Operaciones con vectores libresOperaciones con vectores libres
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Momento de un vector deslizante respecto a un eje
Magnitud perfectamente definida por su valor
numérico
Abstractas. No tienen unidades: índice de
Magnitudes escalares
Magnitudes escalares y vectoriales
Abstractas. No tienen unidades: índice de
refracción, rendimiento
Concretas. Tienen unidades:masa (kg),
temperatura (K)
Magnitud perfectamente definida cuando se
conoce, además de su valor numérico, la
dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad
Magnitudes vectoriales
dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad
(m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N·m),
...
Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido.
Punto de aplicación es cualquiera en el espacio.
Tipos de vectores
Dos vectores libres son iguales si son
superponibles mediante una traslación en el
espacio
Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentido
y recta soporte. El punto de aplicación es
cualquiera sobre la recta soporte.
Tipos de vectores
Dos vectores deslizantes son iguales si son 
superponibles mediante un deslizamiento a lo largo 
de la recta soporte
Localizados: Se conoce módulo, dirección, sentido 
y punto de aplicación.
Tipos de vectores
Dos vectores localizados sólo pueden ser iguales a 
sí mismos
Representación vectorial 2D
v
r
Y
α
β
cosv αr
cosv βr
X
Representación vectorial 3D
v
r
cosv γr
Z
β
γ
cosv αr
cosv βr
cosv γ
X
Y
Componentes de un vector
Proyección del vector sobre un eje
v
r
α
v
cosv αr
Vectores unitarios
Un vector unitario es un vector sin unidades de módulo
unidad; se utilizan para especificar la dirección y sentido
El vector unitario que especifica la dirección y sentido de
un vector se calcula mediante el cociente entre dicho
vector y su módulo
Vectores unitarios
Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos se
expresan por
, ,i j k
rr r
, ,i j k
Operaciones con vectores libresOperaciones con vectores libres
Suma gráfica de vectores
Regla del paralelogramo (2 vectores)
B
r
A B C+ =
r rr
El vector suma es la diagonal del paralelogramo
formado por los dos vectores
A
r
C
r
Suma gráfica de vectores
B
r
A B C+ =
r rr
En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo
La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y
su extremo es el extremo del segundo
A
r
B
Suma gráfica de vectores
Cuando se tienen muchos
vectores se repite el proceso
hasta que se incluyen todos
los vectores
D
r
A
r
B
r
C
r
A B C D+ + +
r rr r
Suma de vectores. Componentes
La proyección del vector
suma sobre un eje, es la
suma de las proyecciones
de los vectores sobre
dicho eje
A
r
B
r
A
yB
x x xC A B= +
y y yC A B= +
A
C
r
xA
yA
xB
Propiedades de la suma. Conmutativa
A B B A+ = +
r rr r
R
ep
re
se
nt
ac
ió
n 
gr
áf
ic
a
A
r
R
ep
re
se
nt
ac
ió
n 
gr
áf
ic
a
A
r
B
r
B
r
Propiedades de la suma. Asociativa
( ) ( )A B C A B C+ + = + +
r r r rr r
C
r
C
r
Representación gráfica
A
r A
rB
r B
rA B+
r r
C C
B C+
rr ( )A B C+ +
r rr
( )A B C+ +
r rr
Multiplicación de un vector por un escalar
El resultado es un vector cuyo módulo es el producto del
escalar por el módulo del vector
Si el escalar es positivo, la dirección y sentido son los
mismos que los del vector original
Si el escalar es negativo, la dirección del resultado es la
misma que la del vector original, pero su sentido es
opuesto
A
n v
r
nv
r
n>0
n>0
Multiplicación de un vector por un escalar
O
A n>0
nv
r
n<0
1v
r
v
r
α
Producto escalar de dos vectores
Es un escalar
2v
1 2 1 2· cosv v v v α=
r r r r
El valor del producto escalar de dos
vectores es el producto de los módulos
por el coseno del ángulo que forman los
vectores
1. Conmutativa
1 2 2 1v v v v⋅ = ⋅
r r r r
1. Conmutativa
1221 vvvv
rrrr ⋅=⋅
Propiedades del producto escalar 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1n v v nv v nv v⋅ = ⋅ = ⋅
r r r r r r
1221 vvvv ⋅=⋅
2. Asociativa respecto al producto por un escalar 
( ) ( ) ( ) 122121 vvnvvnvvn
rrrrrr ⋅=⋅=⋅
3. Distributiva respecto a la suma de vectores
( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v⋅ + = ⋅ + ⋅
r r r r r r r
Propiedades del producto escalar 
( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v⋅ + = ⋅ + ⋅
4. No asociativa respecto a productos escalares sucesivos
( ) ( )1 2 3 1 2 3v v v v v v⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅
r r r r r r
1i i⋅ =
r r
1j j⋅ =
r r
1k k⋅ =
r r
0i j⋅ =
r r
0i k⋅ =
rr
0j k⋅ =
rr
Propiedades del producto escalar 
( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x y z x y z
x y y y z z
v v v i v j v k v i v j v k
v v v v v v
⋅ = + + ⋅ + + =
= + +
r rr r r rr r
21 vv
rr ∧
v
r
Producto vectorial de dos vectores 
Es un vector: Módulo es el
producto de los módulos por el
seno del ángulo que
determinan; la dirección,
perpendicular a ambos
1v
r
2v
r
perpendicular a ambos
vectores y el sentido se
determina por la regla de la
mano derecha
1v
r
d
Producto vectorial. Módulo 
El módulo representa el área del paralelogramo que determinan
1 2 1 2 1 1 2 2senArea v v v v v d v dϕ= ∧ = = =
r r r r r r
1
d1
2v
r
d2
1. No conmutativa
( )1 2 2 1v v v v∧ = − ∧
r r r r
Propiedades del producto vectorial 
2. Asociativa respecto al producto por un escalar 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1n v v nv v nv v∧ = ∧ = ∧
r r r r r r
3. Distributiva respecto a la suma de vectores
( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v∧ + = ∧ + ∧
r r r r r r r
Propiedades del producto vectorial 
4. No asociativa respecto a productos vectoriales sucesivos
( ) ( )1 2 3 1 2 3v v v v v v∧ ∧ ≠ ∧ ∧
r r r r r r
0i i∧ =
rr r
0j j∧ =
rr r
0k k∧ =
r r r
Propiedades del producto vectorial 
i j k∧ =
rr r
j i k∧ = −
rr r
j k i∧ =
rr r
k j i∧ = −
r r r
k i j∧ =
r r r
i k j∧ = −
rr r
( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2x y z x y zv v v i v j v k v i v j v k∧ = + + ∧ + + =
r rr r r rr r
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )y z y z x z x z x y x yi v v v v j v v v v k v v v v= − − − + − =
rr r
Propiedades del producto vectorial 
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
i j k
v v v
v v v
=
rr r
1 2 3·( )v v v∧
r r r
r
3v
r1v
r
2 3v v∧
r r
Producto mixto: Volumen del paralelepípedo
2v
r
1 cosv hϕ =
r
1v
r
2 3v v∧
r r
2v
r
3v
r
2 3v v∧
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3x y z x y z x y zv v v v i v j v k v i v j v k v i v j v k ⋅ ∧ = + + ⋅ + + ∧ + + 
r r rr r r r r rr r r
Producto mixto
( )
1 1 1
2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
cos
x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
i j k v v v
v v v v i v j v k v v v v v v
v v v v v v
ϕ∧ = + + =
rr r
rr rr r r
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3x y z x y z x y zv v v v i v j v k v i v j v k v i v j v k ∧ ∧ = + + ∧ + + ∧ + + 
r r rr r r r r rr r r
Doble producto vectorial
( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 3 3 1 2v v v v v v v v v∧ ∧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
r r r r r r r r r
O
Momento del vector deslizante respecto a Ov
r
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
O
A
OM OA v= ∧
uuurr r
v
r
O
A
v
r
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Vector localizado en O
Perpendicular al plano que determinan 
los vectores y OA
uuur
v
r
A
Módulo: el área que determinan los
vectores
Sentido, el de avance de un tornillo
que gira del primero al segundo
OM OA v= ∧
uuurr r
1. El momento de un vector respecto a un punto es único 
es independiente de la posición del vector a lo largo de la 
recta soporte
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
2. El momento de un vector respecto a un punto de la recta 
soporte es nulo
3. Conociendo el momento respecto a un punto se puede 
conocer respecto a otro (ec. Cambio de momentos
O
A
v
r
B M OA v OB v OC v= ∧ = ∧ = ∧
uuur uuur uuurr r r r
1. Independiente de la posición
del vector deslizante sobre la
recta soporte
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
B
C
( )OB v OA ABv OA v AB v∧ = + ∧ = ∧ + ∧uuur uuur uuur uuur uuurr r r r
( )OC v OA AC v OA v AC v∧ = + ∧ = ∧ + ∧uuur uuur uuur uuur uuurr r r r
OM OA v OB v OC v= ∧ = ∧ = ∧
O
A
v
r
2. El momento respecto a un
punto de la recta soporte es
nulo
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
A
B
C 0BM BA v= ∧ =
uuur rr r
El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo
O
A
3. Ecuación del cambio de momento
v
r
M OA v= ∧
uuurr r
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
A OM OA v= ∧
r
B
C
( )( )CM v OA v OC CA v OC v CA v= ∧ = + ∧ = ∧ + ∧
uuur uuur uuur uuur uuurr r r r r r
( ) ( )C OM v M v CA v= + ∧
uuurr rr r r
El momento de una fuerza respecto a un punto es el
producto vectorial del vector que une el centro de
momentos y el origen de la fuerza y el vector fuerza
aplicada.
Momento de una fuerza respecto a un punto
Es perpendicular al plano formado por los dos
vectores
Momento de un vector deslizante respecto a un eje
Proyección sobre un eje
del momento de un
vector respecto a un
punto de la recta
OM
r
O
A
v
r
rectaOOax uMMM
rrr
·cos == ϕ