RTAS Segundo parcial TURNO2 TEMA 3_2

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TU2_TE3 
MATEMÁTICA 
 
2º PARCIAL 
1º CUAT. 15 
 
 
 
SOBRE: 
 
 
AULA: 
 
Fecha: 23/6/15 
 
Tiempo de duración: 1h 
45min 
 
APELLIDO: 
 
CALIFICACIÓN: 
 
NOMBRES: 
 
 
DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: 
 
 
TELÉFONOS 
 
Part: 
 
Cel: 
 
 
TEMA 3 
 
E-MAIL: 
 
 Firma y aclaración 
 docente 
Consigna: La modalidad de este parcial es de "opción múltiple". Encontrarás los enunciados de 10 problemas. 
Después de resolverlos tendrás que marcar con una X la respuesta correcta, en el casillero que corresponda. 
Cada problema tiene una única respuesta correcta. Se anulará la respuesta de aquellas preguntas en las que 
se marquen más de una opción. 
 
1) La ecuación de la recta tangente a la parábola ( )1;5 punto el en x4 x )x(f 2 += es: 
 
 
 11 - x6y = 1 - x6y = 6 - x6y = 4 - x6y = 1 x6y += 
Solución: 
( )
( )
1-6x y:es pedida tangente recta la de ecuaciòn la
1-6x y
51-x6 y 
1)- x( 6 5 -y 
5o y, 1o x luego oxx).ox(foy-y
:es tangente recta la de ecuacion La
641.2)1(f
4x2)x(f
:resulta 10 xen aespecializ se y (x)f derivada la busca Se
=
=
+=
=
==−′=
=+=′
+=′
=′
 
 
 
2) 
La dx x21.x3 2∫ − tiene por primitiva a: 
 
 
 Cx21 2
3
2
+



 −− Cx21 2
3
2
+



 − Cx41
4
1 2
3
2
+



 −− C
2
3
2x21
2
1
+




 −− Cx21
2
1 2
3
2
+



 +−− 
 
Solución: 
Aplicando el método de sustitución: 
Cx21
2
1
C
3
2
.t 
4
3
- tt
4
3
 - t.
4
dt
3
:resulta doSustituyen
xdx
4-
dt
-4xdxdt
 x21t dxx21.x3
322
3
2
1
22
+



 −−=+==
−
=
=
−=−
∫∫
∫
 
dxx21.x3 2∫ − Cx21
2
1
 2
3
2 +



 −−= 
 
 
TU2_TE3 
3) La familia de primitivas de xex (x)h = está dada por: 
 
 
 Ce- xe xx + C e 2
x x
2
+ C e 
x
+ Ce xe
xx
++ C e e 2
x xx
2
++ 
 
Solución: 
La integral se resuelve por “partes” usando dx.e dv y xu x== . De allí se deduce que 
xe vdx y 1. du == y v=ex. 
 
Cexedxee.xdx xe x xxxx +−=−= ∫∫ 
 
 
4) La gráfica de la función derivada f´ presenta un máximo en x=2. Por lo tanto se cumple que: 
 
 
 0 )2(f =
 
0 (2) f =′′
 horizontal sea 2 xen
f a tangente recta la
= 
0 (2) f =′
 2 xen , f para
 máximo un xistae
=
 
 
Solución: 
 
Si una función presenta un máximo en x=2, entonces su primera derivada es cero en el punto de abscisa x=2, 
pues la función tiene tangente horizontal en ese punto. 
 
En este caso la función es la función derivada de f, es decir: f´(x). 
Luego la derivada de la función derivada debe anularse en x=2. 
Como (f´(x))´=f´´(x), se cumple que f´´(2)=0. 
 
5) 
Se sabe que: ∫− =
1
1
5dx )x(f . El valor de dx 
5
x3)x(f41
1
2
∫−
− es igual a: 
 
 
 
 
 
 5
22
 5
8
 5
18
 5 4 
 
Solución: Aplicamos las propiedades de las integrales y planteamos: 
dx11
2x
5
3
dx11 )x(f5
4
dx11 5
2x3)x(f4
dx11
1
1 5
2x3
dx
5
)x(f4
dx11 5
2x3)x(f4
∫∫∫
∫ ∫∫
−
−
−
=
−
−
− −
−=
−
−
 
Luego reemplazamos por la condición dada ∫− =
1
1 5dx)x(f
y resolvemos la integral planteada: 
Para resolver la integral definida entre -1 y 1 aplicamos la regla de Barrow. 
5
18
5
2
42.
5
1
4)
3
)1(3(1
5
1
4
1
1
.
3
3x
5
3
5.
5
4
=−=−=−−−=
−
− 
 
 
TU2_TE3 
6) 
Los valores de las abscisas de los puntos de la gráfica de la función xx
2
1
)x(f 3 −= para los cuales la 
pendiente de la recta tangente vale 
2
1 son: 
 
 2y 2− 1 y 1− 2
1
 y 
2
1
− 1 y 0 2 y 2− 
 
Solución: Hacemos la derivada de xx
2
1
)x(f 3 −= , con lo cual nos queda: 1x3.
2
1
)x(f 2 −=′ , 
Luego buscamos los puntos donde la pendiente de la recta tangente vale ½, igualamos la derivada a ½: 
2
1
1x3.
2
1
)x(f 2 =−=′ 
Ahora resolvemos la ecuación planteada: 
1
2
1
x3.
2
1 2
+= 
Finalmente 1
2
3
2
3
x2 == con lo cual 1-x o 1x luego ,1x2 === 
 
7) 
La función 2284
4
1
xx)x(f ++−=
 
es estrictamente creciente en: 
 
 
 ( ) ( )+∞∪−−∞ ,44, ( ) ( )+∞∪− ,40,4 ( ) ( )4 , 04- , ∪−∞ ( ] [ ]4,04, ∪−∞− ( ] ( )0,44, ∪−∞− 
 
 Solución: 
Para hallar el conjunto en el que 22x84x
4
1
)x(f ++−= es creciente primero calculamos )x(f ′ . 
x.2.83x.4.
4
1
)x(f +−=′ , 
Por lo tanto: x163x)x(f +−=′ 
Luego debemos analizar para que valores de x ocurre que: 0)x(f ≥′ . 
Es decir: 0x16
3x ≥+− 
Veamos donde 0x163x =+− 
Los valores que obtenemos son 4 x 4- x 0 x 162x 0x =∨=∨=⇒=∨= 
Con dichos valores estudiamos el signo de la derivada primera en los intervalos que ellos determinan: 
Los intervalos determinados son: 
 
 (-∞, -4) -4 (-4,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞) 
 f ´ + – + – 
 
 
Luego f es estrictamente creciente en: 
 
]( [ ] 4 , 04- , ∪∞− 
 
 
 
 
TU2_TE3 
 
Solución: La derivada de la función 





−
=
1x
2
ln)x(f
2
usando la regla de la cadena nos da: 
1x
x2
1x
x2.20
.
1x
2
1
)x(f
222
2
−
−
=




 −
−
−
=′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
Buscamos los puntos de intersección de las dos curvas de integración: 
8) El costo fijo de una empresa que elabora cierto producto es de $7.500 y el costo variable está dado 
por la expresión 2v xx100)x(C −= . El costo marginal de dicha empresa es: 
 
 7500)x(Cm =
 
x2)x(Cm −=
 
2
m xx100)x(C −=
 
x2100)x(Cm −=
 
2
m xx1007500)x(C −+= 
 
 
Solución: 
Para hallar el costo marginal debemos armar la función de costo total como la suma del costo fijo más el costo 
variable. 
En este caso C(x)= 5700+ 100 x – x2 
Luego derivamos: 
x2100)x(C −=′ 
x2100)x(mC)x(C −==′
 
 
 
9) 
La función derivada )x(f′ de la función 





−
=
1x
2
ln)x(f
2
 es igual a: 
 
 
 
 
 2
1x2 −
 22 1x
2x




 −
−
 




 − 1x.x 2 1x2
x
−
−
 1
2x
x2
−
−
 
 
10) 
El área comprendida entre las curvas 




+=
++=
3x2y
3x4xy 2 es: 
 
 
3
20
4
3
3
4
4 6 
TU2_TE3 
2- x 0x
0 2)x.(x
0 x22x
3x23x42x
=∨=
=+
=+
+=++
 
3
4
4
3
8
 - 0 
0
22
2x2
3
3x
dx 
0
2
x2 2x
dx
0
2
3x42x3x2
=





−=
−
−
−
−





 −−
−









 ++−+
∫
∫