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7 unI 2009 -IISolucionario de Matemática Referencias Sumas notables • K n n n n k n 2 1 2 2 2 21 2 3 1 2 1 6= ∑ = + + + + = +( ) +( )... • K n n n k n = ∑ = + + + + = × +( ) 1 1 2 3 1 2 ... • C C C C C C n k n = ∑ = + + + + = × 1 ... Análisis y procedimiento Por dato, se tiene 35+48+63+80+...+1599 Observamos que cada sumando tiene la siguiente forma 62 – 1; 72 – 1; 82 – 1; 92 – 1; ...; 402– 1 Entonces: S=(62 – 1)+(72 – 1)+(82 – 1)+(92 – 1)+...+ (402– 1) S=(62+72+82+92+...+402) – 1×35 S = + + + + + +( ) × × 1 2 3 4 5 402 2 2 2 2 2 40 41 81 6 ...� �������� �������� 1 2 3 4 5 35 2 2 2 2 2 5 6 11 6 + + + +( ) −× × � ����� ����� Por lo tanto; S=22 050 Respuesta La suma pedida es 22 050 Alternativa A Pregunta N.º 7 Si a y b son números naturales, halle la suma de todos los valores posibles de a de modo que a b 9 5 3 06+ = , A) 7 B) 15 C) 24 D) 30 E) 45 Solución Tema Números decimales Referencias Los números decimales se clasifican en decimal exacto e inexacto dentro, de los cuales está el decimal inexacto periódico mixto, el cual tiene la siguiente fracción generatriz. 0 99 9 , ... ... ... ... ... ... ab cde f ab cd f ab c m n ncifras cifras c ��� = − iifras cifras ������00 0... m Análisis y procedimiento Del dato tenemos a b b+ = 5 3 06, ; a ∈ N; b ∈ N Pasando el número decimal inexacto periódico puro a su fracción generatriz obtenemos a b 9 5 3 6 90 + = + 5 9 45 276 90 1 2 a b+ = Como nos piden los valores de a, aplicamos el módulo 9 a cada término 5a+9b=138 5 9 9 3a + = + o o 5 9 3a = + + o 27 9 o a = +9 6 o de donde a puede ser: 6; 15; 24; 33; ... Pero, se tiene lo siguiente: 5a+9b=138 6 12 (cumple) 15 7 (cumple) 24 2 (cumple) 33 – 3 (no cumple) Entonces, los valores de a son 6; 15 y 24. Respuesta La suma de valores de a es 45. Alternativa E
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