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Sesión 6.1 Definición La función máximo entero es una función ƒ, con dominio todo ℝ, cuya regla de correspondencia es ƒ 𝑥 = 𝑥 , donde 𝑥 es el mayor entero no mayor que x. Función Máximo entero _____________________________________________ x Y Gráfica Función Máximo entero _____________________________________________ 1. Rang( ƒ)= ℤ . Esto es, por la definición de la función máximo entero. 2. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ 𝑥 = max 𝑘 ∈ ℤ/ 𝑘 ≤ 𝑥 . 3. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ 𝑥 ≤ 𝑥. Esto debido a la definición de máximo entero 4. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 − 1 < ƒ 𝑥 ≤ 𝑥 5. ∀ 𝑘 ∈ ℤ, 𝑥 = 𝑘 ↔ 𝑘 ≤ 𝑥 < 𝑘 + 1 6. ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ƒ(𝑥) ≤ 𝑥 < ƒ(𝑥) + 1 Propiedades: 7. La inecuación ƒ(𝑥) ≤ 𝑛, tiene como conjunto solución a 𝑆 = −∞;𝑛 + 1 . 8. f x = x 𝑥 𝑍 9. ∀ 𝑛 ∈ ℤ , ƒ 𝑥 + 𝑛 = ƒ 𝑥 + 𝑛 10. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , 𝑥 < 𝑦 → ƒ 𝑥 ≤ ƒ(y). 11. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ , ƒ 𝑥 + ƒ(𝑦) ≤ ƒ(x + y). Función Máximo entero _____________________________________________ ¡Justifique el porqué de las propiedades: 9, 10 y 11! Gráficamente f es simétrica al eje Y. Función Par _____________________________________________ Una función real de variable real ƒ ∶ 𝐴 → 𝐵 es una función par si: • A es simétrico • ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, ƒ −𝑥 = ƒ 𝑥 . Definición Gráficamente f es simétrica respecto al origen de coordenadas Función Impar _____________________________________________ Una función real de variable real ƒ ∶ 𝐴 → 𝐵 es una función impar si: • A es simétrico • ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, ƒ −𝑥 = −ƒ 𝑥 . Definición Funciones Monótonas _____________________________________________ Una función f es creciente en A Dom(f), si se cumple: )()(,, bfafbaAba )()(,, bfafbaAba Una función f es no decreciente en A Dom(f), si se cumple: Funciones Monótonas _____________________________________________ La función f se dice que es monótona en A, si cumple algunas de las cuatro condiciones anteriores. )()(,, bfafbaAba Una función f es decreciente en A Dom(f), si se cumple: )()(,, bfafbaAba Una función f es no creciente en A Dom(f), si se cumple: Sea f una función real, se dice que f es inyectiva si Función Inyectiva _____________________________________________ Equivalentemente, f es inyectiva si babfaffDomba )()();(, , ( ); ( ) ( )a b Dom f a b f a f b Definición ƒ: A→B es inyectiva, si para cada 𝑏 ∈ 𝑅𝑎𝑛 (ƒ), la recta y = b corta a lo más en un punto a la gráfica de la función ƒ. Función Inyectiva _____________________________________________ Interpretación 1) Si ƒ: 𝐴 → 𝐵 es estrictamente, entonces ƒ es inyectiva. 2) Si 𝑘 ∈ ℝ − {0} 𝑦 ƒ: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva, entonces 𝑘ƒ es inyectiva. 3) Si ƒ, 𝑔 ∶ 𝐴 → 𝐵 son inyectivas , no necesariamente ƒ + 𝑔 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐲𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐚 Función Inyectiva _____________________________________________ Ejemplo Si ƒ: 1; 2 → ℝ 𝐥𝐚 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 ƒ 𝑥 = 3𝑥2 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝑓 es inyectiva (¿Por qué?) Proposición Una función ƒ:AB se dice que es sobreyectiva si Función Sobreyectiva _____________________________________________ Equivalentemente, f es sobreyectiva si (ƒ)Ran B Definición )(/ afbAaBb Función Sobreyectiva _____________________________________________ Ejemplo: 1. La función ƒ: 1; 2 → ℝ, ƒ 𝑥 = 3𝑥 no es sobreyectiva, pues 𝑅𝑎𝑛 ƒ = [3; 6] ≠ ℝ. 2. La función 𝑔: 1; 2 → 3; 6 , 𝑔 𝑥 = 3𝑥 𝐬𝐢 es sobreyectiva. Podemos apreciar que las gráficas de ƒ y g es la misma, pero ƒ ≠ 𝑔. 1) Si ƒ: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐴 → 𝐶 , 𝐴, 𝐵, ⊂ ℝ ambas sobreyectiva, entonces ƒ + 𝑔 no es necesariamente sobreyectiva. 2) Si 𝑘 ∈ ℝ − {0} 𝑦 ƒ: 𝐴 → ℝ es sobreyectiva, entonces 𝑘ƒ es sobreyectiva Proposición Ejercicios _____________________________________________ Rpta. {1} Ejercicio 2. Encuentre el rango de la función 𝐺 𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4 Rpta. {-1,0} Ejercicio 1. Determine el rango de la función 𝐹 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + 1 Ejercicios _____________________________________________ Ejercicio 4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1| es una función par. II. 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 3𝑥, 𝑥 ∈ 𝑄 2𝑥, 𝑥 ∈ 𝐼 es una función creciente. III. 𝑓:ℝ+ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥, es una función inyectiva. Ejercicio 3. Determine los valores 𝑥, para los cuales existe la función 𝐹 𝑥 = 𝑥 + −𝑥 Ejercicios _____________________________________________ Rpta. [0;5] Ejercicio 161. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos con un número finito de elementos y 𝑓: 𝐴 → 𝐵 una función, de las siguientes afirmaciones, indique el valor de verdad de las proposiciones: I. 𝑓 es inyectiva, 𝑛 𝐴 ≤ 𝑛(𝐵). II. 𝑓 es biyectiva, 𝑛 𝐵 = 𝑛(𝐴). III. Si 𝑛 𝐴 ≤ 𝑛(𝐵), 𝑓 es suryectiva. Ejercicio 163. Sea 𝑓 una función definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 5−𝑥 2 − 4 , 𝐷𝑜𝑚 𝑓 =]1; 3] Determine el rango de f. Rpta. FVF Ejercicios _____________________________________________ Ejercicio 176. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El producto de dos funciones pares con el mismo dominio, es una función par. II. El producto de dos funciones crecientes con el mismo dominio, es una función creciente. III. La resta de funciones crecientes con el mismo dominio, es una función decreciente. Rpta. VFF
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