Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Matemáticas Financieras Departamento de Matemáticas Cálculo de Fronteras Eficientes y Lí d M d d C it lLíneas de Mercado de Capital Obtención de la Matriz de Covarianzas S. Utilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipoUtilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipo Exel. Este procedimiento será de gran utilidad dado que la mayoría de datos financieros provienen de manejadores de bases de datos comerciales. Comenzaremos por leer una matriz de covarianzas S de una hoja de cálculo. [S,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba'); S S = 0.2060 0.0375 0.1077 0.0493 0.0208 0.0059 0 0375 0 0790 0 0355 0 1028 0 0089 0 04060.0375 0.0790 0.0355 0.1028 0.0089 0.0406 0.1077 0.0355 0.0867 0.0443 0.0194 0.0148 0.0493 0.1028 0.0443 0.4435 0.0193 0.0274 0.0208 0.0089 0.0194 0.0193 0.0083 -0.0015 0.0059 0.0406 0.0148 0.0274 -0.0015 0.0392 Para efectos de este análisis consideraremos los datos estadísticos de los activos de las siguientes compañías:las siguientes compañías: American Airlines Bethlehem Steel General Electric International Harvester International Harvester Philip Morris Union Carbide tomados a partir de diez medidas de rendimiento continuo compuesto, tomadas entre 1974 y 1983. Datos obtenidos del texto de S. Benninga, p. 151, presentado en las referencias. Obtención del Vector de Retornos M diMedios A continuación leemos un vector con los retornos medios R de los activos del análisis Ellos se tomarán de la "segunda hoja" de la hoja de cálculo llamada pruebaanálisis. Ellos se tomarán de la segunda hoja de la hoja de cálculo llamada prueba. [R,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba','Hoja2'); R R R = 0 20320.2032 0.0531 0.1501 0 15290.1529 0.1025 0.1210 Programa Matemático que Soporta la T íTeoría Acorde a la literatura especializada (ver referencias al final de este informe), para determinar los portafolios óptimos acorde a un criterio de mínimo riesgo para unp p g p rendimiento dado r, debemos resolver el siguiente programa matemático, que tiene función objetivo cuadrática convexa y restricciones lineales: ˆmin . . . 1, . , PM 2m t x R x Sx s a u x r x r ∈ = = Donde es un vector compuesto de sólo unos, el cual podemos construir a partir del vector de datos leído R, utilizando la siguiente instrucción abreviada: 2x R∈ mx R∈ u=R*0+1 u = 11 1 1 1 1 1 Parámetros de la TeoríaParámetros de la Teoría Los parámetros de la teoría son cuatro cantidades denominadas A, B, C y D. Definidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzasDefinidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzas S. 1 1 1ˆ ˆ ˆ Ct t tA S B S S− − −Estas son: Empleando Matlab calculamos estas cantidades de manera inmediata. Note el papel 1 1 1ˆ ˆ ˆ, , C=t t tA u S u B u S r r S r= = de la función inv para invertir matrices y el papel de la operación traspuesta que se realiza con el apóstrofe, por ejemplo: A' es la traspuesta de la matriz A. Así tenemos que: A=u'*(inv(S)*u) B=u'*(inv(S)*R) C=R'*(inv(S)*R) D=A*C-B^2 A = 488 0546488.0546 B = 56 300056.3000 C = 6 86766.8676 D = 182.0762182.0762 Claramente D no es una forma cuadrática, pero proviene del determinante de las dos ecuaciones lineales que permiten hallar los multiplicadores de Lagrange en elq p p g g problema matemático -PM-. Análisis del Programa MatemáticoAnálisis del Programa Matemático Para resolver el programa cuadrático convexo dado en -PM-, tomamos su función Lagrangiana:Lagrangiana: 1 2 1 2ˆ( , , ) ( . ) ( . )2 tx SxL x u x r xλ λ λ λ= − − que podemos derivar e igualar a cero como es usual en optimización, para obtener las siguientes ecuaciones descritas en forma vectorial: ˆ EQS λ λ Multiplicando por la inversa de la matriz de covarianzas S, por la izquierda, sobre ambos lados de la ecuación -EQ- encontramos: 1 2ˆ EQSx u rλ λ= + ambos lados de la ecuación EQ encontramos: 1 1 1 2ˆ SLx S u S rλ λ − −= + y utilizando las ecuaciones: ˆ. 1, .x u x r r= = que provienen de las restricciones del programa -PM-, encontramos la siguiente pareja de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrangepareja de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrange del programa -PM-.Así tenemos: 1 2 1 21, A B B C rλ λ λ λ+ = + = cuya solución da lugar a las siguientes expresiones: C B A B l l it t lí it t l t d i i 1 2, ML C rB Ar B D D λ λ− −= = las cuales a su vez permiten encontrar explícitamente el vector de inversiones x mediante las relaciones -SL- dadas más arriba. Cálculo de la Frontera EficienteCálculo de la Frontera Eficiente Una vez hemos estimado los parámetros A, B, C y D del problema, procedemos a delinear la frontera eficiente para ello utilizamos la fórmula explícita:delinear la frontera eficiente, para ello utilizamos la fórmula explícita: 2 2 2( ) FRAr rB Cr D σ − += que se obtiene multiplicando por la traspuesta del vector óptimo x, por el lado izquierdo, ambos lados de la ecuación -EQ-. D li ió d l F t Efi i tDelineación de la Frontera Eficiente Utilizando la fórmula -FR- podemos delinear sobre una gráfica de riesgo contra retorno la frontera eficiente que corresponde a los portafolios óptimos, queq p p p q podemos formar con los activos de nuestro mercado de capitales. INSTRUCCIONES GRÁFICAS Creamos un vector de 100 posiciones con los 100 valores, igualmente espaciados, que podemos tomar entre cero y un rango apropiado para el retorno máximo de nuestro análisis, que aquí tomaremos como el doble del máximo retorno medio de, q q los activos disponibles. x=linspace(0,2*max(R)); (A* ^2 2*B* C)/Dy=(A*x.^2-2*B*x+C)/D; plot(y,x) xlabel('riesgo como varianza') ylabel('retorno') title('frontera eficiente') Ubicación de los Activos en el Di g d Ri g V R tDiagrama de Riesgo Vs. Retorno Sobre el mismo dibujo de la frontera eficiente, pondremos los activos que conforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimientoconforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimiento, señalando que el riesgo lo medimos con la varianza de cada activo. Note que la varianza del activo -i- ocupa la -i-ésima posición en la diagonal de la matriz de covarianzas, esta es S(i,i)., ( , ) hold on DTA=['A';'B';'G';'I';'P';'U'];DTA=[ A ; B ; G ; I ; P ; U ]; for i=1:6 plot(S(i,i),R(i),'+g') text(S(i i)+0 01 R(i) DTA(i))text(S(i,i)+0.01,R(i),DTA(i)) end Vértice de la Frontera EficienteVértice de la Frontera Eficiente Con los parámetros A y B de la teoría, podemos señalar de una forma muy clara el vértice de la frontera eficiente Usted debe observar que la ecuación FRvértice de la frontera eficiente. Usted debe observar que la ecuación -FR- corresponde a una parábola con vértice en el punto de coordenadas (1/A,B/A) sobre el plano varianza v.s. rendimiento. La siguiente instrucción dibuja ese punto con color rojo.j plot(1/A,B/A,'or') Significado del Vértice de la Frontera Efi i tEficiente El punto de coordenadas (1/A,B/A) señalado en la gráfica, corresponde al portafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafoliosportafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafolios factibles que podemos formar con los activos del mercado bajo estudio. El cociente B/A nos dice el rendimiento correspondiente a dicho portafolio y el cociente 1/A su varianza.su varianza. Selección de Portafolios Eficientes b l F t Efi i tsobre la Frontera Eficiente El usuario debe introducir el rendimiento del portafolio óptimo que le interesa seleccionar Para efectos de este tutorial asignaremos el valor predeterminado:seleccionar. Para efectos de este tutorial, asignaremos el valor predeterminado: r=0.4; Observamos que esta cantidad debe estar dentro de el rango apropiado para los rendimientos de los activos involucrados. En este caso lo hemos fijado como el doble del retorno máximo observado: 2*max(R) ans = 0.4065 Tomando el valor r=0.4 comoel rendimiento del portafolio óptimo que nos interesa podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando lainteresa, podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando la fórmula -FR-. l t((A* ^2 2*B* C)/D ' ')plot((A*r^2-2*B*r+C)/D,r,'om') close Gráfica de la Frontera Eficiente (sobre un Plano de Riesgo) Vs Retorno (Desviación Plano de Riesgo) Vs. Retorno (Desviación Estándar como Medida de Riesgo) Aquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar comoAquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar como medida de riesgo. Para ello tomamos la raíz cuadrada de la función cuadrática dada en la expresión -FR-. Como estamos evaluando raíces cuadradas, tendremos un poco de precaución y revisaremos que los argumentos sean siempre valores positivospositivos. for i=1:100 if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0 z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D); else z(i)=0; end end end plot(z,x) hold on l b l(' i d i ió tá d ') xlabel('riesgo como desviación estándar') ylabel('retorno') title('frontera eficiente donde el riesgo es la DVSTD') Representación de los Activos en el Diagrama de Desviación Estándar Vs Diagrama de Desviación Estándar Vs. Retorno Ah dib j l i l i di d d i ió á dAhora dibujaremos los activos en el mismo diagrama de desviación estándar v.s. retorno. Note que la desviación estándar de cada uno de ellos la obtenemos tomando la raíz cuadrada de sus varianzas, las cuales a su vez aparecen en la diagonal de la matriz de covarianzasdiagonal de la matriz de covarianzas. for i=1:6 plot(sqrt(S(i,i)),R(i),'+g') text(sqrt(S(i,i))+0.02,R(i),DTA(i)) End Tasa de Interés y Cálculo del Portafolio d M d C di tde Mercado Correspondiente La Teoría de la Cartera nos ofrece ventajas muy importantes para responder preguntas concretas en finanzas En concreto si nos proponen una tasa de interéspreguntas concretas en finanzas. En concreto, si nos proponen una tasa de interés determinada, podemos encontrar el portafolio de mercado que le corresponde, empleando la regla de tangencia que debe cumplir dicho portafolio. Esta regla de tangencia se describe de una manera muy cómoda a través de la siguiente relacióng y g lineal: 2ˆ, RL P p r rSx r tuγ γ σ − = − = de manera que si nos proporcionan la tasa de interés $\tau$, podemos encontrar los valores para el portafolio de mercado correspondiente. Basta utilizar las siguientes fórmulas ue se obtienen fácilmente de las ecuaciones en RLsiguientes fórmulas, que se obtienen fácilmente de las ecuaciones en -RL-. 2, ROP P C rB r rr B rA B rA σ− −= = − − Empleando estas fórmulas, calcularemos el rendimiento y la varianza del portafolio de mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada:de mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada: tasa=0.102; retorno=(C-tasa*B)/(B-tasa*A) varianza=(retorno-tasa)/(B-tasa*A) desviacion=sqrt(varianza) retorno= 0.1726 varianza = 0.0108 desviacion = 0.1041 Dibujo de la Tasa de Interés y Línea de M dMercado Dibujamos aquí, con rojo, el punto correspondiente a la tasa de interés sobre el eje de rendimiento Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio dede rendimiento. Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio de mercado sea mayor al de la tasa dada, porque en caso contrario no nos encontramos en el rango de valores posibles para utilizar como tasas de interés. Esto se debe a que la pendiente de la frontera eficiente tiene dos asíntotas cuandoq p se representa sobre el plano de retorno v.s. desviación estándar. plot(0 tasa 'or')plot(0,tasa, or ) if retorno>tasa plot(desviacion,retorno,'or') ElseElse plot(0,tasa,'om') end Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado Capital Dibujaremos ahora la línea de mercado de capital que une a la tasa de interés dada, sobre el eje retorno con el punto del portafolio de mercado que se encuentrasobre el eje retorno, con el punto del portafolio de mercado, que se encuentra sobre la frontera eficiente. Note que esta línea es tangente a la frontera eficiente justamente en el punto que corresponde al portafolio de mercado. Esta condición geométrica es la definición alternativa para los portafolios eficientes, además es lag p p , guía para obtener las condiciones de primer orden dadas en la expresión -RL-. w=(x tasa)*(desviacion)/(retorno tasa);w=(x-tasa) (desviacion)/(retorno-tasa); for i=1:100 if w(i)<0 w(i)=0;w(i)=0; End End plot(w x 'm')plot(w,x, m ) close Cálculo de las Inversiones del P t f li d M dPortafolio de Mercado Es importante conocer, no solamente la ubicación del portafolio de mercado en el diagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer eldiagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer el conjunto de inversiones que lo definen. Para ello debemos utilizar las fórmulas - SL- y -ML- para los multiplicadores de Lagrange, obteniendo la expresión: C B A B o alternativamente la condición de primer orden -RL- que nos proporciona la 1 1ˆC rB Ar Bx S u S r D D − −− −= + p q p p solución: 2 1 ˆ( )P P S r rux r r σ − − = − con la cual podemos implementar las instrucciones que dejan en la variable óptimos el vector de las inversiones que componen el portafolio de mercado. optimos1=(inv(S)*(R-tasa*u))*varianza/(retorno-tasa) optimos2=(inv(S)*u)*(C-B*retorno)/D+(inv(S)*R)*(A*retorno-B)/D optimos1 = 0 22040.2204 -0.7752 -0.2624 0 10850.1085 0.8108 0.8979 optimos2 = 0.2204 -0.77520.7752 -0.2624 0.1085 0.8108 0.8979 Cálculo de los BetasCálculo de los Betas Para calcular los betas correspondientes a cada activo, utilizamos la definición básica:básica: que da lugar a las siguientes instrucciones: , Q Q P P r r r r β − = − que da lugar a las siguientes instrucciones: beta=(R-tasa)/(retorno-tasa); plot(beta R);plot(beta,R); text(beta,R+0.005,DTA); hold on for i=1:6for i=1:6 plot(beta(i),R(i),'or') End xlabel('betas')( ) ylabel('retornos') close Forma Alternativa para el Cálculo de l B tlos Betas Como una forma alternativa para estimar los betas, podemos utilizar la definición: ty Sxσ De esta manera implementamos las siguientes operaciones: , , 2 Q P Q P t P y Sx x Sx σ β σ = = for i=1:6 activo=zeros(1,6); activo(i)=1; beta(i) activo*S*optimos1/varianza;beta(i)=activo*S*optimos1/varianza; End plot(beta,R); text(beta,R+0.005,DTA); hold on for i=1:6 plot(beta(i),R(i),'or') EndEnd xlabel('betas') ylabel('retornos') close Cálculo de la Tasa de Interés a Partir d P t f li d M dde un Portafolio de Mercado Una labor muy importante en finanzas es proponer tasas de interés a partir de la información de un portafolio de mercado Para ello tomaremos el nivel deinformación de un portafolio de mercado. Para ello tomaremos el nivel de rendimiento r=0.25 r=0 25;r=0.25; con el cual estimaremos la desviación estándar del portafolio, utilizando la raíz d d d l fó l FRcuadrada de la fórmula -FR-: desviacion=sqrt((A*r^2-2*B*r+C)/D) desviacion = 0.2250 Dibujo de la Frontera EficienteDibujo de la Frontera Eficiente Dibujaremos la frontera eficiente, pero empleando la desviación estándar como medida de riesgo:medida de riesgo: for i=1:100 if (A* (i)^2 2*B* (i) C)/D 0if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0 z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D); else (i) 0z(i)=0; end end plot(z x)plot(z,x) hold on xlabel('riesgo como desviación estándar') ylabel('retorno')ylabel( retorno ) title('frontera eficiente donde la desviación estándar mide al riesgo') Cálculo de la Tasa de Interés a Partir d l P t f li d M ddel Portafolio de Mercado Utilizando la fórmula del rendimiento óptimo -RO-, podemos hallar la tasa de interés: r B C−interés: de manera que podemos utilizar la siguiente instrucción para estimar la tasa de interés: P P r B Cr r A B − = − interés: tasa=(r*B-C)/(r*A-B) tasa = 0.1097 correspondiente al portafolio de mercadocorrespondiente al portafolio de mercado [r,desviacion] ans= 0.2500 0.2250 Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado Capital Sobre la frontera eficiente dibujaremos la línea de mercado de capital, señalaremos la tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuariola tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuario. w=(x-tasa)*(desviacion)/(r-tasa); f i 1 100for i=1:100 if w(i)<0 w(i)=0; dend end plot(w,x,'m') plot(desviacion r 'or')plot(desviacion,r,'or') plot(w,x,'m') plot(0,tasa,'or') title('línea de mercado de capital')title( línea de mercado de capital ) BibliografíaBibliografía Capinski, Marek, “Mathematics for finance : an introduction to financial engineering”, New York, Springer, 2003. p g S. Benninga, “Financial Modeling”, MIT Press, 2000.
Compartir