Apuntes de clase Unidad 2 Límite

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ANALISIS MATEMÁTICO I 
APUNTES DE CLASE 
UNIDAD 2: LIMITE FUNCIONAL 
 
Temas de la unidad 
Distancia entre dos números reales. Entorno y entorno reducido. Límite finito. Definición. 
Interpretación gráfica. Unicidad del límite. Propiedades del límite. Teorema de intercalación. 
Límites laterales. Infinitésimos. Definición. Álgebra de infinitésimos. Propiedades. 
Comparación de infinitésimos. Límites infinitos. Límites de variable infinita. Límites 
infinitos de variable infinita. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Ecuaciones de las 
asíntotas a curva plana. Continuidad. Función continua en un punto. Continuidad en un 
intervalo abierto y en un intervalo cerrado. Álgebra de funciones continuas. Propiedades de 
las funciones continuas Discontinuidades. Clasificación. Teorema del valor intermedio, 
Teorema de Bolzano. 
 
Se pretende que el alumno: 
• Defina distancia entre dos números reales. 
• Defina e interprete gráficamente entorno de un punto y entorno reducido. 
• Conozca y entienda con claridad el concepto de límite finito de una función en un 
punto. 
• Conozca y aplique las principales propiedades de los límites. 
• Identifique infinitésimos e infinitos. 
• Logre habilidad para salvar indeterminaciones usando recursos algebraicos y límites 
notables. 
• Reconozca la no existencia del límite de una función en un punto. 
• Conozca y entienda la definición de límites laterales y su relación con el límite. 
• Determine si una función es continua o no en un punto y en un intervalo (abierto y 
cerrado). 
• Interprete y aplique las principales propiedades de las funciones continuas. 
• Determine y clasifique qué tipo de discontinuidades tiene una función. 
• Redefina una función cuando sea necesario. 
• Conozca y aplique los teoremas característicos de las funciones continuas (Teorema 
del valor intermedio, de Bolzano). 
• Calcule las ecuaciones de las asíntotas a una curva, si existen, relacionándolas con el 
límite infinito y de variable infinita. 
• Resuelva ejercicios de aplicación y/o problemas que involucren los conceptos y 
propiedades estudiados en la unidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distancia y entorno 
 
Antes de comenzar a desarrollar la unidad de límite funcional, necesitamos conocer dos 
conceptos que nos servirán para poder interpretar la definición formal de límite. Recordemos 
que para calcular la distancia entre dos números reales a y b hacemos: 
 
 
 
Entorno de centro “a” y radio “r” (r real positivo): es el conjunto de números reales cuya 
distancia a x a= es menor que r . En símbolos: 
 
 
 
Gráficamente: 
 
 
Figura 47. Entorno de centro “a” y radio “r” 
 
Ejemplo 2.1 
 
a) es un entorno de centro a = -2 y radio r = 3, por lo tanto, es el intervalo 
abierto (-5,1) 
b) es un entorno de centro a = 1 y radio r = 2, por lo tanto, es el intervalo
( 1,3)− 
c) El intervalo (-4,6) es un entorno de centro 1a = (punto medio del mismo) y radio 5r =
(distancia entre cualquiera de los dos extremos y el centro) 
 
Entorno de reducido centro “a” y radio “r”: es el conjunto de números reales distintos de “a” 
y cuya distancia a x a= es menor que r .En símbolos: 
 
 
 
En los ejemplos anteriores: 
a) es un entorno reducido de centro 2a = − y radio r = 3, por lo tanto, es 
el conjunto de números reales (-5,1) – {-2} 
b) es un entorno reducido de centro 1a = y radio 2r = , por lo tanto, 
es el conjunto de números reales (-1,3) - {1} 
c) La unión de intervalos (-4,1) U (1,6) es un entorno reducido de centro a = 1 y radio r = 5. 
babad −=),(
),(}/{}),(/{)(),( rararaxRxraxdRxaEraE r +−=−===
)2()3,2( 3EE =−
}21/{ − xRx
}{),(}0/{}),(/{)(),( ** arararaxRxaxraxdRxaEraE r −+−=−===
)2()3,2( 3
** EE =−
}210/{ − xRx
Hacia una definición de límite 
 
Ejemplo 2.2 
 
Dada la siguiente función: 
 
 
 
Cuyo dominio es el conjunto {2}fD R= − queremos estudiar el comportamiento de las 
imágenes f(x) cuando x se acerca a a = 2, por derecha (valores mayores) y por izquierda 
(valores menores). Si bien la función en x = 2 no está definida, ya que no existe f(2), 
queremos analizar qué pasa con las imágenes de puntos cercanos. ¿Cómo podemos hacerlo? 
Una posibilidad sería realizar el gráfico, la otra es trabajar en registro numérico, es decir 
armar una tabla. Haremos las dos cosas comenzando con esta última: 
 
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 
f(x) 2.5 2.9 2.99 2.999 -------- 3.001 3.01 3.1 3.5 
 
Si observamos la tabla, las imágenes de los puntos cercanos a a = 2 (de ambos lados) se 
acercan al valor 3. En símbolos escribiremos: 
Gráficamente: 
 
 
Figura 48. Gráfico ejemplo 2.2 
 
¿Cómo pudimos graficar f? Si observamos el cociente planteado podemos realizar, para 
x ≠ 2 la siguiente simplificación: 
 
 para x ≠ 2 
 
2
2
)(
2
−
−−
=
x
xx
xf
3
2
2
lim
2
2
=
−
−−
→ x
xx
x
1
2
)1)(2(
2
2
)(
2
+=
−
+−
=
−
−−
= x
x
xx
x
xx
xf
Ejemplo 2.3 
 
Tomemos ahora la siguiente función y procedamos de la misma manera: 
 
 
Esta función tiene dominio todo el conjunto de números reales y difiere de f sólo en un punto: 
el punto (2,1) está en h y no en f. Grafiquemos: 
 
 
Figura 49. Gráfico ejemplo 2.3 
 
Y armemos la tabla: 
 
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 
h(x) 2.5 2.9 2.99 2.999 1 3.001 3.01 3.1 3.5 
 
Como no nos interesa qué pasa en a = 2 sino para valores cercanos, el valor del límite es el 
mismo que para la función del ejemplo 2.2: 
2
lim ( ) 3
x
h x
→
=
 
 
Ejemplo 2.4 
 
Realicemos las mismas acciones para : / ( ) 1g R R g x x→ = + , es decir armamos la tabla con 
valores cercanos a x = 2, nos fijamos a qué valor se acercan y graficamos: 
 
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 
g(x) 2.5 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1 3.5 
 







=

−
−−
=
21
2
2
2
)(
2
x
x
x
xx
xh
 
Figura 50. Gráfico ejemplo 2.4 
 
Entonces: 
 
Observación importante: las tres funciones son distintas: 
✓ f y h no tienen el mismo dominio, al igual que f y g 
✓ h y g si bien tienen el mismo dominio h(2) ≠ g(2) 
✓ Las tres funciones SOLO difieren en un punto, el que tiene abscisa x = 2: f no tiene 
punto con abscisa x = 2, el punto (2,1) está en h y el (2,3) en g, sin embargo, las tres 
tienen el mismo límite para x tendiendo a a = 2. Con esto queremos enfatizar que no 
interesa qué pasa en el punto sino CERCA del punto (en un entorno reducido). 
 
Ejemplo 2.5 
 
Analiza la situación para la función m(x) = 3. Es decir, completa la tabla para valores 
cercanos a x = 2 por derecha y por izquierda y estudia el comportamiento de m(x). 
 
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5 
m(x) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 
En este caso las imágenes de todos los valores cercanos a a = 2 son iguales a 3, por lo que 
 
 
 
¿Qué queremos señalar con este ejemplo? Que las imágenes de los puntos cercanos a a = 2 
no solamente se pueden acercar al valor del límite, sino que también pueden ser iguales a 
dicho valor. 
Entonces intuitivamente diremos que lim ( )
x a
f x l
→
= con , si a medida que x se 
acerca a “a” por derecha y por izquierda (sin tomar el valor “a”), las imágenes de esos puntos 
f(x) se acercan o son iguales al valor l. 
 
A continuación, lo definimos formalmente. 
3)(lim
2
=
→
xg
x
3)(lim
2
=
→
xm
x
RlyRa 
Definición de límite finito de variable finita 
 
Sean , entonces: 
 
 
 
Observemos que la definición trata con dos entornos: 
✓ entorno reducido de centro a y radio δ: E* δ (a) 
✓ entorno de centro l y radio ε: Eε(l) 
Con lo cual podemos dar la definición usando entornos: 
 
 
 
Es decir: cada vez que elijamos cualquier número positivo ε existirá otro número positivo δ 
que depende de éste, de manera tal que podemos construir dos entornos en los que se cumple: 
si x pertenece a E* δ (a), su imagen f(x) estará en Eε(l). 
Gráficamente: 
 
 
Figura 51. Definición de límite finito de variablefinita. 
 
Ejemplo 2.6 
 
Demostrar usando la definición de límite que 
 
RlyRa 
 −−==
→
lxfaxlxf
ax
)(0/0)(0)(lim
− ax0
− lxf )(
)()()(/0)(0)(lim * lExfaExlxf
ax
 ==
→
3)12(lim
1
=+
→
x
x
Cuando demostramos un límite por definición tenemos que, dado cualquier número positivo 
ε, encontrar δ positivo que cumpla con lo expuesto. Entonces: 
 
Sea ε > 0 
 
Queremos que 
 
 
Luego dado ε > 0 cada vez que tomemos un radio δ = ε/2 lograremos que se cumpla la 
definición de límite. Armemos algunos entornos para observar la situación planteada. Por 
ejemplo, tomemos ε = 0.2, con lo cual δ = ε/2 = 0.1; calculamos los entornos de a = 1 y l = 3 
y tomamos algunos valores en el entorno reducido de a = 1, calculamos su imagen y 
observamos que pertenece al entorno de l = 3: 
 
(1-0.1,1+0.1) –{1} = (0.9,1.1) - {1} (3-0.2,3+0.2) = (2.8, 3.2) 
x = 0.98 f(x) = 2.96 
x = 1.0015 f(x) = 3.003 
x = 0.9002 f(x) = 2.8004 
x = 1.07 f(x) = 3.14 
 
Y así con cualquier valor que tomemos en el entorno mencionado. 
 
Como vemos es muy complejo demostrar un límite por definición y también podemos notar 
que la definición dada no nos da la manera de calcularlo. De allí que es necesario contar con 
propiedades que nos permitan calcular el valor de cada límite. Enunciaremos propiedades 
demostrando algunas de ellas y a continuación de cada una daremos un ejemplo de 
aplicación: 
 
Propiedades de límite 
 
1. Unicidad del límite: si el límite existe es único. 
2. Si lim ( ) 0
x a
f x l
→
=  , entonces existe un entorno de x a= en el cual se verifica que ( ) 0f x 
para todo x de ese entorno. 
 
Vamos a demostrar la propiedad 2: 
 
Si 0l  l > 0 entonces tomamos ε = l/2 > 0, por definición de límite, para ese ε existe δ > 0, 
tal que si Entonces, en ese entorno de a se verifica: 
 
 
 
Quedándonos con el lado izquierdo de la desigualdad: 
 
)(
2
11222312)( 

 =−−−−+− xxxxlxf
 −− lxfax )(0
+−+−−
2
3)(
22
)(
2
)()(
l
xf
ll
lxf
l
llxfllxf 
 
 
Con lo que queda demostrado. 
De igual manera si lim ( ) 0
x a
f x l
→
=  , entonces existe un entorno de x = a en el cual se verifica 
que f(x) < 0 para todo x de ese entorno. Esto usualmente se conoce como “la función conserva 
el signo del límite en un entorno del punto, si dicho límite no es cero”. 
 
3. Límite de una constante es la misma constante para todo a R 
 
 
D) Sea ε > 0 
 
Queremos que 
Es decir, para cualquier entorno de x = a que tomemos como f(x) y el valor del límite son 
iguales, esa diferencia será 0 y por lo tanto menor que ε. 
 
4. 
 
D) Sea ε > 0 
 
Queremos que 
Como las variables son iguales los entornos también lo son. 
 
Algebra de límites 
 
Sean f y g tales que , , con 1 2, ,a R l R l R   
Entonces: 
 
5. 
 
D) Sea ε > 0 
 
Como entonces, por definición, (1) 
De la misma manera: 
Como entonces (2) 
Tomando 1 2( , )mín  = para que se cumplan (1) y (2) tenemos que si 
entonces: 
 
0)(02/)()(
2
 xflxfxf
l
Rakk
ax
=
→
lim
00)( −−  kklxf
Raax
ax
=
→
lim
)()(  =−− axlxf
1
)(lim lxf
ax
=
→
2
)(lim lxg
ax
=
→
( ) 21)(lim)(lim)()(lim llxgxfxgxf
axaxax
+=+=+
→→→
1)(lim lxf
ax
=
→ 2
)(0/0 111

 −− lxfax
2)(lim lxg
ax
=
→ 2
)(0/0 222

 −− lxgax
− ax0
 
 
Ejemplo 2.7 
 
(sólo conocemos el límite de una constante y de la identidad por ahora): 
 
 
 
 Por propiedad 5 por las propiedades 3 y 4 
 
 
6. 
 
Ejemplo 2.8 
 
 
 
Por propiedad 6 propiedad 4 
 
7. 
 
Ejemplo 2.9 
 
 para cualquier “a” real 
 
 Propiedad 7 propiedad 4 
 
Una demostración similar a la anterior nos permitirá concluir que 
 
 
Entonces si tenemos un polinomio podemos combinar las últimas tres propiedades para 
calcular el límite en cualquier punto: 
 
 
 
= 
 
 


=+−+−−+−=+−+
22
)()())(())(()()()( 212121 lxglxflxglxfllxgxf
2313limlim)3(lim
111
=+−=+=+
−→−→−→ xxx
xx
1)(lim)(lim lkxfkxfk
axax
==
→→
2
2
1
4lim44lim
2/12/1
===
→→
xx
xx
( ) 21.)(lim).(lim)().(lim llxgxfxgxf
axaxax
==
→→→
22 limlimlimlim aaaxxxxx
axaxaxax
====
→→→→
RaNnax nn
ax
=
→
lim
=++++=++++=
→→→→→→
n
n
axaxaxax
n
n
axax
xcxcxccxcxcxccxP lim...limlimlim)...(lim)(lim 2210
2
210
=++++
→→→→
n
ax
n
axaxax
xcxcxcc lim...limlimlim 2210 )(...
2
210 aPacacacc
n
n =++++
8. 
 
 
Ejemplo 2.10 
 
 
 
 Propiedad 8 Propiedades 7, 6, 5 
 
9. 
 
Esta propiedad abarca diversos casos. Por ejemplo: podemos tener el caso de una función 
exponencial: 
 
 y esto lo podemos hacer con cualquier otra base. 
 
También podemos tener alguna potencia fraccionaria o negativa: 
 
 
 
O podemos tener función tanto en la base como en el exponente. 
 
Ejemplo 2.11 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
0.
.
.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim 2
2
1 ==
→
→
→
l
l
l
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
18
328
2213
4232
.
)13(lim
)43(lim
13
43
lim
3
2
3
2
2
2
3
2
2
−
=
−
+−
=
−
+−
=
−
+−
→
→
→ xx
xx
xx
xx
x
x
x
2
1
)(lim
)( .)(lim)(lim
l
xg
ax
xg
ax
lxfxf
ax
=





=
→
→→
a
x
ax
x
ax
eee
ax
=





=
→
→→
.limlim
lim
0.limlimlim 2/1
2/1lim
2/1 ==





==
→
→→→
aaaxxx
ax
axaxax
( ) 551lim
2
)1(
2 2
11
6
2
1
.3
1
lim3
1
lim
2
2
2






=





+−=











−=





−
+
−→
+
−→
−→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0log)(limlog)(loglim 11 =





=
→→
llxfxf b
ax
bb
ax
Ejemplo 2.12 
 
 
 
11. 
 
Ejemplo 2.13 
 
 
 
Todos los límites que podemos calcular a través de estas propiedades se llaman 
INMEDIATOS y de aquí en más los haremos directamente, sin indicar propiedad por 
propiedad. 
 
Teorema de intercalación 
 
Sean f, g y h tres funciones definidas en un entorno del punto x a= (puede ser entorno 
reducido) al que llamaremos E. En ese entorno se cumple que . 
Además lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x l
→ →
= = 
Entonces 
 
D) Sea ε > 0 
Como entonces, por definición, (3) 
De la misma manera: 
Como entonces, por definición, (4) 
Tomando para que se cumplan (3) y (4) tenemos que si 
entonces: 
 
 
 
 Por hipótesis 
 
Luego por definición de límite 
 
 
 
0loglimlogloglim =





=
→→
aaxx b
ax
bb
ax
)(lim)(lim xfxf
axax →→
=
axx
axax
==
→→
limlim
Exxhxgxf  )()()(
lxg
ax
=
→
)(lim
lxf
ax
=
→
)(lim  −− lxfax )(0/0 11
lxh
ax
=
→
)(lim  −− lxhax )(0/0 22
),min( 21  = − ax0
 −+−+− lxglxgllxhxgxfl )()()()()(
lxg
ax
=
→
)(lim
No existencia de límite 
 
Hasta ahora vimos ejemplos de funciones con límite finito en un punto, pero puede ser que 
éste no exista. Por ejemplo, analicemos la función signo en 0x = (recordemos que este punto 
no pertenece al dominio de la función, pero esto no nos impide estudiar el límite en el mismo). 
Si planteamos no podemos aplicar la propiedad del cociente porque el denominador 
tiene límite 0, por lo tanto, tenemos que tratar de resolverlo de una forma diferente. Una 
posibilidad es volver a realizar un análisis numérico, es decir, armar una tabla: 
 
 
x -0.5 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.5 
f(x) -1 -1 -1 -1 -------- 1 1 1 1 
 
Si analizamos la tabla, del lado izquierdo del entorno tendríamos límite -1 y del lado derecho 
nos da 1. Como estos valores tienen que ser iguales para que exista el límite concluimos en 
este caso que el límite NO EXISTE. Veámoslo gráficamente: 
 
 
Figura 52. Gráfico función signo 
 
Ahora si nos mantenemos sólo del lado izquierdo del entorno podemos decir que el límite 
vale -1, a este valor lo llamamos límite por izquierda. Si nos limitamos al lado derecho del 
entorno hablamos de límite por derecha. Formalmente: 
 
Definición 
 
Límite por izquierda 
 
 
 
Límitepor derecha 
 
x
x
x 0
lim
→
 −−== −−
→ −
lxfaxalxf
ax
)(/0)(0)(lim
 
 
Propiedad 
 
El (es decir existe) sí y sólo si los límites laterales son iguales: 
 
 
 
Resolvamos ahora el ejemplo anterior usando límites laterales: 
 
 
 
 
 Como 
 podemos simplificar porque trabajamos con entorno 
 reducido 
 
 
 
Como podemos simplificar porque trabajamos con entorno 
 reducido 
 
Como los límites laterales son distintos concluimos que el límite no existe. 
 
Ejemplo 2.14 
 
 
Calcular el límite en los puntos a = 1, a = -1 y a = 0. Realicemos el gráfico de f: 
 
 
 −+== ++
→ +
lxfaxalxf
ax
)(/0)(0)(lim
lxf
ax
=
→
)(lim
lxfxf
axax
==
+− →→
)(lim)(lim
11limlimlim
000
−=−=
−
=
−−− →→→ xxx x
x
x
x
xxx −= 0
11limlimlim
000
===
+++ →→→ xxx x
x
x
x
xxx = 0







−−
−+
=→
1
112
11
)(/:
3
2
xx
xx
xx
xfRRf
 
Figura 53. Gráfico ejemplo 2.14 
 
Calculemos el límite en a = -1. Si planteamos , al pensar reemplazar la regla de 
asignación de f nos preguntamos: ¿cuál de todas las expresiones tenemos que tomar? 
Justamente si x < -1 le corresponde la parábola, en tanto que si x >-1 la recta, es decir en 
cualquier entorno de x = -1 tenemos las dos expresiones, esto nos conduce a plantear límites 
laterales: 
 
 
Como los límites laterales son iguales concluimos que el límite existe y vale 2 (observar el 
gráfico). Ahora hallemos en a = 1: 
 
 
 
Como los límites laterales son distintos no existe el límite (observar el gráfico). Por último, 
si trabajamos en un entorno de a = 0 no necesitamos límites laterales ya que en un entorno 
de ese punto la regla de asignación es el polinomio de grado uno, por lo que: 
 
 
 
 
 
)(lim
1
xf
x −→
2)2(lim)(lim
2)1(lim)(lim
11
2
11
=−=
=+=
++
−−
−→−→
−→−→
xxf
xxf
xx
xx
1lim)(lim
2)2(lim)(lim
3
11
11
==
−=−=
++
−−
→→
→→
xxf
xxf
xx
xx
0)2(lim)(lim
00
=−=
→→
xxf
xx
Infinitésimos 
 
Definición: una función y = φ(x) diremos que es un infinitésimo en x = a sí y sólo si 
 
 
Ejemplo 2.15 
 
1. 1( ) 3x x = + es un infinitésimo en a = -3 porque 1
3
lim ( ) 0
x
x
→−
= 
2. 
2
2( ) 4x x = − es un infinitésimo en a = -2 y a = 2 porque 
 
3. 3( ) ( )x sen x = es un infinitésimo en a = k π (k entero) porque 1
3
lim ( ) 0
x
x k Z
→−
=   
4. 
2
4( ) 1x x = + no es un infinitésimo para todo “a” real. 
 
Como vemos en los ejemplos anteriores puede ser que una función sea infinitésimo en un 
solo punto, en más de uno, en infinitos o en ninguno. ¿Por qué son importantes los 
infinitésimos? Porque a través de ellos podemos demostrar varias propiedades de límite en 
forma más simple y también porque toda función con límite finito en un punto se puede 
pensar como infinitésimo de la siguiente manera: 
 
 
 
es decir, la función ( )f x l− es infinitésimo en x a= . 
 
Propiedades 
 
1. Sean φ1 (x) y φ2 (x) dos infinitésimos en x = a, entonces son también infinitésimos en 
dicho punto: φ1 + φ2, φ1 - φ2, φ1.φ2 y k φ1 (con k real). Observación: el lector puede 
demostrar estas propiedades usando propiedades de límite. 
2. Sea φ1 un infinitésimo en x = a y g una función acotada. Entonces el producto de φ1.g 
es un infinitésimo en x = a. 
De esto último daremos un ejemplo: porque 1( )x x = es 
infinitésimo en x = 0 y 
1
( )g x sen
x
 
=  
 
está acotada en su dominio. 
 
Observación: el cociente de infinitésimos en un punto no es necesariamente un infinitésimo 
en dicho punto. Ejemplos: 
 
 
 
0)(lim =
→
x
ax

0)(lim)(lim 2
2
2
2
==
→−→
xx
xx

0))((lim)(lim =−=
→→
lxflxf
axax
0
1
lim
0
=





→ x
senx
x
 
Ejemplo 2.16 
 
 
En este caso no podemos aplicar la propiedad del límite de un cociente ya que el denominador 
es un infinitésimo en x = 1. Además, observamos que la función es cociente de infinitésimos 
en x = 1. Entonces procedemos de la siguiente manera: factorizamos numerador y 
denominador (por cualquier método, puede ser realizando la regla de Ruffini): 
 
 
 
De allí: 
 
 
 
De la primera igualdad a la segunda pudimos simplificar el factor x-1 porque en límites 
trabajamos con entornos reducidos, es decir 1x  . A su vez en el último límite aplicamos 
propiedades de los límites (es inmediato). 
 
Ejemplo 2.17 
 
 este límite también es un cociente de infinitésimos en 4a = , pero en este 
caso no podemos proceder como en el límite anterior ya que el numerador no se puede 
factorizar. La técnica que usamos para poder calcularlo consiste en multiplicar y dividir por 
el conjugado, en este caso del numerador. 
 
 
 
 
2
32
lim
2
2
1 −+
−+
→ xx
xx
x
031
311
321 −
021
211
211 −
3
4
)2(
)3(
lim
)2)(1(
)3)(1(
lim
11
=
+
+
=
+−
+−
→→ x
x
xx
xx
xx
16
53
lim
24 −
+−
→ x
x
x
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 48
1
)33(8
1
53)4(
1
lim
53)4(4
)4(
lim
53)4(4
4
lim
5316
59
lim
5316
59
lim
53
53
16
53
lim
4
44
242
2
424
−
=
+
−
=








+++
−
=








+++−
+−−
=








+++−
−
=
=








++−
−−
=








++−
+−
=








++
++
−
+−
→
→→
→→→
xx
xxx
x
xxx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
 
Ejemplo 2.18 
 
 
Este límite también es cociente de infinitésimos pero no podemos aplicar ninguna de las dos 
técnicas anteriores. Vamos a demostrar que dicho límite es igual a 1 (en el caso que el 
cociente de infinitésimos tenga límite igual a uno, los infinitésimos se dicen equivalentes) 
Primero observemos que es par (se deja como ejercicio), por lo que si 
demostramos que el límite por derecha es igual a 1 también lo es por izquierda, ya que la 
función es simétrica respecto al eje y. 
Entonces tomamos un ángulo x tal que 
Trazamos la circunferencia unidad, el ángulo x, y quedan delimitados dos triángulos (OFE y 
OCD) y un sector circular (OEC) como muestra la figura: 
 
 
Figura 54. Demostración de infinitésimos equivalentes. 
 
Si observamos el triángulo OFE está incluido en el sector circular y éste a su vez lo está en 
el otro triángulo OCD, por lo que: 
 
Área OFE < Área sector circular OEC < Área OCD 
 
 
 
 Dividimos por sen(x) > 0 en (0, π/2) 
 
x
senx
x 0
lim
→
x
senx
xf =)(
2
0

 x
xsenx
x
xxtgxxxsen
CDOCrxFEOF
cos
1
cos)()cos()(
222
2

Luego considerando que estamos trabajando con expresiones positivas, tenemos que: 
 
 por teorema de intercalación 
 
Se deja al lector la demostración de: 
0 0
lim lim 1
x x
tgx x
x senx→ →
= = 
 
¿Cómo podemos aplicar este límite al cálculo de cociente de infinitésimos con funciones 
trigonométricas? Veamos el siguiente 
 
Ejemplo 2.19 
 
 
 
 
 
 Propiedad de límite multiplicamos y dividimos por 2 límite anterior 
 
 
 
Cambio de variables: z = 2x (podemos obviar el cambio de variables y resolver directamente) 
 
Ejemplo 2.20 
 
Resolver los siguientes límites indeterminados: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
1coslim
cos
1
lim
cos
cos
1
00
==

→→
x
x
x
x
senx
x
xx
1lim
0
=
→ x
senx
x
3
2
2
)2(
lim
3
2
2
2
)2(
lim
3
1)2(
lim
3
1
3
)2(
lim
0000
=





=





==
→→→→ x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxxx
1lim
2
)2(
lim
00
==
→→ z
senz
x
xsen
zx
xx
xsen
x 2
)63(
lim
22 −
−
→
23
12
lim
1 −+
−+
−→ x
x
x
xxtg
x x
xx
/)3(
2
0
2
lim
−
→ 





 +
520
)5(
lim
5 −+
−
→ x
xsen
x
 
 
a) 
 
 multiplicamos y dividimospor 3 propiedad producto 
 
 
 
Pudimos aplicar propiedad del límite de un producto (como producto de los límites) porque 
ambos límites existen finitos. El primero es inmediato y en el segundo podemos hacer un 
cambio de variables: 
 
 haciendo z = 3(x-2) 
 
b) Para resolver el límite multiplicamos y dividimos por el conjugado del 
numerador. A su vez tenemos en cuenta que (en un entorno de 
a = -1 la expresión x + 3 es positiva). Teniendo en cuenta lo anteriormente explicado: 
 
 
 
c) Para en el límite poder aplicar propiedades de límites finitos, 
debemos calcular primero el límite de la base, luego el del exponente. Si los dos son finitos 
y la operación está bien definida, procedemos a utilizar la propiedad. Entonces: 
 
 
 
 
 
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
→→→→→ )2(3
))2(3(
lim
3
lim
)2(3
))2(3(3
lim
)2(
))2(3(
lim
2
)63(
lim
222222 x
xsen
xxx
xsen
xx
xsen
xx
xsen
xxxxx
2
3
1.
2
3
==
1lim
)2(3
))2(3(
lim
02
==
−
−
→→ z
senz
x
xsen
zx
23
12
lim
1 −+
−+
−→ x
x
x
)1(33 −+=+ Exxx
2
1
)12)(1(
1
lim
)12)(1(
12
lim
12
12
.
2)3(
12
lim
23
12
lim
1
111
=
+++
+
=
+++
−+
=
++
++
−+
−+
=
−+
−+
−→
−→−→−→
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxtg
x x
xx
/)3(
2
0
2
lim
−
→ 





 +
2)2(lim
)2(
lim
2
lim
00
2
0
=+=
+
=




 +
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
3
3
)3(
lim3
)3(
)3()3(
lim
)3(
lim
000
−=
−
−
−=
−
−−
=
−
→→→ x
xtg
x
xtg
x
xtg
xxx
Luego 
 
d) Para resolver comenzamos multiplicando y dividiendo por el conjugado 
del denominador: 
 
 
 
En el último paso aplicamos propiedad del límite de un producto de funciones (los dos existen 
finitos) y: 
 
 realizando un cambio de variables z = x-5 
 
Ejemplo 2.21 
 
Determinar los coeficientes a, b sabiendo que existe el límite cuando 1x→− y cuando 
2x→ . Luego graficar 
 
 
 
Observemos que tanto en x = -1 como en x = 2 tenemos que trabajar con límites laterales, ya 
que en cualquier entorno de esos puntos la regla de definición de f cambia a izquierda y a 
derecha. Comencemos por x = -1: 
 
 
 
Igualando límites laterales tenemos la ecuación 
Procedemos en forma similar en x = 2: 
 
8/12
2
lim 3
/)3(
2
0
==




 + −
−
→
xxtg
x x
xx
520
)5(
lim
5 −+
−
→ x
xsen
x
10)520(lim
5
)5(
lim)520(
5
)5(
lim
2520
)520)(5(
lim
520
520
520
)5(
lim
520
)5(
lim
555
555
=++
−
−
=++
−
−
=
=
−+
++−
=
++
++
−+
−
=
−+
−
→→→
→→→
x
x
xsen
x
x
xsen
x
xxsen
x
x
x
xsen
x
xsen
xxx
xxx
1
5
)5(
lim
5
=
−
−
→ x
xsen
x





+
−+
−
=
2
21
1
)( 2
xbxa
xaxx
xbx
xf
aaxxxf
bbxxf
xx
xx
−=+=
−==
++
−−
−→−→
−→−→
1)(lim)(lim
)(lim)(lim
2
11
11
ab −=− 1
 
 
Luego igualando: 
Entonces debemos resolver el sistema: 
 
 
 
 sustituyendo en la segunda ecuación: 
 
 Por lo tanto . Luego la función 
buscada es: 
 
 
Grafiquemos y verifiquemos de esta manera que los límites en ambos puntos existen: 
 
 
Figura 55. Gráfico ejemplo 2.21 
 
 
 
 
 
 
babxaxf
aaxxxf
xx
xx
2)(lim)(lim
24)(lim)(lim
22
2
12
+=+=
+=+=
++
−−
→→
−→→
baa 224 +=+



+=+
−=−
baa
ab
224
1
11 −=−=− abab
62224)1(224 =−+=+−+=+ aaaaaaa 5=b





+
−+
−
=
256
216
15
)( 2
xx
xxx
xx
xf
Límites infinitos 
Estudiemos el comportamiento de la función para valores de 
x cercanos a “a = 1”. Como no podemos aplicar ninguna propiedad vista, comenzamos 
haciendo una tabla de valores y un gráfico para observar lo pedido: 
 
x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5 
f(x) -2 -10 -100 -1000 --- 1000 100 10 2 
 
Gráficamente: 
 
 
Figura 56. Límite infinito de variable finita. 
 
 
Si observamos la tabla y el gráfico, a medida que x se acerca al valor x = 1, f(x) es cada vez 
más grande en valor absoluto. Esta situación se simboliza: 
Puede pasar que las imágenes sean sólo positivas, como es el caso de 
: 
 
1
1
)(/}1{:
−
=→−
x
xfRRf
=
−→ 1
1
lim
1 xx
1
1
)(/}1{:
−
=→−
x
xfRRf
 
Figura 57. Límite infinito de variable finita. 
 
En este caso podemos escribir: 
O que las imágenes sean solamente negativas, cada vez más grandes en valor absoluto, por 
ejemplo: 
 
 
Figura 58. Límite infinito de variable finita 
 
 
La definición formal de este tipo de límites es diferente a la que vimos de límites finitos de 
variable finita, a saber: 
 
 
+=
−→ 1
1
lim
1 xx
1ln)(/}1{: −=→− xxfRRf
MxfaxMMxf
ax
−==
→
)(0/0)(0)(lim 
 
Y tiene sus variantes para +∞ y para -∞. Por ejemplo, si queremos demostrar por definición 
que , hacemos: 
 
Sea M > 0 
 
 
 M > 0 x ≠ 1 
 
Límites de variable infinita 
 
Seguimos estudiando el comportamiento de diversas funciones para distintos valores de la 
variable independiente, pero en este caso en vez de estudiar en un entorno de un punto, vamos 
a analizar qué pasa con la imagen de una determinada función cuando la variable 
independiente crece cada vez más en valor absoluto. Por ejemplo, sea la siguiente función: 
 Realicemos una tabla de valores y veamos su gráfico: 
 
x -5 -10 -50 -100 -1000 
f(x) 0.0384 0.00990099 0.00039 0.000999 0.0000009 
 
x 5 10 50 100 1000 
f(x) 0.0384 0.00990099 0.00039 0.000999 0.0000009 
 
 
Figura 59. Límite finito de variable infinita. 
 
=
−→ 1
1
lim
1 xx
)(
1
101
1
1
1
1
1
)( M
M
xx
M
M
xx
xf =−−
−
=
−
=
1
1
)(/:
2 +
=→
x
xfRRf
Como observamos a medida que x toma valores cada vez más grandes en valor absoluto f(x) 
toma valores cada vez más cercanos a 0, esto lo denotamos como: 
Otro ejemplo : 
 
 
Figura 60. Límite finito de variable infinita 
 
En este caso: (lo podemos justificar como producto de un infinitésimo por 
una función acotada). Lo que queremos mostrar con estos dos ejemplos es que tenemos 
distintas situaciones en cuanto las dos funciones tienen límite cero, pero en una (la primera) 
las imágenes de los puntos nunca se anulan y la segunda tiene infinitas intersecciones con el 
eje x, es decir toma el valor del límite infinitas veces. 
También podemos estudiar el comportamiento de la función para valores de x grandes 
positivos o valores de x grandes en valor absoluto, pero con signo negativo. Por ejemplo: 
 
 
 
Figura 61. Límite finito de variable infinita 
0
1
1
lim
2
=
+→ xx
x
senx
xfRRf =→− )(/}0{:
0lim =
→ x
senx
x
12)(/: +=→ xxfRRf
Del gráfico deducimos que: 
Sea 
 
 
Figura 62. Límite finito de variable infinita 
 
 
La definición formal para el primer caso es: 
 
 
 
Ejemplo 2.22 
 
Demostrar utilizando la definición que 
Sea ε > 0 
 
 
 
 1senx  (función acotada) 
 
Hemos demostrado que 
 
 
1)12(lim =+
−→
x
x
xexgRRg −=→ )(/:
0lim =−
+→
x
x
e
 −==
→
lxfNxNNlxf
x
)(/0)(0)(lim
0lim =
→ x
senx
x
)(
11
)( 

 Nx
xx
senx
x
senx
xf ===
 −= 0)(/0)(0 xfNxNN
Límites infinitos de variable infinita 
 
 
Observemos nuevamente la figura 62: 
 
 
 
Estudiamos que 
La pregunta es ahora ¿qué pasa para x tendiendo a -∞? Hagamos una tabla de valores 
 
x -5 -10 -50 -100 
f(x) 148,413 22026,5 5,18 x 1021 2,68 x 1043 
 
Como vemos en la tabla, a medida que x es más grande en valor absoluto (negativa) la imagen 
de la función es cada vez más grande. Este comportamiento ya lo estudiamos, tendríamos: 
 
lim x
x
e−
→−
= + 
 
Ejemplo 2.23 
 
Calcular 2lim( )
x
x x
→
− 
 
La función es una función polinómica de grado 2 que sabemos que su gráfico corresponde a 
una parábola cóncava hacia arriba. 
 
0lim =−
+→
x
x
e
 
Figura 63. Límite infinito de variable infinita 
 
Como vemos gráficamente a medida que x crece en valor absoluto su imagen también. Este 
comportamiento lo plasmamos en 
 
( )2lim
x
x x
→
− = + 
 
La definición formal parael caso que x tienda a infinito y su imagen también es: 
 
lim ( ) 0 ( ) / ( )
x
f x N M M N x M f x N
→
=    =    
 
 
Así como el cociente de infinitésimos es indeterminado, también lo es el cociente de infinitos. 
Veamos los siguientes ejemplos: 
 
Ejemplo 2.24 
 
Calcular 
 
Para resolverlo sacamos factor común la mayor potencia de x en el numerador y en el 
denominador, este caso x2 en los dos: 
 
2
2 2 2
2
2
2 2
1 1 1 1
4 4
4 1
lim lim lim 4
1 11
1 1
x x x
x
x x x x x x
x
x
x x
→ → →
   
+ − + −   + −    = = =
+    
+ +   
   
 
 
Siguiendo la técnica anterior, resolvemos: 
 
Ejemplo 2.25 
 
1
14
lim
2
2
+
−+
→ x
xx
x
3
2 3 2 33
5
5 2
4 5 4 5
3 1 3 1
5 5
5 3 1
lim lim lim 0
1 1 1 11
1 1
x x x
x
x x x xx x
x x
x x
x x x x
→ → →
   
+ − + −   
+ −    = = =
− +    
− + − +   
   
 
 
Ejemplo 2.26 
 
3
4 24
2
2
2 2
1 1
7 77
4 44lim lim lim
1 5 1 53 5
3 3
x x x
x x xx
x x
x x
x
x x x x
→ → →
   
+ ++    
   = = = 
− +    
− + − +   
   
 
 
Si observamos los tres casos (cociente de polinomios), podemos hacer el siguiente resumen: 
 
Sean entonces: 
 
 
 
Ejemplo 2.27 
 
 
 
Esta función tiene dominio (-∞, -1] U (0, +∞). No podemos aplicar el resumen anterior 
porque no es cociente de polinomios, entonces procedemos de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 Sacamos factor común distributiva simplificamos 
 la mayor potencia de x 
 dentro de la raíz 
 
Ahora como tenemos valor absoluto de un número real, que tiene una definición para 
números positivos y otra para números negativos, el límite debemos dividirlo en dos: por un 
lado, tendiendo a +∞ y por el otro a -∞: 
0...)(
0...)(
2
210
2
210
++++=
++++=
m
m
m
n
n
n
bxbxbxbbxQ
axaxaxaaxP
mn
mn
mnba
xQ
xP
mn
x


=






=
→
0
/
)(
)(
lim
x
xx
x
+
→
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx






+
=






+
=






+
=
+
→→→→
1
1
lim
1
1
lim
1
1
limlim
22
2
 
 
 
Por lo que, por la definición vista en la página 24, no existe el límite para x tendiendo a ∞. 
 
Ejemplo 2.28 
 
Calcular 
 
Observemos que para x tendiendo a -∞ este límite no es indeterminado (el término 2x es 
negativo) y su resultado es +∞: 
 
 
 
Si x tiende a +∞ tenemos una indeterminación del tipo diferencia de infinitos (∞-∞). Para 
trabajar con dicho límite multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión: 
 
 
 
Ahora estamos en el caso de cociente de infinitos y por lo tanto procedemos como lo hicimos 
en el ejemplo 2.27: 
 
1
1
1lim
1
1
lim
1
1
limlim
1
1
1lim
1
1
lim
1
1
limlim
2
2
−=





+−=






+−
=






+
=
+
=





+=






+
=






+
=
+
+→−→−→−→
+→+→+→+→
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
xxxx





 −+
→
xxx
x
22lim 2
+=




 −+
−→
xxx
x
22lim 2






++
=






++
−+
=
=




 ++






++






−+
=




 −+
+→+→
+→+→
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
22
lim
22
22
lim
22
22
22
lim22lim
22
22
2
2
2
2
 
 
Ejemplo 2.29 
 
Calcular 
 
 
Si observamos la base tiene límite 1 y el exponente infinito. Esta es otra indeterminación que 
se resuelve utilizando alguno de los límites notables:
 
 o 
 
Antes de resolver el límite mostramos mediante tabla el primer límite. El segundo límite se 
obtiene del primero por un cambio de variables 
 
 
x 100 1000 10000 100000 
 
2.7048138294 2.7169239322 2.7181459268 2.7182682371 
 
 
x -100 -1000 -10000 -100000 
 
2.7319990264 2.7196422164 2.7184177550 2.7182954199 
 
El número e con 18 cifras exactas es 2.7182818284590452354. 
 
Volviendo al ejemplo: 
22
1
2
1
2
1
lim
2
1
2
lim
2
1
2
lim
2
1
2
lim
22
lim
2
2
=








+





+
=








+





+
=
=








+





+
=








+





+
=






++
+→+→
+→+→+→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
xxx
12
3
2
1lim
−
→






+
+
x
x x
e
x
x
x
=





+
→
1
1lim ( ) ex x
x
=+
→
/1
0
1lim
x
x






+
1
1
x
x






+
1
1
 
 
La justificación del último paso se realiza aplicando: 
- Propiedad de potencias de igual base 
- Propiedad de límite (referido a potencias, siempre y cuando los dos existen) 
- Cambio de variables en la base: z = (x+3) /2 
Ejemplo 2.30 
 
Resolver los siguientes límites de variable infinita 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
a) Es un límite inmediato, sólo debemos tener en cuenta la tendencia de la función 
exponencial y la de la función arco tangente para x →+∞ (lado derecho). Tener cuidado que 
estas dos funciones tienen límite diferente de ambos lados. Entonces como: 
 
 
Concluimos que 
b) Razonando de una manera similar: 
43
24
lim
)12(
3
2
lim
2
3
)12(
3
2
2
3
12
12
2
3
1
1lim
2
3
1
1lim
2
3
1
1lim
3
2
1lim
ee
x
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
==


























+
+=
=












+
+=












+
+=





+
+
+
−
−
++
→
−
+
+
→
−
→
−
→
→
→
nmnm aa )(. =
e
zx
z
z
x
x
=





+=












+
+
→
+
→
1
1lim
2
3
1
1lim
2
3
)1(lim x
x
earctg +
+→
)1(lim x
x
earctg +
−→
)
2
14
(
36
65 2
2
323
122
lim
xx
xx
x xx
xx −
−+
→ 






−−
+−
25
32
31
lim
+
→






−
−
x
x x
x
2
limlim

=+=
+→+→
arctgxe
x
x
x
2/)1(lim =+
+→
x
x
earctg
 
 
 
 
c) 
Para calcular este límite podemos resolver el límite de la base y el límite del exponente 
teniendo en cuenta que ambos son cociente de polinomios y el límite es de variable infinita, 
por lo que: 
 
 (los polinomios tienen el mismo grado) 
 
 (los polinomios tienen el mismo grado) 
 
Entonces 
 
 
 
d) 
 
Observemos que este límite es una indeterminación de la forma 1∞ que resolveremos con el 
límite notable del número e. Para esto primero hacemos la división de los polinomios de la 
base: 
 
-3x + 1 -3x+2 
 3x -2 1 
 -1 
 
Con lo que: 
 
 
 
0lim =
−→
x
x
e
4
1)1(lim

==+
−→
arctgearctg x
x
)
2
14
(
36
65 2
2
323
122
lim
xx
xx
x xx
xx −
−+
→ 






−−
+−
3
2
323
122
lim
36
65 −
=
−−
+−
→ xx
xx
x
2
2
4
2
14
lim
2
2
==
−
−+
→ xx
xx
x
9
4
3
2
323
122
lim
2
2
14
36
65 2
2
=





−=





−−
+− −
−+
→
xx
xx
x xx
xx
25
32
31
lim
+
→






−
−
x
x x
x
xx
x
32
1
1
32
31
−
−
+=
−
−
 
 
Asíntotas a una curva 
 
Sea :f A B→ . Si existe un número real “a” tal que lim ( )
x a
f x
→
=  (el resultado también puede 
ser +∞ o -∞) entonces diremos que x = a es asíntota vertical de f. 
 
Otras posibilidades son: 
 
Sea :f A B→ . Si existe un número real “a” tal que (el resultado también 
puede ser +∞ o -∞) entonces diremos que x = a es asíntota vertical de f por derecha. 
 
Sea :f A B→ . Si existe un número real “a” tal que (el resultado también 
puede ser +∞ o -∞) entonces diremos que x = a es asíntota vertical de f por izquierda. 
 
Si lim ( )
x
f x b R
→
=  (el límite puede tender sólo a +∞ o sólo a-∞) entonces diremos que la 
recta y = b es asíntota horizontal de f. 
 
Ejemplo 2.31 
 
Calcular las asíntotas de 
 
Veamos primero en qué puntos puede tener f asíntota vertical. Como es un cociente de 
polinomios las posibles asíntotas verticales son x = 0 y x = 2. Tomemos el límite en los dos 
casos: 
 
 asíntota verticalde f 
 
 asíntota vertical de f 
 
Ahora calculamos el límite para x tendiendo a infinito: 
 
3/523
25
lim
23
25
23
)25(
23
1
)23(2525
23
1
1lim
23
1
1lim
32
1
1lim
32
31
lim
ee
x
xxx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x ==














−
+=






−
+=





−
−
+=





−
−
−
+−
+
−
→
+
−
−
→
+
→
+
→
→
=
+→
)(lim xf
ax
=
−→
)(lim xf
ax
xx
x
xfRRf
2
2
)(/}2,0{:
2
2
−
+
=→−
0
2
2
lim
2
2
0
==
−
+
→
x
xx
x
x
2
2
2
lim
2
2
2
==
−
+
→
x
xx
x
x
asíntota horizontal de f 
 
Si hacemos un cuadro de signo para estudiar los intervalos de positividad y negatividad de f 
podemos calcular límites laterales y de esta manera graficar con mayor precisión. Entonces: 
 
 (-∞, 0) x = 0 (0, 2) x = 2 (2, +∞) 
 + + + + + 
x - 0 + + + 
x-2 - - - 0 + 
Signo de f + 0 - 0 + 
 
Con este cuadro podemos calcular: 
 
 asíntota vertical por izquierda 
 
asíntota vertical por derecha 
 
asíntota vertical por izquierda 
 
asíntota vertical por derecha 
 
 
Figura 64. Gráfico ejemplo 2.31. 
11
2
2
lim
2
2
==
−
+
→
y
xx
x
x
22 +x
0
2
2
lim
2
2
0
=+=
−
+
−→
x
xx
x
x
0
2
2
lim
2
2
0
=−=
−
+
+→
x
xx
x
x
2
2
2
lim
2
2
2
=−=
−
+
−→
x
xx
x
x
2
2
2
lim
2
2
2
=+=
−
+
+→
x
xx
x
x
 
(Observemos que la función y su asíntota horizontal tienen intersección en el punto (-1,1)) 
 
Definamos ahora asíntota oblicua: 
 
Diremos que la recta y mx b= + es asíntota oblicua a la curva : / ( )f A B y f x→ = si 
 
 (3) (Aclaración: puede ser límite para x → +∞ o x→-∞) 
Vamos a deducir cómo hallar los valores de m y de b. 
Supongamos que la recta y = m x + b es asíntota oblicua de f, entonces: 
 
 
 
 
Suponemos que r de ecuación y = m x + b es asíntota de y = f(x), entonces, por la definición: 
 
 
 
Multiplicamos este límite por otro límite: 
 
 
 
Una vez que obtuvimos m, de la definición (3) calculamos b: 
 
0))()((lim =+−
→
bmxxf
x
0))()((lim =+−
→
bmxxf
x
  0)()(
lim
=+−
→
bmxxf
x
 
x
xf
x
mm
x
xf
x
x
b
x
m
xx
xf
x
x
b
m
x
xf
x
x
bmxxf
x
xx
bmxxf
x
)(lim
0
)(lim
0
limlim)(lim
0
)(lim
0
1
).)((
lim
00.0
1lim
.)()(
lim
→
==−
→
=
→
−
→
−
→
=





−−
→
=





−−
→
==
→
+−
→
 
 
De esta manera, una vez hallados m y b, armamos la ecuación y = m x + b. 
 
 
 
Ejemplo 2.32 
 
Calcular las ecuaciones de las asíntotas de: 
 
asíntota vertical de f 
 
f no tiene asíntota horizontal 
 
 
 
 
 
Luego y = x-2 es asíntota oblicua de f. Gráficamente: 
 
 
 
 
 
   mxxf
x
bbmxxf
x
b
x
mxxf
x
bmxxf
x
bmxxf
x
bmxxf
x
−
→
==−−
→
=
→
−−
→
=−−
→
=−−
→
=+−
→
)(
lim
0)(
lim
0
lim
)(
lim
0))((
lim
0))(
lim
0)()(
lim
x
xf
m
x
)(
lim
→
= ))((lim mxxfb
x
−=
→
1
13
)(/}1{:
2
−
+−
=→−
x
xx
xfRRf
1
1
13
lim
2
1
==
−
+−
→
x
x
xx
x
=
−
+−
→ 1
13
lim
2
x
xx
x
1
13
lim1
13
lim
)(
lim
2
2
2
=
−
+−
=−
+−
==
→→→ xx
xx
x
x
xx
x
xf
m
xxx
2
1
12
lim
1
13
lim
1
13
lim))((lim
222
−=





−
+−
=








−
+−+−
=








−
−
+−
=−=
→→→→ x
x
x
xxxx
x
x
xx
mxxfb
xxxx
 
Figura 65. Gráfico ejemplo 2.32 
 
Observación: en este último ejemplo también podemos hacer cuadro de signo de f para 
calcular límites laterales y graficar teniendo más datos. 
 
Ejemplo 2.33 
 
Calcular las ecuaciones de las asíntotas de la función: 
 
 
 
Por ser cociente de polinomios la posibilidad de asíntota vertical la tenemos en x = -1 y en 
x = 2. Entonces calculamos el límite de la función en cada uno de esos puntos: 
 
 por lo tanto, x = -1 asíntota vertical 
 
 por lo que no existe asíntota vertical en 
este caso. 
 
A su vez: 
 
 entonces y = 1 es asíntota horizontal. 
 
2
2
)(/}2,1{:
2
2
−−
−
=→−−
xx
xx
xfRRf
=
−−
−
−→ 2
2
lim
2
2
1 xx
xx
x
3
2
1
lim
)2)(1(
)2(
lim
2
2
lim
222
2
2
=
+
=
−+
−
=
−−
−
→→→ x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
1
2
2
lim
2
2
=
−−
−
→ xx
xx
x
Para realizar el gráfico de esta función podemos observar que si x ≠ 2, la regla de definición 
queda: 
 
 x ≠ 2 
 
Que corresponde a una función homográfica. Por lo tanto, la función dada es igual a esta 
función homográfica en todos los puntos salvo en el de abscisa x = 2 (la función original no 
posee punto con dicha abscisa). Entonces: 
 
 
Figura 66. Gráfico ejemplo 2.33 
 
Ejemplo 2.34 
Dada 
Encontrar a, b y k tal que sea asíntota de f. 
 
Por definición de asíntota oblicua: 
 
 
12
2
2
2
+
=
−−
−
x
x
xx
xx
bax
x
xfkf
+
−
=→−
2
)(/}{:
2
4
2
1 −= xy
0
24)42/1()2/1(
lim
442/12/2
lim
)(
))(42/1(2
lim
0))4
2
1
()
2
(lim0))4
2
1
()((lim
2
222
2
=





+
−++−+−
=
=





+
++−−−
=





+
+−−−

=−−
+
−
=−−
→
→→
→→
bax
babxax
bax
baxxbxax
bax
baxxx
x
bax
x
xxf
x
xx
xx
Para que el límite de este cociente de infinitos y de polinomios de cero el grado del numerador 
debe ser menor al del denominador, por lo que: 
 
 
 
Luego de lo que deducimos que k = -8. Por lo tanto: 
 
 
 
Continuidad de una función en un punto y en un intervalo 
 
Diremos que una función de expresión analítica y = f(x) es continua en un punto de 
acumulación de su dominio x = a si se verifican estas condiciones: 
 
 
 
 
 
Observación 1: la palabra existe quiere decir que el resultado sea un número real 
Observación 2: la última condición basta para definir la continuidad en un punto de la función 
dada pues si se verifica necesariamente se han de verificar las dos primeras. Por lo que: 
 
f es continua en x = a sí y sólo si lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= 
 
Observación 3: cuando una función no es continua en un punto se dice discontinua en ese 
punto. 
 
Diremos que una función ( )y f x= es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua 
en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. 
 
Ejemplo 2.35 
a) La función es continua para todo , en efecto: 
 
 (por propiedad de límite) 
 
De esta forma también podemos pensar que todo polinomio es continuo para todo valor real. 
Sea y , por propiedad de límites 



==+−
==−
16042/1
202/1
bab
aa
162
2
)(/}{:
2
+
−
=→−
x
x
xfkf
162
2
)(/}8{:
2
+
−
=→−−
x
x
xff
)(af
)(lim xf
ax→

)()(lim afxf
ax
=
→
2)(/: xxfRRf =→ Ra
Raafax
ax
==
→
)(lim 22
n
nxbxbxbbxPRRP ++++=→ ...)(/:
2
210 Ra
 
 
 
b) La función exponencial: es continua para todo , en efecto: 
 
 (por propiedad de límite). La misma demostración se puede 
hacer para cualquier otra función exponencial (en otra base). 
 
c) La función trigonométrica es continua para todo , en efecto: 
 
 . Lo mismo sucede con y = cos (x), no así con las demás 
funciones trigonométricas. 
 
d) La función logaritmo: es continua para todo , en 
efecto: 
 
 Esto sucede también para cualquier otra base de 
logaritmo. 
 
e) Otras funciones continuas en todo R: 
 
Continuidad en un intervalo cerrado [a, b] 
 
Diremos que una función ( )y f x= es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: 
 
1. Es continua en (a, b) 
2. Es continua por derecha en x = a: lim ( ) ( )
x a
f x f a
+→
= 
3. Es continua por izquierda en x = b: lim ( ) ( )
x b
f x f b
−→
= 
 
Ejemplo 2.36 
 
Sea la función 
Estudiar la continuidad en su dominio 
 
Tomamos 
 
(por propiedad de límite) 
Y luego en x = 0 por derecha: 
 
)(...)...(lim 2210
2
210 aPabababbxbxbxbb
n
n
n
n
ax
=++++=++++
→
xexfRRf =→ )(/: Ra
Raafee ax
ax
==
→
)(lim
senxxfRRf =→ )(/: Ra
Raafsenasenx
ax
==
→
)(lim
xxfRRf ln)(/: =→+ ),0( +a
( )+==
→
,0)(lnlnlim aafax
ax
3)(/:;)(/: xxgRRgxxfRRf =→=→
 ) xxfRf =→+ )(/,0:
)(lim:),0( afaxa
ax
==+
→
 
(f es continuapor derecha en x = 0, no podemos tomar el límite en forma completa por una 
cuestión de dominio de la función) 
De las dos condiciones f es continua en su dominio. 
 
Propiedades de funciones continuas 
 
Sean f y g continuas en x = a. Entonces son también continuas en dicho punto: 
 
 
 
Para la demostración de cualquiera de estas propiedades se usan propiedades de límite. Por 
ejemplo, supongamos que queremos demostrar la primera: 
 
lim( )( ) lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )( )
x a x a x a x a
f g x f x g x f x g x f a g a f g a
→ → → →
+ = + = + = + = + 
 
 
Definición función suma propiedad de límite continuidad de las dos funciones en x = a 
 
Para la composición de funciones la propiedad es: 
 
Sea ( )y f x= una función continua en x = a y ( )y g x= una función continua en ( )f a
entonces ( )y g f x= es continua en x = a 
 
Clasificación de discontinuidad de una función 
 
Ya hemos señalado anteriormente que una función es discontinua en un punto x = a cuando 
no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad en ese punto. 
De ahí que podamos establecer distintos tipos de discontinuidad: 
 
Evitable Cuando existe el lim ( )
x a
f x
→
 pero no coincide con el valor de ( )f a , por una de estas 
dos razones: o son distintos los valores o no existe ( )f a . 
 
Ejemplo 2.37 
Estudiar la continuidad de Hallar sus discontinuidades. 
 
Para los valores distintos de x = 2 la función es continua, en efecto: el límite es inmediato 
(ya que el denominador no es cero) y por lo tanto coincidirá con el valor de la función en ese 
punto. 
Veamos qué sucede en x = 2. En principio es una discontinuidad ya que no existe f(2) y ese 
punto es punto de acumulación del dominio. 
Para clasificarla debemos calcular el límite en x = 2: 
)0(0lim
0
fx
x
==
+→
0)(/.  agsigfgfRkkfgf
2
23
)(/}2{:
2
−
+−
=→−
x
xx
xfRRf
 
 
El límite existe, por lo que la discontinuidad es evitable. Graficamos: 
 
 
Figura 67. Gráfico ejemplo 2.37 
 
Este tipo de discontinuidades se pueden evitar ¿Cómo? Asignando al valor de la variable una 
imagen que la haga continua. Si observamos el gráfico, asignando f (2) = 1, convertimos la 
función en continua en dicho punto. Algunos autores llaman a ese valor, verdadero valor y 
es el valor del límite. Entonces redefinimos f: 
 
 
Puede suceder también que la función tenga imagen en el punto, tenga límite y que ambos 
no coincidan. Por ejemplo, hagamos una pequeña reforma en la función anterior: 
 
 
En este caso: g(2) = 3, y por lo tanto 
no son iguales. Gráficamente: 
1)1(lim
2
)2)(1(
lim
2
23
lim
22
2
2
=−=
−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx







−=
=

−
+−
=→ 1
21
2
2
23
)(/:
2
x
x
x
x
xx
xfRRf







=

−
+−
=→
23
2
2
23
)(/:
2
x
x
x
xx
xfRRg
1)1(lim
2
)2)(1(
lim
2
23
lim
22
2
2
=−=
−
−−
=
−
+−
→→→
x
x
xx
x
xx
xxx
 
Figura 68. Gráfico ejemplo 2.37 segunda parte. 
 
En este caso también redefinimos g (la discontinuidad es evitable) y la redefinimos de la 
misma manera que en el ejemplo anterior, es decir asignando g (2) = 1: 
 
 
Cuando el límite en el punto no existe o es igual a infinito diremos que la discontinuidad es 
esencial. Dentro de las esenciales tenemos: 
 
✓ Primera especie: los límites laterales existen finitos (de salto finito) o alguno de ellos 
es infinito (de salto infinito) 
✓ Segunda especie: alguno de los límites laterales no existe. 
 
Ejemplo 2.38 
 
Discontinuidad de primera especie de salto finito puede ser la que presenta la función signo 
en x = 0: 
 
 
 
No existe la imagen de x = 0. Cuando calculamos el límite tenemos: 
 







−=
=

−
+−
=→ 1
21
2
2
23
)(/:
2
x
x
x
x
xx
xfRRg
x
x
xsgxfRRf ==→− )()(/}0{:
 por lo que el límite no existe. 
 
Entonces la discontinuidad es esencial y de salto finito (de dos unidades ya que es el módulo 
de la diferencia entre los dos límites laterales). Gráficamente: 
 
 
Figura 69. Gráfico ejemplo 2.38. 
 
En este caso no redefinimos la función ya que para cualquier valor que asignemos a x = 0 la 
función seguirá siendo discontinua en ese punto. 
 
Ejemplo 2.39 
 
Discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito puede ser cualquier función 
homográfica en el punto que tiene asíntota vertical: 
 
 
 
No existe f (1), a su vez: 
 
 
Gráficamente: 
 
 
1limlim
1limlim
00
00
==
−=
−
=
++
−−
→→
→→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
1
1
)(/}1{:
−
=→−
x
xfRRf
=
−→ 1
1
lim
1 xx
 
Figura 70. Gráfico ejemplo 2.39. 
 
Ejemplo 2.40 
 
Por último, una discontinuidad esencial de segunda especie puede ser la que tiene la función: 
en x = 0. En efecto: en ese punto no existe imagen ni 
ninguno de los límites laterales. Gráficamente: 
 
 
Figura 71. Gráfico ejemplo 2.40. 
 
Ejemplo 2.41 
 
Indicar para qué valores de x son discontinuas las siguientes funciones, mostrando en cada 
caso qué tipo de discontinuidad poseen. Cuando sea posible redefinirlas para que sean 
continuas. 
a) 






=→−
x
senxfRRf
1
)(/}0{:
65
4
)(
2
2
+−
−
=
xx
x
xf
b) 
c) 
d) 
 
a) Sea cuyo dominio es {2,3}fD R= − 
En x = 2 y x = 3 tenemos discontinuidades ya que esos puntos no tienen imagen (y son puntos 
de acumulación del dominio). Para clasificarlas tomamos límite: 
 
 
 
Por lo que x = 2 es una discontinuidad evitable. 
 
 
 
Por lo que x = 3 es una discontinuidad esencial de salto infinito. A su vez x = 3 es asíntota 
vertical de f. 
 
Redefinimos la función para que sea continua en x = 2. Lo podemos hacer de dos maneras: 
 
 (verificar que estas dos expresiones son iguales) 
 
Gráficamente (función redefinida): 
 
 






+
+
=
0
1
2
02
)(
xsi
x
xsix
xf





=

−
−
=
212
2
2
8
)(
3
xsi
x
x
x
xf





−
−
−
=
1
21
2)2ln(
)( 3
xx
xx
xx
xf
65
4
)(
2
2
+−
−
=
xx
x
xf
4
1
4
)3(
)2(
lim
)3)(2(
)2)(2(
lim
65
4
lim
222
2
2
−=
−
=
−
+
=
−−
+−
=
+−
−
→→→ x
x
xx
xx
xx
x
xxx
=
+−
−
→ 65
4
lim
2
2
3 xx
x
x
3
2
24
2
65
4
)( 2
2
−
+
=





=−

+−
−
=
x
x
x
x
xx
x
xf
 
Figura 72. Gráfico ejemplo 2.41 a) 
 
b) 
El dominio de esta función es { 1}fD R= − − 
En x = -1 existe una discontinuidad ya que dicho punto no tiene imagen. Para clasificarla 
hacemos: 
 
 
 
Por lo que es una discontinuidad esencial de salto infinito. También x = -1 es asíntota vertical. 
 
Otro punto que tenemos que estudiar es x = 0. Si bien este punto pertenece al dominio de la 
función, al ser una función definida por partes y cambiar la regla de asignación en x = 0 
tenemos que analizar el límite en este caso. Entonces: 
 
 
 
Deducimos que el límite existe, vale 2 y es igual a f(0), por lo que f es continua en x = 0. 
Gráficamente: 
 






+
+
=
0
1
2
02
)(
xsi
x
xsix
xf
=
+−→ 1
2
lim
1 xx
2)0(
2)2(lim)(lim
2
1
2
lim)(lim
00
00
=
=+=
=
+
=
++
−−
→→
→→
f
xxf
x
xf
xx
xx
 
Figura 73. Gráfico ejemplo 2.41.b) 
 
c) 
El dominio de esta función es el conjunto de números reales. Tenemos que estudiar la 
continuidad en el punto x = 2 ya que la regla de definición cambia en dicho punto. 
 
 
Como se cumple la definición de continuidad, f es continua en x = 2. Por lo tanto, esta función 
no tiene discontinuidades. Podemos observar que la función original es igual a 
2 2 4y x x= + + (probarlo), cuyo gráfico es una parábola. 
 
Figura 74. Ejemplo 2.41 c) 





=

−
−
=
212
2
2
8
)(
3
xsi
x
x
x
xf
12)2(
12)42(lim
2
)42)(2(
lim
2
8
lim 2
2
2
2
3
2
=
=++=
−
++−
=
−
−
→→→
f
xx
x
xxx
x
x
xxx
d) 
 
El dominio de f es R. Debemos estudiar en x = 2 y en x = -1. 
 
 
 
De esto deducimos que x = 2 es una discontinuidad esencial de salto infinito y que x = 2 hay 
es asíntota vertical del lado derecho.De aquí deducimos que en x = -1 existe una discontinuidad esencial de salto finito (de dos 
unidades). 
Gráficamente: 
 
 
Figura 75. Gráfico ejemplo 2.41 d) 
 
 
 





−
−
−
=
1
21
2)2ln(
)( 3
xx
xx
xx
xf
−=−=
==
=
++
−−
→→
→→
)2ln(lim)(lim
8lim)(lim
8)2(
22
3
22
xxf
xxf
f
xx
xx
1lim)(lim
1lim)(lim
1)1(
3
11
11
−==
==
=−
++
−−
−→−→
−→−→
xxf
xxf
f
xx
xx
Teoremas sobre funciones continuas 
 
Teorema del valor intermedio 
 
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], k un número real comprendido 
entre f(a) y f (b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que f(c) = k. 
 
No demostraremos el teorema, pero haremos la interpretación geométrica: 
 
 
Figura 76. Teorema del valor intermedio 
 
Si la función es continua en el intervalo cerrado [a, b], para cualquier valor intermedio que 
tomemos entre las imágenes de x = a y x = b (es decir entre f(a) y f(b)), al que llamamos k, 
existe al menos un punto x = c en el interior del intervalo tal que ( )f c k= . 
 
Teorema de Bolzano 
 
Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b], ( ). ( ) 0f a f b  (es decir las imágenes de los 
extremos del intervalo tienen distinto signo) entonces f tiene al menos una raíz en el intervalo 
(a, b). Esto es existe c en (a, b) tal que ( ) 0f c = 
 
 
Figura 77. Teorema de Bolzano. 
 
Pueden existir varias raíces en dicho intervalo, el teorema asegura la existencia de al menos 
una: 
 
 
Figura 78. Teorema de Bolzano (varias raíces). 
 
Ejemplo 2.42 
 
Demostrar que la ecuación ln( )
xx e− = tiene al menos una raíz en el intervalo (-2,-1). 
 
Hagamos el gráfico de las dos funciones para visualizar la situación planteada: 
 
 
Figura 79. Gráfico ejemplo 2.42. 
 
Para aplicar el teorema de Bolzano realizamos un pasaje de términos en la ecuación: 
 
ln( ) ln( ) 0x xx e x e− =  − − = 
 
Por lo que la función a la que aplicaremos dicho teorema es ( ) ln( )
xf x x e= − − 
Probemos que es continua en [-2,-1]: 
 
✓ 
✓ 
✓ 
 
También: 
 
( 2) 0 ( 1) 0f f−   −  
 
Luego por el teorema de Bolzano existe 
( 2, 1) / ( ) 0 ln( ) 0 ln( )c cc f c c e c e  − − =  − − =  − = con lo que queda demostrado. 
 
 
)2(2ln))(ln(lim 2
2
−=−=−− −
−→ +
feex x
x
( ) )()ln()ln(lim)1,2( afeaexa ax
ax
=−−=−−−−
→
)1(1ln))(ln(lim 1
1
−=−=−− −
−→ −
feex x
x