Tareas de Sttiwuer

Vista previa del material en texto

Física 2
Guía de ejercicios Nro. 1
Sistema de partículas
Semana de emisión: Semana 1
08/01/2018 al 12/01/2018
Objetivo instruccional e instrucciones
✓ El objetivo de esta guía es proporcional al estudiante de situaciones problemáticas académicas
referentes a los tópicos de sistema de partículas, donde se abordan los conceptos: cantidad de mo-
mento lineal, conservación de la cantidad de movimiento lineal, impulso lineal y aquellos conceptos
relacionados con el sistema centro de masa tanto para distribuciones discretas como continuas de
masa.
✓ Esta guía consta de dos parte: selección simple y desarrollo. En la parte de selección simple
debe seleccionar con una × la respuesta correcta y justificar sus selección, dentro de las opciones
hay una única respuesta, por lo que debe seleccionar una sola opción. En la parte desarrollo
se presentan varios planteamientos donde cada solución debe ser desarrollada detalladamente,
empleando alguna de las técnicas vistas en clase o la que usted considere pertinente.
✓ Estas guía contiene 42 preguntas
Parte i: Selección simple justificada
1. Indique cuál de las siguientes afirmaciones en correcta:
A. El momento lineal de una partícula es antiparalela a su velocidad;
B. Las dimensiones para el momento lineal es Kgm
s
, en el sistema internacional;
C. La masa de una partícula con velocidad ~v y momento lineal ~p es m = ~p
~v
;
D. El momento lineal de un sistema de partículas es independiente del observador o marco de
referencia que se elija;
E. Cuando la suma de todas las fuerzas externas al sistema se anulan entonces el momento lineal
del sistema se conserva.
2. La fuerza externa sobre un sistema de partículas viene dada por F0(3ı̂ − 4̂), donde F0 es una
constante positiva con dimensiones de fuerza. La dirección en la que se conserva el momento viene
definida por el versor:
A. 3
5
ı̂ − 4
5
̂;
B. 3
5
ı̂ − 4
5
̂;
C. 4
5
ı̂ − 3
5
̂;
D. 4
5
ı̂ + 3
5
̂;
E. Ninguna de las anteriores.
El momento no se conser-
va.
Sección: 9 y 10 Página 1 de 14.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
3. El momento lineal de un cierto sistema mecánico es conservado, cuál de los siguientes momentos
lineales puede ser asociado al sistema:
A. ~p1(t) = 3 Kg
m
s
cos2(2 s−1t)̂ı;
B. ~p2(t) = 1,5 Kg
m
s
cos(4 s−1t)̂ı;
C. ~p1(t) + ~p2(t);
D. ~p1(t) − ~p2(t);
E. Ninguna de las
anteriores.
4. En un sistema de partículas se tienen dos fuerzas externas constantes, cuyas intensidades son 3 N
y 4 N, y están dirigidas al Norte y Oeste, respectivamente. Calcule la intensidad del impulso lineal
transferido al sistema durante dos segundos de su evolución:
A. 3 Ns;
B. 5 Ns;
C. 6 Ns;
D. 8 Ns;
E. 10 Ns.
5. La velocidad del centro de masa de un sistema viene dada por ~VCM = (3ı̂ − 2̂) ms . Si el sistema
presenta una cantidad de movimiento lineal dada por ~P = (9
2
ı̂ − 3̂) Kgm
s
. La masa de todas las
partículas presentes en el sistema es:
A. 1, 0 Kg;
B. 1, 5 Kg;
C. 2, 0 Kg;
D. 2, 5 Kg;
E. Ninguna, el momento
~p no es paralelo a ~v.
6. Un observador A se mueve respecto a otro observador B con una rapidez de 2
√
3 m
s
, en dirección
de 30◦ al Sur del Oeste. Si el centro de masa de un sistema se mueve hacia el Este con una rapidez
de 3 m
s
, medido por el observador B. La intensidad y dirección del momento lineal del sistema, de
masa 2 Kg, medida por el observado A, vienen dada respectivamente por:
A.
√
3 N · s, y dirigida al Sur;
B. 2
√
3 N · s, y dirigida al Norte;
C.
√
3 N · s, y dirigida al Norte;
D. 2
√
3 N · s, y dirigida al Sur;
E. 2
√
3 N · s, y dirigida al Oeste.
Página 2 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
7. Una piedra de masa 1,5 Kg se le ha transferido un impulso de 4̂ Ns bajo a acción combinada de su
peso y una fuerza constante ~F0, durante 0, 5 s. El valor medio de la fuerza aplicada ~F0 es:
A. 23̂ N;
B. −7̂ N;
C. 8̂ N;
D. −15̂ N;
E. Ninguna de las anteriores.
X
Y
m0
~v1
2m0
~v2
3m0~v3
Planteamiento A: Tres partículas de masas m0, 2m0 y 3m0 se mueven
en el plano cartesiano rectangular XY , con sendas velocidades ~v1, ~v2 y
~v3, para el momento indicado en la figura adjunta, y sujetas a las fuerzas
~F1 = F0ı̂, ~F2 = F0̂ y ~F3 = F0(̂ı − ̂). Cada partícula se encuentra
ubicada en las coordenadas cartesianas (0, b), (2b, 0) y (2b, 2b), siendo
b una constante positiva con dimensiones de longitud. La rapidez que
presenta cada partícula de la figura vienen dadas por: |~v1| = |~v2| = v0 y
|~v3| =
√
2v0. Sobre la base de este planteamiento responda las siguientes dos preguntas:
8. El momento lineal del sistema formados por las tres partículas, medido por un observador ubicado
en el origen del sistema de coordenadas, viene dado por:
A. −m0v0(2ı̂ + ̂);
B. −m0v0(̂ı + ̂);
C. −m0v0(4ı̂ + 5̂);
D. +m0v0(2ı̂ + ̂);
E. Ninguna de las anteriores.
9. El momento lineal del sistema formados por las tres partículas, medido por un observador ubicado
sobre la partícula de masa 3m0, viene dado por:
A. +m0v0(̂ı − 2̂);
B. −m0v0(4ı̂ + 5̂);
C. −m0v0(8ı̂ + 7̂);
D. +m0v0(4ı̂ + 5̂);
E. Ninguna de las anteriores.
10. La coordenadas cartesiana de la posición del centro de masa del sistema viene dada por:
A.
(
7
6
b, 5
3
b
)
;
B.
(
5
3
b, b
)
;
C.
(
5
3
b, 7
6
b
)
;
D.
(
1
6
b, 1
6
b
)
;
E. Ninguna de las anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 3 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
11. La aceleración del centro de masa del sistema viene dada por:
A. 1
3
F0(̂ı + ̂);
B. 1
3
F0ı̂;
C. 1
3
F0̂;
D. 1
6
F0(̂ı + ̂);
E. Ninguna de las anteriores.
12. Tres barras idénticas de longitud ℓ y de masa M distribuida uniformemente están soldadas de
manera que forman un triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura adjunta. ¿A qué
distancia por debajo del punto P , indicando en la figura, se encuentra el centro de masa?
P
π
3
ℓ
ℓ
ℓ
A.
√
3
4
ℓ;
B. 1
2
ℓ;
C.
√
3
6
ℓ;
D. 1
4
ℓ;
E. Ninguna de las anteriores.
13. Una barra, en forma de L, tiene masa M distribuida uniformemente. El extremo más largo de la
barra es el doble de longitud que el extremo más corto, siendo la longitud del extremo largo es 4R,
tal como se muestra en la figura. El centro de masa de la barra está ubicado en:
X
YA. Rı̂ + 2R̂;
B. 4R
3
ı̂ + R
3
̂;
C. R
3
ı̂ + 2R
3
̂;
D. R
3
ı̂ + 4R
3
̂;
E. Ninguna de las anteriores.
14. Un disco de radio 2R tiene un orificio de radio R a la izquierda del centro del disco, tal como se
muestra en la figura. Si el sistema mostrado tiene masa M distribuida uniformemente, la masa
necesaria para rellenar el orificio es:
2RR
A. 4M
3
;
B. M
3
;
C. M
2
;
D. M ;
E. Ninguna de las anteriores.
Página 4 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
15. En base al planteamiento anterior, se puede establecer que el centro de masa para el disco está
ubicado a una distancia del centro del disco es:
A. R
2
;
B. R
3
;
C. R
4
;
D. En el centro del disco;
E. Ninguna de las anteriores.
16. Se lanza desde el suelo un proyectil de masa m = 2 kg con una rapidez de v0 = 4
√
3 m
s
y un ángulo
de elevación de 30◦. Cuando éste llega a su altura máxima explota en dos fragmentos de masa m/4
y 3m/4. En dicho instante el fragmento más masivo sale expelido horizontalmente con una rapidez
igual a 8
3
m
s
, en la misma dirección al lanzamiento inicial. La velocidad del fragmento menos masivo
es:
A. ~0 m
s
;
B. 16 ı̂ m
s
;
C. 8 ı̂ m
s
;
D. −2
√
3 ı̂ m
s
;
E. Ninguna de las anteriores.
17. (2 puntos) Dos esferas de masa 3m y m se encuentran unidas por una barra ligera en forma vertical,
tal como se indica en la figura. De pronto, la barra comienza a girar hasta quetoma una disposición
completamente horizontal, de manera que la esfera de menor masa está a la izquierda de la esfera
de mayor masa. Si la barra presenta longitud ℓ los desplazamientos horizontales de las esfera con
masa m y 3m vienen dados respectivamente por:
A. ℓ
4
ı̂ y 3ℓ
4
ı̂;
B. 3ℓ
4
ı̂ y ℓ
4
ı̂;
C. − ℓ
4
ı̂ y 3ℓ
4
ı̂;
D. 3ℓ
4
ı̂ y − ℓ
4
ı̂;
E. Ninguna de las anteriores.
ℓ
3m
m
m m mPlanteamiento B: Tres personas, de masa m, están en el ex-
tremo de una plataforma de masas M . El sistema se encuentra
inicialmente en reposo, y la plataforma está ubicada sobre unos
rieles sin fricción. Al cabo de un cierto tiempo los hombre saltan
desde un extremo de la plataforma con velocidad ~u, respecto a
tierra. Sobre la base de este planteamiento responda las siguientes
tres preguntas:
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 5 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
18. Si los tres hombres saltan simultáneamente la velocidad de la plataforma viene dada por:
A. 3m
M+3m
~u;
B. 3m
M
~u;
C. −3m
M
~u;
D. − 3m
M+3m
~u;
E. Ninguna de los anteriores.
19. Si dos de los hombres saltan uno detrás del otro, quedando uno de ellos en la plataforma, la veloci-
dad de ésta después de que han saltado es:
A. − 2m
M+m
~u;
B. − m
M+2m
~u;
C. −3m
M
~u;
D. − m
M+3m
~u;
E. Ninguna de las anteriores.
20. Si uno de los hombres salta con velocidad ~u, relativa a la plataforma, la velocidad de ésta después
de que ha saltado uno de ellos mientras que los otros permanecen en la plataforma es:
A. − m
M+2m
~u;
B. −3m
M
~u;
C. − m
M+3m
~u;
D. − 2m
M+m
~u;
E. Ninguna de las anteriores.
Fig. I
m
M
2R
R
Fig. II
m
M
2R
R
Planteamiento C: Un cilindro sólido de
radio R y masa M está situado dentro de
un tubo cilíndrico de masa m y radio 2R.
El sistema se suelta desde el reposo sobre
una mesa horizontal, de acuerdo a la con-
figuración mostrada en la Fig. I. El sistema
comienza a oscilar y al cabo de un cierto
tiempo se detiene, de manera que el cilin-
dro sólido se encuentra en el fondo del cilindro hueco, tal como se muestra en la configuración de la
Fig. II. Considere que no hay fricción entre el cilindro hueco y la superficie horizontal, pero si entre el
cilindro sólido y el hueco. Sobre la base de este planteamiento responda las siguientes tres preguntas:
21. Complete el cuadro de interacción y adicionalmente indique las fuerzas internas y externas al sistema
formado por S = {M,m}:
A \ E m M Tierra
m
M
Tierra
~FInternas = { , , , , }
~FExternas = { , , , , }
Página 6 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
22. El desplazamiento del cilindro sólido respecto al cilindro hueco (△~rM/m) desde la configuración de
la Fig. I hasta la configuración de la Fig. II viene dado por:
A. −R
2
ı̂;
B. +R
2
ı̂;
C. − m
M+m
Rı̂;
D. −m
M
Rı̂;
E. Ninguna de las anteriores.
23. El desplazamiento del cilindro hueco después que se ha alcanzado la configuración de la Fig. II es:
A. −R
2
ı̂;
B. R
2
ı̂;
C. R(̂ı − ̂);
D. R(−ı̂ + ̂);
E. Ninguna de las anteriores.
m
~v0
h Plataforma
M
ℓ
Planteamiento D: Un bloque de masa m
se mueve con una rapidez v0 hacia una
plataforma, de masa M = 2m y altura
h (desconocida), que se encuentra inicial-
mente en reposo. El bloque y la plataforma
se encuentran sobre una superficie horizon-
tal lisa, tal como se indica en la figura ad-
junta. El bloque adquiere una velocidad, respecto a la plataforma, que es la mitad de la velocidad
de ingreso cuando ha alcanzado la altura h de la plataforma. Luego el bloque llega al extremo de la
plataforma y queda detenido, respecto a la plataforma, debido a una región con roce de longitud ℓ
(desconocida) sobre la plataforma. El coeficiente de fricción dinámico entre la plataforma y el bloque
es µ Sobre la base de este planteamiento responda las siguientes tres preguntas:
24. La velocidad de la plataforma cuando el bloque ha ascendido una altura h, antes de que se detenga
en el extremo final de la plataforma, es:
A. 1
6
~v0;
B. 1
4
~v0;
C. 1
3
~v0;
D. 1
2
~v0;
E. Ninguna de las anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 7 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
25. La altura de la plataforma viene dada por:
A.
3v2
0
8g
;
B.
v2
0
4g
;
C.
5v2
0
16g
;
D.
5v2
0
18g
;
E. Ninguna de las anteriores.
26. La longitud ℓ de la zona de roce viene dada por:
A.
5v2
0
32µg
;
B.
3v2
0
32µg
;
C.
5v2
0
24µg
;
D.
17v2
0
72µg
;
E. Ninguna de las anteriores.
m1
m2
d
Planteamiento E Un bloque de masa m1 se encuen-
tra atado a una cuerda ideal (inextensible y de masa
despreciable), la cuerda pasa a su vez por dos poleas
idénticas, de radio R y masa despreciables. La polea 1
está ubicada en el suelo, mientras que la polea 2 se en-
cuentra sujetada al techo, tal como se indica en la figura
adjunta, la distancia de separación entre los centros de
cada polea es d. Las cuerdas no deslizan respecto a cada
polea. En el extremo opuesto de la cuerda se encuentra
sujeto otro bloque de masa m2, el cual desciende desde
su altura inicial, ubicada a la misma altura del centro de la polea 2. Entre el bloque de masa m1 y
la superficie horizontal hay fricción, siendo el coeficiente de fricción dinámica µ. Sobre la base de este
planteamiento responda las siguientes tres preguntas:
27. Complete el cuadro de interacciones presentado abajo. Para ello considere que: ~T1 y ~T2 son las
tensiones ejercidas por la cuerda a cada bloque; ~N y ~frd el la normal y la fuerza de roce dinámica
que actúa sobre el bloque m1 debido al contacto y movimiento relativo entre la superficie horizontal
con dicho bloque; m1~g y m2~g las fuerzas gravitacionales sobre los bloques; ~Np1 y ~Np2 las fuerza
que sujetan a las poleas, manteniéndolas en reposo de traslación; ~fre1 y ~fre2 son las fuerza de roce
estático que impiden deslizamiento de la cuerda sobre la polea; finalmente, ~Ncp1 y ~Ncp2 son las
fuerzas debido al contacto de la cuerda con la polea. Use esta simbología para completar la tabla.
Página 8 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
A \ E m1 m2 cuerda Polea 1 Polea 2 Tierra
m1 ×
m2 ×
cuerda ×
Polea 1 ×
Polea 2 ×
Tierra ×
28. Considerando el sistema S = {m1,m2, polea 1}, cuales de las siguientes clasificaciones es correcta:
A. ~Fexternas = {m1~g,m2~g} y ~Finternas = {~T1, ~T2, ~N1, ~N2};
B. ~Fexternas = {~T1, ~T2, ~N1, ~N2,m1~g,m2~g} y~Finternas = { ~Ncp1, ~fre1};
C. ~Fexternas = {ninguna de las fuerzas} y ~Finternas = {todas las fuerzas};
D. ~Fexternas = {todas las fuerzas} y ~Finternas = {ninguna de las fuerzas};
E. Ninguna de las anteriores.
29. Suponiendo que los bloques partieron del reposo. La rapidez del bloque m2 cuando éste alcanza la
misma altura que el centro de la polea 1 es:
A.
√
2(m1−µm2)gh
m1+m2
;
B.
√
2(m2−µm1)gh
m1+m2
;
C.
√
2m1gh
m1+m2
;
D.
√
2m2gh
m1+m2
;
E. Ninguna de las anteriores.
30. Haciendo uso del valance energético entre potencia y el cambio de energía mecánica (esto es, P = Ė),
la expresión para la tensión en la cuerda es:
A. m1m2
m1+m2
g;
B. 2 m1m2
m1+m2
µg;
C. m1m2
m1+m2
(1 + µ)g;
D. 2 m1m2
m1+m2
g;
E. Ninguna de las anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 9 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
Respuesta de la parte de selección simple
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuesta E D D B C A B A D C B D C C C A E C A D
Pregunta 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Respuesta − C C A B C − B B C
Parte ii: Desarrollo.
µ
L
m
~v0
m
~vf
~A
1. Un bloque de masa m = 2 kg se encuentrasobre una platafor-
ma muy larga, sobre ésta hay una zona de roce de longitud
L = 1, 3 m, el coeficiente de roce dinámico entre el bloque
de la plataforma es µ = 0, 5. El bloque ingresa a la zona de
roce con una rapidez v0 = 7
m
s
, respecto a la plataforma, en el mismo instante en que la plataforma se
encuentra en reposo. La plataforma se acelera en dirección contraria al movimiento del bloque sobre
la plataforma, con una aceleración de intensidad A = 10 m
s2
.
(a) Encuentre el momento lineal del bloque, respecto a la plataforma, justo en el instante en que
abandona la zona de roce.
(b) Determine el impulso transferido al bloque, adicionalmente indique las interacciones o interac-
ción que realizan esta transferencia.
(c) Calcule el tiempo que tarda el bloque en pasar por la zona de roce.
(d) Determine el impulso transferido al bloque, haciendo uso de la fuerzas aplicada sobre el bloque
y el tiempo que tarda el bloque en pasar por la zona de roce.
2. Sobre el techo de un ascensor de altura H = 2 m cuelga una lámpara de masa m = 3 Kg. El ascensor
se acelera a partir del reposo con una aceleración de ~A = 2̂ m
s2
, respecto a tierra (T ). Tres segundos
después de iniciado el movimiento del ascensor la lámpara se desprende del techo, en base a esta
información responda las siguientes preguntas:
~A
H
~RA/T =
1
2
~At2
~A
H
(a) Calcule el momento lineal de la lámpara al momento de
caer al suelo, visto por un observador dentro del ascensor.
(b) Qué momento lineal mediría un observador ubicado
afuera del ascensor, bajo la misma situación de la pregunta
anterior.
Use el modelo de partícula para suponer que el centro de
masa de la lámpara desciende una altura H respecto al
ascensor.
3. Desde una plataforma (P) en movimiento, con velocidad constante ~VP/T = 2ı̂
m
s
medida desde tierra
(T), una persona lanza una esfera (E) verticalmente hacia arriba con una velocidad de ~VP/E = 2
m
s
y desde una altura de h = 2 m; tal como se indica en la figura de abajo. Si la esfera posee masa
m = 30 g calcule el momento lineal de la esfera en su altura máxima y a la mitad de esta, respecto
a un observador en tierra y a un observador sobre la plataforma. Todas las alturas son medidas
respecto a la superficie de la plataforma y no respecto a la superficie de la tierra.
Página 10 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
~VP/P = ~0
~VE/P
Vista desde un observador en la plataforma
~g
~VP/T
~VE/T
Vista desde un observador en tierra
~g
4. Un bloque de masa m se encuentra sobre una cuña de masa M y ángulo de inclinación θ, tal como
se indica en la figura adjunta. La cuña se acelera por la acción de una fuerza horizontal ~F , cuya
intensidad viene dada por n(M + m)g tan θ, siendo n un número real no nulo y g la intensidad
del campo gravitacional terrestre. Debido a la acción del campo gravitacional el bloque desciende,
desde el reposo y a partir de una altura h, hasta alcanzar la base de la cuña. Considere que ninguna
de las superficies presenta roce e inicialmente (t = t0) ambos bloques se encuentran en reposo.
M
~VM/T (t0) = ~0
θ
~F
m
~Vm/M(t0) = ~0
h
M
~VM/T (tf )
θ
~F
m
m
~Vm/M(tf )
h
En base a esta información responda las siguientes preguntas:
(a) El momento lineal de cuña, respecto a tierra (T ), cuando el bloque se encuentra en la base de
la cuña.
(b) El momento lineal del bloque, respecto a la cuña, cuando ha descendido la altura h.
(c) El tiempo que tarda el bloque en descender la altura h.
(d) El impulso suministrado al bloque debido a la superficie de la cuña. ¿Explique por qué este
impulso no coincide con el cambio de momento lineal del bloque?
5. Para cada una de las configuraciones dibujadas abajo, construya el cuadro de interacciones e in-
dique las fuerzas internas y externas para el sistema S definido según se indica arriba de cada
configuración. Adicionalmente, indique si se conserva el momento lineal o no.
S = {M,m,polea}
θ
M
m
~F
~g
Tierra
S = {M,m, tierra}
M
θ
~F
m
Tierra
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 11 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
~ra
~rb
~R
O
A
C
B
6. Sean ~ra y ~rb las posiciones de los puntos A y B, respectiva-
mente, ambos vectores están medidos respecto a un origen
común O, como se observa en la figura adjunta. Un punto
C divide al segmento AB en una razón de a : b, en otras
palabras, los valores de a y b corresponden a las longitudes
de los segmentos AC y CB, respectivamente, tal como se
indica en la figura adjunta.
(a) Encuentre una expresión para el vector posición ~R que ubica al punto C respecto al origen O
en términos de a, b, ~ra y ~rb.
(b) Qué condición debe cumplir la razón a : b para que el vector ~R coincida con el centro de masa
de ambas partículas.
7. En las figuras indicada abajo se tienen partículas fijas de masa indicada, unidas por barras de masas
despreciable, cuyas longitudes se indican en dichas figura. Suponga que m0 y b son cantidades dadas.
Obtenga para cada una de las figuras la posición del centro de masa respecto al origen de cada
sistema de coordenada.
Figura 1
X
Y
2m0
m0 m0
2b 2b
b
Figura 2
X
Y
m0
m0
m0
m0
b b
b b
Figura 3
X
Y
m0 m0
m0m0
b
b
8. Para las figuras indicadas abajo se presentan un conjunto de masas inmóviles en el espacio tridiman-
cional. Las masas está unidas por barras de igual longitud y de masas despreciables, las longitudes
de cada barra se indica según se indica en la figura. Suponga que m0 y b son cantidades dadas.
Obtenga el centro de masa de cada sistema dividiendo, en forma apropiada, al mismo en subsis-
temas.
Figura 1
4m0
m0
m0
m0
m0
b
b
b
30
o
Figura 2
m0 m0
m0 m0
m0
m0m0
m0
b
b
b30
o
9. Una partícula de masa m0 es lanzada formando un ángulo de π/6 respecto a la horizontal con una
rapidez v0, en presencia del campo gravitacional terrestre ~g = −g̂. Simultáneamente, y en el mismo
lugar de lanzamiento de la partícula, se lanza horizontalmente otra partícula con una rapidez que
es igual al doble la primera partícula.
(a) Encuentre la posición del centro de masa, como función del tiempo, para el intervalo de tiempo
en que la primera partícula dura en el aire.
Página 12 de 14 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
(b) Determine la posición del centro de masa cuando la primera partícula se encuentra en su altura
máxima.
10. Dos partículas de masa m1 = 6 Kg y m2 = 4 Kg se encuentran inicialmente (t = 0 s) en las posiciones
indicadas en la figura de abajo, sobre las cueles actúan las fuerzas ~F1 = 80ı̂ N y ~F2 = 160̂ N, respec-
tivamente. Dichas fuerzas son debidas a la interacción entre sendas guías metálicas que mantienen
constreñidas a las masas, obligándolas a moverse de manera vertical y horizontal, respectivamente.
A su vez, las partículas están unidas a una barra liviana de longitud ℓ = 5 m. Encuentre la posición
del centro de masa en t = 0 s y para t = 0, 5 s, en ausencia de fuerza gravitacional. ¿Cómo cambia
el resultado en presencia del campo gravitacional?
~F1
~F2
m1
m2
ℓ
11. Un bloque de masa m = 1 Kg está colocado sobre la superficie inclinada de una cuña de masa
M = 4m. La base y altura de la cuña son L = 5 m y h = L/5, respectivamente. Suponga que
no hay fricción entres todas las superficies involucradas. Si el bloque se suelta desde el reposo
¿Qué distancia d se ha movido la cuña cuando el bloque alcanza la parte inferior de la superficie
inclinada? ¿Cuál será la velocidad de la cuña y del bloque, cuando éste alcanza la parte inferior de
la superficie inclinada? ¿Cómo cambia el resultado al colocar fricción entre el bloque y la superficie
de la cuña? ¿Calcule nuevamente la distancia d suponiendo que sólo hay roce entre la cuña y la
superficie horizontal, siendoµ el coeficiente de roce?
Ld
H
M
Ld
H
M
M
12. Se lanza desde el nivel del suelo un proyectil de masa M = 3 Kg con un ángulo de inclinación de
θ = π/4. Al llegar a su altura máxima este se fragmenta en dos partes de masas m1 = M/3 y
m2 = 2M/3, por algún mecanismo interno. El fragmento mas pesado cae verticalmente a partir del
reposo mientras que el otro fragmento sale expelido con una cierta velocidad. (a) Calcule donde cae
el fragmento más liviano y con qué velocidad sale expelido al momento de fragmentarse el proyectil.
13. Un bloque A de masa mA = 1 Kg está atado a una cuerda ideal de longitud ℓ = 80 cm, encontrándose
otro bloque B de masa mB = 3mA atado al extremo opuesto de la cuerda. Entre ambos bloques
se encuentra un resorte de constante elástica desconocida y longitud natural ℓ0 = 20 cm, el cual se
encuentra comprimido tal como se indica en la figura de abajo (izquierda). Al cabo de cierto tiempo,
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 13 de 14
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
Sistema de partículas
Física 2
FS-1112
el cable se revienta mediante algún dispositivo y el resorte cae al suelo después de extenderse. Si el
bloque B adquiere una rapidez de vB = 2
m
s
y despreciando la fricción entre la superficie horizontal y
la de los bloques, encuentre: (a) la velocidad del bloque A; (b) la energía potencial que se almacenó
en el resorte comprimido; (c) La constante elástica del resorte.
mA mB
ℓ0
mA mB
ℓ ~vB~vA
14. Un bloque de masa m1 = 1 kg se mueve a la derecha con una rapidez de v1 = 10
m
s
sobre una
superficie sin fricción. En la dirección del movimiento del bloque de masa m1 se encuentra un
dispositivo compuesto por un resorte de constante elástica k = 560 N
m
de longitud natural ℓ0 = 1 m
y un bloque de masa m2 = 2, 5 Kg atado al resorte, tal como se muestra en la figura de abajo. El
dispositivo se mueve a la derecha con una rapidez de v2 = 3
m
s
. Encuentre la velocidad del centro de
masa del sistema para el instante en que el resorte a alcanzado su máxima compresión, ¿coinciden
esta velocidad con su valor inicial? (Explique) ¿Cuál es la velocidad de los bloques al momento de
la compresión máxima del resorte? ¿Cuál será la máxima compresión del resorte?
mA mB
ℓmáx
~v ~v
m1 m2
ℓ0
~v2~v1
Página 14 de 14 Fin de la tarea Nro. 1 Prof. Sttiwuer D.
Física 2
Guía de ejercicios Nro. 1
Cinemática rotacional
Semana de emisión: Semana 1
18/09/2017 al 22/09/2017
Objetivo instruccional e instrucciones
✓ El objetivo de esta guía es evaluar la cinemática rotacional de los cuerpos rígidos en el plano,
específicamente los conceptos relacionados con: Velocidad angular, aceleración angular, centro
instantáneo de rotación, condición de rodadura, condición de contacto.
✓ Esta guía consta de dos parte: selección simple y desarrollo. En la parte de selección simple
debe seleccionar con una × la respuesta correcta y justificar sus selección, dentro de las opciones
hay una única respuesta, por lo que debe seleccionar una sola opción. En la parte desarrollo se
presentan un conjunto de planteamientos cuyas preguntas deben ser desarrolladas detalladamente,
empleando alguna de las técnicas vistas en clase o la que usted considere pertinente.
✓ Estas guía contiene 14 preguntas
Parte i: Selección simple justificada
~ω ⊗
R
~VCA
B
C
D
P
ı̂
̂
k̂
Planteamiento A: Un cilindro de radio R (desconocido), gira
con una velocidad angular constante de ~ω = −2k̂ rad
s
sobre una
plataforma horizontal, tal como se indica en la figura adjunta.
Adicionalmente, el centro de masa del cilindro se traslada con una
velocidad constante ~VC = 4ı̂
m
s
. Suponga que el segmento de recta
CD forma un ángulo de π/6 respecto al vector ~VC . Sobre la base
de este planteamiento responda las siguientes preguntas:
1. Si el cilindro rueda sin deslizar, el radio del cilindro es:
( ) 2 m
( ) 4 m
( ) 1 m
( ) 3 m
( ) Otro valor: .
2. Si el radio del cilindro es R = 3 m, la rapidez del punto P es:
( ) cero;
( ) 4ı̂ m
s
;
( ) −2ı̂ m
s
;
( ) +2ı̂ m
s
;
( ) Otro valor: .
Sección: 9 y 10 Página 1 de 5.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
C inemática rotacional
Física 2
FS-1112
3. La rapidez del punto B cuando la rueda tiene un radio de R = 2 m es:
( ) 4ı̂ m
s
;
( ) 8ı̂ m
s
;
( ) 2ı̂ m
s
;
( ) cero;
( ) Otro valor: .
4. Si el radio del cilindro es 3 m la rapidez en el punto A es:
( ) 2
√
2 m
s
;
( ) 4 m
s
;
( ) 6 m
s
;
( ) 2
√
13 m
s
;
( ) Otro valor: .
5. La velocidad del punto D cuando el radio del cilindro es 2 m viene dada por:
( ) (2ı̂ −
√
3̂) m
s
;
( ) (6ı̂ − 2
√
3̂) m
s
;
( ) (
√
3ı̂ − 2̂) m
s
;
( ) (2
√
3ı̂ − 6̂) m
s
;
( ) Otro valor: .
~ω ℓ
C
θ
Planteamiento B: El mecanismo mostrado en la figura adjunta consta
de un disco de radio R y masa M al cual se le sujeta en su centro una
barra ligera de longitud ℓ por uno de sus extremos. La barra a su vez
tiene una corredera o collarín en el otro extremos, permitiéndole a dicho
extremo de la barra el movimiento vertical, tal como se muestra en la
figura adjunta. Considere que el disco rota sin deslizar con una velocidad
angular ~ω sobre una superficie horizontal. Con base a este planteamiento
responda las siguientes preguntas:
6. La velocidad del centro de masa del disco para el momento mostrado en la figura es:
( ) ωℓ cos θı̂;
( ) −ωℓ cos θı̂;
( ) −ωRı̂;
( ) ωRı̂;
( ) Otro valor: .
Página 2 de 5 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
C inemática rotacional
Física 2
FS-1112
7. La velocidad angular de la barra para el momento mostrado en la figura viene dada por:
( ) (ωR/ℓ cos θ)k̂;
( ) (−ωR/ℓ cos θ)k̂;
( ) −ωk̂;
( ) ωk̂;
( ) Otro valor: .
8. La rapidez de la corredera para el momento mostrado en la figura viene dada por:
( ) ωℓ sen θ;
( ) ωR tan θ;
( ) ωR cos θ;
( ) ωℓ tan θ;
( ) Otro valor: .
9. En la figura de abajo se muestra un sistema de poleas cuyos centros están fijos. La polea de radio
3R permite la tracción de un bloque de masa m por medio de una cuerda ligera. La polea de radio
2R está unida a la polea de mayor radio y a su vez se encuentra acoplada a otra polea, de radio R,
a través de una cinta elástica, la cual no desliza respecto a ambas poleas. La polea de menor radio
gira debido a que se encuentra conectada por contacto a una tabla que se mueve con una velocidad
~v0 según lo indicado en la figura. La velocidad del bloque y la velocidad angular de la polea de radio
2R vienen dadas respectivamente por:
3R
2R
R
m
~v0
⊗
ı̂
̂
k̂
( ) +3
2
~v0 y +
v0
2R
k̂;
( ) −3
2
~v0 y − v02R k̂;
( ) +3
2
~v0 y − v02R k̂;
( ) −3
2
~v0 y +
v0
2R
k̂;
( ) Otro valor: .
Planteamiento C: Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal, su centro se
encuentra articulado con el extremo de una barra de longitud ℓ, el extremo opuesto de la barra puede
deslizar sobre un plano inclinado. El plano forma un ángulo θ respecto a la horizontal, tal como se
muestra en la figura adjunta. El extremo no articulado de la barra asciende por el plano inclinado con
una rapidez v0 constante.
ℓ
~v0
θ
R
ı̂
̂
k̂
~ωDisco
~ωbarra
En base a este planteamiento y para el momento mostrado en la figura responda las siguientes preguntas:
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 3 de 5
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
C inemática rotacional
Física 2
FS-1112
10. La velocidad del centro del disco viene dada por la siguiente expresión:
( ) −v0 sen θı̂ + v0 cos θ̂;
( ) −v0 cos θı̂ + v0 sen θ̂;
( ) −v0 sen θı̂;
( ) −v0 cos θı̂;
( ) Otro valor: .
11. La velocidad angular de la barra y el disco vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expre-
siones:
( ) − v0
ℓ cot θ
k̂ y v0 sen θ
R
k̂;
( ) −v0 cos θ
R
k̂ y v0
ℓ tan θ
k̂;
( ) − v0
ℓ tan θ
k̂ y v0 cos θ
R
k̂;
( ) −v0 sen θ
R
k̂ y v0
ℓ cot θ
k̂;
( ) Otro valor: .
Página 4 de 5 Continúeen la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 1.
C inemática rotacional
Física 2
FS-1112
Parte ii: Desarrollo.
C
M , ℓ
B
A
θı̂
̂
k̂
1. Una barra de longitud ℓ puede girar en torno a un pivote A, de
forma que la barra se encuentra en descenso. Para el momento
indicado en la figura adjunta el punto B tiene rapidez v0 y la
barra forma un ángulo θ respecto a la vertical. Sobre la base de
este planteamiento responda la siguientes preguntas: (a) Encuentre
la velocidad angular de la barra para el momento indicado en la
figura. Indique cuanto vale θ̇. (b) Calcule la aceleración angular de
la barra. (c) Calcule la velocidad del punto C, ubicado a la mitad
de la barra. Exprese su resultado en la base canónica {ı̂, ̂, k̂}.
θ ℓ
O
A
B
P
z
s
~v0
2. Una escalera AB de longitud ℓ descansa sobre una pared
vertical OA, tal como se muestra en la figura. El pie B
de la escalera se hala hacia la derecha con rapidez cons-
tante v0, de forma que el punto A nunca se despega de la
pared. Suponga que inicialmente la escalera se encuentra
en posición vertical, de manera que la coordenada horizon-
tal inicial del pie B es z0 = 0 m y la coordenada vertical
del punto A es ℓ. Considere un punto P sobre la escalera
ubicado a una longitud s (fija) medida desde el pie B de la
escalera. Las coordenadas cartesianas del punto P respec-
to al origen O son (x, y). El objetivo del problema es describir el movimiento de cada punto de la
escalera, de forma que al final de cada cálculo el parámetro s puede tomar cualquier valor sobre los
puntos de la escalera. En base a este planteamiento responda las siguientes preguntas.
(a) Obtenga el vector velocidad angular de la escalera en términos del ángulo θ.
(b) Exprese la rapidez angular de la barra en términos de la coordenada z, en lugar de la coordenada
angular θ.
(c) Determine la aceleración angular de la escalera en función de la coordenada z.
(d) Encuentre el vector velocidad del punto P en términos de la coordenada angular θ y el
parámetro s, exprese el resultado usando la base canónica {ı̂, ̂, k̂}.
O
~v0
h
θ
A
P
3. La barra ranurada OA rota alrededor de un eje perpen-
dicular al plano de la figura y que pasa por el punto
O. El perno P se encuentra soldado a un bloque y es
obligado a moverse dentro de la ranura practicada a
la barra. El bloque se mueve a lo largo de una guía
horizontal con una rapidez constante v0, según la la
orientación indicada en la figura, mientras que la ori-
entación de la velocidad se determina bajo la condición
de que el movimiento del bloque es acelerado. Suponga
que la altura entre la articulación de la barra y la altura de la corredera es h (ver figura). En base
a este planteamiento determine: (a) Encuentre una expresión para θ̇ en función de v0, h y θ; (b)
La velocidad del punto P de la barra ranurada. (c) La velocidad del punto P de la barra ranurada
respecto al bloque.
Prof. Sttiwuer D. Fin de la tarea Nro. 1 Página 5 de 5
Física 2
Guía de ejercicios Nro. 4
Estática, equilibrio y reposo
Semana de emisión: Semana 5
16/10/2017 al 20/10/2017
Objetivo instruccional e instrucciones
✓ El objetivo de esta guía es evaluar la cinemática rotacional de los cuerpos rígidos en el plano,
específicamente los conceptos relacionados con: Estática, reposo y equilibrio.
✓ Esta guía consta de dos parte: selección simple y desarrollo. En la parte de selección simple
debe seleccionar con una × la respuesta correcta y justificar sus selección, dentro de las opciones
hay una única respuesta, por lo que debe seleccionar una sola opción. En la parte desarrollo se
presentan un conjunto de planteamientos cuyas preguntas deben ser desarrolladas detalladamente,
empleando alguna de las técnicas vistas en clase o la que usted considere pertinente.
✓ Estas guía contiene 14 preguntas
Parte i: Selección simple justificada
~F1
~F2
2R
R
1. En la figura adjunta se muestra un cilindro hueco de masa M , con radio
exterior 2R y radio interior R. Al cual se le aplican dos fuerzas tangenciales ~F1
y ~F2 desconocidas en los radios 2R y R, respectivamente. El cilindro descansa
sobre una superficie con fricción, siendo el coeficiente de roce estático entre
la superficie y el piso µe. La máxima magnitud de la fuerza ~F1 para que el
cilindro no deslice y se mantenga en equilibrio es:
A. Mg
1−4µe
;
B. µeMg
1+4µe
;
C. µeMg
1−4µe
;
D. Mg
1+4µe
;
E. µeMg
1−4µe
.
M
A B
C
D
a b
2. La ménsula de la figura adjunta está compuesta por dos barras de masa
despreciable, las cuales están unidas mediante las articulaciones A, B
y C. El extremo D de la barra mantiene en reposo un contrapeso de
masa M , tal como se muestra en la figura adjunta. Suponga que las
articulaciones A y B están separadas por una distancia a, mientras que
la distancia horizontal entre la articulación C y el extremo D es b. La
magnitud de la reacción del apoyo A es:
A. a
a+b
Mg;
B. b
a
Mg;
C. a+b
a
Mg;
D. a
b
Mg;
E. Ninguna de los anteriores.
Sección: 9 y 10 Página 1 de 5.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 4.
E stática, equilibrio y reposo
Física 2
FS-1112
3. Sobre la base del inciso 2 se puede afirmar que la intensidad de la reacción del apoyo B es:
A. a
a+b
Mg;
B. b
a
Mg;
C. a+b
a
Mg;
D. a
b
Mg;
E. Ninguna de los anteriores.
b
~F
θ
R
4. Una rueda de radio R y masa M intenta escalar un sobre piso
de altura b = R/2. Para ello se le aplica una fuerza ~F constante,
en su centro, orientada en un ángulo θ = 30◦, medido respecto a
la horizontal, tal como se indica en la figura adjunta. El mínimo
valor de la intensidad de la fuerza ~F para que la rueda remonte el
sobre piso es:
A. Mg;
B. 1
2
Mg;
C.
√
3
2
Mg;
D. 3
4
Mg;
E. Ninguna de los anteriores.
5. Sobre la base del inciso 4, la magnitud de la fuerza normal en el punto de pivote es:
A. Mg;
B. 1
2
Mg;
C.
√
3
2
Mg;
D. 3
4
Mg;
E. Ninguna de los anteriores.
θ
A
B
ℓ
6. Una barra de longitud ℓ y masa M distribuida uniformemente
descansa sobre una pared vertical en el punto A y se encuentra
apoyada en el suelo horizontal en el punto B. El apoyo en la pared
ocurre sin fricción, mientras que el apoyo con el suelo si. La escalera
se mantiene en equilibrio formando un ángulo θ respecto al suelo,
tal como se indica en la figura adjunta. La magnitud de la fuerza
de apoyo en el punto A es:
A. Mg tan θ;
B. Mg
cos θ
;
C. Mg tan θ
2
;
D. Mg
2 tan θ
;
E. Mg
tan θ
.
Página 2 de 5 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 4.
E stática, equilibrio y reposo
Física 2
FS-1112
7. Sobre la base del inciso 6, la magnitud de la fuerza que ejerce el suelo a la barra en el punto B es:
A. Mg;
B. Mg
tan θ
;
C. Mg
2 tan θ
√
1 + 4 tan2 θ;
D. Mg
2 tan θ
;
E. Ninguna de los anteriores.
m
M
x
2ℓ/3
AB
8. Una barra de longitud ℓ y masa m distribuida uniformemente se
encuentra apoyada en el punto B y articulada en el punto A,
ubicado a 2ℓ/3 del extremo izquierdo de la barra. A una distancia
x de dicho extremo se encuentra un bloque de masa M . El valor
de x para que la barra se despegue ligeramente del apoyo B es:
A.
(
2 − m
M
)
ℓ
6
;
B.
(
4 − m
M
)
ℓ
6
;
C.
(
2 + m
M
)
ℓ
6
;
D.
(
4 + m
M
)
ℓ
6
;
E. Ninguna de los anteriores.
9. Sobre la base del inciso 8. La magnitud de la fuerza ejercida por el apoyo A sobre la plataforma
cuando la barra se despega ligeramente del apoyo B es:
A. (M − m)g;
B. Mg;
C. mg;
D. Mm
m+M
g;
E. (M + m)g.
h
M
L
4
L
10. El extremo de una viga de longitud L = 4 m está unida
mediante a una bisagra fija a una pared vertical. El otro
extremo de la viga lleva atado un cable el cual está fijo a la
pared una distancia de h = 3 m por encima de la bisagra, tal
como se muestra en l figura adjunta. Un bloque de masa M
cuelga de la barra a L/4 del extremo derecho de la viga. La
magnitud de la tensión de la cuerda que mantiene en forma
horizontal a la barra es:
A. 15
16
Mg;
B. 3
5
Mg;
C. 34
Mg;
D. 5
4
Mg;
E. Ninguna de los anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 3 de 5
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 4.
E stática, equilibrio y reposo
Física 2
FS-1112
11. Sobre la base del inciso 10. La tangente del ángulo que forma con la horizontal la fuerza que ejerce
la bisagra sobre la viga viene dada por:
A. 1
4
;
B. 0;
C. 3
4
;
D. 2;
E. 4
5
.
C
M , ℓ
~F0
B
A
θı̂
̂
k̂
12. Una barra de longitud ℓ puede girar en torno a un pivote A, en
su extremo opuesto C se le aplica una fuerza constante de magni-
tud F0; siempre en dirección horizontal. Inicialmente, la barra se
encuentra sobre la lineal vertical AB y en reposo. Al cabo de un
cierto tiempo la barra alcanza un ángulo θ (desconocido), medido
respecto a la vertical. Sea b = 2F0
Mg
, entonces la tangente del ángulo
θ para que la barra se mantenga en equilibrio estático es:
A. tan θ = 1
b
;
B. tan θ = 2b
1−b2
;
C. tan θ = b;
D. tan θ = 2b
1+b2
;
E. Ninguna de los anteriores.
13. Sobre la base del inciso 12. La tangente del ángulo θ para que la barra alcance el reposo es:
A. tan θ = 1
b
;
B. tan θ = 2b
1−b2
;
C. tan θ = b;
D. tan θ = 2b
1+b2
;
E. Ninguna de los anteriores.
Respuesta
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Respuesta C B C A A D C D E D A C B
Página 4 de 5 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 4.
E stática, equilibrio y reposo
Física 2
FS-1112
Parte ii: Desarrollo.
θ
h
1. Una barra delgada de longitud L y masa M descansa sobre el suelo
y sobre un rodillo sin fricción, colocado en el borde de un escalón
de altura h, como se muestra en la figura adjunta. La barra está
en equilibrio para cualquier ángulo θ > θ0, pero desliza si θ < θ0.
Demuestre que el mínimo valor del coeficiente de fricción estática
entre la barra y el suelo viene dado por la expresión
µmı́ne =
L tan θ
L − 2h csc θ sec2 θ
Prof. Sttiwuer D. Fin de la tarea Nro. 4 Página 5 de 5
Física 2
Guía de ejercicios Nro. 5
Momento angular
Semana de emisión: Semana 6
23/10/2017 al 27/10/2017
Objetivo instruccional e instrucciones
✓ El objetivo de esta guía es evaluar el momento angular de un sistema de partícula y de un cuerpo
rígido en el plano, así como los teoremas de conservación y consideraciones energéticas de sistemas
que rotan.
✓ Esta guía consta de dos parte: selección simple y desarrollo. En la parte de selección simple
debe seleccionar con una × la respuesta correcta y justificar sus selección, dentro de las opciones
hay una única respuesta, por lo que debe seleccionar una sola opción. En la parte desarrollo se
presentan un conjunto de planteamientos cuyas preguntas deben ser desarrolladas detalladamente,
empleando alguna de las técnicas vistas en clase o la que usted considere pertinente.
✓ Estas guía contiene 24 preguntas
Parte i: Selección simple justificada
X
Y
O
m
~v0
dθ
ı̂
̂
k̂
1. Una partícula de masa m se mueve en línea recta hacia la izquier-
da de un origen O con rapidez constante v0. Suponga que θ es
el ángulo que forma la línea que une a la masa con el origen y
la recta vertical. Si la recta es paralela al eje horizontal y dista
del origen en una distancia vertical d, tal como se indica en la
figura adjunta, el momento angular de la partícula respecto al
origen O es:
A. mv0dk̂;
B. −mv0dk̂;
C. cero;
D. mv0d
cos θ
k̂;
E. −mv0d
cos θ
k̂.
d
m1 = M
~v0
m2 = M
−~v0
O
~r1
~r2ı̂
̂
k̂
2. Un sistema está formado por dos partículas de igual masa
M que se mueven en direcciones opuestas con igual rapi-
dez v0, siguiendo dos rectas paralelas separadas por una
distancia d, tal como se indica en la figura adjunta. Si el
origen del sistema de coordenada se encuentra ubicado en
el punto O indicado en la figura, el momento angular del
sistema para el momento mostrado en la figura es:
A. 2Mv0dk̂;
B. −2Mv0dk̂;
C. Mv0dk̂;
D. −Mv0dk̂;
E. cero.
Sección: 9 y 10 Página 1 de 9.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
X
Y
~ω0
2m
2m
m
m
L
L
2m
L
θθ
3. El sistema rígido de la figura está compuesto por tres barras
rígidas de masa despreciable, en cuyos extremos se colocan
esferas de masas m y 2m, tal como se indica en la figura. La
barra que contiene a las esferas de masa m tiene longitud
2L y forma un ángulo θ con la segunda barra, la cual se
encuentra orientada en forma horizontal. La tercera barra
está unida rígidamente a las otras dos formando un ángulo
θ con la barra horizontal. El sistema rota alrededor del eje
Y con rapidez angular ω0. El momento de inercia en torno al eje Y es:
A. 4mL2 cos2 θ;
B. 8mL2 sen2 θ;
C. 8mL2 cos2 θ;
D. 4mL2 sen2 θ;
E. Otro valor: .
4. Sobre la base del inciso 3, el producto de inercia IXY para el momento mostrado en la figura viene
dado por:
A. −mL2 sen(2θ);
B. cero;
C. −2mL2 sen(2θ);
D. −3
2
mL2 sen(2θ);
E. Otro valor: .
5. Sobre la base del inciso 3, el momento angular del sistema para el momento mostrado en la figura
viene dado por:
A. 8mL2ω0 cos
2 θ̂;
B. 4mL2ω0 sen
2 θ̂;
C. 4mL2ω0 cos
2 θ̂;
D. 8mL2ω0 sen
2 θ̂;
E. Otro valor: .
6. Sobre la base del inciso 3, la energía cinética rotacional del sistema viene dada por:
A. 8mL2ω2
0
cos2 θ;
B. 4mL2ω2
0
sen2 θ;
C. 4mL2ω2
0
cos2 θ;
D. 8mL2ω2
0
sen2 θ;
E. Otro valor: .
Página 2 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
O
θ
M
Q
~ω(t)
R
ı̂
̂
k̂
7. Una cilindro de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre un
plano inclinado, cuyo ángulo de elevación es θ. Cuando el cilindro
desciende por el plano inclinado a partir del reposo, éste rota con
una rapidez angular dada por 2 sen θ
3R
gt. Considere que el origen O
se encuentra en la base del plano inclinado, el momento angular
para el cilindro respecto al origen O viene dado por:
A. 1
3
MgRt sen θk̂;
B. MgRt sen θk̂;
C. −MgRt sen θk̂;
D. 2
3
MgRt sen θk̂;
E. −1
3
MgRt sen θk̂.
8. Sobre la base del inciso 7, determine el torque neto del sistema respecto al punto O:
A. −1
3
MgR sen θk̂;
B. −MgR sen θk̂;
C. 2
3
MgR sen θk̂;
D. MgR sen θk̂;
E. 1
3
MgR sen θk̂.
9. En este pregunta considere que ~N (normal), ~fr (roce) y M~g (gravitacional) son las fuerzas que ac-
túan sobre el cilindro del inciso 7. El torque neto respecto al punto O, obtenido en el inciso anterior,
es debido exclusivamente a:
A. las fuerzas ~N y ~fr;
B. la fuerza ~fr;
C. las fuerzas ~N y M~g;
D. la fuerza M~g;
E. las fuerzas ~fr y M~g.
10. Sobre la base del inciso 7, el momento angular respecto al centro de masa del cilindro viene dado por:
A. MgRt sen θk̂;
B. −1
3
MgRt sen θk̂;
C. −MgRt sen θk̂;
D. 1
3
MgRt sen θk̂;
E. 2
3
MgRt sen θk̂.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 3 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
11. En esta pregunta considere que ~N (normal), ~fr (roce) y M~g (gravitacional) son las fuerzas que
actúan sobre el cilindro del inciso 7. El torque neto respecto al centro de masa es debido exclusiva-
mente a:
A. las fuerzas ~N y ~fr;
B. la fuerza ~fr;
C. las fuerzas ~N y M~g;
D. la fuerza M~g;
E. las fuerzas ~fr y M~g.
12. Considere que el punto Q de la rueda del inciso 7 se encuentra ubicado diametralmente opuesto al
centro instantáneo de rotación. El momento angular respecto al punto Q viene dado por:
A. −1
3
MgR sen θtk̂;
B. −MgR sen θtk̂;
C. 1
3
MgR sen θtk̂;
D. MgR sen θtk̂;
E. −2
3
MgR sen θtk̂.
m
m
m
Z
~ω0
êr
êθ
êz
β
O
13. La figura muestra un sistema formado por tres esferas idénticas,
de masa m, incrustadas en una varilla de masa despreciable. La
varilla mantiene un ángulo β con el eje Z, mientras que gira
con rapidez angular constante ω0, según lo indicado en la figura.
Considere que la distancia entre cada esfera contigua es b y que
los vectores êr, êθ y êz son perpendicularesentre sí y viajan con
la varilla. Encuentre el momento angular del sistema respecto
al punto O y exprese su resultando en términos de los vectores
{êr, êθ, êz} :
A. 3mb2ω0 sen β (− cos βêr + sen βêz);
B. 6mb2ω0 sen β (− cos βêr + sen βêz);
C. 5mb2ω0 cos β (− sen βêr + cos βêz);
D. 5mb2ω0 cos β (− cos βêr + sen βêz);
E. 5mb2ω0 sen β (− cos βêr + sen βêz).
14. Derivando el momento angular del inciso 13, determine el torque neto del sistema:
A. −5
2
mb2ω2
0
sen(2β)êθ;
B. −5mb2ω2
0
sen(β)êθ;
C. −5mb2ω2
0
cos(β)êθ;
D. 5mb2ω2
0
[sen(β)êr − cos(β)êθ];
E. 5mb2ω2
0
[
cos(2β)êr − 12 sen(2β)êθ + sen(2β)êz
]
.
Página 4 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
15. Sobre la base del inciso 13, encuentre la energía cinética de rotación del sistema:
A. 3mb2ω2
0
sen2 β;
B. 5
2
mb2ω2
0
sen2(2β);
C. 5
2
mb2ω2
0
sen2 β;
D. 3mb2ω2
0
sen2(2β);
E. 5
4
mb2ω2
0
sen(2β).
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 5 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
θ
A
B
O
ℓ
ı̂
̂
k̂
16. Una barra de masa M y longitud L descansa en el punto A sobre una
pared sin fricción. El extremo opuesto de la barra reposa sobre el piso
en la punto B, con fricción, dicho extremo se mueve a la derecha con
rapidez constante v0. Suponga que la barra forma una ángulo θ con
la horizontal, según lo indicado en la figura. La velocidad angular de
la barra para el momento indicado en la figura es:
A. v0
L sen θ
k̂;
B. v0
L cos θ
k̂;
C. − v0
L sen θ
k̂;
D. v0
L
k̂;
E. − v0
L cos θ
k̂.
17. Sobre la base del inciso 16. El momento angular de la barra respecto al punto O (indicado en la
figura) es:
A. MLv0
6 sen θ
k̂;
B. −MLv0
4 sen θ
k̂;
C. MLv0
12 sen θ
k̂;
D. MLv0
3 sen θ
k̂;
E. −MLv0
6 sen θ
k̂;
18. Sobre la base del inciso 16. El momento angular de la barra respecto al centro instantáneo de
rotación (CIR) es:
A. MLv0
6 sen θ
k̂;
B. −MLv0
4 sen θ
k̂;
C. MLv0
12 sen θ
k̂;
D. MLv0
3 sen θ
k̂;
E. −MLv0
6 sen θ
k̂;
19. Sobre la base del inciso 16. El torque neto sobre la barra es:
A.
Mv2
0
cos θ
6 sen3 θ
k̂;
B.
Mv2
0
cos θ
6 sen3 θ
k̂;
C. −Mv
2
0
cos θ
4 sen3 θ
k̂;
D.
Mv2
0
cos θ
12 sen3 θ
k̂;
E. −Mv
2
0
cos θ
6 sen3 θ
k̂;
Página 6 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
Parte ii: Desarrollo.
1. Sea ~LS/CM
∑
~ri/CM × ~pi/CM el momento angular de un sistema S medidos respecto a su centro de
masa, donde ~ri/CM y ~pi/CM son la posición y momento lineal de la partícula i−ésima respecto al
centro de masa del sistema de N−partículas. Demuestre que dicho momento angular puede ser
calculado por alguna de las siguientes expresiones
~LS/CM
i=N
∑
i=1
~ri/CM × ~pi/O ó ~LS/CM
i=N
∑
i=1
~ri/O × ~pi/CM.
Siendo ~ri/O y ~pi/O la posición y el momento lineal de la partícula i−ésima respecto a un observador
inercial.
2. Dos cuerpos se acercan uno al otro con velocidades ~v1 = v0ı̂ y ~v2 = −2v0ı̂, cada cuerpo posee
una masa m1 = 2m0 y m2 = m0, y se mueven por rectas paralelas separadas entre si por una
distancia b. Suponga que m1 está por arriba de m2. (a) Calcule el momento angular del sistema
de dos partículas; (b) depende éste del origen que se tome; (c) Obtenga el momento angular de la
masa m2 respecto a la masa m1.
3. Tres esferas de masa m0 se encuentra unidas por barras ligeras en forma de un triángulo equilátero
de lado b. Suponga que inicialmente el sistema se encuentra en el plano XY y que dos de las masa
se encuentran sobre el eje X con una de ellas en el origen. (a) Encuentre todos los momentos de
inercia del sistema y sus productos de inercia (escriba el tensor de inercia). (b) Si el sistema se pone
a rotar sobre el eje X con una velocidad angular de 4 ~ω0, calcule el momento angular respecto al
origen. (c) Cómo cambia su respuesta si la rotación ocurre sobre el eje Z.
mm
~ω0
2b
4. Un niño se encuentra firmemente unido a una plataforma gi-
ratoria, que rota con velocidad angular ~ω. El niño mantiene
sus brazos estirados y completamente horizontal, en cada mano
sostiene una esfera de masa m; tal como se indica en la figura
adjunta. Considere que la distancia entre las dos esferas es 2b.
Acto seguido, el niño flexiona sus brazos hasta reducir a la mitad
la separación de las esferas, el movimiento de flexión ocurre de
forma tal que las esfera siempre se encuentran horizontalmente.
(a) Determine la velocidad angular de la plataforma y (b) el
trabajo que debe realizar el niño para reducir a la mitad la se-
paración de las esferas. (c) Cómo cambia la velocidad angular de la plataforma si ésta presenta un
momento de inercia igual a 2
3
mb2 y en cuánto. Desprecie el momento de inercia del niño.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 7 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
~v0
d
M,L
~ω0
5. Se coloca una barra delgada de longitud L = 2 m y masa M
sobre un pivote, el cual está en el centro de masa de la barra. La
barra gira inicialmente con rapidez angular constante ω0 = 80
rad
s
en sentido antihorario. Al cabo de un cierto tiempo una esfera
de masa m = 2M , que viaja en línea recta con rapidez con-
stante v0 = 40
m
s
(ver figura adjunta), choca con la barra cuan-
do ésta se encuentra completamente horizontal; a una longitud
d desconocida respecto al pivote, según lo indicado en la figu-
ra. Suponga que la masa queda unida a la tabla tras la colisión
(choque completamente inelástico). (a) A qué distancia d debe
ocurrir el impacto para que el sistema masa-barra quede inmóvil después de la colisión. Considere
que el sistema se encuentra sobre una mesa horizontal lisa (no hay fricción). (b) Cuánta energía se
transfiere al entorno durante el proceso de colisión.
Página 8 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 5.
M omento angular
Física 2
FS-1112
Respuesta de la parte de selección simple
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuesta A D C A C B D C D B D E A C A E D A
Respuesta de la parte de desarrollo
1. Use la ley de transformación para el movimiento relativo ~ri/O = ~ri/CM + ~RCM/O y luego considere
que la cantidad de movimiento del centro de masa, respecto al centro de masa es cero.
2. (a) 2mv0bk̂ (b) No depende de la elección del origen (c).
3. (a) 1
4
m0b
2
(
3 −
√
3 0
−
√
3 5 0
0 0 8
)
; (b) m0b
2ω0(3ı̂ −
√
3̂); (c) 8m0b
2~ω0k̂
4. (a) 4~ω0 (b) 3mb
2ω2
0
(c) La velocidad angular aumenta porque el momento de inercia disminuye
respecto a la situación inicial; 12
7
~ω0.
5. (a) d = ML
2ω0
12v0
= 0, 3 m
Prof. Sttiwuer D. Fin de la tarea Nro. 5 Página 9 de 9
Física 2
Guía de ejercicios Nro. 6
Gravitación y fuerzas centrales
Semana de emisión: Semana 7
28/10/2017 al 03/11/2017
Objetivo instruccional e instrucciones
✓ El objetivo de esta guía es evaluar el tema de gravitación y de fuerzas centrales.
✓ Esta guía consta de dos parte: selección simple y desarrollo. En la parte de selección simple
debe seleccionar con una × la respuesta correcta y justificar sus selección, dentro de las opciones
hay una única respuesta, por lo que debe seleccionar una sola opción. En la parte desarrollo se
presentan un conjunto de planteamientos cuyas preguntas deben ser desarrolladas detalladamente,
empleando alguna de las técnicas vistas en clase o la que usted considere pertinente.
✓ Estas guía contiene 24 preguntas
Parte i: Selección simple justificada Y
X
m
m
m0
2b
x
1. Dos esferas fijas idénticas de masa m están fijas y separadas por
una distancia 2b, estas partículas se encuentran sobre una línea
vertical. Una tercera esfera de masa m0 se encuentra inicialmente
en reposo y en un punto equidistante de las otrasdos partículas,
ubicado a una distancia x del punto medio entre ellas, tal co-
mo se muestra en la figura adjunta. La fuerza gravitacional que
actúa sobre la esfera de masa m0 debido a las otras dos viene
dada por:
A. − Gmm0b
(x2+b2)3/2
ı̂;
B. 2Gmm0x
(x2+b2)3/2
ı̂;
C. − 2Gmm0x
(x2+b2)3/2
ı̂;
D. Gmm0b
(x2+b2)3/2
ı̂;
E. − 2Gmm0b
(x2+b2)3/2
ı̂.
2. Sobre la base del inciso 1, determine el campo gravitacional formado por las dos esferas de masa m
sobre el eje horizontal X y en regiones cercanas al origen (suponga que |x| << b).
A. 2Gmm0x
b3
ı̂;
B. Gmm0
b2
ı̂;
C. −2Gmm0
b2
ı̂;
D. Gmm0
b2
ı̂;
E. −2Gmx
b3
ı̂.
Sección: 9 y 10 Página 1 de 9.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
3. Sobre la base del inciso 1, determine la energía potencial gravitacional de la esfera de masa m0
cuando ésta se encuentra ubicada en la posición indicada en la figura del inciso 1.
A. − 2Gmm0√
x2+b2
ı̂;
B. Gmm0
b2
ı̂;
C. −2Gmm0
b2
ı̂;
D. Gmm0√
x2+b2
ı̂;
E. −2Gmm0x√
x2+b2
ı̂.
4. Si la esfera de masa m0 del inciso 1 inicia su movimiento a partir del reposo en x =
√
3b, entonces
la rapidez que adquiere dicha esfera cuando pasa por el origen viene dada por:
A.
√
3Gm
2b
;
B.
√
2Gm
b
.
C.
√
Gm
b
;
D. 0 m
s
;
E. No llega al origen;
5. Dos esferas de masa m1 y m2 se encuentran separadas por una distancia b, sobre una recta hori-
zontal. Se coloca una tercera esfera de masa M a una distancia x de m1. Si µ =
√
m2
m1
, el valor de
x para que la esfera de masa M se mantenga en equilibrio es:
A. µ
1+µ
b;
B. 1
1+µ
b;
C. 1
1−µb;
D. µ
1−µb;
E. b
2
.
6. Considere que inicialmente la esfera de masa M , del inciso anterior, se encuentra en reposo en la
posición x = b/3. Si µ =
√
m2
m1
, el valor de x para que la esfera de masa M se alcance el reposo es:
A. 2µ
2+µ2
b;
B. 1
1+µ
b;
C. 2
2−µ2 b;
D. 2
2+µ2
b;
E. b
2
;
Página 2 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
X
Y
M
θ
θ + dθ
R
dm
7. Un alambre de masa M , distribuida uniformemente en to-
da su longitud, tiene forma semicircular de radio R, tal
como se indica en la figura adjunta. Considere un elemen-
to infinitesimal de masa dm (considerada como una masa
puntual) sobre el alambre ubicado a un ángulo θ respecto
de la horizontal, suponga además que dicho elemento in-
finitesimal de masa está contenido en la longitud de arco
ds = Rdθ (ver figura). Determine el campo gravitacional
que ejerce el alambre en el origen del sistema de coordenada indicado en la figura:
A. −GM
πR2
̂;
B. GM
πR2
̂;
C. − GM
2πR2
̂;
D. GM
2πR2
̂;
E. cero.
Y
X
L
dm
u du
x
P
8. El sistema mostrado en la figura adjunta consiste en una bar-
ra de longitud L y masa M distribuida uniformemente en to-
da su longitud. Considere un elemento infinitesimal de masa
dm (considerada como una masa puntual) sobre la barra ubi-
cado a una distancia u del origen, suponga además que dicho
elemento infinitesimal de masa está contenido en la longitud
du, tal como se indica en la figura. El campo gravitacional
generado por la barra en el punto P , ubicado a una distancia
horizontal x del origen, viene dado por:
A. GM
x(L−x) ı̂;
B. −GM
x2
ı̂;
C. GM
x2
ı̂;
D. − GM
(x−u)2 ı̂;
E. − GM
x(L−x) ı̂.
9. Una esfera maciza de radio R y masa M , distribuida uniformemente en todo su volumen, presenta
un campo gravitacional en magnitud y sobre la superficie interior de radio r dado por:
A. GM
R2
(
r
R
)
;
B. GM
R2
;
C. GM
r2
;
D. cero;
E. Otro valor: .
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 3 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
M
m
~L10. Un planeta Q de masa m gira en orbita circular alrededor de otro planeta
de masa M . El planeta Q presenta un momento angular de magnitud L. El
radio de giro del planeta Q es:
A. L
2
2GMm2
;
B. L
2
GMm2
;
C. 2L
2
GMm2
;
D. 3L
2
2GMm2
;
E. No es posible determinarlo.
11. Sobre la base del inciso 10, la rapidez angular del planeta Q viene dada por:
A. G
2M2m3
2L3
;
B. 2G
2M2m3
L3
;
C. 2G
2M2m3
3L3
;
D. G
2M2m3
L3
;
E. 3G
2M2m3
2L3
.
12. Sobre la base del inciso 10 y suponiendo que el potencial gravitacional se anula para r → ∞, la
energía mecánica del planeta Q viene dada por:
A. G
2M2m3
2L2
;
B. 3G
2M2m3
2L2
;
C. −G2M2m3
2L2
;
D. −3G2M2m3
2L2
;
E. cero.
13. Sobre la base del inciso 10, el período de la orbita circular viene dado por:
A. πL
3
G2M2m3
;
B. πL
3
2G2M2m3
;
C. 2πL
3
3G2M2m3
;
D. 3πL
3
2G2M2m3
;
E. 2πL
3
G2M2m3
.
14. Sobre la base del inciso 10, la intensidad de la fuerza que ejerce el planeta de masa M sobre el
planeta Q es:
A. G
3M3m3
L4
; B. 3G
3M3m3
2L4
; C. 2G
3M3m3
3L4
; D. G
3M3m3
3L4
; E. 2G
3M3m3
L4
.
Página 4 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
15. Un satélite de masa m describe una orbita elíptica de excentricidad ε = 1/2, en torno a la tier-
ra, ésta última se considera estacionaria en uno de los focos de la elipse descrita por el satélite. Si
se le ha suministrado una energía E < 0 J, entonces la magnitud del momento angular del satélite es:
A. GMm
4
√
3m
|E| ;
B. GMm
2
√
m
2|E| ;
C. GMm
2
√
3m
2|E| ;
D. GMm
2
√
3m
|E| ;
E. Ninguna de los anteriores.
16. Sobre la base del inciso 15, las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse vienen dados
respectivamente por:
A. GMm|E| y
√
3GMm
2|E| ;
B. GMm
2|E| y
√
3GMm
4|E| ;
C. 3GMm
8|E| y
√
3GMm
2|E| ;
D. 3GMm
8|E| y
√
3GMm
4|E| ;
E. Ninguna de los anteriores.
P
A
ǫaa
b
17. Un planeta de masa m gira en órbita elíptica alrededor del
sol, cuya masa es M . Sea ǫ = π/6 y a la excentricidad y
longitud del semi-eje mayor de la elipse, respectivamente. El
tiempo que tarda el planeta desde el perigeo P hasta el punto
A, indicado en la figura adjunta, es:
A. π
6
√
GM
a3/2;
B. π√
GM
a3/2;
C. π
2
√
GM
a3/2;
D. π
3
√
GM
a3/2;
E. Ninguna de los anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 5 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
~vp
rarp
18. Un satélite de masa m está en órbita elíptica alrededor de la
tierra, de masa M . Si ra y rp son las distancias del apogeo y
perigeo, respectivamente, la rapidez del satélite en el perigeo
es:
A.
√
GMra
rp(ra+rp)
;
B.
√
2GMrp
ra(ra+rp)
;
C.
√
GMrp
ra(ra+rp)
;
D.
√
2GMra
rp(ra+rp)
;
E. Ninguna de los anteriores.
R1
R2
△~vp
△~va
19. Una estación espacial que está en orbita circular de radio R1, alrededor
de la tierra debe ser trasladada a otra orbita circular y de radio R2;
suponga R2 > R1. Para la transferencia desde la orbita circular de
menor radio a la orbita circular de mayor radio se decide usar una
orbita de transferencia del tipo elíptica, siendo los puntos de egreso e
ingreso el perigeo y apogeo, respectivamente, tal como se ilustra en la
figura adjunta. La excentricidad de la orbita de transferencia es:
A. R2−R1
R1+R2
;
B. 2R2
R1+R2
;
C. R2+R1
R1−R2 ;
D. 2R1
R1+R2
;
E. Ninguna de los anteriores.
20. Sobre la base del planteamiento del inciso 19, el incremento del cambio de rapidez en el perigeo
necesario para que la nave espacial pase a la orbita de transferencia es:
A.
√
GM
R2
[√
2R1
R1+R2
− 1
]
;
B.
√
GM
R2
[
1 −
√
2R1
R1+R2
]
;
C.
√
GM
R1
[√
2R2
R1+R2
− 1
]
;
D.
√
GM
R1
[
1 −
√
2R2
R1+R2
]
;
E. Ninguna de los anteriores.
Página 6 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
21. Sobre la base del inciso (19). El tiempo necesario para que ocurra la transferenciaes:
A. π
√
(R1+R2)3
8Gm
;
B. π
√
(R1+R2)3
4GM
;
C. π
√
(R1+R2)3
4Gm
;
D. π
√
(R1+R2)3
8GM
;
E. Ninguna de las anteriores.
Prof. Sttiwuer D. Continúe en la siguiente página Página 7 de 9
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
Parte ii: Desarrollo.
1. Considere dos partículas de masa m y M , cuyas posiciones respecto a un origen (en reposo) son ~rm
y ~rM , respectivamente. (a) Demuestre que dichas posiciones pueden ser escritas como
~rm = ~RCM +
M
m + M
~rm/M y ~rM = ~RCM −
m
m + M
~rm/M .
Donde ~RCM es la posición del centro de masa respecto al origen antes mencionado, y ~rm/M es la
posición relativa de la partícula con masa m respecto a la partícula con masa M . (b) Derivando las
expresiones anteriores para conseguir la velocidad de cada partícula, evalúe la energía cinética del
sistema para demostrar que
K = 1
2
M~v 2M +
1
2
m~v 2m =
1
2
(m + M)~V 2
CM
+ 1
2
mM
M+m
~v 2m/M .
Donde ~VCM es la velocidad del centro de masa para el sistema de dos partículas, mientras que
~vm/M es la velocidad de la partícula con masa m respecto a la partícula de masa M . (c) Tome la
aproximación de que M >> m (teóricamente se puede considerar que M → ∞) y demuestre que
la energía del sistema es esencialmente la energía de la partícula con masa m. En otras palabras,
se puede considerar que M está en reposo y que la particular m se mueve respecto a M con una
cierta orbita.
2. Una partícula de masa m describe una orbita circular de radio R, debido a la interacción gravita-
cional con una esfera de masa M (la cual se considera fija). Demuestre que la energía de la partícula,
el momento angular (su magnitud) y el periodo de la orbita circular vienen dadas por
E = −GMm
2R
, L =
√
GMm2R y T =
2π√
GM
R3/2.
3. Una partícula de masa m describe una orbita elíptica con excentricidad ǫ y momento angular
L, debido a la interacción gravitacional con una esfera de masa M (la cual se considera fija).
(a) Demuestre que la mínima distancia de acercamiento (apocentro) y la máxima distancia de
alejamiento (pericentro) que presenta la partícula de masa m respecto a la esfera M vienen dada
por
rp =
L2
GMm2(1 + ǫ)
(pericentro) y ra =
L2
GMm2(1 − ǫ) (apocentro)
(b) Obtenga la energía mecánica de la partícula y el periodo de su orbita, y demuestre que estas
cantidades se pueden escribir como
E = −G
2M2m3
2L2
(1 − ǫ2) y T =
2πm3L3
G2M2(1 − ǫ2)3/2
(c) Demuestre que la rapidez angular y la velocidad radial de la partícula puede ser escrita como
ω =
G2M2m3
L3
(1 + ǫ cos θ) y ṙ =
GMm
L
ǫ sen θ.
siendo θ la coordenada angular, esto es, el ángulo que forma la recta que pasa por la esfera y la
partícula y el eje horizontal.
Página 8 de 9 Continúe en la siguiente página Prof. Sttiwuer D.
USB, Sartenejas
Departamento de Física
Guía de ejercicios N ro. 6.
G ravitación y fuerzas centrales
Física 2
FS-1112
Respuesta de la parte de selección simple
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuesta C E A B B D B E A B D C E A C A D D A C
Pregunta 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Respuesta E
Respuesta de la parte de desarrollo
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Prof. Sttiwuer D. Fin de la tarea Nro. 6 Página 9 de 9