3_S_Solucionario_de_algunos_ejercicios_de_Cálculo_III_Máximo_Mitacc

Vista previa del material en texto

1.- calcule las siguientes integrales iteradas 
𝒂) ∫ ∫ ∫ 𝒙𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟏+𝒙𝟐
𝟐𝒚
𝟏−𝒙
𝟎
𝟏
𝟎
 
Solución: 
∫ ∫ [𝑥𝑧]2𝑦
1+𝑦2
𝑑𝑦𝑑𝑥
1−𝑥
0
1
0
 => ∫ ∫ [(1 + 𝑦2)𝑥 − 2𝑥𝑦]𝑑𝑦𝑑𝑥
1−𝑥
0
1
0
 
∫ ∫ [𝑥 + 𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦]𝑑𝑦𝑑𝑥 =>
1−𝑥
0
1
0
∫ [𝑥𝑦 −
𝑥𝑦3
3
− 𝑥𝑦2]0
1−𝑥𝑑𝑥 
1
0
 
∫ [𝑥(1 − 𝑥) −
𝑥(1 − 𝑥)3
3
− 𝑥(1 − 𝑥)2] 𝑑𝑥 
1
0
 
∫ [𝑥 − 𝑥2 − 𝑥(1 − 3(1)2𝑥 + 3(1)𝑥2 − 𝑥2) − 𝑥(1 − 2𝑥 + 𝑥2)]𝑑𝑥 
1
0
 
∫ [−𝑥 − 6𝑥2 + 3𝑥3]
1
0
𝑑𝑥 => [−
𝑥2
2
− 2𝑥3 +
3
4
𝑥4]
0
1
 
−1
2
− 2 +
3
4
= 
−2 − 8 + 3
4
=
−𝟕
𝟒
 
 
𝒃) ∫ ∫ ∫ 𝒚𝒆𝒛
𝒍𝒏𝒙
𝟎
𝒚𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝒅𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚 
Solución: 
∫ ∫ [𝑦𝑒𝑧]0
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦2
𝑦
2
1
 => ∫ ∫ [𝑦𝑒𝑙𝑛𝑥 − 𝒚𝒆𝟎]𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦2
𝑦
2
1
 
∫ ∫ [𝑦𝑥 − 𝑦]𝑑𝑥𝑑𝑦 =>
𝑦2
𝑦
2
1
∫ [
𝑦𝑥3
2
− 𝑦𝑥]𝑦
𝑦2
𝑑𝑦 
2
1
 
∫ [
𝑦(𝑦2)2
2
− 𝑦𝑦2 −
𝑦𝑦2
2
+ 𝑦𝑦] 𝑑𝑦 
2
1
 
∫ [
𝑦5
2
− 𝑦3 −
𝑦3
2
+ 𝑦2] 𝑑𝑦 
2
1
 
∫ [
𝑦5
2
−
3
2
𝑦3 + 𝑦2]
2
1
𝑑𝑦 => [−
𝑦6
12
−
3
8
𝑦4 +
𝑦3
3
]
1
2
 
26
12
−
3
8
24 +
23
3
−
1
12
+
3
8
−
1
3
= 
𝟒𝟕
𝟐𝟒
 
 
 
 
 
𝐜) ∫ ∫ ∫ 𝐜𝐨𝐬 (
𝐲
𝐳
)
𝐱𝐳
𝟎
𝛑
𝟐
𝐳
𝛑
𝟐
𝟎
𝐝𝐲𝐝𝐱𝐝𝐳 
I = ∫ ∫ ∫ cos (
y
z
)
xz
0
π
2
0
π
2
0
dydxdz = ∫ ∫ z sin (
y
z
) ∫ dxdz
xz
0
π
2
0
π
2
0
 
I = ∫ ∫ Z sin (
xz
z
)
π
2
0
π
2
0
dxdz = ∫ ∫ z sin(x)dxdz = − ∫ z cos(x) ∫ dz
π
2
z
π
2
0
π
2
0
π
2
0
 
Integramos por partes: 
u = z => du = dz ; v = ∫ cos(z) dz = sin(z) 
I = z sin(z) ∫ − ∫ sin(z)dx −
π
2
sin (
x
2
) + cos(z)
π
2
0
π
2
0
∫
x
2
π
2
0
+ cos (
x
2
) − cos(0) −
x
2
= 1 
 
𝒅) ∫ ∫ ∫
𝒚
𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
√𝟑𝒙
𝟎
𝒙
𝟎
𝟐
𝟏
 
Solución: 
𝑰 = ∫ ∫ ∫
𝑦
𝑦2 + 𝑧2
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√3𝑥
0
𝑥
0
2
1
=
1
2
∫ ∫ ln (𝑦2 + 𝑧2)| 𝑑𝑧𝑑𝑥0
𝑥
√3𝑋
0
2
1
 
𝐼 =
1
2
∫ ∫ [ln (𝑦2 + 𝑧2
√3𝑋
0
2
1
) − ln (𝑥2)]𝑑𝑧𝑑𝑥 
Integramos por partes: 
𝑢 = ln(𝑥2 + 𝑧2) => 𝑑𝑢 =
2𝑧𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑧2
; 𝑉 = ∫ 𝑑𝑧 = 𝑧 
𝐼 =
1
2
∫ [𝑧𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑧2) − 2𝑧𝑙𝑛(𝑥)| − ∫
2𝑧2𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑧2
√3𝑥
00
√3𝑥 ]
2
1
𝑑𝑥 
𝐼 =
1
2
∫ [√3𝑥𝑙𝑛(𝑥2 + 3𝑥2) − 2√3𝑥𝑙𝑛(𝑥) − ∫
2𝑧2𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑧2
√3𝑥
0
]
2
1
𝑑𝑥 
𝐼 =
1
2
∫ [√3𝑥𝑙𝑛(4) − ∫
2(𝑧1 + 𝑥2 − 𝑥2)𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑧2
√3𝑋
0
]
2
1
𝑑𝑥 
𝐼 =
1
2
∫ [√3𝑥𝑙𝑛(4) − 2𝑥2 ∫ 𝑑𝑧 + 2𝑥2 ∫
𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑧2
√3𝑥
0
√3𝑋
0
]
2
1
𝑑𝑥 
𝐼 = √3𝑥2ln (4)| −
1
21
2 ∫ [2𝑥2(√3𝑥)]
2
1
𝑑𝑥 + ∫ [𝑥𝑎𝑟𝑡𝑔 (
𝑧
𝑥)
| 0
√3𝑥 ]
2
1
𝑑𝑥 
𝐼 = √3(4 − 1) ln(4) − √3 ∫ 𝑥3
2
1
𝑑𝑥 + ∫ [𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3)]𝑑𝑥
2
1
 
𝐼 = 3√3 ln(4) −
√3
4
𝑥4 | −
𝜋𝑥2
61
2 | = 𝟑√𝟑1
2 𝐥𝐧(𝟒) −
𝟏𝟓√𝟑
𝟒
+
𝝅
𝟐
 
 
e) ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
 
 Solución: 
 ⟹ ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
 
 = ∫ ∫ 𝑥 cos(𝑦𝑧)|0
𝜋 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
 
 = ∫ ∫ [𝑥 cos(𝜋𝑦) − 𝑥] 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
 
 = ∫ [
𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑦)
𝜋
− 𝑥𝑦] |0
𝜋𝜋
0
𝑑𝑥 
 = ∫ [𝜋𝑥 −
𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜋2)
𝜋
] |0
𝜋𝜋
0
𝑑𝑥 
 = [
𝜋𝑥2
2
−
𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝜋2)
2𝜋
] |0
𝜋 
 =
𝜋3−𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜋2)
2𝜋
 
∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
=
𝜋3 − 𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜋2)
2𝜋
 
𝒇) ∫ ∫ ∫ 𝐲𝐞𝐳
𝐱+𝐲𝟐
𝟎
√𝐱
𝟎
𝐥𝐧𝟐
−𝐥𝐧𝟐
𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 
 
I = ∫ ∫ ∫ yezdzdxdy = ∫ ∫ yez
2
0
2
0
−Ln(x)
0
√x
0
ln2
0
∫ dxdy = ∫ ∫ [yeLn(x) − yez]dxdy
2
0
2
0
ln(x)
0
 
I = ∫ ∫ (xy − y)dxdy = ∫ (
x2y
2
− xy)
2
0
2
0
2
0
∫ dy = ∫ (
y3
2
− y3 −
y3
3
+ ye) dy
2
1
y2
y
 
I =
y2
12
−
y2
3
+
y1
3
∫ =
64 − 1
12
2
1
−
16 − 1
3
+
8 − 1
3
=
21
4
− 5 +
7
3
=
31
12
 
 
𝒈) ∫ ∫ ∫ 𝒙𝒚𝟐
𝒚
𝟎
𝒛
𝟎
𝟏
𝟎
𝒛𝟑𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 
Solución: 
∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦2
𝑦
0
𝑧
0
1
0
𝑧3𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ∫
𝑥2𝑦2𝑧3
2
𝑧
0
| 𝑑𝑦𝑑𝑧0
𝑦
1
0
 
∫ ∫
𝑥2𝑦2𝑧3
2
𝑧
0
𝑑𝑦𝑑𝑧 
1
0
 
𝐼 = ∫ ∫
𝑦4𝑧3
2
𝑧
0
𝑑𝑦𝑑𝑧
1
0
 
𝐼 = ∫
𝑦5𝑧3
10
| 𝑑𝑧0
𝑧
1
0
 
𝐼 = ∫
𝑍5𝑍3
10
1
0
𝑑𝑧 = ∫
𝑧8
10
1
0
𝑑𝑧 =
𝑧9
90
| =
𝟏
𝟗𝟎0
1 
h)∫ ∫ ∫
𝑦
𝑦2+𝑧2
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√3𝑥
0
𝑥
0
2
1
 
 Solución: 
 ⇒ ∫ ∫ ∫
𝑦
𝑦2+𝑧2
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√3𝑥
0
𝑥
0
2
1
 
 =
1
2
∫ ∫ ln(𝑦2 + 𝑧2)|0
𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥
√3𝑥
0
2
1
 
 =
1
2
∫ ∫ [ln(𝑥2 + 𝑧2) − ln(𝑥2)]𝑑𝑧𝑑𝑥
√3𝑥
0
2
1
 
 𝑢 = ln(𝑥2 + 𝑧2) ⇒ 𝑑𝑢 =
2𝑧𝑑𝑧
𝑥2+𝑧2
; 𝑣 = ∫ 𝑑𝑧 = 𝑧 
 =
1
2
∫ [2 ln(𝑥2 + 𝑧2) − 27 ln(𝑥)|0
√3𝑥 − ∫
2𝑧2𝑑𝑧
𝑥2+𝑧2
√3𝑥
0
] 𝑑𝑥
2
0
 
 =
1
2
∫ [√3𝑥 ln(𝑥2 + 3𝑥2) − 2√3𝑥 ln(𝑥) − ∫
2𝑧2𝑑𝑧
𝑥2+𝑧2
√3𝑥
0
] 𝑑𝑥
2
0
 
 =
1
2
∫ [2 ln(4) − ∫
2(𝑧2+𝑥2−𝑥2𝑑𝑧
𝑥2+𝑧2
√3𝑥
0
] 𝑑𝑥
2
0
 
 =
1
2
∫ [√3𝑥 ln(4) − 2𝑥2 ∫ 𝑑𝑧
√3𝑥
0
+ 2𝑥2 ∫
𝑑𝑧
𝑥2+𝑧2
√3𝑥
0
] 𝑑𝑥
2
0
 
 = √3𝑥2 ln(4) |21 −
1
2
∫ [2𝑥2(√3𝑥)]𝑑𝑥 +
2
0
∫ 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑧
𝑥
) |√3
0
2
0
𝑑𝑥 
 = √3(4 − 1) ln(4) − √3 ∫ 𝑥3𝑑𝑥
2
0
+ ∫ [𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(√3)]𝑑𝑥
2
1
 
 = 3√3 ln(4) −
√3
4
𝑥4|2
1
+
2𝑥2
6
|2
1
 
 = 3√3 ln(4) −
15√3
4
+
𝜋
2
 
∫ ∫ ∫
𝑦
𝑦2 + 𝑧2
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√3𝑥
0
𝑥
0
2
1
== 3√3 ln(4) −
15√3
4
+
𝜋
2
 
 
𝐢) ∫ ∫ ∫ (𝐳𝟐 − 𝐲)𝐝𝐳𝐝𝐱𝐝𝐲
𝐱
𝟏
𝐲
𝟎
𝟎
−𝟏
 
 
∫ ∫ ∫ (z2 − y)dzdxdy
x
1
y
0
0
−1
 = ∫ ∫
x2y2z3
2
y
0
−1
0
∫ dydz = ∫ ∫
y2y2z3
2
x
0
−1
0
y
o
dydz 
 
I = ∫ ∫ ∫ (z2 − y)dxdxdy = ∫ ∫ (
z3
3
− zy) ∫ dxdy
x
1
o
−1
o
−1
o
1
y
o
0
−1
 
I = ∫ ∫ (
x3
3
− xy
1
3
+ y)
o
1
0
−1
dxdy ∫ (
x4
13
−
x2y
2
−
x
3
+ xy)
o
−1
∫ dy
y
0
 
 
I = ∫ (
y4
12
−
y3
2
−
y
3
+ y2) dy
0
−1
=
y3
60
−
y4
8
−
y2
6
+
y3
3
∫ = 0 +
1
60
+
1
8
+
1
6
+
1
3
=
77
120
0
−1
 
 
 
𝒋) ∫ ∫ ∫ √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
√𝒂𝟐−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎
√𝒂𝟐−𝒙𝟐
𝟎
𝒂
𝟎
𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 
Solución: 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
0
√𝑎2−𝑥2
0
𝑎
0
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 
𝐼 = ∫ ∫ [𝑧√𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2
√𝑎2−𝑥2
0
𝑎
0
] 𝑑𝑦𝑑𝑥0
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
 
𝐼 = ∫ ∫ √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2
√𝑎2−𝑥2
0
𝑎
0
√𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 
𝐼 = ∫ ∫ (𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑎2−𝑥2
0
𝑎
0
 
𝐼 = ∫ (𝑎2𝑦 − 𝑥2𝑦 −
𝑦3
3
𝑎
0
)| 𝑑𝑥 0
√𝑎2−𝑥2 
𝐼 = ∫ [(𝑎2 − 𝑥2)√𝑎2 − 𝑥2 −
(𝑎2 − 𝑥2)3 2⁄
3
𝑎
0
]| 𝑑𝑥 0
√𝑎2−𝑥2 
𝐼 = ∫
2(𝑎2 − 𝑥2)3 2⁄
3
𝑎
0
𝑑𝑥 
Hacemos: 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜃) => 𝑑𝑥 = acos(𝜃) 𝑑𝜃 
𝑥 = 𝑎 => 𝑎 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜃) => 𝜃 =
𝜋
2
; 𝑥 = 0 => 0 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝜃) => 𝜃 = 0 
𝐼 =
2
3
∫ [𝑎2𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]3 2⁄
𝜋
2
0
acos(𝜃) 𝑑𝜃 =
2𝑎2
3
∫ 𝑐𝑜𝑠3(𝜃)
𝜋
2
0
cos(𝜃) 𝑑𝜃 
𝐼 =
2𝑎4
3
∫ [𝑠𝑒𝑛2(𝜃)]2
𝜋
2
0
𝑑𝜃 =
2𝑎4
3
∫ [
1 + cos(2𝜃)
2
]
2𝜋
2
0
𝑑𝜃 
𝐼 =
𝑎4
6
∫ [1 + 2 cos(2𝜃) + 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)]
𝜋
2
0
𝑑𝜃 
𝐼 =
𝑎4
3
[𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)| + ∫ [
1 + cos(4𝜃)
2
] 𝑑𝜃
𝜋
2
0
0
𝜋
2 ] 
𝐼 =
𝑎4
3
[
𝜋
2
+ 𝑠𝑒𝑛(𝜋) +
𝜃
2
+
𝑠𝑒𝑛(4𝜃)
8
| 0
𝜋
2 ] 
𝐼 =
𝑎4
3
[
𝜋
2
+
𝜋
4
+
𝑠𝑒𝑛(2𝜋)
8
] =
𝑎4
6
(
𝜋
2
+
𝜋
4
) =
𝒂𝟒𝝅
𝟖
 
 
k)∫ ∫ ∫
𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥2+𝑦2+𝑧2
√2𝑥𝑦
√1−𝑥2−𝑦2
2𝑥
𝑥
2
1
 
 Solución: 
 =
1
2
∫ ∫ ln(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) |
√2𝑥𝑦
√1−𝑥2−𝑦2
2𝑥
𝑥
2
1
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 =
1
2
∫ ∫ [ln(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦) − ln(𝑥2 + 𝑦2 − 1 − 𝑥2 − 𝑦2)]
2𝑥
𝑥
2
1
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 =
1
2
∫ ∫ [ln(𝑥2 + 𝑦2) − ln(1)]
2𝑥
𝑥
2
1
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 = ∫ ∫ [ln(𝑥 + 𝑦)]
2𝑥
𝑥
2
1
𝑑𝑦𝑑𝑥 
 𝑢 = ln(𝑥 + 𝑦) ⇒ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑦
𝑥+𝑦
 ; 𝑣 = ∫ 𝑑𝑦 = 𝑦 
 = ∫ [𝑦 ln(𝑥 + 𝑦)|2𝑥𝑥 − ∫
𝑦
𝑥+𝑦
2𝑥
𝑥
𝑑𝑦]
2
1
𝑑𝑥 
 = ∫ [2𝑥 ln(2𝑥 + 𝑥) − 𝑥 ln(𝑥 + 𝑥) − ∫
(𝑦+𝑥−𝑥)
𝑥+𝑦
2𝑥
𝑥
𝑑𝑦]
2
1
𝑑𝑥 
 = ∫ [𝑥 ln (
9𝑥
2
) − ∫ 𝑑𝑦 + 𝑥
2𝑥
𝑥
∫
𝑑𝑦
𝑥+𝑦
2𝑥
𝑥
]
2
1
𝑑𝑥 
 = ∫ [𝑥 ln (
9𝑥
2
) − 𝑦|2𝑥
𝑥
+ ln(𝑥 + 𝑦)|2𝑥
𝑥
]
2
1
𝑑𝑥 
 = ∫ [𝑥 ln (
9𝑥
2
) − 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 ln(3𝑥) − ln(2𝑥)]
2
1
𝑑𝑥 
 = ∫ [𝑥 ln (
27𝑥
4
) − 𝑥]
2
1
𝑑𝑥 
 𝑢 = ln (
27𝑥
4
) ⇒ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
 ; 𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 
 =
𝑥2
2
ln (
27𝑥
4
) |2
1
− ∫
𝑥2𝑑𝑥
2𝑥
−
𝑥2
2
|2
1
2
1
 
 = 2 ln (
27
2
) −
𝑥2
4
|2
1
− 2 +
1
2
 
 = 2 ln (
27
2
) −
1
2
ln (
27
2
) − 1 +
1
4
− 2 +
1
2
ln (
81√3
2
) −
9
4
 
 =
1
2
ln (
273 .81√3
16
) − 5 
∫ ∫ ∫
𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑦2 +𝑧2
√2𝑥𝑦
√1−𝑥2−𝑦2
2𝑥
𝑥
2
1
=
1
2
ln (
273. 81√3
16
) − 5 
 
𝐋) ∫ ∫ ∫ 𝐫𝐝𝐳𝐝𝐫𝐝𝛉
𝟒+𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝛉
𝐨
𝐜𝐨𝐬 𝛉
𝟎
𝛑
𝟐
𝟎
 
∫ ∫ zr ∫ drdθ
4+r sin θ
0
cos θ
0
π
2
0
 
∫ ∫ (4 + r sin θ)
cos θ
0
π
2
0
rdrdθ 
∫ ∫ (4r + r2 sin θ)
cos θ
0
π
2
0
drdθ 
∫ 4r +
r3
3
π
2
0
 sin θ ∫ dθ
cos θ
0
 
 
∫ [2cos2θ +
cos2θ
3
∙ sin θ] dθ
π
2
0
 
2 ∫ cos2
π
2
0
dθ +
1
3
∫ cos3
π
2
0
θ sin θdθ 
1
3
∫ cos2 ∙ sin θ ∙ dθ
π
2
0
 
u = cos θ => du = sin θdθ 
−
1
2
∫ u2du
π
2
0
 
+
sin θ
4
∫ −
1
8
π
2
0
−
4
4
∫ −
1
2
π
2
0
cos θ ∫
11
4
π
2
0
−
1
12
dθ =
3u
12
 
5. – Calcule las siguientes integrales triples sobre el sólido U dado: 
 a) ∭ (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑢
 
 𝑈 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧)/0 ≤ 𝑥 ≤ √4 − 𝑦2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3} 
 Solución: 
 ∫ ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
3
0
2
0
√4−𝑦2
0
 
 = ∫ ∫ (
2
0
√4−𝑦2
0
𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥𝑧)|0
3𝑑𝑦𝑑𝑧 
 = ∫ ∫ (9 + 6𝑦 − 9𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧
2
0
√4−𝑦2
0
 
 = ∫ (9𝑦 + 3𝑦2 − 9𝑦𝑧)|0
2𝑑𝑧
√4−𝑦2
0
 
 = ∫ (18 + 12 − 18𝑧)𝑑𝑧
√4−𝑦2
0
 
 = (18𝑧 + 12𝑧 − 9𝑧2)|0
√4−𝑦2
 
 = 18√4 − 𝑦2 − 12√4 − 𝑦2 − 9(4 − 𝑦2) 
 = 18√4 − 𝑦2 − 12√4 − 𝑦2 + 9𝑦2 − 36 
∫ ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
3
0
=
2
0
√4−𝑦2
0
18√4 − 𝑦2 − 12√4 − 𝑦2 + 9𝑦2 − 36 
 
 b) ∭ (
1
𝑥2
+
1
𝑦2
−
1
𝑧2
)𝑑𝑉
𝑢
 
 𝑈 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧)/0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦2, 0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑧, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
 Solución: 
 ∫ ∫ ∫ 𝑥
1
2⁄ + 𝑦
1
2⁄ + 𝑧
1
2⁄ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
1
0
√𝑧
0
𝑦2
0
 
 = ∫ ∫ (
2
3
𝑥
3
2⁄ + 𝑦
1
2⁄ 𝑥 + 𝑧
1
2⁄ 𝑥) |0
1𝑑𝑦𝑑𝑧
√𝑧
0
𝑦2
0
 
 = ∫ ∫ (
2
3
+ 𝑦
1
2⁄ + 𝑧
1
2⁄ ) 𝑑𝑦𝑑𝑧
√𝑧
0
𝑦2
0
 
 = ∫ (
2
3
𝑦 +
2
3
𝑦3 2⁄ + 𝑧1 2⁄ 𝑦) |0
√𝑧𝑑𝑧
𝑦2
0
 
 = ∫ (
2
3
𝑧1 2⁄ +
2
3
(𝑧1 2⁄ )3 2⁄ + 𝑧1 2⁄ 𝑧1 2⁄ ) 𝑑𝑧
𝑦2
0
 
 = ∫ (
2
3
𝑧1 2⁄ +
2
3
𝑧3 4⁄ + 𝑧) 𝑑𝑧
𝑦2
0
 
 = (
4
9
𝑧3 2⁄ +
8
21
𝑧7 4⁄ +
𝑧2
2
) |0
𝑦2
 
 = (
4
9
𝑦3 +
8
21
𝑦7 2⁄ +
𝑧4
2
) 
∭ (
1
𝑥2
+
1
𝑦2
−
1
𝑧2
)𝑑𝑉 = (
4
9
𝑦3 +
8
21
𝑦7 2⁄ +
𝑧4
2
)
𝑢
 
 
 
 
 
 
 
1.-Use coordenadas cilíndricas o esféricas para calcular la integral triple en 
cada caso: 
a) ∭
𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+(𝒛−𝟐)𝟐
 donde U es la esfera 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟏 
Graficando: 
 
En coordenadas cilíndricas 
0 < 𝑟 ≤ 1 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
−1 ≤ 𝑧 ≤ 1 
Asumimos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
𝐼 = ∭
𝑑𝑦 (𝑟𝜃𝑧)
√𝑟2 + (𝑧 − 2)2
𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 
𝐼 = ∭
𝑟
√𝑟2 + (𝑧 − 2)2
𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃 
 
𝑢2 = 𝑟2 + (2𝑧)2 
2𝑢𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟 
𝑢𝑑𝑢 = 𝑟𝑑𝑟 
𝐼 = ∭
𝑢𝑑𝑢
𝑢
𝑑𝑧 𝑑𝜃 
𝐼 = ∭ 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝜃 
𝐼 = ∭ √𝑟2 + (𝑧 − 2)2 ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝜃
1
0
 
∫ ∫ [√1 + (𝑧 − 2)2 − √(𝑧 − 2)2]
1
−1
2𝜋
0
𝑑𝑧 𝑑𝜃 
∫ [∫ [√1 + (𝑧 − 2)2𝑑𝑧] − ∫ (𝑧 − 2)𝑑𝑧
1
−1
1
−1
]
2𝜋
0
𝑑𝜃 
Por sustitución trigonométrica 
√1 + (𝑧 − 2)2 
 
 
tan 𝜃 = 𝑧 − 2 
𝑑𝑧 = sec 𝜃𝑑𝜃2 
∫ [∫ √1 + tan 2𝜃 − sec 2𝜃 𝑑𝜃 − ∫ (𝑧 − 2)𝑑𝑧
1
−1
1
−1
]
2𝜋
0
𝑑𝜃 
∫ [∫ sec 3𝜃 𝑑𝜃 −
𝑧2
2
+ 2𝑧
1
−1
]
2𝜋
0
𝑑𝜃 
 B 
En (B) integrando por partes: 
∫ [
1
2
sec 𝜃 tan 𝜃 +
1
2
ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) −
𝑧2
2
+ 2𝑧]
2𝜋
0
 
∫ [
1
2
√1 + (𝑧 − 2)2. (𝑧 − 2) +
1
2
ln (√1 + (𝑧 − 2)2 + (𝑧 − 2)) −
𝑧2
2
+ 2𝑧] 𝑑𝑧
2𝜋
0
 
∫ [
1
2
√1 + 1. (−1) +
1
2
ln(√2 − 1) −
1
2
+ 2]
2𝜋
0
 
− (
1
2
√10. (−3) +
1
2
ln(√10 − 3) −
1
2
+ 2) 𝑑𝜃 
∫ [−
√2
2
+
1
2
ln(√2 − 1) −
1
2
+ 2 +
3
2
√10 −
1
2
ln(√10 − 5) +
5
2
]
2𝜋
0
 
∫ [
3√10 − √2
2
+
1
2
ln (
√2 − 1
√10 − 3
) + 4] 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
[
3√10 − √2
2
𝜃 +
1
2
ln (
√2 − 1
√10 − 3
) 𝜃 + 4𝜃] 
(3√10 − √2)𝜋 + ln (
√2 − 1
√10 − 3
) 𝜋 + 8𝜋 
 
 
 
b) ∫ ∫ ∫ √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
𝒛√𝒂𝟐−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎
√𝒂𝟐−𝒙𝟐
𝟎
𝒂
𝟎
𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 
Por coordenadas esféricas 
∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑎2−𝑥2−𝑦2
0
√𝑎2−𝑥2
0
𝑎
0
 
 
 
 
 
 
 
0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑎2 − 𝑥2 − 𝑦2 
0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑎2 − 𝑥2 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎 
0 ≤ ∅ ≤
𝜋
2
 
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 
 => 8 ∫ ∫ ∫ 1 ∙ 𝜌2
𝑎
0
𝜋
2
0
𝜋
2
0
sin ∅𝑑𝜌𝑑∅ 𝑑𝜃 
8 ∫ ∫
−𝜌3
3
𝜋
2
0
𝜋
2
0
sin ∅ ∫ 𝑑∅𝑑𝜃
𝑎
0
 
8 ∫ ∫
−𝑎3
3
𝜋
2
0
𝜋
2
0
sin ∅ 𝑑∅𝑑𝜃 
8 ∫
−𝑎3
3
𝜋
2
0
cos ∅ ∫ 𝑑𝜃 = 8 ∫
𝑎3
3
𝜋
2
0
𝜋
2
0
𝑑𝜃 
 
= 8
a3
3
θ ∫ =
4a3
3
π
2
0
π u3 
c) ∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
√𝑏2−𝑥2
0
𝑏
0
ℎ
0
 
Solución: 
Por coordenadas cilíndricas: 
𝐷 {
0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑏2 − 𝑥2
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ
 
 {
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏
𝑜 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2⁄
0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ
 ⇒ {
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧
 ⇒ 𝐽(𝑟; 𝜃; 𝑧) = 𝑟 
= ∫ ∫ ∫ 𝑟. 𝑟
ℎ
0
𝑏
0
𝜋
2
0
𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 
 = ∫ ∫ 𝑟2𝑧|ℎ𝑜𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑏
0
𝜋
2
0
 
 = ∫ ∫ ℎ𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑏
0
𝜋
2
0
 
 = ∫
4𝑟3
3
𝜋
2
0
|𝑏
0
𝑑𝜃 
 = ∫
4𝑏3
3
𝑑𝜃
𝜋
2
0
 
 =
4𝑏3
3
𝜃 |
𝜋
2⁄
0
 
 =
2𝜋𝑏3
3
 
∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
2𝜋𝑏3
3
√𝑏2−𝑥2
0
𝑏
0
ℎ
0
 
) ∫ ∫ ∫ 𝑧√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑎
0
√2𝑥2+𝑥2
0
2
0
 
 
 Solución 
Sea D: {
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 ≤ 𝑦 ≤ √2𝑥 + 𝑥 
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎
 ⇒ 
𝑧 = 0
𝑦 = 0
𝑥 = 0
 
,
,
,
 
𝑧 = 0
 𝑦 = 2√2𝑥 + 𝑥2
𝑥 = 0
 
 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑧 = 𝑧 
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜃 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎 
 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑧
𝑎
0
√2𝑥−𝑥2
0
2
0
√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑧. 𝑟. 𝑟 𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃
𝑎
0
2𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋 2⁄
0
 
= ∫ (∫ 𝑟2
2𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝑧2
2
𝜋 2⁄
0
/𝑑𝑟)𝑑𝜃 = 
𝑎2
2
∫ (∫ 𝑥2
2𝑐𝑜𝑠𝜃
0
𝜋 2⁄
0
𝑑𝑟)𝑑𝜃 =
𝑎2
2
∫
𝑟3
3
𝜋 2⁄
0
/ 
=
4𝑎2
3
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃3
𝜋 2⁄
0
𝑑𝜃 =
4𝑎2
3
∫ (1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝜋 2⁄
0
𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = 
4𝑎2
3
[1 −
1
3
] =
𝟖𝒂
𝟗
 
 
𝒆) ∫ ∫ ∫ √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟐𝒚
√𝟏−𝒙𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
 
Solución: 
0 ≤ θ ≤ π 2⁄ ; 0 ≤ ∅ ≤
π
2⁄ ; 0 ≤ ρ ≤ 1 
𝑑𝑉 = 𝜌2 sin(∅) 𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃 
∫ ∫ ∫ √𝜌2 sin(∅) 𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃
1
0
π
2⁄
0
π
2⁄
0
 => ∫ ∫ ∫ 𝜌 sin(∅) 𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃
1
0
π
2⁄
0
π
2⁄
0
 
∫ ∫ ∫ 𝜌3 sin(∅) 𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃
1
0
π
2⁄
0
π
2⁄
0
=> ∫ ∫ [
𝜌4 sin(∅)
4
]0
1𝑑∅𝑑𝜃
π
2⁄
0
π
2⁄
0
 
2 
𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 
Y 
x 
∫ ∫
sin(∅)
4
𝑑∅𝑑𝜃
π
2⁄
0
π
2⁄
0
= −
1
4
∫ [cos(∅)]0
π
2⁄ 𝑑𝜃
π
2⁄
0
 
−
1
4
∫ cos(𝜋 2⁄ ) − cos(0) 𝑑𝜃
π
2⁄
0
= −
1
4
∫ −1𝑑𝜃
π
2⁄
0
 
1
4
[𝜃]0
π
2⁄ =
𝜋
8
𝑢3 
 
 
f) ∫ ∫ ∫ 𝒛
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎
𝒙
𝟎
𝟏
√𝟐
⁄
𝟎
 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−𝟏/𝟐𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙 
Solución: 
 
 
∫ 𝒛
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−𝟏/𝟐𝒅𝒛 
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−
𝟏
𝟐 ∫ 𝑧𝑑𝑧 
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
0
= (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)−
𝟏
𝟐 
𝑧2
2
| 
 
ℎ) ∭
𝑼
𝒆
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝒛 𝒅𝒗, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐔 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐬𝐨𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐚𝐜𝐨𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞 𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 𝐲 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒛 𝒚 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝒛 = 𝟐 
Solución: 
Graficamos 
 
Límites: −
𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
3𝜋
4
; 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎 ; 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎 
Integramos 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑒𝑥
𝑎
𝑟
𝑎
0
3𝜋
4
−𝜋
4
𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑒𝑥| 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ ∫ (𝑒𝑎
𝑎
0
3𝜋
4
−𝜋
4
𝑟
𝑎𝑎
0
3𝜋
4
−𝜋
4
− 𝑒𝑟)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
 
Integración por partes 𝑢 = 𝑟 => 𝑑𝑢 = 𝑑𝑟; 𝑉 = ∫(𝑒𝑎 − 𝑒𝑟)𝑑𝑟 = 𝑟𝑒𝑎 − 𝑒𝑟 
𝐼 = ∫ [𝑟 (𝑟𝑒𝑎 − 𝑒2)| − ∫ (𝑟𝑒𝑎
𝑎
𝑜
0
𝑎 − 𝑒𝑟)𝑑𝑟]𝑑𝜃 
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
 
𝐼 = ∫ [𝑎(𝑎𝑒𝑎 − 𝑒2) − (
𝑟2𝑒𝑎
2 − 𝑒
𝑟) | 0
𝑎 ] 𝑑𝜃 
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
 
𝐼 = ∫ [𝑎(𝑎𝑒𝑎 − 𝑒2) + (−
𝑎2𝑒𝑎
2
+ 𝑒𝑎 − 1) | 0
𝑎 ] 𝑑𝜃 
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
 
𝐼 = (𝑎2𝑒𝑎 − 𝑎𝑒𝑎 −
𝑎2𝑒𝑎
2
+ 𝑒𝑎 − 1)𝜃| = 
𝝅
𝟐0
𝑎 [𝒂𝟐𝒆𝒂 − 𝟐𝒆𝒂(𝒂 − 𝟏) − 𝟐] 
𝒇) ∫ ∫ ∫ 𝐳(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐
𝐱
𝟎
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
𝟎
𝟏
√𝟐
𝟎
𝐝𝐳𝐝𝐲𝐝𝐱 
Solución: 
I = ∫ z(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
0
𝐝𝐳 
I = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐 ∫ 𝑧
√𝟏−𝒙𝟐−𝒚𝟐
0
 𝐝𝐳 
I = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐
𝒛𝟐
𝟐
 
I = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)
𝟐
 
I = ∫ (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
−𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐)
𝟐
𝒙
𝟎
𝒅𝒚 
I = ∫ √2 
1
√2
0
𝑋(1 − 2𝑋2)𝒅𝒙 
 Remplazando obtenemos: 11
√𝟐 𝒍𝑵(𝟏+√𝟐)𝟒𝟖
-
𝟏
𝟐𝟒
 
 
 
3.- Con la ayuda de coordenadas cilíndricas o esféricas, evalue las 
siguientes integrales: 
 
a) ∭(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝟑/𝟐 dv, u: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 ≤ 𝟏 
Llevando a coordenadas esféricas: 
 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 
0 ≤ 𝑒 ≤ 1 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤1 
 
 
 
 
 
Se sabe que: 
𝑥 = 𝑒 cos ∅ sin ∅ 
𝑦 = 𝑒 sin ∅ sin ∅ 
𝑧 = 𝑒 cos ∅ 𝐽(𝑟, 𝜃, ∅) = 𝑒2 sin ∅ 
𝑒2 cos 𝜃2 sin ∅2 + 𝑒2 sin 𝜃2 sin ∅2 + 𝑒2 cos 𝜃2 = 1 
𝑒2 = 1 
𝑒2 cos 𝜃2 sin ∅2 + 𝑒2 sin 𝜃2 sin ∅2 + 𝑒2 cos 𝜃2 = 1 
𝑒 = ±1 
Entonces: 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ (𝑒2)
3
2𝑒2 sin ∅
1
0
𝜋
0
2𝜋
0
𝑑𝑒 𝑑∅ 𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑒5 sin ∅
1
0
𝜋
0
2𝜋
0
𝑑𝑒 𝑑∅ 𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ ∫
𝑒6
6
sin ∅
𝜋
0
2𝜋
0
 𝑑∅ 𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ ∫
1
6
sin ∅
𝜋
0
2𝜋
0
 𝑑∅ 𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ −
1
6
[cos ∅]
2𝜋
0
 𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ −
1
6
[−1 − 1]
2𝜋
0
 𝑑𝜃 
𝐼 = 
1
3
∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
= 
1
3
∅ ∫ .
2𝜋
0
=
2𝜋
3
 
 
 
 
 
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑇 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑠 𝑧
𝑇
=
1
2
(𝑥2 + 𝑦2), 𝑧 = 2 
Solución 
𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝑧 = 𝑧 
𝑡 = (𝑟, 𝜃, 𝑧)0 ≤ 𝑟 ≤ 2 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ 
𝑟2
2
≤ 𝑧 ≤ 2 
∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑟2
2
𝑟3 2⁄
2𝜋
0
2
0
𝑇
. 𝑟 𝑑𝑧)𝑑𝜃)𝑑𝑟 
= ∫ (∫ 𝑟3(2 −
𝑟2
2
2𝜋
0
2
0
)𝑑𝜃)𝑑𝑟 = ∫ 2𝜋(2𝑟3
2
0
−
𝑟5
2
)𝑑𝑟 
= 2𝜋 (
𝑟4
2
−
𝑟6
12
) | =
𝟏𝟔
𝟑
𝝅 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.- calcule 𝒍 = ∭(𝒙 + 𝒚 + 𝒛)(𝒙 + 𝒚 − 𝒛)(𝒙 − 𝒚 − 𝒛)𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛, donde U es el 
tetraedro limitado por los planos x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0, 2x-z=1. 
Solución: 
u = x + y + z 
𝑣 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 
𝑤 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 
𝑥 =
𝑢 + 𝑤
2
 
𝑦 =
𝑣 − 𝑤
2
 
𝑧 =
𝑢 − 𝑣
2
 
𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤) = −
1
4
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
𝑢 + 𝑤
2
+
𝑣 − 𝑤
2
+
𝑢 − 𝑣
2
= 0 ⇒ 𝑢 = 0 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 =
𝑢 + 𝑤
2
+
𝑣 − 𝑤
2
−
𝑢 − 𝑣
2
= 0 ⇒ 𝑣 = 0 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 =
𝑢 + 𝑤
2
−
𝑣 − 𝑤
2
−
𝑢 − 𝑣
2
= 0 ⇒ 𝑤 = 0 
2𝑥 − 𝑧 = 2
𝑢 + 𝑤
2
−
𝑢 − 𝑤
2
= 1 ⇒ 2𝑢 − 𝑣 + 4𝑤 = 1 
𝐷 = {(𝑢, 𝑣, 𝑤)/𝑢 = 0, 𝑣 = 0, 𝑤 = 0, 2𝑢 − 𝑣 + 4𝑤 = 1} 
∭
(𝒙 + 𝒚 + 𝒛)(𝒙 + 𝒚 − 𝒛)(𝒙 − 𝒚 −
𝒛)𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
 
∭ uvw/J(u, v, w)𝑑u𝑑𝑣𝑑𝑤 
1
4
∫ ∫ ∫ 𝑤𝑢𝑣𝑑𝑣𝑑𝑤𝑑𝑢
2𝑢+4𝑤−1
0
1−2u
4⁄
0
1
2⁄
0
=
1
4
∫ ∫ ⌈𝑤
𝑢𝑣2
2
⌉
0
2𝑢+4𝑤−1
𝑑𝑤𝑑𝑢
1−2u
4⁄
0
1
2⁄
0
 
1
8
∫ ∫ 𝑤𝑢(4(𝑢2/+4𝑤2 + 4𝑤𝑢 − 𝑢 − 2𝑤) + 1)𝑑𝑤𝑑𝑢
1−2u
4⁄
0
1
2⁄
0
=
1
8
∫ ⌈𝑢𝑤2(4(𝑢2𝑤 + 4𝑤3/3 + 2𝑤2𝑢 − 𝑢𝑤 − 𝑤2) + 𝑤)⌉0
1−2u
4⁄ 𝑑𝑢
1
2⁄
0
 
∫ 𝑢(1 − 2u 4⁄ )
2
(
4𝑢2 − 4𝑢 + 1
3
)𝑑𝑢
1/2
0
= ⌈
8𝑢6
3
−
32𝑢5
5
+ 6𝑢4 −
8𝑢3
3
+
𝑢2
2
⌉
0
1
2⁄
=
1
184
𝑢3 
5-calcule I=∭ √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +
𝒛𝟐 𝒅𝒗 , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒖 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒐 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒔 𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, z=3 
∭(√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 z=√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 z=3 
∫ (√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝟎
𝑑𝑥=
2𝑥
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 
∫
2√𝒙𝟐+𝒚𝟐
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒚
𝟎
dy=
2√𝒙𝟐+𝒚𝟐
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
y 
∫
(2√𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝒚
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝟑
𝟎
=
(2√𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝒚
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
 remplasando obtenemos :(27√2 −
27
2
)𝜋 
 
7. − 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 ∭ 𝒙√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝑼
 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛, 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝑼 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝐬𝐨𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐞𝐱𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚𝐥 𝐜𝐢𝐥𝐢𝐧𝐝𝐫𝐨 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟎 𝐲 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐮𝐩𝐞𝐫𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐬 𝒛 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛 + 𝟏𝟐, 𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟎, 𝐬𝐮𝐠𝐞𝐫𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐜𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚𝐬 𝐜𝐢𝐥𝐢𝐧𝐝𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬 
Solución: 
𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 0 => 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 
En el esquema: 
 
Los limites: 
−
𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
3𝜋
4
 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 0 => 𝑟2 = 2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) => 0 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
𝑟2 − 12 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟
Integramos: 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)√𝑟2
𝑟
𝑟2−12
2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
0
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 
 𝐼 = ∫ ∫ 𝑟3cos (𝜃)(𝑟 − 𝑟2
2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
0
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
+ 12)𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝐼 = ∫ ∫ cos (𝜃)(𝑟4 − 𝑟5
2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
0
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
+ 12𝑟3)𝑑𝑟𝑑𝜃 
 𝐼 = ∫ cos (𝜃)[
𝑟5
5
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
−
𝑟6
6
+ 3𝑟4]0
2𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑑𝜃 
 𝐼 = ∫ cos (𝜃)[
32𝑠𝑒𝑛5(𝜃)
5
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
−
32𝑠𝑒𝑛6(𝜃)
3
+ 48𝑠𝑒𝑛4(𝜃)]𝑑𝜃 
 𝐼 = [
32𝑠𝑒𝑛6(𝜃)
30
−
32𝑠𝑒𝑛7(𝜃)
21
+
48𝑠𝑒𝑛4(𝜃)
5
]
3𝜋 4⁄
−𝜋 4⁄
 
𝑰 =
𝟏𝟔
𝟏𝟓
[𝒔𝒆𝒏𝟔 (
𝟑𝝅
𝟒
) − 𝒔𝒆𝒏𝟔 (
𝝅
𝟒
)] +
𝟒𝟖
𝟓
[𝒔𝒆𝒏𝟓 (
𝟑𝝅
𝟒
) + 𝒔𝒆𝒏𝟓 (
𝝅
𝟒
)]
−
𝟑𝟐
𝟐𝟏
[𝒔𝒆𝒏𝟕 (
𝟑𝝅
𝟒
) + 𝒔𝒆𝒏𝟕 (
𝝅
𝟒
)] 
 
10.-Halle el volumen del solido bajo la superficie 𝐳 = 𝟒 − 𝐱𝟐 −
𝐲𝟐; 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 𝐚𝐥 𝐜𝐢𝐥𝐢𝐧𝐝𝐫𝐨 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝟏 𝐲 𝐬𝐨𝐛𝐫𝐞 𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 𝐱𝐲 
 
En el esquema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los limites, pasamos a coordenadas cilíndricas: 
𝑥2 + 𝑦2 => 𝑟 = 1 => 0 ≤ 𝑟 ≤ 1; 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑟2; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
v = ∫ ∫ ∫ rdzdrdθ = ∫ ∫ 𝑟(4 − 𝑟2)
1
0
2𝜋
0
4−r2
0
5
0
2π
0
𝑑𝑟𝑑𝜃 
v = ∫ (2𝑟2 −
𝑟4
4
)
2𝜋
0
∫ 𝑑𝜃 = (2 −
1
4
)
1
0
𝜃 ∫ =
7(2𝜋)
4
2𝜋
0
=
7𝜋
2
𝑢3 
 
13.- encuentre el volumen en el primer octante acotado por el paraboloide 
𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 , el cilindro 𝒚 = 𝒙𝟐 y los planos y=x, z=0 
Solución: 
 
∫ ∫ |𝒛|𝟎
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒙
𝒙𝟐
𝟏
𝟎
 => ∫ ∫ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐𝒅𝒚𝒅𝒙
𝒙
𝒙𝟐
𝟏
𝟎
 
= ∫ |𝒙𝟐𝒚 +
𝒚𝟑
𝟑
|
𝒙𝟐
𝒙
𝑑𝑥
1
0
= ∫ ((𝒙𝟐(𝒙) +
𝒙𝟑
𝟑
) − (𝒙𝟐(𝒙𝟐)
𝟏
𝟎
+
(𝒙𝟐)𝟑
𝟑
))𝒅𝒙 
∫ (𝒙𝟑 +
𝒙𝟑
𝟑
− 𝒙𝟒 +
𝒙𝟔
𝟑
𝟏
𝟎
)𝒅𝒙 = ∫ (
𝟒𝒙𝟑
𝟑
− 𝒙𝟒 +
𝒙𝟔
𝟑
𝟏
𝟎
)𝒅𝒙 = |−
𝟒𝒙𝟕
𝟐𝟏
−
𝒙𝟓
𝟓
+
𝟒𝒙𝟒
𝟏𝟐
|
𝟎
𝟏
 
=
−𝟒(𝟏)𝟕
𝟐𝟏
−
(𝟏)𝟓
𝟓
+
(𝟏)𝟒
𝟑
=
𝟑
𝟑𝟓
𝒖𝟑 
14 Halle los volúmenes de los cuerpos limitados por las superficies que se 
indiquen. 
a) Por los cilindros z=2/𝒙𝟐,2x-𝒙𝟐 𝒚 𝒐𝒓 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒙 =
𝟏
𝟐
. 𝒙 =
𝟑
𝟐
. 𝒚 = 𝟎,z=0 en 
el primer octante. 
Solución: 
∫ ∫ ∫ 𝒌𝒓𝟑
𝒚
𝒓𝟐
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
dzdrd𝜽 
K=k∫ ∫ (𝒓𝟒
𝟏
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
− 𝒓𝟓)𝒅𝒓𝒅𝜽 = 𝒌 ∫
(
𝒓𝟓
𝟓
−
𝒓𝟔
𝟔
) 𝒅𝜽𝟐𝝅
𝟎
 
Reemplazando obtenemos: (4ln(3)-2)𝒖𝟑 
 
i)por el paraboloide 𝒙𝟐+𝟒𝒚𝟐=z el plano z=0 y los cilijdros 𝒚𝟐 = 𝒙, 𝒙𝟐=y 
𝒙𝟐+𝒛𝟐 = 𝒚𝟐 , 𝒙𝟐+𝒛𝟐=5y 
∫ ∫ ∫ 𝒓𝒅𝒛𝒅𝜽
𝒚
𝟎
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
= ∫ (∫ 𝒓𝟐𝒛 𝒅𝒓 𝒅𝜽
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 
∫ (∫ 𝟒𝒓𝟐𝒅𝒓𝒅𝜽
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 
∫
𝟒𝒓𝟑
𝟑
𝝅
𝟐
𝟎
𝒅𝜽 
Reemplazado obtenemos: 
𝟑
𝟕
𝒖𝟑 
j) Po la superficies 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒𝒂𝒙, 𝒙 = 𝟑𝒂, 𝒚𝟐 = 𝒂𝒙 
Solución: 
∫ (∫ (∫ 𝒓𝒅𝒛)𝒅𝒓)𝒅𝜽
𝟒
𝟎
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 
 ∫ ∫ 𝒓𝟐𝒛𝒅𝒓𝒅𝜽
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
=∫ (∫ 𝟒𝒓𝟐
𝟑
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
𝒅𝒓𝒅𝜽 
∫
𝟒𝒓𝟑
𝟑
𝒅𝜽
𝝅
𝟐
𝟎
 
Remplazando obtenemos: (6𝝅+9√𝟑 )𝒖𝟑 
d) 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, sobre el cono 𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 ∫ ∫ ∫ 𝜌2sin(∅) 𝑑𝜌𝑑∅𝑑𝜃
𝑎
0
π
4⁄
0
2π
0
 => ∫ ∫ [
𝜌3 sin(∅)
3
]0
𝑎𝑑∅𝑑𝜃
π
4⁄
0
2π
0
 
∫ ∫
𝑎3 sin(∅)
3
𝑑∅𝑑𝜃
π
4⁄
0
2π
0
= 
𝑎3
3
∫ [− cos(∅)]0
π
4⁄ 𝑑𝜃
2π
0
 
=
𝑎3
3
∫ (1 −
√2
2
)𝑑𝜃
2π
0
=
𝑎3
3
[(1 −
√2
2
)𝜃]
0
π
4⁄
=
2𝜋𝑎3
3
(1 −
√2
2
) 
17. −𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= √𝑥2 + 𝑦2 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜𝑜 𝐷𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 
𝑧 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑑𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑧 = 2 , 𝑧 = 𝑟 
Solución 
𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟. 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑧=2
𝑧=𝑟
𝑟=2
𝑟=0
𝜃=2𝜋
𝜃=0
 
[(2 − 𝑟)𝑟2 = (2𝑟2 − 𝑟3)] 
𝐼 = ∫
4
3
𝑑𝜃 =
𝟖𝝅
𝟑
2𝜋
0
 
 
 
 
 
 
)𝑐). 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑥2 + 𝑦2 =
𝑧 𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑥2 +𝑦2 = 𝑧2 , 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑘 𝑠𝑙𝑢𝑝/𝑝3 
Solución 
{
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛
 ⟹ 𝒛𝟐 = 𝒛 ⇒ {
𝑧 = 0
𝑧 = 1
 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 
𝐷 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧 /0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 , 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟} 
𝑀𝑥𝑦 = ∫ (∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 = ∫ (∫
𝑘
2
(𝑟3 − 𝑟5)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
=
𝑘
2
∫ (
𝑟4
4
2𝜋
0
−
𝑟6
6
)(∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟 = ∫ (∫
𝑘
2
(𝑟3 − 𝑟5)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
0
1
0
 
𝑀
𝑥𝑧=∫ (∫ (∫ 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃= ∫ (∫ 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟2(𝑟−𝑟2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
= ∫ (𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃 (
𝑟4
4
−
𝑟5
6
) |𝑑𝜃 =
𝑘
20
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝜋
0
=
𝑘
20
𝑠𝑒𝑛𝜃| =
𝑘
20
(0 − 0) = 0
2𝜋
0
 
𝑀𝑦𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑟𝑘𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 = 𝑘 ∫ (∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟
2)(𝑟 − 𝑟2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
= 𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 (
𝑟4
4
−
𝑟5
5
) |𝑑𝜃 =
𝑘
20
(−𝑐𝑜𝑠𝜃)| = −
𝑘
20
(1 − 1) = 0
2𝜋
0
 
𝑀 = ∫ (∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ (∫ 𝑟(𝑟 − 2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
=
𝑘
2
∫ (∫ (𝑟2 − 𝑟3)𝑑𝑟𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ (
𝑟3
3
−
𝑟4
4
) |𝑑𝜃 =
𝑘
240
∫ 𝑑𝜃 =
𝑘𝜋
12
2𝜋
0
2𝜋
0
1
0
2𝜋
0
 
𝑋 =
𝑀𝑦𝑧
𝑀
=
0
𝜋𝑘
12
= 0 , 𝑌 =
𝑀𝑥𝑧
𝑀
= 0 , 𝑍 =
𝑀𝑥𝑦
𝑀
=
𝜋𝑘
12
𝜋𝑘
12
= 1 
𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒆𝒔 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 
 
 
 
 
𝑏). 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∭
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2
𝑈
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 
Solución 
𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 
{
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧 
 → 𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 
𝐷 = {
𝑟, 𝜃, 𝑧
0
≤ 𝑟 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 } 
∭
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2
𝑈
= ∫ (∫ (∫
𝑟𝑑𝑟
√𝑟2 + (𝑧 − 2)2
1
0
𝑑𝑧)𝑑𝜃
1
−1
2𝜋
0
 
= ∫ (∫ √𝑟2 + (𝑧 − 2)2|𝑑𝑧)𝑑𝜃 = ∫ (∫ [√1 + (𝑧 − 2)2 − (−(𝑧 − 2))] 𝑑𝑧)𝑑𝜃
1
−1
2𝜋
0
1
−1
2𝜋
0
 
= ∫ [
𝑧 − 2
2
√1 + (𝑧 − 2)2 +
1
2
ln |𝑧 − 2 + √𝑧2 − 4𝑧 + 5|
𝑧2
2
− 2𝑧] 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= ∫ [
3√10 − √2
2
+
1
2
ln |
√2 − 1
√10 − 3
| −
3
2
] 𝑑𝜃
2𝜋
0
= [(𝟑√𝟏𝟎 − √𝟐 − 𝟑) + 𝐥𝐧 |
√𝟐 − 𝟏
√𝟏𝟎 − 𝟑
|] 𝝅 
 
18) calcule el volumen del solido encerrado entre las superficies entre las 
superficies 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒚𝟐 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟓𝒚 
𝒚 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬(𝜽) , 𝒛 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧(𝜽) , 𝒙 = 𝒙 
𝑱: (𝒓, 𝜽, 𝒙) = 𝒓 Pasando a coordenadas polares 
∫ ∫ ∫ 𝒅𝒛𝒅𝒙𝒅𝒚
𝒙𝟐+𝟒𝒚𝟐
𝟎
𝒙𝟐
√𝒙
𝟏
𝟎
= ∫ ∫ ∫ 𝒛𝟐𝒓
√𝟐−𝒓𝟐
𝒓
𝒅𝒛𝒅𝒓𝒅𝜽
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
= ∫ ∫
𝒓
𝟑
(𝟐 − 𝒓𝟐)
𝟑
𝟐 −
𝒓𝟒
𝟑
𝒅𝒓𝒅𝜽
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 
𝟏
𝟑
∫ |−
𝟏
𝟓
(𝟐 − 𝒓𝟐)
𝟓
𝟐 −
𝒓𝟓
𝟓
|
𝟎
𝟏
𝒅𝜽
𝝅
𝟐
𝟎
 
Reemplazando obtenemos las coordenadas 
(0,0, 
𝟗𝟗
𝟕
) 
 
19.- determine el volumen del solido limitado por el cono 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐y el 
paraboloide 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 − 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐 
𝒙 = 𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 ∅ 
𝒚 = 𝝆 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 ∅ 
𝒛 = 𝝆 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
𝑱(𝝆, 𝜽, ∅)= 𝝆𝟐 𝐬𝐢𝐧 ∅ 
S= {(𝝆, 𝜽, ∅) 𝒂 ≤ 𝝆 ≤⁄ 𝒃, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅, 𝟎 ≤ ∅ ≤
𝝅
𝟐
} 
∫ ∫ ∫
𝝆𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟐 ∅
𝝆
𝟏
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
𝝆(𝝆𝟐 𝐬𝐢𝐧 ∅)𝒅𝝆𝒅∅𝒅𝜽 
∫ ∫
𝝆𝟒
𝟒
(𝐜𝐨𝐬𝟐 ∅ 𝐬𝐢𝐧 ∅)𝒅∅𝒅𝜽
𝝅
𝟐
𝟎
𝟐𝝅
𝟎
 
Reemplazando: 
𝟒𝟒𝟖
𝟑
𝝅𝒖𝟑 
1. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la esfera 𝒙𝟐 +
𝒚𝟐 + (𝒛 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 e inferiormente por el paraboloide 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
Graficamos: 
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = 1 Esfera: c(0,0,1) ˄ r=1 
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = 1 
 
 
 
 
 
 
En coordenadas polares: 
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
0 < 𝑟 ≤ 1 
 
Encontrando los límites de “z”: 
−1 + √1 − 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟2 
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = 1 
𝑟2 + (𝑧 − 1)2 = 1 
(𝑧 − 1)2 = 1 − 𝑟2 
𝑧 = √1 − 𝑟2 + 1 𝑧 = √1 − 𝑟2 − 1 
𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟2
1+√1−𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
𝑉 = ∫ ∫ 𝑟𝑧 ∫ 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑟2
1+√1−𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
𝑉 = ∫ ∫ 𝑟 [𝑟2 − 1 + √1 − 𝑟2] 𝑑𝑟 𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
 
𝑉 = ∫ ∫ [𝑟3 − 𝑟 + 𝑟√1 − 𝑟2] 𝑑𝑟 𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
 
𝑉 = ∫
𝑟4
4
−
𝑟2
2
−
(1 − 𝑟2)3/2
3
2𝜋
0
 𝑑𝜃 
𝑉 = ∫ (
1
4
−
1
2
− 0 +
1
3
)
2𝜋
0
 𝑑𝜃 
𝑉 = ∫
𝑑𝜃
12
2𝜋
0
=
𝜃
12
∫ .
2𝜋
0
=
2𝜋
12
=
𝜋
6
𝑢3 
 
 
4.- si u es la región limitada por los planos x=1, x=2 y por los cilindros 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒, 
𝒚𝟐+𝒛𝟐 = 𝟗, calcula ∭ 𝒆𝒙√𝒚𝟐 + 𝒛𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 
∫ ∫ ∫ 𝒆𝒙𝒓. 𝒓𝒅𝒙𝒅𝒓𝒅𝜽
2
1
3
2
=
2𝜋
0
∫ ∫ ∫ 𝒆𝒙𝒓𝟐𝒅𝒙𝒅𝒓𝒅𝜽
2
1
3
2
=
2𝜋
0
∫ ∫ |𝒆𝒙𝒓𝟐|
𝟏
𝟐
𝒅𝒓𝒅𝜽
3
2
2𝜋
0
 
∫ ∫ (𝒆𝟐 − 𝒆)𝒓𝟐𝒅𝒓𝒅𝜽
3
2
2𝜋
0
= (𝒆𝟐 − 𝒆) ∫ |
𝒓𝟑
𝟑
|
𝟐
𝟑
𝒅𝜽
2𝜋
0
= (𝒆𝟐 − 𝒆) ∫ (𝟗 −
𝟖
𝟑
)
2𝜋
0
𝒅𝜽 
=
𝟏𝟗
𝟑
(𝒆𝟐 − 𝒆). 𝟐𝝅 =
𝟑𝟖
𝟑
(𝒆𝟐 − 𝒆)𝝅𝒖𝟑 
 
 
 
 
c)𝑐). 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑥2 + 𝑦2 =
𝑧 𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑘 𝑠𝑙𝑢𝑝/𝑝3 
Solución 
{
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛
 ⟹ 𝒛𝟐 = 𝒛 ⇒ {
𝑧 = 0
𝑧 = 1
 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 
𝐷 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧 /0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 , 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟} 
𝑀𝑥𝑦 = ∫ (∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 = ∫ (∫
𝑘
2
(𝑟3 − 𝑟5)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
=
𝑘
2
∫ (
𝑟4
4
2𝜋
0
−
𝑟6
6
)(∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟 = ∫ (∫
𝑘
2
(𝑟3 − 𝑟5)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
0
1
0
 
𝑀
𝑥𝑧=∫ (∫ (∫ 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃= ∫ (∫ 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟2(𝑟−𝑟2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
= ∫ (𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃 (
𝑟4
4
−
𝑟5
6
) |𝑑𝜃 =
𝑘
20
∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2𝜋
0
=
𝑘
20
𝑠𝑒𝑛𝜃| =
𝑘
20
(0 − 0) = 0
2𝜋
0
 
𝑀𝑦𝑧 = ∫ (∫ (∫ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑟𝑘𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 = 𝑘 ∫ (∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑟
2)(𝑟 − 𝑟2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
= 𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 (
𝑟4
4
−
𝑟5
5
) |𝑑𝜃 =
𝑘
20
(−𝑐𝑜𝑠𝜃)| = −
𝑘
20
(1 − 1) = 0
2𝜋
0
 
𝑀 = ∫ (∫ (∫ 𝑧𝑘𝑟𝑑𝑧)𝑑𝑟)𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ (∫ 𝑟(𝑟 − 2)𝑑𝑟)𝑑𝜃
1
0
2𝜋
0
1
𝑟2
1
0
2𝜋
0
 
=
𝑘
2
∫ (∫ (𝑟2 − 𝑟3)𝑑𝑟𝑑𝜃 =
𝑘
2
∫ (
𝑟3
3
−
𝑟4
4
) |𝑑𝜃 =
𝑘
240
∫ 𝑑𝜃 =
𝑘𝜋
12
2𝜋
0
2𝜋
0
1
0
2𝜋
0
 
𝑋 =
𝑀𝑦𝑧
𝑀
=
0
𝜋𝑘
12
= 0 , 𝑌 =
𝑀𝑥𝑧
𝑀
= 0 , 𝑍 =
𝑀𝑥𝑦
𝑀
=
𝜋𝑘
12
𝜋𝑘
12
= 1 
𝒆𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒆𝒔 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 
 
 
 
 
 
𝑏). 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∭
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2
𝑈
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 , −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 
Solución 
𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 
{
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧 
 → 𝐽(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 
𝐷 = {
𝑟, 𝜃, 𝑧
0
≤ 𝑟 ≤ 1 ∧ 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 ∧ −1 ≤ 𝑧 ≤ 1 } 
∭
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2
𝑈
= ∫ (∫ (∫
𝑟𝑑𝑟
√𝑟2 + (𝑧 − 2)2
1
0
𝑑𝑧)𝑑𝜃
1
−1
2𝜋
0
 
= ∫ (∫ √𝑟2 + (𝑧 − 2)2|𝑑𝑧)𝑑𝜃 = ∫ (∫ [√1 + (𝑧 − 2)2 − (−(𝑧 − 2))] 𝑑𝑧)𝑑𝜃
1
−1
2𝜋
0
1
−1
2𝜋
0
 
= ∫ [
𝑧 − 2
2
√1 + (𝑧 − 2)2 +
1
2
ln |𝑧 − 2 + √𝑧2 − 4𝑧 + 5|
𝑧2
2
− 2𝑧] 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= ∫ [
3√10 − √2
2
+
1
2
ln |
√2 − 1
√10 − 3
| −
3
2
] 𝑑𝜃
2𝜋
0
= [(𝟑√𝟏𝟎 − √𝟐 − 𝟑) + 𝐥𝐧 |
√𝟐 − 𝟏
√𝟏𝟎 − 𝟑
|] 𝝅