9-FISICA 3ro (1 - 16)

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CORPORACIÓN EDUCATIVA
For
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una
 au
tén
tica
 ed
uca
ció
n in
teg
ral Primero de Secundaria
School´s
Física
Tercero
Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los 
mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.
Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación 
personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros 
estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.
Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de 
los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr 
alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:
“Formar líderes con una auténtica 
educación integral”
DidácticoPresentaciónPresentación
 Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de 
uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando 
una enseñanza de alta calidad.
 En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad 
asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: 
desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.
 Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral 
y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios 
y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, 
impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.
 Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da 
también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que 
permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que 
es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:
“Formar líderes con una auténtica
educación integral”
Capítulo 1. Análisis Dimensional ........................................................ 9
Capítulo 2. Análisis Vectorial I ............................................................ 18
Capítulo 3. Análisis Vectorial II ........................................................... 27
Capítulo 4. Mov. Rectilíneo Uniforme ............................................... 37
Capítulo 5. Mov. Rectilíneo Uniforme Variado ................................ 45
Capítulo 6. Mov. Vertical de Caída Libre .......................................... 51
Capítulo 7. Mov. Parabólico ................................................................. 58
Capítulo 8. Movimiento Circunferencial Uniforme ......................... 65
Capítulo 9. Estática I .............................................................................. 73
Capítulo 10. Estática II ............................................................................ 81
Capítulo 11. Estática III .......................................................................... 87
Capítulo 12. Dinámica Lineal ................................................................ 95
Capítulo 13. Trabajo Mecánico .............................................................. 103 
Capítulo 14. Energía Mecánica .............................................................. 110
Capítulo 15. Potencia Mecánica ............................................................. 117
Capítulo 16. Eficiencia de una Máquina ............................................... 124 
9
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
1Análisis Dimensional
IntroduccIón
 Sabemos que la madre de la sabiduría es la curiosidad y 
todo aquel que se deleita con el mundo de la física, deberá 
observar para comprender los fenómenos que ocurren en 
su entorno.
	 Sin	embargo,	una	observación	científica,	por	lo	general,	
está incompleta si no se expresa de manera cuantitativa, así 
que para obtener tal información debe hacerse la medición 
de la cantidad física. Por tanto, las mediciones conforman 
buena parte de la rutina de un físico experimental.
 En el artículo único del Real Decreto 1317/1989, del 27 
de octubre de 1989 por el que se establecen las unidades 
legales de medida, publicada el 3 de noviembre, se dice que:
 El sistema legal de unidades de medida es el Sistema 
Métrico Decimal de siete unidades básicas, denominado 
Sistema Internacional de Unidades (S.I.) adoptado en la 
Conferencia General de Pesas y Medidas en la Comunidad 
Económica Europea.
La masa de 30 manzanas tiene 
una dimensión de ....................... 
(kilogramos).
La altura de un semáforo tiene una 
dimensión de .............. (metros).
Es todo aquello susceptible de ser medido, asignándole un 
número y una unidad.
Volumen, peso, tiempo, velocidad.
a Relacionar una magnitud física con otras magnitudes establecidas como fundamentales.
a Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas.
a Determinar fórmulas empíricas.
a Determinar las unidades de una magnitud.
La yarda, el pie y la pulgada son unidades de 
longitud que no pertenecen al S.I.
dImensIón
Nos indica el tipo de patrón que se ha usado para realizar 
una medición.
Ejemplos:
magnItud
Ejemplo:
OBJETIVOS:
10 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
 Son aquellas elegidas arbitrariamente para establecer las unidades de un sistema.
I) Por su origen
UnIdadMagnITUd SíMBOLO dIMEnSIón
 Son aquellas que son expresadas por las magnitudes 
fundamentales. 
 Observación:
 Toda magnitud se expresa en función de las magnitudes 
fundamentales.
magnitudes Fundamentales
magnitudes derivadas
Propiedades de las ecuaciones dimensionales
Los ángulos y razones trigonométricas, en general, son 
adimensionales y para los cálculos se consideran igual a 1.
rad
sr
MagnITUdES aUxILIarES UnIdad
nombre nombre Símbolo
1. Ángulo Plano
2. Ángulo Sólido
radián
estereorradián
clasIFIcacIón de las magnItudes
 • [40°] = 
 • [ 4 ] = 
 • [π] = 
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
1. ______________
2. ______________
3. ______________
4. ______________
5. ______________
6. ______________
7. ______________
=
 • [Área] = L2 
 • [Volumen] = L3 
 • [Velocidad] = 
 • [Aceleración] =
 • [Densidad] = 

 
Recorrido
Tiempo

 
L
T
= LT -1
=  
=  
 
 • [tg α] =
 • [Ln5] = 
 • [A.B] = 
magnItudes Fundamentales
UnIdadMagnITUd dIMEnSIón
Longitud
Masa
Tiempo 
Temperatura
magnItudes derIvadas
dIMEnSIónMagnITUd
Velocidad 
Aceleración
Fuerza
Densidad
PrIncIPIo de homogeneIdad
Realiza las siguientes operaciones:
• 1m + 1m =
• 2kg + 3kg =
• 5m + 3kg =
• 1s + 7kg =
• 3m - 1m =
Nos damos cuenta que para sumar o restar 2 magnitudes 
deben ser de la misma especie, es decir, deben ser 
___________________________.
En conclusión si: A + B + C = D
[ ] = [ ] = [ ] = [ ] 
11
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
1. En la siguiente expresión, halla [K] si: 
V : velocidad
d : distanciaK=
V2
2d
La dimensión de los términos de la ecuación.
→ [K] = (LT
-1)2
L
= (L
2T-2)
L
→ [K] = LT-2
2. Halla la dimensión de ‘‘E’’ si:
D : densidad
V : velocidad
g : aceleración
E=
DV2
g
 [E] = 
 
= 
[D][V]2
[g]
[DV2]
 g
Donde: [D] = ML-3 , [V] = LT-1
[g] = LT-2
→ [K] = (LT
-1)2
L
= (L
2T-2)
L
→ [E]= ML
-3. (LT-1)2
LT-2
= 
ML-1T-2
LT-2
∴ E = ML-2 
Resolución:
Resolución:
[K] = donde [V] = [LT-1]
 [d] = L
 [2] = 1
[V2]
 [2] [d]
;
EJERCICIOS RESUELTOS
3. Halla [T] en el siguiente caso:
m : masa
V : velocidad
F : fuerza
T= mV
2
F
 [T] = 
 
= [m][V]
2
[F]
[mV2]
 [F]
Donde: [m] = M , 
[V] = LT-1,[F] = MLT-2
 
 [T] = 
M.(LT-1)2
 MLT-2
ML2T-2
 MLT-2
= 
 [T] = L 
Resolución:
historia de la unidad: longitud (metro)
aunque la distancia podría determinarse aproximadamente 
por la duración de un día de viaje, el cuerpo humano fue 
la medida lineal más conveniente en los primeros tiempos.
La longitud de un paso o un pie, la anchura de un dedo o 
mano, la longitud del antebrazo, todo servía como referencia 
directa para las mediciones en la antigüedad. En las épocas 
de los grandes reinos de Egipto y Babilonia (unos 2500 a. 
C.), el codo que correspondía a la longitud del antebrazo 
de un hombre, desde el codo hasta la punta del dedo índice 
extendido, era la medida lineal más usual. Este tipo de 
concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier 
cosa física, se denomina unidad. Para asegurar algún grado de 
constancia para una medida ampliamente utilizada, pues es 
evidente que los antebrazos difieren, una sociedad avanzada 
debe desarrollar una materialización física invariabe de cada 
unidad que sirva como referencia primaria o patrón con el 
cual se comparaban y calibraban todas las varas de codo de 
Egipto.
desde el Medio y Próximo Oriente, a través del comercio, 
las antiguas nociones de medida se dezplazaron a Occidente 
hasta grecia y después hasta roma y, con la conquista, a la 
mayor parte de Europa. El pie, aunque su longitud variaba 
bastante, era de uso común entre los griegos y los romanos. 
Su historia va desde la longitud de una sandalia romana y de 
bota británica, hasta el familiar concepto contemporáneo.
Cuando las legiones romanas recorrían el mundo, medían 
sus avances en passus, o milios passuum que fue el precursor 
de la milla británica. Cuenta la leyenda que la yarda, o doble 
codo, fue fijada en el siglo XII por Enrique I de Inglaterra 
como la distancia desde su nariz a la punta de su dedo índice 
extendido.
de manera similar, el patrón original para el pie, adoptado 
por los franceses, fue la longitud del pie real de Luis xIV. 
Este patrón prevaleció hasta 1799, cuando el patrón legal de 
longitud en Francia vino a ser el metro, definido como un diez 
mil millonésimo de la distancia del Ecuador al Polo norte a 
lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París y que 
prevaleció en todos los países y en los círculos científicos de 
todo el mundo.
En 1960, la longitud de un metro se definió como la distancia 
entre dos líneas sobre una barra de platino - iridio almacenada 
en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por 
varias razones; la principal fue el hecho de que la limitada 
precisión con la cual se puede determinar la separación entre 
las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de 
la ciencia y tecnología. Después el metro fue definido como 
1650763.73 longitudes de onda de la luz naranja - rojo 
emitida por una lámpara de Kriptón 86.
Sin embargo, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la 
distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 
1/ 299792458 segundos.
12 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: 
 P = x . Vx Dy
 Donde: P : presión
 V : velocidad
 D : densidad 
 Determina: x + y.
La dimensión de los términos de la ecuación.
[P] =[ x . Vx Dy] =[x] [V]x [D]y 
Donde: [P] =ML-1T-2 ; [V] =LT-1
 [D] =ML-3 ; [ x ] =1
Entonces:
ML-1T-2 = (LT-1)x(ML-3)y
ML-1T-2 = LxT-xMyL-3y
M L-1 T-2 = Lx-3y T-x My
De donde: y = 1 ; x -3y = -1
 x = 2
Entonces: x + y = 2+1= 3
 
Por el principio de homogeneidad:
[ SQJ ] =[4mD] = 21 
2. Si la ecuación 5Qt = 4mD + 2 es dimensionalmente 
correcta, determina [P]. (Q : caudal; t : tiempo; W : energía)
P
W
P
W

 

 
Resolución:
Resolución:
 Del principio de homogenidad:
3. Halla las dimensiones de ‘‘G’’, ‘‘H’’e ‘‘I’’ en la siguiente 
fórmula física.
 F = Ga + Hv + I
 Donde: F : fuerza
 a : aceleración
 v : velocidad
1
2
3
4. Determina la relación b/c, de la siguiente ecuación 
homogénea.
 Donde: W : trabajo
 e : longitud
 a : aceleración
W
e
= ba + b2c

 
W
e

 
 = [ ba ] = [b2c]
2
1
Donde:
[W] = ML2T-2 ; [e] = L ; [a] = LT-2
De → = [b] . LT-2 
 
 → [b] = M 
1 ML
2T-2
L
Donde:
[F] =MLT-2; [a] =LT-2 ; [v] =LT-1
Entonces:
De → MLT-2 = [G] . LT-2 
 → [G] = M 
De → MLT-2 = [H] .LT-1 
 → [H] = MT-1 
De → MLT-2 = I
Del principio de homogeneidad:
[ F ] = [Ga] = [Hv] = [ I ] ... (1)
 
1
2
3
Resolución:
Resolución:
De → = M2[c]
 
 → [c] = M-1LT-2
Entonces:
2
ML2T-2
L

 =

 
M
M-1LT-2
 = M2L-1T2
5. Si la siguiente fórmula D.a = cosφ. Vn es dimensionalmente 
correcta, determina ‘‘n’’, siendo:
 D : longitud ; a : aceleración
 V : velocidad
[D.a] =[cosφ . Vn]
[D] [a]=[cosφ] [V]n
Donde:
[D] =L ; [a] =LT-2 
[V] =LT-1 ; [cosφ] =1
Entonces:
L .LT-2 = (LT-1)n
L2 T-2 = (LT-1)n
(LT-1)2 = (LT-1)n
→ n = 2
b
c
Resolución:
→ [S] [Q] [t] = [21] [P] [W]-1 
De donde:
[S] =1 ; [Q] =L3T-1 ; [t] =T
 [21] =1 ; [W] =ML2T-2
Entonces:
L3T-1 . T = [P] . (ML2T-2)-1
L3 = [P] . M-1L-2T-2
→ [P] = ML5T2
13
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Determina la ecuación dimensional de R si: 
 R = Velocidad x Aceleración 
2) Determina la ecuación dimensional de Q si:
 
 Q = 
Fuerza
Densidad
1) Determina la ecuación dimensional de Z si:
 Z = trabajo x velocidad
2) La ley de gravitación universal de Newton tiene 
como expresión:
 
 Donde: F : fuerza
 m1 y m2 : masa de los cuerpos
 G : constante
 r : distancia
 Determina la dimensión de la constante.
F = 
G.m1.m2
r2
3) Halla	la	dimensión	del	calor	específico	(Ce)	si:
Ce = Calor
Temperatura . Masa
3) Halla la dimensión del calor latente (L) si:
 
 [calor] = ML2T-2
L = 
calor
masa
 4) Determina la ecuación dimensional de W si: 
 W = (fuerza)2 x (presión)3
 5) Determina la ecuación dimensional de R si: 
 R = (velocidad)2 x (presión)2
 6) Determina la ecuación dimensional de P si:
P = 
(energía)3 x (área)2
(velocidad)6
 4) Determina la ecuación dimensional de ‘‘S’’ si: 
 S = (trabajo)3 x (aceleración)2
 5) Determina la ecuación dimensional de H si:
 H = Área x Trabajo x Densidad 
 6) Determina la ecuación dimensional de Z si: 
 Z = Área x Aceleración
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
14 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 1
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 Si la ecuación D = 
 
 es dimensionalmente correcta, encuentra la 
unidad K en el sistema MKS; donde:
 D : densidad ; V : velocidad y A : Área
 
 a) kg m2s2 b) kg-1m2s-1 c) kg-1ms-1
 d) kg-2m2s-2 e) kg m2s-1
 Hallar la ecuación dimensional de A:
 
 Donde: h : altura ; P : presión ; V : volumen
 a)ML-3T-2 b)MLT-2 c)M2LT-2
 d)ML3 e)ML2T-1
 Encuentra la ecuación dimensional de ‘‘y’’ si se 
sabe que: 
 Donde: m : masa; W : trabajo; t : tiempo
 a : aceleración
 
 a) L-1T2 b) L-1T3 c) L-1T 
 d) L-1T-1 e) L2T-1
 Halla la ecuación dimensional de ‘‘N’’ si:
 Donde: T : trabajo ; V : velocidad ; D : densidad
 a)L-1T2 b)L4 c)L4T2
 d)L6T-3 e)L4T-2
ma
ty
W =
V
KA
A = h.P
V
N = 
T . V
D
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4 Sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente 
correcta, encuentra [x] en:
 
 Donde: V : velocidad; T : tiempo; a : aceleración
 m : masa ; A: área
 
 a) MT-3 b) MT-2 c) MT-1 
 d) M2T e) MLT
x . A + mv
2
t
= y.a
 En la siguiente fórmula física: 
 E = AV2 + BP
 donde: E : energía; V : velocidad ; P : presión
 halla [ A/B ].
 a) ML-3 b) ML-3T c) ML2
 d) ML-4 e) ML2T3
 Si V = A + BT + CT2,
 donde V: velocidad ; T : tiempo;
 halla [AC/B ].
 
 a) LT-1 b) LT-2 c) LT
 d) L e) T
 Sabiendo que el impulso es I = F . t
 Donde: F : fuerza; t : tiempo
 halla [Z], para que la siguiente ecuación sea 
 dimensionalmente correcta:
 Donde: W : trabajo; m : masa
 
 a) LT2 b) LT-1 c) LT-2
 d) LT-3 e) L2T-1
I= W
Z
+ mZ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
16 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Si la ecuación dimensional es correcta:
I = Mx+y+TyDz
Donde: F : fuerza; m : masa
 t : tiempo; d : densidad
halla x+y+z.
 
a) -2 b) 3 c) 1
d) -1 e) 0
 Halla ‘‘x+y’’ para que la siguiente ecuación sea 
dimensionalmente correcta:
 
 Donde: H : altura; a : velocidad
 b : radio ; c : aceleración
a) 1 b) -4 c) -2
d) 5 e) 3
Dada la ecuación de cierta ley física:
 
 
halla la ecuación dimensional de y.
a) L b) -1 c) L-1
d) 1 e) 2
Halla [x] si:
 
Donde: A : potencia ; W : periodo
a) ML2T-3 b) LT-2 c) ML
d) ML-2 e) ML -3T2 
 
2H= a
2bx
3cy
senθ
 x
2 + x
y = E = W A2 - x2 
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Encuentra [ P ] en la ecuación: 
 
Donde: m : masa ; v : velocidad ; t : tiempo
 
a) ML b) ML2T-3 c) LT-3 
d) LT3 e) ML-2T3
Halla [x] si:
 
Siendo: a : aceleración ; v : densidad ; R : presión
 
a) ML b) ML-4 c) L2M-2
d) L2M-3 e) M-1L-1
La ecuación es dimensionalmente correcta:
 
Halla [Z]
Siendo: B : volumen; A : área ; C : velocidad
 
a) LT b) L-1T c) L2T-2
d) LT-1 e) L-2T
En la ecuación homogénea, halla [x] si:
 
Siendo: m : masa ; t : tiempo
 h : altura ; V : velocidad
 
a) M b) MT-1 c) MT-2
d) MT2 e) MT3
4P = m(v+k)
2
2t
x = 
(log18)av2
R
Z = 
Btgα
A2C(1+sen2θ)
h = 4K(x - m)
3
3t2
V 
y
+
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
18 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
2Análisis Vectorial I
Introducción B) Magnitudes Vectoriales
Son aquellas magnitudes 
vectoriales que además 
de conocer su valor 
numérico y unidad, se 
necesita la dirección 
para que dicha magnitud 
quede perfectamente 
determinada.
Tengo	fiebre	de 40 ºC 
¡Qué fatal!
F = 5N
En el estudio de la física, nos encontraremos con algunas 
magnitudes	que	para	ser	definidas,	deberán	ser	asociadas	a	
otras características además de valor y unidad (módulo). Por 
ejemplo, si alguien aplica una fuerza de 60 N a un bloque, 
no sabremos hacia dónde está aplicada dicha fuerza o sea 
falta la dirección o sentido. Si la persona nos informa que la 
fuerza es hacia arriba, hacia la derecha, hacia la izquierda o 
en dirección tal que forma 45º con la horizontal, tendríamos 
una idea clara de cómo aplicar la fuerza, la velocidad, la 
aceleración, etc. Estas magnitudes se llaman vectoriales, las 
mismas que tienen en esencia dos características especiales.
a Entender que la descripción de ciertos fenómenos físicos se hace utilizando vectores.
a Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores.
Aquí clasificaremos a las magnitudes tomando en 
consideración otro aspecto.
I. Por su naturaleza
a) Magnitudes Escalares
Son aquellas magnitudes que están perfectamente 
determinadas con solo conocer su valor numérico y 
su respectiva unidad.
Ejemplos:
Sólo necesito 100mm3 
y estará terminado.
Son las 12:15 p.m. 
¡Ya es tarde!
El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una 
orientación N 60º E (tiene dirección y sentido), con 
lo cual es fácil llegar del punto “O” a la casa.
Sabemos que la fuerza que se está 
aplicando al bloque es de 5 newtons, 
pero	de	no	ser	por	la	flecha	(vector)	
que nos indica que la fuerza es 
vertical y hacia arriba; realmente 
no tendríamos idea si se aplica hacia 
arriba o hacia abajo. La fuerza es una 
magnitud vectorial.
Es un elemento matemático que sirve para representar 
las magnitudes vectoriales.
Representación	gráfica:
* vector
y
x
Direcciónθ
A
B
Línea de 
acción
Módulo
∆
OBJETIVOS:
19
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
	Elementos de un Vector
Todo vector tiene dos elementos:
	Módulo
Es el valor numérico con una determinada 
unidad que presenta el vector.
	dirección
Está dado por el ángulo θ.
	representación Matemática
Vector : V = V = AB
Módulo : V = AB = V
	Tipos de Vectores
1. Colineales.- Si se encuentran sobre la misma 
línea de acción.
 A, B y C son colineales.
BA
Línea de 
acción
C
2. Concurrentes.- Si sus líneas de acción concurren 
en un mismo punto.
 A, B y C son concurrentes.
3. Paralelos.- Cuando las líneas de acción son 
paralelas.
 A, B y C son paralelas.
4. Opuestos.- Son iguales en tamaño (módulo), 
pero con sentidos opuestos.
B
C
A
 A y (-A) son paralelos.
5. Iguales.- Si sus elementos son iguales (módulo, 
dirección y sentido).
-AA
 Si : A = B
 A = B 
 α = θ
 sentido de = sentido de
 A B
6. Coplanares.- Son aquellos que están contenidos 
en un mismo plano.
	Multiplicación de un vector por un número 
(escalar)
1. Si el número es positivo.
C
B
A
A = 8µ 2A = 16µ
 A = 4µ
1
2
2. Si el número es negativo.
B
α α α
-2B B
1
2
-
B = 4µ -2B =
- B =
1
2
α θ
BA
A
2A
1
2θ θ θ
A
B
C
Punto de 
concurrencia
A
Ejemplo:
Vector Nulo
Es aquel que tiene como 
módulo al cero. Si a es nulo, 
entonces: A = 0
20 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
	Suma de vectores o vector resultante
Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores 
por un único vector llamado resultante.
• Para números positivos:
a) Mayores que 1 : Crece y se mantiene el sentido.
b) Menores que 1 : Decrece y se mantiene el 
sentido.
• Para números negativos:
 Cambia de sentido
	Métodos para hallar el vector resultante
• Para vectores paralelos y/o colineales.
 
 En este caso se consideran como si fueran simples 
números reales.
 
 Halla el vector resultante en los siguientes casos:
A = 2µ B = 2µ
BA
A = 1, B = 3, C = 5, 
D = 1, E = 2
• Para vectores que forman un ángulo entre sí.
 
A) Método del polígono.- Consiste en colocar 
un vector a continuación del otro.
α α α
B
C
E
DA
La suma o resta de 2 ó 
más vectores da como 
resultado otro vector.
a + B = S
a - B = d
r = a + B
¿Podrás cerrar el polígono?
a B
A
C
B
r = 0
r = 
B
C
D
E
A
Ejemplo:
A
cierra el polígono
B
R
A
B C
r = a + B + C
C
B
cierra el polígono
A
R
21
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Simón Stevin
(1548 - 1620)
Nació en Bélgica, considerado 
como físico e ingeniero, 
deja como herencia a las 
ciencias físicas la Regla del 
Paralelogramo y del Triángulo. 
Lamentablemente no pudo ser 
difundido en aquella época 
debido a que éste escribía en 
flamenco, cuando la mayoría 
de los intelectuales utilizaba el 
latín. Su libertad de pensamiento, aun pasando sobre 
la autoridad científica, le permitió descubrir esta regla 
que se originó debido a las investigaciones que realizó 
sobre el equilibrio en el plano inclinado.
El aporte que dejó en las matemáticas es la inversión 
de las fracciones decimales.
1. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + c = d
 ⇒ R = d + d = 2d
b
a
c
d
2. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + d = c
 ⇒ R = c + c = 2c
a
b
c
d
3. Halla el vector resultante.a
c
d
b
f
e
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + d + e + f + c
Pero:
a + b + d = f
y
 e + c = f
 ⇒ R = f + f + f = 3f
Resolución:
4. Halla el vector resultante.
Tenemos que determinar la resultante:
R = a + b + c + d + e
Pero:
a + b = c y d + e = c
 ⇒ R = c + c + c = 3c
5. Halla el vector resultante.
Tenemos que hallar la resultante:
R = a + b + c + d
Pero:
a + b + c + d = 0
 ⇒ R = 0
a
b
c
d
a
b
d
e
c
Resolución:
Resolución:
Resolución:
22 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
c
b
a
1) Halla a + b + c de:
c
a
b
a
c
b
2) Encuentra el vector 
resultante de:
a
d
c
b
1) Halla a + b + c de:
2) Encuentra el vector 
resultante de:
 
3) Encuentra el vector 
resultante de:
 
a
b
d
ce
f
3) Encuentra el vector 
resultante de: a
e
d
c
b
a
b
c
d
e
a
d
b
c
a
e
b
d
c
a
e
c
b f
d
 6) Encuentra el vector 
resultante de:
 5) Encuentra el vector 
resultante de:
 4) Encuentra el vector 
resultante de: a
b
c
df
e
 6) Encuentra el vector 
resultante de:
 5) Encuentra el vector 
resultante de:
 4) Encuentra el vector 
resultante de:
a
c
e
f
d
bRpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
23
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 2
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 
a) 3 cm b) 6 cm c) 9 cm
d) 0 e) 4 cm
Determina el módulo del vector resultante (V).
60º 60º
3c
m
 
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 7 cm e) 8 cm
60º 60º
4c
m
 
a) 24 cm b) 20 cm c) 16 cm
d) 32 cm e) 40 cm
37º20cm
 
a) 25 m b) 24 m c) 0
d) 14 m e) 50 m
7m
24m
Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
24 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm
d) 7 cm e) 8 cm
2cm
2cm
 
a) 1 cm b) 4 cm c) 2 cm
d) 0 e) 3 cm
1cm
4cm
a) 10 cm b) 15 cm c) 5 cm
d) 20 cm e) 8 cm
10cm
5cm
a) 8 m b) 16 m c) 17 m
d) 25 m e) 42 m
25m
17m
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
25
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
a) 4a b) 3a c) 2a
d) a e) a 2
a a a
 
a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm
d) 15 cm e) 25 cm
15cm
 
a) 8 µ b) 5 µ c) 20 µ 
d) 30 µ e) 10 µ 
37º
45º
8µ
a) 8 µ b) 9 µ c) 10 µ 
d) 5 µ e) 2 µ 
60º
3µ
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
26 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
a) 5 cm b) 10 cm c) 15 cm
d) 20 cm e) 16 cm
53º
5c
m
a) 9 µ b) 4 µ c) 14 µ
d) 2 µ e) 8 µ
7µ
3µ
a) 6 b) 10 c) 5
d) 9 e) 8
3
4 2
a) 3 cm b) 3 3 cm c) 2 3 cm
d) 4 3 cm e) 5 3 cm
60º 60º
2cm
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Determina el módulo del vector resultante (V). Determina el módulo del vector resultante (V).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
27
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
3Análisis Vectorial II
Para esto utilizaremos el siguiente método.
suma de vectores paralelos y colineales
En este caso la resultante se determina mediante la suma 
algebraica de los módulos de los vectores.
Halla el vector resultante para el sistema de vectores.
Si: A = 2µ B = 3µ C = 1µ
 D = 1µ E = 3µ F = 5µ
B Ca
d E F
En este caso procedemos del siguiente modo.
	Los que tienen el mismo sentido se suman, es decir:
 A, C y F : A+C+F=2+1+5 = 8 (→)
 B, D y E : B+D+E=3+1+3 = 7 (←)
	Luego R = 8 – 7 = 1 (→)
 (Sentidos opuestos se restan)
Resolución:
Ejemplo:
suma de vectores concurrentes y 
coplanares
método del Paralelogramo
Este método se usa cuando dos vectores forman un ángulo 
diferente de cero entre sí.
En este caso vamos a trasladar a uno de los vectores en forma 
paralela para que su punto inicial concuerde con el otro.
Ahora trazaremos paralelas a cada vector a partir de los 
extremos	 (punto	final	 del	 vector)	 y	 la	 figura	 formada	 se	
llama: __________________
a Bθ
a
B
θ
a
B
θ
Ejemplo:
Resolución:
Halla el módulo del vector resultante, 
si cos 53° = .3
5
 |R| = 32 + 52 + 2.3.5 cos 53°
 |R| = 9 + 25 + 2 . 3 . 5 . 
 |R| = 52 ⇒ |R| = 2 13
3
5
Ejemplo:
Resolución:
53°
a=3
B=5
28 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
r = 15 + 15
rmáx = 30 n
Si Rmáx = 7 y Rmín = 1 para dos vectores, halla el 
módulo del vector resultante cuando dichos vectores son 
perpendiculares.
 7 = a + b 
 1 = a – b 
 a = 4 , b = 3
Por Pitágoras: R = 42 + 32 = 5
	Si θ = 90° (vectores perpendiculares)
r2 = a2 + B2
Teorema de Pitágoras.
B r
a
rmín = 15 – 15
rmín = 0
La barcaza se mueve 
po r a c c i ón d e l a 
resultante de las fuerzas 
F1 y F2. La dirección 
de la resultante es 
la de la diagonal del 
paralelogramo de lados 
F1 y F2.F2
F1
Ejemplo:
Resolución:
	Si dos vectores tienen módulos iguales:
	Si θ = 180° ⇒ 
 A la resultante obtenida se le conoce como: 
Resultante Mínima.
aB
Rmín = A – B
2θ
x
x
r
En este caso r divide al ángulo en dos iguales, es 
decir, es una bisectriz.
1
Halla el módulo de R en función de x.
a d
B
θ
d = a – B
|d| = a2 + B2 – 2aBcosθ
Ejemplo:
diferencia de vectores (d)
60°
x
x
r
|R| = 3x
r
x
x |r|= 2x
r
120°
x
x
|r| = x
29
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Ejemplos:
descomposición vectorial
Recordemos la suma de vectores por el método del polígono.
a
B
C
r
r = a + B + C
Ahora haremos el paso contrario. 
Dado un vector cualquiera, vamos a reemplazar al vector 
R, por otros llamados componentes y que tengan como 
resultante al vector inicial.
a
b
r
r = a + b
Dado un vector, se puede descomponer en otros vectores 
llamados componentes de dicho vector, de tal manera que 
estos en su conjunto sean capaces de reemplazar al vector 
dado:
r =
M, n, P y Q son componentes 
del vector r .
Como vemos, un vector puede descomponerse en dos o más 
vectores, todos en conjunto tendrán una misma resultante, 
el vector R.
x
x =
x =
x = 
eJercIcIos:
Halla el vector resultante en función de x.
 Solución:
Sabemos que: R = A + B + x ... (1)
a
B
x
1. Vamos a reemplazar al vector A por otros 2, de tal manera 
que uno de ellos pase por x. Así:
 Vemos que: A = x + C
a
C
x
n
P
Q
M
r
2. Hacemos lo mismo para B.
B = x + D
x B
d
3. Observa que C y D son colineales y del mismo módulo 
(tamaño). Luego C y D son vectores opuestos, es decir:
C = – D
 Reemplazando en (1):
 R = (x + C) + (x + D) + x
 R = x + C + x + D + x
 R = 3x + C + D 
( (
 Pero : C = – D
 ⇒ R = 3x + (–D) + D
 R = 3x – D + D
 R = 3x
30 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Preguntas
1. Si los niños que están en los columpios tienen el 
mismo peso, ¿cuál de los dos columpios tiene mayor 
probabilidad de romperse?
descomposición rectangular
Ahoravamos a reemplazar a un vector por otros 2 que sean 
perpendiculares, llamados __________________ .
ay
ax
y
a
x
θ
Donde :
Ax : Componente de A en el eje x
Ay : Componente de A en el eje y.
|r| = 5
|R| = 32 + 42
|R| = 9 + 16
|R| = 25
En forma práctica: Usa triángulos rectángulos.
y
x
ay
ax
θ
a
Además, en todo triángulo rectángulo se cumple:
a y b : catetos
c : hipotenusa
Teorema de Pitágoras
c
b
a
Ejemplos:
Halla las componentes de A sobre los ejes rectangulares.
a=25
y
x
37°
ax =
ay = 
r
a
|a|=3
b|b|=4
Ejemplos:
c2 = a2 + b2
2. Se cuelgan dos cuadros que pesan lo mismo, como se 
muestra	en	la	figura.	¿En	cuál	de	los	dos	casos	es	más	
probable que se rompa el hilo?
Física en la vida cotidiana
Física del surf. El deporte de la tabla hawaiana sirve 
muy bien para ilustrar el comportamiento de los 
vectores. (1) Cuando tu tabla está orientada en el 
sentido del oleaje su velocidad v1 es igual que la de 
la ola. (2) Si forma un ángulo con las olas aparece 
también una componente v2 paralela a éstas. Puedes 
hacer variar v2, que está determinada por varios 
factores, pero v1 permanece relativamente constante. 
Así pues, cuando te deslizas formando un ángulo con 
el oleaje, la velocidad resultante vR es siempre superior 
a v1. (3) Cuanto mayor sea el ángulo que puedas 
mantener, mayor será vR.
v1
(2)
v1 vr
v1
(3)
v2
vr
v2
(1)
31
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
4. Si el módulo de la máxima resultante de 2 vectores 
es 24µ y el módulo de la resultante mínima es 6µ, 
determina el módulo de cada vector.
 Tenemos Rmáx = A + B y
 Rmín = A – B
1. Determina el módulo y la dirección del vector resultante, 
para el sistema dado.
 Como los vectores son paralelos, entonces la resultante 
 R va a ser:
 |R|= 17 + 8 – 7 – 12
 |R|= 6µ, hacia la derecha ( → ).
7µ
12µ 8µ
17µ
2. Determine el módulo y la dirección de la resultante de 
los vectores mostrados.
 Como los vectores son paralelos, entonces la resultante 
 R va a ser:
 |R| = 15 + 10 – 8 – 12
 |R| = 5, hacia abajo ( ↓ ) 
15µ
10µ
12µ
8µ
3. Se tiene dos vectores del mismo tipo, cuyos módulos son 
15µ y 7µ, respectivamente. Determina el módulo de su 
máxima y mínima resultante.
 La máxima resultante se da cuando el ángulo entre los 
vectores es cero. Entonces el módulo de la resultante 
máxima es:
 Rmáx = 15 + 7 = 22µ
 La mínima resultante se da cuando el ángulo formado 
por los 2 vectores es 180°. Entonces el módulo de la 
resultante mínima es:
Rmín = 15 – 7 = 8µ
 Donde Rmáx = 24µ y Rmín = 6µ
 24 = A + B
 6 = A – B
 30 = 2A ⇒ A = 15µ
 B = 9µ
5.	 Del	gráfico,	determina	el	módulo	de	la	resultante.
50°
13°
12
10
37°
13°
12
10
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Tenemos que el módulo de la resultante (R) es:
 R = 102+122 + 2(10)(12)cos37°
 R= 100 + 144 + 2(10)(12)( )
 R = 100 + 144 + 192
 R = 436 R = 2 109
4
5
Resolución:
6. Halla la componente del vector «A» sobre el eje «X».
 
 Tenemos que la componente del vector A en el eje X
 es:
 Ax = |A|cos53°
 donde cos 53° = 
⇒ Ax = 100 . ⇒ Ax = 60
3
5
20
|a|=100
y
x
53°
a
3
5
32 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 Dato : cos 60° = 1/2 ; cos 120° = –1/23) 
Halla el módulo del vector resultante en cada caso:
1) B Ca
a=4 b=2 c=1
B
C
a
1) 
 a = 5
 b = 3
 c = 2
a
B
C
d
E
2) 
 a = 5
 b = 4
 c = 2
 d= 3
 e = 1
2) A = 3
 B = 4
 C = 5
 D= 4
 E = 2
 F = 3
 G = 1
 H = 2
a
B
C
E H
g
F
d
60°
1=
|a
|
2=|B|
3) 
60°
2
4
4) 
60°
1
2
4) 
60°
1
2
 5) 
60° 60°
4
3
4
 5) 
60°
60°
3
6
6
 6) La resultante máxima de los vectores es 8 y 
la mínima es 2. ¿Cuál es el módulo de cada 
vector?
 6) Dos vectores tienen una resultante mínima que 
vale 4 y una resultante máxima igual a 16. ¿Cuál 
es la resultante de estos vectores cuando forman 
60°?
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
33
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 
 a) 12
 b) 13
 c) 11
 d) 10
 e) 7
70°10°
1
3
 Halla |A – B|
 a) 3 3
 b) 2 3
 c) 4 2
 d) 5
 e) 4 3
30°60°
|a|=4
|B|=4
33° 87°
|B|=2
|a|=1
 Halla |A – B|
 a) 1
 b) 2
 c) 3
 d) 3
 e) 7
Halla el módulo del vector resultante de:
 a) 5
 b) 6
 c) 7
 d) 8
 e) 11
80° 20°
2
1
Halla el módulo del vector resultante de:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
34 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
442) El módulo del vector resultante es:
 a) 10
 b) 20
 c) 30
 d) 40
 e) 0
37°
5
4
3
44) Halla el módulo del vector |C – B|
 a) 10 3
 b) 10
 c) 20
 d) 20 4
 e) 5 7
B=10
C=15
75° 15°
46) Dados los vectores |a|=5N y |b|=6N, calcula 
|a – b|.
 a) 5 N
 b) 6 N
 c) 10 N
 d) 3 N
 e) 2 N
a
b
73° 20°
Halla el módulo de la resultante.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13
10
45°
53°
5 2
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
35
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 Halla el módulo de la resultante de los vectores 
mostrados.
 a) 10 6 
 d) 10 29
 b) 10 19
 e) 50
 c) 10 13
 Halla el módulo del vector «c» para que la 
resultante se ubique sobre el eje «y», sabiendo que 
 a = 10 2µ y b = 10 µ.
 a) 20 µ
 b) 15 µ
 c) 10 µ
 d) 5 µ
 e) 30 µ
 Halla la magnitud de la resultante.
 a) 40 cm
 b) 50 cm
 c) 55 cm
 d) 60 cm
 e) 75 cm
y
x
80 cm
28 cm 37°
37°45°
50 m
20 2m
y
x
x37°
37°
45°
y
a
c
b
 Si el vector resultante del conjunto de vectores 
mostrados está en el eje y, halla el ángulo θ.
 a) 30°
 b) 37°
 c) 45°
 d) 53°
 e) 60°
4µ
3µ
8µ
θ
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
36 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Halla el módulo del vector resultante.
 a) 4 µ
 b) 4 2 µ
 c) 5 µ
 d) 7 µ
 e) 6 µ
 Halla x en función de A y B
 
 a) (A–2B)/3 
 b) (2A+3B)/4 
 c) (A+B)/2
 d) (A–B)/2
 e) (A+2B)/3
 Expresa x en función de A y B.
 a) A+B
 d) (A+B)/3
 b) (A+B)/2
 e) (A –B)/4
 c) (A+B)/4 L
a
B
x
L L L
37°37°
5µ
6µ
10µy
x
 Si la resultante del conjunto de vectores es 
horizontal, halla la medida del ángulo «θ».
 a) 30°
 b) 37°
 c) 45°
 d) 53°
 e) 60°
y
x
10T
10 2T
45°
θ
15T
a Bx
2m m
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
37
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
4Movimiento Rectilíneo 
Uniforme (MRU) I
Introducción
El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda 
la historia de la humanidad. En la antigüedad, el hombre 
observaba el movimiento de los cuerpos celestes. En el siglo 
XVIII se estudia el movimiento de las moléculas en un gas. 
En el siglo XX ya se estudia el movimiento de los electrones 
alrededor del núcleo atómico. Y en la actualidad se estudia 
el movimiento existente en el interior del núcleo.
El movimiento es un fenómeno físico. En la vida diaria 
suceden muchas cosas, muchos fenómenos relacionados al 
movimiento, por ejemplo:
La luz posee una rapidez de 300000 km/s, ‘‘esto sí que es 
rápido’’; la rapidez del sonido es de 340 m/s esto explica por 
qué en las tormentas eléctricas percibimos primero la luz 
después el sonido. 
Así como éstas, veremos muchas otras en el transcurso de 
nuestro estudio que empieza a continuación.
1. sIstema de reFerencIa
 Constituido imaginario o realmente por un observador 
quese considera en estado de reposo y un sistema 
temporal (reloj).
Sistema
Temporal
(reloj)
∆r
y
x
Observador
trayectoria del 
proyectils
 Móvil .- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
 Desplazamiento (∆r) 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
 Trayectoria.- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
38 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
 Recorrido (s).- 
 _______________________________________
 _______________________________________
 _______________________________________
VA = 4m/s(↑) ; rA = 4 m/s
VB = 4m/s(←) ; rB = 4 m/s
VC = 4m/s(↓) ; rC = 4 m/s
VD = 4m/s(→) ; rD = 4 m/s
C A
D
4 m/s
4 m/s
4 m/s
4 m/s
B
Es una cantidad vectorial que nos expresa la rapidez 
con que cambia de posición un móvil.
 rapidez .- Es el módulo de la velocidad.
ra = 3m/s 
Velocidad del 
móvil A
Rapidez del 
móvil A
VA = 3m/s (↑)
3m/s
A
Va = 2m/s (→)
ra = 2m/s
2m/s
A
2. velocIdad
a. velocidad media (vm)
Nos indica el desplazamiento realizado en un inter-
valo de tiempo.
Unidades
m
s
km
h;Vm = = 
∆r
t
b. rapidez Promedio (vp)
Nos indica el recorrido realizado por un móvil en un 
intervalo de tiempo.
Para convertir km/h a m/s se multiplica por:
Ejemplo :
Transforma a km
h
m
s
18 = km
h ( )
m
s
36 = km
h
( ) ms
Observación:
s
tVp = = 
3m/s
1 s 1 s 1 s
3m/s 3m/s 3m/s
MrU : _____________________________________
 _____________________________________
 _____________________________________
Fórmula:
d
v t
∨d = v . t
Unidades:
d
m
km
t v
39
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Nacido en Pisa en el seno de una 
familia noble, cursó estudios de 
medicina en la misma ciudad en 
1581 y de matemáticas en Florencia, 
s iendo catedrático en Padua 
entre 1592 y 1610. Construyó un 
telescopio de 30 aumentos con el 
que pudo observar los movimientos 
celestes, descritos en su obra El 
mensajero celeste. Seguidor del 
pensamiento de Copérnico, sostiene 
la teoría heliocéntrica, según la cual 
los astros no giran alrededor de la 
Tierra sino que ésta y otros planetas 
circulan cíclicamente en torno al 
Sol. La Iglesia emprende un proceso 
contra Galileo al considerar sus 
afirmaciones	contrarias	a	la	Biblia,	lo	
que le llevará a comparecer ante la 
Inquisición en 1633 al no retractarse 
de sus afirmaciones. La condena 
posterior	 le	 confina	 en	Arcetri,	 a	
pesar de mostrarse arrepentido, 
donde seguirá estudiando hasta su 
fallecimiento. Galileo preconiza 
la ciencia moderna, al establecer 
la observación y la experiencia 
como herramientas básicas del 
conocimiento y la formulación 
m a t e m á t i c a c o m o m é t o d o 
explicativo de la naturaleza. Sus 
trabajos astronómicos, de suma 
importancia, describen la Luna y 
muchos de sus rasgos, detallan la 
existencia de miles de estrellas y 
formulan un modelo explicativo de 
la Vía Láctea. En el terreno de la 
física, formula una teoría sobre la 
gravitación, elabora leyes sobre la 
relatividad del movimiento y describe 
la uniformidad del movimiento 
pendular independientemente de 
la amplitud del mismo.
Personaje de la semana
Galileo Galilei
La tierra por cada segundo se 
mueve 30 km., es decir, su rapidez 
de traslación es 30 km/s y nosotros 
no la sentimos.
1. tIemPo de encuentro (te)
te = 
te te
V1 V2
d
2. tIemPo de alcance (ta)
ta
V1
d
ta
V2
ta = 
 Donde :
 V1 > V2
 d : separación inicial (en m)
El Mag l ev e s uno de l o s 
t r e n e s m á s r á p i d o s d e l 
mundo, pues llega a alcanzar 
517 km/h.
40 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Halla “d” si:
2 s
1 m/s
d
 1) Halla “d” si:
4 s
d
5m/s
Velocidad Máxima
72 kph
Esto	significa	que	los	automóviles	pueden	moverse	a:
a) 20 metros en 1 segundo
b) 72 kilómetros en 1 segundo
c) 20 kilómetros en 1 hora
d) 10 metros en 1 hora
e) 72 metros en 1 hora
 2) Un motociclista recorre 250 m en 10 s. ¿Cuál es 
su velocidad ?
 2) Un automóvil se mueve con MRU y con una 
velocidad de 15 m/s. ¿Qué espacio recorrerá en 6 
segundos ?
 6) Una señal de tránsito en la “Vía Expresa” indica:
 4) Un tren se demora en pasar al lado de un hombre 15 
s. Si la longitud del tren es 300 m, halla la rapidez 
del tren.
 5) Una camioneta va de San Miguel hacia La Molina 
en un tiempo de 10 minutos. Si hay una distancia 
de 8 km, calcula la rapidez de la camioneta en km/h.
 4) Un tren se demora en pasar por un poste 30 s. Si 
la rapidez del tren es 5 m/s, halla la longitud del 
tren.
 5) Del problema anterior, s i se duplica la 
velocidad, ¿en qué tiempo iría de San Miguel a La 
Molina?
 6) Si un auto viaja a razón de 54 km/h, ¿qué rapidez 
tendrá en m/s?
 3) Determina la rapidez en m/s si:
t= 1000s
10 km
V
 3) Determina la rapidez en m/s, si t= 1500s.
t= 1500s
15 km
V
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
41
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 4
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
 Halla el tiempo de encuentro.
3m/s
100 m
2m/sa) 10 s
b) 20 s 
c) 30 s
d) 40 s
e) 50 s
 Determina el tiempo de encuentro.
a) 10 s 
b) 15 s
c) 20 s
d) 25 s
e) 30 s 120 m
3m/s 3m/s
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) 5 s
 Indica el tiempo de alcance.
30 m
3m/s
6m/s
 Halla el tiempo de alcance.
60 m
5m/s
2m/sa) 5 s
b) 10 s 
c) 15 s
d) 20 s
e) 25 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
42 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
 Un muchacho quiere saber qué tan lejos está un 
cerro, para ello hace sonar fuertemente un pito y 
escucha el primer eco en 0,5 s. Halla la distancia 
que los separa (Vs= 340 m/s).
 a) 90 m d) 70 m
 b) 85 m e) 60 m
 c) 75 m
 Se produce una explosión a una distancia de 1020 
m. ¿Después de cuánto tiempo se oirá el ruido de 
la explosión? (Vs= 340 m/s)
 a) 2 s d) 4 s
 b) 1 s e) 5 s
 c) 3 s
 Una explosión ocurre dentro del agua, y después 
de 2s, un buzo logra escucharla. Determina la 
distancia entre el buzo y el lugar de la explosión. 
 (Vs(agua)= 1500 m/s)
 a) 2 km d) 5 km
 b) 3 km e) 6 km
 c) 4 km
 Un avión recorrió una distancia de 2800 km 
con una velocidad de 700 km/h. ¿En qué tiempo 
recorrió esta distancia?
 a) 2 horas d) 4 horas
 b) 3 horas e) 7 horas
 c) 6 horas
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
43
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
 En	el	gráfico,	¿en	qué	tiempo	los	móviles	equidistarán	
del árbol?
100 m
a
Va= 3m/s VB= 2m/s
B
a) 10 s d) 25 s 
b) 15 s e) 30 s
c) 20 s
 Del	gráfico,	¿en	qué	tiempo	los	autos	equidistan	
del poste?
200 m
15m/s 20m/s
a) 5 s d) 8 s 
b) 6 s e) 9 s
c) 7 s
 Si un móvil A alcanzó al móvil B a las 3 p.m., ¿a 
qué hora partieron?
100 km
120 20 kmha B a B
km
h
a) 11:00 p.m. d) 2:00 p.m.
b) 12:00 p.m. e) 3:00 p.m.
c) 1:00 p.m.
 Si los móviles se encontraron a las 5:00 p.m., ¿a 
qué hora partieron?
50 km
20 km
h
70 km
h
a) 6:00 p.m. d) 9:00 p.m.
b) 7:00 p.m. e) 10:00 p.m.
c) 8:00 p.m.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
44 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
 Del	gráfico,	 ¿en	qué	 tiempo	 impactará	el	misilal	
avión?
200 m/s 100 m/s
500 m
a) 1 s d) 4 s
b) 2s e) 5 s
c) 3 s
3 m/s4 m/s
a) 10 s d) 4 s
b) 8 s e) 2 s
c) 6 s
 Del	 gráfico,	 ¿en	 qué	 tiempo	 los	móviles	 estarán	
separados 50 m?
 Del	 gráfico,	 ¿en	qué	 tiempo	 los	móviles	 estarán	
separados 250 m?
24 m/s
7 m/s
a) 5 s d) 20 s
b) 10 s e) 25 s
c) 15 s
 Determina el tiempo de impacto.
100 m/s 50 m/s
200 m
a) 1 s d) 4 s
b) 3 s e) 7 s
c) 5 s
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
45
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
5Movimiento Rectilíneo
Uniforme Variado
Fórmulas del m.r.u.v
Ejemplo :
2 m/s
1 s 1 s 1 s 1 s 1 s
A B C D E F
MRU MRUV
8 m/s2 m/s 6 m/s4 m/s2 m/s
♦ Tramo AC: 
 La velocidad se mantiene ______________________.
♦ Tramo CF: 
 En cada segundo la velocidad cambia de ___________
 a ________________ m/s.
♦ Entonces el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo 
se le conoce como aceleración que en todo momento 
permanece ________________________.
El MRUV es aquel movimiento donde la velocidad 
experimenta variaciones iguales en tiempos iguales.
concepto:
Vf : Velocidad Final (m/s)
Vo : Velocidad Inicial (m/s)
a : Aceleración (m/s2)
(+) : Movimiento Acelerado 
 (aumenta la velocidad)
( - ) : Movimiento Retardado 
 (disminuye la velocidad)
Vf
2 = Vi
2 + 2ad
Vf = Vi + at
Vi + Vf
2
d = t
d = Vit + 
at2
2




donde:
( )
Veamos dos autos que parten del reposo al encuentro.
pero vi = 0
d1 = vit + a1t
21
2
d1 = a1t
2 ... (1)1 2
Paso 1:
pero vi = 0
d2 = vit + a2t
21
2
d2 = a2t
2 ... (2)1 2
Paso 2:
Vi = 0
a2 Vi = 0 a1 
t t
d1 d2
d
Entonces sumamos (1) + (2):
¿y el tiempo de alcance?
Se obtiene:
d
a1 a2
Vi = 0Vi = 0
ta = 
2d
a1 - a2
a1 > a2 
d1 + d2 = + 
a1t
2
2
a2t
2
2
d = t2 (a1 + a2) ⇒ 
1 
2 te = 
2d
a1 + a2
46 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Completa los valores que faltan:
 1) Completa los valores que faltan:
I. Vf = Vi + at
II. d = Vit + 
a t2
2
Vf2 = Vi2 + 2 a dIII.
Vi + Vf
2
( )d = tIV.
 2)	 Clasifica	con	verdadero	(V)	o	falso	(F)	cada	una	de	
las proposiciones.
 
 I. En el MRUV la aceleración se
 mantiene constante. ( )
 II. Un auto puede tener velocidad
 y no tener aceleración. ( )
 III. Un auto puede tener velocidad
 cero y tener aceleración. ( )
 IV. En el MRUV no existe aceleración. ( )
 3) Un automóvil con una velocidad de 108 km/h frena 
a razón de 5m/s2. ¿Calcula después de qué tiempo 
se detiene?
 1) 
I. d = Vit + 
at2
2
II. Vf2 = Vi2 + 2 a d IV. Vf = Vi + at
III.
Vi + Vf
2
d = t( )
 2) Completa las siguientes oraciones:
 
	 I.	 MRUV	significa	__________________________
 _____________________________________. 
 II. En el MRUV la velocidad ________________en 
forma constante. 
 III. En todo M.R.U.V. los cuerpos viajan con _____
________________________________ . 
 3) Del problema anterior, ¿qué espacio recorrió el 
automóvil hasta que se detuvo?
 4) Dos móviles parten del reposo simultáneamente de 
un mismo punto acelerando sobre una recta y en el 
mismo sentido con 2 y 8 m/s2. ¿Qué tiempo después 
estarán separados 300 m?
 4)	 De	la	figura,	determina	el	tiempo	de	encuentro	si	
ambos cuerpos parten del reposo.
d = 200 m
a1 = 3m/s
2 a2 = 1m/s
2
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
 5) Dos móviles que parten del reposo con aceleraciones 
de 5 m/s2 y 3 m/s2 se encuentran distanciados 64 
m. Si viajan en la misma dirección, halla el tiempo 
de alcance.
 5)	 De	la	figura,	determina	el	tiempo	de	encuentro	si	
ambos cuerpos parten del reposo.
d = 192 m
a1 = 2m/s
2 a2 = 4m/s
2
 6) ¿En qué tiempo estarán seperados 15 m si parten 
del mismo origen?
15 m/s10 m/s 15 m/s 10 m/s
 6)	 De	la	figura,	calcula	su	aceleración.
3 m/s
200 km
9 m/s
A B
47
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N° 5
Un automóvil que realiza un MRUV emplea 5 s 
en aumentar su velocidad de 30 m/s a 60 m/s. 
Calcula el valor de la aceleración.
a) 2 m/s2 b) 8 m/s2 c) 4 m/s2 
d) 10 m/s2 e) 6 m/s2
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 
m/s en 10 s acelerando uniformemente. Calcula 
dicha aceleración.
a) 1 m/s2 b) 4 m/s2 c) 2 m/s2 
d) 5 m/s2 e) 3 m/s2
Una motocicleta se mueve con MRUV y lleva 
una velocidad de 20 m/s. Si empieza a frenar 
hasta que logra detenerse en 10 segundos, 
calcula el espacio que recorrió desde que empezó 
a frenar hasta que se detuvo.
V
i
 =
Vf =
t =
e =
Solución:
Fórmula Rpta.:
e=( )Vi + Vf
2
e = t
( )(Vi) + (Vf)
2e = t
Calcula el tiempo en el que se detuvo un 
automóvil, si su velocidad era de 20 m/s y 
recorrió 100 metros hasta detenerse.
Solución:
Vi =
Vf =
t =
e =
Fórmula Rpta.:
t =( )Vi + Vf
2
e = t
48 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
 En	la	figura,	halla	“V”.
a) 45 m/s b) 33 m/s c) 32 m/s
d) 23 m/s e) 43 m/s
d = 180 m
t = 8s
12m/s V
En	la	figura,	halla	la	velocidad	en	“B”.
a) 10 m/s b) 35 m/s c) 15 m/s 
d) 30 m/s e) 25 m/s
80 m
t = 4s
V 3V
A B
V VC3V
4 s 1 s
d 52 m
Del	gráfico,	halla	“V”.
a) 9 m/s b) 115 m/s c) 12 m/s 
d) 16 m/s e) 8 m/s
Del	gráfico,	halla	“d”.
a) 9 m b) 12 m c) 10 m 
d) 14 m e) 11 m
d1 d2
8m/s V 20 m/s
t 2t
49
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Si un móvil tiene una aceleración constante de 
10 m/s2, calcula su velocidad al cabo de 7 s de 
haber concluido su movimiento (el móvil partió 
del reposo).
a) 50 m/s b) 80 m/s c) 60 m/s 
d) 70 m/s e) N.A.
Un móvil se mueve con aceleración constante 
de 5 m/s2. Calcula la velocidad adquirida luego 
de los primeros 9 segundos (el móvil partió del 
reposo).
a) 30 m/s b) 60 m/s c) 45m/s 
d) 50 m/s e) N. A.
Del	gráfico,	calcula	la	velocidad	en	“A”
(tAB= 10 s).
a) 32 m/s b) 52 m/s c) 42 m/s 
d) 62 m/s e) N. A.
(A)
a= 2 m/s2
(B) 62 m/sVA
Del	gráfico,	calcula	la	velocidad	en	“B”
(tAB= 10 s).
a) 10 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s 
d) 50 m/s e) 30 m/s
(A)
a= 3 m/s2
(B)
VB20 m/s
50 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
700 m
a1 = 5m/s
2
a2 = 3m/s
2
En	la	figura,	calcula	el	tiempo	en	el	cual	ambos	
móviles estarán separados 300 m si ambos par-
tieron del reposo.
a) 12 s b) 20 s c) 16 s 
d) 8 s e) 10 s
8 m
a1=3m/s
2v0=0 a2=2m/s
2v0=0
En	la	figura,	halla	el	tiempo	de	alcance.
a) 2 s b) 4 s c) 6 s 
d) 16 s e) 8 s
Dos autos separados a una distancia “L” entre 
sí parten del reposo en el mismo sentido, 
alcanzando el carro posterior al delantero 
después de que éste ha recorrido una distancia 
“x”. Halla la relación de sus aceleraciones.
a) x/L b) L2/x2 c) (x+L)/L
d) x/(x+L) e) L2/x
De	la	figura,	calcula	la	aceleración.
a) 5 m/s2 b) 12 m/s2 c) 4 m/s2 
d) 1 m/s2 e) 8 m/s2
V= 2 m/s V=18 m/s
t= 4 s
a
A B
51
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
6Movimiento Vertical
de Caída Libre
caída libre
Es el movimiento de aproximación de un cuerpo a la tierra 
por acción de la fuerza de la gravedad sin considerar la 
resistencia del aire.
Comoel movimiento de Caída 
Libre de un cuerpo se realiza 
con aceleración constante, 
entonces este movimiento 
es un caso particular de 
MRUV por tanto se usa las 
mismas fórmulas; donde 
la aceleración a = g y las 
distancias d = h (altura).
h = Vit + gt
2
Vf = Vi + gt
Vf
2 = Vi
2 + 2gh
1 
2
La aceleración debida a la gravedad (g) dirigida al centro de 
la tierra tiene un valor constante aproximado de: 
(latitud 45º)
g = 9,8 m/s2
Siendo:
(+) : Cuando el cuerpo baja.
( - ) : Cuando el cuerpo sube.
galileo galilei
(1564 - 1642)
Gran físico y astrónomo italiano que por primera vez 
empleó el método experimental de investigación en la 
ciencia. Estudió las Leyes de la Caída de los cuerpos y 
del movimiento de estos por un plano inclinado.
Interesante
52 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Todo cuerpo cerca de la 
superficie	de	 la	Tierra	cae	
al suelo desde que pierde 
su apoyo. La causa de este 
movimiento es la acción 
de la gravedad. La caída de 
los cuerpos, es un problema 
histórico desde tiempos 
remotos, muchos hombres 
han tratado de encontrar 
las leyes del movimiento de los cuerpos. Aristóteles, 
el	más	famoso	filósofo	griego	no	tuvo	éxito	en	su	em-
peño. En cambio Galileo Galilei, veinte siglos después, 
descubrió la Ley de la Caída de los Cuerpos, es esta 
ley la que conocemos actualmente y que estudiaremos 
en este capítulo.
♣ En la altura máxima, la velocidad es nula.
♣ La rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada en 
un mismo nivel horizontal.
♣ El tiempo de subida y de bajada son iguales para un 
mismo nivel horizontal.
característIcas:
h = 55 m
Va = 50m/s
d
Ca
VB =
VC =
TIEMPOAD =
V = 0
V = 10m/s
V = 20m/s
V = 30m/s
1s
1s
1s
1s
V = 50m/s
V = 60m/s
1s
1s
V = 40m/s
5 m
15 m
25 m
35 m
45 m
55 m
R
E
C
U
É
R
D
A
L
O
A partir de 4 g para un piloto sentado, aparecen 
los	desarreglos	fisiológicos,	que	se	manifiestan	por	
la presencia de un velo negro o rojo en los ojos, 
debido a la desaparición o acumulación de sangre 
en la cabeza.
53
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) Un cuerpo se abandona desde cierta altura. Halla 
su velocidad luego de 3 segundos (g=10m/s2).
 2) Un cuerpo se deja caer desde un acantilado. Halla 
la velocidad de dicho cuerpo luego de 5 segundos.
 3) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con 
una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál fue el tiempo de 
subida?
 2) Un cuerpo se lanza hacia arriba con una velocidad 
de 40 m/s. ¿En qué tiempo regresa al punto de 
partida?
 3)	 Desde	lo	alto	de	un	edificio	se	deja	caer	un	cuerpo,	
llegando al suelo en 4 segundos. Halla la altura del 
edificio.
 6)	 Se	deja	caer	un	cuerpo	desde	lo	alto	de	un	edificio.	
Si demora 5 segundos en llegar al piso, calcula la 
altura	del	edificio.
 4) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con 
velocidad de 20 m/s. Calcula el tiempo que demora 
en alcanzar una velocidad de 60 m/s. (g= 10 m/s2).
 7) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con 
una velocidad de 40 m/s. Calcula su velocidad luego 
de 4 s.
 5) Un cuerpo es dejado caer desde 80 m de altura con 
respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes 
de impactar el piso? (g= 10 m/s2)
 8) Se deja caer un cuerpo de 2 kg en un lugar donde la 
resistencia del aire es nula, empleando 6 s en llegar 
al piso. Calcula desde qué altura se dejó caer.
 (g= 10 m/s2).
 6) Desde una torre de 45 m de altura se lanza hacia 
arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. 
Determina la rapidez con la que llega al piso.
 (g= 10 m/s2).
 9) Un cuerpo es dejado caer desde 125 m de altura 
con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el 
instante del impacto?
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____rpta: _____
54 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
PROBLEMAS PARA CLASE N° 6
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
De	la	figura,	halla	“h”.
a) 75 m
b) 105 m
c) 80 m
d) 90 m
e) 125 m
40m/s
3 sh
De	la	figura,	halla	“h”.
a) 35 m
b) 40 m
c) 105 m
d) 15 m
e) 80 m
De	 la	figura,	halla	 el	 tiempo	que	estuvo	en	el	
aire la esfera.
a) 6 s
b) 10 s
c) 15 s
d) 4 s
e) 24 s
40m/s
60m/s
En	la	figura,	halla	el	tiempo	de	vuelo.
a) 5 s
b) 30 s
c) 15 s
d) 10 s
e) 50 s
50m/s
30m/s
2 sh
55
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Desde	 la	 azotea	 de	 un	 edificio	 se	 lanza	 hacia	
abajo un objeto “A” con V= 10 m/s y simultá-
neamente desde el piso, se lanza hacia arriba otro 
objeto “B” con V= 40 m/s. Si luego de 4 s dichos 
objetos se encuentran, determina la altura del 
edificio	(g=10m/s2).
a) 150 m b) 230 m c) 200 m 
d) 240 m e) 220 m
Desde	un	edificio	de	150	m	de	altura	se	suelta	
un objeto “A” y simultáneamente desde el piso 
se lanza hacia arrriba un objeto “B” con cierta 
rapidez. Si luego de 3s están separados 60 m, 
determina con qué rapidez se lanzó “B”.
a) 30 m/s b) 15 m/s c) 25 m/s 
d) 10 m/s e) 20 m/s
Desde	la	azotea	de	un	edifio	se	lanza	hacia	arriba	
un objeto “A” con una rapidez de 30 m/s y simul-
táneamente se suelta otro objeto “B” del mismo 
punto. Determina la altura que están separados 
luego de 3 s. (g=10m/s2)
a) 45 m b) 90 m c) 60 m 
d) 100 m e) 80 m
Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	120	m	se	suelta	
una objeto “A” y simultáneamente desde el piso, 
se lanza otro objeto “B” hacia arriba con una 
rapidez de 30 m/s. Determina la altura que están 
separados luego de 3 s. (g=10m/s2)
a) 10 m b) 40 m c) 20 m 
d) 50 m e) 30 m
56 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:30 m
40 m
90 m
A
B
VA 
VB 
Los objetos “A” y “B” que se muestran son 
lanzados con 10 y 15 m/s, respectivamente. 
Determina la distancia que están separados 
cuando “A” llega al piso.
a) 30 m 
d) 60 m
b) 40 m 
e) 65 m
c) 50 m
40 m
90 m
A
B
VA=10 m/s
VB 
Los objetos “A” y “B” son lanzados como se 
muestra. Si los dos llegan al piso al mismo 
tiempo, determina rapidez con la que fue 
lanzado “B”.
a) 35 m/s
b) 50 m/s
c) 40 m/s
d) 55 m/s
e) 45 m/s
Desde lo alto de una torre se lanza un cuerpo 
verticalmente hacia arriba con una velocidad de 
20 m/s. Calcula la altura de la torre si el cuerpo 
llega a su base luego de 10 s de haberse lanzado.
a) 500 m b) 300 m c) 125 m 
d) 200 m e) 400 m
Un cuerpo se lanza hacia arriba desde una altura 
de 100 m. ¿Qué tiempo demora en llegar a tierra 
si su velocidad de lanzamiento fue de 40 m/s?
a) 10 s b) 5 s c) 7 s
d) 8 s e) 20 s
57
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
 Un niño lanza una pelota verticalmente hacia 
arriba, y después de 2 s impacta con el techo con 
una velocidad de 20 m/s. ¿Qué altura recorre la 
pelota hasta el impacto? (g=10m/s2)
a) 50 m b) 80 m c) 60 m
d) 90 m e) 70 m
Desde	lo	alto	de	un	edificio	se	lanza	verticale-
mente hacia abajo un objeto con una velocidad 
de 10 m/s. Si el objeto llega al piso con una 
velocidad	de	60	m/s,	¿qué	altura	tenía	el	edificio?
a) 105 m b) 150 m c) 45 m
d) 80 m e) 175 m
Un	globo	se	eleva	desde	la	superficie	terrestre	a	
una velocidad constante de 5 m/s, y cuando se 
encuentra a una altura de 360 m se deja caer 
una piedra. El tiempo en segundos, que tarda la 
piedra	en	llegar	a	la	superficie	terrestre	es:	
(g=10m/s2).
a) 6 s b) 16 s c) 8 s 
d) 18 s e) 12 s
Dos cuerpos A y B se encuentran en una línea 
vertical separados una distanciade 100 m, el 
cuerpo “A” (está arriba) se deja caer en el mismo 
instante en que “B” (está abajo) se lanza arriba 
con una velocidad de 50 m/s. ¿En qué tiempo se 
encontrarán dichos cuerpos? (g=10m/s2)
 
a) 1 s b) 2,5 s c) 1,5 s
d) 3 s e) 2 s
58 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Capítulo
7Movimiento 
Parabólico
OBJETIVOS:
a Estudiar el movimiento parabólico como la superposición de dos movimientos simultáneos.
a En el eje Horizontal: Movimiento Rectilíneo Uniforme.
a En el eje Vertical: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
En la sección anterior vimos que ocurría cuando un cuerpo era lanzado verticalmente (o bien hacia arriba o bien hacia 
abajo); y observamos que la trayectoria descrita en cualquier caso era una recta.
Ahora se estudiará el lanzamiento de un proyectil ya no verticalmente sino de manera inclinada, y observaremos que aquí 
la trayectoria seguida para este caso es una curva que se conoce como parábola, es por ello el nombre de movimiento 
parabólico.Como dijimos antes, el movimiento parabólico se puede estudiar como la superposición de dos movimientos. 
Esto fue demostrado de manera experimental por Galileo Galilei. Y posteriormente demostrado también matemáticamente.
Lo que hizo fue lanzar una partícula de manera horizontal y simultáneamente dejo caer otra desde el reposo (tal como 
muestra	la	figura)	y	observó	que	ambos	cuerpos	descendían	recorriendo	las	mismas	distancias	verticales	en	los	mismos	
intervalos de tiempo, es decir siempre se encontrarán a la misma altura (mismo nivel).
Introducción
(1) (2)
Vx
59
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
30
40
37º
50
40
20
40
10 40
 40
 10
40
20 40
30
40
40
40
50
y
 x
g = 10m/s2
(todas las velocidades estan en m/s)
* Entre un instante y otro hay un 
 intervalo de 1 s.
Como sabemos, la causante de que un cuerpo tienda a caer es la gravedad que da origen a la fuerza gravitatoria, que es la que obliga 
al cuerpo a caer o acercarse a Tierra. También dijimos que la gravedad se considerará cerca de la Tierra como 10 m/s2 (siendo su valor 
real 9,8 m/s2).
A continuación, esquematizaremos lo que ocurre cuando una partícula es lanzada con una velocidad inclinada.
Eje Horizontal.- 
En este eje se observa que la componente de la velocidad 
(horizontal) no cambia y, esto se debe a que después del 
lanzamiento no existe fuerza horizontal en dicho eje.
Eje Vertical.- 
En este eje se observa que el componente de la 
velocidad (vertical) cambia de valor, y el cambio es 
de 10 m/s en cada segundo, este cambio se debe a que 
existe una fuerza vertical siempre dirigida hacia abajo, 
que es la causante de que el cuerpo al subir disminuya 
su rapidez y al bajar aumente su rapidez.
Las fórmulas a utilizar aquí son las mismas que en 
MRUV (en el eje vertical).
Y la mismas que en MRU (en el eje horizontal).
Sin embargo, es importante para facilitar las cosas 
trabajar los parámetros con signos según sea el caso.
Importante
En las competencias de salto largo, al realizar dicho 
salto en las proximidades del mar (costas) es menos 
ventajosa que hacerlo en zonas elevadas (sierra). 
Una tortuga se 
desplaza a una 
velocidad de 
4km/h.
60 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	45	m	de	altura	se	
lanza horizontalmente una pelota con una rapidez 
de	20	m/s.	Calcula	a	que	distancia	del	edificio	cae	
dicha pelota.
 1) Desde la azotea de un edif ic io se lanza 
horizontalmente un objeto y demora en llegar al 
piso 4 s. Si se lanzó con 30 m/s, calcula la altura del 
edificio.
 2) Se lanza un objeto con Vo =50 m/s y un ángulo 
de elevación de 53º. Determina la rapidez de dicho 
objeto luego de 4 s y 7 s del lanzamiento.
 2)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	50	m	de	altura	se	
lanza un objeto con Vo =25 m/s y formando 37º 
con la horizontal. Determina el alcance horizontal 
de dicho objeto.
 3)	 Desde	 lo	 alto	 de	 un	 edificio	 se	 lanza	 un	 objeto	
horizontalmente con Vo =10 m/s y este cae a 50 m 
del	pie	del	edificio.	Determina	la	altura	del	edificio.
 3)	 Desde	la	azotea	de	un	edificio	de	80	m	de	altura	se	
lanza horizontalmente un objeto con una rapidez de 
30	m/s.	Calcula	a	qué	distancia	del	pie	del	edificio	
cae.
 4) Desde lo alto de una torre de 105 m de altura se 
lanza un objeto con una rapidez de 25 m/s y un 
ángulo de 53º con la horizontal. Determina el 
tiempo que demora en caer y la distancia al pie del 
edificio	a	la	que		cae.
 4) Desde lo alto de una torre se lanza un objeto con una 
rapidez de 25 m/s y ángulo de 37º con la horizontal 
y demora 4 s en llegar al piso. Determina la altura 
de la torre y a que distancia del piso cae.
 5) En el gráfico, 
halla el alcance 
horizontal de la 
esferita.
45º
53º
d
60 2m/s
100 m/s
 5) En el siguiente 
gráf ico, halla 
e l a l c a n c e 
horizontal.
45º
53º
d
30 2m/s
50 m/s
 6) Para el siguiente 
l an zamiento , 
halla el alcance 
horizontal.
30 m/s
80 m
 6) Calcula “x”.
125 m
20 m/s
x
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____ rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
rpta: _____
61
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
PROBLEMAS PARA CLASE N° 7
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
La	persona	que	se	muestra	en	la	figura	describe	
un MRU y logra agarrar al objeto “A” a tiempo. 
Determina	la	altura	del	edificio.
a) 40 m
b) 55 m
c) 45 m
d) 60 m
e) 50 m
15 m/s
5 m/s
100 m
A
EL avión que se muestra describe un MRU con 
Vo =30 m/s. Determina la rapidez del tanque si 
la bomba hace blanco en el tanque.
a) 15 m/s
b) 21 m/s
c) 18 m/s
d) 25 m/s
e) 20 m/s
V
h =4,5 m
45 m
Vo
Vo
a
100 m
En el instante en que el objeto es lanzado con 
“Vo”, la persona inicia su movimiento con 
MRUV con a = 2m/s2 y logra agarrar el objeto 
luego de 5 s. Determina la rapidez “Vo”.
a) 5 m/s
b) 20 m/s
c) 10 m/s
d) 25 m/s
e) 15 m/s
El	avión	que	se	muestra	en	la	figura	suelta	una	
cantidad de agua con la intención de apagar el 
fuego. Si describe un MRU con una rapidez de 
50 m/s, determina si logra su objetivo.
a) Sí 
b) No, cae a 10 m. 
c) No, cae a 20 m.
d) No, cae a 30 m.
e) No, cae a 35 m.
180 m
300 m
50 m/s
5 m
Fuego
62 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3 
4
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un cuerpo se lanza desde 180 m de alto y ho-
rizontalmente. Halla el tiempo que permanece 
en el aire.
a) 5 s b) 8 s c) 6 s 
d) 9 s e) 7 s
Se lanza horizontalmente un cuerpo desde una 
altura de 125 m. ¿Qué tiempo demora en caer?
a) 1 s b) 4 s c) 2 s 
d) 5 s e) 3 s
Si el objeto es lanzado con Vo =50 m/s y θ =53º, 
determina a que distancia de la pared cae.
a) 40 m
b) 70 m
c) 50 m
d) 80 m
e) 60 m
Vo
θ
180 m
Un cuerpo se lanza desde tierra con 50 m/s y con 
una inclinación de 37º. Halla la altura máxima 
a la que asciende.
a) 45 m b) 10 m c) 125 m 
d) 15 m e) 5 m
63
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
5
6
5 
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
En	el	gráfico,	se	sabe	que	el	tiempo	que	emplea	
la esferita en ir de A a B es 6 segundos. Halla la 
velocidad en A.
a) 15 m/s
b) 30 m/s
c) 20 m/s
d) 35 m/s
e) 25 m/s
A 37º
B
V
90m
A 45º
V
160m
La esferita tarda 8 segundos en llegar a tierra. 
Halla la velocidad de lanzamiento.
a) 20 m/s
b) 45 2 m/s
c) 45 m/s
d) 53 m/s
e) 20 2 m/s
Halla la velocidad en A, si luego de 8 segundos 
la esferita pasa por B.
a) 20 10 m/s 
d) 10 m/s
b) 10 10 m/s 
e) 20 m/s
c) 5 10 m/s
A
V
B
45º
60 2 m/s
45º
A
40 2 m/s
θ
B
Se sabe que la esferita tarda 7 segundosen ir 
desde A hasta B. Halla θ.
a) 30º
b) 53º
c) 37º
d) 60º
d) 45º
64 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
nOTa
Determina a qué distancia se encuentra la pared 
si la esfera choca perpendicularmente con ésta.
a) 120 m
b) 150 m
c) 130 m
d) 160 m
e) 140 m
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Con qué ángulo se debe lanzar un objeto para 
que “d” (alcance horizontal) sea 4 veces su “h” 
(altura máxima).
a) 15º b) 42º c) 30º 
d) 45º e) 37º
Con qué ángulo se debe lanzar un objeto para 
que “d” (alcance horizontal) sea 3 veces su “h” 
(altura máxima).
a) 15º b) 45º c) 30º 
d) 53º e) 37º
50 m/s
37º
60 m/s
30º
Determina a qué distancia se encuentra la pared 
si la esfera choca perpendicularmente con ésta.
a) 90 m
b) 90 5 m
c) 90 2 m
d) 120 3 m
e) 90 3 m
65
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Capítulo
8Movimiento Circunferencial 
Uniforme
Introducción
‘‘Movimiento de rotación uniforme’’
ω = constante
O
θ θ
θ
t
t
t
θ
t
ω =
1. deFInIcIón de velocIdad angular 
constante
Recordando	que	los	movimientos	se	clasifican	en	función	
a determinados conceptos básicos, tenemos que por la 
forma de la trayectoria estos pueden ser rectilíneos o 
curvilíneos. Si la trayectoria es una circunferencia, entonces 
el movimiento se denomina: Movimiento Circunferencial. 
Cuando una partícula describe una circunferencia de 
manera que recorre arcos iguales en tiempos iguales, diremos 
que posee un movimiento circunferencial uniforme.
Se	define	como	velocidad	angular	constante	a	aquella	
que no cambia de módulo y de dirección a través del 
tiempo, y cuyo valor nos indica el ángulo que gira un 
cuerpo rígido en cada unidad de tiempo.
Si cambiamos “e” por “θ”; y “v” por “ω”, obtendremos 
un triángulo similar al visto en M.R.U.
En el S.I. esta velocidad se expresa en radianes por 
segundo: rad/s.
También puede expresarse en rev/s o rev/min = rpm, 
donde:
1 revolución (rev) = 2π rad = 360° 
regla mnemotécnica
2. leYes del movImIento de rotacIón 
unIForme
3. Período (t)
T =
2π
ω
En el S. I., el período se expresa 
en segundos (s).
4. FrecuencIa (f)
En vista de que el moviemiento de rotación uniforme 
posee velocidad angular constante (ω), tendremos que 
las leyes que lo describen son análogas a las del M. R. U.
Llamamos así al tiempo que emplea un cuerpo con 
movimiento de rotación uniforme para realizar un giro 
de 360°, es decir, una vuelta completa. Su valor resulta 
ser inversamente proporcional con la velocidad angular, 
pues a mayor velocidad, menor es el tiempo en dar una 
vuelta. Así, de la tercera ley del movimiento de rotación 
uniforme, tendremos:
Denominamos así a aquella magnitud física que nos 
indica el número de vueltas completas que realiza 
un cuerpo con movimiento de rotación uniforme, en 
cada	unidad	de	tiempo.	En	virtud	a	esta	definición,	la	
frecuencia se determina así:
f = Nt
ω = θ
t θ = ω. t 
t = θ
ω
θ 
ω T
f = número de vueltas
tiempo
66 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
5. velocIdad tangencIal (vt)
Cuando una partícula se desplaza, se comprueba 
que cualquiera que sea su trayectoria, desarrolla una 
velocidad de tipo lineal la cual tendrá siempre una 
dirección tangente a la curva en todo punto de ella. 
Gracias a esta velocidad la partícula logra recorrer arcos 
(S) de la curva, en una forma tal que intenta escapar 
de ella viajando por la tangente. Así pues llamaremos 
celocidad tangencial a aquella que posee una partícula 
cuando desarrolla un movimiento curvilíneo. El 
módulo de la velocidad tangencial no es más que la 
rapidez con que la partícula recorre una curva. En 
el M.C.U. el módulo de esta velocidad se mantiene 
constante y se determina así:
Donde ω es la velocidad angular con que gira el radio 
vector (r) que sigue a la partícula, comprobándose 
además que los vectores que representan a Vt , r y ϖ 
son perpendiculares entre sí, tal como se puede observar 
en	la	figura.
Unidades S.I.: (ω )= rad/s, (r)=m, (Vt) = m/s
Si	ahora	nos	fijamos	en	el	valor	del	período	y	en	el	de	
la frecuencia, encontraremos que uno es el inverso del 
otro. Esto lo comprobamos con el siguiente ejemplo: 
supongamos que el período de un cuerpo es de 2 
segundos, es decir, en 2 s da una vuelta, luego, en 1 s 
dará 1 / 2 vuelta, o lo que es lo mismo; da 1 / 2 vuelta 
por segundo. Luego:
Cuando el período se expresa en segundos (s), la 
velocidad angular se expresa en rad/s, entonces, la 
frecuencia se expresa en: 
revoluciones / segundo = 1 / s 1
f = 1
T
f = ω2π
En base a las relaciones deducidas en el ítem anterior, 
podemos deducir el módulo de la velocidad tangencial 
en función del período T y la frecuencia f:
Vt = 2π f r = 2rπ / T
Eje de giro
O
V
t
s
ω 
r
t
Observaciones
VT = ω. t 
6. leYes del m.c.u.
Las leyes que permiten describir el movimiento de 
rotación uniforme y el movimiento circunferencial 
uniforme son realmente equivalentes, y se deducen de 
las relaciones:
 Vt =
S
t
S = Vt . t t =
S
Vt 
7. aceleracIon centríPeta (ac)
Como ya sabemos, la velocidad tangencial intenta 
llevar a la partícula por la tangente alejándola de la 
curva, sin embargo algo la obliga a continuar en ella 
como jalándola y evitando que se aleje. De este modo 
la dirección del movimiento se ve obligada a cambiar de 
manera continua a lo largo del movimiento curvilíneo. 
Recordemos	aquí	que	 la	única	razón	que	 justifica	 los	
cambios de velocidad es la existencia de una aceleración. 
Sin embargo, si sólo se trata de cambios en la dirección 
de la velocidad sin que se altere su módulo, ello sólo 
puede deberse a un tipo especial de aceleración a la 
que en adelante llamaremos aceleración centrípeda o 
central,	la	cual	se	manifiesta	en	el	grado	de	“brusquedad”	
con que un cuerpo o partícula toma una curva. Así pues, 
comprobaremos que en una curva muy cerrada el cambio 
de dirección es brusco, debido a que la aceleración 
centrípeda es grande. El vector aC es perpendicular a 
vt y se dirige siempre al centro de la curva, tal como lo 
muestra	la	figura.	El	módulo	de	esta	aceleración	viene	
dado por las siguientes relaciones:
Observación:
La relación para la aceleración centrípeta es válida 
no sólo para el M.C.U. sino en general para todo el 
movimiento curvilíneo.
|ac| = = ω2.rvt
r
2
ac ⊥ vt , ac ⊥ ω
O
ω 
Vt
ac
ac
ac
ac
Vt
Vt
Vt
67
Física - 3ro Sec.
Formando líderes con una auténtica educación integral
s
V 
t =
V =
s
t 
s = V . t 
t = tiempo en dar una vueta
número de vueltas
tiempof =
ω = 2 π . ff → rps
ω = . ff → rpm
f = 1
f 
T=
ω2.Rac =p
v2
R 
ac = p
v.ωac =p
Fórmulas
ω =
θ
t 
θ
ω 
t =
θ = ω.t
velocidad angular
velocidad lineal
Periodo
Frecuencia
relación entre f y t
relación entre t y ω
aceleración centrípeta
1
T
π
20
Símbolo
S
θ
t
T
f
ω
V
ac
Magnitud
Arco
Ángulo barrido
Tiempo trancurrido
Período
Frecuencia
Velocidad angular
Velocidad lineal
Aceleración centrípeta
Unidades de medida
metro
radianes
segundo
segundo
revolución por segundo
radianes por segundo
metro por segundo
metro por segundo al 
cuadrado
m
rad
s
s
s-1
rad/s
m/s
m/s2
unIdades de medIda
Interesante
Cuando	nos	fijamos	en	el	movimiento	de	una	piedra	
atada a una cuerda, o en el que tiene un punto del 
aspa de un molino girando, o en el que desarrolla un 
punto en la Tierra respecto al eje terrestre, o en el 
que tiene la Tierra respecto al centro del Sol, estamos 
hablando de movimientos curvilíneos.
La Luna gira alrededor de su eje en 27 días y 11 
horas.
68 Formando líderes con una auténtica educación integral
Física - 3ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
 1) ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de una 
partícula que gira a 180 rpm?
 1) ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de la hélice 
de un avión que gira a 200 rps?
 2)