Derivada Direccional y Gradiente

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Derivada Direccional y Gradiente
MateDLG y CyADLG
Índice:
Derivada Direccional
Definición
Segunda Definición
Teoremas
Interpretación Geométrica
Gradiente
Definición
Relación Derivada Direccional
Análisis
Curva de Nivel
Vector Ortogonal
Recta de máxima pendiente
Plano Tangente y Recta Normal
Vector Normal
Plano Tangente
Recta Normal
Teorema
Ejercicios
Derivada Direccional
Derivadas 
Parciales
Derivada 
Direccional
Introducción
Recordemos que nosotros definimos las derivadas parciales como una representación de la recta tangente en dos direcciones diferentes, la cual era la dirección del eje X y el eje Y. Luego para determinar la pendiente de la recta tangente en una dirección arbitraria vamos a definir un nuevo tipo de derivada, llamada “Derivada direccional” (). La siguiente definición formaliza la definición de derivada direccional para una función de dos variables. Dicha definición puede generalizarse para funciones de variables pues bastará considerar que es un punto en y que la derivada direccional es un vector también en 
Derivada direccional
Sea f una función de las variables e , sea un vector unitario. La derivada direccional de f en la dirección del vector , denotada como , es otra función de las variables e tal que su regla de correspondencia es:
Si el límite existe
Observación
Si consideramos que obtenemos:
Que representa la derivada parcial de la función con respecto al eje .
Generalización de Derivada Direccional
La derivada direccional de f en el punto, en la dirección del vector unitario es:
Ejemplo:
Dada la función y sea el vector unitario . La derivada direccional de la función en la dirección del vector es:
Derivadas Parciales y Derivada Direccional
Observemos para una función de dos variables, podemos de la definición de derivadas parciales:
Podemos generalizar esto de la siguiente forma:
Donde:
Podemos observar que toda derivada parcial es una derivada direccional en dirección de un vector 
Observación
La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función con respecto a la distancia , la medida en la dirección del vector unitario .
La derivada direccional representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en a la curva en el punto 
Curva formada de la intersección de la superficie de la función y un plano formado por la normal del vector unitario
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función en el punto y en la dirección hacia el punto 
Solución:
Por definición de derivada direccional:
Segunda Definición
Sea f una función de las variables e , sea un vector unitario, entonces la derivada direccional de en la dirección del vector será expresado por:
Nota:
Supongamos que nos dan como dato al vector , Podemos tomar siendo y sen
Donde 
De la propiedad anterior, definamos una función .
Por definición de derivada ordinaria tenemos que:
Como f es diferenciable en el punto , entonces G es diferenciable en h. Por regla de la cadena:
Para 
Comparando la ecuación inicial, tenemos que:
Teorema
Ejemplo:
Del ejercicio anterior:
Es el mismo resultado que llegamos anteriormente
2. Halle la derivada de la función en el punto y en la dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°.
Solución:
Segunda definición para tres variables
Sea una función diferenciable, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario es:
Donde , y son los ángulos directores de 
Recordar:
Propiedades de la derivada Direccional
Sea son funciones diferenciables en el conjunto abierto , entonces se tiene: 
Gradiente
Tengo Espinillas
En mi nariz
Hay vectores
Gradientes
En la superficie 
De mi Nariz
Definición
Sea una función donde las derivadas parciales de cada variable de f existan. La gradiente de f en el punto denotada por es el vector:
Propiedades
Si las funciones , son diferenciables en , entonces se tiene:
Teorema
Dado que el vector gradiente de f está definido como:
La derivada direccional de f puede ser definida como:
Nota: 
Puede demostrar generalizando la segunda definición de derivada direccional.
Derivada Direccional máxima y mínima
Sea el ángulo entre y entonces:
Dado que 
Entonces:
Por lo tanto, el valor máximo de la derivada direccional es 
El valor mínimo de la derivada direccional es 
Análisis de Gradiente
Como demostramos anteriormente:
Cuando el ángulo que forma la gradiente con el vector unitario es igual 0°, es decir cuando ambos vectores están en la misma dirección, le derivada direccional de la función en el punto se hace máxima dado que .
Sin embargo cuando ambos vectores forman un ángulo de 90° el vector direccional tiene un valor de 0. Analizaremos este resultado posteriormente
 
 
Curva de Nivel
Consideremos f una función diferenciable de las dos variables e y que C es la curva de nivel de dicha función, es decir:
Consideremos una función vectorial diferenciable que describe a C. Entonces en los puntos de C la función f se hace función solo de la variable t. Si llamamos a esta función, entonces tenemos:
Encontramos que la función es una función constante, por regla de la cadena:
Obs: habíamos hecho que e sean dependientes de ya que 
Con 
Dado que indica la dirección a la recta tangente de la curva, concluimos que si es un punto cualquiera sobre la curva C, entonces el vector es ortogonal a la recta tangente a la curva en dicho punto
Vector Ortogonal
Sea C la curva definida implícitamente por la ecuación 
Donde f es una función diferenciable.
Sea un punto cualquiera de la curva C y tal que . Entonces al vector se le llama vector ortogonal a la curva C en dicho punto 
Recta de máxima pendiente
La recta de máxima pendiente se obtiene cuando el vector se orienta en la dirección del vector El valor de la pendiente de dicha recta será:
Ejemplo: 
Sea un plano que pasa por el punto y es perpendicular al plano y sea otro plano que contiene a la recta de máxima pendiente a la superficie en el punto Sabiendo que son paralelos, hallar sus correspondientes ecuaciones cartesianas:
Solución:
El punto está encima del plano XY, por lo que la ecuación cuádrica quedaría como una función de valores x e y de la siguiente manera .
Como el plano Q contienen a la recta de máxima pendiente tangente a la superficie dada, deducimos que el plano Q es un plano vertical que pasa por el punto y tiene la dirección del vector . 
Dado que deducimos que la máxima pendiente de la recta es -1 (recordar geometría analítica)
Con esto tenemos que la ecuación de la recta es: el vector normal del plano es ya que es perpendicular al plano XY, entonces la ecuación cartesiana de Q: 
Dado que el plano es paralelo a podemos inferir que la ecuación cartesiana de su plano es igual a:
Evaluamos para el punto 
Aplicaciones de la Derivada direccional
Dado que la derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función con respecto a la distancia , podemos usarla para hallar:
Desplazamientos y dirección
Trayectorias
Variación de temperatura
Cambio de velocidad
Ejemplos:
La temperatura en el punto en un trozo de metal viene dada por la formula: en grados.
¿En que dirección, en el punto crece más rápidamente la temperatura?
Solución:
Dado que se nos pide saber la dirección en que crece más rápida la temperatura, es como interpretar:
“¿En que dirección está la mayor razón de cambio”
Entonces, debemos analizar para que vector, la derivada direccional se hace máxima.
Recordando:
El valor máximo de la derivada direccional es y cuando esta es máxima, el vector unitario y el vector gradiente tienen la misma dirección.
Esto quiere decir que podemos calcular el vector unitario de la siguiente forma:
Calculando el vector gradiente en :
Entonces:
Ejemplo:
Un rastreador térmico se encuentra en el punto sobre una placa metálica cuya temperatura en un punto está dado por:
Hallar la trayectoria del rastreador, si este se mueve
continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura.
Solución:
Recordemos:
Si se busca la mayor tasa de cambio, esto significa que tanto el vector direccional como el vector gradiente tienen la misma dirección. Si recordamos, gráficamente esto sucedía cuando el vector gradiente era paralelo a la dirección de la pendiente de la curva que determina la derivada direccional. También recordemos que la dirección de la pendiente estaba dado por , esto quiere decir que: Esto quiere decir que:.
Recordemos que: 
Calculando :
Teorema (recuerde regla de la cadena en calculo diferencial): . Dividimos ambas ecuaciones, talque nos quedaría:
Resolviendo la ecuación diferencial: 
Como el rastreador comienza en el punto , reemplazamos en la ecuación y tendremos que 
La trayectoria del rastreador es 
Plano Tangente y Recta Normal a una Superficie
Vector Normal
Consideremos que S es una superficie definida implícitamente por la ecuación:
En otras palabras, estamos considerando que S es la superficie de nivel 0 de cierta función F de las variables También consideremos que esta función es diferenciable en su dominio. Entonces, en cada punto S existirá asociado a dicho punto, un único vector gradiente 
Sea un punto en la superficie S y sea C una curva suave contenida en S y que pasa por el punto Consideremos es una función vectorial que describe a la curva C. Entonces podemos transformar esto a:
Apreciamos que es una función constante. Parecido a nuestro caso anterior, demostramos que:
Esta ecuación nos dice que en cada punto de la curva los vectores y son ortogonales. Así deducimos que si y si entonces ese vector da la dirección de la recta tangente a C en el punto . Por lo tanto si , entonces el vector es el vector normal a dicha recta tangente.
Plano Tangente
Al plano que contiene a todas las rectas tangentes a las curvas suaves contenidas en S y que pasan por se les denomina plano tangente a la superficie S en el punto , siendo un vector normal a dicho plano el vector . La ecuación del plano tangente está dada por la ecuación:
Donde es un punto cualquiera de dicho plano
Recta Normal
La recta que pasa por y tiene la dirección del vector es denominada recta normal a S en el punto .
La ecuación de la recta puede escribirse como:
Geométricamente, el plano tangente en es el plano que en puntos bien cercanos a dicho punto es el que más se aproxima a la superficie. En la siguiente figura se ilustra tanto al plano tangente como a la recta normal
Ejemplo:
Dada la superficie hallar las ecuaciones de los planos que siendo paralelos al plano son tangentes a dicha superficie.
Solución:
Recordar: El vector normal de un plano cuya ecuación cartesiana : es igual a 
Consideramos la superficie de nivel 0 de la función:
Si en algún punto de la superficie el plano tangente es paralelo al plano , entonces el vector gradiente de F debe ser paralelo a la normal de dicho plano. Es decir, debe verificarse que:
Reemplazamos en la ecuación de la superficie
Con estos valores se obtienen los puntos: y 
En estos puntos de la superficie los planos tangentes son paralelos al plano . Siendo el vector normal a estos planos, entonces las ecuaciones de los planos tangentes son:
Para el punto :
Para el punto :
2. Desde el origen de coordenadas se trazan rectas normales a la superficie 
Halle las ecuaciones vectoriales de las rectas normales
Solución:
Consideramos la superficie de nivel 0 de la función:
Se trazan rectas normales desde el origen de coordenadas hasta un punto que forma un vector . Como estas son rectas normales, eso quiere decir que la dirección de las rectas son las mismas que la gradiente en ese punto. Por lo que:
Del cual obtenemos las siguientes ecuaciones: 
De la ecuación de la superficie, dado que el punto pertenece a esta se cumple que:
Reemplazando de las otras ecuaciones, y despejando k obtenemos que:
Si reemplazando en nuestra ecuación obtenemos que: 
Si entonces de la ecuación de la superficie: . Para , Reemplazando en nuestra ecuación de la superficie: Entonces tendremos que puede ser o 
Si 
Dado que el valor ya fue analizado, entonces para el caso de . Esta ecuación no tiene solución. 
De todos los casos vistos concluimos que si del origen se trazan rectas normales a la superficie dada, entonces dichas normales intersecan a la superficie en los puntos , y teniendo como ecuaciones:
Teorema
Sean las superficies definidas por las ecuaciones:
Donde F y G son funciones con derivadas parciales continuas, y sea C la curva de intersección entre dichas superficies. Sea un punto sobre la curva C y sea la recta tangente a C en dicho punto. Si además, los vectores y no son nulos, entonces un vector en la dirección de la recta es el vector:
Un Clásico:
Problemas que son recurrentes en prácticas que deja el profe o en las clases de estos.
Casi siempre ves estos problemas o algunos similares
La distribución de temperatura de una placa metálica está dada por la función 
¿En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2,0)?¿Cuál es el coeficiente de variación?
¿En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente?
Solución:
En el punto la temperatura aumenta más rápidamente cuando la derivada direccional sea máxima, y recordemos que esto sucede cuando la variación va en la misma dirección que el vector gradiente.
El coeficiente de variación representa el valor escalar del cambio que hubo desde nuestra temperatura inicial hasta la temperatura final.
Esto es representado por la derivada direccional, ya que recordemos que esta representa una tasa de cambio.
Dado que queríamos saber cual donde crecía la temperatura rápidamente, entonces tendremos que calcular la derivada direccional máxima; sin embargo recordemos que esta se calculaba con el módulo del vector gradiente.
Entonces el coeficiente de variación es:
A diferencia de nuestro caso anterior, la temperatura disminuye más rápidamente cuando la derivada direccional sea mínima, y estos sucede cuando:
Dada la elipsoide:
Halle la ecuación del plano tangente a dicho elipsoide en el punto 
Solución:
Podemos considerar que el elipsoide es la superficie de nivel 0 de la función:
Entonces el vector gradiente de la función es:
Así la ecuación del plano tangente en es:
Resolviendo:
Como el punto pertenece al elipsoide entonces sus coordenadas satisfacen su ecuación. Por lo tanto, el segundo miembro de la ecuación es igual a 1. Así queda demostrado que la ecuación del plano tangente se reduce a la ecuación:
Demostrar que los planos tangentes a la superficie interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante
Solución:
Consideramos la superficie de nivel 0 de la función:
La ecuación del plano es:
Los puntos de intersección con cada eje coordenado:
Con el eje X , el punto de intersección será: 
Con el eje Y , el punto de intersección será: 
Con el eje Z , z el punto de intersección será: 
El problema dice que:
Queda demostrado que es constante
Adicional
R17: kobayashi-san chi no maid dragon
Definición Derivable
Para se dice que es derivable en si se cumple que:
 está definida en una vecindad 
Existe algún vector (no depende de h), tal que:
Donde: 
Nota: Esto nos servirá para funciones vectoriales de variable vectorial
Observaciones:
Los puntos que componen la función deben tener una vecindad mínima, pero incluido en el dominio
Si f es derivable, entonces existe algún vector , tal que 
	 
	 
Teoremas:
Dado , si f es derivable en entonces existen todas las derivadas parciales en talque:
Si al menos una derivada parcial no existe, la función no es derivable
La existencia del gradiente no garantiza que sea derivable
Si f es derivable en entonces f es continua en 
Si f no es continua no significa que f sea derivable
Si existe el gradiente 
	Entonces la función f es derivable
Dada si las derivadas parciales existen en y son continuas en , entonces f es derivable
Nota:
NO CONFUNDIR DERIVABILIDAD CON DIFERENCIACIÓN
Derivada direccional y longitud de arco
Sea donde f es una función diferenciable sobre , y sea C una curva suave (cada punto tiene recta tangente), descrita por cierta función vectorial .
Para los puntos de la curva debe verificarse:
Sea el parámetro longitud de la curva, mediad desde un punto arbitrario , entonces la curva puede ser considerada que es descrita por otra función vectorial entonces, también en puntos de la curva:
Por regla de la cadena:
De las anteriores ecuaciones tenemos que:
Recordar 
Reemplazando tenemos que:
Identificamos que es la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario T, entonces:
Gradiente y Vectores Normales
Sea una función diferenciable en el conjunto abierto , sean y dos vectores unitarios unitarios ortogonales en el plano XY, se puede demostrar que:
Para cualquier función f(x,y) con derivadas parciales continuas
Puede demostrarlo usando la segunda definición de derivada direccional
Observación:
Más original no puedo ser :v