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TEMARIO • Números racionales: cálculos combinados con seis operaciones, ecuaciones, lenguaje coloquial y simbólico. • Divisibilidad parte dos: cálculo de MCM Y DCM, problemas de aplicación. Cálculos: 𝑎) 1 3 + 1 2 × 2 5 𝑏) 1 7 × ( 3 4 − 2 5 ) 𝑐) 1 2 ÷ 1 4 + 3 4 Ecuaciones: 𝑎) 3 7 𝑥 − 5 2 = 1 5 𝑥 + 3 2 𝑏) 2 3 𝑥 − 11 2 = 1 6 𝑥 + 2 5 𝑐) 𝑥 − 1 24 = 7 24 𝑑) 5𝑥 + 1 2 = 3𝑥 + 16 4 𝑒) 12𝑥 − 8 10 = 7 10 . (𝑥 + 1) Cálculos combinados con seis operaciones: 𝑥 + 7 = 18 3𝑥 = 24 𝑥 − 9 = 3 𝑥 ÷ 2 = 8 𝑎) 𝑥. 3 + 7 = 43 𝑏) 𝑥 + 𝑥 = 160 𝑐) 6𝑥 + 𝑥 = 49 𝑑) 2𝑥 + 3 = 9 𝑒) 3𝑥 − 5 = 10 𝑓) 𝑥 + 4𝑥 = 7 + 13 𝑔) 𝑥. 6 = 2. (𝑥 + 18) ℎ) 3𝑥2 − 15 = 33 𝑖) 4. √𝑥 + 2 = 30 𝑗) (𝑥 + 2)3 = 512 𝑘) √𝑥 − 8 = 5 𝑙) (𝑥2 + 2) ÷ 3 − 2 = 15 𝑚) 2. (√𝑥 + 1) + 8 = 20 MCM Y DCM: Factorizar solo por números primos (aquellos que se pueden dividir por si mimo y por 1, ej: 2, 3, 5, 7) Mínimo común múltiplo: tenemos que escribir todos los números, se repitan o no. Y se escriben al mayor exponente. Ejemplo de múltiplos de un numero: 2x1=2 2x2=4 2x3=6 Ejemplo de múltiplo común de dos números: 2 y 4 2= 2, 4, 6, 8… 4= 4, 8, 12, 16… Por ejemplo: MCM (30,20) 30= 2 – 3 – 5 20= 2 – 2 – 5 MCM= 22. 3.5 MCM= 4.3.5 MCM= 60 Divisor común mayor: escribir los números que se repiten en ambos y se elevan al exponente más chico. Por ejemplo: 30= 2 – 3 – 5 20= 2 – 2 – 5 DCM= 2.5 DCM= 10 𝑎) 𝑚𝑐𝑚(6,8) 𝑏) 𝑚𝑐𝑚(2, 5, 10) 𝑐) 𝑚𝑐𝑚(165,275) 𝑑) 𝑚𝑐𝑚(60,72,90) 60 = 22𝑥3𝑥5 72 = 23𝑥32 90 = 2𝑥32𝑥5 𝑀𝐶𝑀 = 23𝑥32𝑥5 = 360 𝑒) 𝑑𝑐𝑚(225,300) 𝑓) 𝑑𝑐𝑚(380,420) 𝑔) 𝑑𝑐𝑚(18,24,36) 18 = 32𝑥2 24 = 23𝑥3 36 = 32𝑥22 𝐷𝐶𝑀 = 2𝑥3 ℎ) 𝑑𝑐𝑚(240,300) 240 = 24𝑥3𝑥5 300 = 22𝑥3𝑥52 𝐷𝐶𝑀 = 22𝑥3𝑥5 = 60 𝑖) 𝑑𝑐𝑚(84,126) 84 = 22𝑥3𝑥7 126 = 2𝑥32𝑥7 𝐷𝐶𝑀 = 2𝑥3𝑥7 = 42 𝑓) 𝑑𝑐𝑚(21,66,105) 21 = 3𝑥7 66 = 2𝑥3𝑥11 105 = 3𝑥5𝑥7 𝐷𝐶𝑀 = 3 𝑔) 𝑚𝑐𝑚(150,225,300) 150 = 2𝑥3𝑥52 225 = 32𝑥52 300 = 22𝑥3𝑥52 𝑀𝐶𝑀 = 32𝑥52𝑥22 = 900 ℎ) 𝑚𝑐𝑚(180; 108; 392) 180 = 5𝑥32𝑥22 108 = 33𝑥22 392 = 72𝑥23 𝑀𝐶𝑀 = 72𝑥5𝑥33𝑥23 𝑖) 𝑑𝑐𝑚(180; 108; 392) 𝑗) 𝑚𝑐𝑚(450; 300; 14) ℎ) 𝑑𝑐𝑚(450; 300; 14) Problemas con MCM y DCM Como saber cuando usar MCM o DCM? MCM DCM Coincidir Dividir Repetición Repartir Mínima cantidad Agrupar Cortar a) Alberto va a visitar a su abuela cada 5 días y su hermana cada 3 días. Si hoy han coincidido, ¿dentro de cuantos días volverán a coincidir? MCM Alberto cada 5 días, es decir de cinco en cinco: 5, 10, 15, 20, 25… Su hermana cada 3 días, es decir de tres en tres: 3, 6, 9, 12, 15, 18… Volverán a coincidir dentro de 15 días. Mínimo común múltiplo. 𝑑𝑐𝑚(5,3) 5 = 5 3 = 3 𝑀𝐶𝑀 = 5𝑥3 b) Ana tiene 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quiere hacer el mayor n° de collares sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántas collares puede hacer? DCM 25 = 52 15 = 3𝑥5 90 = 32𝑥5𝑥2 𝐷𝐶𝑀 = 5 c) En una estación de tren, el tren A para cada 15 horas, el tren B para cada 20 horas y el tren C cada 30 horas. ¿Cada cuánto tiempo coinciden en esa estación? 15 = 5𝑥3 20 = 5𝑥22 30 = 5𝑥3𝑥2 𝑀𝐶𝑀 = 5𝑥3𝑥22 d) Tres barcos salen periódicamente de un puerto: el primero cada 2 días, el segundo cada 6 días, y el tercero cada 8 días; si salieron juntos el 1 de mayo, ¿Qué día volvieron a partir juntos otra vez? MCM 2= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26… 6= 6, 12, 18, 24… 8= 8, 16, 24, 30… 2 = 2 6 = 3𝑥2 8 = 23 𝑀𝐶𝑀 = 3𝑋23 e) En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuantos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz? MCM 20= 20, 40, 60, 80… 30= 30, 60, 90… 15= 15, 30, 45, 60, 75… 20 = 5𝑥22 30 = 5𝑥3𝑥2 15 = 5𝑥3 𝑀𝐶𝑀 = 5𝑋3𝑋22 f) Para festejar el Dia del Amigo, Camila compro 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 caramelos. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para cuantas amigas le alcanza? ¿Qué debería colocar en cada bolsa? DCM 12 = 3𝑥22 6 = 3𝑥2 18 = 32𝑥2 36 = 32𝑥22 𝐷𝐶𝑀 = 3𝑥2 g) Juan va al club cada tres días, Santiago va cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres juntos el 1 de junio, ¿Cuándo volverán a encontrarse? ¿se encontraron el 23 de junio? ¿y el 25? MCM 3 = 3 4 = 22 6 = 3𝑥2 𝑀𝐶𝑀 = 3𝑥22 h) Un grupo de chicos recolecto 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompecabezas para formar paquetes y regalar en el Dia del Niño en un club del barrio. Si en cada paquete colocaran la misma cantidad de cada juguete, ¿Cuál es la mayor cantidad de paquetes que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrán cada paquete? DCM 300 = 3𝑥52𝑥22 420 = 3𝑥2𝑥5𝑥2𝑥7 480 = 3𝑥5𝑥25 600 = 3𝑥52𝑥23 𝐷𝐶𝑀 = 5𝑥3𝑥2 i) Se reproducen simultáneamente dos canciones que vuelven a comenzar cada vez que terminan. Una de las canciones dura 1 minuto 45 seg y la otra 1 minuto y 10 segundos. ¿Después de cuánto tiempo comienzan a sonar simultáneamente? ¿Cuántas veces se reproduce cada canción? MCM 1m y 45 seg=60+45=105 1m y 10 seg=60+10=70 105 = 3𝑥5𝑥7 70 = 2𝑥5𝑥7 𝑀𝐶𝑀 = 2𝑥3𝑥5𝑥7 j) En una librería se quieren colocar 72 libros de matemáticas, 48 de sociales, 54 de lengua y 162 de naturales en la menor cantidad de estantes y con la misma cantidad de libros y estantes. ¿Cuántos estantes se van a usar? ¿Cuántos libros de cada área habrá en cada uno? DCM 72 = 23𝑥32 48 = 3𝑥24 54 = 33𝑥2 162 = 34𝑥2 𝐷𝐶𝑀 = 3𝑋2 Lenguaje coloquial y simbólico a) La suma entre el doble de un tercio y cinco sextos. 2𝑋 1 3 + 5 6 b) La mitad de la diferencia entre uno y cuatro quintos. 2 ÷ (1 − 4 5 ) c) La tercera parte de la suma entre dos y cuatro decimos. 3 ÷ (2 + 4 10 ) d) El cuadrado de la suma entre un décimo y un medio. Escriba aquí la ecuación. e) La diferencia entre el doble de tres cuartos y tres octavos.
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