Reglas de derivación

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Reglas de derivación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Reglas de Derivación 
 
La derivación es un concepto fundamental en el cálculo 
diferencial, que nos permite calcular la tasa de cambio instantánea 
de una función en un punto dado. Para ello, se utilizan una serie 
de reglas que nos permiten encontrar la derivada de diferentes 
tipos de funciones. A continuación, desarrollaremos la teoría de las 
reglas de derivación más comunes. 
 
Teorema I: Derivada de la función constante 
Si c es una constante y f una función definida por f(x) = c 
para todo x, entonces la derivada de f(x) es igual a 0, es decir, f'(x) 
= 0. 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = 8, entonces f'(x) = 0. 
 
Teorema II: Derivada de la función identidad 
Si f(x) = x, entonces la derivada de f(x) es igual a 1, es decir, 
f'(x) = 1. 
 
Teorema III: Derivada de la suma de dos funciones 
Si f está definida por f(x) = u + v, donde u y v representan 
funciones derivables en x, entonces la derivada de f(x) es la suma 
de las derivadas de u y v, es decir, f'(x) = u'(x) + v'(x). 
 
Ejemplo: 
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x^2 + 6x - 2x + 1. 
 
Teorema IV: Derivada de una constante por una función 
 
 
 
 
2 
Si c es una constante y v es una función derivable en x, y f 
es la función definida por f(x) = c.v, entonces la derivada de f(x) es 
igual a c por la derivada de v, es decir, f'(x) = c.v'(x). 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = 3x, entonces f'(x) = 3. 
 
Teorema V: Derivada del producto de dos funciones 
Si u y v son dos funciones derivables en la variable x y la 
función f está definida por f(x) = u.v, entonces la derivada de f(x) 
es igual a u por la derivada de v más v por la derivada de u, es 
decir, f'(x) = u.v'(x) + v.u'(x). 
 
Ejemplo: 
Calcular la derivada de la función f(x) = (3x-1).(4x+3). 
 
Teorema VI: Derivada del cociente de dos funciones 
Si la función f se define como f(x) = u/v siendo v ≠ 0, 
entonces la derivada de f(x) se calcula mediante la regla del 
cociente, es decir, f'(x) = (u'.v - v'.u)/(v^2). 
 
Ejemplo: 
Hallar la derivada de f(x) = (2x+3)/(x-1). 
 
Teorema VII: Derivada de una función potencial 
Si n es un valor constante, v es una función derivable en x, 
y la función f se define como f(x) = v^n, entonces la derivada de f(x) 
es n.v^(n-1).v', es decir, f'(x) = n.v^(n-1).v'. 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = (2x+1)^3, entonces f'(x) = 3(2x+1)^2. 
 
Derivada de una función compuesta - Regla de la cadena 
 
 
 
 
3 
La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de 
una función compuesta. Si h(x) = f(g(x)), entonces h'(x) = 
f'(g(x)).g'(x). 
 
Ejemplo: 
Calcular la derivada de h(x) = ln(2x+1). 
 
Derivada de la función ln(u) 
Si f(x) = ln(u), donde u es una función de x, entonces la 
derivada de f(x) se calcula como f'(x) = u'/u. 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = ln(cos x), entonces f'(x) = -sin x/cos x. 
 
Derivada de la raíz 
Si f(x) = √u, donde u es una función de x, entonces la 
derivada de f(x) se calcula como f'(x) = (u'/2√u). 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = √(3x+1), entonces f'(x) = 3/(2√(3x+1)). 
 
Otras derivadas de funciones exponenciales 
Si f(x) = e^u, donde u es una función de x, entonces la 
derivada de f(x) se calcula como f'(x) = u'.e^u. 
 
Ejemplo: 
Si f(x) = e^(2x), entonces f'(x) = 2.e^(2x). 
 
Derivada de las principales funciones trigonométricas 
Las derivadas de las funciones trigonométricas son: 
- sen(x)' = cos(x) 
- cos(x)' = -sen(x) 
 
 
 
 
4 
- tan(x)' = sec^2(x) 
 
En conclusión. Las reglas de derivación nos permiten 
calcular la derivada de diferentes tipos de funciones, lo cual es 
fundamental en el estudio del cálculo diferencial. Estas reglas son 
herramientas poderosas que nos permiten comprender el 
comportamiento de las funciones y resolver problemas 
relacionados con tasas de cambio y pendientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumen: 
 
 
Teorema I Derivada de la función Constante 
 
 Si c es una constante y f una función definida por f(x) = C para 
todo x , entonces : 
f ´ (x) = 0 es decir que la derivada de una constante es igual a 
cero 
 
Ejemplo: 
f(x) = 8 ; f ´(x) = 0 
 
Teorema II Derivada de la función Identidad 
 
Si f(x) = x, entonces f ´(x) = 1 
 
Teorema III Derivada de la suma de dos funciones 
Si f está definida por f(x) = u + v; donde u y v representan 
funciones derivables en x, entonces f ´ (x) = u´ + v´ 
Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x) = 3x3 + 6 x2 - 2x + 
1 
Teorema IV - Derivada de una constante por una función: es 
igual a la constante por la derivada de la función. 
Si c es una constante, v en una función derivable en x, y f es la 
función definida por f(x) = c.v , entonces f ´(x) = c. v´ 
Ejemplo: 
f(x) = 3 x5 ; f ´(x) = 3.5 x4 ; f ´(x) = 15x4 
 
Teorema V - Derivada del Producto de dos funciones: 
Si u y v son dos funciones derivables en la variable x y si la 
función f está definida por f(x) = u.v, entonces f ´(x) = u´. v + u 
v´ 
 
 
 
 
6 
Ejemplo : calcular la derivada de la función f(x) = ( 3x-1) . (4x2 +3) 
 Teorema VI Derivada del cociente de dos funciones: 
Si la función f se define como f(x) =
 u
v
 siendo v ≠0 entonces 
 f ´(x) = 
u´.v
´ 
 −u.v´ 
v2
 
Ejemplo: 
Hallar la derivada de f(x) = 
3
x2
 ; f(x) =
2x
3x−1
 ; 
Teorema VIII - Derivada de una función potencial ejemplo: 
Si n es un valor constante , v es una función derivable de x , y la 
función f se define como f(x) = vn , entonces: f ´(x) = n.vn−1 .v´ 
Ejemplo: 
 f(x) = (2 x2 + 1)3 
Derivada de una función compuesta- Regla de la cadena: 
 
 
Ejemplo: 
 
Derivada de la función ln(u) 
Si f(x) = ln u ; f’ (x) = 
u´
u
 
Ejemplo: 
f(x) = ln cos x 
 
 
 
 
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Derivada de la Raíz 
Si f(x) = √u ; f´(x) = 
u´
2√u
 
Ejemplo: 
 (f(x) = √6x 
 
Otras Derivada de Funciones Exponenciales ejemplos: 
Si f(x) = au; f´ (x) = u´au lna 
Ejemplo: 
f(x) = 53x+4 ; f´(x) = 3. 53x+4. ln5 
Si f(x) = eu ; f´(x) = u´ eu 
Ejemplo: si f(x) = e3x
2+1 ; f´(x) = 6x.e3x
2+1
 
 
Derivada de las principales funciones trigonométricas 
 
 
 
 
𝑦′ = - 6 x sen3𝑥2