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294 PARTE 4 Riesgo y tasa de rendimiento requerido 4 En la práctica, los analistas rara vez conocen el intervalo completo de los resultados posibles de las inversiones y sus probabilidades. En estos casos, los analistas usan datos históricos para calcular la desviación estándar. La fór- mula que se aplica en esta situación es (8.3a)sk = aa n j=1 (kj - k)2 n - 1 TABLA 8.4 Cálculo de la desviación estándar de los rendimientos de los activos A y Ba j kj kj (kj )2 Pkj (kj )2 Pkj Activo A 1 13% 15% 2% 4% .25 1% 2 15 15 0 0 .50 0 3 17 15 2 4 .25 Activo B 1 7% 15% 8% 64% .25 16% 2 15 15 0 0 .50 0 3 23 15 8 64 .25 aLos cálculos de esta tabla se realizan en forma porcentual y no en forma decimal; por ejemplo, se considera 13% en vez de 0.13. Por consiguiente, algunos de los cálculos intermedios pueden parecer incongruentes con los que se obtendrían usando la forma decimal. No obstante, las desviaciones estándar resultantes son correctas e idénticas a las que se obtendrían utilizando la forma decimal. skB = Ba3j=1 (kj - k)2 * Pkj = 232% = 5.66% a 3 j=1 (kj - k)2 * Pkj = 32% 16 - skA = Ba3j=1 (kj - k)2 * Pkj = 22% = 1.41% a 3 j=1 (kj - k)2 * Pkj = 2% 1 - :� k� k� kk La expresión para calcular la desviación estándar de rendimientos, k, es4 (8.3) En general, cuanto mayor es la desviación estándar, mayor es el riesgo. La tabla 8.4 presenta las desviaciones estándar de los activos A y B de Norman Company con base en los datos anteriores. La desviación estándar del activo A es del 1.41% y la desviación estándar del activo B es del 5.66%. El riesgo más alto del activo B se refleja claramente en su mayor desviación estándar. Ejemplo 8.5 c sk = Aanj=1 (kj - k)2 * Pkj s CAPÍTULO 8 Riesgo y rendimiento 295 Rendimientos históricos y riesgo Ahora podemos usar la desviación estándar como una medida de riesgo para evaluar los datos de los rendimientos históricos de inversiones (de 1900 a 2009) presentados en la tabla 8.1. La tabla 8.5 repite los rendimientos promedio nominales históricos en la columna 1 y muestra las desvia- ciones estándar asociadas con cada uno de ellos en la columna 2. Se observa una relación estrecha entre los rendimientos de las inversiones y las desviaciones estándar: las inversiones con rendimientos más altos tienen mayores desviaciones estándar. Por ejemplo, las acciones tienen el rendimiento promedio más alto, 9.3%, que es más del doble del rendimiento promedio de las letras del Tesoro. Al mismo tiempo, las acciones son mucho más volátiles, con una desviación estándar del 20.4%, más de cuatro veces mayor que la desviación estándar de las letras del Tesoro. Como las ma- yores desviaciones estándar se relacionan con un riesgo más alto, los datos históricos confirman la existencia de una relación positiva entre el riesgo y el rendimiento. Esta relación refleja la aversión al riesgo de los participantes del mercado, que requieren rendimientos mayores como compensación por aceptar más riesgo. Los datos históricos de las columnas 1 y 2 en la tabla 8.5 muestran claramente que durante el periodo 1900 a 2009, los inversionistas fueron, en promedio, recompensados con rendimientos más altos en inversiones de mayor riesgo. Los hechos hablan La tabla 8.5 indica que las acciones son más riesgosas que los bonos; pero, ¿existen acciones más riesgosas que otras? La respuesta es definitivamente sí. Un estudio reciente examinó los rendimientos históricos de las acciones de empresas grandes y las acciones de empresas peque- ñas, y encontró que el rendimiento anual promedio de las acciones de grandes empresas de 1926 a 2009 fue del 11.8%, mientras que las acciones de empresas pequeñas ganaron el 16.7% anual en promedio. Sin embargo, los mayores rendimientos de las acciones de empresas pequeñas tuvieron un costo. La desviación estándar de los rendimientos de las acciones de empresas peque- ñas fue un enorme 32.8%, mientras que la desviación estándar de las acciones de empresas gran- des fue solo del 20.5%. No todas las acciones son iguales Rendimientos históricos y desviaciones estándar de inversiones seleccionadas (de 1900 a 2009)TABLA 8.5 Fuente: Elroy Dimson, Paul Marsh y Mike Staunton, Triumph of the Optimists: 101 Years of Global Investment Returns (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2002). Inversión Rendimiento nominal promedio Desviación estándar Coeficiente de variación Letras del Tesoro 3.9% 4.7% 1.21 Bonos del Tesoro 5.0 10.2 2.04 Acciones comunes 9.3 20.4 2.19 Distribución normal La distribución normal de probabilidad, ilustrada en la figu- ra 8.3, se parece a una curva simétrica en “forma de campana”. La simetría de la curva quiere decir que la mitad de la probabilidad está asociada con los valores a la izquier- da del pico y la otra mitad con los valores a la derecha. Como se observa en la figura, para distribuciones normales de probabilidad, el 68% de los resultados posibles estarán entre �1 y �1 desviación estándar de los valores esperados, el 95% de todos los resul- tados se localizarán entre �2 y �2 desviaciones estándar de los valores esperados, y el 99% de todos los resultados se ubicarán entre �3 y �3 desviaciones estándar de los va- lores esperados. distribución normal de probabilidad Distribución simétrica de probabilidad cuya forma es parecida a una curva en “forma de campana”. Con base en los datos de la tabla 8.5 y suponiendo que las distribuciones de proba- bilidad de los rendimientos de las acciones comunes y bonos son normales, podemos inferir que el 68% de los resultados posibles tendrían un rendimiento entre �11.1 y 29.7% en el caso de las acciones, y entre �5.2 y 15.2% en el caso de los bonos; el 95% de los resultados posibles de rendimientos estarían entre el �31.5 y el 50.1% en el caso de las acciones, y entre el �15.4 y 25.4% en el caso de los bonos. El mayor riesgo de las acciones se refleja claramente en su intervalo mucho más amplio de rendimientos posibles para cada nivel de confianza (68 o 95%). Coeficiente de variación: Equilibrio entre riesgo y rendimiento El coeficiente de variación, CV, es una medida de dispersión relativa que resulta útil para comparar los riesgos de los activos con diferentes rendimientos esperados. La ecuación 8.4 nos da la expresión para calcular el coeficiente de variación: (8.4) Un coeficiente de variación muy alto significa que una inversión tiene mayor volatili- dad en relación con su rendimiento esperado. Como los inversionistas prefieren los rendimientos más altos y el menor riesgo, intuitivamente cabe esperar que opten por inversiones con un bajo coeficiente de variación. Sin embargo, esta lógica no siempre se aplica debido a las razones que veremos en la siguiente sección. Por ahora, con- sidere los coeficientes de variación de la columna 3 de la tabla 8.5. Esa tabla indica que las letras del Tesoro tienen el coeficiente de variación más bajo y, por lo tanto, el riesgo más bajo en relación con su rendimiento. ¿Significa esto que los inversionistas deben adquirir letras del Tesoro y deshacerse de sus acciones? No necesariamente. Cuando las desviaciones estándar (de la tabla 8.4) y los rendimientos esperados (de la tabla 8.3) de los activos A y B se sustituyen en la ecuación 8.4, los coeficientes de variación para A y B son 0.094 (1.41 � 15%) y 0.377 (5.66 � 15%), respectiva- mente. El activo B tiene el coeficiente de variación más alto y es, por lo tanto, más riesgoso que el activo A, lo que ya sabíamos por la desviación estándar. (Como los dos activos tienen el mismo rendimiento esperado, el coeficiente de variación no pro- porcionó ninguna información nueva). Ejemplo 8.7 c CV = sk k Ejemplo 8.6 c 296 PARTE 4 Riesgo y tasa de rendimiento requerido 95% 99% 0 Rendimiento (%) D en si d a d d e p ro b a b ili d a d –3σk –2σk –1σk k +1σk +2σk +3σk 68% FIGURA 8.3 Curva en forma de campana Distribución normal de probabilidad, con intervalos coeficiente de variación (CV) Medida de dispersión relativa que es útil para comparar los riesgos de los activos con diferentesrendimientos esperados.
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