CLASE 6 - FISICA APLICADA

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CLASE 6 
(Energía M.A.S – M.A.A) 
Ing. Eduardo Baidal Bustamante 
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 
Conocer la definición y características de la 
energía en el Movimiento Armónico Simple y 
Movimiento Armónico Amortiguado 
INTRODUCCIÓN 
Sobre un oscilador el comportamiento de la 
energía depende de la posición de la partícula. 
También se puede conocer la energía en función 
del tiempo. 
DEFINICIÓN 
La energía en el movimiento armónico simple es 
igual: 
𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙−𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 
ENERGÍA CINÉTICA 
La energía cinética en un movimiento armónico simple en un 
punto está asociada a la velocidad que el cuerpo tiene en dicho 
punto. Recuerda que la velocidad en un oscilador armónico es 
máxima en la posición de equilibrio y 0 en los extremos. 
 
La energía cinética Ec en un movimiento armónico simple varía 
de manera periódica entre un valor mínimo en los extremos y 
un valor máximo en la posición de equilibrio. Su valor puede 
venir expresado en función de la elongación x o en función del 
tiempo t. 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Energía en función de x Energía en función de t 
El valor máximo de la energía cinética es 𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2 y valor mínimo es cero 
El valor de la energía será según su ubicación: 
𝐸𝑐 = 𝑚á𝑥 𝐸𝑐 = 0 
𝐸𝑐 = 0 𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2 − 𝑥2 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
ENERGÍA CINÉTICA 
ENERGÍA CINÉTICA 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2 − 𝑥2 𝐸𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Energía en función de x Energía en función de t 
ENERGÍA POTENCIAL 
La fuerza recuperadora o elástica es una fuerza conservativa. El 
trabajo realizado por las fuerzas conservativas depende 
únicamente de los puntos inicial y final, y no del camino 
elegido. Por ello, las fuerzas conservativas dan lugar a la 
energía potencial. En este caso se trata de energía potencial 
elástica, al ser la fuerza responsable la fuerza recuperadora o 
elástica. 
 
La energía potencial Ep en un movimiento armónico simple 
varía de manera periódica entre un valor mínimo en la posición 
de equilibrio y un valor máximo en los extremos. Su valor 
puede venir expresado en función de la elongación x o en 
función del tiempo t. 
 
𝐸𝑃 =
1
2
𝑘 𝐴2 𝐸𝑃 =
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Energía en función de x Energía en función de t 
El valor máximo de la energía potencial es 𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2 y valor mínimo es cero 
El valor de la energía será según su ubicación: 
𝐸𝑝 = 0 𝐸𝑝 = 𝑚á𝑥 
𝐸 = 𝑚á𝑥 
𝐸𝑝 =
1
2
𝑘 𝐴2 − 𝑥2 
𝐸𝑝 =
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
ENERGÍA POTENCIAL 
ENERGÍA POTENCIAL 
𝐸𝑃 =
1
2
𝑘 𝑥2 𝐸𝑃 =
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Energía en función de x Energía en función de t 
ENERGÍA MECÁNICA 
La energía mecánica de un oscilador armónico en un 
punto es la suma de la energía cinética y la energía 
potencial en dicho punto. 
 
El valor de la energía mecánica Em en un movimiento 
armónico simple permanece constante a lo largo del 
tiempo t y en cualquier punto x del movimiento. Viene 
expresada por: 
 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘 𝐴2 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
Determinar: 
1. La frecuencia del oscilador 
2. La constante de elasticidad del resorte 
3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 
 
𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 
Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa 
es de 200g y la ecuación de movimiento es de 
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 
𝐴 = 0,1 𝑚 
𝜔 = 25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝜑0 = 0 
𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑓 =
𝜔
2𝜋
 𝑓 =
25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2𝜋𝑟𝑎𝑑
= 𝟑, 𝟗𝟖𝑯𝒛 
𝜔 =
𝑘
𝑚
 𝑘 = 𝜔 𝑚 𝑘 = 𝜔2𝑚 𝑘 = 25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
2
0,2𝑘𝑔 
1𝑁 = 1𝑘𝑔
𝑚
𝑠2
 𝑘 = 625
𝑟𝑎𝑑2
𝑠2
∗ 0,2
𝑁𝑠2
𝑚
 𝒌 = 𝟏𝟐𝟓
𝑵
𝒎
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
Determinar: 
1. La frecuencia del oscilador 
2. La constante de elasticidad del resorte 
3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 
 
𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 
Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa 
es de 200g y la ecuación de movimiento es de 
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 
𝐴 = 0,1 𝑚 
𝜔 = 25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝜑0 = 0 
𝐸𝑝 =
1
2
125
𝑁
𝑚
(0,1𝑚)2𝑐𝑜𝑠2 (25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)(0,5𝑠) + 0 
𝐸𝑝 = 0,625𝑐𝑜𝑠
2 356,2° = 0,622𝐽 
360° ∗ 12,5𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑
= 716,2° 716,2° − 360° = 356,2° 
𝐸𝑃 =
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
Determinar: 
1. La frecuencia del oscilador 
2. La constante de elasticidad del resorte 
3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 
 
𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 
Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa 
es de 200g y la ecuación de movimiento es de 
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 
𝐴 = 0,1 𝑚 
𝜔 = 25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝜑0 = 0 
𝐸𝑐 =
1
2
125
𝑁
𝑚
(0,1𝑚)2𝑠𝑖𝑛2 (25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)(0,5𝑠) + 0 
𝐸𝑐 = 0,625𝑠𝑖𝑛
2 356,2° = 2,74𝑥10−3𝐽 
360° ∗ 12,5𝑟𝑎𝑑
2𝜋𝑟𝑎𝑑
= 716,2° 716,2° − 360° = 356,2° 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑0 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
Determinar: 
1. La frecuencia del oscilador 
2. La constante de elasticidad del resorte 
3. La energía potencial, cinética y mecánica a 0,5s de tiempo. 
𝑥 = 0,1 cos 25. 𝑡 
Un cuerpo oscila en el extremo de un resorte, cuya masa 
es de 200g y la ecuación de movimiento es de 
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 
𝐴 = 0,1 𝑚 
𝜔 = 25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
𝜑0 = 0 
𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 0,622 + 2,74𝑥10
−3 = 0,62474J 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
De esta ecuación podemos determinar que t se expresa en 
segundos y x esta en metros. Cuando t=0 se encuentra en la 
posición de equilibrio con una velocidad de -5m/s. Considerando 
que la energía total del sistema es 5J. Calcula el ángulo de fase ⱷ y 
la masa del cuerpo. 
𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Un cuerpo está sometido a un MAS mediante un resorte, la 
ecuación de movimiento del sistema es: 
Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio, su posición x es igual a cero 
𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 0 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔(0) + 𝜑0 0 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜑0 
𝜑0 = sin
−10 𝜑01 = 0° 𝜑02 = 180° 
𝑣 = 0,5𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 −5 =
1
2
𝜔 cos 𝜔(0) + 𝜑0 
−10 = 𝜔 cos 0° Cuando 𝜑0 = 0° −10 = 𝜔(1) 𝜔 = −10 
−10 = 𝜔 cos 180° Cuando 𝜑0 = 180° −10 = 𝜔(−1) 𝜔 = 10 correcto 
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 
De esta ecuación podemos determinar que t se expresa en 
segundos y x esta en metros. Cuando t=0 se encuentra en la 
posición de equilibrio con una velocidad de -5m/s. Considerando 
que la energía total del sistema es 5J. Calcula el ángulo de fase ⱷ y 
la masa del cuerpo. 
𝑥 = 0,5 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑0 
Un cuerpo está sometido a un MAS mediante un resorte, la 
ecuación de movimiento del sistema es: 
𝐸𝑇 = 𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 𝐸𝑀 =
1
2
𝑘 𝐴2 + 0 5 =
1
2
𝑘
1
2
2
 5 =
1
2
𝑘
1
4
 
𝑘 = 40
𝑁
𝑚
 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
La energía mecánica de un oscilador armónico 
amortiguado decrece con el tiempo debido al 
rozamiento del amortiguador 
 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 𝐸𝑀 =
1
2
𝑘 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
2
 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴0
2𝑒
−𝑡
𝜏 𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴0
2𝑒
−𝑡
𝜏 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒
−𝑡
𝜏 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒
−2𝛾𝑡 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 
𝜏 =
1
2𝛾
 𝛾 =
𝑏
2𝑚
 
Tiempo de extinción o 
constante de tiempo 
Factor de amortiguamiento 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴0
2𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 
Movimiento Armónico Amortiguado 
El siguiente sistema armónico tiene en un extremo un objeto 
de 0,375kg. El resorte presenta una constante de elasticidad de 
100 N/m. El medio de amortiguamiento tiene una constante 
de 0,100 kg/s. 
a) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad? 
b) ¿Cuánto tiempo transcurre para que la energía mecánica 
se reduzca a la mitad de su valor inicial? 
Ecuación de Amplitud de un sistema Amortiguado 
𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 
𝑚 = 0,375𝑘𝑔 
𝑘 = 100𝑁/𝑚 
𝑏 = 0,100𝑘𝑔/𝑠 
0,5𝐴0 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 0,5 = 𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 
ln0,5 = −
𝑏𝑡
2𝑚
 𝑡 =
2𝑚 ln0,5
−𝑏
 𝑡 =
2(0,375) ln0,5
−(0,100)
= 𝟓, 𝟐𝒔 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘 𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚𝑡 𝐸𝑀 =
12
𝑘𝐴0
2𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 0,5𝐸0 = 𝐸0𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 
0,5 = 𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 ln 0,5 = −
𝑏𝑡
𝑚
 𝑡 =
𝑚 ln0,5
−𝑏
 𝑡 =
(0,375) ln0,5
−(0,100)
 𝒕 = 𝟐, 𝟔𝒔 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un 
resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve 
afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire 
con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. 
a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada 
b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada 
oscilación? 
c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor 
inicial 
 
𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 
𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 
𝑚 = 10,6𝑘𝑔 
𝜔0 =
𝑘
𝑚
 𝜔′ = 𝜔02 −
𝑏
2𝑚
2
 𝜔
′ =
𝑘
𝑚
−
𝑏
2𝑚
2
 
𝜔′ =
2,05𝑥104
10,6
−
3
2(10,6)
2
 𝜔′ = 1933,962 − 0,0200 𝜔
′ = 43,97𝑟𝑎𝑑/𝑠 
𝜔′ = 2𝜋𝑓′ 𝑓′ =
𝜔′
2𝜋
 𝑓
′ =
43,97𝑟𝑎𝑑/𝑠
2𝜋
= 𝟕𝑯𝒛 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un 
resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve 
afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire 
con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. 
a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada 
b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada 
oscilación? 
c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor 
inicial 
 
𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 
𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 
𝑚 = 10,6𝑘𝑔 
𝐴0 𝐴𝑓 
𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 Tiempo = periodo 
𝑡 =
1
𝑓′
 𝑡 =
1
7
= 0,1428𝑠 
𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
3
2 10,6
(0,1428)
 𝐴 𝑡 = 𝐴00,98 𝐴 𝑡 = 98%𝐴0 
Ha disminuido en 2% 
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO 
Una esfera con una masa de 10,6 kg se suspende del extremo de un 
resorte, cuya constante de elasticidad es de 2,05x104N/m. El sistema se ve 
afectado por una fuerza amortiguadora presente por la resistencia del aire 
con una constante de amortiguamiento de 3Kg/s. 
a) Calcular la frecuencia de oscilación amortiguada 
b) ¿En qué porcentaje se disminuye la amplitud después de cada 
oscilación? 
c) Después de que tiempo la energía del sistema decae al 5% de su valor 
inicial 
 
𝑘 = 2,05𝑥104𝑁/𝑚 
𝑏 = 3𝑘𝑔/𝑠 
𝑚 = 10,6𝑘𝑔 
𝐴0 𝐴𝑓 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘 𝐴2 𝐴 𝑡 = 𝐴0𝑒
−
𝑏
2𝑚
𝑡
 
𝐸𝑀 =
1
2
𝑘𝐴0
2𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 𝐸𝑀 = 𝐸0𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 
0,05𝐸0 = 𝐸0𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 0,05 = 𝑒
−𝑏𝑡
𝑚 ln 0,05 = −
𝑏𝑡
𝑚
 
𝑡 =
𝑚 ln0,05
−𝑏
 𝑡 =
(10,6) ln0,05
−(3)
 𝑡 = 10,58𝑠