12factorial2019 olimpiadas-41

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Ejemplo: para polígonos de 𝑛 = 7, un segmento de la cadena queda como la figura. 
 
 
 
Problema 4. José Luis tiene un costal de 20 pelotas con el número 1, 20 pelotas 
con el número 2, 20 pelotas con el número 3, 20 pelotas con el número 4 y 20 
pelotas con el número 5. ¿Cuál es el mínimo número de pelotas que necesita sacar 
del costal para asegurarse que siempre haya cinco de las pelotas extraídas cuyos 
números sumen un múltiplo de 5? 
 
Problema 5. Determina cuántos enteros positivos 𝑁 de la forma 𝑁 = 2� ∙ 3� hay, 
con 𝑎, 𝑏 enteros positivos, tales que existen exactamente 2015 enteros positivos 𝐷 
que cumplen las siguientes tres condiciones: 
 
• 𝐷 divide a 𝑁3 
• 𝐷 < 𝑁 
• 𝐷 no divide a 𝑁 
Problema 6. Sean 𝑤^,𝑤3 dos circunferencias. Sean 𝐴, 𝐵 puntos sobre 𝑤^,𝑤3 , 
respectivamente, de forma que 𝐴𝐵 es una tangente común a ambas circunferencias 
y 𝑤^,𝑤3 están del mismo lado con respecto a 𝐴𝐵. Sean 𝐷, 𝐶 puntos sobre 𝑤^,𝑤3, 
respectivamente, de forma que 𝐴𝐵𝐶𝐷 sea un cuadrilátero cíclico, y que 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 se 
intersequen en 𝐸, con 𝐶, 𝐸 en distintos lados con respecto a 𝐴𝐵. Demuestra que la 
circunferencia circunscrita al triángulo 𝐶𝐷𝐸 es tangente a 𝑤^,𝑤3. 
 
Problema 7. Sobre el lado 𝐴𝐵 de un 
rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 se elige un punto arbitrario 
𝑀 y se traza el paralelogramo 𝐷𝑀𝐶𝑁 cuya 
área es 120 𝑐𝑚3 . Sea el punto 𝐿 la 
intersección de 𝐷𝐶 con 𝐵𝑁. ¿Cuál es el área 
del triángulo 𝐴𝑁𝐿?