MATEMATICA APLICADA

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MANUAL DEL ALUMNO 
S3C 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA I 
Computación e 
Informática 
Contabilidad 
Computarizada 
IT - Expert 
Secretariado Ejecutivo de 
Sistemas 
Asistente de 
Gerencia 
Secretariado Ejecutivo 
Computarizado 
Ensamblaje mantenimiento y 
Reparación de PC. 
Diseño 
Gráfico 
Fast Office 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
3 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
SESIÓN 1: LOGICA PROPOSICIONAL 
 Ejercicios 1 
SESIÓN 2: ESQUEMAS MOLECULARES 
 Ejercicios 2 
SESIÓN 3: CIRCUITOS Y COMPUERTAS LOGICAS 
 Ejercicios 3 
SESIÓN 4: SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
 Ejercicios 4 
SESIÓN 5: RAZONES Y PROPORCIONES 
 Ejercicios 5 
SESIÓN 6: REGLA DE TRES Y TEORIA DE PORCENTAJES 
 Ejercicios 6 
SESIÓN 7: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y TEORIA DE 
EXPONENTES 
 Ejercicios 7 
SESION 8: MULTIPLICACION ALGEBRAICA Y PRODUCTOS 
NOTABLES 
 Ejercicios 8 
SESION 9: FACTORIZACION 
 Ejercicios 9 
SESION 10: DIVISION ALGEBRAICA 
 Ejercicios 10 
SESION 11: ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO 
 Ejercicios 11 
SESION 12: SISTEMA DE ECUACIONES 
 Ejercicios 12 
SESION 13: MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES 
 Ejercicios 13 
SESION 14: INECUACIONES 
 Ejercicios 14 
SESION 15: TEORIA DE CONJUNTOS 
 Ejercicios 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
4 
 SESIÓN 1 
 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 
ENUNCIADO: 
 
Se denomina así a toda frase u oración. Ejemplo: 
 
1. ¿Qué estudias en la Universidad? 
 
2. ¡Alcánzame la toalla¡ 
 
3. 2x+3=11 
 
4. Madrid es la capital de España. 
 
 
PROPOSICIÓN: 
 
Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (v) o falsa (f), pero 
nunca verdadera y falsa a la vez 
 
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas tales como: p, q, r, s, t,... 
a las que se les denomina variables proposicionales. 
 
Ejemplos: 
 
1. César Vallejo nació en París (f) 
 
2. 2+3 < 10-3 (v) 
 
3. El número 1331 es divisible por 11 (v) 
 
4. Todos los hombres no son mortales (f) 
 
 
 
LAS PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS 
 
 
1. Proposiciones Simples: Llamadas también proposiciones atómicas o 
elementales, son aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo 
predicado. 
 
2. Proposiciones Compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o 
coligativas, son aquellas que están constituidas por dos o mas proposiciones 
simples, las cuales están unidas por los conectivos lógicos 
 
 
 
 
 
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5 
 
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 FUNCIONES VERITATIVAS 
 
 
1. CONJUNCIÓN ( . - Representa al conectivo “y”, es verdadera cuando las dos 
proposiciones p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. 
 
 
2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA (v.- Representa al conectivo “o”, es verdadera si al 
menos una de las proposiciones componentes es verdadera, resultando falsa 
solo cuando las dos son falsas. 
 
 
3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( . - Representa al conectivo “o” en su sentido 
excluyente, es verdadera cuando solamente una de las proposiciones es 
verdadera y no las dos, resultando falsa en otros casos. 
 
 
4. NEGACIÓN (~. - El valor de la negación de un enunciado es siempre opuesto 
al valor de verdad del enunciado. 
 
 
5. LA CONDICIONAL ( . - Representa al conectivo “si ...entonces”, es falsa 
solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, 
siendo verdadera en todos los demás casos. 
 
 
6. LA BICONDICIONAL ( . - Representa al conectivo “si y solo si”, es 
verdadera cuando las proposiciones componentes tienen el mismo valor de 
verdad, en otros casos es falsa. 
 
TABLA DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LOGICOS 
 
 
 
P Q QP
 
QP
 
QP
 
QP
 
QP
 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
 RELACIÓN ENTRE LA LÓGICA Y LA INFORMÁTICA: 
 
 Existe una íntima relación entre la lógica y la informática, puesto que la lógica 
constituye el fundamento teórico de la informática, en cuanto comprende mejor las 
computadoras y su respectiva construcción de lenguajes de programación. 
 
 
 Entre sus múltiples aplicaciones, la lógica se aplica a la tecnología. En este 
campo, la lógica se aplica a la construcción de circuitos lógicos, y entre ellos los 
circuitos eléctricos, compuertas lógicas, los diagramas de flujo, etc. 
 
Ejercicios 1. 
 
1. Evaluar las siguientes proposiciones: 
 
a. Cesar Vallejo nació en Paris 
b. 1331 es divisible por 11 
c. Carlos Marx nació en Alemania 
d. 62341 
e. 52
1
427
0423638 
f. Carlos Marx nació en Alemania y es autor de “El Capital” 
g. Enrique es medico o estudia arquitectura 
h. Si mañana el cielo esta nublado, entonces lloverá 
i. José de San Martín es peruano o 12 es múltiplo de 3 
j. William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de La Iliada 
k. Si 5 es un numero primo entonces 51 es un numero par 
l. Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son 
paralelas 
m. 6584y 11532  
n. 56 o 1053233 
o. No es el caso que 9 sea múltiplo de 3 o que 2 * 8 = 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
SESIÓN 2 
ESQUEMAS MOLECULARES 
 
Definición: Es una interacción de proposiciones, conectivos lógicos y signos de 
agrupación en base a los cuales se va a determinar el valor de verdad del 
operador principal 
 
Clasificación 
 
Tautología: cuando todos los valores de verdad del operador principal son 
verdaderos 
 
Contradicción: cuando todos los valores de verdad del operador principal son 
falsos 
 
Consistente o contingente: cuando algunos valores de verdad son verdaderos y 
algunos son falsos 
 
Ejercicios 2. 
 
 
1. Evaluar los siguientes esquemas moleculares: 
 
 
RPQP
RQQPQR
QPRR
QRP
QPRPQ
QRPR
PQQP
PQ
PQP
QP
QP
RQP .12
QP .11
QP .10
RQP 9
P .8
QP .7
PQP .6
QP .5
QP .4
PQP .3
QPP .2
QP .1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
SESION 3 
 
Capítulo 1: CIRCUITOS Y 
COMPUERTAS LOGICAS 
 
 
CIRCUITOS EN SERIE 
 
 
Los circuitos en serie constan de dos o más interruptores, donde un 
interruptor esta después de otro y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en 
serie es la representación de una fórmula proposicional conjuntiva, cuya expresión 
más simple es “p y q”. 
 
 
 p q 
 
 
 p q 
 
 
CIRCUITOS EN PARALELO 
 
 
Los circuitos en paralelo constan en dos o más interruptores, donde cada 
interruptor esta en la otra línea y así sucesivamente. El gráfico de un circuito en 
paralelo es la representación de una fórmula proposicional disyuntiva, cuya 
expresión más simple es “p o q”. 
 
 
 
 p 
 
 
 
 q 
 
 
 p v q 
 
Ejercicios 3. 
 
 
1 Un comitéde 3 personas desea emplear un circuito eléctrico para registrar 
una mayoría simple en una votación secreta. Dibujar un circuito de modo 
que cada miembro del comité pueda apretar un botón para su voto 
afirmativo y no apretando en caso de decidir por el “no” de tal manera que 
se encienda una señal si una mayoría de miembros del comité vota 
afirmativamente. 
 
 
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9 
 
2. Juegan 2 personas, A y B, cada una tiene una moneda, lanzan al aire 
simultáneamente las 2 monedas, si las 2 monedas coinciden gana A y si 
sale cara y cruz gana B. Simule este juego mediante un circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SESIÓN 4 
Capítulo 2: SISTEMAS DE 
NUMERACIÓN 
 
 
DEFINICIÓN: 
 
Es un conjunto de reglas y principios que nos van a servir para una 
buena lectura y escritura de los números. 
 
BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN: 
 
Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar 
una unidad del orden inmediato superior. 
La base de un sistema de numeración es un número entero positivo y mayor 
que uno. 
 
SISTEMA DECIMAL: 
 
Su principio fundamental es: “diez unidades de un orden cualquiera, forman 
una unidad del orden inmediato superior”. 
 
 
฀ OBSERVACIONES: 
 
1. En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0). 
2. En base “n” se utilizan “n cifras” 
3. La mayor cifras disponible es la base menos uno. 
4. En los sistemas de numeración mayores que el de base diez, se 
utilizan los siguientes convencionalismos: 
 = 10; = 11; = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
 
 
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN 
 
BASE SISTEMA CIFRAS 
DISPONIBLES 
2 Binario 0,1 
3 Ternario 0,1,2 
4 Cuaternario 0,1,2,3 
5 Quinario 0,1,2,3,4 
6 Senario 0,1,2,3,4,5 
7 Heptal . 
8 Octal . 
9 Notario 0,1,2,3,..., 7,8 
10 Decimal 0,1,2...,7,8,9 
11 Undecimal 0,1,2,...,8,9, 
12 Duodecimal 0,1,2,..., , 
. . . 
. . . 
. . . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
CONVERSIÓN DE SISTEMAS 
 
Primer caso.- “De un sistema de base “n” al sistema decimal, haciendo uso del 
principio de descomposición poli nómica 
 
Ejemplo: Convertir 425 6 al sistema decimal. 
 
 425 6 = 4 x 6 2 + 2 x 6 + 5 x 05 
 
 425 6 = 161 
 
 
Segundo caso.- “Del sistema decimal a un sistema de base “n”, haciendo uso 
del principio de divisiones sucesivas 
 
Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario. 
 
 418 5 
 3 83 5 
 3 16 5 
 3 
 
 
 
Luego: 418 = 3133 5 
Tercer caso.- “De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde “n” y “m” 
10 y m n. Para tal efecto primero utilizamos descomposición poli nómica para 
transformar a base 10 y posteriormente efectuamos divisiones sucesivas para 
transformar él número a la base que deseamos 
 
Ejemplo: Convertir 251 7 al sistema de base 4 
 
A base 10: 251 7 = 2 x 7 2 + 5 x 7 +1 x 7 0 
 
 251 7= 134 
 
A base 4: 134 4 
 2 33 4 
 1 8 4 
 2 
 
 
 
Luego: 251 7 = 2012 4 
 
 
 
 
 
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13 
Ejercicios 4. 
 
 
1. Efectuar las siguientes transformaciones: 
 
 
9 base a 723654312 10.
9 base a 123567 9.
8 52342341 8.
7 base a 125879 7.
6 base a 2 1001001 6.
10 base a 8234567 5.
8 base a 612453 .4
10 512134 3.
4 base a 210011001 2.
5 base a 5439 .1
basea
basea
 
 
1. Si : n"" de valor elhallar 4551354 nn 
 
2. Si : n"" de valor elhallar 7266102n 
 
3. Si : x"" de valor elhallar 352763 xx 
 
4. Hallar 75321aa : si , bcdaadcba 
 
5. Hallar : 2554aaaa 
 
6. Hallar : 541011 : si abccba 
 
7. Hallar : 83*1a15425 : si 22 bbaba 
 
8. Dado : cba :hallar 441333136 cbacba 
 
9. Si la edad de Juan es 111000 2 años y la edad de Alejandro es 110100 2 
años, ¿Cuál de los dos es el mas joven? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
 
SESION 5 
 
Capítulo 3: RAZONES Y 
PROPORCIONES 
 
 
 RAZON: ES EL RESULTADO DE LA COMPARACION DE 2 CANTIDADES 
 
CLASIFICACION.- 
 
RAZON ARITMETICA: CUANDO LA COMPARACION SE EFECTUA A 
TRAVES DE UNA RESTA 
 
 64-10R BAR 
 
POR CONSIGUIENTE EL VALOR DE LA RAZON ES 6 
 
RAZON GEOMETRICA: CUANDO LA COMPARACION SE EFECTUA A 
TRAVES DE UNA DIVISION O UN COCIENTE 
 
 5.2
2
5
4
10
R 
B
A
R 
 
POR CONSIGUIENTE EL VALOR DE LA RAZON ES 2.5 
 
LAS LETRAS “A” Y” B” RESPECTIVAMENTE SE DENOMINAN 
ANTECEDENTE Y CONSECUENTE. 
 
PROPORCION: ES LA COMPARACION DE 2 O MÁS RAZONES 
 
CLASIFICACION.- 
 
PROPORCION ARITMETICA: PROVIENE DE LA IGUALDAD DE 2 RAZONES 
ARITMETICAS 
 
 88-162-10 RDCBA 
 
LOS TERMINOS “A” Y “C” RECIBEN EL NOMBRE DE ANTECEDENTES, Y 
LOS TERMINOS “B” Y “D” RECIBEN EL NOMBRE DE CONSECUENTES 
 
TAMBIEN SE LES PUEDE DENOMINAR “A” Y “D” TERMINOS EXTREMOS Y 
“B” Y “C” TERMINOS MEDIOS 
 
PROPORCION GEOMETRICA: PROVIENE DE LA IGUALDAD DE 2 
RAZONES GEOMETRICAS 
 
 
 
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15 
 5
6
30
4
20
 R
D
C
B
A
 
 
LOS TERMINOS “A” Y “C” RECIBEN EL NOMBRE DE ANTECEDENTES Y 
LOS TERMINOS “B” Y “D” RECIBEN EL NOMBRE DE CONSECUENTES, 
TAMBIEN SE LES PUEDE DENOMINAR AL IGUAL QUE EN LA 
PROPORCION ARITMETICA 
 
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 
 
 
Si:
d
c
b
a
 forman una proporción, entonces se cumple que: 
 
 1º 
d
dc
b
ba
 
 
 
2º 
dc
c
ba
a
 
 
3º 
cd
c
ab
a
 
 
 
4º 
d
cd
b
ab
 
 
5º 
d
c
b
a
db
ca
 
 
 
6º 
d
c
b
a
db
ca
 
 
 
 
Ejercicios 5. 
 
 
 
1. La diferencia de 2 números es 244 y están en la relación de 7 a 3. ¿Cual es el 
mayor de los 2 números? 
 
2. La critica especializada ha determinado que existe una posibilidad contra 3 de 
que Universitario derrote a Alianza Lima. Si las posibilidades de que Alianza 
le gane Cristal están en la relación de 5 a 2. ¿Que posibilidades tiene 
Universitario de vencer a Cristal? 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
16 
3. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman 60 nuevos soles, 
lo que gasta y lo que cobra esta en al relación de 2 a 3. ¿ En cuanto tiene que 
disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5 ¿ 
 
4. La relación de 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 
unidades y al otro se le suma 60 unidades ambos resultados serian iguales. 
Hallar dichos números 
 
5. En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presento una moción. En 
una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 votos en contra. 
Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 votos 
en contra. ¿ Cuantos personas cambiaron de opinión’ 
 
6. En una fabrica embotelladora se tienen3 maquinas A, B y C, por cada 7 
botellas que produce la maquina A la maquina B produce 5 y por cada 3 
botellas que produce la maquina B, la maquina C produce 2. En un día la 
maquina A produjo 4400 botellasmas que la maquina C. ¿ Cuantas botellas 
produjo la maquina B ese día ¿ 
 
7. Dos números están entre si como 7 es a 12. Si al menor se le suma 70, para 
que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro numero debe 
triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números 
 
8. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la 
cuarta proporcional de 10, 15 y 14. 
 
9. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 
y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional. 
 
10. La suma, diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación 
que los números 5, 3 y 16. Hallar estos números 
 
11. En una proporción geométrica de razón 7/8, la suma de los términos es 585 y 
la diferencia de los consecuentes es 56. Hallar el mayor de los antecedentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
17 
 
SESION 6 
 
REGLA DE TRES Y TEORIA DE PORCENTAJES 
 
Ejercicios 6. 
 
1. Un automóvil recorre 80 metros en 4 segundos, ¿cuantos segundos empleara 
en recorrer 160 kilómetros? 
 
2. Cuatro hombres efectúan una obra en 12 días, ¿en cuantos días podrían 
efectuarla 7 hombres? 
 
3. Una cuadrilla de obreros tenia que hacer una obra en 20 días, pero debido a 
que 3 de ellos no trabajaron, los restantes tuvieron que hacerla en 4 días 
mas, ¿ cuantos obreros laboraron ¿ 
 
4. Un regimiento debe tardar 5 días con marcha regular para llegar a su destino, 
pero en el momento de salir recibió la orden de que hiciese el recorrido en 2 
días menos, lo que obligo a aumentar la marcha en 20 kilómetros, ¿ de 
cuantos kilómetros fue el recorrido’ 
 
5. 12 obreros efectúan una obra en 28 días, si 8 aumentan su rendimiento en un 
60%, ¿que tiempo emplearan en efectuar la misma obra? 
 
6. “X” maquinas hacen una obra en 30 días, (x + 4) maquinas hacen la misma 
obra en 20 días, ¿en cuantos días harán (x + 2) maquinas la obra? 
 
7. Para efectuar una obra se cuenta con 2 cuadrillas. La primera cuadrilla cuenta 
con 40 hombres y puede concluir la obra en 30 días. La segunda cuadri lla 
tiene 60 hombres y puede terminar la obra en 20 días. Si solo tomamos los ¾ 
de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla. ¿en cuantos días concluirán la 
obra las 2 cuadrillas juntas? 
 
8. Hallar los siguientes porcentajes: 
 
a. 19% de 2500 
b. 13% + 5% de 1000 
c. 25% del 37% del 12% de 10000 
d. 25% de 12000 
e. 12% +15% +22% de 1800 
 
9. ¿A que aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 5%, 10% y 155 
de 2500? 
 
10. ¿ A que aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 13%, 15% y 
22% de 12000’ 
 
11. ¿A que descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 5%, 12% y 
23% de 10800? 
 
 
 
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18 
12. ¿A que descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 16%, 22% y 
28% de 3500? 
 
13. Se vendió un objeto ganando el 12% del precio de venta, ¿ que porcentaje se 
gana sobre el precio de compra’ 
 
14. Un artículo se ha vendido en $ 12000 ganando el 20% del precio de costo 
más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo. 
 
15. La mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de una obra. 
Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano. ¿Que 
tanto por ciento del valor de dicha obra representa solota mano de obra? 
 
16. En una empresa el 40% del personal masculino y el 30% del personal 
femenino asisten a la escuela nocturna. Si el 20% del personal es femenino, 
¿que porcentaje del personal asiste a la escuela nocturna? 
 
17. Un comerciante rebajo el precio de venta de su mercadería en un 20%, si sus 
ventas aumentaron en un 40%, ¿ en que porcentaje aumentaron sus ingresos 
¿ 
 
18. En una universidad se decidió rebajar las pensiones de enseñanza a los 
estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar en un 
30% a los estudiantes de mayores recursos económicos. Si el monto total de 
las pensiones que da disminuido en un 10% con el cambio de política. ¿ que 
porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los 
estudiantes de menores recursos económicos ¿ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
 SESION 7 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y TEORIA DE 
EXPONENTES 
 
DEFINICION: 
 
Es el conjunto de números y letras unidos entre si por los signos de operación, 
tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la 
radicación 
 
Ejemplo: 
e numerosson exponentes los quepor racional, algebraicaExpresion 6728324354 xxxxx
 
 
 
 
numeson exponentes los quepor ,irracional algebraicaExpresion 62
1
77
2
8
5
3
29
4
37
5
4 xxxxx
 
 
Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suman o restan términos 
semejantes, es decir, aquellos que están afectados por la misma parte literal e 
igual exponente. 
 
Ejemplo: 
25310
:
2122423373532x
:semejantes terminos
2123724352332
xx
Operando
xxxxx
Agrupando
xxxxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios 7. 
 
 
1. Simplificar las siguientes expresiones algebraicas: 
2438734223523482438xE .11
222c-d-c2d-2a-c2b-a-T .10
7z2y-3x-4y-x-z5y-4x-y-9z8xE .9
b-aa-a--R .8
222c-d-c3d-2a-c2b-a-P .7
2324232C.6
a-b--a-a-b-a-b-a-S .5
3.......a...aaT .4
2.......2........a......aa-R .3
232 .2
b-a-3b-2a-3b-2a-2b-a-E .1
xxxxxxxxxx
cdcba
bacba
cdcba
bcbaccbba
b
ncnacccbbbbcba
bababbb
cabdcbabadcbaQ
 
 
2. Dados los siguientes polinomios: 
 
 
3
:
932334
93
5324
2423
7234
32342
12543
xGFEDCBAM
Calcular
xxxxG
xxF
xxxE
xxD
xxC
xxxB
xxxA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
21 
 
TEORIA DE EXPONENTES 
 
 
Se llama así a los conjuntos numéricos expresados como potenciación y 
que se pueden representar de la siguiente manera: 
 
 na = P a es la base 
 n es el exponente 
 P es la potencia 
 
 
 
PROPIEDADES. 
 
1. EXPONENTE CERO 
 
 105 :Ejemplo 10x 
 
2. EXPONENTE NEGATIVO 
 
 
8
18- x:Ejemplo 
1
x
mx
mx 
 
3. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES 
 
 2210751075 x:Ejemplo xxxxpnmxpxnxmx 
 
4. DIVISIÓN DE BASES IGUALES 
 
 15510510
5
10x
 :Ejemplo xxx
x
nmxnx
mx
 
 
5. MULTIPLICACION DE BASES DIFERENTES 
 
 2744343*837*3237*2 :Ejemplo ** mymxmyx 
 
6. DIVISON DE BASES DIFERENTES 
 
 
81
16
43
42
4
3
2
 :Ejemplo my
mx
m
y
x
 
 
7. DIVISIÓN DE FRACCIONES CON EXPONENTE NEGATIVO 
 
 
16
81
42
43
4
2
3
4
3
2
 :Ejemplo 
m
x
y
m
y
x
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
22 
8. POTENCIA DE UNA POTENCIA 
 
 
24
124432
432x :Ejemplo 
x
xxmnx
nmx 
 
9. EXPONENTE FRACCIONARIO 
 
 5
4
5 4 :Ejemplo xxn
m
xn mx 
 
10. RAIZ DE RAIZ 
 
 120 32543 334 5 3 :Ejemplo xxx
mnpq
xm n p q
x 
 
11. RAIZ DE UN PRODUCTO 
 
 5*25 25*5 105 2510 :Ejemplo * yxyxyxn yn xn xy 
 
12. RAIZ DE UN COCIENTE 
 
 
5
2
4625
4164
625
16
 :Ejemplo n y
n x
n
y
x
 
 
EJERCICIOS. 
 
1. Reducir: 
 
nnn
Q
27
8
2
9
4
2
3
 
 
2. Reducir: 
 
20 3
410 13*
85 2
x
xx
E 
 
3. Calcular el valor de : 
 2
144
3
4
834
n
n
T 
 
4. Hallar el valor de “x”: 
 073 38
13 132 x xx x 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENERManual de Matemática Aplicada I 
23 
 
5. Hallar el valor de “x”: 
 
16
9
3
4
1
4
3
x
 
 
6. Reducir: 
 
222222R 3 2X 
 
7. Calcular el valor de : 
 
12612432252
223642
xxxx
xx
S 
 
8. Calcular el valor de : 
 
230*914*415
380*335*621
P 
 
9. Efectuar: 
 nm
nmn
nmnm
Q
43*6
23*6
 
 
10. Resolver: 
 m mx
m
m
mxm
mxR 2
1111
 
 
11. Reducir la expresión: 
 xxxxC * 
 
12. Luego de simplificar, indicar el exponente final de “x”: 
 
4 3 23
5 4 3 234
xxx
xxx
 
 
13. Sabiendo que: 
 
A :
29
323
B y 
13844
BCalcular
A 
 
14. Calcular el valor de : 
 
0441616
1298
1382532100Y 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
24 
 
15. Indicar el exponente final de “x”, luego de efectuar: 
 16 3*
 veces9
5*..........*5*5
xxxx 
 
16. Efectuar: 
 
28
11 74 aaF 
 
17. Calcular el valor de : 
 
6333 33G 
 
18. Calcular el valor de : 
 
12
2 224Z 
 
19. Reducir: 
 a
aa
aa
S
13123
123133
 
 
20. Hallar el valor de la expresión: 
 n
nn
n
C
22224
120
 
 
 nnnnn 2
33/22
342n3Q
:rSimplifica .21
 
 
 16
 veces9 
5...........*5*5
*6
43
8 35x
F .22
xxx
xx
x
 
 
 
2
1
3
1
3375
5
2
243
10243
1
8000
7294
1
625
81
27K
:Ejecutar .23
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
25 
 
3634103310321031103103
:Re.24
xxxxx
solver
 
 
 
10
9
1
9
1
1
3 52
3 4 25
:que cumple se si m"" de valor elCalcular .25
ba
m
bcab
m bca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
26 
 
SESION 8 
 
MULTIPLICACION ALGEBRAICA Y PRODUCTOS 
NOTABLES 
 
DEFINICION DE MULTIPLICACION ALGEBRAICA: Es la operación que 
consiste en obtener una expresión llamada producto total, conociendo otras dos 
llamadas multiplicando y multiplicador 
 
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION. 
 
1. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los 
exponentes 
 
2. El termino independiente del producto es igual al producto de los 
términos independientes de los factores 
 
 
 
DEFINICION DE PRODUCTO NOTABLE: Son aquellos productos cuyo 
desarrollo es clásico y por eso se les reconoce fácilmente 
 
Propiedades 
 
1. CUADRADO DE UN BINOMIO 
 2222B-A 2222 BABABABABA 
 
2. CUBO DE UN BINOMIO 
 
 
3232333
3232333
BABBAABA
BABBAABA
 
 
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
 22 BABABA 
 
4. CUADRADO DE UN TRINOMIO 
 
 BCACABCBACBA 22222 
 
5. CUBO DE UN TRINOMIO 
 
ABCBCACCBABCABACBACBA 62323232323233333
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
27 
 
6. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 
 
 2233A 2233 BABABABBABABABA 
 
7. IDENTIDADES DE STEVIN 
 
 
ABCBCACABXCBAXXCXBXAX
ABBAXXBXAX
23
2
 
 
 
 
8. IDENTIDADES DE LEGENDRE 
 
 ABBABABABA 422BA 22222 
 
9. IDENTIDAD DE LAGRANGE 
 
 222222 BAYXAYBXBYAX 
 
10. IDENTIDAD DE ARGAND 
 
 42242222 BBAABABABABA 
 
11. IDENTIDAD DE GAUSS 
 
 ABCCBABCACABCBACBA 3333222 
 
12. SI : A + B + C = 0 ENTONCES SE CUMPLE: 
 
A. BCACABCBA 2222 
B. ABCCBA 3333 
C. 4442
2222 CBACBA 
D. 2222 BCACABBCACAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
28 
 
Ejercicios 8. 
 
1. La suma de dos números es 39 y la suma de sus cuadrados es 801. Hallar el 
producto de estos números 
 
2. Efectuar: 
 
 363131 xxxxxJ 
 
3. 33a K :calcular 5 aby 4ba : bSi 
 
4. 33 x:calcular 5
x
1
 x: xSi 
 
5. Se sabe que a + b = 14 y que ab = 48 calcular: 3622 baA 
 
6. Si: 22 xS :calcular 52
1
x
x
x 
 
7. Efectuar: 118141212 xxxx 
 
8. Simplificar: 32222 babbababaC 
 
9. Reducir: 50
2
1324523 aaaaaaD 
 
10. Efectuar: 
2
11725432 xxxxxxM 
 
11. Hallar la raíz cuadrada de P, sabiendo que: 
14321 xxxxP 
 
12. Simplificar: 
 
 3225233
222333222
aaxxaxax
aaxxaxax
T 
 
13. Simplificar: Si: 
cbcaba
cb
cba
333a
 :Calcular 0 
 
14. 
222ba R :
200222ay 10cba :
cacbCalcular
cbSi
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
29 
15. Simplificar: 
22
22
yx
aybxbyax
S 
 
16. Si: 
x
yx
xy
y
yxyx 2
322x
C :Calcular 
411
 
 
 
17. Calcular el valor numérico de: : que sabiendo 21 BA 
 
 
xy
y
yx
yx
A
22x
 B 
 
 
 
 
18. Simplificar: 
 
 
2
2
2
2
yxyx
 
 
19. 2b-a :Calcular 3aby 5a : bSi 
 
20. 
bcacab
cbcaba
abc
cb
Si
222
*
333a
:hallar 0cba :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
30 
 
SESION 9 
 
FACTORIZACIÓN 
 
DEFINICION: Es la operación inversa a la regla de la distribución de la 
multiplicación respecto a la suma, en la finalidad de obtener factores racionales 
uy primos entre sí. Toda expresión de primer grado es prima 
 
FACTOR PRIMO 
 
Es aquella expresión algebraica no constante que solo es divisible entre la 
unidad y consigo misma 
 
METODOS DE FACTORIZACION 
 
1. Factor Común: 
 
 Monomio 
 Polinomio 
 Por agrupación de términos 
 
2. Método del aspa simple 
 
3. Método de las identidades: haciendo uso de los productos notables 
 
Ejercicio 9. 
 
1. Factorizar los siguientes polinomios: 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
31 
 
1
2222222.30
22222222a .29
222222222 .28
3212543x .27
223223223a .26
222a .25
2105101761717x .24
29298388x .23
227233241x .22
22222222abd 21.
 1x1x2x1x2x3x 20. 
11
1251
10
1271a .19
2
4
22222a 18. 273 x.17
12274 x16. 32042c .15
1072 x14. 42523029b .13
1286 x12. 10428912256a .11
2a 10. 11xa .9
1144786831264x 8. 12274n x.7
24122y-x9 6. 22322244 x5.
 1xy1yxxyxyy x4. nm x.3
72259yx 2. 2241148 2a72x .1
baba
cbacbabcacabcb
bacbac
xxxxxx
bacacbcb
bacacbcb
yyxx
yyxx
xxx
dbaccbaddabcc
aaa
cdabdcb
xc
xaba
ymb
bxaxabxb
yxyxynx
yxyxyxyxyxxyy
nxymxynmy
yxyxbyaxbyaxby
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
32 
SESION 10 
 
DIVISION ALGEBRAICA 
 
DEFINICIÓN: 
Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente, 
conocidas otras dos cantidades llamadas dividendo, y divisor. 
 
METODOS DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS. 
 
1. Método de Ruffini: se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor 
es un binomio de primer grado 
 
2. Método de Horner: se utiliza cuando los polinomios son de cualquier 
grado, en particular cuando el divisor es por lo menos de segundo 
grado 
 
3. Teorema del resto, de Descartes o del residuo: se utiliza cuando solo 
se desea conocer el valor del residuo 
 
Ejemplos: 
 
 Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división: 
 
 
23
161225329518
x
xxxx
 Aplicando Ruffini por tratarse de un binomio 
de primer grado en el divisor: 
 
 Determinación del valor de “x”,para tal efecto igualamos a cero el divisor: 
 
 
3
2-
 xentonces , -23x : xa respecto despejando 023x 
 
 Determinación del grado del cociente y del residuo: 
 
 01-1 :residuo del Grado 41-5 :cociente del Grado 
 
 
 18 0 -29 -5 -12 -16 
3
2
 
 -12 8 14 -6 12 
 18 -12 -21 9 -18 -4 
 
 
Por consiguiente el verdadero cociente se obtiene dividiendo los resultados de 
la fila inferior entre 3, por tratarse de un valor fraccionario: 
 
-4r 63273446 xxxxq 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
33 
Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división: 
2625
3736455
xx
xxxx
 Aplicando Horner por tratarse de un divisor de 
segundo grado: 
 
Determinación del grado del cociente y del residuo: 
 
11-2 :RESIDUO DEL GRADO 32-5 :COCIENTE DEL GRADO 
 
5 5 -1 6 0 -7 3 
6 6 -2 
-2 5 6 -2 
 10 12 -4 
 10 12 -4 
 1 1 2 2 1 -1 
 
 
 
La metodología de aplicación de Horner consiste: primero efectuar una división, 
segundo efectuar multiplicación algebraica y en tercer lugar efectuar suma 
algebraica 
 
El valor del cociente es: 1-xr es residuo del valor el 2223 xxxq 
 
Ejercicio 10. 
 
1. Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división algebraica: 
 
2
25223354252x
 7. 
142
34485208x
 .6
32
42542883x
 5. 
23
53499124x
 4. 
3
1
143104253x
 .3
193
1291718162717366x
 2. 
23
161225329518x
 .1
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
 
 
2. Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división: 
5543224354
82725353526137688x
 5. 
323
42245372x
 .4
122543
4274952566715x
 3. 
2625
3736455x
 2. 
123
2243649
 .1
yxyyxyxx
yxyyxyxyxyx
xx
xxx
xxx
xxxx
xx
xxx
xx
xxxx
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
34 
3. Hallar el resto de la siguiente división: 
 
534
14642
53
434102
634x
 .10
1822
223641-x
 .9 
35
154103152x
 8. 
22
527428x
 .7
12
15243342x
 6. 
15
172938415x
 5. 
13
21023446x
 .4
2
666ax
 3. 
32
1514219346x
 2. 
3
416161403643-x
 .1
xx
xxxxx
xx
xxxxx
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
ax
ax
x
xxx
x
xx
 
4. Calcular “ p “ y “ q “ si la división dada: 
562
24
xx
qpxx
, es exacta 
5. 5. Calcular “m” y “n” en la siguiente división: 
mxx
nxmxxx
524
3528323412
, 
sabiendo que el resto es 2x – 3 
 
6. Calcular “m” en la siguiente división: 
32
62336
x
mxxx
, sabiendo que la 
división es exacta 
 
7. De la siguiente división exacta: 
12
24
xx
baxx
, calcular : a + b 
 
8. Calcular: ab ba , si la división : 
12
24
xx
bxax
, es exacta 
 
9. Determine: 1-6x residuo como deja 
328
2311424x
 :division la si 0
xx
mxnx
n
n
m
 
 
10. Determinar “m” y “n” para que 4322334 naxmaxaaxx sea divisible 
entre 222 aaxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
35 
 SESIÓN 11 
 
ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO 
 
DEFINICIÓN: es la igualdad entre dos expresiones 
 
CLASIFICACION. 
 
 Ecuaciones de primer grado, se caracterizan por que tienen la siguiente forma 
general: 0BAx 
 Ecuaciones de segundo grado, se caracterizan por que tienen la siguiente 
forma general: 02 CBxAx 
 
 Para resolver una ecuación de segundo grado se puede utilizar el método del 
aspa simple o la formula: 
 
 
a
acbb
x
2
42
 donde a, b y c representan coeficientes 
 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
 
11
5623
6253
x
xx
xx
 
 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
 
 
32 x
2
7
1x
:ecuacion cada de x de valor el despejandoobtienen seecuacion dicha de raices las teconsiguienPor 
03-x72x :resultado elgeneraron que primos factores los Agrupando 3- x 
7 2x 
:manera siguiente la de simple, aspa del metodo del uso hacemosecuacion dicharesolver Para
d es minoprimer ter del expònente el que a debido grado, segundo deecuacion una de tratase ,02122 xx
 
 
Ejercicio 11. 
 
 
1. Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
36 
 
0862 x32. 01222x 31. 0422 .30
01622x 29. 01425x 28. 0524216 .27
0552 x26. 0662 x25. 01023 .24
03623x 23. 0122x 22. 02142 .21
04542 x20. 028112 x19. 0742 .18
01423x 17. 03652 x16. 01162 .15
01582 x14. 2112362125213 .13
82123232x 12. 2534325x .11
100 5-4xx-252x 10. ba para 2 .9
235274x-a3 8. 
23
73
5
52
58
 .7
3
12
2
7
3x-1
-2x-7 6. 9
3
14
5
1
3
2
7
3
1
2 5.
7x-3-3x9x-7- x4. 
4
2
3
2
1
 .3
5
3
4
5
2
2
3
 2. 7256 .1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
a
bx
b
xa
aaxax
x
x
x
x
x
xxxx
xx
xxxx
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
37 
 
0362134 .52
3
2
-y 8son raices sus que sabiendo grado segundo deecuacion laFormar 51.
7y 4-son raices cuyas cuadraticaecuacion la es Cual .50
12
1
11x
1
E ,07322x-ecuacion la de raices las 2y x 1 xSiendo 49.
m"" de valor el determinar , iguales aices 1623xecuacion la Si 48.
iguales soluciones 2 admita 
01221k :ecuacion la que modo talde k"" de valor elhallar .47
01622x 46. 01023x .45
02142 x44. 02811
2
 x.43
7
2423
343x-3
 42. 2
n
mx
 .41
2
4
3
1782
1062x
 40. 23212b-3 x.39
02351274x-a3 38. 
23
73
5
52x
5-8x
 .37
82123232x 36. 2534325x .35
3
12
2
7
3x-1
-2x-7 34. 7x -3-3x 9x-7- x.33
xx
x
hallarx
rtienemx
kxkx
xx
xx
xx
x
m
nx
x
x
xx
x
bbx
aaxx
x
x
xxxxxx
x
 
 
ba para , 2
b
xa
.59 
02351274x-a3 58. 
23
73
5
52x
5-8x
 .57 
211236212521-3x .56 
2
534325x .55 
3
12
2
7
3x-1
-2x-7 54. 9
3
14
5
1
3
2
7
3
1
2 .53 
a
bx
aaxx
x
x
xxxx
xxx
x
xxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
38 
 
SESION 12 
 
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
DEFINICIÓN: es aquel sistema de 2 o más ecuaciones para 2 o más incógnitas las 
cuales verifican simultáneamente el conjunto solución 
 
Métodos de resolución de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. 
 
1. Igualación 
2. Sustitución 
3. Reducción ( el más común) 
4. Determinantes 
5. Matrices 
 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
 
 
 -2y entonces 4y6 y, a respecto despejando 432
:Iecuacion laen doreemplazan
II, o Iecuacion laen x de valor el osreemplazamy de valor el determinar Para
3 xde valor el entonces 21, 7x resultado como da cual lo 132y-3x
82y4x
:y incognita lacancelar para 2,por Iecuacion la mosMultiplica
:reduccion de metodo el aplicando II 1323
I 42
y
yx
yx
 
 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 
 
 
 
-4z 3,y 2,- xobtenemos
:IVecuacion laen IIIy ,,I ecuaciones las doreemplazan,IV -3zyx
:2por divisiblesser por expresion la reduciendo -6,2z2y2x
:ecuaciones 3 las de suma 
III 6
II 1
I 1
II
laEfectuamos
xz
zy
yx
 
 
Ejercicio 12 
 
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
39 
 
zxyyzxxyz
Obtener
zyxzyx
zyObtener
zyx
yzzy
y
y
y
x
y
y
zy
zy
zy
z
yx
x
a
b
y
ba
ba
y
:
1
29
252
33
343
42
5z3y4x
 .12
11-yz :
1
202020
2
2
5
2
3
x-2z
 .11
22Obtener x 012
6
7
3
5x
065y12x 10.
y-Obtener x 7
1
2
11
1
3x
2
 9.
819y-25x 
33x5 .8
0
636
x
 
5
263
x
 
3
322
x
 7.
6xz 
-1zy 
1y x6.
-103z-y- x
52z-y- x
6y x.5
2
2
1-y8x
 
7
2
y-x
yx
 .4
018yx2-9y-7x 
6873yx5 .3
2
a
x
 
ba
x
 2.
-4x 13-3y 
5y96x .1
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
40 
12. Un cuarto de la suma de dos números es 14 y un séptimo de la diferencia es 
2. Obtener el producto de dichos números 
 
13. Un número entero consta de 3 dígitos. El digito de las centenas es la suma de 
los otros dos, y el quíntuplo del digito de las unidades es lo mismo que la 
suma de los dígitos de las decenas y las centenas. Hallar este número 
sabiendo que si se invierten los dígitos, resulta disminuido en 594. Hallar el 
producto de las cifras. 
 
14. Tres personas pueden hacer un trabajo en 3 días; la primera y la segunda 
juntos lo hacen en 
5
1
3 días; la segunda con la tercera juntas pueden hacerlo 
en 12 días. ¿En cuánto tiempo podría terminar la tercera persona sola el 
trabajo? 
 
 
 
-34u-2z3y-x
135uz-2y3x
94u-3zy-2x
10uzyx
:sistema del u"" de valor elObtener .15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
41 
 
SESION 13 
 
MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES 
 
DEFINICION: Es un arreglo de números ordenados en filas y columnas 
 
Ejemplo: 
 
 
243
312
A 
 
Donde los números 2, 1 y 3 se hallan en la primera fila y los números -3, -4 y -2 
se hallan en la segunda fila 
 
Donde los números 2 y -3 se hallan en la primera columna, 1 y -4 se hallan en 
la segunda columna y 3 y -2 se hallan en la tercera columna 
 
ORDEN DE UNA MATRIZ 
 
En base al ejemplo indicado : 2*3KA : significa que la matriz A pertenece al 
conjunto de los números reales y complejos y es del orden 3 ( debido al número 
de filas) y 2 ( debido al número de columnas) 
 
Ejercicio 13. 
 
1. Escribir explícitamente las siguientes matrices: 
 
ji
ijdK
jiijcK
ji
ijbK
jiijaK
12/3*4
ijdD .4
,max/4*3
ijcC 3
2/3*3
ijbB .2
2/2*3
ijaA .1
 
 
2. Dadas las matrices: 
3CAhallar , BA 
01-
2
3
2
Cy 
43
42
B 
3
2
Si
y
yx
xyx
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
42 
3. Sean las matrices: 
 
 
BA si , xyzde valor el 
165-z
213z
22y-3
B y 
281
212
1212
Hallar
xz
yx
zxy
yx
zx
A
 
 
4. Si : 
CBXAecuacionlasolver
A
2232B-X2 : Re
510
111
 Cy 
14
72-
B 
12
53
 
 
 
 
5. Si : 
 
 
12
37-
Cy 
54
32
B 
22
53
A 
 
 Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
 
BAXCB 252A-X3 .1
 
 
 CXCBX 22BA-X3 .2 
 
6. Si : 
 
 
10141-
6512
736
Cy 
191-
248
576
 B 
638
417
213
A 
 
 Resolver la siguiente ecuación: 
 
 XBACXCX 22322 
 
7. Dadas las matrices: 
 
 
2*2KYX, B2Y-5X
A3Y2X
:ecuaciones de sistema siguiente elResolver 
2321
4016
 By 
616
35
A
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
43 
8. Multiplicar las siguientes matrices: 
 
 
121
024-
114
 By 
321
212
121
A : siBA -ABCalcular 6. 
1
4
11
22
11
433
322
211
000
 .4
421
421
421
963
642
321
 3. 
23
12
16
53
 2. 
11
11
23
12
 .1
 
9. Dadas las matrices. 
 
 
212
541-
163
C 42
3
121
B 
25
31
12
A 
 
Si 322311eS de suma lahallar , eeABCE 
 
 
9. Si: 
b
a
ca
db
175
0511
1100
0030
2103
0211
 
12
12
 
 
 Hallar el valor de la suma S = a + b +c + d 
 
10. Una compañía tiene 4 fabricas, cada una emplea administradores, 
supervisores y trabajadores calificados en la forma siguiente: 
 
 
 Fabrica 1 Fabrica 2 Fabrica 3 Fabrica 4 
Administrador 1 2 1 1 
Supervisor 4 6 3 4 
Trabajadores 80 96 67 75 
 
Si los administradores ganan $350 a la semana, los supervisores $275 y los 
trabajadores $200, cual es la nomina de cada fábrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
44 
 
 
 
SESION 14 
 
INECUACIONES 
 
DEFINICIÓN: Son desigualdades con incógnitas que pueden reducirse a la 
forma: 0bax o 0 bax 
TIPOS DE INTERVALO 
 
Intervalo Abierto.- Es el conjunto de elementos “x” limitados en sus extremos 
por los elementos “a” y “b” para los cuales se cumple que .bxa  El intervalo 
abierto se denota ba, 
Ejemplo: Sea el intervalo, según la definición se deben tomar todos los 
números reales comprendidos entre 2 y 5 a excepción de estos. 
 
Intervalo Cerrado.- Es el conjunto de elementos de “x” limitados en sus 
extremos por los elementos “a” y “b”, donde 
ba,por representa se cerrado intervalo El b.xa que cumple se cuales los para ,ba  
 
Ejemplo: Sea el intervalo 7,2 , según la definición los elementos que forman 
este intervalo, son todos los números comprendidos entre 2 y 7, incluyendo 
estos 
 
 
 
Soluciona una inecuación. 
 
Es todo valor de la incógnita, o conjunto de valores de las incógnitas que 
verifican la desigualdad, el resultado de una inecuación se presenta a través de 
un intervalo ( conjunto solución) 
 
Ejemplo. 
 
1. Resolver la siguiente inecuación: 
 
15
7
x
715x
10-310x-25x
3-10x10-25x
:multiplocomun minimo 
5
3
225





Sacando
xx
 
 
Conjunto solución = ,
15
7
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
45 
 
2. Resolver la siguiente inecuación: 
 
424532 xx  Por tratarse de una inecuación exponencial, tenemos que 
generar bases iguales para poder igualar los exponentes 
 
 
exponentes loscon s trabajamoentonces 2, numero elpor formadoestar por iguales,son bases las 
842532
42
22532
Como
xx
x
x


 
,3-solucion 
3
3485
8453
Conjunto
x
xx
xx



 
 
Ejercicio 14. 
 
 
1. Resolver las siguientes inecuaciones: 
 
 
031023x 12. 
3
2
2
12
6
23
5
1-2x
 11. 0
422
652x
 .10
01892 x9. 5
13
9
3
2
15
3 8. 
7
4
18
27
5
2
135
3 .7
4
1x
2-3x
 6. 
20
7
5
1
2010
7
5
3x
 5. 051423x .4
01272 x3. 4245-3x2 2. 
5
3
-2x2-5x .1
x
xx
xx
x
x
xxxx
xx
x
xx




 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
46 
 0189x-2 x27. 
5x
6
2x
3
 26. 43-2x4- 25. 
0
1-x
122x
 24. 1
452x
3622x
 23. 1
43-x
21-x
 22. 
14
4
x-1
2
 21. 
3
2x
1x
 20. 0107x-2 x19. 532x7- 18. 75-2x3 17. 
03-x-22x 16. 
2
116x
4
5-3x
 15. 4-3x62x- 14. 9-x73x .13 




x
x
x
x
x
 
 
 
 
1
452
3622x
 57. 01662 x56. 0107
2
 .55
0322x 54. 6
6
423x
 53. 0
1
122
 .52
5625722x2x
 51. 10
1
16102x
 50. 0
422
652
 .49
721x 48. 0628x 47. 0126 .46
052 x45. 024-x 44. 023 .43
0202 x42. 01892 x41. 062 .40
5
1-2x
2x
 39. 0
2x
52x
 38. 
5
6
2
3
 .37
0
2
7
1
3
1-x
6
 36. 
2
3
3
2
1x
1
 35. 
1
2
1
1
.34
2
3
1-x
2-x
-2 33. 
14
32
2x
2-x
 32. 4
38
57
 .31
5
3
2
x
 30. 3
1x
2-3x
 29. 13654 .28








xx
x
xxx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx
xx
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
47 
 
5
6
2x
3
 63. 43-2x4- 62. 1
43
21
 .61
14
4
x-1
2
 60. 532x7- 59. 7523 .58
xxx
xx
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
48 
 
 
SESION 15 
 
TEORIA DE CONJUNTOS 
 
DEFINICIÓN: 
Es una agrupación de elementos asociados por una característica común 
 
Ejemplo: el conjunto de los números enteros (Z), el conjunto de los números 
reales R , el conjunto de los números naturales (N). 
 
Representación: los conjuntos se representan por las primeras letras del 
abecedario expresadas en mayúsculas(A, B, C, D,...) y los elementos del 
conjunto por letras minúsculas 
 
Ejemplo: 
A conjunto al pertenece no f que expresa A,f
 A, conjunto al pertenece c que expresa A,c donde ,,,, edcbaA
 
 
Hay 2 maneras de representar los elementos de un conjunto: 
 
1. Por extensión: cuando se indican cada uno de los elementos del 
conjunto 
2. Por comprensión: cuando se indica la ley de formación del conjunto 
 
Ejemplo: 
 
 
formacion deley lacon cumplen que naturales numeros los de conjunto al pertenecen que x que x tallos
 por todos formado esta B conjunto del elementos los quedecir quiere ,12/ xyNxxB
 
 
Ejemplo: Determinar por extensión y dar como respuesta la suma de los 
elementos de P 
 
 
 
279765 a igual es suma la teconsiguienpor , 5,6,7,9P conjunto del elementos 
9
1
9
45
1625
P 
0
0
44
1624
7
1
7
43
1623
P 6
2
12
42
1622
P 5
3
15
41
1621
P
formacion deley laen osreemplazam cuales los 3,4,5 1,2, : valoressiguientes los toma
entero numeroun esx/x y U 50,/
4
16
2
Los
P
n
nZn
n
n
P 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
49 
CLASIFICACIÓN. 
 
2. Finitos: aquel que esta formado por un numero determinado de 
elementos 
3. Infinitos: aquel que esta formado por un numero indeterminado de 
elementos 
4. Unitario: aquel que esta formado por un solo elemento 
5. Nulo o vació: aquel que carece de elementos. El conjunto vació esta 
incluido en todo conjunto 
Representación: , 
6. Universal: Es el que contiene a todos los elementos que están siendo 
considerados en el estudio, se representa por la letra U 
7. Iguales: aquellos conjuntos que tienen idénticos elementos sin importar 
el orden 
8. Disjuntos: cuando por lo menos un elemento no esta contenido en el 
otro conjunto 
9. Subconjunto: se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento 
de A es también elemento de B, 
Representación: BxAxBA 
9. Potencia: es el conjunto formado por todos los subconjuntos que se 
pueden hallar a partir de un conjunto dado. 
 Representación: 2 n , n representa el numero de elementos del conjunto 
 Ejemplo: 
 
 
M conjunto del elementos 2 los departir aformar pueden se ossubconjunt 4226,3 MPM
 
 
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
1. UNION 
 BxAxUxBA / 
 Tomando como referencia los 
conjuntos: 2,4,6,8B 4,3,2,1A 
 
 8,6,4,3,2,1BA 
 
2. INTERSECCIÓN 
2,4BA
:indicado ejemplo el el 
/


Para
BxAxUxBA
 
 
3. DIFERENCIA 
8,6
3,1
/
AB
BA
BxAxUxBA
 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
50 
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA 
8,6,3,1
2,4BA 8,6,4,3,2,1
/
BA
BA
BAxBAxUxBA


 
 
5. COMPLEMENTO. cAA ,! 
9,8,7,6,5
4,3,2,1
9,8,7,6,5,4,3,2,1
/!
CA
A
U
AxUxA
 
 
6. PRODUCTO CARTESIANO 
pnmpnmBxA
ppnnmmAxB
pnmA
ByAxyxAxB
,2,2,2,1,1,1
2,1,2,1,2,1,
1,2B ,,
/,
 
 
Ejemplo. 
 
Dados los siguientes conjuntos: 
 
CCUCBAHallar
C
B
A
U
:
9,7,5,3,1
8,6,4,2
5,4,3,2,1
10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
 
 
 2,4,7,9,10CBA
:teconsiguienpor 1,3,5,6,8BA
:entonces 4,2
8,6,5,4,3,2,1
BA
BA
BABABA



 
 
9,710,8,6,4,210,9,7,4,2BA
entonces 10,8,6,4,2
10,8,6,4,2
CCUC
CCU
CC


 
 
 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
51 
Ejercicio 15. 
 
1. Hallar el conjunto potencia de 6,4,2A e indicar cada uno de 
los subconjuntos 
 
2. Si los conjuntos 2b,45ay 4,93 aba son unitarios, 
demostrar que 382,6 abba también es unitario 
 
3. Si : 100/ xZxU , 
3,5B-Ay 1,2,7BA 9,6,0 
CBA 
Cual es la suma de los elementos de AB 
 
4. Si: 
 
 
5/12
61/12
040132/


xNxxC
xZxxB
xxxA
 
 
 Cuantos subconjuntos tiene F? si ABCF  
 
5. Sea : 31/ xNxU y los subconjuntos: 
 
 
CACC
CBC
CCB
C
Hallar
C
B
xNxxA




B-A .4
BA .3
CA .2
BA .1
:
7,6,4,3,1
9,8,7,6,5,2,1
31/2
 
 
6. Sean los conjuntos: 
 
 
2
7
23
2
3
/
3232/
,1/
z
z
ZzC
yyZyB
ZnnxZxA
 
 
 Entonces es cierto que: 
 
 
 
 I.S.T.P. NORBERT WIENER Manual de Matemática Aplicada I 
52 
 
C-AA-B 5. CA 4. CBA 3. CBA 2. CB 1  
 
7. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y BA tiene 32 
subconjuntos, ¿ cuántos subconjuntos tiene ?BA 
 
 
8. Si el número de elementos del conjunto potencia A es 128, el número de 
elementos del conjunto potencia B es 32 y el número de elementos del 
conjunto potencia BA es 8, ¿ cuál es el número de elementos del conjunto 
potencia ?BA 
 
 
 
9. . 
,4
cAhallar 4,-A :
cA
Si
 
 
10 
3,12-BA
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Dados
 
 
 
 BIBLIOGRAFIA 
 
 
฀ FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1998): Vectores y Matrices, Lima-Perú W. H. 
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฀ FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1998): Matemática básica, Lima-Perú W. H. 
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฀ FIGUEROA GARCÍA, Ricardo (1991): Geometría Analítica, Lima-Perú W. H. 
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฀ ESPINOZA RAMOS, Eduardo (1993): Análisis Matemático II (solucionarlo de 
DEMIDOVICH)