Introdução ao Cálculo Vetorial

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INTRODUCCION AL CALCULO
 
VECTORIAL
 
1.	 Magnitudes escalares 
y vectoriales 
En cursos anteriores de Física ya has estudiado 
ejemplos de magnitudes que pa ra defin irlas correcta­
mente no era sufíciente conocer el va lo r absoluto 
de su medida ; por ejemplo : la fuerza , la ve locidad ... 
Se denominaba n MAGNITUDES VECTORIA LES. 
Ot ras, en cambio , como la masa , la temperatura , 
la longitud ..., q uedaban perfectamente definidas co n 
sólo co nocer el val o r de su med id a. Las deno mi nába­
mos MAGNJTUDES ESCALARES. 
M agnitudes esca lares son aq ue llas que q ueda n per ­
fectamente defin idas por el val or de su med ida. Gráfi ­
camente se representan en una esca la - de ahí su 
nombre- y algebra icamente se representa n por me ­
dio de letras la tinas o griegas en formato normal 
(v , a , T, ':l. , ro, .. .). 
Magnitudes vecto ria les son aq uellas que para q ue ­
dar	 perfectamente definidas, además de conocer el 
valor absoluto de su m ed ida , se necesita conocer 
la dir ección y el sen tido en que actúa n. 
Algebraicamente se representan por med io de le ­
tras	 la t inas o griegas, de tipo ordinario , con una 
flechita encima (-;, F, ro, ...) o , más frecuentemente , 
por letras en negrita (v, I, ro,.. .). 
G ráficamente se representan medi ante vectores. 
1.1. Vectores 
Un vector es un segmento orientado. Su longitud 
- módulo- depende del valor numérico de la magni­
tud que representa ; la dirección - o líne a de acción ­
es la de la recta a que pertenece el segmen to, y 
el se ntido se indica por un a punta de flecha . Al 
origen de l vector se le lla ma punto de a plicac ión. 
(Fig. 1). 
Fig .1-1 
C ua nd o se habla d e magn itudes vec to ria les y se 
usa letra ord ina r ia (no negr ita y sin flech itu) es 
que, o no se q uiere insist ir en su car ácte r vec tori al , 
o sólo se t ra ta de representar los módul os de las 
mi sm as, 
1.2. Clases de vectores 
- Igua les : Jos que tienen el mismo módulo, la misma 
direcc ión y el mismo sentido. 
- Opuestos : si tienen el mismo mód ulo, la misma direc ­
c ión; pero senti dos con trarios. 
7 
- ---
----
- Fijos : son aquellos .que exigen para su determinación 
el conocer el punto de aplicación donde actúan. 
- Deslizantes : son los que pueden trasladarse a lo largo 
de su dirección sin que var íe su efecto . (Ejemplo: los 
vectores a y b de la figura 2). 
- Libres : son los que pueden trasladarse paralelamente 
a sí mismos sin que varíe su efecto . (Ejemplo: los 
vectores a y e, o los vectores b y c de la figur a 2). 
Fig. ) ·2 
En general, los vectores que tienen igual módulo igual 
sentido y direcciones iguales o paralel as, se denorn inan 
equipolentes. (Ejemplo: los vectores a, b y c de la figu­
ra 2) son equipolentes. 
- Axiales : se utilizan par a repre sentar giros. Su módulo 
representa el valor de la magn itud rot acional (ejemplo : 
velocidad angular), su dirección es la de la perpendicular 
al plan o de giro y su sent ido coincide con el avance 
de un sacacorchos que se mueva como lo hace el giro . 
(Regla de Maxwell) (F ig. 3). 
Fig. l · ) 
I -A I I 
I 
I 
.) 
,I
I 
cP
•LC: ~ 
I f::::::===~==:::il' 
I 
I 
I 
I
 
I
 -A 
2. Suma de vectores 
Se denomina sistema de vectores a un conjunto 
de vectores que actúan simultáneamente sobre un 
cuerpo. A cada uno de estos vecto res se le denomina 
componente del sistema. 
Vector ' resultante o vector suma de un sistema 
de vectores es otro vector que por sí solo realiza 
el mismo efecto que los componentes. 
Matemáticamente se expresa así ; 
R = i\ +B + ... 
8 
Con este simbolismo se quiere expresar que el 
vector R realiza el mismo efecto que realizarían 
los vectores A, B•.•, al actuar simultáneamente sobre 
un cuerpo. 
Gráficamente, el vector resultante se obtiene 
uniendo el origen del primer vecto r con el extremo 
de la línea formada a l traz ar, unos a continuación 
de otros, vectores equipolentes a los dados. (Regla 
del polígono) (F ig. 4). 
B 
I 
I 
'e
-- -, 
I 
I 
e 
Fig. ) ·4 
En este curso calcularemos el vector resultante 
en los siguientes casos : 
2.1. Vectores con la misma línea de acción 
Si tienen el mismo sentido, el vecto r resultante 
es otro vector de la misma dirección y sentido y 
cuyo módulo es la suma de los módulos de los 
componentes. (Fig. 5). 
Si son de sentidos contrarios, el vector resultante 
es otro vector de la misma dirección, de sentido el 
del mayor y cuyo módulo es la diferencia de los 
módulos de los componentes (Fig. 5). 
Fig, 1·5 
A B B A• . '. 
'2.2. Vectores concurrentes 
Son aquellos que tienen distinta dirección y ellos, 
o sus prolongaciones, se cortan en un punto. 
El vector resultante se obtiene gráficamente según 
se indicó en la regla del polígono. Así , en la figura 4, 
el vector R es el vec to r resultante de los vec to res 
A, By C. 
En el caso particular que sean dos los vectores 
concurrentes, el vec to r resultante coincide en módu­
lo , dirección y sentido con la diagonal del paralelo­
gramo cuyos lados son los dos componentes (Fig. 6 
y 7). 
\ Ih + 3h= \)2 = 7. 2 
Fig. 1-10 
-A 
/ 
/ 
/ 
/ 
/
/ 
/ 
/ 
/ 
I 
IC.._.J--"......---_/ 
Solucl ún : 
Si calculas el vector resu lta nte de los vectores 1.° 
y 3.°, estás en el caso del pro blema a nte rio r. Su módulo 
es A \fJ. 
Este vecto r resultante es la de la mis ma dirección 
y sentido que el seg undo vecto r com ponente. El vector 
resulta nte ta ta ) será : 
Soluci ún: 
9 
Fig . 1-8 
R=A +A v'3=A(v'3+ 1) 
Fig. 1·9 
l . Hallar gráfica y nurnencarnen te el vecto r resultan te 
de do s vecto res perpendi cul ares de 4 y 6 unid ades 
respect iva me nte. (Fig. 8). 
Ejeruplos : 
Soluci ón: 
2. Calc ula r el vecto r result ant e de dos vecto res iguales 
c uyas d irecciones forman un ángulo de 60 grados. 
(Fig .9). 
R = Y A 2 + A 2 + 2 A· A· += V3fV = A V3 
3. Calcul ar el vecto r result ante d e tres vectores iguales 
cuyas direccio nes forma n entre sí á ngulos de 30 grados . 
(Fig . 10). . 
/ 
/ 
/ ­
/ A 
h 
-.----' ­ - -=:-­- -'--­ / 
Fig. 1-7 
B 
R 
Si d os vecto res co ncur rentes son de d irecc iones 
perpendicula res, el cá lculo nu mér ico d el módul o del 
vecto r resultante y la determ inación de su dirección 
resulta n senci llos. 
En efecto : a plica nd o el teorem a d e Pitágoras a 
uno cualq uiera d e los tri á ngu los fo rmados (Fig. 6), 
ten em os que: 
Si dos vecto res co ncurrentes so n de direcciones 
cuales quiera , el cálc ulo del módulo del vecto r resul ­
ianteno es ta n inm ed ia to co mo en el caso a nte rio r, 
aunq ue también es sencillo : 
Apli can do el te orema del coseno a l t rián gul o for­
mad o (Fig. 7) ten em os que : 
Re = A: + Be ­ :2 A B CO~ : ~ 
y. co mo cos p= - COS ':l., por ser ángulos su p leme n ­
ta rios, q ueda rá fina lme nte qu e: 
Fig. 1·6 
La d irecc ió n de R se det erm ina e n fun c ión de 
la ta ngent e del ángulo que fo rma con un o de los 
co mpo nen tes. 
En la figura vem os que : 
- - - --
3. Resta de vectores 
Para restar de un vector A (minuendo) otro vector 
B (sustraendo) se suma al vector A el vector opuesto 
a B (Fig . 11 ). 
Es decir : A + (- B) = O 
En efecto : como sabes , en toda rest a la suma del 
sustraendo y la diferencia ha de ser igual al minuen­
do . En la figura 11 fácilmente verás que el vector A 
es, preci samente , el vector suma de los vectores B y 
O, puesto que es la diagonal del paralelogramo for­
mado por dichos vectores. 
Ji 
/ 
/ ­
I B 
I 
Fig. 1-11 I 
4. Descomposici6n de vectores 
Es el problema contrario al planteado en el aparta­
do 2. 
Descomponer un vector en otros varios (compo­
nentes) es hallar un sistema de vectores que produzca 
el mismo efecto que el vector dado . 
En principio , la resolución de este problema, inclu­
so en el caso más sencillo de que sólo sean dos 
los componentes, es indeterminada, puesto que exis­
tirán infinitos sistemas de vectores capaces de susti­
tuir al dado. 
Para poder resolver este problema se necesitan 
determinar algunos datos, tales como:ángulo forma­
do por los componentes, valor de uno de loscompo­
nentes.... 
Un caso muy interesante de descomposición de 
vectores es el que se refiere a la descomposición de 
un vector en dos componentes que sean perpendicu­
lares entre sí (componentes rectangulares del vector) . 
Para ellose proyecta el vector dado sobre los dos 
ejes de un sistema de coordenadas, siendo estas pro­
yecciones los vectores componentes pedidos. 
y l
 
I
 
I
 
I
 
I
 
'1 
xFig . 1-12 
10 
Como se ve en la figura 12, A es el vector resul­
tante de Ax Y Ay. Por tanto, los vectores Ax Y Ay 
pueden sustituir al vector A. 
Observando la figura 12 puedes deducir fácilmente 
los valores de los módulos de los vectores componen­
tes: 
A 
cos a= ----¡f­
por tanto: IA , = A cos "1. / 
A ~ 
cos :~ = 
A 
por tanto : 
A los cosenos de los ángulos a y p que el vector 
R forma con cada uno de los ejes del sistema se 
les denomina cosenos directores del vector. 
4.1. Aplicaciones 
Un ejemplo de lo expuesto lo constituye el ca so 
de la descomposición del peso de un cuerpo situado 
en un plano inclinado, en dos componentes : una 
perpendicular al plano y otra, paralela a él. (Fig. 13). 
\ 
\ 
\ 
\ 
Fig. 1·13 
Según lo que acabamos de exponer : 
N = P cos 7­
F = P cos ~, = P sen 7­
Otra aplicación la constituye el cálculo de la resul­
tante de varias fuerzas concurrentes : Para ello se 
descompone cada fuerza en sus componentes rectan­
gulares y se calcula la resultante de las componentes 
en cada eje. 
La resultante general es la que se obtiene al compo­
ner estas últimas. 
5.	 Producto y cociente 
de un vector por un escalar 
El p roducto de un vecto r por un escala r es otro 
vector que t ien e la d irecc ión y sentido del pr im ero 
y cuyo m ódulo es igual al producto del módulo 
del vect o r dado por e l esca la r. (Fig. 14) 
5"7~. 5 = • 
B 
Fig . 1-14 
Como ves , esta definición corresponde al concep­
to , ya conocido, de producto de dos números: repetir 
como sumando el mult iplicando tantas veces como 
indique el mult iplicado r. 
Para d ivid ir un vec to r entre un número esca la r 
basta multiplicar e l vecto r por el in ver so del escalar 
(F ig. 14). 
6.	 Vector unitario 
Según lo qu e aca ba mos de explica r en la pregunta an­
terior (pro duct o de un vector por un esca la r) , cualquie r 
vecto r pue de considerarse como múlt iplo de ot ro de su 
misma dirección y se ntido . Así , e n la figura 14 el vecto r 
5A es cinco veces mayor que el vecto r A. 
Se den omina vector unitario, o vecto r unid ad , a cual­
quier vecto r de módul o 1. 
Todo vector , en co nsecue ncia, puede se r considerado 
como múltiplo de un vector unit ario que actúe en su mis­
ma dirección y se ntido. • 
Ejemplos: 
-
I j I I I- ­ • M=5.j 
De los infinitos vectores unidad hay tre s que merecen 
esp ec ial atención: son los qu e ac túa n en las tre s direccio­
nes del es pacio (ve rtica l, horizontal , tran sversal) y que 
se designan con las letras T, j , k. 
z 
-
k 
.;---:'- - - - y 
x 
6.1 .	 Expresión de un vector cualCLuiera en 
función de los vectores i, j, k 
Al proyecta r un vec to r sobre los ejes de un siste ma de 
coorde nadas se obtiene n sus co rres po ndientes compo­
-. -. -. 
ne ntes rectan gular es A., Ay, ' Az . 
Como estas componentes actúa n en las tres dir eccio ­
nes del espacio , puede n con sider ar se co mo múltiplos de 
los vec to res TT, k. 
:;--- - ------ - --- ----- ~~ 
/
/
 Az	 
/ 
/ I
I/
/
 /	 If-­
-Ay 
----------------~ I, 
I	 II 
I	 II I	 II 
I I I 
I I I 
I I I 
: ~ I / 
I o<. I /
I 1//----- - - - - - -v 
~ 
En conse cue ncia, el vecto r inicial A , resultante de los 
-+	 -. -+ 
vec tores A x, A y, Az vendría exp resa do así: 
A= A, .T+ Ay .T+ Az •k 
Si observas la figura ante rio r verás qu e el módulo del 
~ 
vec tor A corres po nde a la diagon al de un paralelep ípedo 
c~'yas a ristas so n, prec isamente , los módu los de A" Ay, 
Az· 
Por ap licación del teorema de Pit ágoras en el espacio 
tendremos que : 
11 
Si llam amos '7. , ~ Yy a Jos cosenos directores de A , fácil­
mente se deduce de la figur a que : 
A x = A cos '7. 
A y = A cos ~ 
A7. = A cos y 
De	 donde: 
Ax cos = 
A 
A y 
cos = 
A 
Az cos = 
A 
lo;jclllplus: 
-. 
1.	 Dado el vector A = 3 i - 2 j + 4 k, deducir su módulo y 
el valor de sus cosenos directores. 
Soluci ón: 
3 - 2 4 
cos ot = cos ~ = cos ~' 
V29 V29 V29 
A = V 9 + 4. + 16 = V29 
2.	 Demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos 
directores de un vector es igual a l . 
7. Producto escalar de dos vectores 
Se denomina así al número escalar que resulta 
de multiplicar entre sí los módulos de los vectores 
por el coseno del ángulo que forman sus direcciones . 
(Fig. 15). 
Matemáticamente se representa así: 
[ A · B = A' B ' cos a I 
Recordando las propiedades de la multiplicación 
y teniendo en cuenta los valores de cos O y cos 
90 fácilmente podrás deducir que: 
a )	 El producto escalar cumple la propiedad conmu­
tativa . 
A . B = B . A = A . B . COS '1 
Fig, 1-15 
12 
b)	 El producto escalar de dos vectores perpendicula­
res es CERO 
A . B = A . B . cos 90 = () 
e)	 El producto escalar de dos vectores tiene su máxi­
mo valor cuando dichos vectores son de la misma 
dirección y sentido: . 
A . B = A . B . cos O A ·B 
Pa ra calcular el pr oducto escalar de dos vec to res , 
cua ndo és tos vien en expresad os en fun ción de los vecto­
res¡ r. k, basta aplicar la siguiente expresión , que just i­
ficarem os ade cuadame nte en cursos superiores : 
-->	 -. 
A . B = A xBx + A vBy + A /B , 
Ejem plo: 
Dados los vectores: 
A=3i +j - 5k
 
8= 27- 6T+ 3k
 
a) Calcula r su producto escalar.
 
b) Deducir el valor del módulo de A y el de-.B . -.
 
c) ¿Qué ángulo forman entre sí los vectores A y B?
 
Solucl órn 
a) ::\,8= 3·2 +1 (-6)+(-5)-3 = 6 -6 - 15 = -15 
b) A ~ V 9 + 1 + 25 ., V35 = 5,9 
B = V 4 + 36 + 9 = V49= 7 
e)	 A'S = A·B ·cos a
 
- 15 = V 35·7·cos ot
 
De donde
 
- 15 
ot = ar e cos - - ­
7 V35 
7.1 . Aplicaciones a la Fisica 
Hay diversas magnitudes físicas que se definen , 
precisamente, como el producto escalar de otras y 
su expresión matemática co r respo nd e a la del pro­
ducto escalar. 
Así , por ejemplo, has estudiado el cu rso pasado 
el trabajo . Allí viste que su expresión matemática 
es: 
T = F . s . COS 7­
y qu e co rres po nde a la del pr oducto esca la r de l (l ~ 
vec to res fuerza y dcsplu zurnicnro : 
Recuerda : 
- ¿Cuá ndo tina fuerza no realiza trabajo ? Cuando es 
perpendicular al desplazamiento. 
Efectivamente : el producto escalar de dos vectores per ­
pendiculares es cero. 
- ¿Cuándo es máximo el trabajo real izado por una fuerza ? 
Cuando su dirección y sentido co inciden con los del 
desplazamien to o 
En efecto : se cumple lo expuesto en c). 
8.	 Producto vectorial de dos vectores 
Se denomina así el vector cuyo módulo es igual 
al producto de los módulos por el seno del ángulo 
que forman sus direcciones; cuya dirección es la 
de la perpendicular al plano que contiene a ambos 
vectores y cuyo sentido viene dado por la regla de 
Maxwel1 en el supuesto de que el primer vector 
vaya hacia el segu ndo por el camino más corto . 
(Fig. 16). 
EL PRODUCTO VECTORIAL NO
 
TIENE PROPIEDAD CONMUTATIVA
 
I ---= eP	 A 11 I 
P = A·e ·senO( I 
e)	 El producto vectorial de dos vectores tiene su 
máximo valor del módulo cuando son perpendi­
culares, puesto que sen 90 = l 
8.2.	 Aplicaciones a la Física 
Igu al que sucedía con el producto escalar, hay 
diversas magnitudes fisicas que se definen como pro­
ducto vectorial de otras. Así , por ejemplo , el mo­
mento de una fuerza respecto a u n punto -que ya 
estudiaste el curso pasado- es una magnitud vecto ­
rial definida como un producto vectorial. 
9 .	 Momento de un vector 
respecto a un punto 
Consideremos el vector A (F ig. 17) cuyo origen 
respecto al punto O viene determinado por el radio­
vector -o vecto r posición- r. 
Se denom ina momento del vector A respecto al 
punto O a l producto vectorial delradiovector r por 
el vector A. 
Recuerda que como el producto vecto rial no tiene 
propiedad conmutati va , no puede alterarse el orden 
de los factores dado en esta definición . 
o 
13 
Flg. 1·17 
-- ­M= r"A 
M = r ·A · sen o( = A ·d 
Matemát icamente expresa ría mos así el vec to r mo­
mento : 
I M==rAA 
y el valor de SU módulo sería : 
1M == r . A ' sen ':1. 
- - ­P = B 11 A P =A ·B ·seno< 
:-r-------~
*':• A 
Fig. 1·16 
El producto vectorial de dos vectores se representa 
así: 
P=A /\ B 
El módulo del vector P vendría dado por: 
1P = A . B . sen 1. I 
8.1. Propiedades 
a) El producto vectorial de do s vectores no posee 
la propiedad conmutativa, como puede verse en 
la figura 16. 
b) El producto vectorial de do s vecto res de la misma 
dirección es CERO.