8-Matemática-Potencias-y-Raices

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 Instituto Nacional José Miguel Carrera 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
OCTAVO BÁSICO, Segundo Semestre 2019 
Coordinadora: Prof. Nola Labé Herrera 
 
GUÍA 2: UNIDAD POTENCIA Y RAÍCES 
 
RECUERDA: 
 
 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES 
La raíz n-ésima de un número puede 
representarse en forma de potencia: 
 
nn aa /1 
 
Es importante familiarizarse con la forma 
exponencial de los radicales, pues nos 
permitirá expresarlos y operar cómodamente 
con ellos. 
 
aaaaa nnnnnn   1)/1(/1 )()( 
2
1
4
2
5
1
4 2
5 22
aaa 

 
 
 
 
Actividad 1: Repaso 
 
1. Determina el valor de: 
 
a) 121 b) 3 125 c) 4 625 
d) 3
27
1
 
 
 
2. Expresa las siguientes potencias como raíces: 
 
1) 
2
33 
 
2)  
2
32 
 
3) 
2
32 
 
4)  
2
75

 
 
5) 
1
54 
 
6)  
1
42x 
 
7)  
3
54x 
 
8) 
2
36

 
 
 
3. Exprese las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario: 
 
1) 
5 27 
 
2) 
53 
 
3) 
3 2a 
 
4) 
34 x 
 
5) 
2 35 x y 
 
6) 3x 
 
7) 
4 23 x y 
 
8) 
3 25 x 
 
 
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 
 
Primera: n
nnppnp p aaaa  /1/ 
 
Ejemplos: 
36 26
4 24
224
339


 
 
Segunda: 
nnnnnn babababa  /1/1/1)( 
 
Ejemplos: 
5555
22
23232
33
xxx
yxyx


 
2 
Aplicaciones: 
- simplificar radicales tal y como se ha visto en los 
ejemplos anteriores; 
 
- conseguir que dos o más radicales tengan el 
mismo índice (reducir a índice común). 
 
66 3
66 23
106482222
10609103103


 
 
Aplicaciones: 
-sacar un factor de la raíz; 
 
232918
42484832 33333


 
 
-de modo contrario, juntar varios radicales 
en uno solo. 
 3002015  
 
Tercera: 
 
n pnppnpnpn aaaaa   /1)/1(/1 )()()( 
 
Ejemplo: 25)5()5(
44  
 
Cuarta: 
mnmnmnmnm n aaaaa   /1)/1()/1(/1/1 )( 
 
Ejemplos: 
8
63
55
33


 
 
Quinta: 
n
n
n
b
a
b
a
 
Ejemplos: 
288
33
3 5
3
3 5
3
5
33
xxx
xx


 
 
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de 
radicales bajo una sola raíz. 
66 26
3
43
6 3
6 26 3
6
3
1832
32
23
32
43
24
43








 
 
Sexta: · ·
n n na b ab (¡ojo!, raíces de mismo índice) 
Ejemplo: 
3 3 34· 5 20 
 
 
Actividad 2: Calcula, si es posible, las siguientes raíces: 
1) 64 
 
2) 
3 64 
 
3) 
3 512 
 
4) 576 
 
5) 
5 243 
 
6) 
3 8·27·64 
 
7) 49·121·169 
 
8) 5
243
32
 
 
9) 
25
0,01
 
 
10) 0,000729 
 
11) 
4 0,1296 
 
12) 
3 6311·0,001·64·5 
 
3 
 
 
EXTRAER FACTORES DE UNA RAÍZ (FORMA TÍPICA DE UNA RAÍZ) 
En un radical podemos extraer un factor siempre que el exponente del factor sea mayor o igual que el índice 
de la raíz. 
Método para extraer un factor de una raíz 
Se divide el exponente del factor entre el índice de la raíz; el cociente de esta división es el exponente con 
que sale el factor de la raíz y el resto de la división es el exponente con que queda el factor dentro de la raíz. 
Ejemplo: 
2 4 2
3 3
5 2
5· 5·
7 7 7
x x x
 
 No puede salir ningún 5 porque está elevado a 2 y 2 es menor que 3 
 x está elevada a 4; dividiendo 4 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 1 de resto; es decir, saldrá una x 
y se queda otra dentro 
 7 está elevado a 5; dividiendo 5 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 2 de resto; es decir, sale un 7 y 
se quedan 2 dentro 
 
OJO: Sólo se pueden sacar factores (elementos de un producto) de un radical, NUNCA se 
pueden sacar valores afectados por una suma o una resta; por ejemplo: 
 USTED NO LO HAGA: 3 4 27 2 NO SE PUEDE RESOLVER COMO: 3 27 7 2 . 
 
Actividad 3: Extrae los factores de la raíz 
1) 
3 44a 
 
2) 8 
 
3) 12 4) 
3 16 
 
5) 
3 54 
 
6) 
27
4
 
 
7) 
33 8x 
 
8) 
10
5
8
5·x
y
 
 
9) 
2 2 32··xy xy 
 
10) 
6
5
32·
81·
x
y
 
 
11) 
7 8 3· ·x y z 
 
12) 
33 8·
2
a 
 
13)
3
2
3
27··
x
xy
y
 
 
14) 
14 25126· · ·ya b 
 
 
INTRODUCIR UN FACTOR DENTRO DE UNA RAÍZ. 
Para introducir un factor en una raíz habrá que elevarlo al índice de la raíz: 
Ejemplo: 
5
53 555
2·
2· 2· 8
4 4
x x
x x   
 
OJO: Recuerda que estamos hablando de factores, nunca de sumandos. 
 
 
 
4 
Actividad 4: Introduce los factores dentro del radicando: 
1) 7 a 2) 2 3a a 
3) 
3x y xy 
 
4) 
1
x
x
 
 
5) 4
1 27
3 2
 
 
6) 
3 2
2 3
 
 
7) 
2 4 2xy xy 
 
8) 4
2
2
ax
a
 
 
 
REDUCIR RAÍCES A ÍNDICE COMÚN 
Se utiliza para poder multiplicar/dividir raíces que tienen diferente índice: primero se escriben con índice 
común y después se multiplican/dividen las raíces según la propiedad correspondiente. 
1º Calculamos el m.c.m de los índices y ese será el índice común. 
2º Elevamos cada radicando al cociente de dividir el m.c.m calculado en 1º entre el índice de su raíz. 
Ejemplo: Sean 2ab e 3 3b 
1º El m.c.m (2, 3) = 6 
2º 
362 (2 )ab ab 
 
23 63 3b b 
 
Actividad 5: Expresa con índice común las siguientes raíces: 
1) 3 4 ; 4 8 ; 6 32 
2) 3a ; 
4 a ; 5 2x ; 10 3x 
 
3) 3 2n ; 34 n ; 6 5n 
 
4) 
23 5xy ; 36x z ; 
3
6
3
2
xy
z
 
 
5) 
x
y
; 
2
4
x
y
; 5 2
x
y
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON RAÍCES 
Producto/Cociente de raíces: 
1. Raíces con el mismo índice: Para multiplicar/dividir raíces del mismo índice, se aplica directamente la 
propiedad, es decir, el producto (cociente) de dos o más raíces del mismo índice es igual a una raíz que 
tiene el mismo índice que las otras y como radicando el producto (cuociente) de los radicandos. 
Ejemplo: 2 2 2 2 24 23 3 3 33· ·xyxzyxyxzyxzyyxzy  
2. Raíces con distinto índice: Para multiplicar/dividir raíces con distinto índice primero se reducen a índice 
común y después se aplica el caso anterior. 
Ejemplo: 

23 23
23 23 232243932311433 6 666 65·65·65·65656xyxzxyxzxyxzxyxzxyz  
5 
 
Actividad 6: Realiza los siguientes productos y cocientes de raíces: 
a) 
3 12 15
12· · ·
4 5 4
 
 
 
 
b) 35· 6 
 
 
c) 432· 3· 4 
 
 
d) 43
2 2 3
· ·
3 3 2
 
 
 
 
 
e) 318 : 50 
 
 
f) 
2
3
2 3
3
:
xy ab
a b x y
 
 
 
 
 
g) 
2
3
2 4
·
3 9
ab a b
c c
 
 
 
 
 
 
RAÍCES SEMEJANTES 
 
 Dos raíces son semejantes cuando tienen el mismo índice y cantidad subradical. 
Por ejemplo, los radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y la misma 
cantidad subradical, 3. 
 
 8 y 2 son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical. 
 
22222228 223  
 
12 y 75 son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical. 
 
35535375
32323212
2
22


 
 
Adición y sustracción de raíces: 
Sólo podemos sumar raíces de índices iguales, es decir, con el mismo índice y el mismo radicando. 
 
Actividad 6: Resuelve las siguientes operaciones de raíces. 
a) 6 3 4 3 5 3  
 
b) 3 2 3 8 3 18  
 
c) 12 48 27 75   
 
d) 
3
7 54 3 18 24 50 6
5
    
 
 
6 
2
43
³2
43
²22
43
²22
²23
2
3
3
3
3
3
3
33
3
3







e) 
3 2 3
4 12 48 27 75
2 3 5
   
 
 
 
f) 
3 316 54 
 
g) 
1
27
3
 
 
 
h) 
4 6 41 2 2 8 64
2
    
 
 
i) 3 4 2 36x x x  
 
 
RACIONALIZACIÓN 
Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente, pero sin raíces en el denominador. 
 
I. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
En el denominador hay una raíz cuadrada. 
Para “eliminar” la raíz cuadrada del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador 
por la raíz del denominador. 
Ejemplo: 
 
2
3 2 3 2 5 3 10 3 10 3 10
·
2·5 102 5 2 5 5 2 5
    
Actividad 7: Racionaliza 
a) 
5
5
 
 
b) 
2 6
2
 
 
c) 
2 12
5 3
 
 
d) 
3
2
 
 
e) 
2a
ab
 
 
 
 
 
II. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
n a
A
 
Para racionalizar, por ejemplo, la fracción 
3 2
3
 es necesario amplificar por 3 ²2 , por lo cual se 
consigue que el radicandosea 2³ 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
7 
En general, si en el denominador aparece
n ka es necesario amplificar por 
n kna  con el objeto de 
igualar el índice de la raíz con el exponente del radicando. 
 
 
Actividad 8: Racionaliza los denominadores. (En tu cuaderno) 
 
 
1. 
3 5
3
 
2. 
3 35
4
 
3. 
3 a
m
 
4. 
3 2
2
a
x
 
5. 
3 ²
3
m
 
6. 
3
4
ab
ab
 
7. 
4 22
5
m
m
 
 
8. 
4 2
²3
a
a
 
9. 
5 ²
3
x
x
 
10. 
5 ³
2
a
a
 
11. 
5 ²2
3
a
a
 
12. 
6 23
10
 
13. 
3
3
a
a
 
14. 
3 3
32
a
a
 
 
15. 

5 22
21
 
16. 

4 ³
2
a
a
 
17. 

5
2
xy
yx
 
18. 

4 ³³ba
abba
 
19. 

3 5
5
m
m
 
20. 

5 ³xax
ax
 
21. 

4 abb
ba
 
 
 
III. RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA: 
 ba
A
 
 
Si el denominador es un binomio, se amplifica la fracción por su conjugado. Si se trata, por 
ejemplo, de 23  se amplifica por 23  . La idea es formar el producto de la suma por la 
diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue eliminar las 
raíces. 
 
Ejemplo
 
 
       
2333
1
2333
23
2333
²2²3
2333
2323
233
23
3













 
 
Actividad 9: Racionaliza los denominadores 
 
1. 
 25
2
 
2. 
 35
7
 
3. 
 27
10
 
4. 
 57
12
 
5. 
 23
3
 
6. 
 26
2
 
7. 
 211
23
 
 
8. 
 27
25
 
9. 
 310
107
 
10. 
 232
3
 
11. 
 225
9
 
12. 
 3223
3
 
13. 
 325
23
 
14. 
 2372
32
 
 
15. 


23
32
 
16. 


35
51
 
17. 


232
26
 
18. 


3263
13
 
19. 
125
23
 
20. 
133
32
 
 
8 
EJEMPLOS DE OPERACIONES CON RADICALES 
 
SUMA DE RADICALES 
Ejemplo: 373532  
 
Si los radicales no son semejantes, la 
suma se deja indicada. 
 
Ejemplo: 8372  
 
POTENCIA DE RADICALES 
 
Ejemplo: 
31 1 1
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3
3 3
(2 5) (2 5 ) 2 (5 ) 2 5 2 (5 )
2 5 8 125
        
 
 
 
 Es importante observar que al elevar al cuadrado un 
radical de índice 2, se obtiene el radicando. 
aaa  22)( 
Ejemplo: 55)5()5( 2
2
2
1
22  
 
CUOCIENTE DE RADICALES 
Ejemplo: 
5
3
7
8
57:38  
 
 
PRODUCTO DE RADICALES 
Ejemplo: 
2
15
6
2
3
253  
 
 
 
 
TEST 
 
1.  483 
 
a) 5 4 
b) 6 4 
c) 0 
d) -4 
e) 4 
2. 09,0 
 
a) 0,003 
b) 0,018 
c) 0,03 
d) 0,18 
e) 0,3 
3. 6 77  , es equivalente a: 
 
a) 6 7 
b) 6 49 
c) 
6 47 
d) 12 7 
e) 12 49 
 
4. Determina el valor de 
5
515 
 
 
a) 13  
b) 15  
c) 3 
d) 2 
e) 575  
5. El valor de 50382  es: 
 
a) 26 
b) 215 
c) 221 
d) 42 
e) Ninguna de las anteriores 
 
 
6. La expresión 
3
5
3
25
 es igual a 
 
a) 3 
b) 0 
c) 
3
20
 
d) 
3
20
 
e) Ninguna de las anteriores 
7. El valor de 124272  es: 
 
a) 32 
b) 1314 
c) 32 
d) 152 
e) Ninguna de las anteriores 
8. La suma de 2
1
0 167  es igual a: 
 
a) 15 
b) 17 
c) 11 
d) 5 
e) 2
1
5 
 
9 
9. Si 3x , entonces x16 es: 
 
a) 12 
b) 18 
c) 20 
d) 24 
e) 36 
 
10. El producto    yyxx yx  es: 
 
a)   yxxy xy  
b)   yxxy xy  
c)  xyxy 
d) xy 
e) Ninguna de las anteriores 
 
11. Determine cuál(es) de las siguientes afirmaciones 
es(son) siempre VERDADERA(S): 
 
I) Toda raíz inexacta de un número real es irracional. 
II) Todo número real elevado a un exponente par 
resulta siempre un número positivo. 
III ) Toda raíz de índice par y subradical negativo no 
pertenece a los reales. 
 
a) Solo I 
b) Solo II 
c) Solo III 
d) Solo I Y II 
e) Solo II y III 
 
12. Si el volumen de un cubo se calcula como a
3
 
siendo a la arista, determina la longitud de la arista de 
un cubo cuyo volumen es 54u
3
. 
 
a) 3 23 u 
b) 3u 
c) u54 
d) 9u 
e) 18u 
 
13.   ¿?82 x 
 
a) 
23x 
b) 
10x 
c) x
2
 
d) x
4
 
e) x
16 
 
14. Si 16x entonces  xxx 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 22 
e) 62  
 
15. 
432 cba = 
 
a) babc
2
 
b) bbca
22
 
c) cabc 
d) 
2abc 
e) cabc
2
 
 
16. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) 
igual(es) a  2
1
ax ? 
I) 
x
a
x 
 
II) xa  III) 3
1
ax
x
 
 
a) Solo I 
b) Solo II 
c) Solo I Y II 
d) Solo I y III 
e) I, II y III 
 
17. Si a = 3, b = 4, entonces el valor de 
22 ab  
es: 
a) 1 
b) 5 
c) 7 
d) 7 
e) -7 
18. La expresión es equivalente a: 
 
a) 
b) 
c) -1 
d) 
e) a