Inflacion

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Facultad de Astronomía y Astrofísica 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
 
 
 
 
Santiago 28 de Junio del 2006 
 
 
 
 
 
 
INFLACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilar Lapuente Fuentes 
Curso de Cosmología 
 
 
 
 
 
 
Introducción 
 
 La cosmología inflacionaria [1] se ha convertido en piedra angular de la cosmología 
moderna. La Inflación fue la primera teoría en la que se pudo hacer predicciones sobre la 
estructura del Universo a gran escala basada en la física causal. 
 El objetivo de este trabajo es dar una idea general e introductoria de la cosmología 
inflacionaria, partiendo por las carencias de la teoría estándar del big bang, llegando a una 
teoría que resuelve muchos de esos problemas. 
 
 
1. Cosmología estándar 
 
La cosmología estándar se basa en el principio cosmológico [2], que consiste en que el 
universo es homogéneo e isotrópico. Entonces la métrica toma la forma de Friedmann-
Robertson-Walker (FRW). 
 
�
�
�
�
�
�
++
−
+−== )sin(
1
)( 2222
2
2
222 φθθ
κ
νµ
µν ddr
r
dr
tadtdxdxgds (1.1) 
 
Donde a(t) es el factor de escala con t el tiempo cosmológico y � la curvatura espacial. 
 La evolución del universo depende del material que lo compone [3]. Ejemplos típicos 
son: 
p = �/3 (radiación) 
p = 0 (materia o polvo) 
 
La dinámica por otra parte se conoce sabiendo las ecuaciones de Einstein: 
 
µνµνµνµνµν π gGTRgRG Λ−=−≡ 82
1 (1.2) 
 
 Si consideramos una métrica sin constante cosmológica, las ecuaciones de Einstein 
quedan: 
 
22
2
3
8
am
H
Pl
κρπ −= (1.3) 
0)(3 =++ pH ρρ& (1.4) 
 
Estas son las llamadas ecuaciones de fluidos de Friedmann. Donde aaH /&≡ es la tasa de 
expansión de Hubble y ( ) 2/15
G
cmPl
η= . Combinando estas relaciones y considerando �=c=1 
se obtiene: 
 
)3(
3
4
2 p
ma
a
Pl
+−= ρπ&
 (1.5) 
 
La ecuación (1.3) puede ser rescrita de la siguiente forma: 
 
2221
aHa &
κκ ==−Ω (1.6) 
 
Donde � = �/�c Con �c = 3H2mpl
2/(8�). 
 Cuando la geometría espacial es plana (� = 0). La solución de las ecuaciones (1.3) y 
(1.4) son: 
 
Domina radiación: a � t1/2, � � a-4 (1.7) 
Domina materia: a � t2/3, � � a-3 (1.8) 
 
En estos casos simples, el universo se expande desaceleradamente (ä < 0). 
 
 
2. Defectos de la cosmología estándar 
 
La teoría del Big-Bang provee una gran certeza de los acontecimientos del universo 
desde un tiempo de 10-2 segundos hasta hoy. No tiene competencia en este sentido, pero sí 
carencias que se mencionarán a continuación. 
 
2.1. Problema del Horizonte, homogeneidad a gran escala 
 
¿Por qué el espacio es tan homogéneo e isotrópico? Si todo el universo observable 
hubiese estado en contacto causal cuando ocurrió el último scattering de radiación, entonces 
se podría pensar que los procesos físicos hubiesen suavizado cualquier fluctuación de 
temperatura por supuesto dando origen a un fondo de radiación con una temperatura única. Sin 
embargo esto no pudo haber ocurrido debido al horizonte de las partículas. 
La cosmología estándar se caracteriza por una expansión del parámetro de escala a(t) � t p, 
(0<p<1) por lo que la longitud de onda física cumple a� � t p, pero sabemos que el radio de 
Hubble evoluciona como H-1 � t. Con esto, la longitud de onda física (a�) se hace mucho más 
pequeña que el radio de Hubble en algún tiempo [3]. Así como veremos a continuación, en el 
desacople ya no quedarían fotones conectados causalmente a estas escalas. 
Si definimos el horizonte de partículas como DH(t) = a(t)dH(t), donde dH(t) (~ct) es la 
distancia comóvil; comparamos lo que ocurre cuando observamos fotones en el CMB, emitidos 
en el tiempo de desacople, con la distancia comóvil actual del universo. Se estima que: 
 
dH(tdesacople)/ dH(t0) = (tdesacople / t0)� � (105/1010) � � 10-2 (2.1) 
 
 Por lo tanto dH(tdesacople) « dH(t0), lo que quiere decir que las regiones causales de los 
fotones son muy pequeñas. De hecho, la superficie de último scattering abarca sólo 1º en el 
cielo. 
Hoy vemos una temperatura única del fondo de radicación cósmica de microondas (CMB) 
de aproximadamente 2.73 K sin embargo en la época de recombinación, el volumen de Hubble 
era 105 veces mayor que las regiones desconectadas causalmente por lo que no se explica tal 
homogeneidad. 
 
2.2. Inhomogeneidad a pequeña escala 
 
El satélite COBE observó anisotropías en la superficie de último scattering cuya amplitud 
es muy pequeña, casi invariante: <10-4. Es prácticamente imposible generar estas fluctuaciones 
entre el big bang y el tiempo del último scattering con argumentos de la cosmología estándar. 
Por otra parte a pequeñas escalas observamos organizaciones de estructuras con densidades 
de hasta 1014M� en ~ 100Mpc. ¿Pero cómo ocurrió esto?. 
Cuando el universo se volvió dominado por la materia, pequeñas inhomogeneidades de 
densidad primordiales (I.D.P.) crecieron por inestabilidad de Jeans dando origen a las macro 
estructuras que observamos hoy. Esto no se explica con la teoría estándar del big bang, 
básicamente por el problema del horizonte de partículas, entonces... ¿cuál es el motivo de 
estas I.D.P.? 
 
2.3. Planitud 
 
Si ignoramos la constante cosmológica en las ecuaciones de Friedmann, entonces se 
tiene 
 
 �� -1� = ���/ (a2H2) (2.3.1) 
 
Como vimos a2H2 está decreciendo (ä<0) y � se aleja de 1 con la expansión lo que 
contradice las siguientes observaciones: hoy el radio de curvatura del universo ~ H0
-1 y �0 ~ �c 
[4]. Por ejemplo: 
era radiación (� � a -4) => �� -1� � t (2.3.2) 
era materia (� � a -3) => �� -1� � t2/3 (2.3.3) 
 
Como sabemos, hoy � es del orden de 1 por lo tanto en el pasado debe haber sido 
mucho más cercano a 1 debido a que es un punto crítico inestable. Esto implica que � (t = 10-43 
s) � 1 y que el radio de curvatura en el tiempo de Planck era 1030 veces mayor que el radio de 
Hubble. Si esto hubiese ocurrido, el universo hubiera re-colapsado mucho antes del primer 
segundo (� > 0) o alcanzado la temperatura de 3 K (� < 0). Sin embargo el universo ha 
sobrevivido 1060 tiempos de Planck sin haber re-colapsado o convertido en dominado por la 
curvatura. 
 
2.4. Reliquias 
 
 Hay muchas partículas (llamemos X) súper masivas, súper estables que se pudieron 
haber formado en el Universo Temprano (E.U.) y haber sobrevivido la aniquilación (hoy: �x»1) 
[4]. 
El problema es que cualquier especie con estas características hubiese dominado rápidamente 
el universo debido a que su densidad de energía decrece como materia (� a-3), ganándole así a 
la radiación (� a-4). 
En el universo actual no estamos dominados por una especie de súper partícula, sin 
embargo la cosmología estándar no se puede deshacer de estas reliquias indeseadas. 
 
2.5. Constante cosmológica 
 
 La solución a la energía del vacío es que la expansión acelera, y la energía total crece 
exponencialmente. Lo que teóricamente se predice es que �vacío � mPl
4, pero en realidad se 
observa una diferencia de 122 órdenes de magnitud con la prevista por la física de partículas 
[4]. 
 A. Einstein introdujo la constante cosmológica (C.C.) �� como una fuerza repulsiva que 
contrastara la gravedad para que el universo estuviese estático. Sabemos que esto no sucede, 
el universo se está expandiendo por lo que la contribución de la constante no es necesaria para 
esos fines. Por otra parte, en 1996 se descubre que el universo se está expandiendo 
aceleradamente con lo que renace la idea de una C.C. 
 Siguiendo con la idea anterior, la única explicación para la diferencia de órdenes de 
magnitud mencionada sería que la C.C. esté decreciendo, pero esto es imposible pues hubiese 
necesitado mucho más que 14 MGyr (la edad actual del universo) para lograrlo. 
 
 
3. Idea básica de la Inflación 
 
 El problema en la cosmología del big bang es que el universo siempre exhibe una 
expansión desacelerada. Lo que promueve la Inflación es que en una etapatemprana del 
universo, la energía del vacío dominó la densidad de energía total por lo que el factor de escala 
creció exponencialmente [3]. 
 Asumamos entonces la existencia de un estado en el E.U. con una expansión 
acelerada, i.e., ä > 0. Lo que corresponde a: 
 
� + 3p < 0 (3.1) 
 
Esta condición esencialmente quiere decir que )( aHa =& crece durante la inflación y entonces 
el radio comóvil de Hubble (aH)-1 decrece en esta etapa. Con esto, regiones suaves 
conectadas causalmente pudieron crecer y separarse hasta llegar a un volumen comóvil que se 
convirtió en el universo que observamos hoy. 
 
3.1. Dinámica de la Inflación 
 
 En teoría de partículas los campos escalares (C.E.) son de gran importancia. 
Consideremos un C.E. φ , llamado inflatón, cuya energía potencial conlleva a una expansión 
exponencial del universo [3]. La densidad de energía y presión se pueden describir 
respectivamente como: 
 
� = ½ 2φ&+ V(φ ) , p = ½ 2φ&- V(φ ) (3.1.1) 
 
donde V(φ ) es el potencial del inflatón. Sustituyendo en las ecuaciones (1.3) y (1.4) resulta: 
 
[ ])(½
3
8 2
2
2 φφπ
V
m
H
Pl
+= & (3.1.2) 
0)(3 =′++ φφφ VH &&& (3.1.3) 
 
donde 	2 
 8�G = 8� / mPl
2, y se despreció el término de curvatura K2a2 en la ecuación (3.1.2) 
Durante la inflación, la relación (3.1) implica que [ ])(2 φφ V<& , lo que indica que la 
energía potencial domina a la cinética. Por esto, un potencial plano se requiere para dirigir la 
suficiente cantidad de inflación. 
Las cosas en el E.U. cambian muy rápidamente. Para una escala de 1014 GeV, la 
escala de tiempo de expansión es de 10-34 s por lo tanto la longitud del tiempo requerido para 
la transición de fase se hace comparable con la edad del universo lo que conlleva a un 
rompimiento de simetría. 
La forma esquemática del potencial inflacionario es el dado en la figura 1. En este 
diagrama se ven las etapas de este potencial partiendo por a) penetración de la barrera (etapa 
que no se sabe con certeza si es necesaria), b) slow roll (lento desliz en inglés) y c) oscilación 
alrededor del mínimo de potencial [4]. El proceso de slow roll ocurre clásicamente. ¿Pero 
cuánto se demora en rodar hasta el mínimo de potencial? Como el potencial es lo 
suficientemente plano, este tiempo puede ser bastante largo comparado con la escala de 
tiempo de expansión, esto es: H�t » 1. Durante el tiempo en que φ evoluciona hasta �, el 
universo es dotado de una enorme energía del vacío. Cuando esta energía domina la densidad 
total del universo, comienza la expansión exponencial: 
 
a(t) � eHt (3.1.4) 
 
Es en esta fase que el factor de escala crece 1043 veces usando M ~ 1014 Gev, por lo 
que el tiempo de rodar (10-32 s) es bastante más que 10-34 s, que corresponde a la escala de 
tiempo del universo (de ahí el nombre de “lento”). 
Finalmente, si imponemos las condiciones de slow roll: )( «½ 2 φφ V& y φφ &&& H3 « , 
entonces las ecuaciones (3.1.2) y (3.1.3) se aproximan a: 
 
[ ])(
3
8
2
2 φπ
V
m
H
Pl
≈ (3.1.5) 
)(3 φφ VH ′−≈& (3.1.6) 
 
Para resolver el problema de planitud � debe ser ��f-1� < 10-60 justo después de la 
inflación. Mientras que el radio �� -1� entre la fase de inflación inicial y la final está dada por: 
 
��f -1� / ��i -1� � (ai / af)
2 = e-2N (3.1.7) 
 
Asumiendo que ��i -1� es del orden de la unidad, el número de exponentes de e (e-folding en 
inglés), que describe la cantidad de inflación requerido es de N > 70 para resolver el problema 
de planitud [3]. Se requieren aproximadamente el mismo número de e-foldings para resolver el 
problema del horizonte de partículas. 
 
3.2. Modelos de Inflación 
 
 Hasta el momento no se ha mencionado la forma del potencial del inflatón )(φV . Hay 
ahora nuevas variedades de modelos inflacionarios que a grandes rasgos se subdividen en tres 
grandes grupos como veremos a continuación. 
 
3.2.1. Modelos de campo largo: Tipo I 
 
 El valor inicial del inflatón es grande y rueda cuesta abajo hacia el mínimo de potencial 
a menores φ . En este modelo la segunda derivada del potencial V(2)(φ ) toma valores positivos 
usualmente. 
 Un ejemplo del tipo I es la Inflación caótica. Este modelo se describe por un potencial 
del inflatón cuadrático o cuártico 
 
22½m)( φφ =V , ó 4½)( λφφ =V (3.2.1.1) 
 
El término caótico quiere decir que las condiciones iniciales del inflatón se distribuyen 
caóticamente. Según esto, la región que alcanza suficiente cantidad de inflación da origen a 
nuestro universo. 
 Si observamos el potencial cuadrático, las ecuaciones (3.1.5) y (3.1.6) quedan: 
 
H2 � 4�m2 2φ / (3mPl
2 ) (3.2.1.2) 
3Hφ&+ m2φ = 0 (3.2.1.3) 
 
Combinando estos resultados da la siguiente relación: φ � iφ – mmPlt / (2 π3 ) Por lo tanto: 
 
a � ai exp [ ( 2 3/π � m/mPl ( iφ t – mmPlt
2 / (4 π3 ) ) ] (3.2.1.4) 
 
Encontramos de esta relación que el universo se expande exponencialmente durante las 
primeras etapas de la inflación. La tasa de expansión disminuye con el segundo término del 
paréntesis cuadrado. El período inflacionario termina así cerca de 
φ 
� mPl/2 π , luego el 
sistema entra en una etapa de re-calentamiento. Para guiar suficiente inflación N > 70, se 
requiere que el valor inicial sea iφ > 3mPl y m (la masa del inflatón) � 10-6 mPl. En el caso de un 
potencial cuártico, el auto-acoplamiento se restringe a � � 10-13 
En la figura 2. se ilustra el modelo de potencial de inflación caótica [3]. 
 
3.2.2. Modelos de campo pequeño: Tipo II 
 
 El campo del inflatón es chico inicialmente y evoluciona lentamente hacia el mínimo de 
potencial a medida que crece φ . El valor de V(2)(φ ) puede cambiar de signo. 
 El ejemplo típico de este tipo de modelo es el de Inflación Natural, caracterizado por 
bosones pseudo Nambu-Golstone (PNGBs) que aparecen cuando una simetría global es rota 
espontáneamente. El potencial PNGB se expresa de la siguiente forma: 
 
V(φ ) = m4 [1+cos(φ / f)] (3.2.2.1) 
 
Donde m y f caracterizan el alto y ancho del potencial, respectivamente. 
 Consideremos el caso donde el inflatón se localiza inicialmente en la región 0< φ < �f, 
y la inflación ocurre mientras el inflatón evoluciona lentamente hacia el mínimo de potencial a 
φ = �f. La inflación comienza desde el régimen donde φ es cercano a cero. El sistema entra 
en un estado de re-calentamiento cuando el inflatón comienza a oscilar alrededor de φ = �f. 
 Para obtener una suficiente cantidad de inflación, o sea e-foldings que satisfagan N > 
70, el valor inicial del inflatón debe ser φ (ti) < 0.1mPl para la escala de masa f ~ mPl 
 En la figura 3. se ilustra esquemáticamente este potencial [3]. 
 
3.2.3. Modelo híbrido (doble) de inflación: Tipo III 
 
 En este modelo, la inflación generalmente termina por la transición de fase que ocurre 
debido a la presencia de segundos campos escalares (o por la segunda fase de inflación luego 
de la transición de fase). 
 Consideremos el modelo inflacionario híbrido de Linde [7] descrito por: 
 
V = ¼ � (	2 – M2/�)2 + ½ g2 φ 2 	2 + ½ m2 φ 2 (3.2.3.1) 
 
Cuando φ 2 es grande, el campo tiende a rodar cuesta abajo hacia el mínimo de potencial en 
	=0. En este caso, el potencial es descrito de manera efectiva por un único campo 
 
V � ¼ M4/� + ½ m2 φ 2 (3.2.3.2) 
 
En la presencia de una campo 	 la masa del campo se hace negativa para φ < φ crit 
 M/g. 
Entonces el campo comienza a rodar hacia abajo hacia un mínimo en φ = 0 y 	 = + M/��. Ver 
figura 4 [3]. 
 Si la condición M2 » �mp
2 se satisface, entonces la masa del campo 	 es liviana en 
comparación con la tasa de Hubble alrededor de φ = φ crit conllevando a un segundo estado de 
inflación para φ < φ crit. 
 
 
4. Recalentamiento 
 
En cualquiera de los escenarios mencionados arriba, luego de la inflación el universo 
entra en una etapa de re calentamiento, durante la cual la energía potencial del inflatónes 
transferida a la radiación y con ello el universo de termaliza [3]. 
Una característica crucial de la Inflación es la producción masiva de entropía, que 
ocurre durante el proceso de re calentamiento. En este período aumenta 10130 veces su 
cantidad inicial [4]. 
 
 
5. Conclusiones 
 
 La enorme cantidad del incremento de entropía resuelve 3 de los problemas de la 
cosmología estándar. 
 
5.1. Horizonte de partículas y Homogeneidad 
 
 La inflación consigue que la luz viaje mucho más lejos antes del desacople que 
después debido a que en la expansión exponencial, el universo aumenta e70 veces su tamaño. 
Con esto la longitud de onda física crece más rápido que el radio de Hubble (primer cruce del 
horizonte) y se soluciona el problema del Horizonte [7]. 
 Las fluctuaciones que durante la inflación eran perturbaciones cuánticas muy pequeñas 
se pueden describir como clásicas. Una vez finalizada la etapa inflacionaria, la evolución del 
universo sigue el modelo estándar y el radio comóvil de Hubble comienza a crecer. Con esto 
las perturbaciones cruzan el radio de Hubble nuevamente, en lo que se denomina segundo 
cruzamiento. Es por esta razón que las pequeñas fluctuaciones impresas durante la inflación 
aparecen como perturbaciones de gran escala luego de este cruce. Ver figura 5. 
 Esta física causal puede explicar ahora perfectamente por qué la radiación del CMB es 
tan homogénea a gran escala y termalizada a cerca de 2,73 K sin prácticamente fluctuaciones. 
 
5.2. Planitud 
 
 La inflación fuerza que � –› 1 (que es lo que se observa) en vez de que se aleje de ese 
valor, ya que a2H2 crece con la inflación. Sin embargo esperaríamos que �� -1� posteriormente 
creciera con la evolución (expansión) del universo y nos sacara de la planitud nuevamente. 
Pero aun así, si durante la inflación � se acercó a 1 con un margen de error de 10-60 (como lo 
predice la teoría), entonces � se mantendría muy cercana a 1 incluso en la actualidad. 
 
5.3. Reliquias 
 
 Cualquier reliquia creada antes de la inflación decrece su abundancia 
exponencialmente a la misma escala que la entropía crece. Cabe destacar que esto sólo se 
logra si durante el recalentamiento la temperatura nunca sube lo suficiente como para reformar 
estas reliquias. Aquel éxito permite volver al modelo estándar de big bang y recobrar así sus 
aciertos como Nucleosíntesis y CMB. 
 
 Con respecto a los otros puntos, la teoría inflacionaria todavía no logra esclarecer las 
interrogantes sobre constante cosmológica. Por supuesto queda mucho por hacer todavía para 
llegar a un modelo definitivo que sea compatible con la física de partículas, etc. 
 
 
6. Apéndice 
 
En esta sección se mostrarán las formas de los distintos modelos de potencial 
inflacionario y otras figuras. 
 
 
 
Figura 1. Forma del potencial inflacionario. Se muestran las etapas a) penetración 
de la barrera, b) slow roll y c) oscilación alrededor del mínimo de potencial. 
 
 
 
Figura 2. Ilustración esquemática del modelo de potencial de inflación caótica. 
Este pertenece al Tipo I, de largo campo. 
 
 
 
Figura 3. Esquema del potencial del modelo de Inflación Natural. Este pertenece 
a la clase de modelos de campo pequeño. 
 
 
 
 
 
Figura 4. Esquema del potencial del modelo de inflación doble. Este modelo es 
caracterizado por múltiples campos escalares. 
 
 
 
 
 
Figura 5. Resolviendo el problema de Horizontes. Inicialmente la longitud de Hubble es 
grande, y se forma un patrón suave por interacciones causales. La inflación entonces encoge el 
radio de Hubble, e incluso la subsiguiente expansión luego de la inflación deja el universo 
observable dentro del patrón suavizado. [5] 
 
 
 
7. Bibliografía 
 
[1] A. Guth, Phys. Rev D23, 347 (1981) 
[2] A. R. Liddle and D. H. Lyth, Cosmological inflation and large-scale structure, Cambridge 
University Press (2000) 
[3] S. Tsujikawa, Introductory review of Cosmic Inflation, University of Tokyo, hep-ph (2003) 
[4] Kolb & turner, chapter 8, Inflation, page 271-275. 
[5] A. Liddle et al., An Introduction to Cosmological Inflation, University of Sessex, Astrophysical 
Journal (1999) 
[6] R. H. Brandenberger, A status review of Inflationary Cosmology, Brown University, hep-ph 
(2001) 
[7] A. D. Linde, Phys. Rev. D49, 748 (1994); E. J. Copeland, A. R. Liddle, D. H. Lyth, E. D. 
Stewart, and D. Wands, Phys Rev. D49, 6410 (1994)