Inflação do Universo

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FACULTAD DE CIENCIAS 
GRADO EN FÍSICA 
TRABAJO FIN DE GRADO 
CURSO ACADÉMICO [2021-2022] 
 
 
 
TÍTULO: 
INFLACIÓN DEL UNIVERSO 
 
 
AUTOR: 
DANIEL MARTÍNEZ GIL 
2 Trabajo de fin de grado
Resumen
En este trabajo se expondrán los principales problemas del modelo estándar de la
cosmología y cómo la hipótesis de una etapa de expansión exponencial, la inflación, pro-
puesta por Alan Guth en 1980, resuelve estos problemas. Se presentarán las ecuaciones de
Friedmann, junto con las ecuaciones de evolución del campo inflacionario, describiendo las
características necesarias para que la evolución del Universo en esta etapa sea compatible
con las observaciones actuales y definiendo también la etapa inmediatamente posterior a
la inflación. Las ecuaciones anteriores se resolverán numéricamente para el potencial in-
flacionario más prometedor hasta la fecha. Se aborda también la relación entre la inflación
y las anisotropías de la radiación de fondo de microondas, describiendo matemáticamente
las fluctuaciones primordiales del universo y su evolución durante la etapa inflacionaria.
Daniel Martínez Gil 3
Abstract
In this work the main problems of the standard model of cosmology will be exposed and
how the hypothesis of an exponential expansion stage, inflation, proposed by Alan Guth
in 1980, solves these problems. The Friedmann equations will be presented, together with
the inflationary field evolution equations, describing the necessary characteristics for the
evolution of the Universe at this stage to be compatible with current observations and also
defining the stage immediately after inflation. The above equations will be solved numeri-
cally for the most promising inflation potential to date. The relationship between inflation
and microwave background radiation anisotropies is also studied, describing mathemati-
cally the primordial fluctuations of the Universe and its evolution during the inflationary
stage.
4 Trabajo de fin de grado
Índice
1. Introducción 6
2. Métrica del Universo a gran escala 7
3. Modelos de Universo 11
3.1. Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Problemas de los modelos 18
4.1. Problema del horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Problema de la planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Solución 21
5.1. Solución al problema del horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2. Solución al problema de la planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6. Inflación 23
7. Campo escalar 24
8. Inflación Slow-Roll 26
9. Recalentamiento 29
10.Fluctuaciones cuánticas del campo escalar 31
10.1. Perturbación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.2. Descomposición SVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.Perturbaciones de la métrica 34
11.1. Elección de gauge e invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.Estadísticas de las perturbaciones cosmológicas 37
Daniel Martínez Gil 5
12.1. Fluctuaciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
12.2. Fluctuaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13.Obtención del ratio tensor-escalar 40
13.1. Modelo simplificado de perturbaciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . 41
13.2. Modelo de Mukhanov-Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
13.3. Perturbaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
14.Observaciones del CMB 46
15.Inflación de Starobinsky 47
16.Alternativas a la Inflación 49
17.Futuras mediciones 50
18.Conclusiones 51
A. APENDICE: Obtención ecuaciones de Friedmann 52
6 Trabajo de fin de grado
1. Introducción
Desde los orígenes de la razón, la humanidad miraba al cielo preguntándose: ¿qué hay
más allá?.
El primer registro sobre dichos pensamientos data en el siglo VI a.C., donde Tales de
Mileto 1 intentó dar razón a la estructura y formación del Universo. Él afirmaba que el
agua es el principio originario del complejo tejido cósmico.
Ningún hallazgo relevante en este campo2 se realizó hasta el siglo XVI, cuando Nicolás
Copérnico expuso su modelo heliocétrico del Universo, posteriormente apoyado por Galileo
Galilei y Johannes Keppler. Pocos años después, la teoría de la gravedad de Isaac Newton
ayudaría a hacer cálculos más precisos y a entender mejor el mundo que les rodeaba.
El término ‘cosmología’ fue introducido por primera vez por el filósofo Christian Wolff,
con la hipótesis de que las estrellas de la Vía Láctea pertenecen a un sistema estelar con
forma de disco.
La teoría que finalmente se adueñó de este campo de la física fue la Relatividad Ge-
neral, propuesta por Albert Einstein en 1915 y 1916. Dicha teoría dicta que la propia
geometría del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia de materia y energía. Esta
revolucionaria idea motivó a grandes físicos y matemáticos de la época. En específico, Ale-
xander Friedmann halló en 1922 un conjunto de ecuaciones que describen la expansión del
Universo, y Edwin Hubble demostró en 1929 la existencia de una relación prácticamente
lineal entre la velocidad de recesión de las galaxias y su distancia aparente (prueba de la
expansión del Universo).
Con esta serie de descubrimientos en nuestro poder, se empezó a intentar averiguar el
posible origen y final del Universo. El final podía ser una expansión eterna, o el conocido
Big Crunch3, en el que el universo empieza a encogerse hasta llegar a una singularidad.
Por otro lado, averiguar el origen del Universo es un verdadero rompecabezas, y campo de
estudio de la cosmología actual. Es lógico pensar que si el Universo está en expansión, hubo
un momento en el que todo estaba comprimido en un solo punto, un punto de densidad
y energía infinitos, una singularidad espacio-temporal a partir de la cual comenzó la
expansión. Esta es la denominada teoría del Big Bang.
1Fue un filósofo, matemático y físico de la antigua Grecia
2Es necesario puntualizar que esta afirmación es algo pretenciosa, ya que en 2000 años de historia
hubo hallazgos realmente importantes, pero se exponen los más relevantes para llegar a la Cosmología
moderna.
3La teoría del Big Crunch se desechó con el descubrimiento en 1998 de que el Universo se expande
aceleradamente.
Daniel Martínez Gil 7
Aun teniendo una teoría que parecía tan prometedora, muchos problemas estaban sin
resolver 4, por lo que, en 1981, Alan Guth propuso la teoría de la Inflación Cósmica [17],
la cual se estudiará durante este trabajo.
2. Métrica del Universo a gran escala
Para la obtención la métrica del Universo a gran escala se ha de tener en cuenta dos
enunciados fundamentales en la cosmología:
Principio Cosmológico: En cualquier momento, el Universo es homogéneo e isótropo
a muy grandes escalas.
Postulado de Weyl: La materia a escalas cosmológicas se comporta como un flui-
do perfecto, cuyas componentes se mueven a lo largo de geodésicas temporales, que no
intersectan, salvo posiblemente en un punto del pasado.
Con el Postulado de Weyl (dicta que las geodésicas son ortogonales a hipersuperficies
de tipo espacial, que son las superficies de simultaneidad t = cte con respecto al tiempo
cosmológico t) y el Principio Cosmológico (expone que las superficies anteriormente men-
cionadas han de ser maximalmente simétricas) podemos determinar casi por completo la
métrica del espacio-tiempo.
Partiendo de las ideas mencionadas anteriormente se puede crear un Ansatz para la
métrica del espacio-tiempo que buscamos, de la forma
ds2 = dt2 − S2(t)g̃ij(x)dx
idxj, (1)
donde g̃ij es la métrica de las secciones espaciales tridimensionales con curvatura constante
(es la métrica más general de un universo homogéneo e isótropo). Estamétrica incluye la
de R3. La función S2(t) es el factor de escala, que mide la expansión o contracción de las
secciones espaciales del universo.
El tensor de Riemann para la métrica anterior puede escribirse como
R̃ijkl = K (g̃ilg̃jk − g̃ikg̃jl) , (2)
donde K es una constante con dimensiones de L−2, relacionada con el radio de curvatura
(su signo nos indica si la curvatura es positiva, negativa o nula).
El tensor de Ricci adopta entonces la siguiente forma
4Estos problemas estaban sobre todo relacionados con las condiciones iniciales del Universo.
8 Trabajo de fin de grado
R̃ik = −2Kg̃ik. (3)
La isotropía del espacio implica una simetría esférica, por lo que nuestra métrica puede
escribirse como
ds2 = f(r̄)dr̄2 + r̄2(dθ2 + sin2 θdϕ2), (4)
donde θ y ϕ son las coordenadas angulares y r es la coordenada radial. Podemos escribir
un Ansatz de la métrica anterior, suponiendo la forma de la función f(r), resultando
ds2 = e2B(r̄)dr̄2 + r̄2(dθ2 + sin2 θdϕ2). (5)
Ahora debemos obtener la función B(r). La forma natural de obtener esta función
sería sustituir el Ansatz anterior en la Ec. (2), pero resulta más sencillo sustituir en la Ec.
(3). Podemos hacer esta sustitución en el tensor de Ricci porque nos encontramos en un
espacio tridimensional, por lo que, tanto el tensor de Ricci como el de Riemann tienen 6
grados de libertad. Esto provoca que ambos proporcionen la misma información.
Para obtenerB(r) primero hemos de encontrar los símbolos de Christoffel. La expresión
general de estos símbolos es la siguiente
Γρ
µν =
1
2
gρλ (∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν) . (6)
Por lo que podemos calcularlos para el Ansatz (5). Los símbolos de Christoffel no nulos
son los siguientes
Γr̄
r̄r̄ = B′, Γr̄
θθ = −r̄e−2B,
Γr̄
ϕϕ = −r̄ sin2 θe−2B, Γθ
r̄θ = Γϕ
r̄ϕ =
1
r̄
,
Γθ
ϕϕ = − sin θ cos θ, Γϕ
θϕ = coth θ,
donde el símbolo ‘prima’ (’) denota la derivada respecto a r. El siguiente paso es calcular
las componentes no-triviales del tensor de Ricci. Para ello usaremos su expresión general
Rµν = ∂µΓ
λ
λν − ∂λΓ
λ
µν + Γλ
µσΓ
σ
λν − Γλ
µνΓ
σ
σλ. (7)
Daniel Martínez Gil 9
Y sustituiremos los símbolos de Christoffel anteriormente calculados, resultando
Rr̄r̄ = −2B′
r̄
,
Rθθ = −1 + e−2B − r̄B′e−2B,
Rϕϕ = sin2 θRθθ.
Mirando la Ec. (3) podemos obtener dos igualdades
B′
r̄
= Ke2B, −e−2B (1− r̄B′) + 1 = 2Kr̄2,
que tienen como solución
e2B =
1
1−Kr̄2
. (8)
Por lo que ya hemos obtenido el valor que queríamos. Ahora hemos de sustituir el
valor anterior en la Ec. (5), quedando
ds2 =
1
1−Kr̄2
dr̄2 + r̄2(dθ2 + sin2 θdϕ2), (9)
que es la parte espacial de la métrica de Friedmann-Robertson-Walker(FRW). Por como-
didad, es conveniente sacar un factor común |K|−1. Sabiendo que la coordenada radial
podemos escribirla como r̄ = r√
|K|
, la parte espacial de la métrica FRW resulta de la
siguiente forma
ds2 = |K|−1
[
1
1− kr2
dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)
]
si K ̸= 0,
ds2 = dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2), si K = 0,
donde k = K
|K| , que dependiendo de si vale -1,0,1, la curvatura del Universo será nega-
tiva, nula o positiva respectivamente. Ahora simplemente hemos de comparar la métrica
anterior con el Ansatz (1), resultando
10 Trabajo de fin de grado
ds2 = dt2 − a2(t)
[
1
1− kr2
dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)
]
, (10)
donde hemos definido un nuevo factor de escala a(t), que puede escribirse como
a(t) = |K|−
1
2S(t) si K ̸= 0,
a(t) = S(t) si K = 0.
La métrica (10) se llama métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW). Durante
este proceso hemos tenido en cuenta la condición c = 1, pero durante el proceso poste-
rior desharemos esa condición, ya que queremos obtener las denominadas ‘ecuaciones de
Friedmann’ de forma general. Por lo que se puede escribir la métrica FRW finalmente
como
ds2 = c2dt2 − a2(t)
[
1
1− kr2
dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)
]
. (11)
Las ecuaciones de Friedmann son un sistema de ecuaciones diferenciales cuyo paráme-
tro a resolver es el factor de escala ‘a’, por lo que, al resolver dichas ecuaciones, se puede
saber la evolución de modelos de Universo. Para obtenerlas se parte de las ecuaciones de
campo de Einstein, que se expresan como
Rµν −
1
2
Rgµν + Λgµν =
8πG
c4
Tµν , (12)
y mediante un cálculo exhaustivo hecho en el Apéndice (A), se llega a las ecuaciones de
Friedmann, que resultan ser de la siguiente manera
3
ȧ2
a2
+ 3
k c2
a2
− Λc2 = 8 π G ρ, (13a)
−2
ä
a
− ȧ2
a2
− k c2
a2
+ Λ c2 =
8 π G P
c2
. (13b)
A la Ec. (13a) se le suele llamar ecuación de Friedmann, y a la Ec. (13b), ecuación de
evolución.
Por lo que la evolución de un universo depende de su densidad de energía ρ y de
la presión P . Pero estos dos parámetros cambian a su vez con la evolución del universo
Daniel Martínez Gil 11
(dependen del factor de escala), por lo que es conveniente añadir una relación entre el
factor de escala a(t), la densidad de energía y la presión.
Dicha información se puede deducir de las ecuaciones de Friedmann (13a) y (13b) y
refleja la ley de la conservación de la energía, que se puede escribir de forma compacta
con el tensor energía momento de la siguiente manera
∇µT
µν = 0. (14)
La ecuación es de carácter tensorial, pero únicamente la componente temporal nos
proporciona la relación deseada, que es la siguiente
ρ̇+ 3
ȧ
a
(ρ+ P ) = 0. (15)
Esta última ecuación podemos reescribirla, llegando a la ecuación
d
dt
[
a3ρ
]
= −P d
dt
[
a3
]
, (16)
la cual usaremos en desarrollos posteriores. Como apunte, nos podemos dar cuenta de que
la expresión anterior es igual que la una conocida ley de la termodinámica dE = −PdV
para procesos adiabáticos.
Teniendo estas herramientas, podemos empezar con el estudio de tipos de universo y
su evolución.
3. Modelos de Universo
Los diferentes modelos de universo que se expondrán en esta sección vendrán carac-
terizados por su densidad de materia, presión y constante cosmológica, ya que son los
términos que podemos variar en las ecuaciones de Friedmann (13a) y (13b). En cada
modelo empezaremos definiendo unas condiciones, posteriormente realizándose el cálculo
para la obtención del factor de escala ‘a(t)’, para finalmente graficarlo. Dichos modelos
estarán dentro del llamado Modelo Cosmológico Estándar o MCE.
3.1. Modelo 1
En este modelo de Universo se va a partir de las siguientes condiciones:
12 Trabajo de fin de grado
Densidad de materia igual a la crítica (ρc = 3
8πG
ȧ2
a2
)
Constante de Hubble actual igual a 72 km/s/Mpc (H0)
Presión = 0
Λ = 0
Una vez tenemos definidas las condiciones, se puede empezar el desarrollo para la
obtención del factor de escala. Aunque ya hemos definido la densidad de materia crítica
en las condiciones, es conveniente saber de dónde sale. Para ello partamos de la primera
ecuación de Friedmann (13a), quedando
H2 =
8πG
3
ρ− kc2
a2
.
Donde hemos tenido en cuenta que la constante cosmológica (Λ) vale 0 en este caso,
y H =
(
ȧ
a
)
. Para que la densidad de materia sea crítica hemos de suponer un universo
plano, por lo que k = 0, resultando
ρc =
3
8πG
ȧ2
a2
. (17)
Una vez encontrada esa expresión, debemos seguir el proceso mediante el uso de la Ec.
(16). En las condiciones iniciales, hemos establecido P = 0, por lo que queda
d
dt
[
a3ρ
]
= 0 ↔ a3ρ = C, (18)
donde C es una constante. Una forma de redefinir la constante, es diciendo que ‘absorbe’
las constantes de la Ec. (17), pudiéndola escribir como
(
ȧ
a
)2
a3 = C → H2a3 = C. (19)
La constante C debe ser igual en cualquier tiempo, por lo que podemos definir su valor
en el instante actual como C = H2
0a
3
0, donde el subíndice ‘0’ denota el instante actual.
Igualando el valor de la constante entre el instante actual y cualquier instante, se llega a
H2a3 = H2
0a
3
0 → ȧ2a = H2
0a
3
0, (20)
por lo que ya tenemos una ecuación diferencial que resolver. Resolver la ecuación diferen-
cial (20) de forma analítica es sencillo. El proceso es el siguiente:
Daniel Martínez Gil 13
√
ada = H0a
3/2
0 dt→
∫ a
a0
√
ada = H0a
3/2
0
∫ t
t0
dt→ 3
2
[
a3/2 − a
3/2
0
]
= H0a
3/2
0 [t− t0] . (21)
Despejando a(t), resultaa(t) =
(
3
2
H0a
3/2
0 [t− t0] + a
3/2
0
)2/3
= a0
(
1 +
3
2
H0 [t− t0]
)2/3
. (22)
Llegados a este punto debemos añadir una condición de contorno. A tiempo t = 0, es
decir, justo en el momento del Big Bang, el factor de escala a(t = 0), debe valer 0. Por lo
que
0 = a0
(
1− 3
2
H0t0
)2/3
→ t0 =
2
3H0
. (23)
De esta forma hemos encontrado el valor de t0, y podemos seguir con el desarrollo.
Sustituyendo queda
a(t) = a0
(
1 +
3
2
H0
[
t− 2
3H0
])2/3
= a0
(
3
2
H0t
)2/3
. (24)
Por lo que ya hemos llegado a la solución final, dada por
a(t) = a0
(
3
2
H0
)2/3
t2/3 = a0
(
t
t0
) 2
3
. (25)
Antes de graficar es conveniente definir estos parámetros calculados en el instante t0:
Ωm =
ρ0
ρc0
(26)
ΩΛ =
Λ
3H2
0
(27)
Ωr =
ρr
ρc0
(28)
Donde ρr es la densidad de radiación. Además, si añadimos la condición de k = 0,
resulta
Ωm + ΩΛ + Ωr = 1. (29)
14 Trabajo de fin de grado
En este caso no tenemos ni constante cosmológica ni radiación, por lo que Ωr = 0.
Una vez mencionado eso, ya podemos graficar, obteniendo la Fig. (1).
Figura 1: Solución numérica y analítica de Ωm = 1,ΩΛ = 0,Ωr = 0. Las unidades de H0 han
sido modificadas para que t esté en años.
En la Fig. (1) se puede ver que el factor de escala a no tiene unidades. Esto se debe a
que en realidad estamos graficando a
a0
, donde a0 = 1 5.
3.2. Modelo 2
Las condiciones de este modelo de universo son las siguientes:
Densidad de materia actual igual al 30 % de la crítica (ρ0 = 0,3ρc0 = 0,3 3
8πG
ȧ0
2
a20
)
Constante de Hubble actual igual a 72 km/s/Mpc
Presión = 0
Λ tal que k = 0 (universo plano)
Como hemos visto en el desarrollo del Modelo 1
5Para universos planos a0 puede elegirse arbitrariamente, por lo que decimos a0 = 1 por simplicidad.
Daniel Martínez Gil 15
d
dt
[
a3ρ
]
= 0 ↔ a3ρ = C. (30)
Como C es una constante, podemos decir C = a30ρ0. De nuevo el Universo es plano,
por lo que podemos considerar a0 = 1 libremente. La relación que se obtiene es
ρ =
ρ0
a3
. (31)
Con esta relación, podemos sustituir en la primera ecuación de Friedmann (13a),
obteniendo
H2 =
8πG
3
ρ0
a3
+
Λ
3
. (32)
Donde hemos tenido en cuenta que k = 0. Además, para simplificar, hemos supuesto
que la constante c (velocidad de la luz) vale 1. La Ec. (142) puede reescribirse de la
siguiente manera
H2 =
8πG
3
[
ρ0
a3
+
Λ
8πG
]
. (33)
Y simplificando un poco, obtenemos
(
ȧ
a
)2
= H2
0
[
Ωm
a3
+ ΩΛ
]
. (34)
Como las condiciones iniciales nos dicen que la densidad de materia vale el 30 % de la
crítica, Ωm = 0,3. Aplicando la Ec. (29), obtenemos ΩΛ = 0,7.
Por lo que se puede expresar la Ec. (34) como
(
ȧ
a
)2
= H2
0
[
0,3
a3
+ 0,7
]
, (35)
donde ya está lista para resolver. Esta ecuación diferencial tiene solución analítica, aunque
no es nada trivial. No escribiré el proceso para resolverla porque no es relevante, pero su
solución es
a(t) = C sinh2/3(1,25H0t), (36)
donde C ≃ 0,754.
16 Trabajo de fin de grado
(a) Solución para Ωm = 0,3,ΩΛ = 0,7 hasta los
5× 1010 años
(b) Solución para Ωm = 0,3,ΩΛ = 0,7, con tiempo
de 0 a 1010 años
Figura 2: Soluciones numéricas y analíticas del modelo 2
Con un programa de Python se puede calcular numéricamente la solución de la Ec.
(35), y compararla con la solución analítica. El resultado puede verse en la Fig. (2a).
Para entender mejor el resultado de la Fig. (2a), se ha realizado Fig. (2b), que nos
permite ver la solución a tiempos más tempranos.
Para hacer un pequeño estudio de los resultados, tenemos que realizar el desarrollo en
serie de Taylor del factor de escala, dado por la Ec. (36). Se puede simplificar un poco
el estudio sin pérdida de generalidad, desarrollando únicamente la función sinh
2
3 (t). El
resultado es
sinh
2
3 (t) ≈ t
2
3 +
t
8
3
9
+
t
14
3
405
+O(t
20
3 ). (37)
Gracias al resultado provisto por el desarrollo anterior y viendo la Fig. (2b), se puede
ver que a tiempos tempranos, el factor de escala a(t) tiene un comportamiento similar a
t
2
3 , pero posteriormente adquiere comportamiento exponencial, como se puede ver en la
Fig. (2a).
Daniel Martínez Gil 17
3.3. Modelo 3
Como en los anteriores modelos de universo, voy a empezar definiendo sus condiciones:
Constante de Hubble actual igual a 72 km/s/Mpc
Presión = ρ
3
(considerando radiación)
Consideraremos materia, constante cosmológica y radiación
En este caso, al usar la ecuación de densidad (16), no anulamos el término de la derecha
al tener P = ρ
3
. La resolución de esta ecuación diferencial nos da una relación entre la
densidad de radiación y a(t).
En este caso ρr = ρr0
a4
. Siguiendo un proceso similar al modelo 2, obtenemos que la
ecuación diferencial a resolver en este caso es
(
ȧ
a
)2
= H2
0
[
Ωm
a3
+ ΩΛ +
Ωr
a4
]
. (38)
El problema de esta ecuación diferencial es que no tiene solución analítica, por lo que
la resolveremos numéricamente. Tomaremos ΩΛ = 0,2 y variaremos Ωm y Ωr, siempre
cumpliendo la Ec. (29).
Figura 3: Solución numérica del factor de escala del modelo 3 variando Ωm y Ωr, para los
5× 1010 primeros años
18 Trabajo de fin de grado
(a) Solución variando Ωm y Ωr, para los 1010 pri-
meros años
(b) Solución variando Ωm y Ωr, para años cercanos
a 5× 1010 años
Figura 4: Soluciones numéricas y analíticas del modelo 3
Como todos los casos de la Fig. (3) están muy juntos no puede apreciarse ningún hecho
concluyente, por lo que debemos acercar la imagen en diferentes zonas (Fig. (4a) y Fig.
(4b)).
En las Fig. (4a) y Fig. (4b) es apreciable que a tiempos pequeños ‘manda’ la radiación,
y que a tiempos tardíos lo hace la materia. Este efecto es evidente, ya que la radiación
progresa como 1
a4
y la materia como 1
a3
, y a(t) es una función creciente.
4. Problemas de los modelos
A continuación presentaremos dos problemas bastante evidentes de los modelos de
universo anteriores, dando a entender que hay algo que no hemos tenido en cuenta.
4.1. Problema del horizonte
Para plantear este problema correctamente, primero hemos de hablar del Fondo Cós-
mico de Microondas (Comsmic Microwave Background) o CMB.
El CMB es un fondo de fotones fríos (radiación electromagnética) isótropo en una
Daniel Martínez Gil 19
parte entre 105, que llena el Universo y nos da información sobre su pasado.
Esta radiación es una predicción del modelo del Big Bang, ya que según este modelo,
el universo primigenio era un plasma compuesto principalmente por electrones, fotones y
bariones (protones y neutrones). Los fotones estaban constantemente interactuando con
el plasma. Los electrones no se podían unir a los protones y otros núcleos atómicos para
formar átomos porque la energía media de dicho plasma era muy alta, por lo que los
electrones interactuaban constantemente con los fotones. A medida que el universo se
fue expandiendo, el enfriamiento adiabático causó que el plasma se enfriara hasta que fue
posible que los electrones se combinaran con los protones y formaran átomos de hidrógeno.
Esto ocurrió cuando este alcanzó los 3000 K, unos 380 000 años después del Big Bang.
A partir de ese momento, los fotones pudieron viajar libremente a través del espacio (era
de la recombinación). La radiación de fondo de microondas es precisamente el resultado
de ese periodo. Al irse expandiendo el universo, esta radiación también fue disminuyendo
su temperatura, hasta que actualmente ha caído a 2,725 K y su temperatura continuará
cayendo según se expanda el universo.
Por lo que tenemos radiación producida en momentos tempranos del Universo, y vemos
que es prácticamente homogénea.
El problema viene cuando tenemos en cuenta que en la física, para que haya interacción
entre dos sucesos, éstos deben estar causalmente conectados, es decir, según la relatividad,
ninguna influencia material o perturbación física puede viajar más rápido que la luz.
La pregunta que nos planteamos ahora es, ¿si el CMB es tan homogéneo, todos sus
puntos están causalmente conectados? La lógica nos dice que sí, ya que alguna interacción
debe conectarlos para que todo parezca‘igual’, pero la respuesta a la vista de los tres
modelos estudiados es que no, y este es el denominado problema del horizonte.
En este punto podemos hacer algún cálculo para ver qué puntos pueden influenciar
a otros en los universos expuestos anteriormente. Para ello podemos calcular un término
llamado horizonte de partículas (HP ), el cual se puede interpretar como la distancia
máxima entre dos puntos que puedan haber tenido una relación causal. Es decir, si el
horizonte de partículas es menor que la distancia entre dos puntos, éstos no han podido
interaccionar.
Podemos definir el horizonte de partículas como
HP = a0
∫ t0
0
dt
a(t)
. (39)
Para entender mejor este problema, haré el cálculo de HP para el primer Universo
20 Trabajo de fin de grado
visto con las ecuaciones de Friedmann (universo dominado por materia). Debemos usar la
expresión del factor de escala dada por la Ec. (25), y sustituirla en la Ec. (39), obteniendo
HP ∝ a
1
2 .
Esto significa que el horizonte de partículas crece monótonamente con el factor de
escala (y por lo tanto con el tiempo), lo que implica que las zonas que entran en el
horizonte hoy en día, han estado muy lejos del horizonte en el desacoplamiento de CMB
6. Pero el CMB nos dice que el Universo era extremadamente homogéneo en el momento de
la última dispersión, en escalas que abarcan muchas regiones que a priori son causalmente
independientes. ¿Es esto posible? Este es el llamado ‘problema del horizonte’.
4.2. Problema de la planitud
Es sabido que actualmente la densidad del Universo es cercana al valor crítico (corres-
pondiente a un universo casi plano). Considerando de nuevo un universo dominado por
materia, cualquier desviación del valor crítico de la densidad en el momento inicial debería
haberse magnificado mucho. Eso nos da a entender que el Universo en sus orígenes era
prácticamente plano (mucho más que ahora).
Para que el universo sea plano, sabemos que el factor Ω = ρ
ρc
= 1. Desarrollando la
primera ecuación de Friedmann (13a) sin constante cosmológica, obtenemos
H2 =
8πG
3
ρ− k
a2
⇒ H2 =
8πG
3
ρcΩ− k
a2
, (40)
y usando la definición de H2 = 8πG
3
ρc, llegamos a
|Ω− 1| = |k|
ȧ2
. (41)
Si tenemos en cuenta un Universo dominado por materia (tomando a0 = 1), entonces
a(t) =
(
t
t0
) 2
3 ⇒ ȧ =
(
t
t0
)− 1
3 , por lo que la Ec. (41) resulta
|Ω− 1| =
(
t
t0
) 2
3
. (42)
6Esta etapa del CMB está relacionada con la anteriormente mencionada recombinación, y se refiere al
momento en el que los fotones ya no se dispersaban
Daniel Martínez Gil 21
El tiempo de Planck representa el instante de tiempo más pequeño en el que las leyes
de la física podrían ser utilizadas para estudiar la evolución del Universo. Por lo que
podemos calcular la curvatura del Universo en ese instante. El tiempo de Planck se define
como
tP =
√
ℏG
c5
≈ 5,39× 10−44s. (43)
Además vamos a suponer que la edad del Universo son 13770 millones de años o
4,34× 1014 segundos. Esto significa que a tiempo de Plank |Ω− 1| = 2,49× 10−39, por lo
que el Universo tiende a ser plano en sus orígenes.
Este hecho en cosmología se considera un problema, ya que se necesita un valor dema-
siado preciso de la densidad del Universo para poder explicar su comportamiento posterior,
es decir, un ‘ajuste fino’. Hubo físicos reacios a dicha idea porque pensaban que este hecho
no era un problema. Aún así todos coincidiremos en que es una casualidad muy grande,
digna de una explicación física.
5. Solución
La solución más aceptada hoy en día para dichos problemas fue propuesta por Alan
Guth en 1981 [17], y es la denominada ‘inflación’. Dicha solución consta en suponer que el
Universo en sus instantes más primigenios sufrió una expansión acelerada (tipo de Sitter).
Es decir, en muy poco tiempo el Universo se expandió a una velocidad tan grande que
incluso pudo superar la velocidad de la luz. Este apartado principalmente se ha obtenido
de [8].
5.1. Solución al problema del horizonte
Para entender bien la solución de este problema, es necesario introducir el radio comóvil
de Hubble (RH = (aH)−1). Esta medida nos dice si en el instante que se mide, dos puntos
están en contacto causal. Es posible que el radio comóvil de Hubble sea mucho mayor
que el horizonte de partículas en algún momento, lo que produciría que zonas más allá
del Universo observable estuvieran en contacto causal. La solución a dicho problema es
sencilla si se supone un radio comóvil de Hubble que disminuye durante la inflación, ya
que en la época pre-inflacionaria, RH pudo ser mucho más grande que ahora, permitiendo
el escenario anteriormente mencionado. Esta solución puede entenderse mejor gracias a la
22 Trabajo de fin de grado
Fig. (5).
Figura 5: Izquierda: Evolución del radio comóvil de Hubble. La esfera delimitada por el radio de
Hubble se encoje durante la época inflacionaria y se expande tras la inflación. Derecha: Solución
al problema del horizonte. A tiempos suficientemente pequeños, todas las escalas relevantes del
Universo eran menores que el radio comóvil de Hubble, permitiendo un contacto causal ‘oculto’
debido al mecanismo inflacionario. [8]
La Fig. (5) nos dice que antes de la inflación el horizonte de partículas estaría dentro
7 del radio comóvil de Hubble (aH)−1, lo que permitiría que zonas que aparentemente no
han podido interaccionar en la época del CMB pudieron hacerlo. Quizá el razonamiento
de por qué la inflación evita el problema del horizonte puede entenderse de forma más
visual gracias a la Fig. (6).
5.2. Solución al problema de la planitud
Aplicando un modelo inflacionario, tenemos que el factor de escala era de tipo expo-
nencial. Haré el cálculo para una exponencial general (a(t) ∼ ebt). Por lo que ȧ ∼ ebt.
Sustituyendo en la Ec. (41), resulta
|Ω− 1| ∼ e−2bt. (44)
Esta función tiende a 0 conforme el tiempo avanza, por lo que, independientemente de
la curvatura inicial del universo, justo después de la época inflacionaria, el universo sería
casi plano, resolviendo el problema de ‘ajuste fino’.
7La palabra ‘dentro’ puede usarse porque tanto el horizonte de partículas como el radio comóvil
denotan la superficie de una esfera
Daniel Martínez Gil 23
(a) Considerando un modelo cosmológico estándar (b) Considerando inflación
Figura 6: En estas figuras se representa en rojo dos conos de luz hacia el pasado de dos zonas del
CMB hasta el origen del Universo. En la figura de la izquierda se muestra cómo al considerar un
caso del MCE, las zonas no están causalmente conectadas, por lo que no han podido interaccionar.
Por otro lado, en la figura de la derecha, al considerar inflación, los conos de luz se cortan,
permitiendo que estas dos zonas puedan haber interaccionado.
6. Inflación
En las secciones anteriores se ha visto que la teoría inflacionaria es una teoría sólida,
que resuelve problemas de los modelos estándar de la cosmología. Veamos qué condiciones
han de darse para que se produzca la inflación.
Radio comóvil de Hubble decreciente
Como se ha expuesto en la Fig. (5), en la etapa inflacionaria este radio ha de ser
decreciente. Tomando la definición del radio comóvil de Hubble y añadiéndole la
condición de decreciente, se llega a
d
dt
(aH)−1 < 0. (45)
Aceleración positiva
Es trivial que la aceleración durante la inflación ha de ser positiva, ya que, como se
ha mencionado anteriormente, el Universo se expande exponencialmente. Podemos
24 Trabajo de fin de grado
expresar la derivada del radio comóvil de Hubble como
d
dt
(aH)−1 =
−ä
(aH)2
. (46)
En la condición (45) hemos establecido que esta cantidad es negativa, por lo que
ä > 0. (47)
Presión negativa Juntando la primera y segunda ecuación de Friedmann (13a,
13b), llegamos a la llamada ’ecuación de aceleración’
ä
a
= −4πG
3
(
ρ+
3P
c2
)
, (48)
donde hemos supuesto que no hay constante cosmológica.
Si consideramos la condición (47), y la aplicamos a (48), surge que
3P < −ρ→ P < −ρ
3
. (49)
Por lo que, para que pueda producirse una disminución del radio comóvil de Hub-
ble es necesario acudira algún tipo de materia exótica que produzca una presión
negativa.
7. Campo escalar
Este apartado se ha obtenido principalmente de [8],[28]. Como se ha mencionado en el
apartado anterior, para producir la inflación es necesaria la aparición de materia exótica.
El primer candidato a materia exótica fue la ya conocida constante cosmológica, pero
ésta conduciría a un universo de inflación eterna, por lo que no nos sirve 8. La manera
más sencilla de provocar la inflación con un final es a través de la energía potencial de un
campo escalar (al que llamaremos ϕ).
La duda en este punto es saber si un campo escalar ϕ(x, t) puede cumplir la condición
dada por la Ec. (49). El primer paso será escribir el tensor energía momento para ϕ.
La dinámica de la gravedad acoplada con un campo escalar viene dada por la acción
8Se necesita que el proceso inflacionario acabe, que el universo pase por una fase dominada por
radiación, y luego por materia
Daniel Martínez Gil 25
S =
∫
d4x
√
−g
 1
2
R︸︷︷︸
SEH
+
1
2
gαβ∂αϕ∂βϕ− V (ϕ)︸ ︷︷ ︸
Sϕ
 , (50)
donde SEH representa la acción de Einstein-Hilbert 9 y Sϕ la contribución del campo
escalar a la acción. El potencial V (ϕ) representa la interacción del campo escalar consigo
mismo. Además se ha de matizar que se han usado unidades geometrizadas.
El tensor energía momento asociado al campo escalar podrá escribirse como
T
(ϕ)
αβ = − 2
√
g
δSϕ
δgαβ
. (51)
Por comodidad bajaremos un índice del tensor. Desarrollando la derivada de la acción
respecto a la métrica queda
Tα
β = gαν∂νϕ∂βϕ− δαβ
[
1
2
gµν∂µϕ∂νϕ+ V (ϕ)
]
. (52)
Asumiremos que el campo es homogéneo a orden 0, es decir
ϕ(t, x⃗) ≡ ϕ(t). (53)
Al ser homogéneo sólo hay que tener en cuenta las componentes temporales, por lo
que
T
(ϕ)
αβ = −gα0 g0βϕ̇2 + gαβ
[
1
2
ϕ̇2 − V (ϕ)
]
. (54)
Al ser homogéneo, el tensor energía momento ha de comportarse como el de un fluido
perfecto (Ec. (176)). Por lo que la componente 00 del tensor energía momento será
T 0
0 = −ρ→ ρ =
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ). (55)
Además también sabemos que P = T i
i (sin sumatorio, i = 1,2,3) por lo que
P =
1
2
ϕ̇2 − V (ϕ). (56)
9es la acción que proporcionan las ecuaciones del campo de Einstein a través del principio de mínima
acción
26 Trabajo de fin de grado
Nos vamos a centrar en la componente temporal de la conservación del tensor energía
momento (15), en la que sustituiremos las relaciones (55) y (56):
dρ
dt
+ 3H[ρ+ P ] = 0 →
d
(
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ)
)
dt
+ 3H
[
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ) +
1
2
ϕ̇2 − V (ϕ)
]
= 0 →
→ ϕ̇ϕ̈+
dV (ϕ)
dϕ
dϕ
dt
+ 3Hϕ̇2 = ϕ̇ϕ̈+ V (ϕ),ϕ + 3Hϕ̇2 = 0,
donde hemos introducido la notación dV (ϕ)
dϕ
= V (ϕ),ϕ.
Por lo que finalmente llegamos a la ecuación que queríamos
ϕ̈+ 3Hϕ̇+ V (ϕ),ϕ = 0. (57)
Esta es la llamada ecuación de campo inflacionario. Y al campo escalar le llamaremos
a partir de ahora ‘inflatón’.
Además, teniendo una ecuación para la presión y densidad, podemos obtener las ecua-
ciones de Friedmann en función del campo escalar.
Sustituyendo en la Ec. (48) en unidades geometrizadas, obtenemos
ä
a
= −1
3
(ϕ̇2 − V ), (58)
que es la ecuación de aceleración en función del campo escalar.
Podemos seguir el mismo proceso con la primera ecuación de Friedmann (13a), obte-
niendo
H2 =
1
3
(
1
2
ϕ̇2 + V
)
, (59)
donde se ha supuesto k = 0.
8. Inflación Slow-Roll
El modelo más sencillo de un sistema capaz de impulsar un período inflacionario es un
campo escalar cuyo potencial es bastante plano. Parte de este apartado se ha obtenido de
[8] y [27].
Daniel Martínez Gil 27
Para que esto sea posible, la energía potencial debe dominar sobre la energía cinética,
es decir, debe cumplirse la condición
ϕ̇2 ≪ V (ϕ). (60)
Otra condición que deberá cumplir el modelo es que debe durar lo suficiente para
resolver los problemas del modelo estándar de la cosmología. Esto pasará si la segunda
derivada del campo escalar es muy pequeña, concretamente
|ϕ̈| ≪ |3Hϕ̇|. (61)
Si nuestro modelo de inflación cumple las condiciones (60) y (61) diremos que la
inflación es tipo Slow-roll.
Podemos definir el cociente entre la presión y la densidad como
ωϕ =
Pϕ
ρϕ
=
1
2
ϕ̇2 − V (ϕ)
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ)
, (62)
donde se ha usado la Ec. (55) y Ec. (56).
Si sustituyo la Ec.(60) en (62), obtenemos que ωϕ = −1, lo cual cumple con la condición
(49).
La aceleración de un universo dominada por un campo escalar se puede escribir gracias
a la Ec. (48) como
ä
a
= −1
6
(ρϕ + 3Pϕ) = H2(1− ϵ), (63)
donde se ha definido el parámetro ϵ (parámetro Slow-roll) como,
ϵ ≡ 3
2
(ωϕ + 1) =
1
2
ϕ̇2
H2
= − Ḣ
H2
, (64)
y donde se han tomado unidades geometrizadas.
Por lo que ϵ está relacionado con la evolución de la constante de Hubble. Una expansión
acelerada ocurre si ϵ < 1 (expansión exponencial10), por lo que H ≈ cte, por lo que, en
esta etapa
H2 ≈ 1
3
V (ϕ). (65)
10Específicamente la expansión será tipo de Sitter, donde se escribe generalmente a = a0e
Ht
28 Trabajo de fin de grado
El límite ϵ −→ 0 se llama límite de de Sitter, y representa el momento donde el
potencial se aproxima a ser plano.
Podemos definir un segundo parámetro slow-roll de interés, dado por
η = − ϕ̈
Hϕ
. (66)
Por lo que la inflación ocurrirá si se cumple
ϵ, |η| < 1, (67)
lo que deriva en
ϵ(ϕf ) = |ηf | = 1, (68)
donde el subíndice ‘f ’ denota el final de la inflación
Los parámetros ϵ y η pueden definirse de otra forma, haciéndolos dependientes del
potencial
ϵv ≡
1
2
(
V,ϕ
V
)2
, ηv ≡
V,ϕϕ
V
, (69)
donde tenemos
ϵ ≈ ϵv, η ≈ ηv − ϵv. (70)
Otra cantidad interesante y a tener en cuenta es el número de e-folds 11 antes de que
la inflación acabe, que viene dada por
N(ϕ) = ln
af
a
=
∫ tf
t
Hdt =
∫ ϕf
ϕ
H
ϕ̇
dϕ =
∫ ϕf
ϕ
dϕ√
2ϵ
≈
∫ ϕf
ϕ
dϕ√
2ϵv
, (71)
y se estima que para solucionar el problema del horizonte hace falta que Ntotal ≥ 60.
En la Fig. (7) podemos ver un esquema de un potencial inflacionario general.
En los siguientes apartados se intentará ver las dos fases del campo escalar, la de las
fluctuaciones cuánticas y la de recalentamiento, e intentará relacionarse la primera de ellas
con observaciones del CMB.
11e-folding es el intervalo temporal en el que una cantidad exponencial incrementa un factor ’e’
Daniel Martínez Gil 29
Figura 7: Ejemplo general de potencial inflacionario, diferenciado en tres fases relevantes. La fase
1 corresponde a fluctuaciones cuánticas, posibles responsables de las inhomogeneidades del CMB.
La fase 2 corresponde al fin de la inflación, momento en el que la energía cinética es comparable
a la potencial, ϕ̇ ≈ V (ϕ). La fase 3 es una fase post inflacionaria llamada ’recalentamiento’, en
la que la densidad de energía del inflatón se convierte mayormente en radiación.
9. Recalentamiento
Primero vamos a comentar de forma general el proceso de recalentamiento, es decir,
la fase 3 en la Fig. (7). Este proceso es esencial, ya que sin él la inflación acabaría en un
Universo vacío. La etapa del recalentamiento surge naturalmente en el intento de hacer
consistente a la teoría inflacionaria, ya que ésta debe explicar la aparición de materia y
radiación en el Universo.
Para hacer el estudio matemático del recalentamiento, nos basaremos en el desarrollo
de [7], donde se parte de un potencial caótico
V (ϕ) =
1
2
m2
ϕϕ
2. (72)
Bajo la influencia de este potencial, la parte homogénea del inflatón se mantiene
oscilando alrededor del mínimo (ϕ = 0 en este caso), gradualmente decayendo en amplitud
debido a la expansión del Universo. Este proceso puede visualizarse mejor observando el
potencial de la Fig.(7), donde, al llegar a la fase 3, el inflatón se queda oscilando entorno
al mínimo de potencial. Debemos puntualizar que en esta zona del potencial, la mayoría
30 Trabajo de fin de grado
de energía potencial del inflatón se ha transformado en energía cinética, por lo que ya no
estamos en el régimen slow-roll. El inflatón en esta fase se define como
ϕ(t) = ϕ̄(t) sin(mϕt), ϕ̄(t) =
mpl√
3πmϕt
, (73)
donde ϕ̄ es la amplitud de las oscilaciones del inflatón en función deltiempo (podemos
ver que hay una proporcionalidad inversa).
Como la parte homogénea del inflatón predomina sobre las fluctuaciones al final del
proceso, éste puede estimarse como un campo clásico. Por lo tanto, a primera aproxi-
mación, se puede considerar el inflatón como una fuerza externa clásica actuando sobre
campos cuánticos χ (campo escalar) y ψ (fermiones). Debido a que el inflatón depende
del tiempo, las masas de dichos campos variarán considerablemente rápido. Mediante este
mecanismo, la inflación explica la aparición de radiación en el Universo primigenio.
Por simplicidad a la hora de hacer los cálculos, vamos a considerar únicamente el
acoplamiento del inflatón con el campo escalar χ, por lo que el lagrangiano contendrá un
término de interacción de la forma
Lint =
1
2
g2ϕ2χ2, (74)
donde g es una constante de acoplamiento adimensional.
El potencial efectivo de este sistema será la suma del potencial inflacionario (lo supo-
nemos independiente de χ), y un término de interacción, por lo que resulta
Veff (ϕ, χ) = V (ϕ) +
1
2
g2ϕ2χ2. (75)
El campo χ tiene una masa efectiva dada por
m2
χ,eff ≡ ∂Veff (ϕ, χ
∂χ2
= g2ϕ(t). (76)
La Ec. (76) es la masa efectiva apropiada para el campo χ, ya que, despreciando las
perturbaciones de la métrica, los modos de Fourier del campo χ obedecen la ecuación de
Klein-Gordon modificada
χ̈k + 3Hχ̇k +
[
k2
a2
+ g2ϕ2(t)
]
χk = 0 (77)
donde m2
χ,eff juega un papel crucial.
Daniel Martínez Gil 31
Definimos la frecuencia de cada modo (ωk) y el ratio adimensional (Ra) como
ωk ≡
[
k2
a2
+ g2ϕ2(t)
] 1
2
, Ra ≡
ω̇k
ω2
k
(78)
Al régimen |Ra| ≪ 1 se le conoce usualmente como región adiabática, donde el número
de partículas se considera invariante, por lo que no hay producción de partículas. Para
producirlas debemos estar en el régimen |Ra| ≫ 1. Tras un exhaustivo análisis de la Ec.
(77) hecho en [7], se puede obtener la Fig. (8), que muestra las zonas de producción de
partículas en la época del recalentamiento.
Figura 8: Se muestra en negro el inflatón oscilando con el tiempo, ϕ(t). Por otro lado, se puede
ver en azul y verde el ratio adimensional Ra para los casos mχ = 0, mχ ̸= 0 respectivamente. La
producción de partículas se produce en las zona |Ra| > 1, delimitada por las líneas rojas. Ref. [7]
10. Fluctuaciones cuánticas del campo escalar
Este apartado se ha obtenido principalmente de [8] y [28]. Antes de la etapa inflaciona-
ria, el universo estaba comprimido hasta tal punto, que las leyes de la mecánica cuántica
dominaban.
32 Trabajo de fin de grado
Mencionado eso, surge la primera duda al respecto. ¿Qué pasa si juntamos el campo
del inflatón con la mecánica cuántica? La expansión acelerada del universo producida
por el inflatón nunca podrá hacer que éste se homogeinice totalmente, debido a efectos
cuánticos. Esas inhomogeneidades causarán las anisotropías del CMB y posteriormente
la estructura a gran escala del Universo. Por lo que en este apartado va a partirse de
fluctuaciones cuánticas para acabar en perturbaciones cosmológicas. Más específicamente,
en esta sección vamos a trabajar con perturbaciones del campo escalar δϕ.
Pero si el campo escalar es perturbado, el tensor energía momento varía (siguiendo la
relación (54)). Además, el tensor energía momento hace que varíe la métrica, según las
ecuaciones de campo de Einstein (12). Por lo que una perturbación del campo escalar,
acabará provocando una perturbación en la métrica.
δϕ→ δTαβ → δgαβ (79)
10.1. Perturbación lineal
Pero no podemos tener en cuenta perturbaciones de orden alto, ya que los cálculos
serían extremadamente largos. Por ello vamos a quedarnos a primer orden, es decir, con-
sideraremos perturbaciones lineales 12.
Es importante recalcar que en este apartado va a cuantizarse el campo escalar del
inflatón, no la métrica, por lo que no entraremos en el terreno de la gravedad cuántica.
Cualquier cantidad A(t, x⃗) puede escribirse como un fondo homogéneo mas una per-
turbación determinada como
A(t, x⃗) = Ah(t) + δA(t, x⃗), (80)
donde el superíndice ‘h’ denota homogeneidad.
10.2. Descomposición SVT
La planitud, isotropía y homogeneidad del espacio-tiempo permite una descomposición
particular de tensores de interés en relatividad general, como la métrica o el tensor energía-
momento.
12Esta aproximación puede hacerse ya que las observaciones del CMB muestran que δϕ
ϕ ∼ 10−5
Daniel Martínez Gil 33
La idea de la descomposición en el espacio real es la siguiente. Un escalar λ (1 grado
de libertad), se descompone como
λ = λS︸︷︷︸
1g.l.
. (81)
Un vector de 3 dimensiones se puede descomponerse como
vi = vSi︸︷︷︸
1g.l.
+ vVi︸︷︷︸
2g.l.
. (82)
De la Ec. (81) sabemos que la parte escalar debe tener un grado de libertad, por lo
que, la parte de la descomposición vectorial tiene 2 grados de libertad, como puede verse
en (82).
Finalmente la descomposición SVT de un 3-tensor simétrico es
Sij = SS
ij︸︷︷︸
1g.l.
+ SV
ij︸︷︷︸
2g.l.
+ ST
ij︸︷︷︸
3g.l.
. (83)
Un tensor de dichas características tiene 6 grados de libertad, por lo que su parte de
descomposición tensorial debe quedarse con los 3 restantes (Ec. (83)).
Esta descomposición puede verse más fácilmente en el espacio de Fourier, donde una
perturbación puede escribirse como
δA(t, x⃗) =
∫
δAk(t)e
ik⃗·x⃗dxdydz. (84)
Donde ‘A’ puede ser cualquier parámetro cuya perturbación quiera estudiarse (ϕ,
gµν ,...).
Gracias a la gran simetría del espacio-tiempo y al carácter lineal de las perturbaciones,
cada uno de los modos de Fourier son independientes.
Al tener en cuenta perturbaciones lineales, la descomposición SVT permite que las per-
turbaciones de cada tipo evolucionen independientemente, por lo que pueden tratarse por
separado. Este hecho simplifica bastante los cálculos al sobre perturbaciones cosmológicas.
34 Trabajo de fin de grado
11. Perturbaciones de la métrica
De nuevo este apartado ha sido principalmente consultado en [8] y [27]. Siguiendo la
Ec. (80) para la métrica, se obtiene
gµν(t, x⃗) = ghµν(t) + δgµν(t, x⃗) (85)
Donde ghµν(t) representa una métrica FRW (10).
La métrica perturbada se escribirá como:
ds2 = gµν(t, x⃗)dx
µdxν = −(1 + 2Φ)dt2 + 2aBidx
idt+ a2[(1− 2Ψ)δij + Eij]dx
idxj (86)
Ahora se puede aplicar la descomposición SVT explicada anteriormente a la métrica
(86). Los escalares se quedarán como tales, habrá que aplicar la descomposición al vector
Bi y al tensor Eij.
El vector podrá descomponerse como
Bi ≡ ∂iB︸︷︷︸
BS
i
+ Si︸︷︷︸
BV
i
, (87)
donde la parte vectorial Si debe cumplir
∂iSi = 0. (88)
Por otro lado, el tensor Eij se descompone de la siguiente manera
Eij ≡ 2∂ijE︸ ︷︷ ︸
ES
ij
+2∂(iF j)︸ ︷︷ ︸
EV
ij
+ hij︸︷︷︸
ET
ij
, (89)
donde se cumplen las siguientes relaciones
∂iFi = 0, ∂ihij = 0. (90)
La métrica (86) es un 4-tensor simétrico, por lo que debe tener 10 grados de libertad
repartidos entre sus escalares, vectores y tensores.
Daniel Martínez Gil 35
Las perturbaciones vectoriales Si y Fi no fueron creados por la inflación, ya que no
había campos de velocidad rotacionales. Además, aunque fueran creadas por la inflación,
ésta haría que decayeran (con la expansión del universo), por lo que no las estudiaremos.
11.1. Elección de gauge e invariantes
Una de las principales diferencias en el estudio de perturbaciones en relatividad general
y en el caso newtoniano es la libertad a la hora de escoger un sistema de coordenadas.
Un aspecto crucial del estudio de perturbaciones sobre un fondo homogéneo es el hecho
de que la Ec. (85) no tiene una solución única. Depende de la elección de coordenadas (o
elección de gauge).
Vamos a trabajar con la métrica (86), una perturbación de la métrica FRW que no
tiene una elección de coordenadas preferente. A causa de esa ‘libertad’ pueden aparecer
perturbaciones ficticias, es decir, no asociadas a ningún efecto físico. Por lo que hay dos
formas de hacer cálculos sin salir del ámbito de la física que queremos, una es hacer una
elección de gauge y calcular todas las cantidades que queramos a partir de dicho gauge, y
la otraes trabajar con invariantes gauge13
Las fluctuaciones tensoriales son invariantes gauge (por construcción), pero las escala-
res no. Veamos primero cómo se transforman dichas fluctuaciones escalares con un gauge
determinado.
Considerando las siguientes transformaciones gauge general al tiempo y a las coorde-
nadas espaciales
t→ t+ α, (91)
xi → xi + δijBj. (92)
Las perturbaciones escalares de la métrica resultan
BS
i → BS
i + a−1α− aβ̇, (93)
ES
ij → ES
ij − β, (94)
13Un invariante gauge, como bien indica su nombre, denota que vale lo mismo independientemente del
gauge elegido, por lo que son de gran utilidad en cálculos en relatividad general.
36 Trabajo de fin de grado
Ψ → Ψ+Hα, (95)
Φ → Φα̇. (96)
En este punto se puede escoger otro gauge más específico para determinar unívoca-
mente el sistema de coordenadas, lo que nos proporciona un tensor energía-momento y
unas ecuaciones de campo de Einstein determinadas. Hay muchos posibles gauges, entre
ellos:
Gauge síncrono → Φ = B = 0
Gauge newtoniano → E = B = 0
Gauge de densidad uniforme → δρ = 0
Gauge comóvil → δq = E = 0
Gauge de espacio plano → Ψ = E = 0
La otra posibilidad se basa en la construcción de cantidades invariantes gauge y tra-
bajar únicamente con ellas.
Dos invariantes gauge importantes fueron introducidas en [5], y se definen como
ΦB := Φ− d
dt
[a2(Ė − B
a
)], (97)
ΨB := Ψ + a2H(Ė − B
a
). (98)
Otro escalar invariante gauge importante es la curvatura de perturbación en hipersu-
perficies de densidad uniforme, definida en [6] como
−ζ ≡ Ψ+H
δρ
ρ̇h
, (99)
donde recuerdo que la notación con un superíndice ‘h’ denota homogeneidad.
Al escalar Ψ se le llama potencial de curvatura. Y gracias a él puede definirse la
curvatura espacial en una superficie de tiempo propio constante (curvatura escalar de
Ricci) como
Daniel Martínez Gil 37
R =
4
a2
∇2Ψ. (100)
Pero ni R ni Ψ presentan invariancia gauge. Aún así, se puede definir otro escalar
invariante gauge, llamado perturbación comóvil de curvatura, definido como
R ≡ Ψ+H
δϕ
ϕ̇h
. (101)
Físicamente representa el potencial gravitatorio en superficies comóviles (con ϕ cons-
tate). Es preciso comentar que esta definición de R se define durante la etapa inflacionaria.
Finalmente, el último escalar que se va a definir invariante bajo transformaciones gauge
es la perturbación del inflatón en secciones espacialmente planas
Q ≡ δϕ+Ψ
ϕ̇h
H
. (102)
12. Estadísticas de las perturbaciones cosmológicas
Este apartado se ha obtenido principalmente basándonos en [12] y [26], pero también
nos hemos apoyado en otras fuentes, como [8].
12.1. Fluctuaciones escalares
Una medida crucial de las fluctuaciones escalares primordiales es el espectro de po-
tencia. Para definirlo debemos partir de la definición general de una transformación de
Fourier (supongamos una función A cualquiera) como
Ak⃗ = A1
∫
d3xA(x⃗)e−ik⃗·x⃗, (103)
A(x⃗) = A2
∫
d3k
(2π)3
Ak⃗e
ik⃗·x⃗, (104)
donde A1 y A2 son constantes de normalización. Dichas constantes suelen valer 1, por lo
que no las pondremos a partir de ahora en el desarrollo.
Vamos a desarrollar ahora el promedio de la Ec. (103) con Ak⃗′ , ya que nos será de
utilidad posteriormente.
38 Trabajo de fin de grado
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
=
〈∫
d3xA(x⃗)e−ik⃗·x⃗
∫
d3x′A(x⃗′)e−ik⃗′·x⃗′
〉
=
=
〈∫ ∫
d3xd3x′A(x⃗)A(x⃗′)e−ik⃗·x⃗e−ik⃗′·x⃗′
〉
,
ahora realizamos el cambio de variable x⃗′ = x⃗+ r⃗, por lo que resulta
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
=
〈∫
d3x
∫
d3rA(x⃗)A(x⃗+ r⃗)e−ik⃗·x⃗e−ik⃗′·x⃗e−ik⃗′·r⃗
〉
=
=
〈∫
d3xe−i(k⃗+k⃗′)·x⃗
∫
d3rA(x⃗)A(x⃗+ r⃗)e−ik⃗′·r⃗
〉
.
Por lo que finalmente resulta
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
=
∫
d3xe−i(k⃗+k⃗′)·x⃗
∫
d3rξA(r)e
−ik⃗·r⃗. (105)
La notación
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
indica el conjunto promedio de las fluctuaciones. En la Ec. (105)
se ha definido la función correlación entre dos puntos ξA(r) como
ξA(r) ≡ ⟨A(x⃗)A(x⃗+ r⃗)⟩ . (106)
También podemos definir la función delta como
δ(k⃗) ≡ 1
(2π)3
∫
d3xe±ik⃗·x⃗, (107)
por lo que la Ec. (105) resulta
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
= (2π)3δ(k⃗ + k⃗′)
∫
d3rξA(r)e
−ik⃗·r⃗. (108)
Esta expresión puede simplificarse aún más si se introduce el ’espectro de potencia’.
Esta cantidad se define como la transformada de Fourier de la función correlación (106).
PA(k) ≡ A1
∫
d3rξA(r)e
−ik⃗r⃗. (109)
Por lo que finalmente podemos escribir la Ec. (105) como
〈
Ak⃗Ak⃗′
〉
= (2π)3PA(k)δ(k⃗ + k⃗′). (110)
Daniel Martínez Gil 39
Durante este desarrollo se ha asumido que la magnitud A(x⃗) es real, ya que entonces
se cumple que A∗
k⃗
= A−k⃗.
Otra variable que suele utilizarse es el ‘espectro adimensional escalar’:
∆2
A(k) ≡
k3
2π2
PA(k) (111)
Como R(x⃗) es real, se cumple la Ec. (110), quedando
〈
Rk⃗Rk⃗′
〉
= (2π)3PR(k⃗)δ(k⃗ + k⃗′). (112)
Dicha cantidad también suele llamarse ‘espectro de potencia’. En el caso particular de
la Ec. (112), se llamaría ‘espectro de potencia de la perturbación comóvil de curvatura’.
Se puede definir otros parámetros de utilidad, como el ‘índice espectral escalar’
ns − 1 ≡ d ln∆2
R
d ln k
. (113)
12.2. Fluctuaciones tensoriales
La parte tensorial de la métrica (86) está asociada a ondas gravitacionales.
Como estamos suponiendo perturbaciones pequeñas, podemos analizar las fluctua-
ciones tensoriales hij como perturbaciones lineales. Haciendo este análisis, tenemos dos
modos de polarización, h+, h×. El espectro de potencia de estos dos modos vendrá dado
por
〈
hk⃗hk⃗′
〉
= (2π)3δ(k⃗ + k⃗′)Ph(k). (114)
También se puede definir el espectro adimensional tensorial como
∆2
t ≡ 2∆2
h =
k3
π2
Ph(k). (115)
Su índice espectral (ahora tensorial) es similar a la Ec. (113), pero por motivos histó-
ricos se define como
nt ≡
d ln∆2
t
d ln k
. (116)
40 Trabajo de fin de grado
Ahora que ya tenemos los parámetros que necesitamos escalares y tensoriales, se puede
definir el último valor de interés
r ≡ ∆2
t
∆2
s
, (117)
que se denomina ‘ratio tensor-escalar’, y es la normalización del espectro adimensional
tensorial con respecto al escalar.
13. Obtención del ratio tensor-escalar
Para hallar el ratio tensor-escalar (117) debemos hallar el espectro de potencia escalar
y tensorial de la perturbación que queramos. Para ello debemos perturbar a segundo orden
la acción dada por (50). El proceso seguido principalmente es de [26]
S(gαβ, ϕ) = Sh(ghαβ, ϕ
h) + S(2)(δgαβ, δϕ; g
h
αβ, ϕ
h) (118)
Donde Sh es la parte homogénea, S(1) = 0 ya que el campo extremiza la acción, y S(2)
proporciona las ecuaciones para las perturbaciones. Nos permite cuantizar las perturba-
ciones lineales y encontrar la normalización adecuada.
Al perturbar la acción obtenemos una ecuación similar a (57), pero perturbada
δϕ̈k + 3Hδϕ̇k +
(
k2
a2
+ Vϕϕ
)
δϕk = 0. (119)
El campo escalar del inflatón se expresa a través de sus modos de Fourier siguiendo la
Ec. (84), pero integrando en función de k
δϕ(x⃗, t) =
∫
d3k⃗
(2π)
eik⃗·x⃗δϕk(t), (120)
donde la isotropía del fondo hace que ϕk dependa únicamente de k = |⃗k|.
Pero la Ec. (119) es muy difícil de resolver generalmente 14, por lo que se va a intentar
simplificar todo lo posible.
Usando la condición Slow-roll dada por (65) e imponiendo que el parámetro adimen-
sional ηv ≪ 1, se obtiene
14Si H ≈ cte y a es exponencial sí es fácil de resolver.
Daniel Martínez Gil 41
Vϕϕ ≪ V ≈ 3H2 → Vϕϕ ≪ 3H2. (121)
Por lo que el término dependiente de Vϕϕ de la Ec. (119) puede despreciarse. Ahora
puede definirse el tiempo conforme como
dτ ≡ dt
a(t)
, (122)
que con una expansión de de Sitter adopta la forma
τ =
−1
aH
. (123)
El definir el tiempo conforme nos permite expresar la métrica FRW (11) como
ds2 = a2(τ)[−dτ + dx2 + dy2 + dz2] (124)
13.1. Modelo simplificado de perturbaciones escalares
Con el siguiente modelo se va a intentar simplificar la Ec. (119) con un método sencillo,
para que nos sirva de ejemplo en el modelo posterior. Primero se debe definir el parámetro
vk como
vk ≡ aδϕk, (125)
y además se ha de cambiar todas las derivadas temporales de la Ec. (119) por derivadas
respecto al tiempo conforme (la notación de la derivada respecto al tiempo conforme serádA
dτ
= A′). Por lo que los cálculos quedarían de la siguiente forma
H =
ȧ
a
=
a′
a2
, (126)
ϕ̇k =
1
a
(v
a
)′
=
v′
a2
− a′v
a3
, (127)
ϕ̈k =
1
a
(
v′
a2
− a′v
a3
)′
= −2a′v′
a4
+
v′′
a3
− a′′v
a4
+
3a′2v
a5
− a′v′
a3
. (128)
Sustituyendo estas expresiones en la Ec. (119) y tras algo de cálculo, resulta
42 Trabajo de fin de grado
v′′k +
(
k2 − a′′
a
)
vk = 0, (129)
que es la ecuación a la que queríamos llegar en este modelo. Esta ecuación representa una
colección desacoplada de osciladores harmónicos, uno para cada índice k.
Ahora se deben hacer tres diferenciaciones importantes según sea la longitud de onda
de la perturbación.
Sub-horizonte
Las perturbaciones cosmológicas son creadas por mecanismos cuánticos en escalas
del sub-horizonte. En este caso la longitud de onda λ de la perturbación será menor
al horizonte causal.
λ <
1
aH
→ k > aH → kτ > −1 (130)
Si se aplica el límite λ≪ 1
aH
, la Ec. (129) puede expresarse como
v′′k + k2vk = 0, (131)
cuya solución viene expresada por los denominados modos de Brunch-Davies
vk = α
e−ikτ
√
2k
(
1− i
kτ
)
+ β
eikτ√
2k
(
1 +
i
kτ
)
. (132)
Normalmente se escoge α = 1, β = 0 15, resultando
vk =
e−ikτ
√
2k
(
1− i
kτ
)
, (133)
que de nuevo aplicando el límite kS ≫ 1 se llega a
lim
kτ≫1
vk =
e−ikτ
√
2k
. (134)
Super-horizonte
15Esto puede hacerse porque en este límite el espacio-tiempo es prácticamente Minkowski, lo que
permite fijar las condiciones de contorno de tal forma, que surja α = 1, β = 0.
Daniel Martínez Gil 43
En esta zona la física es no causal, por lo que las perturbaciones se ‘congelan’ hasta
la llamada ‘re-entrada’16.
En este caso se tiene que
λ >
1
aH
→ k < aH → kτ < −1 (135)
En el límite de longitud de onda mucho mayor que el horizonte causal λ ≫ 1
aH
, la
Ec. (129) pasa a ser
v′′k −
(
a′′
a
)
= 0, (136)
cuya solución viene dada por
vk = Cka, (137)
donde Ck es una constante que puede calcularse llevando al horizonte cada una de
las soluciones (134) y (137) de la siguiente manera
|vsubk (k = aH)| ≈ |vsupk (k = aH)| → 1√
2k
≈ |Ck|a→
→ |Ck| ≈
a√
2k
→ |Ck| ≈ .
H√
2k3
. (138)
Y usando la Ec. (125) se puede ver fácilmente que
|δϕk| = |Ck| ≈
H√
2k3
. (139)
Por lo que, como se ha mencionado anteriormente, la perturbación se ‘congela’ en la
etapa del super-horizonte (se mantiene constante). Usando este resultado, la solución
final resulta ser
vk =
Ha√
2k3
. (140)
16Este momento viene determinado cuando el horizonte causal vuelve a hacerse más grande que la
longitud de onda comóvil.
44 Trabajo de fin de grado
Un cálculo útil que se puede hacer en este punto es el espectro de potencia de la
perturbación del campo inflacionario. Para ello debemos partir del conjunto promedio
de dicha magnitud. Se hará este análisis en el límite extremo de super-horizonte para
simplificar los cálculos.
lim
k≪aH
〈
δϕk⃗(S)δϕk⃗′(S)
〉
= lim
k≪aH
(2π)3δ(k⃗ + k⃗′)
|vk(S)|2
a2
= lim
k≪aH
(2π)3δ(k⃗ + k⃗′)
H2
2k3
(141)
Por lo que resulta que el espectro de potencia de esta perturbación es (siguiendo la
definición (110))
Pδϕ =
H2
2k3
. (142)
Para llegar a este resultado, en la Ec. (141) se ha usado la solución del límite de
super-horizonte (140).
13.2. Modelo de Mukhanov-Sasaki
El desarrollo que se hará en esta sección será muy similar al realizado en el modelo
simplificado, sólo que en este caso el parámetro vk se va a definir como
vk = zR, (143)
donde R es la anteriormente definida perturbación comóvil de curvatura (101) y z se define
como
z ≡ a
ϕ̇
H
. (144)
Por lo que la solución de la Ec. (119) variará. La solución en este caso será denominada
como ‘ecuación de Mukhanov-Sasaki’
v′′k +
(
k2 − z′′
z
)
vk = 0. (145)
Por lo general esta ecuación es de nuevo complicada de resolver ya que la función z
depende de la dinámica del fondo. Pero se pueden imponer condiciones concretas para
una resolución sencilla. Por ejemplo, si se consideran condiciones slow-roll, la evolución de
factor ψ y de H es mucho menor que la del factor escala a, por lo que puede considerarse
la siguiente aproximación
Daniel Martínez Gil 45
z′′
z
≈ a′′
a
, (146)
concluyendo las mismas soluciones vistas en el apartado del modelo simplificado.
En este caso, como la expresión de vk depende del factor R, será útil definir el conjunto
promedio de R. En este caso va a tenerse en cuenta el anteriormente definido gauge de
espacio plano, por lo que Ψ = 0.
〈
Rk⃗(τ)Rk⃗′(τ)
〉
= (2π)3δ(k⃗ + k⃗′)
|vk(τ)|2
z2
=
[
(2π)3δ(k⃗ + k⃗′)
|vk(τ)|2
a2
(
H
ϕ̇
)2
]
k=aH
(147)
Ahora se puede usar el resultado obtenido en el modelo simplificado (142), llegando a
que el espectro de potencia de R es
PR =
[
H2
2k3
(
H
ϕ̇
)2
]
k=aH
. (148)
13.3. Perturbaciones tensoriales
Como se ha introducido en la métrica (86), las perturbaciones tensoriales las repre-
sentaremos como hij, donde hij ≪ 1. Dichas perturbaciones hacen referencia a ondas
gravitacionales asociadas al universo primigenio. Además, al hacer esta aproximación, se
puede ver que dicha perturbación tiene únicamente dos modos de polarización
hij = h+h
(+)
ij + h×h
(×)
ij , (149)
que puede expresarse como una expansión de Fourier como
hij =
∫
d3k
(2π)2
∑
m=+,×
ϵmij (k)h
m
k⃗
(τ)eik⃗·x⃗. (150)
Podemos definir la variable
vm
k⃗
≡ a
2
hm
k⃗
, (151)
por lo que
hm
k⃗
=
vm
k⃗
2
a
. (152)
46 Trabajo de fin de grado
La variable dada por (151) satisface la Ec. (129), por lo que podemos calcular fácil-
mente el espectro de potencias de la perturbación tensorial.
〈
hk⃗(S)hk⃗′(τ)
〉
= (2π)3δ(k⃗ + k⃗′)4
|vm
k⃗
(τ)|2
a2
. (153)
Por lo que, por analogía a (141), resulta
Pt = 2Ph =
4H2
k3
. (154)
Llegados a este punto ya podemos calcular el ratio tensor escalar (117), que resulta
valer
r =
8ϕ̇
H2
. (155)
Una vez calculado este parámetro, ya se han introducido todas las variables medibles
del CMB, por lo que se puede empezara a relacionar dichas variables teóricas con medidas
reales.
14. Observaciones del CMB
El satélite Planck midió en 2015 que los datos del CMB eran consistentes con una
medida del índice espectral de
ns = 0,968± 0,006. (156)
Dichos datos vienen reflejados en [1]. Un análisis más reciente de BICEP2/Keck Array,
Planck y otros datos han dado una cota máxima al ratio tensor escalar de
r < 0,07. (157)
Estas observaciones pueden trasladarse a los parámetros Slow-roll, obteniendo
ϵ < 0,012 η =− 0,0080+0,0088
−0,0146. (158)
Estos datos pueden utilizarse para filtrar qué modelos son válidos. En la Fig. (9) puede
verse mejor qué modelos son válidos para estos datos.
Daniel Martínez Gil 47
Figura 9: Diagrama que muestra la relación entre el ratio tensor escalar r y el índice espectral
ns. Los datos fueron obtenidos por el satélite Planck en 2015 y combinados con los datos de
BICEP2/Keck Array y BAO (fuente [1])
Los datos más acertados de la Fig. (9) vienen dados por la sombra azul oscuro (Planck
TT, TE, EE +lowP), dentro de la cual únicamente vemos que se encuentra la teoría de
inflación R2 o inflación de Starobinsky . Se puede decir por lo tanto que esta teoría es la
que más cerca se encuentra de la verdad tras la inflación hasta la fecha.
15. Inflación de Starobinsky
Alexei Starobinsky se dio cuenta que si añadía una corrección a la acción de Einstein-
Hilbert se podía explicar mejor los sucesos producidos en el Universo primigenio. Esta
modificación daría lugar a una teoría de gravedad modificada17. Dicha acción modificada
será
S =
1
2
∫
d4x
√
−g
(
R +M4
pl
R2
6M2
)
, (159)
donde ‘M ’ representa la masa de Starobinksy. En su artículo original [30], Starobinsky
dice que este término modificador de la acción se debe a efectos cuánticos.
17Las ecuaciones de campo de Einstein se pueden obtener a partir de la acción de Einstein-Hilbert, por
lo que si se modifica dicha acción, se modificarán también las ecuaciones
48 Trabajo de fin de grado
Aunque la acción (159) no contiene explícitamente ningún campo escalar, se puede
encontrar una equivalencia formal entre dicha acción y y una teoría con gravedadcanónica
y un campo escalar ϕ, como puede verse en [32].
Si se realizan las transformaciones
g̃µν =
(
1 +
ϕ
3M2
)
gµν , (160)
ϕ′ =
√
3
2
ln
(
1 +
ϕ
3M2
)
, (161)
la acción (159) puede expresarse como
S =
1
2
∫
d4x
√
−g̃
[
R̃ + (dµϕ
′)2 − 3
2
M2
(
1− e−
√
2
3
ϕ′
)2
]
. (162)
Por lo que el potencial inflacionario en este modelo será
V =
3
4
M2
(
1− e−
√
2
3
ϕ′
)2
, (163)
que puede verse gráficamente en la Fig. (10).
Figura 10: Gráfica del potencial (163) respecto a ϕ′, tomando valores entre -1 y 15.
Asumiendo el número de e-folds esN ≈ 55, para queM sea consistente con las medidas
del CMB, debe valer M ≈ 1,3 · 10−5Mpl. Para este número de e-folds y para este modelo,
se requiere ϕinicial ≈ 5,5, ns ≈ 0,965 y r ≈ 0,0035 como puede apreciarse en la Fig. (9).
Daniel Martínez Gil 49
Este modelo de gravedad modificada no es sólo útil para la inflación, sino también
se usa en teorías de agujeros negros y cosmología modificada 18, por lo que es de gran
utilidad en física teórica.
16. Alternativas a la Inflación
El mayor éxito de los modelos inflacionarios es la capacidad de modelar las inhomo-
geneidades primordiales de densidad que dieron lugar a las estructuras a gran escala del
Universo que podemos observar hoy en día.
Desde que surgió la idea de la inflación, se han ideado escenarios alternativos para
resolver los problemas del Modelo Cosmológico Estándar, y explicar el origen de las es-
tructuras a gran escala. La mayoría de estos modelos no han llegado muy lejos, pero hay
cuatro modelos dignos de mención, los cuales se presentan en [12].
Modelos basados en defectos topológicos: las cuerdas cósmicas son objetos
que se supone se formaron en el Universo temprano de cuya existencia aún no
existen evidencias. Dichos objetos pueden explicar la formación de estructuras a
partir de perturbaciones cosmológicas cuya amplitud coincide con las observaciones.
El problema de estos modelos es que no solucionan los problemas que presenta el
MCE, por lo que no parecen ser viables.
Modelos pre-Big Bang: este modelo se basa en la superposición de que even-
tualmente se encontrará una solución al problema de la singularidad del origen del
universo y aprenderemos cómo podríamos transferir pequeñas perturbaciones de la
métrica a través de la singularidad. Estudios detallados de este modelo muestran
que también es insuficiente para resolver los problemas del MCE.
Escenarios ekpyrotic y cíclicos: la versión original del escenario ekpyrotic con-
sideraba una dimensión espacial adicional acotada por dos branas 19, una de las
cuales confinaba la materia de nuestro Universo. Este modelo parecía resolver los
problemas del MCE, sin embargo contenía varios errores significativos que lo hicieron
fracasar.
18Al modificarse las ecuaciones de Einstein, también se modifican las de Friedmann
19En este contexto, el término ‘brana’ se utiliza para referirse a los objetos del Universo cuadridimen-
sional pero que se mueven en mayores dimensiones.
50 Trabajo de fin de grado
El escenario elpyrotic fue reemplazado por el escenario cíclico, el cual usaba un nú-
mero infinito de períodos de expansión y contracción del Univero20. Sin embargo, la
inflación cíclica aún requiere una solución al problema cosmológico de la singulari-
dad.
Escenario de gas de cuerdas: es un modelo para el Universo temprano que hace
uso de los grados de libertad y simetrías de la teoría de cuerdas. En el contexto de
esta teoría, las fluctuaciones de densidad tienen un origen térmico. La mayor virtud
de este modelo es que evita el problema de la singularidad inicial.
A pesar de que los modelos inflacionarios aún no están libres de problemas concep-
tuales, actualmente ninguna de las alternativas propuestas ha sido tan exitosa como la
cosmología inflacionaria para resolver los problemas del MCE y explicar el origen de las
estructuras.
17. Futuras mediciones
Debido a la popularidad de la inflación frente a otras teorías, los cosmólogos están
ansiosos por la llegada de futuras mediciones decisivas, las cuales podrían sentenciar fi-
nalmente a la inflación. Las observaciones futuras más importantes son:
Una gran variación en el índice espectral αs = dns
d ln k
o una ruptura de la relación
r = −8nt.
Una mejor medida de las perturbaciones puede contener mucha información acerca
de qué modelos pueden ser descartados.
La medida más importante se centra en la detección de modos de polarización
primordiales en el CMB, es decir, en la medida de amplitud tensorial. Estas medidas
podrán realizarse gracias a la detección de ondas gravitacionales, las cuales se verán
considerablemente mejoradas con el lanzamiento de LISA.
20Realmente el escenario cíclico no es una alternativa real a la inflación, sino una versión peculiar de
ella.
Daniel Martínez Gil 51
18. Conclusiones
En este trabajo se ha partido de modelos cosmológicos básicos a partir de la métrica
FRW (teoría clásica del Big Bang). Este estudio nos ha llevado a problemas como el
del horizonte y el de planitud, cuya solución se complica si no recurres a una expansión
acelerada del Universo primigenio, a una inflación cósmica.
Como se ha visto también durante el trabajo, el mecanismo más sencillo para producir
la inflación es a través de un campo escalar (el inflatón) , que pierde su energía potencial
expandiendo el Universo en el proceso. Dicho campo era casi homogéneo, únicamente alte-
rado por fluctuaciones del vacío cuántico. Tras el proceso inflacionario, estas fluctuaciones
nos aportan una manera experimental de conocer el comportamiento y naturaleza de la
inflación, y por lo tanto, conocer el origen del Universo en el que vivimos.
La relación teoría-observaciones nos ha brindado la posibilidad de poder presentar la
prometedora inflación de Starobinsky. Esta teoría concuerda con los datos experimentales
del índice espectral y el ratio tensor-escalar, por lo que en un futuro dicha teoría puede
llegar a ser el marco central de la teoría inflacionaria.
Aun así, como casi toda teoría física, la inflación presenta problemas graves. El princi-
pal problema viene dado por la singularidad producida en el momento inicial del Universo,
cuyo desconocimiento abruma a los cosmólogos actuales. Otro problema viene dado por
las condiciones iniciales de la inflación. El inflatón debe ser excesivamente homogéneo, y
su velocidad inicial muy pequeña, de lo contrario esta teoría no funcionaría. Valores tan
precisos crean de nuevo problemas de ‘ajuste fino’, cuya explicación no tiene respuesta
actualmente. Por otro lado, aunque se cree que el bosón de Higgs puede tener relación con
el inflatón, la determinación de la naturaleza del inflatón experimentalmente está lejos
de poder realizarse, ya que los aceleradores de partículas actuales aún no son capaces de
realizar dichos progresos.
Aún así, aún queda mucho por hacer y descubrir, y no se ha perdido la esperanza.
La era de la cosmología de precisión empezó hace una década, y las futuras mediciones
anteriormente mencionadas brindarán la posibilidad de finalmente aceptar o desechar a
la inflación.
Finalmente, cabe destacar el carácter introductorio de este trabajo dentro del ámbito
inflacionario. Hay aspectos como la no gaussianidad, la inflación fuera del régimen slow-roll
o los modos de polarización del CMB que no se han podido mencionar, y cuya importancia
es crucial en este ámbito.
52 Trabajo de fin de grado
A. APENDICE: Obtención ecuaciones de Friedmann
Para hallar las ecuaciones de Friedmann debemos encontrar la expresión de todas las
componentes de las ecuaciones de campo de Einstein, a través de la métrica (11). Dicha
ecuación puede expresarse como
Rµν −
1
2
Rgµν + Λgµν =
8πG
c4
Tµν . (164)
Primero debemos encontrar todos los símbolos de Christoffel no nulos de la métrica
(11), usando la Ec. (6). Para ello primero vamos a expresar la métrica de forma matricial,
y vamos a calcular sus derivadas.
gµν =

−c2 0 0 0
0 a2(t)
1−kr2
0 0
0 0 a2(t)r2 0
0 0 0 a2(t)r2 sin2 θ
 (165)
Su forma contravariantees la siguiente
gµν =

− 1
c2
0 0 0
0 1−kr2
a2(t)
0 0
0 0 1
a2(t)r2
0
0 0 0 1
a2(t)r2 sin2 θ
 . (166)
Ahora calculemos sus derivadas
∂tgµν =

0 0 0 0
0 2aȧ
1−kr2
0 0
0 0 2aȧr2 0
0 0 0 2aȧr2 sin2 θ
 , (167)
∂rgµν =

0 0 0 0
0 a2k2r
(1−kr2)2
0 0
0 0 2a2r 0
0 0 0 2ra2 sin2 θ
 , (168)
Daniel Martínez Gil 53
∂θgµν =

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2r2a2 cos θ sin θ
 , (169)
∂ϕgµν =

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 . (170)
Ahora ya podemos calcular los símbolos de Christoffel correspondientes. Hagamos un
ejemplo. Para ello usaremos la expresión (6). Al ser un cálculo bastante extenso en vez
de denotar las coordenadas como [t,r,θ,ϕ], usaremos [0,1,2,3], con el fin de simplificar la
notación.
Γ1
01 =
1
2
g1λ (∂0gλ1 + ∂1g0λ − ∂λg01) =
=
1
2
g10 (∂0g01 + ∂1g00 − ∂0g01) +
1
2
g11 (∂0g11 + ∂1g01 − ∂1g01)
+
1
2
g12 (∂0g21 + ∂1g02 − ∂2g01) +
1
2
g13 (∂0g31 + ∂1g03 − ∂3g01) =
=
1
2
1− kr2
a2
2aȧ
1− kr2
=
ȧ
a
Donde hemos hecho uso de las matrices de la métrica covariante y contravariante y
sus derivadas. El resto de cálculos no los haremos, pero el procedimiento es idéntico. Los
símbolos de Christoffel no nulos restantes son
Γ2
02 =
ȧ
a
, Γ3
03 =
ȧ
a
, Γ1
10 =
ȧ
a
,
Γ0
11 =
aȧ
c2(1− kr2)
, Γ1
11 =
kr
1− kr2
, Γ2
12 =
1
r
,
Γ3
13 =
1
r
, Γ2
21 =
1
r
, Γ2
20 =
ȧ
a
,
Γ0
22 =
ȧar2
c2
, Γ1
22 = −r(1− kr2), Γ3
23 =
cos θ
sin θ
,
Γ0
33 =
ȧar2 sin2 θ
c2
, Γ1
33 = −(1− kr2)r sin2 θ, Γ2
33 = − sin θ cos θ.
54 Trabajo de fin de grado
Para encontrar el tensor de Riemann, debemos calcular también las derivadas de los
símbolos de Christoffel anteriores.
∂0Γ
1
01 =
ä
a
− ȧ2
a2
, ∂0Γ
2
02 =
ä
a
− ȧ2
a2
, ∂0Γ
3
03 =
ä
a
− ȧ2
a2
,
∂0Γ
1
10 =
ä
a
− ȧ2
a2
, ∂0Γ
0
11 =
ȧ2 + äa
c2(1− kr2)
, ∂1Γ
0
11 =
2ȧakr
c2(1− kr2)2
,
∂1Γ
1
11 =
2k2r2
(1− kr2)2
+
k
1− kr2
, ∂1Γ
2
12 =
−1
r2
, ∂1Γ
3
13 =
−1
r2
,
∂1Γ
2
21 =
−1
r2
, ∂0Γ
2
20 =
ä
a
− ȧ2
a2
, ∂0Γ
0
22 =
(ȧ2 + äa)r2
c2
,
∂1Γ
0
22 =
2ȧar
c2
, ∂1Γ
1
22 = 3kr2 − 1, ∂2Γ
3
23 =
−1
sin2 θ
,
∂0Γ
3
30 =
ä
a
− ȧ2
a2
, ∂1Γ
3
31 =
−1
r2
, ∂2Γ
3
32 =
−1
sin2 θ
,
∂0Γ
0
33 =
(ȧ2 + äa)r2 sin2 θ
c2
, ∂1Γ
0
33 =
2raȧ sin2 θ
c2
, ∂2Γ
0
33 =
ȧar2 sin θ cos θ
c2
,
∂1Γ
1
33 = (3kr2 − 1) sin2 θ, ∂2Γ
1
33 = −(1− kr2)2r sin θ cos θ, ∂2Γ
2
33 = sin2 θ − cos2 θ.
Ahora ya podemos calcular el tensor de Riemann, a través de su ecuación general
Ri
jkl = ∂jΓ
i
kl − ∂kΓ
i
jl + Γi
jmΓ
m
kl − Γi
kmΓ
m
jl . (171)
Calculemos R1
001 como ejemplo.
R1
001 = ∂0Γ
1
01 − ∂1Γ
1
01 + Γ1
0mΓ
m
01 − Γ1
0mΓ
m
01, (172)
que yendo a los valores de los símbolos de Christoffel y sus derivadas, obtenemos fácilmente
que
R1
001 =
ä
a
.
El resto de valores del tensor de Riemann son
R0
110 =
−äa
c2(1− kr2)
, R0
101 =
äa
c2(1− kr2)
, R0
202 =
äar2
c2
,
R0
212 =
−aȧ2r
c2
, R0
220 =
−äar2
c2
, R0
221 =
aȧ2r
c2
,
Daniel Martínez Gil 55
R0
303 =
äar2 sin2 θ
c2
, R0
323 =
−aȧr2 sin θ cos θ
c2
, R0
330 =
−äar2 sin2 θ
c2
,
R0
332 =
aȧr2 sin θ cos θ
c2
, R1
010 =
−ä
a
, R1
212 = (k +
ȧ2
c2
)r2,
R1
221 = (−k − ȧ2
c2
)r2, R1
313 =
(
k +
ȧ2
c2
)
r2 sin2 θ, R1
331 =
(
−k − ȧ2
c2
)
r2 sin2 θ,
R2
002 =
ä
a
, R2
020 =
−ä
a
, R2
112 =
−ȧ2
c2
− k
(1− kr2)
,
R2
121 =
ȧ2
c2
+ k
(1− kr2)
, R2
323 =
(
ȧ2
c2
+ k
)
r2 sin2 θ, R2
332 =
(
−ȧ2
c2
− k
)
r2 sin2 θ,
R3
003 =
ä
a
, R3
030 =
−ä
a
, R3
113 =
−ȧ2
c2
− k
(1− kr2)
,
R3
131 =
ȧ2
c2
+ k
(1− kr2)
, R3
223 =
(
−ȧ2
c2
− k
)
r2, R3
232 =
(
ȧ2
c2
+ k
)
r2.
La siguiente componente a calcular de la Ec. (164) es el tensor de Ricci. Podemos
hacerlo siguiendo la Ec. (7), pero al tener calculado ya el tensor de Riemann, es más
sencillo haciendo una contracción de la siguiente manera
Rij = Rm
imj = R0
i0j +R1
i1j +R2
i2j +R3
i3j. (173)
Este tensor resulta ser una matriz diagonal, por lo que lo expresaremos en forma
matricial para que sea más visual.
Rµν =

−3ä
a
0 0 0
0
äa
c2
+2 ȧ2
c2
+2k
1−kr2
0 0
0 0
(
äa
c2
+ 2 ȧ2
c2
+ 2k
)
r2 0
0 0 0
(
äa
c2
+ 2 ȧ2
c2
+ 2k
)
r2 sin2 θ
 .
El escalar de Ricci podemos calcularlo de nuevo haciendo una contracción de los dos
índices del tensor de Ricci con la métrica expresada en forma contravariante (166), de la
siguiente manera
R = gµνRµν , (174)
56 Trabajo de fin de grado
por lo que
R =

1
˘c2
0 0 0
0
(1−kr2)
a2 0 0
0 0 1
a2r2
0
0 0 0 1
a2r2 sin2 θ
 ·

−3ä
a
0 0 0
0
äa
c2
+2 ȧ2
c2
+2k
1−kr2
0 0
0 0
(
äa
c2
+ 2 ȧ2
c2
+ 2k
)
r2 0
0 0 0
(
äa
c2
+ 2 ȧ2
c2
+ 2k
)
r2 sin2 θ

,
resultando:
R =
6
a2c2
(äa+ ȧ2 + kc2). (175)
La última componente que nos queda por saber de las ecuaciones de Einstein es el
tensor de energía-momento. Si suponemos un espacio-tiempo plano, es decir, en el espacio
de Minkowski, dicho tensor en coordenadas esféricas [t,r,θ,ϕ], puede expresarse como
T
′
µν =

−ρc2 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
 . (176)
Pero nos movemos en un espacio-tiempo curvo, cuya curvatura está implícita en la
métrica FRW (11). Esta matriz funciona como matriz de transformación de la anterior,
obteniendo el tensor energía-momento en el espacio requerido
Tµν =

+ρc4 0 0 0
0 pa2
1−kr2
0 0
0 0 pa2r2 0
0 0 0 pa2r2 sin2 θ
 . (177)
Donde ρ es la densidad de energía del universo y p es la presión.
Ahora ya tenemos todas las componentes de las ecuaciones de Einstein (164), por lo
que ya podemos desarrollarlas. El tensor métrico, el tensor de Ricci y el tensor energía-
momento son diagonales, por lo que únicamente hace falta desarrollar las ecuaciones de
Einstein en en las posiciones 00,11,22,33
R00 −
1
2
g00R + Λg00 =
8πG
c4
T00, (178a)
R11 −
1
2
g11R + Λg11 =
8πG
c4
T11, (178b)
Daniel Martínez Gil 57
R22 −
1
2
g22R + Λg22 =
8πG
c4
T22, (178c)
R33 −
1
2
g33R + Λg33 =
8πG
c4
T33. (178d)
Ahora simplemente debemos sustituir los valores de cada tensor, los cuales ya hemos
calculado anteriormente, quedando
−3ä
a
− 1
2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2c2
)
(−c2) + Λ(−c2) =
8πG
c4
c4ρ, (179a)
äa
c2 + 2 ȧ2
c2 + 2k
1− kr2
− 1
2
a2
1− kr2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2c2
)
+ Λ
a2
1− kr2
=
8πGpa2
c4(1− kr2)
, (179b)
(
äa
c2
+ 2
ȧ2
c2
+ 2k
)
r2 − 1
2
a2r2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2c2
)
+ Λa2r2 =
8πGpa2
c4
r2, (179c)
[(
äa
c2
+ 2
ȧ2
c2
+ 2k
)
− 1
2
a2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2c2
)
+ Λa2
]
r2 sin2 θ =
8πGpa2
c4
r2 sin2θ. (179d)
Es fácilmente visible que las ecuaciones (179b), (179c), (179d) son las mismas, por lo
que se puede simplificar a dos ecuaciones
−3ä
a
+
1
2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2
)
− Λc2 = 8πGρ, (180a)
äa
c2
+ 2
ȧ2
c2
+ 2k − 1
2
a2
(
6(äa+ ȧ2 + kc2)
a2c2
)
+ Λa2 =
8πGpa2
c4
. (180b)
Y una última simplificación, nos da las ecuaciones de Friedmann
3
ȧ2
a2
+ 3
k c2
a2
− Λc2 = 8 π G ρ (181a)
−2
ä
a
− ȧ2
a2
− k c2
a2
+ Λ c2 =
8 π G p
c2
(181b)
58 Trabajo de fin de grado
Referencias
[1] P.A.R. Ade, N. Aghanim, M. Arnaud, F. Arroja, M. Ashdown, J. Aumont, C. Bac-
cigalupi, M. Ballardini, A.J. Banday, R.B. Barreiro, et al. Planck 2015 results-xx.
constraints on inflation. Astronomy & Astrophysics, 594, 2016.
[2] Y. Akrami, S. Casas, S. Deng, and V. Vardanyan. Quintessential α-attractor inflation:
forecast for stage iv galaxy surveys. Technical report, Université PSL, Sorbonne
Université, Université Paris Diderot and The University of Tokyo, March 2021.
[3] R. Allahverdi, R. Brandenberger, F. Y. Cyr-Racine, and A. Mazumdar. Reheating
in inflationary cosmology: Theory and applications. Technical report, University of
New Mexico, University of British Columbia and Niels Bohr Institute, January 2010.
[4] I. Antoniadis and S. P. Patil. The effective planck mass and the scale of inflation.
The European Physical Journal C, 2015.
[5] J. M. Bardeem. Gauge-invariant cosmological perturbations. Institute for Advanced