Álgebra: Produtos Notáveis e Fatorização

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Eje Temático: Álgebra y Funciones
Gúıa MM08: Productos Notables y Factorización
1
1. Introducción
Se les llama productos notables a ciertos productos de uso común y que cumplen una
serie de reglas. Conocer y memorizar estos productos nos permitirá resolver ejercicios de
manera mucho más rápida, además de posibilitar la factorización de expresiones algebraicas
complejas, lo cual corresponde a escribir una expresión algebraica como producto de otras
expresiones, de menor grado.
2. Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas
Para mostrar como realizar estas operaciones, se irán mostrando desde los casos más básicos
o los más complejos.
2.1. Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios, el procedimiento consiste en agrupar de acuerdo a las bases de
las potencias, aplicando las propiedades que correspondan. En caso de tener valores numéri-
cos, estos se multiplican de la manera habitual.
Ejemplo:
(2x2y3) · (3xy−1z) = 2 · 3 · x2 · x · y3 · y−1 · z
= 6 · x2+1 · y3−1 · z
= 6x3y2z
Ejercicio:
1. Si b 6= 0, entonces a2b3c · 1
2
· 4c3d · b−2 =
A) a2b3c4d
B) a2bc4d
C)
a2b3c4d
2
D) 2a2bc4d
E)
a2b3c4d
4
2
2.2. Multiplicación de Monomios por Polinomios
Para multiplicar monomios por polinomios, el procedimiento consiste en multiplicar orde-
nadamente término por término, aplicando las propiedades de las potencias según corres-
ponda. En este caso, el monomio debe multiplicar a cada término del polinomio, manteniendo
la separación por el signo de suma o resta. En caso de tener valores numéricos que acompañen
a los valores literales, estos simplemente se multiplican de la manera habitual.
Ejemplo:
2x2 · (3xy + z2) = 2x2 · 3xy + 2x2 · z2
= 2 · 3 · x2 · x · y + 2 · x2 · z2
= 6 · x2+1 · y + 2 · x2 · z2
= 6x3y + 2x2z2
Ejercicio:
1. 3mn · (2n− 3m) =
A) 6(mn2 −m2n)
B) 6(m2n2 −mn)
C) 6mn2 − 9m2n
D) 6mn− 9m2n2
E) −4m
2.3. Multiplicación de Polinomios por Polinomios
Al igual que en el caso anterior, hay que multiplicar término por término aplicando las
propiedades de las potencias según corresponda. En este caso, se debe tomar cada monomio
presente en el polinomio y multiplicarlo por cada monomio del otro polinomio, multiplicando
los coeficientes numéricos si aśı lo amerita.
Ejemplo:
(2x2 + 3y) · (3xy − p + z2) = 2x2 · 3xy − 2x2 · p + 2x2 · z2 + 3y · 3xy − 3y · p + 3y · z2
= 6x3y − 2x2p + 2x2z2 + 9xy2 − 3yp + 3yz2
3
Ejercicio:
1. (q + p) · 2(m− n) =
A) 2mq − nq + 2mp− np
B) mq − nq + mp− np
C) 2m− 2n + 2q + 2p
D) 2mq − 2nq + 2mp− 2np
E) −2mq − nq + mp− np
2.4. División de Monomios
Para dividir monomios, el procedimiento consiste en dividir agrupando de acuerdo a los
factores literales, y aplicando las propiedades de las potencias según corresponda. En caso de
tener factores numéricos que acompañen a los factores literales, estos se dividen de la manera
habitual.
Ejemplo: Para x, y, z 6= 0, se tiene que:
2x2y3
4xy−1z
=
2
4
· x
2
x
· y3
y−1
· 1
z
=
1
2
· x2−1 · y3−−1 · 1
z
=
xy4
2z
Ejercicio:
1. Si a, b 6= 0, entonces
a6b−15
a−2b−5
=
A) −9
7
B) a8b−10
C) a4b−20
D) a−3b3
E) −9
4
2.5. División de Polinomios por Monomios
En este caso, el polinomio se debe separar por términos para efectuar varias operaciones
de división de monomios, aplicando las propiedades de las potencias según corresponda.
Ejemplo:
3x2 + 6y3
3xy
=
3x2
3xy
+
6y3
3xy
=
x
y
+
2y2
x
Ejercicio:
1. Sea m 6= 0. Al simplificar la expresión
m−mr
2m
resulta:
A) 0
B) −r
2
C)
1
2
− r
2
D)
m
2
− r
2
E)
1
2
− mr
2
3. Productos Notables
Existen algunas expresiones algebraicas que cumplen reglas fijas, cuyo desarrollo y posterior
factorización son caracteŕısticos. A continuación se muestran los más usados.
3.1. Cuadrado de Binomio
Podemos calcular el cuadrado del binomio a + b, con a, b ∈ R, de la siguiente manera:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
5
En caso de que el binomio sea una resta, la demostración es análoga a la anterior. Por lo
tanto, la fórmula general para el cuadrado de binomio es:
(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Ejemplo:
(2xy − 3pq)2 = (2xy)2 − 2 · 2xy · 3pq + (3pq)2
= 4x2y2 − 12xypq + 9p2q2
Ejercicio:
1. Si n = (a + 2)2 y p = (a− 2)2, entonces n + p =
A) 2a2 + 8
B) 8a
C) a2 + 4
D) 4a
E) 2a
3.2. Suma por Diferencia
Podemos calcular el producto entre la suma y la diferencia de dos monomios a, b ∈ R, de
la siguiente manera:
(a + b)(a− b) = a2 − ab + ab− b2
= a2 − b2
Ejemplo:
(7x + 4y)(7x− 4y) = (7x)2 − (4y)2
= 49x2 − 16y2
Ejercicio:
1. La expresión (a + 1)(a− 1)− (a− 3)2 es equivalente a:
A) (a− 1)2
B) (a + 1)2(a− 3)3
C) a2 − 9
D) 6a− 10
E) −6a + 10
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3.3. Multiplicación de Binomios con Término Común
A continuación calcularemos el producto entre dos binomios distintos que poseen un
término en común x.
(x + a)(x + b) = x2 + xb + xa + ab
= x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
(3x + 2)(3x− 7) = (3x)2 + (2− 7)3x + 2 · −7
= 9x2 − 5 · 3x− 14
= 9x2 − 15x− 14
Ejercicio:
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones hay que multiplicar por k + 3 para que el resultado
sea k2 + k − 6?
A) k + 1
B) k + 2
C) k − 6
D) k − 3
E) k − 2
3.4. Cubo de Binomio
Calculemos el cubo del binomio a + b, con a, b ∈ R. Para facilitar su cálculo, notemos que
podemos utilizar la fórmula del cuadrado de binomio en el desarrollo.
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Generalizando para el caso en que el binomio es una resta, se obtiene:
(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
7
Ejemplo:
(2x− 5p)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 · 5p + 3 · 2x · (5p)2 − (5p)3
= 8x3 − 3 · 4x2 · 5p + 3 · 2x · 25p2 − 125p3
= 8x3 − 60x2p + 150xp2 − 125p3
Ejercicio:
1. Se sabe que el volumen total de agua que puede albergar una piscina es el cubo de la
altura de la piscina. Entonces si la altura de dicha piscina es q+ 1, la cantidad agua que
puede albergar es:
A) (1 + q)2
B) 1 + q3
C) 1 + 3q + q3
D) q3 + 3q2 + 3q + 1
E) q3 − 3q2 + 3q − 1
3.5. Cuadrado de Trinomio
Este producto notable es muy similar al cuadrado de binomio.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2a− b + 3c)2 = (2a)2 + (−b)2 + (3c)2 + 2 · 2a · −b + 2 · 2a · 3c + 2 · −b · 3c
= 4a2 + b2 + 9c2 − 4ab + 12ac− 6bc
Ejercicio:
1. x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9 es el resultado al desarrollar:
A) (x + y + 9)2
B) (x + y + 3)2
C) (x + y − 9)2
D) (x + y − 3)2
E) (x− y + 3)2
8
4. Factorización
La factorización, es una técnica matemática que consiste en encontrar términos comunes
entre polinomios con el fin de reducir expresiones y/o agrupar términos eficientemente para
encontrar soluciones a problemas.
4.1. Extracción de Factor Común
La extracción de factores comunes, consiste en encontrar el menor valor de potencia entre
dos expresiones que contienen un término y un divisor común entre términos numéricos que
acompañen estas expresiones.
Ejemplos:
1. Encontremos un factor común del polinomio 3xy2 + 6y3p− 81xy5r. Como podemos ver,
el trinomio posee algunos factores que son comunes a los tres términos.
Los factores numéricos 3, 6 y 81 son divisibles por 3. Por lo tanto, 3 es un factor
común de esta expresión.
El factor literal y está presente en los tres términos de la expresión. Nos interesa
encontrar el menor valor de sus potencias, que en este caso es y2. Por lo tanto, este
es otro factor común de la expresión.
Los factores literales x, p y r solo están presentes en uno o dos de los términos, por
lo tanto no constituyen factores comunes de esta expresión.
Podemos descomponer la expresión usando el factor común encontrado 3y2:
3xy2 + 6y3p− 81xy5r = (3y2) · x + (3y2) · 2yp− (3y2) · 27xy3r
= (3y2)(x + 2yp + 27xy3r)
2. De manera análoga al ejemplo anterior intentaremos reducir la expresión
12x2y2 − 6xy
15x3y2 − 3xyp
.
12x2y2 − 6xy
15x3y2 − 3xyp
=
3xy · 4xy − 3xy · 2
3xy · 5x2y − 3xy · p
=
3xy · (4xy − 2)
3xy · (5x2y − p)
=
4xy − 2
5x2y − p
9
4.2. Factorización con ProductosNotables
Podemos emplear los valores conocidos de los productos notables para ejecutar factoriza-
ciones que nos pueden permitir desarrollar expresiones algebraicas de manera más sencilla.
Ejemplos:
1. Podemos simplificar la expresión
x2 + 5x + 6
x2 − 4x− 21
, usando la multiplicación de binomios
con término común, y luego simplificando el binomio (x + 3).
x2 + 5x + 6
x2 − 4x− 21
=
(x + 2)(x + 3)
(x + 3)(x− 7)
=
x + 2
x− 7
2. Simplifiquemos la expresión
4x2 − 9y2
2x + 3y
, aplicando la factorización de suma por diferencia,
y luego simplificando el binomio 2x + 3y.
4x2 − 9y2
2x + 3y
=
(2x)2 − (3y)2
2x + 3y
=
(2x + 3y)(2x− 3y)
2x + 3y
= 2x− 3y
Ejercicio:
1. Si x 6= −2, 2, 3, entonces al reducir la expresión
x2 − 5x + 6
x2 − 4
:
x2 − 6x + 9
x2 − x− 6
=
A) 0
B)
1
(x + 2)2
C)
x + 2
x− 2
D)
1
x− 2
E) 1
10
4.3. Suma y Diferencia de Cubos
La suma de dos cubos puede expresarse de la siguiente manera:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Ejemplo:
8x3 + 27y6 = (2x)3 + (3y2)3
= (2x + 3y2)((2x)2 − 2x · 3y2 + (3y2)2)
= (2x + 3y2)(4x2 − 6xy2 + 9y4)
Por otra parte, la diferencia de dos cubos, puede expresarse como:
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
p3 − 64q9 = p3 − (4q3)3
= (p− 4q3)(p2 + p · 4q3 + (4q3)2)
= (p− 4q3)(p2 + 4pq3 + 16q6)
Ejercicio:
1. Si x2 + ax + a2 = 5 y x− a = 2, entonces el valor de x3 − a3 es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 10
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4.4. Factorización de un Trinomio Ordenado
Existe un caso especial. El llamado “trinomio ordenado”, que se compone de trinomios de
la forma ax2 ± bx± x, donde a no constituye un cuadrado perfecto, por ende no es fac-
torizable como un trinomio con término común. Para resolver este tipo de trinomio, debemos
amplificar la expresión multiplicándola por el término a, para formar un cuadrado perfecto,
y al mismo tiempo dividirla por a para no alterar el valor total de la expresión. En el fondo
estamos multiplicando por un 1 pero de una manera un poco más compleja.
Ejemplo:
Intentemos factorizar 3x2 + 7x− 6. Claramente 3, el factor numérico que acompaña a x2,
no es un cuadrado perfecto, por ende no podemos factorizar esta expresión simplemente como
un trinomio con término común. Vamos a multiplicar cada término de la expresión por 3, y
también dividiremos la expresión por 3:
3x2 + 7x− 6 =
1
3
· (3 · 3x + 3 · 7x− 3 · 6)
=
1
3
(9x2 + 7 · 3x− 18)
Notemos que el término central lo dejamos expresado sin resolver, para que el término
común 3x fuera más evidente. Ahora, la expresión dentro del paréntesis si puede factorizarse
como un trinomio con término común.
1
3
(9x2 + 7 · 3x− 18) =
1
3
(3x + 9)(3x− 2)
=
(
3x
3
+
9
3
)
(3x− 2)
= (x + 3)(3x− 2)
Con lo que llegamos al resultado final. Se puede comprobar que al resolver la multiplicación
de estos binomios se recupera la expresión original que queŕıamos factorizar.
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4.5. Ejercicios:
1. Si x 6= 4, entonces
4x2 − 16x
x2 − 8x + 16
=
A) 4x
B) x− 4
C)
1
x− 4
D)
4x
x− 4
E) 1
2. Al simplificar la expresión
x3 − 1
x2 − 6x− 7
· x
2 − 14x + 49
2x2 + 2x + 2
:
x2 − 8x + 7
2x2 − 2
resulta:
A) 2x− 2
B) 2x + 2
C) x− 1
D) x + 1
E)
1
x− 1
3. Si uno de los factores de 2x2 + 2x− 24 es x− 3, el otro factor es:
A) x + 8
B) 2x + 16
C) 2x− 8
D) 2x− 6
E) 2x + 8
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5. Problemas Propuestos
1. 7x + 7y + 7z =
A) 7(x + y + z)
B) 7(x + y) + z
C) 7(x + z) + y
D) 7(y + z) + x
E) x + y + z
2. Para x 6= 2, se tiene que
x2 + x− 6
x− 2
=
A) x− 3
B) x− 2
C) x + 3
D) x + 2
E) x
3. (x + 2)2 − (x + 1)(x− 1) =
A) 4x− 5
B) 4x
C) 4x + 5
D) 4x + 6
E) 8x
4. Al multiplicar
(
−1
4
y + 4x
)(
1
2
y + 4x
)
el coeficiente numérico que acompaña al término
xy es =
A) −1
8
B) 1
C) −1
D)
1
2
E) −1
2
14
5. Si j = −
(
1
2
b + 2
)2
y k =
(
−1
2
b + 2
)2
entonces k + j =
A) −1
2
B) −4b
C) −2b
D) 8
E) 0
6. n− [(2n)−1 + (3n)−1 + (5n)−1] =
A) 10n
B)
n2 − 10
n
C)
10n2 − 1
10n
D)
30n− 31
30
E)
30n2 − 31
30n
7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones simplificadas son iguales a 2?
I)
2x− 3
6 + 4x
II)
2(a− b)(a + b)
(a + b)2 − 2b(b + a)
III)
(b− a)2
2
a2 − 2ab + b2
4
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo II y III
D) Solo I y II
E) I, II y III
15
8. Si (x + y + a)2 = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y, entonces a =
A) 10
B) 3
C) 2
D) 0
E) 1
9. Si x 6= 3, la expresión
x3 − 27
x3 − 9x2 + 27x− 27
es equivalente a:
A) 1
B) x2 + 3x + 9
C)
x2 + 3x + 9
x− 3
D)
x2 + 3x + 9
(x− 3)2
E) Ninguna de los anteriores
10. Si n 6= 2, entonces
3n2 − 6n
n2 − 4n + 4
=
A)
3n
n + 2
B)
3n
n− 2
C)
−3n
n + 2
D) −3
E) 0
11. Al simplificar la expresión
p5+n − p3+n
p2 + p
se obtiene:
A) p−2+n(p2 − 1)
B) p2+n(p2 − 1)
C)
pn(p2 − 1)
2
D) pn(p2 + 1)
E) p2+n(p− 1)
16
12. Si uno de los factores de 9x2 − 24xy + 16y2 es 3x− 4y, entonces el otro factor es:
A) 9x + 6y
B) 3x− 4y
C) 3x + 4y
D) 9x + 4y
E) 8x− 3y
13. Si n veces x es igual a a2 + b2, entonces x2 =
A)
a2 + b2
n
B)
(
a + b
n
)2
C)
a4 + b4
n2
D)
(
a2 + b2
n
)2
E)
a4 − b4
n2
14. Si x +
1
y
= 9 y
x2y2 − 1
y2
= 36 entonces x− 1
y
=
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
E) −9
17
15. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son divisores de la expresión algebraica 3x2−12x+
12?
I) 3
II) (x− 2)
III) (x + 2)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
16. Si
n2
4
=
x
2
· x · 1
2
, entonces n =
A)
x
4
B)
x
2
√
2
C) x
D)
x
2
E)
x2
4
17. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La factorización de x3 − 8 es (x− 2)3
II) El trinomio x2 + 18x− 81 corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio
III) x2 − 5x + 6 = (x− 3)(x− 2)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
18
18.
5m + 4
3m− 6
− 2m− 6
2m− 4
=
A)
2m + 13
3(m− 2)
B)
2m− 5
3(m− 2)
C)
2m + 5
3(m− 2)
D)
2m− 3
3(m− 2)
E)
3m− 2
m− 10
19. Se puede determinar el valor de a + b si se sabe que:
(1) a3 + b3 = 20
(2) a2 + ab + b2 = 4
A) (1) Por śı sola
B) (2) Por śı sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por śı sola (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
20. Se puede determinar el valor numérico de la expresión
(a2 − b2)x2
ax− bx
, con a 6= b si se sabe
que:
(1) (a + b) = 3
(2) x = 1
A) (1) Por śı sola
B) (2) Por śı sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por śı sola (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
19
6. Claves
Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave
1 A 6 E 11 E 16 C
2 A 7 C 12 B 17 B
3 C 8 C 13 D 18 A
4 B 9 D 14 C 19 E
5 B 10 B 15 C 20 C
20