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Física I 1 Física I Módulo II. Movimiento Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 2 Introducción al módulo Muchos de los fenómenos cotidianos a los cuales nos exponemos tienen relación con el movimiento: el vehículo de transporte que usamos para desplazarnos de un sitio a otro, una gota de agua al caer, las manecillas de un reloj o la misma Tierra al rotar sobre su propio eje. Todos esos movimientos, por más increíble que parezca, pueden ser clasificados esencialmente en dos tipos: el movimiento uniforme y el movimiento variable. En este módulo, conocerás los diferentes tipos de movimiento que puede tener un cuerpo, y el comportamiento de las variables que lo describen. Primeramente analizaremos el caso del movimiento en un solo eje, cuando se desplaza en línea recta, tanto en el plano vertical como en el horizontal. Posteriormente cuando se mueve simultáneamente en dos ejes, describiendo trayectorias parabólicas. Además aprenderás la relación que existe entre las formas de expresión verbal, gráfica, algebraica y numérica para el movimiento de un objeto y la manera en que se pueden obtener datos de cada una de esas formas de expresión. Para iniciar el presente módulo es necesario repasar ciertas herramientas matemáticas que permitan la realización de operaciones con cantidades físicas y la manipulación de las variables involucradas en las diferentes situaciones de estudio que se presentan. Competencias del módulo Las competencias que desarrollarás en este módulo son las siguientes: Solucionar ejercicios numéricos que involucren operaciones con vectores usando los métodos gráfico y analítico para desarrollar la habilidad para efectuar sumas y restas vectoriales. Solucionar ejercicios numéricos del movimiento uniforme y del movimiento acelerado en una y en dos dimensiones y en donde se incluya la transformación de unidades para familiarizarse con las variables de cada uno de esos fenómenos. Elaborar una representación simbólica (algebraica, grafica, numérica) a partir de la descripción verbal de un fenómeno relacionado con el movimiento de los cuerpos para desarrollar la habilidad para transformar una representación en otra. Interpretar el comportamiento de las diferentes variables que actúan sobre un cuerpo en movimiento cuando son presentadas en forma verbal o simbólica para predecir los diferentes valores que pueden adquirir. Describir en forma verbal o simbólica el comportamiento de las variables que actúan sobre un cuerpo en movimiento para reconocer la relación entre las mismas. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 3 Revisa a continuación las unidades que componen este módulo: Unidad 1 Herramientas matemáticas. Unidad 2 Movimiento Horizontal. Unidad 3 Movimiento Vertical. Unidad 4 Movimiento en dos dimensiones. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 4 Unidad 1. Herramientas matemáticas Introducción a la unidad La Física es la rama de la ciencias naturales que se encarga de estudiar los fenómenos naturales en donde no existe cambio en la composición de la materia. Sus leyes han sido desarrolladas debido al trabajo cuidadoso de los científicos al hacer mediciones que, después de ser comparadas, permiten encontrar la relación entre variables. Eventualmente dicha relación puede ser expresada en forma de una ecuación algebraica y de esa forma será válida para todos los casos similares. Debido a lo anterior, para estudiar los fenómenos físicos es necesario tener un conocimiento sólido de las unidades usadas para su medición y la forma en que se pueden hacer operaciones entre ellas. Por otra parte cuando escuchamos que hay una temperatura de 35°C, o pensamos que tenemos un billete de 100 pesos, ó que conocemos una persona de 60 kg con esta información podemos darnos una idea de lo que se trata. Sin embargo, si tenemos una mesa justo en el centro de la habitación y le aplicamos una fuerza de 100 unidades: ¿hacia dónde piensas que podría moverse la mesa? Por otro lado, si camináramos cinco metros dentro del salón de clase: ¿cuál sería nuestra posición final, cerca del pizarrón, de la ventana o de la puerta? Al parecer la información anterior no está completa, le falta esa parte decisiva para poder conocer el efecto que se produce; en el caso de la fuerza sobre la mesa falta decir hacia dónde se está aplicando la fuerza y para el movimiento en el salón de clase, en qué dirección se produce. Como en los ejemplos anteriores cotidianamente es necesario expresar cantidades que no quedan perfectamente definidas con tan solo mencionar su tamaño ó magnitud, sino que es necesario expresar cierta información adicional. En esta unidad exploraremos las diferentes características de las cantidades físicas. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 5 Competencias de la unidad Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes: Efectuar operaciones con cantidades físicas en donde se realicen transformaciones de unidades de cualquier tipo y determinación de las unidades de una variable desconocida. Solucionar ejercicios de suma y resta con vectores usando el método gráfico y analítico. Revisa a continuación los temas que componen esta unidad: Tema 1 Unidades y su transformación Tema 2 Unidades de una variable desconocida en una ecuación Tema 3 Cantidades vectoriales Tema 4 Operaciones con vectores Tema 1. Unidades y su transformación La mayoría de las cantidades medidas en Física tienen un número que tiene asociado cierta unidad. Además, esa cantidad expresa la medida de algo. Entonces, además del número, podemos decir que la cantidad física tiene dimensión y unidades. Por ejemplo escuchamos que alguien dice: “7 segundos” Pensamos dos cosas: a) Se refiere a Tiempo (dimensión) b) Habla de un tiempo muy breve, porque son Segundos (unidades) ¿Qué es lo que estoy midiendo? La dimensión de una variable es la característica de lo que estoy midiendo. Las cinco dimensiones fundamentales son: Masa. Temperatura. Tiempo. Longitud. Carga eléctrica. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 6 Dimensión Velocidad Aceleración Fuerza Dimensiones que combina {L } / {T } { L } / { T2 } {M } {L } / {T2 } Presión {M} / {L }{T2 } Unidad Derivada m/s m/s2 kg La Unidad es la manera en que expresamos una medición y dependen del sistema de medición que estemos usando. De esta forma una misma dimensión puede ser expresada en muchas formas diferentes. Las Unidades Fundamentales expresan la medición de una sola dimensión. Observa los ejemplos en la tabla. Nota: ft, in, lb, y oz, son unidades del Sistema Inglés, aquí te presentamos las equivalencias. ft= pie, equivale a 30.48 cm in= pulgada, equivale a 2.54 cm lb=libra, equivale a 454 g oz = onza equivale a 28.35 g Algunas cantidades no pueden ser expresadas considerando individualmente solo una de las 5 dimensiones anteriores. En ese caso es necesario combinar dos o más dimensiones ya sean iguales o diferentes. Lo cual da lugar a las Unidades Derivadas. Recuerda que: M= Masa T=Tiempo DIMENSIÓN Longitud Masa Tiempo Temperatura Carga eléctrica UNIDADES km, m, cm, mm, ft, in ton, kg, lb, g, oz mes, día, hora, segundo °F, °C C Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 7 L= Longitud Diferencias entre las unidades fundamentales y las derivadas. Las unidades fundamentales son aquellas que miden sólo unadimensión. Por otra parte las unidades derivadas resultan de la medición de dos o más dimensiones ya sean iguales o diferentes. También existen algunas cantidades físicas son adimensionales, tales como: logaritmos, función exponencial (e), identidades trigonométricas (sen, cos, tan ), π , números sueltos. Ejemplo de Unidades Fundamentales: - 3 horas (mide tiempo). - 20 metros (mide longitud). Ejemplo de Unidades Derivadas: - Un área de 10 m2 (mide dos dimensiones iguales de longitud: largo y ancho de una superficie). - Velocidad de 40 km/h (mide dos dimensiones diferentes: los kilómetros para la longitud y la hora para el tiempo.) Transformación de unidades: Método del factor En los cursos de matemáticas hemos aprendido que siempre que una variable se encuentre en ambos lados de un cociente, dicha variable se puede cancelar, porque al dividirla entre sí misma nos da 1: ab a b b b ab (1) ac a c c c ac La idea es que la variable que queremos transformar nos quede en ambos lados del cociente para poder “eliminarla”. Esto se logra mediante el uso de un factor de transformación. Se requiere de un factor (equivalencia) tal que al multiplicarse por las unidades a transformar, éstas se cancelen. Cuando se inicia el estudio del análisis dimensional es muy útil aplicar un arreglo como el siguiente: Multiplicación Div isió Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 8 Aquí se ubican las cantidades a transformar Aquí se ubican las equivalencias Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 9 100 cm En donde: En la línea vertical implica multiplicación de lo que tengo a la izquierda con lo que tengo a la derecha. La línea horizontal implica división de lo que tengo arriba y lo que tengo abajo. Por ejemplo: Transforma 5 metros en centímetros. Primero, tenemos la equivalencia entre metros y centímetros: 1 m=100 cm Se tienen dos opciones para acomodar la equivalencia: En la primera opción colocamos 1m en la parte superior y los 100cm en la inferior. 5m 1 m = ( 5m ) ( 1m) = .05 m2 100cm cm Al colocar 1 m en la parte superior y los 100cm en la inferior, se observa que no se obtienen las unidades adecuadas para cancelar. La segunda opción contempla acomodar la equivalencia de manera diferente con los 100 cm en la parte superior y 1m en la inferior. = ( 5m) (100cm) = 500 cm ( 1m) Acomodando la equivalencia de manera diferente con los 100 cm en la parte superior y 1m en la inferior. Se tienen las unidades expresadas en metros (m) arriba y abajo del signo de división y por lo tanto se pueden cancelar. En otro ejemplo: “Se requiere transformar 90km/h en m/s” Esto implica una doble transformación: los kilómetros a metros y las horas a segundos. Las equivalencias son las siguientes: 1km= 1000m y 1hora = 3,600segundos. = 25m/s En las unidades a transformar: los km se encuentran en la parte superior. Por lo tanto la equivalencia de los km se coloca en la parte inferior. Por otra parte las horas en las unidades a transformar se encuentran en la parte 5m 100 cm 1 m 90km 1,000m 1 h 1 km 3,600s Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 10 inferior. Y en la equivalencia son colocadas en la parte superior. De esta forma se cancelan las unidades kilómetros y horas. Y nos quedan únicamente las unidades metros y segundos. Las equivalencias más comunes para efectuar transformaciones son: Longitud. 1 km = 1000m 1 m= 100cm 1cm= 10mm 1 milla= 1609m 1 pulgada= 2.54cm Masa. 1 tonelada= 1000kg 1 kg = 1000g 1 libra = 0.454 kg Tiempo. 1 año = 365 días 1día = 24 horas 1 hora = 3600 segundos Tema 2. Unidades de una variable desconocida en una ecuación Otra de las aplicaciones del análisis dimensional consiste en determinar las unidades que le corresponden a una variable desconocida, para lograrlo se requiere de conocer las unidades de las otras variables para sustituirlas en la ecuación y así encontrar las unidades buscadas. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1. Ejemplo 2. Se parte del hecho de que en ambos lados de la ecuación debe existir igualdad de unidades, aun en ecuaciones muy complejas que involucren muchas variables. unidades de la velocidad “V”. Para la distancia se tienen unidades en metros (m) Para el tiempo “t” se tienen unidades en segundos (s) Sustituyendo esas unidades en la ecuación, entonces las unidades para la velocidad son m/s. se requiere encontrar las En la ecuación Por ejemplo: En la ecuación V V0 at En donde “V ”y “V0 ” son velocidades en m/s y “ t ” es tiempo en segundos se requiere encontrar las unidades de “ a ” Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 11 Ejemplo 3. Primeramente se despeja la variable “ a ” de manera que “V0 ”, que está sumando, pasa al otro lado de la ecuación restando a “V ” El tiempo “ t ”, que está multiplicando, pasa dividiendo a las dos velocidades anteriores, quedando la ecuación: V V0 a t Sustituyendo las unidades tenemos m m s s s nos queda s s Para solucionar esto y aplicar la regla de multiplicar extremo por extremo y medio por medio, al segundo de la parte inferior le colocamos un 1 quedando Y así obtenemos las unidades de la aceleración: s 2 Siguiendo los pasos del ejemplo 2, hasta llegar a esta ecuación: Una forma alterna de realizar la división es como se vio en el curso de matemáticas IV en donde se realizaba la división multiplicando en forma cruzada las cantidades que se encontraban arriba y debajo de la línea horizontal: s 2 Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 12 Tema 3. Cantidades Vectoriales Los dos tipos de cantidades usadas al expresar mediciones físicas son: Las cantidades escalares Las cantidades vectoriales Cantidades escalares Son todas aquellas que quedan perfectamente definidas con tan sólo mencionar su magnitud (tamaño). Por ejemplo: 10 litros, 50 minutos, 1.70 metros, 20 manzanas. Pueden ser sumadas en base a la aritmética ordinaria. Por ejemplo: 3kg + 2kg = 5kg Cantidades vectoriales Son aquellas que, para poder quedar perfectamente definidas, es necesario mencionar su magnitud (tamaño), y su dirección (hacia donde se dirigen) No pueden ser sumadas usando la aritmética ordinaria. Observa los siguientes ejemplos de vectores: Magnitud: 30 km/h Dirección: Este Vector Magnitud Dirección Fuerza 10 Newton Al Norte Aceleració 9.8 m/s2 Al Sur Desplazamiento 30 km 30°al Norte del Este Velocidad 90 km/h Al Sureste Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 13 Para definir la dirección se tomó como referencia el plano de coordenadas tomando el origen como el lugar en donde empieza el vector, así los vectores anteriores se presentarían así: N Fuerza Desplazamient 30° O E 45° Acelerac ión s Velocidad En los ejemplos anteriores de vectores se usaron tres formas diferentes para expresar la dirección, las cuales quedan definidas de la siguiente manera: 1. Cuando involucre una sola referencia cardinal, el vector queda sobrepuesto en ese eje, como el vector fuerza y el vector aceleración del gráfico. 2. Cuando se mencionan dos ejes cardinales y un ángulo, éste se ubicará tomando en cuenta que "al" significa hacia dónde se mide el ángulo y "del" desde donde empiezaa medirse ese ángulo, este es el caso del vector desplazamiento del gráfico. 3. Cuando se mencionan dos ejes cardinales unidos en una sola palabra, el vector se ubica justo a la mitad de los ejes, es decir a 45° y es el caso del vector velocidad del gráfico. Como se mencionó anteriormente, los vectores requieren de una dirección para quedar perfectamente definidos, y en estas condiciones presentan las siguientes propiedades: No pueden ser sumados en base a la aritmética ordinaria. Es decir un vector de 5 unidades sumado con otro de 5 unidades, no necesariamente la resultante nos dará 10, de hecho cuando tienen dirección contraria la suma de los mismos nos dará cero. Si una persona se desplaza 5 metros hacia la derecha y enseguida se regresa desplazándose 5 metros Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 14 hacia la izquierda. ¿Cuál crees que sea la suma de los desplazamientos? La suma de sus dos desplazamientos es cero, porque los efectos de sus desplazamientos se cancelaron entre sí. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 15 Cuando al sumar 2 vectores obtenemos una resultante de cero, los vectores que se suman tienen igual magnitud pero dirección contraria. Una resta vectorial se realiza al cambiar el signo de uno o más de los vectores involucrados. Para cambiar el signo de un vector basta con girarlo a 180° de su posición original. Es decir si tenemos un vector de tres unidades dirigido hacia la izquierda, el negativo de ese vector será un vector que apunte a la derecha y con magnitud de tres unidades. El orden al ser sumados los vectores no afecta la resultante final. Vector A Vector – A Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 16 Tema 4. Operaciones con vectores Como se mencionó anteriormente, los vectores no se pueden sumar aritméticamente, las reglas que se siguen al sumar dos o más vectores se pueden resumir al considerar dos métodos: Método gráfico del polígono Método analítico de las componentes Método gráfico del polígono Este método tiene cierto margen de error, consiste en unir cada uno de los vectores que se están sumando o restando. Considerando las siguientes indicaciones: 1. Elige una escala: Se elige una escala adecuada, de tal forma que los vectores puedan ser sumar dos o más vectores se pueden resumir al considerar dos métodos. 2. Dibuja el primer vector: Se dibuja un plano cartesiano normal y se traza el primer vector con su correspondiente magnitud y dirección, usando una regla para la magnitud y un transportador para la dirección. 3. Dibuja el segundo vector: En la parte final del vector anterior se dibuja otro plano cartesiano y se traza el siguiente vector con su correspondiente magnitud y dirección, tomando como origen el final del vector previamente trazado. 4. Repite: Se repite el paso anterior hasta el último vector. 5. Traza el resultante: Se traza la resultante, que es una línea recta que se dirige del origen del primer vector al extremo final del último vector. 6. Mide: La magnitud de la resultante se determina midiendo y comparándola con la escala seleccionada. Su dirección se determina midiendo el ángulo entre ella y alguno de los ejes de coordenadas, indicando cuál Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 17 Método gráfico del polígono 1. Elige una escala. 2. Trazamos el primer vector, en este caso el vector A. 3. Al final del vector A se dibuja un nuevo plano cartesiano que sirva como origen del vector B. Apliquemos el procedimiento para resolver este ejemplo. Por medio del método gráfico del polígono determina la magnitud y dirección de la resultante de la suma de los vectores A, B y C. 20° A= 3 metros al norte B= 4 metros al este C= 3 metros 20° al norte del este B A Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 18 C B 20° A 4. Se dibuja otro plano cartesiano al final del vector B y a partir de ese nuevo plano cartesiano se dibuja el vector C 5. Se traza la resultante, desde el origen del Vector A, hasta el final del Vector C. La resultante es una línea que va del origen del primer vector al final del último vector. 6. Por último se mide la línea de la resultante para compararla contra la escala y conocer la magnitud de la resultante. Para conocer la dirección de esa resultante, se mide el ángulo que forma la misma con el eje “x” más próximo, en este caso el eje “x” positivo. C B A RESULTANTE Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 19 Resultado: La siguiente figura muestra en colores verde, amarillo y rojo los tres vectores que fueron sumados y en color negro la resultante que midió 8 cm y corresponde a 8m según la escala elegida. El ángulo entre la resultante y el eje “x” más próximo (en este caso el “x” positivo) fue de 30° Método analítico de las componentes. En este método se consideran las siguientes indicaciones: 1. Trazar vectores: Se trazan todos los vectores con su correspondiente ubicación en un mismo plano cartesiano. 2. Descomposición: Se descompone cada uno de los vectores en sus correspondientes componentes hacia los ejes "x" y "y" por medio de las ecuaciones FX FCos , y FY FSen en donde “F” representa la magnitud (valor numérico) del vector y es el ángulo entre el vector y el eje "x" más próximo. 3. Signo de las componentes: Todas las componentes que apuntan hacia arriba y a la derecha son positivas, y las que apuntan hacia abajo y a la izquierda son negativas. 4. Suma: Se realiza la suma algebraica (respetando los signos) de todos los componentes en los respectivos ejes "x" y "y". 5. Calcular magnitud: Para obtener la magnitud de la resultante se aplica la ecuación: En donde: FX representa la suma algebraica de todos los componentes en el eje “x” respetando los signos de cada componente y FY representa la suma algebraica de todos los componentes en el eje 8cm =8m 30° Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 20 “y” respetando los signos de cada componente. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 21 6. Calcular dirección: Para obtener la dirección se aplica la ecuación: tan1 El cuadrante en donde queda ubicado el vector resultante depende de los signos de las sumatorias en "x" y en "y", también el ángulo de la resultante se traza entre el vector y el eje “x” más próximo. Apliquemos estos pasos para resolver el ejemplo: Una persona camina 20 m al norte y después 30 m al noreste. ¿Cuál será su desplazamiento resultante? 1. En el plano cartesiano, el norte se representa hacia arriba, el sur hacia abajo, el este hacia la derecha y el oeste hacia la izquierda, entonces los dos vectores anteriores se pueden ubicar de la siguiente manera: 30 mts. 2. El vector de 30 m tiene componentes en los ejes "x" positivo (dirigido a la derecha) y "y" positivo (dirigido hacia arriba). Usamos la calculadora para obtener los valores correspondientes. Componente en el eje "y" del vector de 30 m componente "x" del vector de 30 m. Componente "x" : Fx= FCosθ = (30) Cos 45°= 21. 21 m . Componente "y" : Fy= FSenθ = (30) Sen 45°= 21. 21 m. Fy Fx Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 22 El vector de 20m al norte va dirigido completamente hacia el eje “y” positivo, por lo tanto no es necesario hacer las operaciones para encontrar las componentes debido a quesólo tiene componentes en “y” . 3 y 4. Todos los componentes se ubicarían de la siguiente manera: 21. 21 mts (pos itivo porque apunta hacia arriba) 20 mts. este vec tor es ta completamente dirigido hacia el eje "y" positivo no tiene c omponente en el eje "x" 21. 21 mts. (positivo porque apunta a la derecha) La sumatoria de componentes en "x" sería: 21.21 m. La sumatoria de componentes en "y" sería: 21.21 + 20 = 41.21 m. 5. Para obtener la magnitud de la resultante los dos resultados anteriores se elevan al cuadrado, se suman y se saca la raíz cuadrada. (nota: no se pueden cancelar los cuadrados de las sumatorias con la raíz, debido a que entre ellos se encuentra el operador suma). De esta forma tendríamos: = 46.34 m 6. Para obtener la dirección se divide la sumatoria de componentes en "y" entre la suma de componentes en "x" y se obtiene la tangente inversa. Es decir: tan1 La tangente inversa se obtiene por medio de la calculadora, normalmente corresponde a la misma tecla que la tangente pero presionando previamente la tecla “shift” o “2nd”, según la marca de la calculadora en este caso en particular al dividir 41.21 entre 21.21 obtenemos 1.942951438 y al calcular la tangente inversa de ese número obtenemos: 62.76°. El cuadrante en donde se ubica la resultante depende hacia adonde apunten las sumatorias de Fy Fx Componente “y” del vector de 30m Componente “x” del vector de 30m Del vector de 20m Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 23 componentes en "x" y "y". , estando el ángulo entre el vector y el eje “x” más próximo. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 24 Resultante = 46.34 m. ( Magnitud ). 62.76 °al Norte del Este ( dirección ). Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Física I 25 Cierre de Unidad En esta unidad aprendiste la importancia del uso de las herramientas matemáticas más importantes para desarrollar tu primer curso de física. Desarrollaste la habilidad para interactuar con las características más importantes de ciertas variables físicas, así como para efectuar las operaciones necesarias para lograr obtener los valores que se piden. Por otra parte conociste el significado de las cantidades vectoriales y la forma de efectuar operaciones con los mismos. Todo lo anterior junto con los conceptos esenciales de cada uno de los temas, constituye la base para lograr entender y dar explicación a todos los fenómenos físicos que ocurren en nuestro alrededor. Este archivo fue descargado de https://filadd.com � FILADD.COM Introducción al módulo Competencias del módulo Introducción a la unidad Competencias de la unidad Tema 1. Unidades y su transformación ¿Qué es lo que estoy midiendo? Transformación de unidades: Método del factor Ejemplo 1. Tema 3. Cantidades Vectoriales Cantidades escalares Cantidades vectoriales 30 45 Tema 4. Operaciones con vectores Método gráfico del polígono La resultante es una línea que va del origen del primer vector al final del último vector. Método analítico de las componentes. Apliquemos estos pasos para resolver el ejemplo: Cierre de Unidad
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