SEMANA 8 ECUACIÓN CUADRÁTICA

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Tema: Ecuaciones cuadráticas
ÁLGEBRA
 Identificar las ecuaciones cuadráticas.
 Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización y
fórmula general.
Objetivos:
 Aplicar propiedades de la ecuación cuadrática.
Ecuación Cuadrática
La Fórmula... Puedes resolver una
ecuación cuadrática completando
el cuadrado, reescribiendo parte
de la ecuación como un trinomio
cuadrado perfecto. Si completas el
cuadrado de una ecuación general
𝒂𝒂𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 y luego
resuelves 𝒂𝒂 , encuentras que
generalmente tiene dos valores.
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma general:
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 𝑎𝑎 ≠ 0
Ejemplo
• 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 12 = 0
• 3𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 + 10
Resolución de una ecuación
cuadrática:
Para resolver una ecuación
cuadrática se puede utilizar
cualquiera de los siguientes criterios:
• Factorización
• Fórmula general
I) Factorización
Ejemplo
𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 6 = 0Resolver:
Soluciones: 6 ; −1
6 ;−1𝐶𝐶𝐶𝐶 =
Raíces: 6 ; −1
Factorizar
𝑥𝑥
𝑥𝑥
− 6
1
𝑥𝑥 − 6 𝑥𝑥 + 1 = 0
𝑥𝑥 − 6 = 0 ∨ 𝑥𝑥 + 1 = 0
𝑥𝑥 = 6 ∨ 𝑥𝑥 = −1
Aplicar el siguiente teorema:
𝑝𝑝. 𝑞𝑞 = 0 → 𝑝𝑝 = 0 𝑞𝑞 = 0∨
𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 − 4
Ejemplo
𝑥𝑥2 − 16 = 0Resolver:
= 0
𝑥𝑥 + 4 = 0 ∨ 𝑥𝑥 − 4 = 0
𝑥𝑥2 − 42 = 0
Factorizar
𝑥𝑥 = −4 ∨ 𝑥𝑥 = 4
Soluciones: −4 ; 4
Raíces: −4 ; 4
−4 ; 4𝐶𝐶𝐶𝐶 =
Resolver 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = 0
DESAFÍO
II) Fórmula general
𝑎𝑎 = 1
Ejemplo
𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 1 = 0Resolver:
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
Sus raíces están dadas por la fórmula :
; 𝑏𝑏 = −4 ; 𝑐𝑐 = 1
𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 ±−
2𝑎𝑎
𝑏𝑏2− 4𝑎𝑎𝑐𝑐
2 ± 3
2 + 3 ; 2 − 3∴ 𝐶𝐶𝐶𝐶 =
Reemplazando en la fórmula :
𝑥𝑥 = (−4)±−
2 (1)
(−4)2− 4(1)(1)
=
4 ± 2 3
2
𝑥𝑥 =
Propiedades
Sea la ecuación cuadrática: 
Se cumple:
𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
Raíces: 𝑥𝑥1 ; 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
Ejemplos
−
Usando las propiedades
3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 12 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
6
3
− = −2
𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 12
3
= 4
Usando las propiedades
2𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 5 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−6
2
− = 3
𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 5
2
Usando las propiedades
𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 6 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−7
1
− = 7
𝑥𝑥1. 𝑥𝑥2 = 6
1
= 6
Aplicación:
𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 4 = 0Sea la ecuación: de raíces 𝛼𝛼 ; 𝛽𝛽
Determine 𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2
Resolución:
𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 =−
−7
1
= 7 𝛼𝛼𝛽𝛽 = 4
1
= 4
Se cumple:
𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 7
Luego:
2 2
𝛼𝛼2 + 2𝛼𝛼𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2 = 49
4
𝛼𝛼2 + 8 + 𝛽𝛽2 = 49
∴ 𝛼𝛼2 + 𝛽𝛽2 = 41
DESAFÍO
𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 + 1 = 0Sea la ecuación:
de raíces 𝛼𝛼 ; 𝛽𝛽. 𝛼𝛼 > 𝛽𝛽
Determine 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9