SEMANA 7 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

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Proporcionalidad y semejanza
GEOMETRIA
Tema:
OBJETIVOS Conocer la proporcionalidad de 
segmentos en el teorema de Thales.
Entender que son triángulos
semejantes.
Aplicar lo aprendido en la 
resolución de problemas. 
ES CUANDO UN PAR DE SEGMENTOS ESTÁN EN LA MISMA 
RELACIÓN O RAZÓN QUE OTRO SEGUNDO PAR DE SEGMENTOS.
¿QUÉ ENTENDEMOS POR SEGMENTOS PROPORCIONALES?
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝐴𝐴
𝟔𝟔𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
Observo que:
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐶𝐶𝐶𝐶
=
20𝑐𝑐𝑐𝑐
30𝑐𝑐𝑐𝑐
𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐶𝐶
𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝑃𝑃
𝑄𝑄
Y yo observo que:
𝑀𝑀𝑁𝑁
𝑃𝑃𝑄𝑄
=
40𝑐𝑐𝑐𝑐
60𝑐𝑐𝑐𝑐
Como 
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐶𝐶𝐶𝐶
= 2
3
Diremos que:
𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐶𝐶𝐶𝐶 son 
proporcionales a 𝑀𝑀𝑁𝑁 y 𝑃𝑃𝑄𝑄
Y 
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
= 2
3
→
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐶𝐶𝐶𝐶
=
2
3 →
𝑀𝑀𝑁𝑁
𝑃𝑃𝑄𝑄
=
2
3
TEOREMA DE THALES
𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑎𝑎
𝑏𝑏
Se 
cumple:
Dada tres o más rectas
paralelas.
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏 =
APLICANDO LO APRENDIDO
𝑥𝑥
3
=
8
2
∴ 𝑥𝑥 = 12
Por teorema de Thales
2
8 𝑥𝑥
3
 Calcule x.
LA CONDICIÓN 
NECESARIA ES 
TENER RECTAS 
PARALELAS
https://www.youtube.com/watch?v=6nYnXeqrhKQ
𝑥𝑥
3
= 4
PROPORCIONALIDAD DE 
SEGMENTOS
2
8 𝑥𝑥
3
OTRA FORMA:
Como 8 es 4 veces 2, eso 
quiere decir que están en 
la relación de 1 a 4
Entonces x es 4 veces 3
= 4(3)
∴ 𝑥𝑥 = 12
https://www.youtube.com/watch?v=6nYnXeqrhKQ
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏 =
𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑎𝑎
𝑏𝑏2
5 𝑥𝑥
3
4
9 𝑦𝑦
6
 Calcule x.
 Calcule y.
Del teorema de Thales podemos 
deducir las siguientes situaciones o 
consecuencias a las cuales le 
llamaremos COROLARIOS.
CASO I
COROLARIOS DE THALES
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏 = 𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏 =
Se 
cumple:
Se 
cumple:
CASO II
𝑎𝑎
𝑏𝑏 𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑛𝑛𝑎𝑎
𝑏𝑏
APLICANDO LO APRENDIDO
𝑥𝑥
3
= 5
2
∴ 𝑥𝑥 = 7,5
𝑦𝑦
4 =
9
6
∴ 𝑦𝑦 = 6
Por corolario caso 1
Por corolario caso 2
𝑥𝑥 =
15
2
𝑦𝑦 =
36
6
RECORDEMOS UN POCO LO 
SUCEDIDO EL AÑO 2014, DONDE SE 
HACE USO DE LA BISECTRIZ COMO 
SOLUCIÓN AL DIFERENDO MARÍTIMO 
CON CHILE…….
𝜃𝜃
𝜃𝜃
Se 
cumple:
𝜃𝜃𝜃𝜃
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑛𝑛 𝑐𝑐
𝑛𝑛
𝑐𝑐
𝑎𝑎
𝑏𝑏 =
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
 Calcule x.
𝜃𝜃 𝜃𝜃
𝑥𝑥2
9
3
3
9 =
2
𝑥𝑥
∴ 𝑥𝑥 = 6
APLICANDO LO APRENDIDO
Para cualquiera triángulo, 
dada la bisectriz.
Por Teorema de la 
bisectriz interior
𝑥𝑥 =
2 9
3
SEMEJANZA DE 
TRIÁNGULOS
Fuente: youtube.com/watch?v=GZ6M0FAf_GU
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝛼𝛼
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑅𝑅
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝛼𝛼
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝛼𝛼
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑅𝑅
HAGAMOS LA SIGUIENTE ACLARACIÓN , SOBRE CONGRUENCIA Y SEMEJANZA….
 MISMA FORMA: ángulos iguales
 MISMO TAMAÑO: lados iguales
 MISMA FORMA: ángulos iguales
 DIFERENTE TAMAÑO: lados proporcionales
≅ ∼
TRIËNGULOS CONGRUENTES TRIËNGULOS SEMEJANTES
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Sus lados homólogos 
son proporcionales
EN CONSECUENCIA:
Si tienen 2 pares de ángulos de igual medida
b
m
n
𝐴𝐴
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝑅𝑅
𝑄𝑄
𝑃𝑃
∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨~∆𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷Se cumple
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑐𝑐 = 𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜔𝜔 𝜔𝜔
𝑥𝑥
12 = 3
9
∴ 𝑥𝑥 = 4
APLICANDO LO APRENDIDO
𝜔𝜔
𝛼𝛼
9
12
𝜔𝜔
𝛼𝛼 3
𝑥𝑥
 Del gráfico, calcule x.
TEOREMA (Ángulo-Ángulo)
Lados 
homólogos: 
son aquellos 
que se oponen 
a ángulos 
iguales.
Por semejanza:
𝑥𝑥
12 =
1
3
𝑥𝑥 =
12
3
Respecto de 𝜔𝜔 Respecto de 𝛼𝛼
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11