Dificultades_Matematicas_Primaria_Colegios_privados_Publicos_Rubio_2014

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Dificultades de la enseñanza de las matemáticas 
 en docentes de los grados 1, 2 y 3 de primaria 
 de Colegios Privados y Públicos 
 
 
 
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MONOGRAFIA: 
 
Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en docentes 
de los grados 1, 2 y 3 de primaria de Colegios Privados y Públicos 
 
 
Trabajo de grado para optar el título de Especialista en Contexto de Docencia Universitaria 
 
 
 
 
 
DORIS NARANJO ROJAS 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD SAN BUENAAVENTURA 
FACULTAD DE EDUCACIÓN 
Especialización en Contexto de Docencia Universitaria 
SANTIAGO DE CALI 
2008 
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MONOGRAFIA: 
 
Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en docentes 
de los grados 1, 2 y 3 de primaria de Colegios Privados y Públicos 
 
 
 
 
DORIS NARANJO ROJAS 
Proyecto de grado para optar al título de Especialista 
 
Asesor 
Dr. Julio rubio 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD SANBUENAVENTURA 
FACULTAD DE EDUCACIÓN 
Especialización en Contexto de Docencia Universitaria 
SANTIAGO DE CALI 
2008
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CONTENIDO 
1. RESUMEN ....................................................................................................................................... 7 
 
2. JUSTIFICACION .............................................................................................................................. 8 
 
3. OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 9 
3.1 GENERAL ................................................................................................................................. 9 
1.2 ESPECIFICOS ..................................................................................................................... 9 
 
4. APARICIÓN DE LA IDEA............................................................................................................... 10 
 
5. PRESENTACIÓN DEL OBJETO ............................................................................................... 10 
 
6. CONTEXTO ACTUAL ................................................................................................................ 11 
6.1 ANTECEDENTES HISTORICOS ....................................................................................... 12 
6.2 CONCEPTOS E IMPLICACIONES DE LA DIDACTICA MATEMÁTICA. ........................... 20 
6.3 EL ÁREA PROBLEMÁTICA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN 
MATEMÁTICA ............................................................................................................................... 28 
6.4 LA MATEMATICA: UNA MATERIA TEMIBLE ................................................................... 41 
 
7. LOS MICROENTORNOS........................................................................................................... 51 
 
8 -PLAN OPERATIVO ....................................................................................................................... 54 
 
9. HACIA UNA MATEMATICAS LUDICA........................................................................................... 55 
9.1- FUNDAMENTOS CONCEPTUALES DE LA PROPUESTA ............................................... 55 
9.2 Conocimientos básicos ...................................................................................................... 60 
9.3 Hacia una didáctica de la matemática ............................................................................... 62 
9.4 ACCIONES Y ESTRATEGIAS METODOLOGICAS: ......................................................... 68 
9.5 PROPUESTAS METODOLOGICAS DE LOS DOCENTES EN LA ENSEÑANZA DE LAS 
MATEMATICAS EN LOS GRADOS 1,2 Y 3 DE PRIMARIA DE COLEGIOS PRIVADOS Y 
PUBLICOS? .................................................................................................................................. 68 
 
 
CONCLUSION ................................................................................................................................... 90 
 
 
 
 
 
5 
 
0. INTRODUCCION 
 
La adquisición del conocimiento matemático ha presentado en muchos momentos históricos 
dificultades sobre todo para los estudiantes, que la ha considerado como el coco o el 
obstáculo para tener un proceso de educación más placentero. En el presente trabajo se 
muestra como los estudiantes de los grados de primero a tercero se presentan dificultades 
para adquirir el conocimiento matemático, muchas veces por la metodología que usa él o la 
docente dentro del aula y en el momento de impartir los conocimientos matemáticos. 
 
En este trabajo se encontrara algunas propuestas que permita ayudar a los maestros y 
maestras a transmitir el conocimiento matemático de una manera sencilla y agradable, que 
lleve a los estudiantes de estos grados (1,2 y 3) a sentir gusto por el aprendizaje y la 
aplicación de las matemáticas en su vida cotidiana. 
 
Lo anterior justifica el por qué se escogió este tema en aras a permitir espacios de 
participación que posibiliten la creatividad y recursividad con las herramientas que nos 
brinda nuestros medios a los maestros y maestras del área de matemáticas. 
 
Este trabajo está estructurado en cinco partes en donde se muestra desde la aparición de la 
idea hasta las propuestas pasando por la presentación del objeto, el estudio bibliográfico y 
una bibliografía final como sugerencia para ampliar la forma de enseñar las matemáticas. 
 
6 
 
Se espera que el aporte de este trabajo investigativo mejore los procesos que lleven a valorar 
la importancia de las matemáticas desde su aprendizaje hasta su puesta en práctica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. RESUMEN 
 
 
Las dificultades en la adquisición y aplicación de los conocimientos matemáticos se deben 
en muchos momentos a la aplicación de metodologías, a las motivaciones de las personas 
que imparten o guían el conocimiento. El presente trabajo ofrece herramientas a los 
maestros o maestras para que una forma lúdica lleven a los estudiantes a motivarse para 
una adquisición y aplicación de los conocimientos matemáticos en su vida diaria desde el 
entorno y contexto que les toque asumir. 
 
 
The difficulties in the acquisition and application of mathematical knowledge are many times 
the application of methodologies, to the motivations of the people who teach or guide the 
knowledge. This paper offers tools for teachers or teachers to make a playful way students 
motivate for acquisition and application of mathematical knowledge in their daily lives from 
the environment and context that touch you to assume. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
2. JUSTIFICACION 
 
La importancia que tienen las matemáticas en la vida de los seres humanos, hace necesario 
que se cuente con herramientas metodológicas que lleven a los docentes a motivar a los 
estudiantes, facilitándoles la adquisición agradable de los conocimientos que concierne a 
esta área. En la mayoría de las ocasiones se escucha a muchos padres de familia y 
estudiantes manifestar que no entienden o no le gusta las matemáticas porque no le 
entienden a la persona que enseña dicha área, ya sea porque hay prevención hacia a la 
materia o porque la metodología que se utiliza no hace accequible los conceptos y 
conocimientos de dicha área. 
 
Por esta razón se considero necesario trabajar en este proyecto una propuesta que permita 
brindar herramientas que lleven a los docentes de matemáticas a aproximar a los 
estudiantes a los conocimientos para que se apropien de la aplicación de las matemáticas 
en sus vidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
3. OBJETIVOS 
 
3.1 GENERAL 
 
Presentar una propuesta pedagógica que permita a los docentes de matemáticas contar con 
herramientas que desde la lúdica lleven a los estudiantes de 1 a 3 grado a adquirir con mayor 
facilidad los conocimientosy aplicación de las matemáticas. 
 
1.2 ESPECIFICOS 
 
1. Identificar la percepción que tiene los estudiantes de la enseñanza de las matemáticas. 
2. Indagar en los maestros la pertinencia de otras formas de enseñanza de las matemáticas. 
3. caracterizar cuáles son las estrategias metodológicas más comunes que utilizan los 
docentes del área Matemática, en un Colegio privado y público de los grados 1,2 y 3 de 
primaria. 
4. Presentar otras alternativas metodológicas para la enseñanza de las matemáticas en los 
grados 1, 2 y 3 de primaria 
 
 
 
 
 
 
10 
 
4. APARICIÓN DE LA IDEA 
 
La idea surge desde mi experiencia y de personas cercana que atribuyen las dificultades en la 
adquisición del conocimiento matemático, en su mayoría en la forma como muchos docentes 
enseñan las matemáticas, por eso la monografía va orientada a presentar una propuesta 
metodológica que permita facilitar la adquisición del conocimiento matemático teniendo como base la 
lúdica. 
 
 
5. PRESENTACIÓN DEL OBJETO 
Todavía se escucha en muchos ambientes educativos y formativos y en algunas personas el 
paradigma que las matemáticas siguen siendo la materia difícil o “el coco” en el proceso formativo y 
académico que se imparte o se ofrece en algunas instituciones. No podemos negar que la 
importancia, la aplicación, la asimilación, el uso y las formas de adquirir los conocimientos 
matemáticos están influenciados por la metodología que posee y utiliza el docente al enseñar los 
conocimientos matemáticos. 
 
El anterior paradigma puede tener sus razones o justificaciones en las experiencias que 
tradicionalmente se escuchan en varias personas, esas experiencias son: 
 
a. La forma como la mayoría de docentes del área de las matemáticas aterrorizaban a los 
estudiantes sobre el conocimiento y aplicación de los conceptos de esta área. 
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b. Los malos resultados obtenidos por muchos padres de familia y estudiantes influyeron para 
ratificar el concepto de que las matemáticas son difíciles. 
c. La poca comprensión de algunos estudiantes frente a los textos y materiales editados para dicha 
área. 
d. Algunos profesores no se han preocupado por actualizar y renovar la metodología utilizada para 
impartir los conocimientos matemáticos. 
e. En una minoría de estudiantes la metodología y los textos editados han permitido fácilmente la 
adquisición de los conocimientos y aplicación de los conceptos matemáticos. 
 
Todo lo anterior me motivó a hacer una monografía con el objetivo de presentar una propuesta 
metodológica para los docentes en el área de matemáticas de los grados 1, 2 y 3 de primaria de 
Colegios Privados y Públicos commando como referencia mi servicio en la Colegio Fray Luis Amigo 
ubicado en el barrio Manuela Beltran al Sur Oriente de Cali. Esta propuesta pedagógica presenta la 
lúdica como elemento fundamental en la enseñanza matemática, permitiendo al docente de los 
grados primero, segunto y tercero del Colegio Fray Luis Amigo mejorar su metodología y a los 
estudiantes sentirse más motivados para la adquisición del conocimiento matemático. 
 
6. CONTEXTO ACTUAL 
Hay en la actualidad una creciente preocupación en la mayoría de los docentes en el área de las 
matemáticas acerca de cómo mejorar la metodología que permita a los estudiantes una mejor y 
mayor adquisición de los conocimientos, contenidos y conceptos del área de las matemáticas. Esta 
creciente preocupación encuentra una buena respuesta en la teoría de las competencias 
comunicativas ya que permite la interpretación, la argumentación, la aplicación de los conocimientos 
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a un contexto dado más adelante se amplía el aporte de las competencias a las matemáticas. No 
en vano en muchas instituciones se han ofrecido y se ha buscado espacios de capacitación para el 
docente de las áreas de las matemáticas en aras de mejorar o cambiar no solo la metodología sino 
también revisar los textos y materiales que se utilizan en dicha área. 
 
6.1 ANTECEDENTES HISTORICOS 
 
 Durante los décadas de los años cuarenta y cincuenta se había desarrollado una ingente labor de 
sistematización de las matemáticas a través del lenguaje de la teoría de conjuntos y de la lógica 
matemática, liderada por el grupo que escribía con el seudónimo de “Nicolás Bourbaki”. Esta 
reestructuración bourbakista de las matemáticas sedujo a la comunidad matemática por su elegancia 
arquitectónica y por la unificación del lenguaje, hasta tal punto que se pensó abolir el plural 
“matemáticas” para hablar de una sola “matemática”. 
El lanzamiento del Sputnik por los soviéticos impulsó a los norteamericanos a iniciar una renovación 
de la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas en la educación secundaria y media, para 
preparar los futuros científicos que alcanzaran a los soviéticos en la carrera espacial. Numerosos 
programas experimentales de las matemáticas fueron desarrollados por grupos de expertos, quienes 
creyeron encontrar en la teoría de conjuntos y la lógica matemática los medios más aptos para lograr 
que todos los niños tuvieran fácil acceso a las matemáticas más avanzadas. 
 
Surge así la llamada “Nueva Matemática” o “Matemática Moderna” (New Math) en los años 60 y 70, 
que produjo una transformación de la enseñanza y cuyas principales características fueron: énfasis 
en las estructuras abstractas; profundización en el rigor lógico, lo cual condujo al énfasis en la 
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fundamentación a través de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor se 
alcanza fácilmente; detrimento de la geometría elemental y el pensamiento espacial; ausencia de 
actividades y problemas interesantes y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera 
tautología y reconociendo de nombres. 
 
Para atender a esta reforma, en nuestro país se promulgó el decreto 1710 de 1963, que establecía 
los programas para primaria, diseñados con el estilo de objetivos generales y objetivos específicos 
conductuales, propios de la época, y en ese mismo estilo se diseñó el decreto 080 de 1974 para los 
programas de secundaria. 
 
Muy pronto, a comienzos de la misma “ Matemática Moderna” y en los años 70, se empezó a percibir 
que muchos de los cambios introducidos no habían resultado muy acertados, que los problemas e 
inconvenientes surgidos superaban las supuestas ventajas que se esperaba conseguir como el rigor 
en la fundamentación, la comprensión, la modernidad y el acercamiento a la matemática 
contemporánea. 
 
Se inicio entonces, en los 70 y 80, el debate entre los partidarios de esta “Nueva Matemática” y los 
que querían que se volviera a lo básico: Las cuatro operaciones con enteros, fraccionarios y 
decimales. Este movimiento Back to Basics (volver, regresar a lo básico o a lo fundamental), tuvo 
muchos defensores entre los matemáticos calificados, maestros y padres de familia, quienes decían 
que los niños aprendían muchas palabras raras, aprendían operaciones entre conjuntos y símbolos 
lógicos y no podían hacer operaciones entre naturales ni fraccionarios. En nuestro País se decía 
que a los niños les estaba dando “conjuntivitis”. 
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Tradicionalmente las reformas que ocurrían en nuestro país no iban más allá de algunas adiciones, 
algunas supresiones y de la reorganización de los contenidos. 
 
En 1975, la administración López Michelsen inició una reforma escolar amplia, que se llamo 
Mejoramiento cualitativo de la educación, en la cual se propuso la renovación de programas, la 
capacitación del magisterio y la disponibilidad de medios Educativos, como estrategias para mejorar 
la calidad de la Educación. Para llevar a cabo tal propósito, en 1976 se creó en el Ministerio de 
Educación la Dirección General de Capacitación y Perfeccionamiento Docente, Currículo y Medios 
Educativos, la cual diseñó y experimentó en algunas escuelas del país un currículo para los grados 
primero atercero. 
En 1978, se nombró como asesor del ministerio para la reestructuración de las matemáticas 
escolares al doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe, por comisión de la Universidad Nacional, y con un 
grupo de profesionales de esa dirección se comenzó a revisar los programas de matemáticas de 
primero a tercero, y se consideró esencial la elaboración de un marco Teórico global que permitiera 
precisar los criterios con los cuales se deberían hacer la revisión y el diseño de los programas de los 
nueve grados de la educación básica. 
 
El enfoque propuesto para los programas de matemáticas de la renovación Curricular pretendió 
superar las limitaciones de las dos escuelas mencionadas, Seleccionando los aspectos positivos 
que tenía el enfoque conceptual de la nueva matemática sin caer en enseñar lógica y conjuntos, y 
ofrecer esos criterios teóricos que permitieran la toma de decisiones. 
 
15 
 
Para la preparación de sus clases, el marco teórico del programa de matemáticas propuso al 
maestro enfocar los diversos aspectos de las matemáticas como sistemas y no como conjuntos. 
Esto se llamó “Enfoque de Sistemas” y propuso acercarse a las distintas regiones de la matemática, 
los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, las misma lógica, y los conjuntos 
desde una perspectiva sistemática que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus 
elementos, sus operaciones, y sus relaciones. 
 
El enfoque del programa también propuso al docente distinguir cuidadosamente entre el sistema 
simbólico (que se escribe, se pinta, o se habla), el sistema conceptual (que se piensa, se construye, 
se elabora mentalmente) y los sistema concretos ( de donde los niños pueden sacar los conceptos 
esperados). 
 
La sugerencia pedagógica del programa es la de explorar los sistemas concretos que ya utilizan los 
niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales respectivos; cuando 
ya se ha iniciado la construcción de éste, el mismo estudiante puede desarrollar sistemas 
simbólicos apropiados, aprender los usuales y aún traducir de unos sistemas simbólicos a otros. 
 
La renovación curricular, como proyecto de largo aliento, con casi 20 años de diseño, 
experimentación, revisión y de aplicación gradual, ha sido uno de los programas de largo plazo del 
Ministerio de Educación. Este programa marcó una etapa de concreción de una propuesta 
curricular fruto de una búsqueda que se entregó al país no para copiarla y seguirla al pie de la letra, 
sino para ver formas de trabajar unidades didácticas de manera activa, que permitieran avanzar en 
la conceptualización y la fundamentación de las propuestas pedagógicas. 
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Un análisis crítico de la Renovación Curricular de Matemáticas debe detenerse, entre otros aspectos, 
en los aportes al incremento de la capacidad de conceptualizar. Los programas extensos con 
actividades y sugerencias metodológicas tienen el propósito de satisfacer necesidades de 
actualización sentidas por los docentes. 
 
El análisis de la Ley General de la Educación, ley 115 de 1994, permite identificar los desarrollos 
pedagógicos obtenidos en los decenios anteriores, que fueron asumidos en las políticas educativas 
actuales. En particular, el Enfoque de Sistemas que se adoptó para el área de las matemáticas en la 
Renovación Curricular se retoma los artículos 21 y 22 de la mencionada ley. 
 
Los lineamientos curriculares para el área de matemáticas aquí propuestos toman como punto de 
partida los avances logrados en la Renovación curricular, uno de los cuales es la socialización de un 
diálogo acerca del Enfoque de sistemas y el papel que juega su conocimiento en la didáctica. 
 
El enfoque de estos lineamientos está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes, 
a la comprensión de sus posibilidades y al desarrollo de competencias que le permita afrontar los 
retos actuales como son la complejidad de la vida y del trabajo, el tratamiento de conflictos, el 
manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para conseguir una vida sana. 
 
El trabajo que implica desarrollar la ley general de la educación incluye la conceptualización de los 
logros curriculares y de sus indicadores también en el área de matemáticas. Todos los esfuerzos 
individuales y grupales que puedan hacerse en este sentido deben ser socializados y discutidos 
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ampliamente con el propósito de aprovecharlos en toda su riqueza de modo que se vayan 
consolidando procedimientos que faciliten un trabajo sistemático, serio y útil para todos los docentes 
y estudiantes. 
Ubicados en un contexto de descentralización educativa y ejercicio de la autonomía escolar se 
puede inferir la diferencia entre el currículo nacional que ofrecía El MEN hasta 4 años y los 
lineamientos actuales. Los programas por áreas señalaban las temáticas, las metodologías 
recomendadas y las evaluaciones más viables. 
 
Ahora los lineamientos buscan incrementar la formación de quienes hacen currículo y de quienes 
asesoran a las instituciones educativas para que lleven a cabo sus procesos curriculares dentro del 
proyecto educativo institucional. Deben servir de orientación pero no remplazan a los docentes en 
las decisiones que les corresponden tomar en asuntos como contenidos, metodologías y estrategias 
para la participación. 
 
En este sentido, los programas de matemáticas de la renovación curricular que no tienen el carácter 
de Currículo Nacional se constituyen en una propuesta que pueden ser consultada por los docentes 
y utilizada para enriquecer el currículo del P.E.I. 
 
Otro antecedente que ha abierto nuevas posibilidades para pensar los currículos es el surgimiento 
de organizaciones nacionales e Internacionales cuyo propósito es estudiar las características que 
debe reunir la educación matemática para que cumpla los diversos propósitos que la sociedad 
espera de ella. Propósitos que van desde el desarrollo de competencias básicas para realizar 
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ejercicios cotidianos de cuentas, hasta el cultivo de las capacidades cognitivas y meta cognitivas que 
pueden ser empleadas en la educación superior y que hagan progresar la ciencia y la tecnología. 
 
Cada vez tiene más fuerza la convicción de que la orientación de la educación matemática se logra 
más efectivamente cuando se asume en forma compartida. Prueba de ello son el Comité 
Interamericano de Educación Matemática, La Comisión Internacional De Educación Matemática y 
las demás asociaciones y organismos que desde hace 30 ó 40 años llevan a cabo un trabajo 
continuado para preguntar Qué hay que enseñar y aprender en educación matemática tanto en la 
educación básica como en la Media y Superior. 
 
Internacionalmente ha habido también interés por la evaluación de los resultados de la educación 
matemática en los primeros niveles de la educación formal. Por ejemplo, los tres estudios 
internacionales que han evaluado los logros de los estudiantes: el primer estudio internacional de 
matemática ( First Internacional Mathematics Study, FIMS), el segundo estudio internacional de 
matemáticas (Second International Mathematics Study, SIMS) y el tercer estudio internacional de 
matemáticas y ciencias (Third International Mathematics and Sciences Study, TIMSS) Colombia 
participó en este último junto con otros 40 países, teniendo como marco los programas de la 
renovación curricular. 
 
También cuento con evaluaciones nacionales sobre la calidad de la educación en matemáticas. 
Desde 1991 el Servicio Nacional de Pruebas del ICFES, el Grupo de Matemáticas del Ministerio de 
Educación Nacional y varias universidades y docentes han adelantado una investigación sobre la 
calidad de la educación en los grados 3, 5, 7º y 9º : Esas informaciones están contenidas en 
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diversas publicaciones que el Ministerio de Educación Nacional ha entregadoal país para que sean 
estudiadas y debatidas ampliamente de modo que constituyan una fuente de criterios para toma de 
decisiones Nacionales, Regionales y Locales. Las publicaciones mencionadas son las 
correspondientes a Saber del Sistema Nacional de Evaluación de la Educación, SNE y la del TIMSS 
ya mencionado. 
 
Ellas constituyen un material de consulta necesaria para todos cuantos intervienen en la educación 
matemáticas por que presentan estudios muy completos acerca de lo que los alumnos están 
aprendiendo con más efectividad, sobre dificultades y tendencias erróneas, así como sobre niveles 
de logro que alcanzan y factores asociados a la enseñanza y el aprendizaje. 
 
Las publicaciones mencionadas incluyen, además, información amplia sobre las preguntas hechas 
en las evaluaciones de estudiantes y los análisis llevados a cabo. Tal vez nunca había contado el 
país con una información similar en la cual hay estudios nacionales que simultáneamente con 
estudios internacionales pueden orientar el currículo de matemáticas de la educación formal. Al 
respecto conviene señalar que el TIMSS considera el currículo como una variable central y lo estudia 
en tres niveles: el propuesto, el desarrollado, el logrado. 
 
Al Ministerio de Educación Nacional en todas sus instancias, a las secretarías de educación, a las 
universidades, centros de investigación, instituciones educativas, docentes, consejos académicos 
corresponden comprender la importancia que tienen las evaluaciones de la educación matemática 
llevadas a cabo en Colombia, y tomar las decisiones que sean necesarias y pertinentes para 
aprender de la experiencia y orientar el currículo hoy. 
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Finalmente, desde hace unos veinte años se han venido creando y desarrollando sociedades de 
matemáticas, una Sociedad Colombiana de Matemáticas y diversas sociedades departamentales 
que entre sus propósitos incluyen el de ofrecer espacios de estudio y debate de diversos aspectos 
curriculares como contenidos, metodologías, evaluación y formación de educadores. 
 
Son muchos los educadores colombianos que han ampliado su formación y enriquecido su visión de 
la educación acerca de las ciencias matemáticas. En ellos tiene el país un grupo de apoyo 
importante para lograr la transformación del currículo de esta área del conocimiento1. 
 
6.2 CONCEPTOS E IMPLICACIONES DE LA DIDACTICA MATEMÁTICA. 
 
Antes de abordar esta reflexión nos parece pertinente hacer referencia a una exploración realizada 
con cerca de 100 docentes de diferentes niveles de la enseñanza básica y con algunos estudiantes 
del programa de especialización en docencia de las matemáticas, acerca de sus concepciones sobre 
la naturaleza de las matemáticas y la naturaleza del conocimiento matemático escolar con el objeto 
de contrastar dichas concepciones con las planteadas en literatura especializada, así como las 
percibidas por nosotros a lo largo de nuestra experiencia. 
 
Con respecto a las matemáticas, algunos docentes encuestados las asumen como un cuerpo 
estático y unificado de conocimientos, otros las conciben como un conjunto de estructuras 
interconectadas, otros simplemente como un conjunto de reglas, hechos y herramientas; hay 
quienes las describen como la ciencia de los números y las demostraciones. 
 
1 M.E.N. Lineamientos Curriculares. Matemáticas, Santafe de Bogotá. 1998. Págs. 15 – 18. 
21 
 
 
En lo que al hacer matemático se refiere, algunos profesores la asocian con la actividad de 
solucionar problemas, otros con el ordenar saberes matemáticos establecidos y otros con el 
construir nuevos saberes a partir de los ya conocidos, siguiendo reglas de la lógica. 
 
El conocimiento matemático escolar es considerado por algunos como el conocimiento cotidiano 
que tiene que ver con los números y las operaciones, y por otros, como el conocimiento matemático 
elemental que resulta de abordar superficialmente algunos elementos mínimos de la matemática 
disciplinar. En general consideran que las matemáticas en la escuela tienen un papel esencialmente 
instrumental, que por una parte se refleja en el desarrollo de habilidades y destrezas para resolver 
problemas de la vida práctica, para usar ágilmente el lenguaje simbólico, los procedimientos y 
algoritmos y, por otra, en el desarrollo del pensamiento lógico-formal. 
 
Trataremos de explorar el origen de algunas de las concepciones anteriormente descritas, a la luz 
de posturas teóricas de filósofos, de matemáticos y de educadores matemáticos, desde diferentes 
ámbitos, con el propósito fundamental de analizar las implicaciones didácticas de dichas 
concepciones. 
 
¿De dónde proviene las concepciones acerca del conocimiento matemático escolar? 
Los lineamientos curriculares del área de las matemáticas expedido por el Ministerio de Educación 
Nacional en el año 1998 expresa lo siguiente: 
 
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La historia da cuenta de siglos y siglos de diversas posiciones y discusiones sobre el origen y la 
naturaleza de las matemáticas es decir, sobre si las matemáticas existen fuera de la mente humana 
o si son una creación suya; si son exactas e infalibles o sin son falibles, corregibles, evolutivas y 
provistas de significado como las demás ciencias. 
 
A. EL PLATONISMO 
Este considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e 
independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas, 
ya que en cierto sentido está “ sometido” a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si 
construimos un triángulo rectángulo de catetos c, d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente 
encontraremos que: h2 = c2 + d2. 
 
El platonismo reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas no 
resultan en alguna forma misteriosas; que tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un 
gran esfuerzo; que tienen otras que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y que 
existen otras que ni siquiera sospechamos, ya que las Matemáticas trascienden la mente humana, y 
existen fuera de ella como una “realidad ideal” independiente de nuestra actividad creadora y de 
nuestros conocimientos previos. 
 
¿Cuántos de nuestros profesores y estudiantes pertenecerán, sin proponérselo, y más aún sin 
saberlo, al platonismo? ¿Cuáles implicaciones favorables y cuáles desfavorables se pueden originar 
en esa situación? ¿Cuál sería, para la corriente del platonismo, un concepto de pedagogía activa 
coherente con su posición filosófica? 
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B. EN EL LOGICISMO 
Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la lógica, con vida 
propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría 
todas las formas de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos 
lógicos, y reducir los teoremas de las matemáticas, mediante el empleo de deducciones lógicas. 
 
Prueba de lo anterior es la afirmación de que “la lógica matemática es una ciencia que es anterior a 
los demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias “(DOU, 
1970: 59), atribuida a Kurt Gödel (1906) y que coincide, en gran medida, con el pensamiento 
aristotélico y con el de la escolástica medieval. Claro que hay que tener en cuenta que para los 
antiguos, la lógica era más un arte que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar 
válidamente con conceptos y proposiciones; un juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo 
intelectual que se realizaba en la Academia de Platón y en el Liceo de Aristóteles, en el que los 
contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los ataques y las respuestas. 
 
Esta corriente reconoce la existencia de dos lógicas que se excluyen mutuamente: La deductiva y lainductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de las premisas generales 
para llegar a – conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el 
mundo real; parte de la observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre 
provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrataciones empíricas. 
 
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Una de las tareas fundamentales del logicismo es la “Logificación” de las matemáticas, es decir, la 
reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue la reducción o 
Logificación del concepto de número. En este campo se destaca el trabajo de Gottlog Frege (1848-
1925) quien afirma”... Espero haber hecho probable que las leyes aritméticas son juicios analíticos y 
por tanto a priori. 
 
El logicismo, lo mismo que otras teorías sobre fundamentos de las matemáticas, tiene que afrontar 
el delicado reto de evitar caer en las paradojas, sin que haya conseguido una solución plenamente 
satisfactoria, después de un siglo de discusiones y propuestas alternativas. Entre los problemas que 
reaparecen en la discusión sobre filosofía de las matemáticas, está el de la Logificación o 
aritmetización del continuo de los números reales: ¿se puede entender lo continuo (los reales) a 
partir de lo discreto (Aritmética de los Naturales)?. 
 
¿Cuál es, cómo Docentes o como estudiantes, nuestra posición frente a esta forma de concebir las 
matemáticas y la lógica? 
C. EL FORMALISMO 
Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que 
consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se 
ensamblan a partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o 
convenios preestablecidos. Para los formalistas las matemáticas comienzan con la inscripción de 
símbolos en el papel; la verdad de las matemáticas formalista radica en la mente humana pero no en 
las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas de juego 
simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus 
25 
 
relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien 
definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego 
deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con lo términos y las 
relaciones. 
 
¿Qué tanto énfasis formalista hay en ala educación matemática en nuestros establecimientos 
educativos? ¿Qué actitud produce este tratamiento formalista en la mayoría de nuestros 
estudiantes? ¿Qué piensan ellos sobre esto? ¿Qué clase de implicaciones tiene este hechos en el 
desarrollo integral y pleno de los estudiantes?. 
 
26 
 
D. EL INTUICIONISMO 
Considera las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que 
percibe a través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo 
origen o comienzo puede identificarse como la construcción de los números naturales. 
 
Puede decirse que toda la matemática griega, y en particular la aritmética, es espontáneamente 
intuicionista, y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente 
intuicionista, por más que el intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya 
conformado sólo a comienzos del siglo XX. 
 
El principio básico del intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir; que han de partir 
de lo intuitivamente dado, de lo finito, y sólo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente 
con ayuda de la intuición. 
 
El fundador del intuicionismo moderno es Luitzen Brouwer (1881-1968), quien considera que en 
matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es 
sinónimo de demostrabilidad. Según lo anterior, decir de un enunciado matemático que es 
verdadero equivale a afirmar que tenemos una prueba constructiva de él. 
 
De modo similar, afirmar de un enunciado matemático que es falso significa que si suponemos que 
el enunciado es verdadero tenemos una prueba constructiva de que caemos en unas contradicción 
como que el uno es mismo dos. 
 
27 
 
Conviene aclarar que el intuicionismo no se ocupa de estudiar ni descubrir las formas como se 
realizan en la mente las construcciones y las intuiciones matemáticas, sino que supone que cada 
persona puede hacerse consciente de esos fenómenos. La tensión a las formas como ellos ocurren 
es un rasgo característico de otra corriente de los fundamentos de las matemáticas: el 
constructivismo, al cual nos referimos enseguida. 
 
E. EL CONSTRUCTIVISMO 
Esta muy relacionado con el intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una 
creación de la mente humana, y que únicamente tiene existencia real aquellos objetos matemáticos 
que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas 
constructivista van muy bien algunos planteamientos de Georg Cantor(1845-1918): ” la esencia de 
las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis” (Davis Hersh, 
1988: 290). 
 
El constructivismo matemático es muy coherente con la pedagogía activa y se apoya en la 
psicología genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la construcción 
de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en Las estructuras y por la 
aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante 
en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las 
construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en esto nada ni nadie lo 
puede reemplazar. 
 
28 
 
Tal vez resulte provechoso para docentes y estudiantes hacer una reflexión en torno a este tema 
de las filosofía de las matemáticas, y en torno a preguntas como las formuladas. Podría optarse por 
la realización de mesas redondas con todo el curso o varios cursos. Una reunión previa de los 
profesores de matemáticas, y una serie de lecturas y discusiones entre colegas, pueden ayudar a 
que esas mesas redondas sean fructíferas, más animadas y más productivas para el cambio de 
actitud de profesores y alumnos hacia las matemáticas.2 
 
Dada la importancia que tiene la teoría de las competencias interpretativas y el análisis que hace el 
Dr. Bogoya Maldonado Daniel presentaré en el 4.4 la apreciación de dicho autor. 
 
6.3 EL ÁREA PROBLEMÁTICA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN 
MATEMÁTICA 
 
Cualquier planteamiento que se elabore sobre las competencias en matemáticas, no puede 
desconocer el importante desarrollo de las investigaciones que desde la Educación Matemática se 
han generado en torno a ellas, todas en el marco de los distintos dominios conceptuales de la 
matemática. Es por esta razón que una concepción sobre el significado de la competencia en este 
campo, si bien comparte elementos de los enfoques que desde otras disciplinas (Sociolingüística, 
Psicología) se han asumido, su significado en la educación matemática se encuentra estrechamente 
relacionado con la naturaleza propia de ésta, con la naturaleza esencial de la matemática; estos 
aspectos marcan los objetivos y fines que se proponen en la actualidad para la educación 
matemática y por ende para la evaluación. 
 
2 Lineamientos Curriculares Matemáticos. Santafe de Bogotá. 1998. Pags. 22 - 25 
29 
 
 
Particularmente, la evaluación ha venido siendo fuertemente replanteada al interior del campo, 
acorde con los cambios radicales que se proponen en las reformas curriculares de los diferentes 
países. Entre los principios que se destacan en estas reformascabe señalar entre otros, el de una 
matemática, amplia y profunda, que permita abordar diversidad de situaciones problemáticas, que 
potencie para un desarrollo permanente, que sea abierta a todos los estudiantes, que coloque el 
acento en el proceso de hacer matemáticas más que en considerar el conocimiento matemático 
como un producto, etcétera. 
 
Esta nueva perspectiva ha obligado a reexaminar de manera significativa la función social de la 
educación matemática, los contenidos, la enseñanza y el aprendizaje e indudablemente los 
principios con los que se aborda el proceso de evaluación. 
 
Es desde estos nuevos referentes que se han modificado los ejes y los criterios para dar cabida a 
una nueva concepción de evaluación en la que encaja coherentemente la noción de competencia 
que se viene construyendo. Consideramos necesario entonces describir de manea general los 
planteamientos citados, con el ánimo de ampliar el marco de referencia de la evaluación de 
competencias básicas y discutir con mayor profundidad en un futuro, las implicaciones que podrían 
tener los resultados de las pruebas en cambio significativos de las prácticas pedagógicas en las 
escuelas del Distrito. 
 
 
 
30 
 
6.3.1 Sobre la relación entre el currículo y la evaluación. 
En el panorama internacional, los esfuerzos para mejorar la calidad de la educación matemática 
escolar, se orientan desde una nueva visión de lo que significa poseer una cultura matemática y se 
dirigen en la mayoría de los países, a un propósito central de democratizar la adquisición de dicha 
cultura: matemática para todos. Ello ha obligado a repensar los currículos y por ende las 
propuestas de evaluación que posibilitan el logro de estos propósitos. Entre otros aspectos, este 
replanteamiento ha llevado a redimensionar y ampliar los criterios de evaluación para que los 
resultados de ésta se integren como indicadores de la docencia y permiten, entre otros: 
 
 Tomar decisiones en cuanto al contenido y a formas de transposición didácticas de las 
matemáticas. 
 Tomar decisiones en cuanto a los ambientes de la clase (NCTM, 1989, estándares curriculares 
y de evaluación para la educación Matemática, traducción al español de la sociedad Andaluza 
de educación Matemática, Sevilla – España). 
 
A la par, se ha discutido ampliamente sobre la coherencia entre las propuestas de evaluación y los 
ejes curriculares. Los criterios que definen estas nuevas propuestas enfatizan precisamente en la 
valoración de los ejes que son ya comunes en los documentos de casi todos los países, los cuales 
hablan de colocar el acento en: la matemática como resolución de problemas, la matemática como 
razonamiento, la matemática como comunicación y la conexiones matemáticas. Los criterios de 
evaluación proponen valorar, por ejemplo, hasta qué grado el estudiante ha integrado a su hacer el 
conocimiento matemático y le ha dado sentido y significado a poder aplicarlo en situaciones que 
requieren para su solución razonamiento y modelación matemática. Particularmente anotan que 
31 
 
debe valorarse la capacidad para aplicar lo que saben a la resolución de problemas dentro de la 
matemática y en las otras disciplinas; la capacidad de utilizar el lenguaje matemático para 
comunicar ideas y la capacidad de razonamiento y análisis. 
 
Desde esta redimensión de los criterios y de la coherencia que deben guardar con lo curricular, es 
posible entonces deducir que el significado de la competencia tal como ha sido postulado desde 
otras ciencias, es incorporado a la educación matemática, para reconocer no sólo su existencia 
como criterio propio de toda actuación del ser cognitivo, sino en la posibilidad de desarrollo y de 
competencias del experto. Compartimos este planteamiento, por cuanto la escuela cumple una 
función social, la de distribuir y ubicar a los sujetos en la cultura, pero su gran reto es lograr que los 
estudiantes desarrollen competencias y se preparen para la transición al logro de las competencias 
de los expertos. 
 
 
6.3.2 De los contenidos matemáticos a los campos y dominios conceptuales 
La coherencia entre currículo y evaluación implica necesariamente replantear la forma tradicional 
como la escuela ha venido presentando los objetos de enseñanza. Específicamente en la 
enseñanza de las matemáticas, la selección de los contenidos a enseñar tradicionalmente ha 
estado soportada exclusivamente por la estructura lógico-formal de la disciplina matemática y 
marcada fundamentalmente, por una concepción epistemológica que concibe el conocimiento 
matemático como un producto acabable e inmodificable. La reforma actual parte de nuevas 
concepciones acerca de la matemática y la matemática escolar, en las que hace énfasis en su 
dimensión constructiva, en el reconocimiento de la relación que existe entre el conocimiento 
32 
 
matemático y el contexto cultural (Las construcciones matemáticas son el resultado de 
producciones culturales, del quehacer humano en el seno de culturas determinativas; su desarrollo 
se realiza en el tiempo y está inscrito en instituciones; el vehículo de evolución del conocimiento 
matemático a través de la historia y la cultura es el LENGUAJE). Esta concepción sitúa a las 
matemáticas y a las matemáticas escolares en relación con los problemas que suscitaron la 
aparición y desarrollo de conceptos y teorías. 
 
De allí se derivan además importantes énfasis como el de la resolución de problemas, como un 
principio orientador del trabajo en matemática escolar u otros referidos a los cambios en las formas 
de transposición, Particularmente, en lo relativo a las nuevas formas de transposición, aparece una 
concepción epistemológica que reconoce con primordial, en el trabajo escolar, las distintas 
aproximaciones asociadas a los objetos matemáticos en su evolución como objetos matemáticos. 
 
En este sentido investigadores como VERGNAUD (1.994) han redimensionado el carácter de los 
conceptos matemáticos mismos, en términos de establecer que una situación o problema no puede 
ser analizada con un solo concepto matemático, ni el concepto se encuentra en una única situación. 
El concepto matemático se encuentra inmerso y surge de un conjunto de problemas y situaciones, 
en las cuales sufre diversos tratamientos, se explicita a través de sus diversas representaciones de 
las diferentes variantes que lo constituyen como objeto matemático. Sobre esta base VERGNAUD 
elabora la teoría de los campos conceptuales, construida sobre el análisis de situaciones 
problema en donde una diversidad de conceptos y procedimientos matemáticos estrechamente 
relacionados son necesarios para determinar la solución. Un ejemplo, de esta construcción lo 
constituye el campo conceptual de la multiplicación. La estructura multiplicativa que abarca desde la 
33 
 
operación primitiva de multiplicar y dividir en su significado más primario (Sumas y Restas repetidas), 
hasta avanzar para conceptualizarse como un ente autónomo, concepto de razón, donde las 
fracciones y los números racionales se constituyen en expresiones de la estructura. En su desarrollo 
posterior esta misma estructura abarca entre otras, la construcción de las funciones lineales y no 
lineales. Se infiere entonces que el campo conceptual conjuga muchos tipos de conocimiento 
matemático, agrupa importantes procedimientos y procesos matemáticos. En consecuencia el 
desempeño en este campo integra la experiencia cultural del estudiante con la matemática (El uso 
primario de la multiplicación como suma repetida, por ejemplo). Se reconoce además que la 
experiencia cultural del estudiante, no lo enfrenta con un objeto matemático aislado, ni lo pone en 
contacto directo con ellos, es a través de la solución de las situaciones y problemas por los cuales el 
estudiante desarrolla las competencias no formales sobre las matemáticas. 
 
Desde estas nuevasconcepciones sobre las matemáticas escolares y con el soporte de resultados 
de investigación sobre los procesos de construcción de las matemáticas escolares se construye la 
noción de dominio conceptual como una forma de organizar el conocimiento matemático cuando es 
objeto de enseñanza. GREENO en 1.991 elaboró particularmente el constructor sentido numérico y 
dominio conceptual de lo numérico, para establecer desde la metáfora del medio ambiente 
ecológico las estrechas relaciones que determinan la comprensión del número y sus usos, Greeno 
elabora un análisis entre os distintos ambientes naturales (Rural, Urbano y otros) y los ambientes 
conceptuales construidos por comunidades académicas. En uno y otro vivir y desempeñarse en el 
medio ambiente exige entre otros la INTERACCION con los recursos, el conocimiento de los 
diferentes recursos y el conocimiento para encontrar nuevos recursos. El desenvolvimiento en el 
medio ambiente depende no solo de la interacción con los objetos propios del medio, sino y 
34 
 
fundamentalmente de la actividad social y la interacción con los otros. Greeno parte de esta 
metáfora para describir un dominio conceptual y el desarrollo del sentido. El dominio está 
estructurado por las relaciones y desarrollos de conceptos, procedimientos, razonamientos, 
propiedades de la estructura matemática que se organiza bajo este criterio. Las distintas situaciones 
y problemas donde el dominio toma sentido y significado conforman el medio ambiente. La 
posibilidad de incorporar estos aportes al aula de matemáticas, requiere un determinado enfoque de 
la enseñanza, pues exige crear una atmósfera que anime a los estudiantes a explorar, verificar, 
buscar el sentido de la actividad matemática y fundamentalmente requiere seleccionar actividades 
que impliquen a los estudiantes en forma interactiva. 
 
Estos aportes se contraponen a las formas tradicionales que se ha venido trabajando en las aulas, 
una presentación esquemática de contenidos, mostrando que la matemática se articula en una serie 
de redes conceptuales relacionadas unas con otras, y por tanto los estudiantes a través del tiempo, 
van logrando ser competentes en el uso de redes cada vez más abstractas y generales. 
 
6.3.3 Constructor relacionados con las competencias matemáticas 
De los planteamientos anteriormente descritos se deriva un marcado interés por lograr cambios en 
los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas y por ende en la evaluación, 
orientados a alcanzar un real impacto en la calidad de la formación para que está desempeñe un 
verdadero papel social. Lo anterior conlleva a colocar la atención sobre el punto de vista pragmático 
de las mismas, sobre el uso con significado y no exclusivamente sobre el significado formal de 
conocimientos y procedimientos de las matemáticas. 
 
35 
 
Tal preferencia, parte de situar la reflexión sobre la matemática y los sistemas de representación, se 
soporta en el conocimiento de que los objetos matemáticos no son directamente accesibles a la 
percepción o a una experiencia intuitiva inmediata, es decir, no comparten la naturaleza de los 
objetos comúnmente llamados reales o físicos. El acceso a estas entidades tiene lugar a través de 
los diversos sistemas de representación constituidos por la comunidad matemática, en los procesos 
de gestación de los objetos matemáticos; estos sistemas además de constituirse en medios con los 
cuales se elaboran las teorías, cumplen una función de objetivación, están compuestos de registros 
diferentes, y cada registro remite a un sistema de significados y de funcionamiento. En 
consecuencia, la actividad matemática está fuertemente ligada a al aprehensión y /o a la producción 
de sistemas de representación. 
 
El planteamiento anterior ha llevado a investigadores como KAPUT, JANVIER, FILLOY y DUVAL a 
trabajar profundamente interrelaciones con disciplinas como la SEMIOTICA y a insistir en la 
importancia de trabajar en el aula de matemáticas diversos sistemas de representación. 
 
Para investigadores como FILLOY (1.999), por ejemplo, la atención del aprendizaje debe ser 
colocada sobre el punto de vista pragmático y el uso con significado, con preferencia al exclusivo 
significado formal: Anota que tanto la gramática (Sistema Formal abstracto) como la pragmática 
(Principio de usos del lenguaje matemático), son dominios complementarios del conocimiento 
matemático y por lo tanto deben ser dominios relacionados en los diferentes modelos de la 
enseñanza de las matemáticas. 
 
36 
 
La presencia de la carga semántica (La práctica o experiencia con ciertos usos de nociones y 
procedimientos matemático) producida por la experiencia cultural del estudiante juega un papel 
decisivo en la comprensión de los resultados de la evaluación, por cuanto aportan ala comprensión 
de errores y de las concepciones de los estudiantes, devenidos de la lógica natural y de los usos 
pragmáticos de la matemática. 
 
Tratar de dar sentido y significados a conceptos y operaciones matemáticas, supone priorizar en la 
enseñanza el trabajo con modelos, donde los objetos matemáticos, son los modelos de organización 
de un campo de fenómenos. Un ejemplo de este enfoque aparecería en la discusión el concepto de 
número natural: Los números se usan en contextos de secuencia, recuento, con sentido cardinal u 
ordinal, de medida, de etiqueta y de cálculo. Cuando se dice mi número de teléfono es tres, ocho, 
cuatro... el número se refiere a un objeto, no describe una propiedad suya, ni de su relación con 
otros; cuando se dice llego cuarto, el número se refiere a un objeto que está en un conjunto 
ordenado de objetos y describe el lugar que ocupa; cuando el número describe la numerosidad del 
conjunto, hay tres, el número es un cardinal. Como objeto matemático, el número ha sido definido en 
dos perspectivas como ORDINAL y como CARDINAL. La totalidad de los usos de los números en 
diversos contextos constituye el campo semántico de número. El contexto donde se usa el número 
establece una restricción semántica sobre el concepto de número, pero el contexto particular actúa 
como el medio para producir el sentido personal. En las matemática escolar deberían presentarse 
entonces las diversas situaciones en las cuales el número organiza los contextos, para lograr una 
sólida constitución del significado del objeto matemático de número. Estos planteamientos 
introducen, desde luego nuevos ejes para valorar lo aprendido, haciendo énfasis en las diversas 
interpretaciones y sentido que le otorguen a lo aprendido. 
37 
 
 
Por tal razón una evaluación de competencias sobre el sentido numérico mostrará posiblemente 
carencias desde el campo semántico al cual dependen, desde luego, del tipo de prácticas 
prototípicas que privilegie la institución escolar. Se propone en la evaluación de competencias un 
modelo abierto que incluya, por un lado, distintos campos semánticos de los conceptos, 
procedimientos y objetos matemáticos, y por otro, la REELABORACION DEL USO APRENDIDO en 
nuevas situaciones, que conduzcan a nuevos sentidos y nuevas interpretaciones. 
 
Analizando aportes, que desde diferentes escuelas de educación matemática se han construido para 
ampliar criterios de evaluación coherentes y consistentes con propuestas curriculares y sus fines, 
podemos afirmar que en ellos subyace el énfasis en las competencias, pero dotando de significado a 
éstas en el marco de los referentes teóricos descritos. El significado de competencia se asocia 
entonces a lo que la gente hace con objeto, relaciones, estructuras, procedimientos, formas de 
razonamiento, es decir, representa la construcción personal, en el sentido de uso del conocimiento, 
lo que hace un estudiante con lo que conoce. “Lo que la competencia muestra son conceptos y 
teoremas en acción (VERNAUD, 1.994)”. El desarrollo de las competencias se encuentra 
condicionado al tipode prácticas prototípicas de las instituciones, por estar inmerso en una situación 
institucional; por lo tanto, puede establecerse una relación entre los significados personales e 
institucionales. Estos aportes ratifican la propuesta de redimensionar los resultados de la evaluación 
de las competencias y saberes desde lo educativo, a la luz de aportes y construcciones, que en el 
desarrollo de lo educativo se han venido formulando al respecto, lo cual es objeto de este trabajo. 
 
6.3.4 La Relación currículo, evaluación y competencias en la Educación Colombiana. 
38 
 
Las discusiones acerca de los nexos entre las propuestas curriculares y de evaluación en el contexto 
educativo colombiano son realmente recientes. La ley General de Educación (1.994) orienta la 
estructuración de políticas para modernizar el sistema educativo, se producen acuerdos acerca de lo 
curricular y se dan elementos teóricos que intentan conferir un giro radical al componente evaluativo 
( Algunos de estos elementos podrían asimilarse a los planteados en las propuestas de evaluación 
de competencias) . Se formulan los LOGROS CURRICULARES, con los cuales se dan 
orientaciones para los procesos evaluativos, con una fundamentación teórica importante, 
fundamentación que en lo sustancial hasta el momento no ha sido realmente apropiada por la 
comunidad educativa. En cuanto a evaluación se refiere, los logros y sus respectivos indicadores 
han disfrazado simplemente énfasis y prácticas evaluativos tradicionales. 
 
Un análisis de los indicadores de logros propuestos por el MEN (Ministerio de Educación Nacional) 
para las matemáticas escolares, permite señalar que éstos comparten los presupuestos señalados 
ya en los documentos internacionales y enfatizan en la coherencia y consistencia entre currículo y 
evaluación. Expresiones como: “Utiliza significativamente distintos contextos..., Identifica en objetos 
y situaciones de su entorno magnitudes..., Formula y resuelve problemas..., representa y analiza...”, 
devela que fundamentación teórica acoge como campo de referencia los aportes de la investigación 
actual en educación matemática, que desafortunadamente no han sido asumidos por muchisimos 
docentes. 
 
En un intento por precisar los anteriores documentos, en 1.998 se formulan los LINEAMIENTOS 
CURRICULARES para las áreas obligatorias y fundamentales. Particularmente en lo concerniente a 
las matemáticas, los lineamientos se formulan con la participación de algunos grupos de educación 
39 
 
matemática del país. En el documento se introducen nuevos referentes epistemológicos para las 
matemáticas escolares, se insiste en la importancia de una ecología de los significados, de 
conceptos matemáticos y en la complejidad del significado en matemáticas. Se establecen como 
ejes curriculares el RAZONAMIENTO, la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, la COMUNICACIÓN, y la 
MODELACIÓN. 
 
Paralelamente desde los grupos de trabajo externos a la escuela, pero preocupados por los 
parámetros y criterios existentes para la evaluación a través de pruebas estandarizadas, surge la 
idea de dar un giro a las tradicionales pruebas introduciendo una nueva noción: La evaluación por 
competencias. Para ello se asume y se traslada a las distintas áreas la conceptualización de 
competencia comunicativa propuesta por HYMES en el marco de la Sociolingüística. Podemos 
señalar que ésta se articula con contextos de habla “Aprender un repertorio de actos de habla, que 
expresa a través de frases...” (Evaluación de competencias básicas en Lenguaje y Matemática, 
1.998), los contextos de habla no se encuentran inmersos en prácticas prototípicas educativas. Por 
tal razón este sentido de competencia lo que permite es reconocer que no hay hablantes imperfectos 
o perfectos, sino con diferencias culturales y experiencias heterogéneas. 
 
6.3.4 Inferencias significativas de resultados de evaluación y su coherencia y consistencia 
con lo curricular. 
Para cerrar este escrito planteamos el inicio de una importante discusión, retomando algunos de los 
objetivos propuestos para la evaluación de las competencias básicas en Lenguaje, Matemáticas y 
Ciencias: 
 
40 
 
 Producir y divulgar los fundamentos pedagógicos y disciplinares de la prueba. 
 
 Aportar elementos para un seguimiento permanente en los avances de la educación en todos y 
cada uno de lo establecimientos. 
 
 Aportar una valiosa información a las instituciones educativas para la continua evaluación y 
revisión de sus proyectos educativas institucionales. 
 
El grupo que ha construido las pruebas de matemáticas, en la evaluación censal, considera 
fundamental dar una amplia discusión en la comunidad de educadores matemáticos, de los 
referentes conceptuales de éstas, de los informes de resultados y de sus análisis, para establecer 
posibles relaciones entre el significado personal e institucional, con el fin de orientar, a partir de allí, 
una sistemática reflexión sobre lo curricular que lleve a priorizar prácticas que potencien el desarrollo 
de ciertas competencias. 
En lo que concierne a la divulgación de los fundamentos pedagógicos y disciplinares de la prueba 
(Que determinan las posibilidades de apoyar escuelas y replantear modelos pedagógicos) y 
específicamente en lo que concierne al área, hemos partido de un juicioso análisis de los referentes 
investigativos y de las experiencias de trabajo con los docentes; por tal razón, un apoyo a las 
instituciones debe sobrepasar la mera explicación sobre el tipo de preguntas o definiciones de 
competencias. Un verdadero apoyo supone un trabajo sistemático y continuado con los docentes y 
las instituciones en el marco amplio de lo curricular, pues como lo hemos referido en este escrito el 
41 
 
problema del currículo, la evaluación es un problema complejo por cuanto lo soportan teorías 
educativas, y no se trata simplemente de un cambio en los modelos pedagógicos3. 
 
6.4 LA MATEMATICA: UNA MATERIA TEMIBLE 
 
El estudio realizado por la Sra. Delia en Buenos Aires Argentina muestra la experiencia de las 
matemáticas en este lugar del continente. 
 
Algunos maestros, y muchas personas independientemente de que les guste o no las matemáticas, 
coinciden en señalar que es una materia que infunde temor: 
 
 “Yo nunca he sido muy buena en matemáticas. La matemática me da como temor... Yo hacía el 
esfuerzo y la pasaba... en bachillerato fue peor: Yo tenía que aprenderme todo y salía de un 
examen y me olvidaba de todo, hacía lo posible por pasar, aunque sea con 10 puntos (En 
Venezuela, la calificación máxima es de 20 puntos, 10 es la nota mínima necesaria para 
aprobar una materia). De razonar, nunca. Todavía tengo problemas. He aprendido a sacar 
cuentas solo mentalmente, o por ejemplo he aprendido más las medidas: Un tercio, un cuarto 
de taza... sobre las onzas, por la necesidad de entender las dietas”. 
 “Yo creo que la matemática no es difícil, pero la gente si, porque yo creo que se lo inculcan 
desde pequeños. Tu oyes por la calle a veces, a los mismos padres que les meten a esos 
muchachos que si las Tres Marías, que si matemáticas, física y química, entonces los 
muchachos llevan eso en la mente”. 
 
3 BOGOYA, Maldonado Daniel y otros, Competencias y Proyectos Pedagógicos. Universidad Nacional de Colombia. Santafe de Bogotá 
D. C. Mayo 2000. Pags. 139 – 149. 
42 
 
Aunque varias personas dicen haber tenido buenas experiencias con matemáticas cuando eran 
estudiantes, solo una afirma enfáticamente “A mí me encantan las matemáticas; cuando era niño(a) 
me ejercitaba hasta que me salieran bien los ejercicios”. 
Son también muchos los niños que señalan la matemática como la materia que menos les gusta y 
muy pocos los que la eligen como una de sus materias preferidas. Incluso algunos niños que tienen 
muy buen rendimiento en matemáticas expresan opinión adversa hacia ella.Los argumentos que 
más frecuentemente esgrimen para justificar su disgusto frente a esta materia son dos: 
1- La matemática es muy complicada. 
2- No me gusta sacar cuentas. 
 
Un sujeto plantea la situación como un problema familiar “En mi casa a nadie le gusta la 
matemática. A mi papá se la metieron por la fuerza”. 
 
Una niña de quinto grado cuyo rendimiento frente al instrumento diagnóstico fue excelente explica 
mejor su disgusto frente a la matemática. Como el experimentador expresa su sorpresa ante el 
hecho de que a ella no le gusta una materia de la cual sabe tanto, ella se queda pensando y llega a 
la siguiente conclusión: “ Lo que pasa es que no me gusta gravarme las cuentas, si la matemática no 
fuera recordando los números, me fascinaría. 
 
Varios padres (aunque felizmente no todos), coinciden con las opiniones de niños y maestros. Una 
mamá nos confiesa: “ese ha sido mi gran problema: La matemática. La ODIO. Ni estando en el liceo 
me ha gustado. Si tuviera quien los ayudara (a los niños) no me mataría con las matemáticas”. 
43 
 
De cualquier modo, todos están restringidos a ocuparse de la matemática, porque no queda otra 
posibilidad: “No me gusta, pero los hijos lo ponen a uno a estudiar”, “Me gusta hasta donde la 
entiendo... tiene que gustarme porque tengo que enseñarle a los niños”. 
 
¿Cuál es la razón de que la matemática resulte tan temible y poco agradable para los niños y 
adultos?, ¿A qué le teme tanto la gente?, ¿ a pensar o a memorizar, a descubrir o a repetir?, ¿a 
abordar situaciones cotidianas o a manipular símbolos desprovistos de significados y regidos por 
reglas mecánicas?, ¿ a hacer matemáticas o reproducir la versión escolar del conocimiento 
matemático?. 
 
Las opiniones de los maestros pueden sintetizarse así: Tiene importancia porque prepara al niño 
para razonar con rapidez y por que hay que saber utilizarla en la vida diaria; como una materia 
instrumental, (como las lecturas) que ayuda a comprender las demás asignaturas; es una ciencia 
muy completa y exacta4. 
 
6.4.1 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 
Coherente con la propuesta de los lineamientos curriculares del área de matemáticas, el marco 
conceptual sobre el cual se estructuran los presentes lineamientos para la incorporación de nuevas 
tecnologías en el currículo de matemáticas, parte del reconocimiento de que estudiantes, profesores 
y saberes matemáticos, en el marco del 
sistema educativo, establecen complejas relaciones entre sí, las cuales determinan en gran medida, 
las condiciones del desarrollo de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La 
 
4 LERNER DE ZUNINO, Delia. Matemática en la Escuela, Aique Didáctica. Buenos Aires, Argentina. Pags. 9-11 
44 
 
complejidad de estas relaciones es inherente a su naturaleza social, que no sólo une a profesores y 
estudiantes en el proceso constante de negociación e intercambio de sentidos y significados, sino 
que debe dar respuesta a las presiones externas del sistema educativo (gremios políticos, 
económicos, culturales etc.,) y a las internas (Directivos Docentes, Padres de Familia, Secretarías de 
Educación Municipales Etc.,). Así pues, hablar de las relaciones entre sus micro – entornos social y 
Físico con el Macro Entorno social, de las relaciones de ambos con los saberes tradicionales tanto 
intra – como extra escolares, y de las relaciones entre estudiantes (Vasco, 1990). Todas estas 
relaciones se pueden modelar en un esquema como el de la figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Microentorno Figura 1 
 
En este marco de análisis, el problema de la didáctica no es sólo la enseñanza sino el aprendizaje. 
La enseñanza acompaña, redimensiona y fortalece el aprendizaje e implica una estrecha interacción 
entre el maestro, el estudiante y el saber, a través de distintos medios y estrategias. 
Así pues, hoy en día se reconoce la didáctica de las matemáticas como campo de investigación que 
toma los procesos de aprendizaje y de enseñanza de las matemáticas como objetos de estudio, 
 PROFESOR(ES) 
 (con su 
 Ideología Privada) 
 SABER 
Intra y Extra Escolar 
ALUMNO(S) 
 
45 
 
fundamentalmente en lo que tiene de específico con respecto a las matemáticas. En esta 
perspectiva se pueden identificar planteamientos como los que refieren Douady o Dupin (1993). 
 
Douady plantea que “La didáctica de las matemáticas estudia los procesos de transmisión y 
adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia, particularmente en situación escolar u 
universitaria. Se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su 
enseñanza y el aprendizaje... la didáctica se propone actuar sobre el sistema de enseñanza en un 
sentido “benéfico”, a saber: mejorar los métodos y contenidos de la enseñanza y proponer 
condiciones que aseguren a los estudiantes la construcción de un saber viviente (susceptible de 
evolución), y funcional (que permita, resolver problemas y plantear verdaderos interrogante)”. 
(Douady, sin fecha, p 2). 
 
Por su parte Joshua y Dupin (1993), afirman que la didáctica de las matemáticas (y de las ciencias) 
nace en la medida en que se hace necesario considerar la especificidad de estas disciplinas en los 
fenómenos relacionados con su enseñanza y aprendizaje. En palabras de Joshua y Dupin:.....Se 
podría decir que la didáctica de una disciplina es la ciencia que estudia, para un campo en 
particular..., los fenómenos de enseñanza, las condiciones de la transmisión de la “cultura” propia de 
una institución (específicamente aquí de las instituciones científicas) y las condiciones de 
adquisición de conocimientos por parte de un aprendiz.” 
El punto de la partida de esta problemática es la reflexión sobre los saberes. Pero en necesario 
señalar que los conocimientos a partir de los cuales se establecen las relaciones didácticas no son 
objetos muertos que el profesor pasa a un estudiante que los recibe y que se los “apropia”. Por el 
contrario, la didáctica los trata como objetos vivos, evolutivos y cambiantes según las porciones de la 
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sociedad donde nacen o se arraigan. En particular, el estudio de la relaciones que el estudiante 
establece con los saberes que le son presentados, relaciones que en si mismas son eminentemente 
móviles, están en el centro de una reflexión sobre las condiciones y la naturaleza de los 
aprendizajes” (Joshua y Dupin , 1993). 
 
El doctor Luis Moreno señala que actualmente el campo de la investigación en aspectos del 
aprendizaje es más fructífero que en aspectos de la enseñanza, por lo que está cobrando gran 
relevancia. 
 
Con planteamientos como éstos es necesario regresar a la figura 1 para puntualizar algunas 
generalidades. En uno de los extremos de esta tríada se sitúa el saber, pero, ¿de qué saber se 
trata? Se podría hablar por lo menos de tres tipos de saber: en saber matemático científico (Las 
matemáticas de investigación), el saber matemático cotidiano (las matemáticas de vida cotidiana) 
y el saber matemático escolar (las matemáticas en la escuela). Existen distancias desde uno u otro 
tipo de saber, y un mínimo de reflexión sobre ellos es necesario para comprender la complejidad de 
los fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. 
 
47 
 
6.4.2 Los saberes científicos 
Hablar de las matemáticas de investigación, es hablar del trabajo del matemático y de cómo éstas se 
producen. Es decir, las matemáticas no son solamente el cuerpo teórico acumulado a través de la 
historia. Son también la actividad de quienes piensan, bien sea como objeto de reflexión (Objeto) o 
como instrumento útil (herramienta). Ningún conocimiento matemático se produce terminado desde 
el primer momento. El matemático en su quehacer comete errores, elabora hipótesis, realiza 
inducciones, generalizaciones,etc., y posteriormente, cuando juzga que ha encontrado un resultado 
digno de ser “comunicado” elige, del gran laberinto de sus reflexiones, aquello que es comunicable 
y “susceptible de convertirse en un saber nuevo e interesante para los demás.” ( Brousseau, 1994). 
 
Esto implica ocultar todo de su origen y génesis, para poder presentarlo de acuerdo con las reglas 
permitidas: el lenguaje axiomático deductivo. Esto es, “el autor despersonaliza, descontextualiza y 
destempolariza lo más posible sus resultados” (Brousseau, 1994). Pero esto no garantiza que el 
nuevo conocimiento sea aceptado como válido. Para ello debe pasar la crítica del resto de la 
comunidad de matemáticos del momento, quienes lo reformulan, lo generalizan, o incluso lo 
destruyen. Esta génesis del conocimiento matemático, y ante todo, la historia social de su 
producción, permanece oculta tras los resultados terminales que son presentados. Solo tras un 
estudio histórico y epistemológico puede salir a la luz pública aquello que intencionalmente se ha 
ocultado. 
 
Este saber, para ser presentado en comunidad, debe ser expresado en el lenguaje axiomático 
deductivo, el cual se constituye en la forma canónica de su presentación. Pero hoy en día, y gracias 
a los desarrollos en los computadores y las técnicas de programación, se empiezan a anteponer 
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nuevas formas de expresar el conocimiento matemático. Es el caso, por ejemplo, de las 
demostraciones realizadas a través de técnicas de computación (tal como el teorema de los cuatro 
colores), los cuales ponen a los matemáticos ante una dualidad: ¿cómo aceptar una demostración 
que no se rige por los principios canónicos de lo axiomático deductivo?, pero ¿cómo rechazarla, si 
desde el punto de vista de los algoritmos realizados, no tiene ninguna objeción? Además estos 
desarrollos tecnológicos imponen nuevas formar de presentación, las cuales conllevan a nuevas 
conceptualizaciones matemáticas. En el caso por ejemplo de la matemática fractal. 
 
Así pues, los desarrollos tecnológicos le imponen ritmos al desarrollo de las matemáticas mismas. 
 
6.4.3 El saber matemático escolar 
La forma de presentación clásica de las matemáticas (la presentación axiomática) no solo oculta el 
origen de los saberes científicos, sino que cuando es utilizada para presentar los saberes 
matemáticos escolares, da al profesor la ilusión de tener todo bajo control y oculta la actividad 
matemática del estudiante. Brousseau se expresa así a propósito de una presentación axiomática 
del saber matemático escolar: “Permite definir en cada instante los objetos que se estudian con 
ayuda de las nociones introducidas procedentemente con el auxilio de adquisiciones anteriores. 
Promete pues al estudiante y a su profesor un medio para ordenar su actividad y acumular en un 
mínimo de tiempo máximo de “conocimiento” bastante cercano al “conocimiento erudito”. 
Evidentemente, debe estar complementada con ejemplos y problemas cuya solución exige poner en 
acción esos conocimientos. 
“Por esa presentación elimina completamente la historia de esos conocimientos, es decir la 
sucesión de dificultades y problemas que han provocado la aparición de los conceptos 
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fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la intrusión de técnicas y problemas 
nacidos de los progresos de otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a 
malentendidos, y las innumerables discusiones al respecto. Enmascara el “verdadero” 
funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y describir fielmente desde el exterior, para 
poner en su lugar un génesis ficticia. Para facilitar la enseñanza, aísla ciertas nociones y 
propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen, en sentido, su motivación y su 
empleo. Ella los traspone en el contexto escolar. (Brousseau, 1994). 
Así pues, este proceso de transposición didáctica que sufre el saber matemático, hace que el saber 
matemático escolar sea sustancialmente distinto del saber científico. No corresponde a una 
vulgarización de aquél, sino a una nueva producción de otro tipo de saber. 
 
6.4.4 El papel del docente 
Para que los saberes matemáticos ingresen a la escuela deben sufrir una re-elaboración didáctica, 
que los re-contextualiza, los re-personaliza, los re-temporaliza. Es en esta re-elaboración didáctica 
donde se debe centrar en la actividad profesional del maestro de matemáticas, a fin de propiciar 
para el estudiante una verdadera actividad científica. Así pues, el trabajo del maestro es en cierta 
medida comparable al trabajo de un investigador, ya que el tipo el tipo de actividad que proponga a 
sus estudiantes, debe ser tal que permita que cada conocimiento surja de la respuesta a un 
problema que el estudiante se ha Planteado, y al cual le ha formulado una solución. En palabras de 
Bousseau: “Para hacer posible semejante actividad, el profesor debe imaginar y proponer a los 
estudiantes situaciones que puedan vivir en las que los conocimientos van a aparecer como la 
solución óptima y descubriere en los problemas planteados”. 
 
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“El profesor debe simular en su clase una microsociedad científica, si se quiere que los 
conocimientos sean medios económicos para plantear buenos problemas y para solucionar 
debates, si se quiere que los lenguajes sean medios de dominar situaciones de formulación y que 
las demostraciones sean pruebas”. 
 
“Pero debe también dar a los estudiantes los medios para encontrar en esta historia particular que 
les ha hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que ha querido enseñarles. Los 
estudiantes deben a su turno re-des-contextualizar su saber y de esta manera identificar su 
producción con el saber que se utiliza en la actividad científica y cultural de su época.” “claro está, 
se trata de una simulación que no es <<la verdadera>> actividad científica, así como el conocimiento 
presentado de manera axiomática no es el <<verdadero>> conocimiento.” (Brousseau, 1994, p 5). 
Volviendo al esquema de la figura, se puede identificar con este texto que el vértice del docente 
está en estrecha interacción con los otros dos. 
6.4.5 El papel del estudiante. 
A su vez, la relación maestro-saber pone en un lugar explícito al estudiante en todo el sistema: “El 
trabajo intelectual del estudiante debe por momentos ser comparable a esta actividad científica. 
Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de 
utilizarlos y aplicarlos; sabemos bien que hacer matemáticas implica que uno se ocupe de 
problemas; pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo; 
encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrarles solución. Una reproducción por 
parte del estudiante de una actividad científica exigirá que él actúe, formule, observe, construya 
modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que conozca los que están 
conforme con la cultura, que tome los que le son útiles, etc. (Brousseau,1994, pp 4 y 5). 
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7. LOS MICROENTORNOS 
 
Desde el punto de vista del esquema de la figura 1, faltan aun elementos importantes de analizar: los 
micro y los macroentornos: ellos no deben ser entendidos tan solo como conformados por los 
contextos de orden cultural, social, económico, político, etc. En el cual se encuentran inmersos los 
actores del sistema educativo, sino que también estos micro y macroentornos están conformados 
por los contextos matemáticos sobre los cuales se desarrolla la actividad intelectual del estudiante. 
Y es precisamente en estos contextos matemáticos en los que se debe centrar el quehacer del 
docente. 
 
En los micro y macro-entornos es donde hay que buscar las matemáticas cotidianas, las 
matemáticas del tendero, del vendedor de la calle, del comprador en un supermercado, del control